Embed Size (px)
Citation preview
TRASCENDENCIA DE LOS INSTRUMENTOS
DERIVADOS ANTE LA VOLATILIDAD DE LA TASA
DE INTERÉS EN EL PERIODO 2002 – 2012
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN
CIENCIAS ECONÓMICAS (ECONOMÍA FINANCIERA)
PRESENTA
LIC. DIANA IRENE REYES FRANCO
MÉXICO, D.F. DICIEMBRE DE 2013
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
[ii]
[iii]
[iv]
DEDICATORIAS
A mi madre, hermanas y al M. en C. Godfrey Orozco Lira, ya que de no haber sido por su
apoyo, confianza y aliento para continuar y nunca renunciar, jamás hubiera llegado hasta
este momento tan importante en mi formación personal.
AGRADECIMIENTOS
A Dios por permitirme alcanzar un objetivo más en mi vida y por haberme brindado una
familia que me apoya incondicionalmente y que gracias a su confianza e impulso para
esforzarme día a día culmine esta etapa, son el pilar más importante en mi vida.
Al Instituto Politécnico Nacional por abrirme las puertas desde la educación media
superior, en especial a la Escuela Superior de Economía que durante siete años me acogió y
formó profesionalmente.
A mis directores de tesis el Dr. Guillermo Velazquez Valadez por sus consejos, paciencia y
tiempo, dado que aun cuando tenía otras actividades por hacer asistió a todos los comités
para apoyarme. Al M. en C. Godfrey Orozco Lira por su valiosa guía y asesoramiento con
lo cual aprendí demasiado.
A todos los profesores y amigos que directa o indirectamente aportaron ideas y/o
información. Esta tesis es el resultado de todos y cada uno de ustedes, así que GRACIAS.
D i a n a
[v]
ÍNDICE
GLOSARIO ......................................................................................................................... vii
ÍNDICE DE FIGURAS, GRÁFICAS Y TABLAS ........................................................... ix
RESUMEN .......................................................................................................................... xii
ABSTRACT ....................................................................................................................... xiii
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. xiv
CAPÍTULO 1. PRECIO DEL BONO Y LA TASA DE INTERÉS ............................... 1
1.1 Mercado financiero ....................................................................................................... 2
1.2 Mercado de deuda ......................................................................................................... 5
1.2.1 Mercado de dinero ............................................................................................... 9
1.2.2 Mercado de bonos .............................................................................................. 11
1.3 Demanda de dinero ..................................................................................................... 12
1.4 Planteamientos teóricos sobre el precio del bono y la tasa de interés ......................... 14
1.5 Clasificación de los bonos ........................................................................................... 20
1.5.1 Bonos cupón cero .............................................................................................. 22
1.5.1.1 Valuación de bonos cupón cero ..................................................................... 23
1.5.1.2 Ventajas y desventajas de invertir en bonos cupón cero ............................ 24
CAPÍTULO 2. MODELO DE TASA CORTA DE VASICEK .................................... 25
2.1 Estructura a plazos de la tasa de interés ...................................................................... 26
2.1.1 Teoría de las expectativas .................................................................................. 28
2.1.2 Teoría de los mercados segmentados ................................................................ 28
2.1.3 Teoría de la preferencia por la liquidez ............................................................. 29
3.2.3.1 Falta de elasticidad de las expectativas de la tasa de interés ..................... 31
3.2.3.2 Incertidumbre del futuro de la tasa de interés .............................................. 32
2.2 Modelos estocásticos para valuar bonos cupón cero................................................... 34
2.3 Modelo Vasicek .......................................................................................................... 36
2.3.1 Estructura de plazos del modelo Vasicek .......................................................... 40
2.3.2 Representación estocástica del precio del bono................................................. 42
2.4 Variables que afectan a la tasa de interés .................................................................... 45
[vi]
CAPÍTULO 3. MODELOS DE VOLATILIDAD ......................................................... 49
3.1 Definición de volatilidad ............................................................................................. 50
3.3 Modelos de cálculo de la volatilidad ........................................................................... 59
3.2.1 Volatilidad histórica........................................................................................... 59
3.2.2 Media móvil ponderada exponencial ................................................................. 60
3.2.3 ARCH ................................................................................................................ 62
3.2.4 GARCH ............................................................................................................. 66
3.2.5 EGARCH ........................................................................................................... 68
CAPÍTULO 4. APLICACIÓN DEL MODELO VASICEK ........................................ 69
4.1 Comportamiento de la tasa de rendimiento CETES a 28 días..................................... 70
4.2 Estimación de los parámetros y ............................................................................ 73
4.3 Estimación de la volatilidad ........................................................................................ 74
4.3.1 Cálculo de volatilidad histórica ......................................................................... 74
4.3.2 Cálculo de EWMA ............................................................................................ 75
4.3.3 Cálculo del proceso EGARCH .......................................................................... 76
4.4 Estructura de plazos de la tasa de interés de los CETES a 28 días ............................. 81
4.5 Precio del bono cupón cero ......................................................................................... 83
4.6 Análisis comparativo entre las metodologías propuestas para el cálculo de la
volatilidad .................................................................................................................... 84
CONCLUSIONES .............................................................................................................. 85
ANEXOS ............................................................................................................................. 88
BIBLIOHEMEROGRAFÍA .............................................................................................. 92
[vii]
GLOSARIO
Activo financiero Instrumentos de captación de ahorro que adquieren los
inversionistas y que emiten las unidades económicas
deficitarias con el objetivo de financiar sus actividades.
Análisis financiero Estudio matemático-financiero que se realiza con la
finalidad de determinar los beneficios o pérdidas que se
pueden llegar a incurrir al realizar una inversión.
Arbitraje Consiste en realizar transacciones simultáneas en dos o más
mercados con la finalidad de obtener ganancias al
aprovechar la discrepancia entre ambos mercados.
Aversión al riesgo Temor que sienten algunos agentes económicos de invertir
en instrumentos con un alto nivel de riesgo, por lo que
prefieren otro cuyo riesgo sea menor aun cuando eso
signifique que la rentabilidad también será menor.
Bono Título emitido por el Estado, gobierno local, municipio o
empresa con el objetivo de adquirir deuda, al importe se le
suman intereses.
Broker Individuo encargado de llevar a cabo las peticiones de sus
clientes al mercado de futuros para ejecutarlas y cobrar por
ello una comisión.
Burbuja especulativa Fenómeno económico derivado de la especulación dentro
de un mercado, el cual se caracteriza por un aumento
anormal y prolongado del precio de un activo.
Coeficiente Beta Medida de la volatilidad de un activo.
Cupón Intereses o pagos derivados de un título de renta fija.
Diferencial Participante del mercado financiero que observa la
evolución de los precios de los diversos futuros financieros
intentando con ello beneficiarse.
Especulador Entra al mercado con alguna posición y espera obtener un
beneficio derivado de las variaciones de los precios, su
interés es la posibilidad de beneficiarse de los movimientos
en los precios.
[viii]
Hedger También conocido como coberturista, recurre a los futuros
con el objetivo de reducir-eliminar el riesgo de los
movimientos adversos en el tipo de interés, tipo de cambio,
etc., que afectan sus inversiones.
Mercado Lugar donde se reúnen compradores y vendedores, con el
propósito de intercambiar cualquier clase de objetos,
mercancías, bienes, etcétera.
Mercado financiero Área o lugar en el que los inversionistas realizan
negociaciones de compra y venta de activos financieros.
Nominal Valor que paga un activo en la fecha de vencimiento.
Proceso estocástico Conjunto de variables aleatorias que se asocian a distintos
periodos de tiempo.
Rentabilidad Beneficio obtenido al realizar una inversión exitosa.
Riesgo financiero Probabilidad de que ocurra un evento adverso y tenga
consecuencias negativas para los participantes del mercado
financiero.
Riesgo sistemático Riesgo inherente al propio mercado y que por tanto no
puede eliminarse a través de diversificación.
Tasa de interés Beneficio obtenido por el préstamo de dinero, denominado
en el mercado financiero como el precio del dinero.
Varianza Medida de las desviaciones cuadráticas de una variable
aleatoria, considerando su valor medio.
Vencimiento Fecha en la que una obligación financiera debe liquidarse.
Volatilidad de tasa de
interés
Medida de frecuencia e intensidad de la evolución de los
cambios de la tasa de interés.
[ix]
ÍNDICE DE FIGURAS, GRÁFICAS Y TABLAS
Figura 1.1. Operaciones de intercambio en la BMV .............................................................. 3
Figura 1.10. Clasificación de los bonos ................................................................................ 21
Figura 1.11. Bonos emitidos por el Gobierno y las empresas .............................................. 21
Figura 1.2. Clasificación del mercado financiero ................................................................... 4
Figura 1.3. Equilibrio en el mercado monetario ..................................................................... 9
Figura 1.4. Características de los activos financieros ........................................................... 10
Figura 1.5. Equilibrio del mercado de dinero y de bonos .................................................... 12
Figura 1.6. Curva de preferencia por la liquidez .................................................................. 15
Figura 1.7. Cambios del monto en efectivo .......................................................................... 18
Figura 1.8. Demanda agregada de dinero ............................................................................. 19
Figura 1.9. Mercado de dinero.............................................................................................. 20
Figura 2.1. Tipo de curvas de rendimiento ........................................................................... 26
Figura 2.2. Preferencia por la liquidez ................................................................................. 30
Figura 2.3. Demanda de bonos y su relación con la tasa de interés ..................................... 32
Figura 2.4. Selección de portafolio a distintas tasas de interés ............................................ 33
Figura 3.1. Modelos de volatilidad ....................................................................................... 60
Figura 3.2. Metodología Box-Jenkins .................................................................................. 66
Figura 4.1. Características de los CETES a 28 días (2003-2013) ........................................ 72
Figura 4.2. Cuantiles correspondientes a los CETES a 28 días ............................................ 73
Figura 4.3. ACF y PACF de los CETES a 28 días (2009-2013) .......................................... 79
Figura 4.4. Ajuste ARMA(1,20) ........................................................................................... 80
Figura 4.5. Residuos estandarizados..................................................................................... 83
Gráfica 1.1. México: Monto asignado de bonos (2003-2013) ................................................ 7
Gráfica 1.2. México: Monto asignado de CETES a 28 días (2011-2012) .............................. 8
Gráfica 3.1. México: Comportamiento de los CETES a 28 días (2003-2013) ..................... 51
Gráfica 3.2. México: Comportamiento de la inflación y la tasa de interés (2003-2013) ..... 52
Gráfica 3.3. Nivel de la tasa de interés interna y externas (2003-2013)............................... 54
Gráfica 3.4. México: CETES a 28 días en poder de residentes nacionales y extranjeros
( (2003-2013) ...................................................................................................... 56
Gráfica 4.1. Rendimientos diarios de la tasa de interés (2003-2013) ................................... 73
Gráfica 4.2. Cambio estructural de los CETES a 28 días (2003-2013) ................................ 74
Gráfica 4.3. Volatilidad histórica de los CETES a 28 días (2009-2013).............................. 77
Gráfica 4.4. Volatilidad EGARCH(1,1) para el proceso AR(1,20) ...................................... 83
[x]
Tabla 1.1. México: Datos económicos históricos (2001-2003) ............................................. 5
Tabla 1.2. Características de los CETES .............................................................................. 22
Tabla 2.1. Principales modelos de tasa corta ........................................................................ 35
Tabla 2.2. Variables macroeconómicas que afectan a la tasa de interés .............................. 46
Tabla 3.1. Características de las series e ..................................................................... 59
Tabla 4.1. Parámetros estimados .......................................................................................... 76
Tabla 4.2. Prueba ARCH ...................................................................................................... 81
Tabla 4.3. Estimación del proceso EGARCH (1,1) para el proceso AR(1,20) .................... 81
Tabla 4.4. Estructura a plazos de los CETES a 28 días con estimación econométrica de
parámetros, bajo el modelo Vasicek (1977). ....................................................... 85
Tabla 4.5. Precio de bono cupón cero .................................................................................. 86
[xi]
ÍNDICE DE SIGLAS
ACF Autocorrelation Function. Función de Autocorrelación (acrónimo en
inglés).
ARCH Autorregressive Conditional Heteroscedasticity.
Heterocedasticidad Condicional Autorregresiva (acrónimo en inglés).
Banxico Banco de México.
BC Banco Central.
BMV Bolsa Mexicana de Valores.
BV Bolsa de Valores.
CETES Certificados de Tesorería de la Federación.
CNBV Comisión Nacional Bancaria y de Valores.
FMI Fondo Monetario Internacional.
EGARCH Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.
Heterocedasticidad Condicional Autorregresiva Generalizada
Exponencial (acrónimo en inglés).
GARCH Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.
Heterocedasticidad Condicional Autorregresiva Generalizada (acrónimo
en inglés).
OMA Operaciones de Mercado Abierto.
OTC Over The Counter.
PACF Partial Correlation Function. Función de Autocorrelación Parcial.
(acrónimo en inglés).
SFM Sistema Financiero Mexicano.
SHCP Secretaria de Hacienda y Crédito Público.
VaR Value at Risk. Valor en Riesgo (acrónimo en inglés).
[xii]
RESUMEN
La presente investigación analiza la posibilidad de lograr una predicción más eficiente del
precio de un bono cupón cero al introducir en el modelo Vasicek el parámetro de
volatilidad obtenido a través de una metodología que considera a la varianza como
heterocedástica, esto debido a que en los últimos años la tasa de interés en los mercados
financieros se ha caracterizado por presentar acumulación de volatilidad, derivada de la
crisis que se originó en Estados Unidos, la cual al extenderse rápidamente a los países
desarrollados provocó una gran especulación por parte de los inversionistas, ello aunado a
la imposibilidad de predecir el futuro generó entornos de incertidumbre donde se
incrementó significativamente la aversión al riesgo por parte de los inversionistas y
acreedores de países desarrollados, propiciando un deterioro en el mercado mexicano.
Ante esta situación los inversionistas tomaron dos decisiones por un lado adquirieron
papel gubernamental de corto plazo (con lo que las tasas sufrieron una caída) y por otro
vendieron bonos de largo plazo. Los inversionistas tomaron dichas decisiones impulsados
por su deseo de obtener la máxima rentabilidad corriendo el mínimo riesgo, es por este
motivo que se han desarrollaron diversos modelos con los que se busca realizar inversiones
óptimas. Entre los modelos por los que se ha despertado gran interés es por aquellos que
estiman e interpretan la curva de rendimientos, dado que a través de ella se pueden valorar
instrumentos financieros sensibles a los cambios en la tasa libre de riesgo de
incumplimiento, este es el caso de los bonos cupón cero.
En 1977, Vasicek propuso un modelo basado en la hipótesis de reversión a la media,
lo cual significa que bajo condiciones normales existe un nivel medio al que la tasa de
interés revierte en el corto plazo, la principal ventaja de este modelo es la simplicidad con
la que se realiza su estimación, dado que, es un proceso meramente lineal; aunque por la
forma en la que está construido el modelo supone que la volatilidad de la tasa de interés es
homocedástica, en este trabajo se presentan metodologías alternas para obtener el
parámetro de la volatilidad del rendimiento de un bono cupón cero que capture los patrones
de aleatoriedad reales.
Palabras clave: tasa de interés, volatilidad, modelos de tipos de interés, heterocedasticidad
condicional, autocorrelación.
Clasificación JEL
[xiii]
ABSTRACT
The present study examines the possibility of achieving a more efficient prediction of the
price of a zero coupon bond by introducing Vasicek model volatility parameter obtained
through a methodology that considers the heteroscedastic variance as this because in the
past years the interest rate in the financial markets has been characterized by accumulation
of volatility present , resulting from the crisis that originated in the United States , which
quickly spread to the developed countries caused great speculation by investors , this
combined to the unpredictability of future uncertainty generated environments which
significantly increased risk aversion by investors and creditors in developed countries ,
leading to a deterioration in the Mexican market .
In this situation investors took two decisions acquired aside short-term government paper
(thus suffered a fall rates ) and other long-term bonds sold . Investors took those decisions
driven by their desire to obtain maximum returns minimum risk running is for this reason
that we have developed various models that seek to make optimal investments . Among the
models for which it has aroused great interest by those who believe and interpret the yield
curve , because through it we can evaluate financial instruments sensitive to changes in the
risk-free rate of default, this is the case of zero coupon bonds .
In 1977 , Vasicek proposed a model based on the hypothesis of mean reversion , which
means that under normal conditions there is an average level at which the interest rate
reverts to the short term, the main advantage of this model is the simplicity which makes
their estimation , since it is a purely linear process , although the way it is built the model
assumes that the volatility of the interest rate is homoscedastic , this paper presents
alternative methodologies for parameter the volatility of the yield of a zero coupon bond
patterns that capture real randomness .
Keywords: interest rate, volatility, interest rate models, conditional heteroscedasticity,
autocorrelation.
[xiv]
INTRODUCCIÓN
Durante los últimos años los mercados financieros han presentado episodios de volatilidad
los cuales tienen como fondo la crisis subprime, misma que ha sido catalogada como
inédita por la rapidez con la que se propagó en todas las regiones del mundo. El detonador
principal fue el alto índice de morosidad de los créditos hipotecarios de menor calidad en
especial de las sujetas a tasas de interés ajustables, resultando un mercado de hipotecas de
alto riesgo, con el agravamiento de la crisis se incrementó significativamente la aversión al
riesgo por parte de inversionistas y acreedores de países desarrollados, teniendo como
consecuencia un efecto adverso sobre las tasas de interés, pues ante el temor de perder su
capital dichos inversionistas liquidaron sus posiciones en los mercados emergentes.
En el caso de México, algunos inversionistas disminuyeron su exposición al riesgo
vendiendo bonos de largo plazo y comprando de corto, lo que condujo a una caída de las
tasas de corto plazo. Los inversionistas tomaron estas decisiones debido a que son seres
racionales que buscan maximizar su capital, es por ello que les resulta importante estimar e
interpretar la estructura de plazos de la tasa de interés o curva de rendimientos, ya que a
través de ella se puede capturar la dinámica de la tasa de interés, además de que brinda la
posibilidad de valorar instrumentos financieros (sensibles a los cambios en la tasa libre de
riesgo de incumplimiento) así como diseñar estrategias de cobertura de riesgo eficientes.
De esta forma surgieron diversos modelos con el objetivo calcular la curva de rendimientos.
Entre los modelos en tiempo continuo con un único factor se encuentra el
desarrollado por Oldrich Vasicek (1977), en la última sección de su artículo An equilibrium
characterization of the term structure, presenta un ejemplo específico para obtener el
precio de un bono cupón cero mediante ecuaciones diferenciales parciales, curiosamente
Vasicek ha sido relacionado más con dicho ejemplo que con toda la teoría desarrollada en
su investigación, pues en el describe la dinámica estocástica de la tasa de interés corta o
instantánea que está asociada a un bono cupón cero y que presenta reversión a la media,
basado en los supuestos de que dicha tasa sigue un proceso de difusión; el mercado es
eficiente y no existe oportunidad de arbitraje.
Desde la aparición del modelo Vasicek se han propuesto otros similares, este es el
caso del CIR (1985), el Hull y White (1990), Ho y Lee(1986), y Longstaff (1989); no
obstante, la formulación de Vasicek sigue siendo válida, debido a su facilidad de
implementación y a la habilidad de generar distintas formas de la estructura de la tasa de
interés, además de que es el pionero en incorporar reversión a la media a un modelo de
tasas de interés de equilibrio, lo cual implica que bajo condiciones normales existe un valor
medio al cual la tasa de interés en el largo plazo revierte, esto permitió modelar un
comportamiento acode a lo que se observaba en ese momento.
[xv]
Sin embargo, las condiciones han ido cambiando a través del tiempo, muestra de ello
es la gran volatilidad que han presentado las economías globales, pues a pesar de que la
economía de Estados Unidos sigue creciendo, su sector industrial se ha rezagado, lo cual
aunado al llamado “precipicio fiscal” y al deterioro de la situación fiscal de la zona del euro
provoca que la volatilidad prevalezca en los mercados financieros. Debido a ello no se sabe
con seguridad qué ocurrirá, dado que como menciona Knight (1947), “el mundo en el que
vivimos es un mundo variable y de incertidumbre”, en el que si bien es cierto que no existe
completa ignorancia, también es cierto que no existe perfecta información, pero si
conocimiento parcial, siendo este el problema real y la razón de que los inversionistas
operen en entornos inciertos con una gran variedad de riesgos.
Esta situación conduce al problema de investigación mismo que fue definido de la
siguiente manera: La tasa de interés es una de las variables financieras que se ha visto
afectada por la volatilidad, la cual es difícil de conocer pues varía de acuerdo a diversos
factores vinculados a las emociones y psicología de los inversionistas desencadenadas por
la llegada de nueva información sobre: el nivel de inflación, riqueza, recesión, tipo de
cambio, tasas de interés externas, expectativas, política monetaria, producción, inversión,
operaciones de mercado abierto, entre otras. Por esta razón fue necesario reformular los
modelos con el objeto de considerar la aleatoriedad inherente de las variables. Actualmente
en la literatura financiera se encuentran una vasta variedad de metodologías para calcular la
volatilidad considerando a la varianza como heterocedástica.
Es por ello que se considera de importancia realizar una investigación que contemple
la introducción del factor de volatilidad de los rendimientos de un bono cupón cero en el
modelo Vasicek obtenido a través de una metodología que suponga una varianza
heterocedástica, a fin de lograr un pronóstico más eficiente del precio de dichos bonos, por
las razones anteriores aunque al principio esta tesis fue intitulada TRASCENDENCIA DE
LOS INSTRUMENTOS DERIVADOS ANTE LA VOLATILIDAD DE LA TASA DE
INTERÉS EN EL PERIODO 2002-2012, en realidad debe titularse: MODELOS DE
VOLATILIDAD APLICADOS AL MODELO DE VASICEK PARA GENERAR
ESTRUCTURAS DE PLAZO Y PRECIO DE UN BONO CUPÓN CERO. PERIODO
2003-2013.
Bajo este entendido, la presente investigación tiene como objetivo: Demostrar que la
valuación de un bono cupón cero a través del modelo Vasicek resulta más eficiente al
incorporar el cálculo de la volatilidad del rendimiento obtenido a través de un modelo que
considere a la varianza como heterocedástica.
[xvi]
Así mismo, los objetivos específicos que coadyuvan a dar claridad y precisión al
proceso de investigación, quedaron definidos en los siguientes términos:
1. Establecer aspectos teóricos que ayuden a comprender por qué los rendimientos son
volátiles.
2. Realizar un análisis comparativo entre los procesos EWMA, GARCH y el cálculo
de la volatilidad histórica.
3. Efectuar un análisis individual de cada metodología para tener una mejor
comprensión.
La hipótesis que se maneja en la investigación es: Si los modelos que consideran a la
varianza como heterocedástica logran captar los eventos relevantes del mercado que
generan volatilidad con mayor rapidez, entonces se está en posibilidad de incluir un
parámetro de volatilidad más eficaz al pronóstico en la curva de rendimientos.
El desarrollo de la investigación se encuentra estructurado en cuatro capítulos, el
primero comienza con la definición del mercado financiero, dado que es en este lugar
donde se reúnen los agentes económicos para realizar negociaciones de compra y venta de
activos financieros, con el objeto de llevar a cabo la tarea de asignar de manera eficiente los
recursos y dividir el riesgo entre los participantes se clasifica en diversos mercados; sin
embargo, en esta investigación únicamente se estudiará el mercado de deuda, ya que, en el
las empresas y/o Gobierno emiten la deuda que adquieren los ahorradores, pues ellos al
tener un excedente pueden elegir entre tener su dinero en efectivo o mantenerlo en bonos,
depende del nivel de la tasa de interés.
Un aumento en la tasa de interés provoca que los inversionistas prefieran obtener más
bonos y menos dinero y viceversa, esto debido a la función inversa que existe entre la tasa
de interés y el precio de los bonos. Entre los bonos más negociados se encuentran los cupón
cero (son más atractivos debido a que son los valores más líquidos del mercado), los cuales
son títulos de crédito cotizados a descuento, dado que la cantidad que se paga por ellos al
adquirirlos es menor que la cantidad que se espera recibir al vencimiento. Aunque están
libres de riesgo de incumplimiento, el tenedor del bono puede estar sujeto a riesgo de
mercado, sí desea venderlo antes de su vencimiento, todas estas características, así como las
ventajas y desventajas de invertir en este tipo de bonos se enmarcan en este primer capítulo.
[xvii]
El capítulo II describe la estructura a plazos de la tasa de interés, su estudio ha sido de
interés en las últimas décadas, dado que las formas y movimientos que puede tomar aportan
una explicación tanto de carácter económico como financiero. Debido a que los agentes
económicos intentan explicar dichos movimientos con el objetivo de anticiparse al mercado
y así obtener mayores beneficios se han desarrollado diversos modelos que tratan de
calcularla, por lo cual se brinda un panorama de algunos de ellos, prestando mayor atención
al modelo Vasicek, ya que, este es el modelo central en la investigación, se culmina con las
principales variables económicas que provocan que la tasa de interés sea volátil.
La tasa de interés se caracteriza por tener una acumulación de volatilidad inherente,
los modelos tradicionales suponen que dicha volatilidad está relacionada con la raíz
cuadrada del tiempo, esto es cierto siempre y cuando se suponga que no hay correlación ni
barreras que la afecten; no obstante, en la realidad la presencia de autocorrelación afecta
esa relación. Otro de los inconvenientes que presentan este tipo de modelos es que suponen
que la varianza es homocedástica, cuando se ha demostrado que las series de tiempo
presentan periodos de alta volatilidad seguidos por periodos de baja volatilidad, lo cual
indica presencia de heterocedasticidad, por tanto, los modelos de volatilidad histórica al no
recoger el efecto agrupamiento y la alta persistencia, no resultan eficientes para modelar la
volatilidad.
Por su parte los modelos EWMA tienen la ventaja de que la volatilidad reacciona con
mayor rapidez cuando el mercado se encuentra en condiciones de crisis, dado que asigna un
mayor peso a los datos más recientes con respecto a los más antiguos. Busca suavizar el
impacto de las grandes oscilaciones de la volatilidad u outliers, ya que, pueden afectar los
cálculos. Una metodología muy similar al EWMA es el modelo GARCH, Tim Bollerslev
presentó este modelo autorregresivo de medias móviles a partir de la generalización del
modelo ARCH desarrollado por Engle en 1982, los cuales deben su nombre a que
consideran que la varianza es heterocedástica y condicional, debido a que al momento de
estimar la varianza utiliza información adicional.
Además son autorregresivos, pues la varianza del periodo es explicada mediante la
varianza del periodo anterior, suponen que la volatilidad presenta características de
asimetría, no linealidad y larga memoria. Los modelos GARCH especifican la varianza
condicional en función de su propio pasado y del cuadrado de las observaciones pasadas,
con lo que permite reducir el número de parámetros a estimar de infinito a sólo dos. Dado
que en la práctica la suma de los parámetros y es mayor a 1, indicando que la varianza
no es estacionaria en y que por tanto los shocks (cambios bruscos), presentes perturbarán
permanentemente a la volatilidad, además permite que esta pueda ser negativa, razón por la
cual surgió el modelo GARCH Exponencial que garantiza la no negatividad de la varianza.
[xviii]
El modelo GARCH converge al modelo EWMA, ya que ambos son autorregresivos y
las previsiones dependen de una media ponderada de volatilidades pasadas. Se diferencia
del modelo EWMA en que la aproximación GARCH es un modelo estocástico, puesto que
los cambios en la volatilidad son aleatorios, en el capítulo III se estudian todos estos
modelos, además se define la volatilidad de la tasa de interés y se realiza un análisis de las
condiciones por las que ha a travesado la economía mundial y que han provocado que la
tasa de interés en México se ha volátil. Una vez que se han estudiado y comprendido las
características principales del sistema financiero, así como los sustentos teóricos sobre los
que se basa esta investigación en el último capítulo se muestra la evidencia empírica de los
elementos aportados en los capítulos anteriores a través del cálculo de la volatilidad del
rendimiento de un bono cupón cero.
Para lo cual se utiliza el precio diario de los CETES a 28 días, el periodo está
condicionado a la información disponible, los datos presentados fueron tomados del Banco
de México en el periodo del 1 de agosto de 2003 al 30 de agosto de 2013; no obstante,
debido a que el modelo Vasicek no captura los cambios estructurales, al realizar la prueba
Bai-Perron para múltiples cambios estructurales se encontró que a lo largo del periodo
antes citado se presentaron cuatro quiebres estructurales: el primero del 01 de agosto de
2003 al 02 de febrero de 2005, el segundo del 03 de febrero de 2005 al 08 de agosto de
2006, el tercero del 09 de agosto de 2006 al 21 de abril de 2009, y finalmente el cuarto del
22 de abril del 2009 al 30 de agosto de 2013.
Al último cambio estructural que cuenta con 1,138 observaciones se aplicó el modelo
Vasicek a fin de obtener el precio del bono cupón cero mediante la estructura a plazos de la
tasa de interés y realizar el análisis para decidir con cual metodología se obtiene un precio
más eficiente. Finalmente se presentan las conclusiones de la investigación.
[1]
CAPÍTULO 1. PRECIO DEL BONO Y LA TASA DE INTERÉS
En el mercado financiero se reúnen diferentes tipos de inversionistas con la finalidad de
realizar negociaciones de compra y venta de activos financieros, transformando el ahorro
en inversión, para lo cual interviene el sistema financiero asignando de manera eficiente los
recursos y el riesgo de acuerdo a las preferencias y necesidades de cada agente económico,
para cumplir con este objetivo el mercado financiero se divide en diversos mercados siendo
el más importante para esta investigación el de deuda, ya que se clasifica en mercado de
dinero y mercado de bonos, en el primero, se fijan las tasa de interés que sirven de
referencia para el endeudamiento de las empresas, familias y en general de todos los
agentes, en el segundo se compran y venden bonos con el objetivo de adquirir deuda.
Los individuos pueden dividir su saldo en efectivo de dos formas: 1) saldo para
transacciones, con el que se efectúan operaciones correspondientes a un nivel dado de
ingreso monetario; 2) saldo especulativo únicamente se utiliza para la compra y la venta de
bonos. La demanda de saldos para transacciones depende del ingreso monetario, mientras
que la de saldos especulativos depende de la tasa de interés de los bonos, dado que, un
aumento en la tasa de interés provoca que los inversionistas prefieran obtener más bonos y
menos dinero y viceversa, esto debido a la función inversa que existe entre la tasa de interés
y el precio de los bonos. El beneficio obtenido por el préstamo de dinero, es llamado tasa
de interés o precio del dinero como es considerado en el mercado financiero.
En México se negocian una gran variedad de bonos los cuales se clasifican de
acuerdo a su forma de colocación, cotización y riesgo emisor, entre los que más se
negocian se encuentran los CETES o bonos cupón cero. Este tipo de bonos son
instrumentos que cotizan a descuento, dado que la cantidad que se paga al adquirirlos es
menor que la cantidad que se recibe al vencimiento del contrato, pagan una tasa de
rendimiento que equivale a la diferencia entre el valor nominal y el precio a descuento.
Todos estos temas se desarrollaran en el presente capítulo con los cuales se pretende dar un
panorama tanto de los medios y factores que intervienen al momento de invertir en bonos
cupón cero, como de las variables que se deben tomar en cuenta antes de realizar dicha
inversión.
[2]
1.1 Mercado financiero
Partiendo de que un mercado es el área o lugar donde se reúnen compradores y vendedores,
con el propósito de intercambiar cualquier clase de objetos, mercancías, bienes, etc.; al
mercado financiero se le define como aquél lugar en que los inversionistas realizan
negociaciones de compra y venta de activos financieros, y se orienta a transformar el ahorro
del público en inversión, asignar de manera eficiente los recursos y el riesgo1 entre
diferentes agentes con diversas preferencias e información. El mercado financiero está
basado especialmente en la especulación y su evolución determina el nivel de las tasas de
interés en una economía.
Los agentes que ingresan en este mercado con el objetivo de comprar activos
financieros, deben considerar los riesgos que implica, pues, el emisor sabe que va a contar
con los fondos, pero el inversor no está seguro de ello, por esta razón interviene el sistema
financiero permitiendo que participen una serie de inversores con la finalidad de distribuir
el riesgo entre todos los participantes. La función de cualquier sistema financiero es
canalizar los recursos de quienes tienen un excedente, hacia quienes los requieren para
darles un uso productivo y eficiente, además de que están dispuestos a pagar a los oferentes
el precio que tienen, proporcionándose liquidez y generándose riqueza.
El Sistema Financiero Mexicano (SFM), está conformado por instituciones públicas y
privadas interrelacionadas las cuales captan, administran y regulan las actividades
financieras de los agentes económicos dentro del marco legal correspondiente. Una de las
instituciones que integran al SFM es el sistema bursátil mexicano el cual es un conjunto de
organizaciones que regulan y llevan a cabo acciones orientadas al financiamiento y
capitalización de las instituciones públicas, brindando a los inversionistas la expectativa de
ganancia patrimonial, por medio de títulos-valor2 que se negocian en la Bolsa Mexicana de
Valores (BMV).
1 La palabra riesgo proviene del latín risecare que significa atreverse, según la Real Academia Española es
la proximidad de un daño. De acuerdo con la variable a la que se relacione esta palabra adquiere un
significado diferente; por lo cual, de aquí en adelante cuando se hable de riesgo se referirá al riesgo
financiero, que se define como la probabilidad de que ocurra un evento adverso y tenga consecuencias
negativas para los participantes del mercado financiero (inversionistas, deudores, entidades financieras,
etcétera). El riesgo es mesurable, dado que la distribución de los eventos en un grupo de casos es conocida
(Mediante el cálculo a priori o estadísticas históricas), se considera que es desfavorable, ya que los
inversionistas lo relacionan con pérdida. 2 Los valores son documentos donde se establecen derechos específicos para sus propietarios, cuando son
autorizados para circular en el mercado de valores, se está en presencia de títulos-valor de crédito que se
emiten en serie o en masa.
[3]
Esta institución tiene como objetivo facilitar las transacciones con valores y procurar
el desarrollo del mercado respectivo, para lo cual ofrece al público información sobre los
valores que se encuentran inscritos en la bolsa, incluyendo las emisiones y operaciones. Es
en la BMV donde se realizan las operaciones de intercambio de los recursos monetarios a
través de títulos-valor, que se llevan a cabo en el piso de remates. Sus participantes se
pueden clasificar en tres grupos, como se muestra en la siguiente figura:
Figura 1.1. Operaciones de intercambio en la BMV
Fuente: Elaboración propia con información de la Bolsa de Valores.
1. Oferentes, ahorradores o público inversionista. Personas u organizaciones que
poseen recursos monetarios líquidos y que están interesados en ponerlos a
disposición de alguien más a cambio de un rendimiento.
2. Demandantes o emisores. Empresas que buscan financiar sus proyectos a través de
la colocación de deuda o préstamos directos de las instituciones que participan en el
sector.
3. Instituciones financieras y regulatorias. Captan, administran y dirigen las
inversiones.
La importancia del mercado financiero radica en que mejora el bienestar económico
de la población al transferir de manera óptima los fondos de los agentes económicos de
acuerdo con las necesidades de cada uno y para ello el mercado financiero se clasifica
como a continuación se muestra:
Obtienen rendimiento Pagan por su uso
Requieren dinero Ofrecen dinero
Oferentes
Inversionistas
Personas físicas
Casas de Bolsa
Compran-venden
Títulos-valor
(acciones, bonos,
cetes)
Demandantes
Gobierno
Empresas
[4]
Figura 1.2. Clasificación del mercado financiero
Mercado
Financiero
Obligación
financiera.
Madurez de la
obligación.
Mercado de dinero.
Mercado de bonos.
Mercado primario
Venta de bonos o acciones
recién emitidas a compradores
iniciales.
Mercado secundario
Reventa de valores emitidos
en forma previa.
Bolsa de Valores.
Mercado sobre
mostrador.
Mercado de deuda
Bonos o hipotecas los cuales
representan un acuerdo por el
prestatario para pagarle al
tenedor del instrumento
montos fijos hasta una fecha
especifica. Pueden ser de
corto, mediano y largo plazo.
Mercado de Acciones
Derechos para participar en la
utilidad neta y los activos de la
empresa. Se consideran de
largo plazo, debido a que no
tienen fecha de vencimiento.
Instrumentos de deuda a corto
plazo , dado que su vencimiento
es menor a un año.
Compradores y vendedores se
reúnen en un ámbito central
para negociar.
Mejor conocido como mercado
Over The Counter (OTC).
Compra-venta de promesas de
pago o títulos de crédito.
Fuente: Elaboración propia con información de Mishkin (2008) y Fabozzi (1996).
Debido a la naturaleza de la investigación únicamente se estudiará al mercado de
deuda, dado que es en este mercado donde se negocian los instrumentos de deuda emitidos
por el Gobierno Federal, los Gobiernos Estatales o Locales y las empresas paraestatales o
privadas, en el momento que sus recursos son insuficientes para realizar nuevos proyectos
de inversión y/o mantener sus actividades, a continuación se analiza el comportamiento del
mercado de deuda mexicano dentro el periodo de estudio.
[5]
1.2 Mercado de deuda
En el caso de México, el mercado de deuda empezó sus operaciones en 1978 con la primera
emisión de CETES por parte del Gobierno Federal, debido a su flexibilidad para realizar
negociaciones de compra-venta y operaciones de reporto dentro y fuera de la BMV
incentivó el desarrollo del mercado de deuda. En los ochenta con el surgimiento de las
casas de bolsa se dio origen a los intermediarios3 y con ellos nuevas formas de
financiamiento orientadas al mercado de deuda. La década siguiente los intermediarios
aumentaron su participación, dado que por un lado el Gobierno Federal tomó la decisión de
financiar todo su déficit presupuestal con la emisión de deuda y por el otro hubo una
liberalización de las tasas de interés.
La economía mexicana y, en general, la internacional en el 2003 presentó una gran
incertidumbre como consecuencia de la falta de claridad en la duración del conflicto entre
Estados Unidos e Irak, provocando que en los países industriales no hubiera un ambiente
propicio para la reactivación de la economía. México, no sólo se vio afectado por dicho
conflicto sino también por el efecto Tango; sin embargo, acertadamente las autoridades
monetarias le hicieron frente mediante la estabilidad macroeconómica, es decir, con el
control de la inflación, menores tasas de interés, tipo de cambio estable, y un adecuado
nivel de reservas internacionales (como se puede observar en la tabla 1.1), dando como
resultado una atractiva alternativa de inversión emergente.
Tabla 1.1. México: Datos económicos históricos (2001-2003)
2001
2002
2003
PIB* -0.1 0.7 1.3
PIB (mdd)
623,913 648,592 626,138
Inflación1/ 4.40 5.7 3.98
IPC 2/
18 -14.8 31.7
CETES3/
11.31 7.09 6.23
Reservas internacionales (mmdd) 40.9 48.0 57.4
* Tasas de Crecimiento.
1/
Variación con respecto al mismo mes del año anterior.
2/
Rendimientos en dólares al cierre de cada año. 3/
Tasas anuales en porciento.
Fuente: Elaboración propia con datos del Banco de México.
3 Los intermediarios financieros actúan como mediadores entre los inversionistas y emisores, por ejemplo,
bancos, afianzadoras, aseguradoras, arrendadoras, administradores de fondos de inversión y casa de bolsa.
[6]
La política monetaria estuvo enfocada en mantener una inflación por debajo del 5 por
ciento, meta que se cumplió, pues en 2006 esta fue del 4.05, además, se buscaba tener altas
tasas de interés por encima de la inflación4 y de las observadas en Estados Unidos para
atraer por esa vía capitales al país (aumento de la oferta de dólares), lo cual tiende a
sobrevaluar el peso en el marco de una política de tipo de cambio de libre flotación. En
2007 el mercado de créditos hipotecarios de Estados Unidos presentó una serie de
dificultades que generaron una severa crisis en el sistema financiero internacional, el
detonador principal fue el alto índice de morosidad de los créditos hipotecarios de menor
calidad (subprime), en especial de las sujetas a tasas de interés ajustables.
Dando como resultado un mercado de hipotecas de alto riesgo, llevando a que la
economía internacional entre 2007 y 2008 se viera afectada por una turbulencia financiera,
que la deterioró significativamente. En septiembre de 20085 con el agravamiento de la crisis
se incrementó la aversión al riesgo por parte de inversionistas y acreedores de países
desarrollados, teniendo como consecuencia un efecto adverso sobre el tipo de cambio, las
tasas de interés, los índices de las bolsas de valores de algunas economías emergentes, así
como pérdidas significativas en varias instituciones financieras internacionales, se
encareció el crédito y motivó la reversión a la baja de las expectativas de crecimiento
económico para un número importante de países. La intensificación de dicha aversión al
riesgo propició un deterioro en el mercado mexicano.
A finales del 2008 las tasas de interés de largo plazo presentaron un incremento
considerable tanto en su nivel como en su volatilidad, ya que también hubo un incremento
en la aversión al riesgo que dio lugar a que muchos inversionistas liquidaran posiciones en
mercados emergentes, este proceso contribuyó, a su vez, a retroalimentar la volatilidad en
dichos mercados. Tratando de evitar el riesgo de perder su capital los inversionistas
tomaron dos decisiones por un lado adquirieron papel gubernamental de corto plazo
provocando con ello una caída de las tasas, y por otro vendieron sus bonos de largo plazo
haciendo que las tasas de largo aumentaran y permanecieran a ese nivel hasta finales del
año donde se revirtió parte del incremento que habían presentado, como se puede observar
en la gráfica siguiente:
4 Permite que los inversionistas nacionales y extranjeros perciban la estabilidad monetaria y de rentabilidad
que ofrece el país. 5 Tras la quiebra de Lehman Brothers y por la incertidumbre derivada de la falta de claridad inicial respecto
al uso de los recursos de emergencia aprobados para apoyar al sistema financiero estadounidense.
[7]
Gráfica 1.1. México: Monto asignado de bonos (2003-2013)
Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico
Los primeros meses del 2009 se caracterizaron por un ambiente de elevada aversión
al riesgo en los mercados internacionales, por lo que las tasa de interés de corto y mediano
plazo se vieron afectadas negativamente por factores como: la percepción de mayor riesgo
en la economía mexicana asociada con las deudas sobre la capacidad del país para financiar
el incremento en el déficit de cuenta corriente; la volatilidad en el mercado cambiario, así
como la incertidumbre sobre los posibles efectos de la depreciación del tipo de cambio
sobre la inflación; el fuerte deterioro de la actividad económica, y la percepción de un
debilitamiento estructural de las finanzas públicas, principalmente en lo referente a la
reducción esperada de los ingresos petroleros en los siguientes años.
La política monetaria de Banxico en el 2010 permitió que no obstante, de la
volatilidad presentada en los mercados internacionales derivada de la incertidumbre sobre
la situación fiscal de algunas economías de la zona del euro, la tasa de referencia fuera de
4.5 por ciento. El diferencial entre la tasa de interés de México y Estados Unidos fue uno de
los factores que contribuyó al aumento en los flujos de capital hacia México, estas entradas
de capital favorecieron la apreciación del tipo de cambio, la disminución de las tasas de
interés de largo plazo y en general, el aumento en el precio de los activos durante el año. En
el 2011 hubo una mayor demanda de instrumentos de deuda del Gobierno mexicano,
derivada de un proceso de búsqueda de rendimientos entre los inversionistas
internacionales así como de la reducción de las tasas de largo plazo de Estados Unidos a
raíz del debilitamiento en el ritmo de actividad económica.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
CETES28 Bonos 10 a
[8]
El comportamiento de las tasas de interés de corto plazo durante el 2012, se
mantuvieron en niveles inferiores o cercanos a 4.5 por ciento. Por su parte las tasas de
interés de bonos gubernamentales de largo plazo principalmente de los bonos a 10 años
experimentaron una tendencia a la baja aun cuando en el segundo trimestre se observó un
incremento en la incertidumbre en los mercados financieros internacionales. El Gobierno
Federal continuó aplicando su programa de colocación de títulos de deuda flexible de
acuerdo a la demanda por parte de los inversionistas. La gráfica 1.2 muestra el monto de
colocación de bonos cupón cero por parte de Banxico.
Gráfica 1.2. México: Monto asignado de CETES a 28 días (2011-2012)
Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico
Como se puede observar en la gráfica anterior el monto asignado de CETES a 28 días
tuvo dos repuntes en 2012, el primero al inicio del año y el segundo en el tercer trimestre,
esto como resultado de una mayor demanda por parte de inversionistas externos que
entraron a aprovechar las oportunidades de arbitraje que se presentaron entre el mercado de
forwards6 y el mercado de dinero. Con frecuencia se suele dividir al mercado de deuda en
dos segmentos: el mercado de dinero y el mercado de bonos los cuales en los siguientes
apartados se detallaran.
6 Este tipo de mercado también es conocido como mercado de mostrador u Over The Counter, ya que, no es
necesario que exista un lugar físico para que se lleven a cabo las negociaciones entre las instituciones
financieras y algunos de sus clientes corporativos. Un forward es un contrato legal y vinculante en el cual
se comprometen dos partes, una de ellas a comprar y la otra a vender cierto producto especificado en
cantidad, calidad, precio y fecha de entrega previamente acordado y señalado en dicho contrato.
0
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
[9]
1.2.1 Mercado de dinero
El mercado monetario o de dinero es denominado así debido a que en él se concentran y
negocian títulos representados por las diversas formas que toma el dinero aparte de los
billetes, monedas y depósitos a la vista, es decir, M2, M3 y en algunos casos M4 que según
su naturaleza y plazo recibe el nombre de cuasidinero. Por otro lado, también concentra y
mueve la oferta monetaria la cual representa el ahorro interno del país, impulsa la
economía, porque es ahí donde se reúnen todos los recursos para inyectar fuerza a los
demás mercados. Es aquí donde se fijan las tasas de interés que sirven de referencia para el
endeudamiento de las empresas, familias y en general de todos los agentes económicos. El
mercado de dinero se encuentra en equilibrio cuando la demanda de dinero es igual a la
oferta Ms=Md, como se muestra en la figura siguiente:
Figura 1.3. Equilibrio en el mercado monetario
La curva de MD representa la demanda de dinero, la
curva MS la oferta de dinero, el mercado está en
equilibrio cuando la tasa de interés es re. Dado, el
supuesto de que existe una tendencia automática hacia
el equilibrio, un aumento de la renta hace que el tipo
de interés también aumente hasta r1. Por lo tanto, el
nuevo equilibrio se encuentra en E’.
Fuente: Dornbusch (2005).
El elemento principal dentro del mercado monetario es el dinero, y se define como
cualquier medio de intercambio comúnmente aceptado por la población para realizar sus
transacciones. Este activo cumple con tres características: medio de cambio, unidad de
cuenta y almacén de valor, para explicar de manera más clara dichas características se
presenta el siguiente ejemplo: suponga que un individuo posee acciones del Grupo Bimbo y
quiere comprar un automóvil; sin embargo, no es posible que el individuo vaya a la agencia
de automóviles y cambie directamente sus acciones por el automóvil, primero debe
venderlas para obtener dinero en efectivo y luego cambiar una parte por el automóvil, el
dinero en este ejemplo se utiliza como medio de cambio, dado que facilita los intercambios
directos de los bienes y servicios.
r
MD
re E
r1 E'
M
MS
[10]
Asimismo, en esta transacción el dinero fungió como intermediario, debido a que
para poder comprar el automóvil el individuo tuvo que vender las acciones, por ello se
puede decir que actúo como unidad de cuenta, pues tanto el precio de las acciones como del
automóvil se expresan en términos de pesos, es decir, el dinero funciona como un patrón
con el que se miden las transacciones. En este ejemplo el dinero también opera como
almacén de valor, ya que sí el individuo vende las acciones un día diferente al que compra
el automóvil el efectivo conserva su valor hasta el momento de la compra, en otras
palabras, se traslada el valor presente del dinero hacia el futuro, aunque imperfectamente ya
que, si los precios aumentan, el valor real del dinero disminuye.
Por otro lado, el uso del dinero por parte de los agentes económicos está relacionado
con la utilidad marginal que ofrece su tenencia, sí en el mercado existe incertidumbre,
permite por un lado cubrir los gastos que surgen inesperadamente y por otro, obtener
ganancias extraordinarias al invertir en el momento oportuno en otro tipo de activos.
Debido a ello las carteras7 de los agentes se encuentran compuestas por dinero y activos
financieros. Los activos financieros son instrumentos de captación de ahorro, es decir,
productos como: pagarés, letras, bonos, etc., que adquieren los inversionistas (activo o
derecho), y que emiten las unidades económicas con déficit (pasivo u obligación), con el
objetivo de financiar sus actividades.
Existen dos tipos de transferencias de activos financieros: la transferencia de bonos
que realizan los inversionistas y las empresas al emitir bonos estas últimas, y la
transferencia de riesgos que varían según el tipo de activo financiero. Sus características
que se resumen en la siguiente figura:
Figura 1.4. Características de los activos financieros
Activo financiero
Características
Liquidez
Capacidad del activo
financiero para
convertirse en efectivo a
corto plazo, sin que se
presenten pérdidas
significativas en el
capital.
Rentabilidad
Indemnización que
obtiene el adquiriente
del activo financiero
derivada del préstamo
temporal de un monto
de fondos.
Riesgo
Probabilidad o
posibilidad de que el
emisor del activo
financiero no sea capaz
de hacer frente a los
compromisos que
adquirio.
Fuente: Elaboración propia con información de Merton (2003).
7 El enfoque de cartera equilibrada parte de la formación de carteras diversificadas con bonos y dinero
simultáneamente, consiste en la introducción de consideraciones de riesgo en la determinación de la
demanda monetaria.
[11]
La característica de riesgo depende de dos factores: 1) solvencia del emisor, cuanto
mayor sea menor será el riesgo, y 2) garantías asociadas al activo financiero, el riesgo de
los activos financieros es reducido cuando hay otros activos que actúan como garantía.
Existe una relación directa entre la rentabilidad y el riesgo, dado que los activos que le
brindan al inversor mayor rendimiento, también lo exponen más al riesgo, los bonos que
ofrecen un mayor riesgo son más rentables, y menos líquidos. En resumen, los activos
financieros son utilizados por los individuos como depósitos de valor, porque de esa forma
transfieren el poder adquisitivo presente al futuro y aprovechan las ganancias que les ofrece
el mercado.
1.2.2 Mercado de bonos
Mercado financiero donde se compran y venden bonos, estos últimos se definen como
promesas de pago o títulos de crédito emitidos con el objetivo de adquirir deuda, en todos
los casos al importe se le suman intereses. La acumulación de riqueza de los individuos está
determinada por la relación entre los activos y pasivos que mantienen, por lo que una
adecuada administración de su portafolio de activos mejorará la situación de su capital e
incrementará su riqueza. De esta forma los individuos pueden tener sus activos líquidos en
forma de dinero o bonos, con un aumento en la tasa de interés el inversionista prefiere tener
más bonos y menos dinero; por el contrario, cuando la tasa de interés baja lo incita a reducir
activos en forma de bonos y tenerlos en dinero, esta es la llamada demanda especulativa de
dinero:
[1.1]
Donde I representa la preferencia por la liquidez, dado que la demanda especulativa de
dinero se reducirá cuando las tasas de interés suban. Los agentes ahorran con el fin de
acumular su riqueza, la riqueza global de una economía es la suma de todos los activos en
que los ahorros se transforman. Los activos considerados como riqueza se representan por
dinero (MS), los bonos emitidos por las empresas y gobierno (BS). La tarea de la riqueza
consiste en determinar la demanda de dinero (MD) real y la demanda de bonos (Bd) real que
los individuos desean tener en determinado momento:
[1.2]
La ecuación [1.2] muestra que el mercado de dinero y el de bonos se ajustan de manera
conjunta, ya que, sí se demanda más dinero, se venderán más bonos. Cuando los individuos
están satisfechos con la combinación de dinero y bonos que poseen se da el equilibrio, por
lo que no tienen deseo de modificar la composición de su portafolio:
[1.3]
[12]
Un exceso de oferta en el mercado de dinero es igual al de demanda, pero en el mercado de
bonos, haciendo que los dos mercados estén en equilibrio. Por ejemplo, cuando hay una
demanda excedente de dinero a la tasa r1, habrá una oferta excedente de bonos que empuja
su precio hacia abajo y eleva la tasa de interés. Como se puede observar en la figura 1.5,
cuando la tasa de interés es elevada, Ms > MD, el costo del dinero es alto y el precio de los
bonos bajo, por lo tanto, el saldo de dinero efectivo disminuye haciendo que aumente la
tenencia de activos financieros. La demanda de bonos aumenta con la compra de estos,
influyendo de dos maneras: 1) en el aumento de su precio, y 2) disminuyendo la tasa de
interés, haciendo que la demanda de dinero aumente hasta llegar al equilibrio.
Figura 1.5. Equilibrio del mercado de dinero y de bonos
Cuando hay una demanda excedente de dinero
como lo muestra el punto A, la oferta de bonos se
incrementara hasta llegar a BS1 (punto B),
empujando el precio de los bonos hacia abajo,
mientras la tasa de interés aumenta hasta r2 debido
a su relación inversa con el precio.
Fuente: Elaboración propia con información de Harris (1985).
1.3 Demanda de dinero
Es una demanda de saldos reales8 que depende del nivel de la renta real y del tipo de
interés. Los saldos en efectivo de los individuos pueden separarse en 2 grupos: saldo para
transacciones, que se conservan para efectuar las operaciones correspondientes a un nivel
dado de ingreso monetario; el otro es el saldo especulativo que se mantiene como un activo
o una inversión, únicamente se utiliza para la compra y la venta de bonos. La demanda de
saldos para transacciones depende del ingreso monetario, mientras que la de saldos
especulativos depende de la tasa de interés de los bonos (entre menor sea la tasa de interés
menos saldos especulativos se demandan).
8 Son saldos reales, dado que los individuos tienen dinero con el que pueden comprar, cuanto más elevado es
el nivel de precios, más altos deben ser los saldos nominales para que las personas puedan adquirir una
determinada cantidad de bienes, de esa forma si se duplica el nivel de precios, también lo deben hacer los
saldos nominales para que se compre la misma cantidad de bienes.
r
MD
r1 A
M
PB BD BS
BS1
r1
r2
QB
MS
B
[13]
Además, de que es una función inversa de la tasa de interés de los bonos, (r), la
demanda de saldos de transacciones no se relaciona con r, sólo depende del precio y del
ingreso. La demanda especulativa y la de transacciones no pueden separarse, sí la tasa de
interés de los bonos aumenta, los saldos para transacciones se reducen, ya que, los
individuos toman en cuenta el costo de oportunidad9 creciente de mantener saldos en
efectivo sin colocación. Con ello la función de demanda de dinero es:
[1.4]
A niveles muy altos de la tasa de interés, los saldos especulativos deben ajustarse hasta
algún mínimo irreductible, resultando una demanda de dinero mínima con tasa de interés
creciente. Cuando las tasas de interés caen aún más, la gente se vuelve indiferente entre
mantener dinero o bonos, por consiguiente la demanda de dinero puede tornarse fija.
Cuando el ingreso baja, hay un decremento en la demanda de dinero para transacciones.
Algunos de los tenedores actuales de dinero quieren meterlos en bonos que produzcan
intereses, en vista de sus menores requerimientos para transacciones. Este incremento de la
demanda en el mercado de bonos eleva su precio y baja la tasa de interés.
El propietario de bonos posee un rendimiento esperado del bono derivado del pago de
los intereses y de la ganancia que se obtiene si aumenta el precio del bono desde el
momento que lo compra hasta el momento en que lo vende. La razón entre el pago de
intereses (Y), y el precio del bono (Pb) es igual al rendimiento de mercado de los bonos,
dado que el pago de intereses es una cantidad fija determinada del valor nominal del bono,
su precio está dado por:
[1.5]
Donde
Pb : Precio del bono.
Y : Pago de intereses.
r : Tasa de interés.
La ganancia porcentual esperada de capital esta expresada por g= , en otras
palabras, es el aumento porcentual en el precio del bono a partir del precio de compra Pb,
hasta el precio esperado de venta Pbe. El rendimiento porcentual total de un bono es la suma
de la tasa de interés de mercado en el instante de la compra y las ganancias de capital:
[1.6]
9 Dado que los agentes económicos preferirán invertir en bonos y ganar un rendimiento a futuro en lugar de
utilizar su dinero en el presente.
[14]
Con un rendimiento positivo esperado de los bonos y con uno de cero para el caso del
dinero, se puede esperar que el propietario de activos ponga su riqueza líquida en forma de
bonos, si espera el caso contrario, entonces preferirá mantener su riqueza en efectivo. La
tasa esperada de interés re del inversionista, junto con la tasa de interés prevaleciente en el
mercado r, determinan el rendimiento porcentual esperado de los bonos. El nivel crítico de
la tasa r, que ofrezca un rendimiento neto de cero sobre bonos, es cuando r > re por lo que,
los inversionistas mantendrán toda su riqueza en bonos, y cuando r < re lo trasladarán a
dinero. En el siguiente apartado se describe la relación entre la tasa de interés y el precio de
los bonos.
1.4 Planteamientos teóricos sobre el precio del bono y la tasa de interés
El beneficio obtenido por el préstamo de dinero, es llamado tasa de interés, que aplicado al
mercado financiero envuelve dos conceptos importantes: plazo y capital, por tanto, queda
definida como el premio que compensa el costo de oportunidad de no canalizar los recursos
prestados a otras alternativas. Así pues, en el mercado financiero es el precio del dinero
tanto para las entidades bancarias como para el público en general. Representa un balance
entre el riesgo y la posible ganancia al utilizar una cantidad dada de dinero, en un momento
determinado. Además, ejerce un papel de gran importancia tanto en la economía monetaria
como en la financiera, dado que las fuentes principales para obtener fondos prestables son
el ahorro y el incremento en la oferta monetaria; la tasa de interés es quien regula este flujo
(entre ahorradores y deudores).
La tasa de interés ha sido estudiada por diversos autores desde 4,000 años atrás,
donde era conocida como usura. Sus primeros registros se encuentran en los manuscritos
religiosos Indios (2,000-1,400 A.C.) en los cuales se asumía al usurero como cualquier
prestamista a interés. Desde entonces, ha sido objeto de discusión, ya que algunos autores
la defienden mientras que otros la condenan. Debido a la naturaleza y objetivo de la
investigación únicamente se expondrán las ideas de John Maynard Keynes, dado que son
las que mejor se ajustan. Keynes (1936), supone que existe un mercado de dinero, donde el
precio expresado en términos de bonos es la tasa de interés de dichos bonos.
En su obra Teoría general de la ocupación, el interés y el dinero, define a la tasa de
interés como el precio de equilibrio entre la cantidad de riqueza disponible y su deseo de
conservarla en efectivo, además afirma que está regida por la presencia de la liquidez y la
cantidad de dinero en manos de los agentes, medida en salarios. Según este autor, existe
una tasa neutral de interés, la cual se encuentra en equilibrio cuando la producción y la
ocupación están en un nivel tal que la elasticidad de esta última como un todo es cero.
Asimismo, desarrolló la teoría de la demanda del dinero, en la que los individuos deciden
qué porción de riqueza mantendrán en forma de dinero, y cuál en forma de bonos.
[15]
Como ya se explicó anteriormente el dinero es cualquier cosa que se acepte como
pago de bienes y servicios, o como rembolso de deudas. Por su parte los bonos se pueden
definir como las deudas irredimibles del gobierno,10
el precio de los bonos puede variar de
acuerdo con la tasa de interés. De la teoría de la demanda de dinero surge la pregunta ¿Por
qué los individuos mantienen su dinero en forma líquida en lugar de mantenerlo en forma
de bonos para que les brinde un interés? Keynes contesta a esta interrogante asegurando
que la condición para que exista la preferencia por la liquidez del dinero es la incertidumbre
de las futuras tasas de interés. Por ejemplo:
n
rn
rnd
dd
1
1 [1.4]
Donde
rd1 : Valor en el año presente, diferida r años.
rn d : Será el valor en el año n, diferida r años.
De la ecuación anterior se deduce que la tasa a la cual puede convertirse cualquier deuda en
efectivo en n años es determinada por dos tasas de interés corrientes. Si la tasa de interés es
incierta, no se puede asegurar que rn d tenga que ser igual a n
rn
d
d
1
1 cuando llegue el
momento de convertir la deuda en efectivo.
Esta es la causa por la que surge la necesidad del dinero en efectivo antes de que
lleguen los n años, existe el riesgo de tener una pérdida al comprar una deuda a largo plazo
y convertirla después en efectivo, pero dicho riesgo se compensa con la expectativa de
ganancia que se cree obtener. La preferencia por la liquidez que une la cantidad de dinero
con la tasa de rendimiento está proporcionada por una curva suave, en la que la tasa de
interés desciende a medida que el dinero crece, esto se puede ver en la figura 1.6.
Figura 1.6. Curva de preferencia por la liquidez
Fuente: Elaboración propia con información de Keynes (1984).
10
Las deudas del gobierno son irredimibles ya que no tiene fecha de amortización ni de vencimiento.
r
r1 A
r2 B
M1 M2'
M
[16]
Existen dos causas que llevan del punto A al punto B: 1) a medida que baja la tasa de
interés caeteris paribus, la preferencia por la liquidez debida al motivo transacción
absorberá más dinero, esto se debe a que el ingreso nacional también baja, y 2) puede
aumentar la cantidad de efectivo que las personas desean conservar, debido a los diferentes
puntos de vista de cómo estará la tasa de interés en el futuro. Keynes, explica que la teoría
de la demanda de dinero está determinada por tres motivos: transacción, precaución y
especulativo,11
estos motivos se explicarán en base a las ideas expuestas por Keynes (1984)
y Harris (1985).
Motivo transacción. Saldo que los agentes guardan para comprar bienes y servicios
orientados a satisfacer sus necesidades, además, sostiene que la cantidad de dinero
disponible para este motivo depende de la cantidad de ingreso de los individuos y la
duración que existe entre su recepción y su desembolso. La fórmula para obtener el
promedio del saldo en efectivo que se guarda para transacciones si sus gastos son
constantes es la siguiente:
3652
1 YM
t
[1.5]
Donde
Y : Ingreso.
: Promedio de pago (días).
Motivo Especulativo. Dinero guardado para invertir cuando exista un aumento en la tasa
de interés de los bonos, este motivo está basado en el deseo de obtener beneficios
conociendo el futuro y no el comportamiento del mercado, pues si un individuo cree que la
tasa de interés se va a encontrar por encima de las supuestas por el mercado, preferirá
mantener efectivo. Pero si considera que la tasa de interés baja, optará por tener bonos, ya
que, una disminución en la tasa de interés involucra un aumento en el precio de los bonos,
sumando está ganancia al interés que recibe, obtendrá un beneficio conservando los bonos.
M2 es el dinero en efectivo para satisfacer el motivo especulación, comprando bonos
cuyo valor nominal es ⁄ , la tasa corriente de interés en el momento que se toma la
decisión de mantener el dinero líquido en forma de bonos es . Se espera una tasa de
interés al final del año re. La tasa especulativa de dinero depende de la relación entre la y
la ; por cada peso invertido en bonos, el individuo pretende ganar r1 intereses al año más
una ganancia de capital cuya magnitud depende de la relación antes mencionada. Está
ganancia se mide por:
11
Describe una economía en la cual intervienen tres agentes: familias, empresas y gobierno, los cuales
consumen o ahorran no sólo en relación con la tasa de interés, sino también con la evolución futura de sus
ingresos y los precios de los bienes, de esta forma se presenta una preferencia por la liquidez, dando lugar
a la introducción de dichos motivos.
[17]
GK = precio esperado del bono – precio actual del bono [1.6]
Expresado como una tasa de ganancia se obtiene:
[1.7]
Un individuo que compra bonos espera ganar (r1 + g) al final del año. Conservará su dinero
en forma de bonos cuando 01 gr , ya que mantendrá su dinero en forma líquida cuando
01 gr . La tasa crítica r**
es la tasa a la que la ganancia neta esperada es igual a cero,
esto es, r1 + g = 0, entonces el individuo tiene la perspectiva de obtener una ganancia de
capital, porque **
11 si 0 rrgr , si se encuentra en este valor, el individuo conservará
bonos, si se encuentra por debajo preferirá el dinero en efectivo.
Para ilustrar esto se expone el siguiente ejemplo: un individuo está decidiendo entre
mantener su dinero en forma líquida o comprar bonos, él sabe que el precio del bono en
marzo de 2012 es de $67.77 pesos con una tasa de interés de 4.33% y que para el final del
año la tasa será de 4.50%, aplicando la formula anterior de ganancia se obtiene que el
individuo espera ganar al final del año 0.56% y debido a que esta cifra es mayor a cero,
optara por tener su dinero en forma de bonos.
Motivo precaución. Dinero que se guarda por seguridad, es decir, la incertidumbre
acerca del futuro, dado que todos los individuos tienen el deseo de seguridad acerca del
equivalente de efectivo futuro de cierta proporción de recursos totales. Esta demanda
precautoria depende del interés. La demanda de dinero de Keynes está integrada por dos
partes: el motivo transacción y el motivo precaución:
rLYLMMM2121
[1.8]
Donde
M1: Dinero en efectivo para satisfacer el motivo transacción y precautorio.
M2 : Dinero en efectivo para satisfacer el motivo especulación.
L1 y L2 : Función de liquidez.
Y : Ingreso.
r : Tasa corriente de interés.
[18]
Keynes expresa que de la ecuación anterior existen tres situaciones por investigar:
1) Los cambios del monto en efectivo (M) están asociados directamente con los
efectuados en el ingreso: si hay un aumento en el ingreso (Y), M aumenta, por lo
que el motivo precaución y transacción (M1), no serán suficientes como para darle
salida a todo el dinero, con lo cual las personas buscaran invertir en valores,
haciendo que la tasa de interés baje, y el motivo especulativo (M2) aumente junto
con el ingreso, este último puede ser absorbido por M1 o M2.
Figura 1.7. Cambios del monto en efectivo
Fuente: Elaboración propia con información de Harris (1985).
2) La velocidad-ingreso del dinero (V), cuyo valor es constante, dependerá del carácter
de la organización bancaria e industrial, de los hábitos sociales, de la distribución
del ingreso y del costo de mantener el dinero efectivo ocioso. Sin embargo, en un
periodo corto se puede suponer que no habrá un cambio significativo en los factores
anteriores, por lo que, la velocidad-ingreso es casi constante.
11
MV
YYL [1.9]
Y
Y´
B
Y A
M1 M1' M1
r
r´
r a
M2 M2' M2
En el punto A, el motivo precaución y transacción
(M1), son iguales al ingreso (Y), con un aumento
en el ingreso, M1 no será suficiente como para
ocupar todo el dinero, por lo que las personas
buscan invertir en valores haciendo que la tasa de
interés baje al punto a, y el motivo especulativo M2
aumente junto con el ingreso. En el punto B el
ingreso es igual a M1 y M2.
[19]
3) Se mantiene dinero efectivo (M2), porque se prefiere la liquidez (L2) ante la
incertidumbre12
de la tasa de interés en el futuro. Cuando las personas tienen un
punto de vista general del nivel al que debe estar la tasa de interés para considerarla
como segura, esta tiende a bajar hasta llegar a ese nivel, aumentado con esto el
riesgo de la no liquidez, además, al disminuir la tasa de interés se reducen las
ganancias provenientes de la compra de bonos.
La demanda de dinero para realizar transacciones depende del ingreso monetario,
mientras que la demanda de saldos especulativos depende de la tasa de interés de los bonos;
si la tasa de interés es alta, la demanda de saldos especulativos es menor, porque el costo de
oportunidad de tener dinero es alto. La figura 1.8 muestra la función de demanda agregada
de dinero, combinada la demanda de saldos para los motivos transacción y especulación. La
demanda de saldos especulativos (Le) es una función inversa con respecto de la tasa de
interés, pues cuando las tasas de interés aumentan, la demanda de saldos especulativos
disminuye. La demanda de saldos de transición está representada por LT, es una línea
vertical, porque depende del ingreso y de los precios.
Figura 1.8. Demanda agregada de dinero
Fuente: Harris (1985)
La demanda total de los saldos monetarios (MD) se obtiene sumando LT + Le y es
igual a la curva de la preferencia por la liquidez. Cuando aumenta la demanda de saldo del
motivo transacción LT se desplazará a la derecha hasta llegar a LT’, de esta forma se
obtendría una nueva curva de preferencia por la liquidez, sumando LT’ + Le, representada
por MD. Así que, la curva de preferencia por la liquidez depende del precio y de los
ingresos de los individuos.
12
Los agentes prefieren tener el dinero en sus manos, porque tienen la inseguridad de que las tasas de interés
bajen haciendo que al mismo tiempo lo hagan sus ganancias.
r
LT LT´ MD
MD´
Le
M
[20]
Figura 1.9. Mercado de dinero
Fuente: Harris (1985).
En la figura 1.9 la curva de demanda de dinero (MD) se deriva de la figura 1.8. La
oferta de dinero está representada por OD. El mercado de dinero se encuentra en equilibrio
cuando la oferta y la demanda de dinero para el motivo especulación son iguales, la tasa de
interés es r. Cuando los ingresos y los precios aumentan, la demanda de dinero se desplaza
a la derecha hasta llegar a MD’, con lo cual si se quiere tener un nuevo equilibrio la tasa de
interés debe aumentar hasta llegar a r’. De lo anterior se deduce que un desequilibrio en el
mercado de dinero afecta a la tasa de interés de los bonos. Se supone que existe una
tendencia automática hacia el equilibrio, pues todo exceso de oferta en el mercado de
dinero es igual al exceso de demanda en el mercado de bonos. Depende de las preferencias
de cada inversionista va a elegir entre tener dinero o bonos, en caso de que decida invertir
en los últimos, puede elegir entre una amplia gama de estos como se podrá apreciar en el
siguiente apartado.
1.5 Clasificación de los bonos
En el mercado de deuda mexicano se negocian una gran variedad de bonos los cuales se
pueden clasificar de acuerdo a su forma de colocación, cotización y riesgo emisor como lo
muestra la siguiente figura:
r
MD
r'
r
MD´ M
OD
[21]
Figura 1.10. Clasificación de los bonos
Por su forma de
cotización
Instrumentos que
cotizan a descuento
Su precio de compra está determinado a partir de una
tasa de descuento que se aplica a su valor nominal.
Instrumentos que
cotizan en precio
Su precio de compra puede estar por arriba o bajo par
del valor nominal.
BonosPor su forma de
colocación
Oferta pública de
valores
Oferta de valores a través de los medios de
comunicación al público.
Subasta de valores Venta de títulos al mejor postor.
Colocación privadaOferta de valores dirigida a una persona determinada,
a través de medios no masivos.
Por su grado de
riesgo
GubernamentalesInstrumentos que tienen la garantía del gobierno
federal.
BancariosEste tipo de valores cuentan con la garantía de las
entidades financieras.
Comerciales o
privadosCuentan con el respaldo de la empresa emisora.
Fuente: Elaboración propia con datos de BBVA Bancomer
El Gobierno Federal y sus organismos, el Gobierno local, los municipios y/o las
empresas tienen la facultad de emitir bonos con vencimientos de corto, mediano y largo
plazo, pudiendo existir bonos con plazos de vencimiento muy largos, por ejemplo, los
bonos gubernamentales a 10 años o más, dependiendo de las necesidades y preferencias de
cada inversionista, seleccionará aquel bono que más se ajuste pudiendo ser gubernamental
o empresarial, a continuación se muestra los bonos que cada dependencia gubernamental o
empresa emite:
Figura 1.11. Bonos emitidos por el Gobierno y las empresas
Gobierno Federal
Empresas paraestatales e instituciones
públicas
Certificados de la Tesorería (cetes).
Bonos de Desarrollo (Bondes).
Bonos denominados en UDIs (Udibonos).
Bonos IPAB (BPA y BPAT Y BPA182).
Bonos de Regulación Monetaria (BREM)
Instituto para la protección al Ahorro
Bancario
Banco de México
Certificados bursátiles y bonos.
Aceptaciones bancarias.
Certificados de depósitos.
Bonos bancarios.
Certificados bursátiles.
Obligaciones bancarias y pagarés.
Banca comercial
Papel comercial.
Obligaciones privadas.
Certificados de participación ordinaria.
Pagarés.
Certificados bursátiles.
Certificados bursátiles.
Empresas privadas
Gobiernos Estatales y Municipales
Fuente: Elaboración propia con información de Banco de México
[22]
En esta investigación únicamente se estudiaran los Certificados de Tesorería
(CETES) los cuales son títulos de crédito al portador emitidos por el Gobierno Federal13
con la consigna de pagar al tenedor un valor nominal de $10.00 pesos a su vencimiento. A
continuación se describen este tipo de bonos.
1.5.1 Bonos cupón cero
Los instrumentos que cotizan a descuento también son denominados bonos cupón cero,
dado que la cantidad que se paga al adquirirlos es menor que la cantidad que se recibe al
vencimiento del contrato, de tal forma que no devengan intereses, además, pagan una tasa
de rendimiento que equivale a la diferencia entre el valor nominal y el precio a descuento.
Se dice que los CETES son bonos cupón cero, debido a que realizan una sola amortización,
es decir, el Gobierno Federal reembolsa el adeudo en una sola exhibición al final del plazo
preestablecido, a través de este instrumento se captan recursos de personas físicas y
morales. Sus características se resumen en la siguiente tabla:
Tabla 1.2. Características de los CETES
Característica Descripción
Valor nominal
$10.00 pesos.
Plazo
Se emiten y colocan a
plazos de 28, 91, 182 y
364 días.14
Tasa de interés
Debido a que son bonos
cupón cero no devengan
intereses.
Garantía
Respaldados por el
Gobierno Federal.
Colocación primaria
A través de subastas
realizadas por el Banco de
México.
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
13
Esta emisión es realizado por la Tesorería de la Federación (TESOFE) y la coloca en el mercado el Banco
de México. 14
Este tipo de valores se han llegado a emitir con un plazo mínimo de 7 días y hasta un máximo de 728 días,
esto debido a que el Gobierno Federal ha buscado incrementar la liquidez de los CETES a través de la
reducción del número de emisiones a la vez que incrementa el valor de las mismas.
[23]
1.5.1.1 Valuación de bonos cupón cero
El precio de este tipo de bonos se expresa como una función del valor nominal, el
rendimiento sobre el valor y el tiempo hasta que venza, de acuerdo con Venegas (2006), el
precio, al tiempo t, de un bono cupón cero que paga una unidad monetaria al vencimiento
T, será denotado por . El rendimiento al vencimiento , por unidad de tiempo:
[1.10]
Equivalentemente
[1.11]
En el último caso, puede verse como la tasa (anualizada) de interés de plazo
asociada a . La diferencia en [1.11], se interpreta como la proporción de año a
la que se aplica la tasa anualizada esta tasa actúa como una tasa de interés simple en
el cálculo del valor presente de una unidad monetaria disponible hasta T. Sí se supone que
el emisor cumplirá sus obligaciones y el tenedor del bono lo mantiene hasta la fecha de
vencimiento, entonces puede verse como una tasa de plazo anualizada y libre
de riesgo de incumplimiento y de mercado.
Sin embargo, sí el tenedor del bono tiene necesidad de liquidez puede recurrir al
mercado para venderlo en una fecha , entonces quedará expuesto al riesgo de
mercado.15
Cuando muchos tenedores de títulos de deuda comparten la necesidad de
liquidez y quieren vender su bono, en el tiempo , antes del vencimiento T, entonces el
precio , disminuirá, dado que existe un exceso de oferta, por lo que, la tasa, ,
aumentará, pues:
15 El riesgo financiero se define como la probabilidad de que ocurra un evento adverso y tenga consecuencias
negativas para los participantes del mercado financiero, se encuentra dividido los siguientes riesgos:
1) Cuantificable. Es posible medir las pérdidas potenciales.
a) Discrecional. Resultado de tomar una posición de riesgo.
Riesgo crédito. Las contrapartes están poco dispuestas o imposibilitadas para cumplir sus
obligaciones.
Riesgo liquidez. Incapacidad de renovar o conseguir los flujos de efectivo necesarios.
Riesgo mercado. Cambios en los precios de los activos y pasivos financieros.
- Riesgo tasa de interés. Movimientos adversos en la tasa de interés.
- Riesgo tipo de cambio. Movimientos adversos en el tipo de cambio.
b) No discrecional. Resultado de la operación de un negocio.
Riesgo operacional. Uso de sistemas inadecuados, fallas administrativas o error humano.
- Riesgo tecnológico. Daño, alteraciones o fallas por uso de hardware, software, etcétera.
- Riesgo legal. Una contraparte no tiene autoridad legal para realizar una transacción.
2) No cuantificable. Eventos imprevistos que no se pueden medir estadísticamente.
[24]
(
)
[1.12]
A la inversa, cuando pocos tenedores de bonos requieren de liquidez y quieren mantener
sus bonos hasta el vencimiento, entonces el precio, , aumentará y la tasa, , disminuirá. Antes de invertir en bonos cupón cero es necesario conocer tanto sus ventajas
como sus desventajas.
1.5.1.2 Ventajas y desventajas de invertir en bonos cupón cero
Entre las ventajas que se pueden mencionar al invertir en bonos cupón cero son las
siguientes:
1) Son los valores más líquidos del mercado;
2) Sí los inversionistas requieren de su dinero no necesitan esperar a que se venzan
para recuperar su capital, ya que, pueden venderlos a terceras personas a través de
un mercado secundario16
como lo es la Bolsa de Valores;
3) Se puede elegir el plazo de vencimiento, y
4) Tienen un riesgo de incumplimiento nulo.
A pesar de que este tipo de bonos presentan más ventajas que limitaciones a
continuación se presentan estas últimas:
1) El tenedor del bono puede estar sujeto a riesgo de mercado, sí desea venderlo antes
de su vencimiento, ya que, existe la probabilidad de que su precio a descuento haya
cambiado y los venda a un menor precio del que los compró.
2) Cuando se invierte en bonos de un solo tipo es posible que se incremente el riesgo
de la inversión.
Una vez que los inversionistas conocen las ventajas y desventajas de invertir en bonos
cupón cero deben formularse una pregunta crucial antes de realizar su inversión ¿Cuáles
son las características apropiadas de vencimiento de los bonos que se deben mantener? Para
responder esta pregunta se cuenta con la estructura a plazos de la tasa de interés, la cual
muestra la relación entre el vencimiento de un bono y su rendimiento.
16
Dentro del mercado financiero existe una clasificación del mercado: primario y secundario, en el primero
las empresas emiten los bonos de nueva creación para financiar sus proyectos, en el secundario se realizan
transacciones con esos mismos bonos, es decir, sólo cambian de poseedor.
[25]
CAPÍTULO 2. MODELO DE TASA CORTA DE VASICEK
La estimación e interpretación de la estructura a plazos de la tasa de interés o curva de
rendimiento en las últimas décadas ha sido de gran interés para los financieros debido a que
a través de ella se puede capturar la dinámica de la tasa de interés, además de que brinda la
posibilidad de valorar instrumentos financieros (sensibles a los cambios en la tasa libre de
riesgo de incumplimiento) así como de diseñar estrategias de cobertura de riesgo eficientes.
Matemáticamente, la curva de rendimiento se puede utilizar para medir las expectativas del
mercado acerca de las tasas de interés en una fecha futura tomando en consideración las
actuales. No existe una curva de rendimiento que describa el costo del dinero para todos los
bonos, pues están influenciadas por su oferta y demanda.
Los agentes económicos buscan pronosticar la curva de rendimientos con el objetivo
de anticiparse al mercado y con ello obtener mayores beneficios al realizar una inversión,
es por ello que se han propuesto tres teorías para explica esta estructura, así como, diversos
modelos para su cálculo; entre que se pueden mencionar Vasicek (1977), CIR (1985), Hull
y White (1990). El trabajo propuesto por Vasicek17
el cuál es un modelo estocástico
denominado de un factor de riesgo, en el que se deriva una ecuación diferencial parcial para
la valuación de un bono cupón cero, bajo el supuesto que el mercado es eficiente y no
existe oportunidad de arbitraje. En la presente investigación se estudia dicho modelo, dado
que, a pesar de ser sencillo y de fácil estimación ha demostrado ser eficiente para describir
el comportamiento de una tasa corta18
con reversión a la media.
La hipótesis de reversión a la media implica que bajo condiciones normales existe un
nivel medio al cual la tasa de interés retorna en el corto plazo, esto es sostenido tanto por
las propias leyes del mercado como por las autoridades del mismo, ya que adoptan diversas
medidas con la finalidad de mantener un mercado estable; sin embargo, como se mencionó
en el capítulo 1 en los últimos años debido a las diferentes crisis presentadas se ha
observado una gran volatilidad en la tasa de interés, aunque dicha volatilidad puede ser
atribuida a diversos factores que determinan el nivel de la tasa de interés. Esto ha
conducido a la necesidad de que los modelos sean reformulados con la finalidad de
considerar la aleatoriedad. En este capítulo se describe la estructura a plazos de la tasa de
interés prestando mayor atención a la teoría por la preferencia por la liquidez, debido a que
conlleva un factor especulativo que depende del nivel de la tasa de interés, asimismo se
desarrollará el modelo Vasicek y se finaliza con las principales variables que afectan el
nivel de las tasas de interés.
17
En la última sección de su artículo desarrolló un ejemplo específico de cómo se obtiene el precio de un
bono cupón cero mediante el uso de ecuaciones diferenciales parciales, asombrosamente el nombre de
Vasicek se ha asociado más con dicho ejemplo que con toda la teoría formulada en su trabajo. 18
Se le llama tasa corta a la tasa instantánea o tasa spot, que está asociada a un bono cupón cero.
[26]
2.1 Estructura a plazos de la tasa de interés
Las variaciones en la tasa de rendimiento están influidas por el riesgo, la liquidez, las
consideraciones fiscales y el plazo de vencimiento; no obstante, aunque los bonos sean
idénticos en los primeros tres factores, pueden tener distintas tasas, sí el plazo de
vencimiento19
es diferente. La representación gráfica de los rendimientos sobre los bonos
con diferentes plazos al vencimiento de la deuda de un prestatario dado en una determinada
moneda, pero con el mismo riesgo, liquidez y consideraciones fiscales se llama curva de
rendimiento y describe la estructura de plazos de la tasa de interés de los bonos. Las curvas
de rendimiento son utilizadas por los analistas de bonos de valores relacionados con renta
fija, para entender las condiciones en los mercados financieros y buscar oportunidades. La
figura 2.1 muestra las diferentes curvas de rendimiento que existen.
Figura 2.1. Tipo de curvas de rendimiento
Fuente: Fabozzi (2000).
Las curvas de rendimiento normales figura a) se presentan cuando la tasa de interés a
largo plazo es mayor que la de corto; cuando las tasas de corto y largo plazo son idénticas
se trata de una curva de rendimientos plana como lo muestra la figura b), finalmente en la
figura c) se puede ver la curva de rendimiento invertida, donde los rendimientos a largo
plazo son menores en comparación a los de corto plazo. Hay dos explicaciones para que la
curva de rendimiento tenga pendiente positiva:
19
La característica que varía entre los bonos es el plazo de vencimiento, es decir, el tiempo que debe
transcurrir entre la fecha inicial y el momento en el que el comprador de un bono puede esperar su pago.
b) Curva de Rendimiento Plana
c) Curva de Rendimiento Invertida
a) Curva de Rendimiento Normal
[27]
1. El mercado está anticipando un aumento de la tasa libre de riesgo, de forma que los
inversionistas obtendrán una mejor tarifa que en el futuro, aunque las tasas pueden
caer del mismo modo que suben, y
2. Plazos más largos implican mayores riesgos para el inversionista, por lo cual es
necesario que la prima de riesgo sea más alta, ya que ante una mayor duración, hay
más incertidumbre y probabilidad de eventos catastróficos que afecten la inversión.
La curva de rendimiento normal se da generalmente cuando las tasas de rendimiento
son bajas y la política monetaria es expansiva, ello significa que los rendimientos aumentan
a medida que se alarga la madurez. La forma de la curva puede deberse al hecho de que los
inversionistas no están seguros de los movimientos futuros de dichas tasas y desean ser
compensados por la mayor incertidumbre implícita en las inversiones con vencimiento a
mayor plazo, así como por la renuncia de su consumo presente, la pendiente positiva refleja
las expectativas de que crezca la economía en el futuro.
Sin embargo, los inversionistas creen que la economía será estable, es decir, seguirá
creciendo a un ritmo normal y no habrá cambios significativos en la tasa de inflación, este
crecimiento se asocia con una mayor expectativa de que en el futuro esta aumentará en
lugar de reducir, por lo cual, el Banco Central para frenar la presión inflacionaria adoptará
una política monetaria que eleve las tasas de interés a corto plazo. En cambio las curvas de
rendimiento planas se producen cuando el mercado envía señales contradictorias a los
inversionistas, ya que estos últimos pueden interpretar los movimientos de las tasas de
interés de diversas formas. Dichas curvas indican que los rendimientos de los bonos son los
mismos, independientemente del plazo de vencimiento.
Por otro lado, durante periodos de expansión económica se observan curvas de
rendimiento invertidas, ya que, los inversionistas esperan que los bonos a corto plazo
ofrezcan rendimientos más altos que los de largo. Existe una relación inversa entre la tasa
de interés y el precio de los bonos, es decir, conforme aumenta el rendimiento al
vencimiento, el precio del bono disminuye y conforme el precio de los bonos aumenta, el
rendimiento al vencimiento decae. En resumen, los cambios en la curva de rendimiento se
basan en la prima de riesgo de bonos y las expectativas de las tasas de interés futuras. Si la
curva de rendimientos se aplana, es a consecuencia de la extensión entre el rendimiento a
largo plazo y las tasas de interés a corto, cambiando el precio del bono.
Si la curva de rendimientos se agudiza, significa que la tasa de interés a corto plazo
aumentó, por lo tanto, el precio de los bonos a largo plazo disminuirá. No obstante, las
curvas de rendimiento llegan a tener formas más complicadas en las que descienden y
ascienden en periodos muy breves. Se han propuesto tres teorías para explicar la estructura
temporal de las tasas de interés: teoría de las expectativas, teoría de los mercados
segmentados, y teoría de la preferencia por la liquidez, mismas que a continuación se
explicarán.
[28]
2.1.1 Teoría de las expectativas
La teoría de las expectativas20
relaciona al precio del dinero de cualquier bono con las tasas
de corto plazo que se esperan en el futuro. Propone que la estructura de plazos está
determinada por las expectativas que tienen los inversionistas de que la tasa de interés sobre
un bono a largo plazo, llegada la fecha de vencimiento, será igual al promedio de las tasas a
corto plazo. Cuando la curva de rendimiento tiene una pendiente ascendente, esta teoría
espera que las tasas de interés a corto plazo aumenten en el futuro. Asimismo, explica que
las tasas de rendimiento sobre bonos, cuyos vencimientos son diferentes, se desplazan
juntas en el tiempo, debido a que históricamente, si las tasas de interés a corto plazo
presentan una tendencia a la alza en el presente, en el futuro también lo harán.
Por lo que, un incremento de éstas alimenta la expectativa de los inversionistas de que
seguirán aumentando, como las tasas de interés a largo plazo son el promedio de ellas si
aumentan, las de largo plazo también lo harán, provocando que se muevan juntas. Este
modelo se basa en el supuesto de que los bonos con diferentes vencimientos son sustitutos
perfectos entre sí. Los inversionistas se muestran indiferentes con la tenencia de un bono a
corto o a largo plazo, siempre y cuando el rendimiento sea igual en ambos casos, pero si
estos difieren, los individuos tratarán instantáneamente de transportar todos sus activos a la
alternativa más rentable.
2.1.2 Teoría de los mercados segmentados
La teoría de los mercados segmentados examina los mercados para bonos de diferentes
vencimientos de forma separada y segmentada. Esta idea fue propuesta por Culbertson
(1957,1965) y por Conard (1959), quienes afirman que el mercado de bonos se encuentra
dividido en mercados de bonos con diferentes vencimientos. La tasa de interés de dichos
bonos se determina por su oferta y su demanda, sin tomar en cuenta los rendimientos
esperados de bonos con otros vencimientos. La relación general entre las tasas de interés
vigentes en cada segmento determina la pendiente de la curva de rendimiento. En esta
teoría, los bonos no son sustitutos perfectos entre sí, dado que involucran riesgos sobre
ganancias o pérdidas de capital.
20
Aparece por primera vez en los trabajos de Irving Fisher (1896), donde afirma que una economía progresa
cuando la tasa de interés cambia de periodo en periodo, más tarde en 1940, Friedrich A. Lutz profundizó
más en el tema hasta presentar de manera formal la teoría de las expectativas.
[29]
Además de que los inversionistas sólo preferirán bonos con un tipo de vencimiento y no
aceptarán otro, pues se interesan por los rendimientos que le ofrece, debido a que satisface
sus necesidades proyectadas en efectivo. Por lo tanto, las expectativas de las tasas a corto
plazo no influyen en la determinación de las tasas de largo plazo. De acuerdo con esta
teoría la elección del plazo de vencimiento está relacionado con las necesidades de los
inversores, más que por las expectativas acerca del futuro de las tasas de interés, ya que, en
diversas ocasiones, prefieren plazos cortos debido a que tienen una menor cantidad de
riesgo de la tasa de interés.
2.1.3 Teoría de la preferencia por la liquidez
Los supuestos de las actividades respecto del riesgo de las dos teorías anteriores son
modelos que tienden al extremo, dado que la teoría de las expectativas supone que la
incertidumbre está ausente en los individuos o que son neutrales al riesgo, y únicamente se
interesan por maximizar su rendimiento. Por su parte la teoría de segmentación supone que
existe incertidumbre en relación con las tasas de interés futuras, además los individuos
presentan aversión al riesgo, por lo que intentan reducirlo a cero. La razón para que los
agentes tengan preferencia por la liquidez ha sido explicada por diferentes autores, siendo
el más sobresaliente John Keynes, quien definió a está como una función entre la liquidez
que desean mantener los individuos en sus manos y la tasa de interés.21
De tal forma que:
[2.1]
Donde
M : Cantidad de dinero.
L : Función de preferencia por la liquidez.
r : Tasa de interés.
Figura 2.2. Preferencia por la liquidez
En el punto A la tasa de interés es alta
por lo que los inversionistas
preferirán mantener su dinero en
forma de bonos, en cambio, si la
tasa de interés es baja preferirán
mantener su dinero en efectivo,
como lo muestra el punto B.
Fuente: Elaboración propia con información de Keynes (1984).
21
Será aquella que influye en la decisión de los individuos a mantener saldos en efectivo o en inversiones, es
decir, dependiendo de la ganancia que reditúen los activos financieros, los inversionistas invertirán o
mantendrán dinero en efectivo.
r
A
B
M
[30]
Aquí se retoma el motivo especulación expuesto por Keynes, debido a que depende
de las tasas de interés, toda vez que por él los individuos decidirán qué cantidad de dinero
retendrán. Los inversionistas necesitan un incentivo para renunciar a su liquidez monetaria.
La preferencia por la liquidez conlleva un factor especulativo, que depende del nivel de la
tasa de interés, este factor se hace presente cuando se prefiere hacer líquidos los bienes
físicos para aprovechar la tasa de interés22
de los títulos valor que prevalecen en los
mercados financieros. Hicks (1939), al igual que Keynes asume la existencia de un premio
de liquidez o premio de riesgo en cada tasa de interés para demostrar el riesgo en los bonos
con diferentes vencimientos. El premio de la liquidez aumenta con la duración del bono.
Por otro lado, Tobin (1958), establece un modelo en el cual señala que los agentes
mantienen dinero efectivo cuando esperan que el precio de los bonos baje,
considerando que por lo tanto, tendrá una pérdida si conserva bonos. Sí el
rendimiento de los bonos es incierto, el inversionista que esté preocupado: por el
riesgo y el rendimiento, tomará la mejor decisión si conserva una parte de su capital
en bonos y otra en dinero.23
La teoría de la preferencia por la liquidez24
argumenta
que la tasa de interés a largo plazo es igual al promedio de las tasas de interés a corto
que se espera ocurran durante el periodo de vencimiento a largo plazo, su diferencia
es la prima que deben recibir los inversionistas por asumir el riesgo de que
desciendan los precios de los bonos en un plazo más largo.
Dado que los inversionistas no son neutrales ante el riesgo, los bonos a corto y largo
plazo no son considerados como sustitutos prefectos. La teoría de la preferencia por la
liquidez se describe como:
[2.2]
Donde
lnt : Prima de liquidez para el bono.
n : Número de periodos.
t : Periodo.25
it : Tasa de interés al día de hoy (periodo t) sobre un bono de un periodo.
iet+1 : Tasa de interés sobre un bono esperado para el siguiente periodo (t+1).
22
Si las tasas de interés aumentan, las personas estarán incentivadas a mantener su dinero en inversiones
porque el costo de oportunidad aumenta. 23
Tobin desarrolló “La teoría de la formación de carteras y del equilibrio en el mercado de capitales”.
Llegando a la conclusión de que la teoría a la aversión al riesgo explica la preferencia por la liquidez y la
relación decreciente entre la demanda de dinero y el tipo de interés. 24
Otra teoría relacionada es la del hábitat preferido, supone que los inversionistas tienen cierta preferencia
por los bonos de un vencimiento sobre los de otro, en los cuales siempre preferirán invertir; no obstante,
estarán dispuestos a cambiarlos, si y sólo si, les brindan un rendimiento más alto. 25
Siempre es positivo y aumenta con el plazo de vencimiento del bono n.
[31]
Si el riesgo de pérdida de capital en los bonos tiende a incrementarse en proporción a sus
plazos, los inversionistas demandarán una compensación mayor por los bonos de largo
plazo que por los de corto. Los inversionistas prefieren prestar a corto plazo mientras que
los prestatarios prefieren pedir prestado a largo plazo. Para cualquier emisor, las tasas de
interés a largo plazo tienden a ser mayores que a corto plazo, porque los valores a largo
plazo tienen menor liquidez y son muy sensibles a los desplazamientos generales de las
tasas de interés. Por lo tanto, la curva de rendimiento tenderá a ser ascendente. La teoría de
la preferencia por la liquidez sostiene que los bonos a largo plazo brindan un interés mayor
que los de corto plazo por dos razones:
1. Debido a la incertidumbre que siempre se encuentra presente en el mercado
financiero, los inversionistas prefieren adquirir bonos de corto plazo, a fin de que en
un momento de peligro los puedan convertir en efectivo lo más rápido posible, por
lo que, aun cuando puedan recibir menos rendimientos por ellos seguirán
prefiriéndolos, y
2. Los prestatarios generalmente optan por deudas a largo plazo, ya que, este tipo de
deudas ayudan a la empresa si caen en peligro de rembolsar la deuda bajo
condiciones adversas.
Cuando se mantiene dinero en efectivo, es porque los inversionistas tienen la
expectativa o el temor de perder parte de su dinero que mantienen invertidos en otros
activos,26
es lo que Keynes llama los movimientos especulativos de los inversores. Existen
dos posibles fuentes por las que los inversionistas prefieren la liquidez: 1) la falta de
elasticidad de las expectativas de la tasa de interés futura, y 2) la incertidumbre del futuro
de las tasas de interés.
3.2.3.1 Falta de elasticidad de las expectativas de la tasa de interés
La explicación de la preferencia por la liquidez de Keynes fue criticada por Leontief y
Fellner, por su parte el primero argumentó que la preferencia por la liquidez en equilibrio
debe ser necesariamente cero sin tomar en cuenta el tipo de interés que prevalezca en ese
momento, no importa cuán bajo pueda estar un tipo de interés, puede ser aceptado como
normal si se mantiene por un periodo prolongado. Los bonos tienen previamente fijada la
tasa cupón, así que sus propietarios recibirán ganancias o pérdidas de capital según su
valor, el cual tiene una relación inversa con la tasa de interés, debido a ello, la inversión en
bonos no sería constante en W, sino que dependen de r, los saldos de inversión para toda la
economía seguirán una curva similar, en lugar de ser constante en la suma de las
inversiones en bonos, ∑W.
26
Los activos son compromisos de pago de cantidades declaradas en efectivo a fechas futuras, sin riesgo de
incumplimiento y tienen un rendimiento variable en el mercado, están sujetos a cambios en su valor real
debido a las fluctuaciones del nivel de precios.
[32]
La demanda de bonos a cualquier tasa de interés será descrita por la distancia entre la
tasa de interés y la demanda de efectivo, tal como se muestra en la siguiente figura:
Figura 2.3. Demanda de bonos y su relación con la tasa de interés
Los inversionistas pueden ganar o perder su
capital invertido en bonos, debido a que tienen
una relación inversa con la tasa de interés, con
lo cual las inversiones de la economía no son
constantes en ∑W, sino que dependen de la tasa
de interés, representada por la curva ABC,
LMBC es la demanda de efectivo, dando como
resultado que la demanda de bonos a cualquier
tasa de interés sea descrita por la distancia
existente entre LMBC y ABC. El valor de los
bonos tiende a infinito cuando la tasa de interés
tiende a cero, de esta forma la curva AC nunca
podrá alcanzar el eje horizontal. Fuente: Tobin (1958).
Según la teoría de la preferencia por la liquidez una curva como LMBC muestra las
condiciones en que el Banco Central puede participar en las Operaciones de Mercado
Abierto (OMA). La curva indica la cantidad que el Banco Central debe tener para mantener
la tasa de interés a un mismo nivel.
3.2.3.2 Incertidumbre del futuro de la tasa de interés
El que los individuos no estén seguros acerca del comportamiento futuro de la tasa de
interés, implica un riesgo de aumento o pérdida de capital, cuanto mayor sea la inversión en
activos, más riesgo corre. El inversor debe esperar un mayor rendimiento si asume más
riesgo. Una cartera se compone de una parte de dinero en efectivo y otra en activos27
por lo
tanto el rendimiento de la cartera es:
[2.3]
Dado que g es una variable aleatoria con valor esperado cero, el rendimiento esperado de la
cartera es:
[2.4]
El riesgo inherente de una cartera se mide por la desviación estándar de R.
27
Sólo el sistema bancario puede emitir dinero en efectivo y el gobierno los activos ya que son libres de
riesgo.
L A
Max reM
Min re N B
r C
∑W
[33]
Figura 2.4. Selección de portafolio a distintas tasas de interés
En el primer cuadrante de la figura, el eje
vertical representa el rendimiento esperado, en
el horizontal, riesgo. La recta 0C1 muestra el
hecho de que el inversor puede esperar un
mayor rendimiento si asume más riesgo. En el
cuarto cuadrante el eje vertical mide la
proporción invertida en bonos. La línea 0B
representa la relación entre el riesgo y la
inversión en bonos, es decir, el riesgo del saldo
total en bonos. Los inversores son indiferentes
entre todas las combinaciones de riesgo y
retorno esperado, que se encuentran en la curva
I1, aunque I2 es preferible por el riesgo
determinado (el inversor prefiere siempre una
mayor expectativa de retorno).
Fuente: Tobin (1958).
En los casos en que los inversores son apasionados del riesgo,28
las curvas de
indiferencia tienen pendiente negativa, esto debido a que están dispuestos a aceptar una
menor rentabilidad prevista con el fin de tener la oportunidad de obtener una elevada
ganancia de su capital, la decisión de no estar dispuestos a aceptar mayor riesgo si se espera
una ganancia menor, está representada por una curva de indiferencia con pendiente
positiva. OC1, OC2 y OC3 representan la oportunidad para que las tasas de interés sean cada
vez más elevadas, las curvas de indiferencia I1, I2 e I3, se grafican de modo que los puntos
de tangencia T1, T2 y T3 corresponden a las explotaciones de los bonos. Un aumento en la
tasa de interés es un incentivo para asumir mayores riesgos; sin embargo, también tiene un
efecto sobre el ingreso, debido a que da la oportunidad de disfrutar más seguridad a lo largo
de más rendimiento. Numerosos autores han propuesto modelos para calcular la estructura
a plazos de la tasa de interés como, por ejemplo, Merton (1970), CIR (1985), etcétera.
28
Debido a su carácter y psicología los inversionistas pueden tener atracción por los activos que tienen
mayor probabilidad de rendimiento, pero que como se ha visto anteriormente también tienen una
probabilidad de riesgo mayor.
C3
I3
T3I2 C2
C1
T2 I1
µRT1
1
σR σg
A2
A2 (r1) A1 (r1)
A2 (r2) A1 (r2)
A2(r3) A1
(r3)
A1
1 A2(r3,t) A1
(r3,t) 0
B1 B
0
[34]
2.2 Modelos estocásticos para valuar bonos cupón cero
En las últimas décadas se han venido desarrollando diversos modelos estocásticos basados
en la evolución de la tasa de interés corta,29
los cuales no sólo tienen la finalidad de obtener
un pronóstico preciso, sino que buscan explicar en términos estadísticos su comportamiento
en el mercado, por ejemplo, tendencia, reversión, sesgo, curtosis, colas pesadas, intervalos
de confianza, probabilidades de ocurrencia, precios promedio, etcétera. (Venegas 2006). A
continuación se presenta una tabla en la cual se resumen los principales modelos
desarrollados:
Tabla 2.1. Principales modelos de tasa corta
Modelo Parámetros Proceso
Modelo de tasa corta de Merton Robert C. Merton (1973) “Theory of rational option pricing”
Se calculan factores de descuento para valorar un
bono cupón cero con diferentes vencimientos, a
través de este modelo se introducen se manera
sencilla muchos de los conceptos fundamentales
para el estudio de la tasa de interés y la valuación de
bonos cupón cero.
α = 0 β = 0
son constantes
Modelo de tasa
corta de
Vasicek
Oldrich Alfons Vasicek (1977) “An equilibrium characterization of the term structure”
Enfoque de ecuaciones parciales diferenciales
El precio de los bonos cupón
cero se obtienen como solución
de una ecuación diferencial
parcial parabólica. Supone que
sí los mercados se encuentran en
equilibrio, entonces no existen
oportunidades de arbitraje,
además de que la tasa corta es
neutral al riesgo
α = 1 β = 0
son constantes
Enfoque probabilista
La valuación del precio de un
bono cupón cero se realiza con
base en las propiedades de la
distribución de la tasa corta
Modelo de tasa corta CIR
John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll y Jr., Stephen Ross (1985) “A theory of term structure of interest rate”
Las tasas siempre son positivas, el proceso de la
tasa corta deja de tener una distribución normal.
Conforme la tasa de interés corta aumenta, la
distribución estándar aumenta.
α = 1 β = 1/2
√
son constantes
29
También conocida como tasa de interés instantánea o spot, es una tasa del plazo más corto disponible en el
mercado asociada a un bono cupón cero.
[35]
Modelo de tasa corta de Ho y Lee: Calibración con una curva inicial de ceros
Thomas S. Y. Ho y Sang-Bin Lee (1986) “Term structure movements and pricing interest rate contingent
claims”
Desarrollado en tiempo discreto. Únicamente el
parámetro de volatilidad se estima con un registro
histórico de la tasa corta, al igual que los modelos
anteriores considera un solo factor de
incertidumbre. Este modelo fue el primero para
calibrar una estructura a plazos de una tasa de
interés con información actual del mercado.
α = 0 β = 0
es constante
Modelo de tasa corta de Hull y White: Calibración con una curva inicial de ceros
John C. Hull y Alan White (1990) “Pricing interest rate derivate securities”
Utilizando observaciones de mercado
(específicamente precios de bono) valora la
estructura de plazos con una curva inicial de ceros.
Extiende el modelo Vasicek para incluir un
parámetro dependiente del tiempo.
α = 1 β = 0
son funciones del tiempo
Modelo de tasa corta de Longstaff: El modelo de doble raíz
Francis A. Longstaff (1989) “A nonlinear general equilibrium model of the tern structure interest rates”
Modelo de tasa corta con una tendencia no lineal,
por lo tanto, la ecuación diferencial asociada a un
bono cupón cero es no lineal, se considera como un
modelo de equilibrio general.
α = 1/2 β = 1/2
( √ ) √
son constantes
Fuente: Elaboración propia con información de Venegas (2006)
El modelo Vasicek fue el primer modelo en captar la reversión a la media,30
el cual
debido a su éxito sigue vigente. Es considerado un modelo de equilibrio general, ya que
para caracterizar el precio de un bono cupón cero requiere que se cumpla la condición de no
arbitraje. En esta investigación únicamente se estudia el modelo Vasicek , dado que
ha sido muy útil para valuar productos derivados de tasa de interés. El modelo presenta
reversión a la media a un valor constante, lo cual es una propiedad deseable en el análisis
de la dinámica de la tasa de interés, además de que proporciona formulas explicitas en la
valuación de diversos productos derivados de tasa de interés.
30
La reversión a la media es una característica fundamental de la tasa de interés que la diferencia de otros
variables, como por ejemplo, los precios, ya que las tasas no pueden subir indefinidamente.
[36]
2.3 Modelo Vasicek
Este apartado se desarrolla con información de Venegas (2006), Vasicek (1977) y Cruz ().
La mayoría de los modelos creados para valuar bonos cupón cero se centran en la evolución
de la tasa de interés corta, la cual al presentar un comportamiento impredecible (debido a
que su nivel depende de la oferta y demanda de títulos de deuda al plazo más corto
disponible en el mercado) resulta más eficiente realizar su modelación a través de modelos
estocásticos que siguen la forma:
[2.5]
Donde , y son constantes positivas, el parámetro es el coeficiente de la elasticidad
de volatilidad respecto de , es decir, si indica una alta sensibilidad de la volatilidad
al nivel del tipo de interés a corto plazo, es un movimiento Browniano.31
Actualmente
existe un gran número de modelos de tasa corta con reversión a la media y parámetros
constantes; sin embargo, el trabajo pionero en captar la reversión a la media fue el
presentado por Alfons Vasicek, en su artículo An equilibrium characterization of the term
structure, en el que asume que la tasa corta sigue un proceso Ornstein-Uhlenbeck32
con
volatilidad constante. En términos generales en este modelo la tasa corta , es conducida
por la siguiente ecuación diferencial estocástica.
[2.6]
El valor de equilibrio hacia el cuál la tasa de interés se revierte a largo plazo es todas las
trayectorias futuras de la tasa se desarrollan entorno a este parámetro, la velocidad a la que
las trayectorias se reagrupan es , es decir, es forzada a moverse, hacia un nivel
promedio de largo plazo a una velocidad . Si la tasa corta se encuentra por arriba de ,
está es forzada a moverse hacia abajo al nivel y, viceversa. El parámetro mide la
volatilidad instantánea, tienen una relación negativa, dado que un aumento de
provoca una mayor aleatoriedad en el sistema, pero al mismo tiempo un aumento en
induce a que el sistema se estabilice estadísticamente a largo plazo alrededor de .
31
El movimiento browniano es un movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas
que se encuentran en un medio fluido, su nombre se debe a Robert Brown, quien mientras examinaba
partículas de polen de una flor llamada clarckia pulchella, en un microscopio observó que al estar en
contacto con agua se movían sin cesar, al principio pensó que tenían movimiento propio o incluso vida,
por lo que realizó el mismo experimento con otras partículas como: vidrio, carbón, etc., dando como
resultado el mismo movimiento errático. Casi dos siglos después fue el físico alemán-judío Albert Einstein
quien aportó la explicación y formulación matemática del movimiento browniano, de la cual se deriva que
la desviación estándar del desplazamiento de la partícula estudiada en un periodo determinado es
proporcional a la raíz cuadrada de ese periodo. 32
Proceso estocástico el cual describe la velocidad de una partícula browniana bajo la influencia de la fricción
provocada por un movimiento del tipo browniano. Este proceso satisface tres condiciones: 1) es
estacionario; 2) Gaussiano, y 3) Markoviano.
[37]
El cambio instantáneo esperado en la tasa de interés en el momento , se encuentra
expresado en . Finalmente, es un proceso de Wiener, que se define como un
proceso estocástico33
de tiempo continuo, cuenta con las siguientes propiedades:
1. Es un proceso Markov, el cual señala que la única información necesaria para
obtener la mejor predicción del proceso es la información actual, por lo tanto, no
tiene relevancia la información pasada. El proceso Wiener es un proceso Markov
con media nula y variancia igual a uno.
2. La distribución de probabilidad de los cambios en el proceso de cualquier intervalo
temporal es independiente de cualquier otro intervalo. De esta manera sí la variable
aleatoria z sigue un proceso de Wiener, sus variaciones para cualesquiera dos
intervalos de tiempo son independientes.
3. Las variaciones en el proceso producidas en un intervalo finito de tiempo se distribuyen normalmente, con una variancia que aumenta linealmente con el
tamaño del intervalo temporal. Mascareñas (2013)
Vasicek sentó su modelo en los siguientes supuestos:
1. Existe un mercado en el que los inversionistas compran y emiten bonos cupón cero.
Sea el precio en el tiempo , de un bono que se compra a descuento con
vencimiento en el tiempo , y que paga una unidad monetaria al
vencimiento, esto es:
[2.7]
La estructura de plazo o curva de rendimiento o curva de ceros, en el tiempo de un
bono con vencimiento , está dada por:
[2.8]
La tasa corta instantánea es definida por la siguiente ecuación:
∫
[2.9]
33
Un proceso estocástico se define como un conjunto de variables aleatorias ordenadas que se asocian a
distintos periodos de tiempo y pueden tomar cualquier valor entre e . Es útil para describir el
comportamiento errático o atípico de las variables financieras en el tiempo.
[38]
Equivalentemente:
[ ] [2.10]
La tasa corta a la que los inversionistas pueden prestar o pedir prestado es:
[2.11]
o
[2.12]
Un crédito de monto a la tasa spot , aumentará su valor, durante el instante
en:
[2.13]
La ecuación [2.12] es válida con toda certeza en , ya que es conocida en . Sin
embargo, después de , el nivel de la tasa corta es incierto, es decir, es un proceso
estocástico sujeto a dos requerimientos 1) es una función continua del tiempo, y
2) se supone que sigue un proceso Markoviano. Bajo el último supuesto, el
comportamiento futuro de la tasa corta, dado por su valor actual, es independiente
del pasado. En otras palabras, la distribución de dado sólo depende de
la información disponible en el tiempo , es decir, sólo depende del valor de . Los
procesos que son continuos y Markovianos son llamados procesos de difusión, los
cuales pueden ser descritos a través de una ecuación diferencial estocástica de la
forma:
[2.14]
Donde { } es un movimiento Browniano definido sobre un espacio fijo de
probabilidad;
2. No existen costos de transacción;
3. La información está disponible para todos los agentes de forma simultánea;
4. Todos los inversionistas son racionales, por lo que prefieren más riqueza que menos
para lo cual utilizan toda la información disponible;
5. Todos los agentes tienen expectativas homogéneas, y
6. El mercado se encuentra en equilibrio, es decir, no existe posibilidad de arbitraje.
[39]
El precio del bono cupón cero que se coloca en y que al vencimiento paga una
unidad monetaria se denotará mediante , o en forma más simple como
cuando no sea necesario destacar la dependencia de la tasa corta, así la tasa corta es
la única variable de estado de la estructura de plazos. En el caso del modelo Vasicek, el
precio B de un bono cupón cero satisface:
[2.15]
Las condiciones de frontera dependen de , , y, de la tasa corta . Debido a que la
ecuación diferencial parcial [2.15] no presenta derivadas parciales cruzadas, se presenta la
siguiente solución en variables separables de la forma:
[2.16]
Cuando , se tiene y , de donde el precio del bono cupón cero
es el de una unidad monetaria . Obtener la solución a través de la ecuación
[2.16], permite transformar una ecuación diferencial parcial parabólica de segundo orden,
en un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. De manera que se
obtiene:
[2.17]
Con base en la solución obtenida de se determina:
(
)
[2.18]
Donde , y son parámetros a determinar a partir de un conjunto de datos de mercado.
[40]
2.3.1 Estructura de plazos del modelo Vasicek
Siguiendo la ecuación [2.14] y del hecho que , se sigue del lema de Ito
[2.19]
Donde
(
) [2.20]
y
[2.21]
Se considera un inversionista que al tiempo emite una cantidad de bonos con fecha de
vencimiento y precio , que además, simultáneamente compra una cantidad de
bonos con vencimiento y precio . Se considera un valor de portafolio . Si se denota y el lema de Ito conduce a:
( ) ( ) [2.22]
Las cantidades , se seleccionan de tal forma que:
[2.23]
Y
En consecuencia, el segundo término en la ecuación [2.23], que modela el riesgo de
mercado, es cero. Por tanto, toma la siguiente forma:
(
) [2.24]
[41]
Con la obtención de la ecuación anterior el portafolio es libre de riesgo. Sí los mercados se
encuentran en equilibrio, el portafolio debe producir el mismo rendimiento que el que se
obtiene por hacer un préstamo a la tasa . El portafolio puede ser comprado con fondos
prestados a la tasa , cuando el rendimiento del portafolio es mayor, pero, sí ocurre el caso
contrario, entonces el portafolio es vendido y las ganancias son prestadas, ello conduce a
oportunidades de arbitraje. Comparando las ecuaciones [2.14] y [2.21], se tiene:
O
[2.25]
Los cocientes de esta última ecuación son iguales para fechas de vencimiento arbitrarias
y , se sigue que la razón es independiente de T. Sea
su valor común es:
[2.26]
La cantidad es llamada el precio de riesgo de mercado, es decir, es el rendimiento
adicional que obtienen los inversionistas por exponerse a una unidad de riesgo. La ecuación
se puede reescribir como:
[2.27]
Sí se sustituyen la ecuación [2.17] en [2.24], se tiene que:
[ ]
[2.28]
Junto con la condición final . Esta ecuación permite valuar bonos
descontados en un mercado caracterizado por los supuestos anteriormente mencionados.
Una vez que la forma de la dinámica estocástica de la tasa spot , expresada en [2.15], ha
sido determinada y el precio de riesgo de mercado ha sido especificado , dada en la
ecuación [2.24], el precio del bono, asociado a la dinámica de , es obtenido como
solución de la ecuación [2.25]. Posteriormente, la estructura de plazos de las tasas
de interés es calculada mediante:
[2.29]
[42]
2.3.2 Representación estocástica del precio del bono
La solución a la ecuación parcial diferencial [2.25] puede ser interpretada en forma integral
como:
* , ∫
∫ ∫
- | + [2.30]
Para verificar sí la ecuación anterior satisface [2.26]:
2 ∫
∫ ∫
3
Aplicando el lema de Ito se tiene:
.
/
(
)
Los cálculos en la segunda igualdad se pueden obtener de manera sencilla si se utiliza
directamente la definición de integral estocástica en el término que contiene el movimiento
Browniano. Si ahora se aplica el lema de Ito al producto , se obtiene:
.
/
.
/
(
)
[43]
Sí se integra la expresión anterior de a y se toma la esperanza se obtiene:
[ | ]
Pero, como , entonces:
[ | ] [ | ]
o
[ | ] 0
| 1
En el caso especial en que , se sigue que:
y
* , ∫
- | + [2.31]
Sí se construye un portafolio que esté integrado por un bono cuyo vencimiento tienda a
infinito y preste o pida prestado a la tasa corta, con proporciones y , respectivamente, donde:
El valor de este portafolio sigue la ecuación:
( )
[ ] ( )
Esta ecuación puede integrarse calculando la diferencial estocástica de y utilizando
el hecho de que : se obtiene:
[44]
( )
Consecuentemente:
2 ∫
∫ ∫
3
Por lo tanto, la ecuación 2.28 puede reescribirse como:
*
| + [2.32]
La ecuación 2.29 establece que el precio de cualquier bono medido en unidades del valor de
portafolio sigue una martingala, es decir:
*
| +
[2.33]
Con lo cual se concluye que el mejor pronóstico de la razón entre el precio del bono y el
portafolio es el valor actual de dicha razón. La dinámica del modelo Vasicek considera que
la media y la varianza condicional de los cambios en la tasa de interés de corto plazo sigue
un proceso Markov; no obstante, es necesario reconocer que en la práctica esto no se
cumple, pues la tasa de interés es una de las variables que con frecuencia presenta
volatilidad por lo cual es difícil de conocer.
[45]
2.4 Variables que afectan a la tasa de interés
La tasa de interés es una de las variables financieras que con mayor frecuencia presenta
volatilidad34
derivada de diversos factores los cuales tienen su origen en las emociones35 y
psicología de los inversores ante los cambios en la información acerca de las perspectivas
para los individuos, las empresas y la economía del país, entre ellas destacan: el nivel de
inflación, recesión, aumento o disminución de la riqueza, tipo de cambio, tasas de interés
externas, expectativas, política monetaria, producción, inversión, operaciones de mercado
abierto, etcétera. En la tabla 2.2 se presentan dichos movimientos para una mejor
comprensión:
Tabla 2.2. Variables macroeconómicas que afectan a la tasa de interés
Variable Cambio en la variable Impacto en la tasa de
interés
Movimiento en la
curva
Riesgo36
Incertidumbre susceptible
de ser medida; es
desfavorable debido a la
perdida que trae consigo,
pues se encuentra
asociado a
acontecimientos
desconocidos que llevan
al inversionista a la
inseguridad y duda sobre
hechos económicos y sus
resultados.
Un aumento en el riesgo
está dado por la
inseguridad que siente el
inversionista respecto al
comportamiento futuro
del mercado financiero.
Como resultado del
aumento en el riesgo la
tasa de interés también
aumentará, pues los
inversionistas exigirán un
mayor rendimiento al
exponerse a una pérdida
más grande en su capital.
34
La volatilidad tiene diversas definiciones de acuerdo con la variable a la que se asocie; sin embargo, en
esta investigación por volatilidad se entenderá como una medida de frecuencia e intensidad de la
evolución de los cambios impredecibles o aleatorios de la tasa de interés. 35
Las dos emociones principales son el miedo de perder el capital y la avaricia de obtener mayores
rendimientos. 36
Los principales riegos en el mercado financiero son los movimientos de las variables financieras tasa de
interés y tipo de cambio.
r
A'
A
Riesgo
[46]
Incertidumbre37
No es posible
cuantificarla, es central en
gran parte de la teoría
financiera moderna
porque es una espada de
doble filo: tanto crea
riesgos como
oportunidades.
Un aumento en la
incertidumbre es
provocado por la opinión
que tengan los
inversionistas acerca de
los movimientos en el
mercado financiero.
La tasa de interés aumenta
debido a que se corre una
mayor probabilidad de
pérdida; sin embargo,
también puede haber
resultados favorables y en
cuyo caso habrá una
ganancia.
Expectativas
Perspectiva, opinión o
creencia sobre la
evolución en las variables
económicas. Es común
suponer que los inversores
tienen expectativas
racionales, es decir, sus
expectativas se forman
con la conciencia, de las
fuerzas que determinan
los cambios en el
mercado.
Las expectativas
aumentan porque los
inversionistas prevén
tomando como referencia
los acontecimientos en el
mercado que las tasas de
interés aumentarán.
Como resultado del
aumento en las
expectativas, la tasa de
interés actual bajará y con
ella la demanda, porque
los individuos preferirán
invertir en el futuro.
Riqueza
Capital, recursos con los
que cuenta una persona
física o moral y que utiliza
para invertir en el
mercado financiero.
Un aumento en la riqueza
se da por el crecimiento
de la economía durante la
expansión del ciclo de
negocios.
Debido a ello la tasa de
interés disminuye, porque
hay un aumento en las
inversiones.
Recesión
Disminución de la
actividad económica de un
país, haciendo que los
agentes tengan menos
recursos.
Un aumento en la
recesión es provocado por
una disminución en la
riqueza y/o ingreso.
Al no haber recursos las
inversiones disminuyen y
la tasa de interés aumenta.
37
Del prefijo latín in-negación y de la voz latina certudo-conocimiento claro, por lo tanto, significa
desconocimiento
r
A'
A
Incertidumbre
r
A
A'
Expectativas
r
A
A'
Riqueza
r
A'
A
Recesión
[47]
Inflación
Crecimiento continuo y
generalizado en el nivel
general de los precios, en
otras palabras es la
disminución del poder
adquisitivo del dinero.
Un aumento del nivel de
la inflación tiene varias
causas una de ellas es el
crecimiento del dinero en
circulación.
A largo plazo, la tasa de
interés tiene un
incremento igual, mejor
conocido como efecto
Fisher. Esto es porque se
reduce el crecimiento del
dinero al vender bonos.
Tasa de interés externa
Precio del dinero en el
mercado financiero
externo.
Un aumento en la tasa de
interés externa debido a
diversos hechos en la
economía externa.
Provoca que la tasa de
interés interna se eleve
con el fin de volverla
competitiva y de esta
manera evitar que salga
del país capital en busca
de un mejor rendimiento,
ello se puede analizar
mediante la Paridad del
Interés.38
Tipo de cambio Valor de una divisa o
moneda extranjera
expresada en términos de
la moneda nacional.
Un aumento o
disminución en el tipo de
cambio son ocasionados
por las políticas
monetarias que
implementa el país en
cuestión.
Debido a que algunos
activos son adquiridos en
monedas distintas su
rendimiento se ve
afectado por el tipo de
cambio, en este caso se
debe tomar en cuenta la
Paridad Cubierta del
Interés (PCI) y la Paridad
No Cubierta del Interés
(PNCI).
Producto Interno Bruto Suma monetaria a precios
de mercado de todos los
bienes y servicios de
demanda final producidos
por una sociedad dentro
de su territorio
generalmente en un
periodo generalmente de
un año.
Un aumento en el PIB por
encima del pleno empleo
es provocado por una
política monetaria
expansiva.
Siguiendo la Regla de
Taylor, al haber una
mayor producción la
cantidad de dinero en
circulación incrementa lo
cual hace que crezca el
nivel de inflación, por lo
tanto, para reducir las
presiones inflacionarias y
la producción se debe
aumentar la tasa de
interés.
38
Por ejemplo, cuando el Sistema de Reserva Federal (FED) incrementa su tasa de interés lo hace de igual
forma la nacional debido a la relación tan estrecha que existe entre Estados Unidos y México.
r
A'
A
Inflación
r
A'
A
r Externa
r
A'
A
Tc
r
A'
A
PIB
[48]
Política Monetaria Se utiliza al dinero como
instrumento para mantener
la estabilidad económica,
puede ser contractiva o
expansiva.
Se aplica una política
monetaria expansiva
cuando se necesite
incrementar la oferta
monetaria debido a que el
crecimiento del país es
prácticamente cero por su
baja producción.
La implementación de
dicha política hará que la
tasa de interés baje para
hacer más atractivos los
préstamos a los
inversionistas que
necesiten financiar su
producción.
Inversión
Proceso mediante el cual
un individuo adquiere
cierta cantidad de bienes
en el presente con el
ánimo de obtener ingresos
o rentas en el futuro.
Un aumento en la
inversión es provocado
por un aumento en la
oferta monetaria.
La tasa de interés
aumenta, dado que la
demanda de bonos
incrementa y su precio
baja.
OMA39
Las Operaciones de
Mercado Abierto (OMA)
es la compra-venta de
bonos del Estado por parte
del Banco Central.
Un aumento en las OMA
debido a que el Banco
Central decide comprar
más títulos incrementará
la oferta monetaria.
La tasa de interés
disminuirá a consecuencia
del incremento en la
oferta monetaria.
Nota: Sólo se muestran los incrementos en las variables, en caso contrario solamente se invierten los efectos.
Fuente: Elaboración propia con información de Dornbusch (2002); Harris (1985); Mankiw (2006), y
Mishkin (2008).
Todos los factores resumidos en la tabla anterior hacen que la tasa de interés sea
impredecible debido a la volatilidad que presenta. Es necesario considerar que las series de
tasa de interés presentan una fuerte heterocedasticidad condicional en la varianza,
provocando que los modelos lineales no sean capaces de captarla por completo, de forma
que se sobrestima la sensibilidad de la volatilidad de la tasa de interés, es por ello que en la
presente investigación se propone utilizar la volatilidad obtenida a través de un modelo de
difusión GARCH en lugar de usar volatilidad constante. En el siguiente capítulo se estudian
los diferentes modelos para estimar la volatilidad.
39
Las operaciones de mercado abierto, pueden afectar a la tasa de interés de dos maneras: 1) modificando el
monto de dinero ofrecido, y 2) originando una modificación de las expectativas de la política futura del
banco central o del gobierno.
r
A
A'
OM
r
A'
A
Inversión
r
A
A'
OMA
[49]
CAPÍTULO 3. MODELOS DE VOLATILIDAD
El análisis del mercado financiero requiere del estudio de todas las variables inmersas en el,
mismas que al ser una secuencia de datos son llamadas series de tiempo o temporales, la
mayoría de las series de tiempo financieras se caracterizan por tener una acumulación de
volatilidad inherente, es decir, presentan periodos prolongados de amplias fluctuaciones
con valores extremos seguidos por relativa calma, cuando la volatilidad es elevada lo más
probable es que permanezca de esa manera y por el contrario si es baja continuará así.
Cuanto más volátil es un activo financiero, mayor es la probabilidad de obtener grandes
beneficios o pérdidas, por ello los inversionistas han desarrollado modelos para prever la
volatilidad.
Los modelos de volatilidad histórica no resultan adecuados para modelarla, puesto
que suponen la existencia de una varianza homocedastica;40
sin embargo, es un hecho que
la volatilidad varía con el tiempo, lo que indica presencia de heterocedasticidad. A fin de
proporcionar un mecanismo más eficiente en 1970 surge la metodología Box-Jenkins, sus
fundadores son los autores de la modelización ARIMA, que tienen como finalidad
proporcionar valores futuros de la serie a través de una función lineal de datos anteriores.
No obstante, estos no son los únicos modelos, en la literatura financiera también se
encuentra la metodología Medias Móviles Ponderadas Exponenciales (EWMA) basada en
otorgar mayor ponderación a la información reciente que a la pasada.
El modelo EWMA es muy similar al modelo simple GARCH,41
dado que ambos son
autorregresivos,42
es decir, el pronóstico de la volatilidad depende de una media ponderada
de volatilidades pasadas, la diferencia entre ambos es que el GARCH es un modelo
estocástico, debido a que los cambios en la volatilidad son aleatorios. Tim Bollerslev
presentó este modelo autorregresivo de medias móviles a partir de la generalización del
modelo ARCH desarrollado por Engle en 1982, en los cuales la varianza condicionada a la
información pasada no es constante, pero depende del cuadrado de las innovaciones
pasadas. A lo largo de este capítulo se estudian los modelos mencionados a fin de calcular
la volatilidad de los rendimientos de un bono cupón cero suponiendo que la varianza es
heterocedástica.
40
La varianza se mantiene constante a lo largo de las observaciones, lo contrario a ella es heterocedasticidad,
es decir, la varianza no es constante. 41
Por sus siglas en inglés Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, permite reducir el
número de parámetros a estimar de infinito a solo dos. 42
Un modelo es autorregresivo cuando existe autocorrelación distinta de cero entre los eventos actuales y
pasados, los estudios sobre volatilidad demuestran que existe autorregresión, hecho que es reconocido por
el modelo GARCH.
[50]
3.1 Definición de volatilidad
La volatilidad tiene diversas definiciones de acuerdo con la variable a la que se asocie; no
obstante, debido a la naturaleza de la presente investigación este capítulo se centrará en el
estudio de la volatilidad de la tasa de interés corta, por tanto, a lo largo de toda la tesis por
volatilidad se entenderá una medida de frecuencia e intensidad de la evolución de los
cambios impredecibles o aleatorios de la tasa de interés. El estudio de está ha venido
adquiriendo gran importancia para cualquier persona que se encuentre inmersa en el
mercado financiero debido a que a través de ella se reflejan las pérdidas que pudieran llegar
a sufrir al participar en dicho mercado, pues representa riesgo e incertidumbre provocando
que en muchas ocasiones sea considerada negativa.43
El comportamiento de la volatilidad de la tasa de interés en México se ha agudizado y
relajado a través del tiempo, a causa de diversos factores (como se puede apreciar en la
gráfica 3.1). En el segundo semestre del 2003 Banxico implemento un proceso
desinflacionario por el cual las tasas de interés registraron mínimos no vistos hasta ese
entonces. Las perturbaciones de oferta que afectaron a la economía en 2004 se revirtieron
en diciembre de 2005, ocasionando que la inflación para ese año se situara en 3.33 por
ciento. La actividad económica y el desempeño del gasto interno se beneficiaron por
importantes incrementos del superávit de la balanza comercial de productos petroleros y
por los ingresos provenientes de las remesas familiares.
Gráfica 3.1. México: Comportamiento de los CETES a 28 días (2003-2013)
Fuente: Elaboración propia con datos del Banco de México
43
Sin embargo, en algunas ocasiones puede ser positiva, dado que se pueden obtener beneficios si se vende
en los picos y compra en las bajas, de manera que cuanto más lata sea la volatilidad mayor será el
beneficio.
0.000000
2.000000
4.000000
6.000000
8.000000
10.000000
12.000000
[51]
Las condiciones favorables que presentaba la economía mexicana aunadas a las
globales de liquidez propiciaron que fuera una alternativa para que los inversionistas
internacionales con apetito por riesgo incrementaran el rendimiento de sus portafolios
invirtiendo en instrumentos de deuda en moneda nacional, incitando con ello a que en el
segundo semestre de ese año la tasa de interés presentara una reducción considerable. En
general la política monetaria estuvo enfocada en mantener una inflación por debajo del 5
por ciento, meta que se cumplió, pues en 2006 esta fue del 4.05, además, se buscaba tener
altas tasas de interés por encima de la inflación y de las observadas en Estados Unidos para
seguir atrayendo por medio de esa vía capitales al país.
Gráfica 3.2. México: Comportamiento de la inflación y la tasa de interés (2003-2013)
Fuente: Elaboración propia con datos del Banco de México
A pesar de que en la segunda mitad del 2006 se presentó un episodio de turbulencia
en los mercados financieros internacionales derivado de un incremento en la incertidumbre
acerca del curso de la política monetaria en los principales bancos centrales,44
los mercados
de bonos y acciones de las economías emergentes presentaron una recuperación. Sin
embargo, el incremento en la volatilidad en los mercados financieros internacionales, con la
consecuente disminución en los flujos financieros internacionales dirigidos hacia las
economías emergentes, contribuyó a que el tipo de cambio de diversas economías registrara
una tendencia a la depreciación de sus monedas, cabe señalar que estas afectaciones solo
fueron durante el segundo trimestre.
44
Dado que existía la percepción de una posible transición hacia un entorno de mayor restricción monetaria
global.
0
2
4
6
8
10
12
200
3/0
8
200
4/0
1
200
4/0
6
200
4/1
1
200
5/0
4
200
5/0
9
200
6/0
2
200
6/0
7
200
6/1
2
200
7/0
5
200
7/1
0
200
8/0
3
200
8/0
8
200
9/0
1
200
9/0
6
200
9/1
1
201
0/0
4
201
0/0
9
201
1/0
2
201
1/0
7
201
1/1
2
201
2/0
5
201
2/1
0
201
3/0
3
CETES28 Inflación
[52]
En diciembre de 2007 la economía de Estados Unidos entró en fase recesiva esto
como consecuencia del incremento de la cartera vencida del sector hipotecario de dicho
país. La poca transparencia de la exposición de los bancos a los instrumentos respaldados
por hipotecas provocó un incremento en el riesgo de contraparte originando con ello
problemas de liquidez en el mercado interbancario. Los niveles de endeudamiento
provocaron que lo intermediarios financieros iniciaran un proceso de desapalancamiento,
presionando con ello a la baja los precios de diversos activos. No obstante, de que ya había
una gran incertidumbre, restricción de liquidez y deterioro de los precios de los activos, los
problemas se agravaron a un más tras la quiebra de Lehman Brothers.
Todos estos acontecimientos no sólo tuvieron como consecuencia un fuerte
incremento de la percepción de riesgo global, sino también un aumento en la incertidumbre
respecto a la calidad de algunos activos en poder de las instituciones financieras, por lo
cual, el costo del crédito interbancario aumento bruscamente y la liquidez de los mercados
financieros cayó aún más, de esta forma la situación se complicó como resultado de los
vínculos de retroalimentación entre el sector financiero y el real. Así, los mercados
financieros enfrentaron el problema de solvencia que dio lugar al riesgo de colapso del
sistema financiero internacional. Ante esta situación los flujos de capital a las economías
emergentes se contrajeron de manera pronunciada afectando los tipos de cambio y los
mercados accionarios y de deuda de muchos de estos países.
La tasa de crecimiento del PIB mundial disminuyó de 2007 a 2008 un 2 por ciento,
debido a que las condiciones en los mercados financieros internacionales se deterioraron
considerablemente en 2008, prevaleció un entorno de elevada incertidumbre y extrema
aversión al riesgo por parte de los inversionistas quienes buscaban activos financieros más
seguros; sin embargo, fue hasta el segundo trimestre del 2009 que la actividad económica
mundial empezó a reactivarse y dado que existían importantes diferenciales en las tasas de
interés entre las economías avanzadas y las emergentes (como se puede apreciar en la
gráfica 3.3) y además se tenía la expectativa de que se mantendrían un periodo
prolongado,45
los flujos de capital se destinaron a las economías emergentes entre ella
México.
45
Esto debido a que se tenían mejores perspectivas del crecimiento de las economías emergentes.
[53]
Gráfica 3.3. Nivel de la tasa de interés interna y externas (2003-2013)
Fuente: Elaboración propia con datos de los Bancos Centrales Internacionales.
En 2011, la recuperación económica mundial que había iniciado en el 2009 perdió
fuerza como consecuencia de los desastres naturales en Asia y a la crisis soberana de la
zona del euro, el aumento en la aversión al riesgo provocado por dicha crisis tuvo un
impacto negativo en los mercados financieros de las economías emergentes, en este
contexto los flujos de capital se vieron afectados y los tipos de cambio frente al dólar se
depreciaron. El agravamiento de las dificultades de refinanciamiento de diversos países de
la zona del euro aunado a la incertidumbre sobre la magnitud del ajuste fiscal previsto para
2013 en Estados Unidos afectaron el crecimiento de la economía mundial en 2012.
La volatilidad en los mercados financieros internacionales durante el segundo
trimestre del 2012 favoreció al aumento en la demanda de activos percibidos como de
menor riesgo, por lo cual hubo un repunte de los flujos de capital hacia los mercados
emergentes, en el caso de México la mayoría de los bonos cupón cero se encuentran en
posesión de los residentes en el extranjero, como se muestra en la gráfica 3.4. La entrada de
este flujo de capitales provocó una apreciación de la moneda nacional y un alza de los
índices accionarios. Además la fortaleza de los fundamentos macroeconómicos de la
economía mexicana permitió que la actividad económica presentara una tendencia positiva
y se registrara un crecimiento anual del PIB de 3.9 por ciento.
0
2
4
6
8
10
12
200
3/0
8
200
4/0
1
200
4/0
6
200
4/1
1
200
5/0
4
200
5/0
9
200
6/0
2
200
6/0
7
200
6/1
2
200
7/0
5
200
7/1
0
200
8/0
3
200
8/0
8
200
9/0
1
200
9/0
6
200
9/1
1
201
0/0
4
201
0/0
9
201
1/0
2
201
1/0
7
201
1/1
2
201
2/0
5
201
2/1
0
201
3/0
3
T-BILL CETES LIBOR
[54]
Gráfica 3.4. México: CETES a 28 días en poder de residentes nacionales
y extranjeros (2003-2013)
Fuente: Elaboración propia con datos del Banco de México.
En 2013 la tasa de rendimiento ha alcanzado mínimos históricos, como consecuencia
de la incertidumbre que prevalece en la economía mundial, pues aunque Estados Unidos
sigue creciendo su sector industrial se ha rezagado provocando con ello un aumento de las
tasas de mediano y largo plazo a nivel mundial. Afortunadamente, la actividad económica
de la zona del euro dejo de contraerse; sin embargo, eso no ha contribuido a que la
volatilidad en los mercados financieros disminuya. En conclusión se puede decir que
durante todo el periodo de estudio la tasa de interés ha presentado una gran volatilidad y
como cualquier volatilidad presenta ciertas regularidades en su comportamiento, lo cual
hace posible su modelado y predicción, entre las características que se pueden mencionar se
encuentran las siguientes:
1. Exceso de curtosis.46
(Mandelbrot 1963 y Fama 1965);
2. Conglomerados de volatilidad (volatility clusters), se denominan de esa forma a los
periodos de alta volatilidad, ya que, se presenta lo más probable es que permanezca
de esa manera y por el contrario si es baja continuará así. (Engle 1982).
3. A largo plazo los periodos de alta o baja volatilidad tienden a moderarse.
(Figlewski, 1997).
4. Comportamiento asimétrico dado que depende de las buenas o malas noticias que
lleguen al mercado. (Campbell y Hentschel, 1992). 46
Es una medida que analiza el grado de concentración que presentan los valores cerca de la zona media de la
distribución, según el grado de curtosis existen tres tipos de distribuciones:
1. Mesocúrtica. Presenta una distribución normal, es decir el grado de concentración medio alrededor
de los valores centrales de la variable;
2. Leptocúrtica. El grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable es elevado,
las colas son más anchas que la normal.
3. Platicúrtica. Reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable es
elevado, las colas son menos anchas que la normal.
0
2
4
6
8
10
12
0.00
100,000.00
200,000.00
300,000.00
400,000.00
500,000.00
600,000.00
1 6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
101
106
111
116
R. en el extranjero R. en el país Tasa de interés
[55]
Como menciona Gujarati (2004), la volatilidad es una característica inherente a las
series de tiempo financieras, mismas que se definen como una secuencia de datos u
observaciones equidistantes en el tiempo, las cuales buscan reflejar la evolución histórica
de un fenómeno concreto, captando sus características esenciales con la finalidad de
realizar predicciones sobre trayectorias futuras, matemáticamente se define como:
[3.1]
Este tipo de series no consideran variables exógenas, únicamente el tiempo; sin embargo,
tener conocimiento de los valores pasados no significa que por ello sea posible obtener una
predicción acertada del valor futuro, dado que la serie no es determinista y su
comportamiento se considera estocástico. Una serie temporal tiene cuatro movimientos
distinguibles:
1. Tendencia. Comportamiento de mediano o largo plazo que generalmente se
encuentra asociado a causas estructurales del fenómeno de estudio.
2. Ciclo. Relación entre la variable y el ciclo de la economía, representado mediante
movimientos suaves a manera de ondas que generalmente se vinculan con la
tendencia, los ciclos pueden ser cíclicos, contracíclicos o acíclicos.
3. Estacionalidad. Movimientos recurrentes de una serie, en otras palabras es el
comportamiento de la serie temporal durante el año.
4. Irregular o aleatorio. Movimientos erráticos que responden a una acumulación de
causas cuyo origen no es específico, además de que no son repetitivos.
Otra de las características de las series de tiempo es que en su forma de nivel son
caminatas aleatorias (random walks)47
o no estacionarias, lo cual significa que cada
conjunto de datos perteneciente a la serie concierne a un evento particular, por lo tanto, no
puede generalizarse para otros periodos, ya que su pronóstico tiene un valor práctico
insignificante. Debido a ello lo ideal es que una serie de tiempo sea débilmente
estacionaria,48
es decir, que tanto su media como su varianza en todos los rezagos
permanezcan iguales a lo largo de todo el periodo de estudio, en otras palabras, que sean
invariantes con respecto al tiempo. De forma que una serie de tiempo { } es
estacionaria si cumple con las siguientes condiciones:
1. Media
2. Varianza
3. Covarianza [ ]
47
Este término frecuentemente se compara con el caminar de un borracho cuando sale de la cantina, debido
a que se mueve a una distancia aleatoria al tiempo , camina de manera indefinida, alejándose cada vez
más de la cantina. 48
Una serie de tiempo es estrictamente estacionaria sí su función promedio es y si la función de
autocovarianza para cualesquiera valores la distribución conjunta de
es igual a la distribución conjunta para cualquier tiempo t y cualquier entero n.
[56]
Los términos caminata aleatoria, no estacionariedad y raíz unitaria son sinónimos,
dado que, si el coeficiente de un modelo de caminata aleatoria es igual a uno, se presenta
el problema de raíz unitaria,49
lo que es lo mismo no existe estacionariedad, en cambio
cuando | | la serie es estacionaria:
[3.2]
En la ecuación anterior es un término de error con ruido blanco, este último se define
como un proceso estocástico en el que ninguna observación influye sobre las subsecuentes
y por tanto, cumple con las siguientes condiciones:
1. Esperanza cero:
2. Media cero: ∑
3. Varianza constante e independiente para distintos valores de :
4. Covarianza nula: ( )
La importancia de distinguir entre los procesos estacionarios y los no estacionarios
radica en que a través de ello se puede estipular si la serie sigue una tendencia determinista
o estocástica, la primera se refiere a una tendencia no variable y por tanto predecible,
mientras que la segunda no es predecible. Si la serie de tiempo sigue el modelo:
[3.3]
Y si , , y , se tiene:
[3.4]
La ecuación anterior es una caminata aleatoria, representada por:
[3.5]
Debido a que la serie puede tener una tendencia positiva o negativa , se
denomina estocástica. La ecuación [3.5] es un proceso estacionario de diferencias, ya que la
no estacionariedad en se puede eliminar con la primera diferencia50
de la serie de tiempo.
La mayoría de las series financieras no son estacionarias; aunque por lo general se
convierten en estacionarias una vez tomada su primera diferencia .
49
El termino raíz unitaria se refiere a la raíz del polinomio en el operador de rezago. 50
Diferenciar o integrar una serie consiste en trabajar con la serie de incrementos en lugar utilizar la serie
original, de forma que una serie integrada de orden se especifica como: y se denota por
.
[57]
Tabla 3.1. Características de las series e
Series Series
Presentan varianza finita e independiente del
tiempo.
Su varianza depende del tiempo y tiende a finito
a medida que el tiempo tiende a infinito.
Tienen memoria ilimitada. Cualquier innovación afecta permanentemente a
sus procesos.
Tienden a fluctuar alrededor de la media (que
puede incluir una tendencia determinista).
Oscilan ampliamente.
Presentan autocorrelaciones que tienden a
disminuir rápidamente a medida que el retardo
se incrementa.
Su autocorrelación tiende a uno (en valor
absoluto) para cualquier orden de retardo.
Fuente: Mahía (2001).
Se han desarrollado diversas pruebas con la finalidad de determinar si una serie de
tiempo presenta raíz unitaria. Si a la ecuación [3.2] se le resta en ambos lados se
obtiene:
[3.6]
Se puede expresar como:
[3.7]
Dónde:
: Operador de primera diferencia
En [3.7] se prueba la hipótesis nula de que , si ello se acepta, entonces , es
decir, se tiene raíz unitaria, por lo que:
[3.8]
Con la ecuación anterior se comprueba que al tomar la primera diferencia de una serie de
tiempo de caminata aleatoria, está se torna estacionaria, puesto que es un término de
error con ruido blanco. En 1979, David Dickey y Wayne Fuller probaron que bajo las
siguientes hipótesis:
Existe raíz unitaria
La serie es estacionaria
[58]
El valor estimado de del coeficiente en la ecuación [3.7] sigue el estadístico
(tau), por lo que elaboraron una tabla con los cálculos de los valores críticos de obtenidos
mediante simulaciones Monte Carlo,51
a dicho estadístico se conoce como la prueba
Dickey-Fuller (DF); sin embargo, debido a que la tabla es limitada, James MacKinnon
construyó unas tablas más extensas, las cuales actualmente se han incorporado en diferentes
paquetes estadísticos. La prueba DF es tan sólo una de las que existen en la literatura
financiera para detectar la raíz unitaria; no obstante, está es la que se utilizará en la
investigación, debido a que resulta ser eficiente.
A partir de 1970, las investigaciones en materia de finanzas han desarrollado las
matemáticas financieras52
a fin de establecer mecanismos óptimos de análisis para generar
información importante del fenómeno de estudio, dentro de los modelos más desarrollados
se encuentran los de pronóstico de volatilidad, puesto que las variables financieras tales
como: la tasa de interés, el tipo de cambio, los índices bursátiles, etc., regularmente
presentan un comportamiento errático haciendo que su pronóstico sea difícil de calcular,
por lo cual, la figura 3.1 muestra los diversos modelos que existen para el pronóstico de las
series financieras, cada uno de ellos cuenta con diferentes características y técnicas.
Figura 3.1. Modelos de volatilidad
Medidas de
volatilidad
Modelos de la
familia ARCH
Puntuales
Paramétricas
Kernel
Redes
neuronales
artificiales
Modelos
estadísticos
Medias móviles
No Paramétricas
Seriales
Fuente: Elaboración propia
51
Esta simulación es una técnica probabilística que hace uso de la estadística y las computadoras con el
objetivo de imitar el comportamiento aleatorio de sistemas reales. Se considera a Stanislaw Ulam y a John
von Neumann los padres de este método, dado que mientras jugaban solitario durante una enfermedad en
1946, se les ocurrió que para tener una idea del resultado general del juego era más fácil hacer múltiples
pruebas con las cartas y contar las proporciones de los resultados, que computar todas las posibles
combinaciones. Su nombre se deriva del Casino Monte Carlo, ya que este lugar es la capital del azar. 52
Bachelier (1900), es considerado el padre de las matemáticas financieras modernas, debido a que fue el
primero en modelar las series de tiempo mediante un proceso estocástico permitiendo describir el
comportamiento de la variable aleatoria. En su tesis doctoral Théorie de la Spéculation desarrolló la teoría
matemática de especulación de precios, misma que probó con la formación de precios de los bonos
gubernamentales emitidos por el gobierno francés, además comprobó que su teoría era consistente con el
proceso de caminata aleatoria.
[59]
Son muchas las técnicas que se pueden utilizar para calcular la volatilidad de una
serie temporal que van desde las sencillas donde sólo se necesita obtener la desviación
típica muestral de los rendimientos hasta las técnicas que necesitan cálculos más
sofisticados.
3.3 Modelos de cálculo de la volatilidad
Dentro de la literatura financiera existe una amplia gama de modelos que intentan calcular
la volatilidad; sin embargo, no todos son eficientes, dado que como ya se mencionó una
característica de las series de tiempo es que en su forma de nivel son caminatas aleatorias o
no estacionarias,53 para eliminar este problema se recurre a sus primeras diferencias; éstas
últimas presentan enormes variaciones, es decir, la varianza de las series se modifica con el
tiempo, esto contradice uno de los supuestos de los modelos tradicionales, ya que
consideran que la varianza es constante, por lo que no resultan adecuados para modelar la
volatilidad, es por ello que surgieron los modelos ARCH los cuales suponen que la varianza
no es constante. En los siguientes apartados se detallan algunos de los modelos más
utilizados para calcular la volatilidad.
3.2.1 Volatilidad histórica
El modelo más simple y más utilizado es denominado volatilidad histórica,54
el cual se
estima mediante la desviación típica muestral de los rendimientos a lo largo de un periodo
corto de tiempo. En este tipo de modelos el pronóstico de la volatilidad está basado en
todos y cada uno de los datos históricos y no únicamente en el pasado inmediato, la forma
de calcular la volatilidad histórica es:
√∑
[3.9]
53
Que una serie sea estacionaria significa que es invariante en el tiempo. Sea { } una serie de tiempo,
su función promedio es y si la función de autocovarianza una serie de
tiempo es estrictamente estacionaria sí para cualesquiera valores la distribución conjunta de
es igual a la distribución conjunta
para cualquier tiempo t y cualquier entero n. 54
Se debe considerar que lo que es posible no necesariamente ocurrirá, dado que el comportamiento futuro
no tiene por qué contar con los mismos signos y tendencias.
[60]
Existen algunos problemas al utilizar este tipo de modelos, en primer lugar no se tiene la
certeza de qué período utilizar, pues si es demasiado largo no tendrá mucha relevancia para
medir el presente y por el contrario si es muy corto tendrá mucho ruido, en segundo se
supone que la volatilidad está relacionada con la raíz cuadrada del tiempo, lo cual es cierto
siempre y cuando se suponga que no hay correlación ni barreras que afecten a la
volatilidad; sin embargo, la presencia de autocorrelación55
afecta a la raíz cuadrada del
tiempo. Por otro lado existe una inconsistencia lógica al suponer que la varianza es
constante durante todo el periodo. Estos problemas motivaron al desarrollo de nuevos
modelos con los que se pueda obtener predicciones más certeras.
3.2.2 Media móvil ponderada exponencial
El modelo de Medias Móviles Ponderadas Exponenciales o EWMA por su acrónimo en
inglés Exponentially Weighted Moving Average, busca suavizar el impacto de las grandes
oscilaciones en la volatilidad observadas en el mercado, mejor conocidas como outliers,
dado que, pueden afectar drásticamente los cálculos. Este modelo se basa en otorgar un
mayor peso56
o ponderación a la información reciente, otorgando un menor peso que decae
con el tiempo de forma exponencial a los datos antiguos, debido a que tienen un impacto
poco significativo en la estimación de la volatilidad. Este enfoque cuenta con dos ventajas
importantes:
1) La volatilidad reacciona con mayor rapidez a los shocks en el mercado, ya que, los
datos recientes son los que tienen más peso.
2) Después de un shock, la volatilidad disminuye exponencialmente a medida que el
peso de la observación cae.
JP Morgan puso en marcha la metodología RisckMetrics en 1992, en la cual utiliza el
modelo EWMA, con la finalidad de pronosticar la volatilidad de la distribución normal
multivariante, a través de la siguiente formula:
√ ∑ [3.10]
Donde
: Factor de decaimiento (Decay factor)
55
Correlación entre los miembros de una serie de observaciones ordenadas en el tiempo. (Gujarati, 2004). 56
El peso asignado a cada observación se determina por
Donde t es la posición de la observación en la serie y el factor de decaimiento.
[61]
Al elegir el valor apropiado del decay factor se obtiene una predicción eficiente de la
volatilidad, dado que, este parámetro determina la cantidad de observaciones históricas que
se deben utilizar en el modelo, así como el peso que se debe aplicar a cada una de ellas,
(Ramírez 2007). Su valor se encuentra entre cero y uno, así, por ejemplo cuando:
1) = 157
Todas las observaciones tienen pesos uniformes;
2) ≈ 1 Los estimados responden rápidamente a la nueva información de los cambios
relativos del factor, y
3) ≈ 0 Los estimados de volatilidad responden lentamente a la nueva información.
Cuando el modelo fue propuesto por primera vez J.P. Morgan, sugirió que se
estableciera un factor de decaimiento de 0.94 para los rendimientos diarios (Danielsson,
2011), actualmente se sigue utilizando ese porcentaje; no obstante, lo mejor es determinar
el valor del factor de decaimiento mediante el criterio de optimización, ya que, al establecer
el factor óptimo se logra por un lado que el pronóstico de la varianza sea correcto y por otro
que la covarianza esperada sea consistente con las propiedades de la matriz de varianza-
covarianza a la que pertenece, (Flores y Flores, 2011). Una forma de obtenerlo es
minimizando el error cuadrático medio:
∑ (
)
[3.11]
Dónde:
es la varianza que está en función de .
La estimación para el instante de la varianza del retorno , realizada en el instante
anterior , es:
( )
[3.12]
Esto es, el valor esperado del retorno al cuadrado, mientras que el error en la estimación de
la varianza es cero:
[3.13]
57
Cuando es igual o cercana a la unidad se perderá cierta capacidad para incorporar rápida y eficientemente
eventos imprevistos que afecten al pronóstico de la volatilidad.
[62]
De acuerdo con ello, se busca el valor de que minimice la suma de errores al cuadrado
producidos en la serie histórica. Existen diversos métodos para medir el error pronosticado
de la varianza;58
sin embargo, el criterio seleccionado es RMSE59
(Root Mean Squared
Error), debido a su facilidad de cálculo e interpretación. El error está dado por:
√
∑ [
]
[3.14]
Determinar el factor de decaimiento que produzca una estimación eficiente de la varianza
en la serie histórica se basa en calcular el RMSE que minimice la raíz del promedio
muestral de los errores cuadrados, es decir, se busca que su valor sea igual a cero (para un
ajuste perfecto) o cercano, dado que depende de y que probablemente este valor no será
el mínimo se produce un proceso iterativo de minimización hasta obtener el valor óptimo
de . La metodología EWMA es eficiente debido a que proporciona una media más realista
de la volatilidad actual al incorporar los shocks externos mejor que las medias móviles de
igual ponderación; no obstante, cabe mencionar que su poder predictivo es para horizontes
de corto plazo, además de que sus pronósticos tienen a ser más grandes, dado que no
existen restricciones sobre la estacionariedad de la serie.
3.2.3 ARCH
El paso previo para poner en práctica este tipo de modelos es ajustar un modelo ARIMA.
George Box y Gwilym Jenkins son los autores del modelo Autorregresivo Integrado de
Media Móvil, ARIMA por sus siglas en inglés AutoRegresive Integrated Moving Average,
su nombre se deriva de tres componentes: modelos autorregresivos (AR), orden de
integración (I) y medias móviles (MA):
Modelos Autorregresivos AR(p). Sostienen que el futuro de la serie temporal es
explicada por las observaciones de ella misma correspondientes a periodos anteriores
más un término de error, la forma de expresar un AR(p) se define por:
[3.15]
Donde
: Rezago.
: Componente estocástico.
58
Entre los que se pueden mencionar: error medio (ME); error cuadrado medio (MSE); error absoluto medio
(MAE); error porcentual absoluto medio (MAPE); logaritmo medio de los errores absolutos (MLAE), y
estadístico THeil-U. 59
Es una medición estadística de la varianza entre los valores residuales.
[63]
Debido a que representa el cambio que ocurre en el presente derivado del pasado no
puede ser igual a 1, porque entonces no existen hechos pasado, únicamente se toman en
cuenta el presente. Este tipo de modelos están basados en tres supuestos:
1. La serie de tiempo es débilmente estacionaria.
2. Los son variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas con media
cero y varianza constante, es decir, .
3. Las series de tiempo y los residuos son independientes si sus momentos son
distintos
Modelo Medias Móviles MA(q). Afirma que la historia de los residuos explica el futuro
de la serie temporal, es decir, el valor actual puede predecirse a partir de la componente
aleatoria de este momento, y en menor medida, de los impulsos aleatorios anteriores,
Pérez (2006). Este modelo es invertible, ya que tiene un polinomio característico con
raíces que caen fuera del círculo unitario. Matemáticamente se representa:
[3.16]
Los supuestos del modelo son los siguientes:
1. El modelo es invertible, lo que supone que la correlación entre una variable y su
pasado va reduciéndose a medida que se aleja del momento para el cual se considera
dicha correlación (proceso ergódico).
2. La serie de tiempo es débilmente estacionaria.
3. Los son variables aleatorias independientes idénticamente, .
4. Las series de tiempo y los residuos son independientes si sus momentos son
distintos
Una condición indispensable para utilizar la metodología Box-Jenkins es que la serie
de tiempo sea estacionaria, con la finalidad de que se proporcione una base válida para la
predicción, es por ello que tanto el modelo AR como MA se basan en el supuesto que la
serie es débilmente estacionaria, esto es que, mientras su media y varianza son
constantes, su covarianza es invariante en el tiempo. El método Box-Jenkins es iterativo y
consta de cuatro pasos:
[64]
Figura 3.2. Metodología Box-Jenkins
Fuente: Elaboración propia.
Un buen modelo ARIMA cumple con las siguientes características: a) el principio de
parsimonia,60
de forma que sólo se utilicen los coeficientes necesarios; b) se ajusta lo mejor
posible a los datos, y c) los residuos son ruido blanco. Una vez ajustado el modelo ARIMA
es posible aplicar los modelos ARCH, los cuales deben su nombre a que consideran que la
varianza es heterocedástica, es decir, no es constante aunque si condicional debido a que al
momento de estimar la varianza utiliza información adicional a diferencia de la varianza
incondicional de la muestra, la cual es una constante, además, son autorregresivos, ya que
la varianza del periodo es explicada mediante la varianza del periodo anterior. Estos
modelos suponen que la volatilidad presenta características de asimetría, no linealidad y
larga memoria.
Este apartado se realizará en base al artículo titulado Autorregressive conditional
heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation, que fue
presentado por Engle en 1982. Sí la variable aleatoria se obtiene de la función de
densidad condicional | el pronóstico del valor actual está determinado por la
información pasada. Bajo supuestos estándar se puede establecer como | , que
depende del valor de la variable condicional . La varianza del pronóstico de un periodo
está dado por | está expresión demuestra que el pronóstico de la varianza
condicional depende de la información pasada y, por lo tanto, puede ser una variable
aleatoria. Engle postula una clase de modelos donde la varianza no depende del pasado,
inicialmente se considera un modelo autorregresivo de primer orden:
[3.17]
60
El principio de parsimonia se refiere a la preferencia de modelos más simples sobre los más complejos.
Paso 1. Identificación del
modelo. Encontrar valores
apropiados de (p,d,q).
Paso 2. Estimación. Estimar los
parámetros elegidos.
Paso 3. Verificación de
diagnóstico. Comprobar si el
modelo se ajusta a los datos y si
los residuos se comportan como
ruido blanco.
Paso 4. Predicción.
No cumple
Si
cumple
[65]
La media condicional de es mientras que media incondicional es cero. El gran
avance en el pronóstico de los modelos de series de tiempo consiste en el uso de la media
condicional. La varianza condicional de es y la varianza incondicional es
.
Se podría esperar pronósticos más eficientes para los procesos reales, sí la
información adicional del pasado afectará a la varianza del pronóstico, por lo cual es
necesaria otra clase de modelos. Introducir una variable exógena con la finalidad de
predecir la varianza, es el enfoque estándar de la heterocedasticidad, sí se sabe que la media
es cero, el modelo sería:
[3.18]
La varianza de es , de manera que el pronóstico del intervalo depende de la
evolución de la variable exógena; sin embargo, dicha ecuación parece insatisfactoria, dado
que requiere una especificación de las causas por las que cambia la varianza, en lugar de
reconocer que tanto la media como la varianza condicional pueden desarrollarse de forma
conjunta a través del tiempo, por ello, las correcciones de heterocedasticidad rara vez se
consideran en las series de tiempo. Considerando todas las limitaciones de los modelos con
los que se contaban, Engle definió el proceso ARCH(q) como:
[3.19]
∑
[3.20]
Este proceso cuenta con las siguientes condiciones:
1. es un proceso idénticamente distribuido con media cero y desviación igual a uno,
es decir, 2. Para que se cumpla tanto la condición de estacionariedad en media como para que
los parámetros sean , e , la suma de todos los parámetros es
menor que la unidad.
3. Cuando se comporta como un gaussiano y se distribuye como una normal, es
condicionalmente normal y su varianza es .
Es importante diferenciar entre la varianza condicional y no condicional del término
de error. La varianza condicional de puede ser denotada por (Tsay, 2005):
| *( )
| + [3.21]
[66]
Asumiendo [ ] :
| [
| ] [3.22]
La ecuación anterior muestra que la varianza condicional de la variable aleatoria con
media cero y distribuida normalmente, es equivalente al valor condicional esperado del
cuadrado de . En el modelo ARCH la autocorrelación en la volatilidad se representa con
la varianza condicional en función del término de error al cuadrado:
[3.23]
Un ARCH(1) matemáticamente se expresa con la ecuación [3.23], asimismo, la ecuación,
principal61
adopta la misma forma que el modelo estructural. A pesar de que estos modelos
han demostrado ser útiles en la modelización de diversos fenómenos económicos tienen
como defecto requerir procesos de un orden elevado para capturar la dinámica de la
volatilidad condicionada, es por ello que surgieron los modelos GARCH.
3.2.4 GARCH
Las primeras aplicaciones de los modelos ARCH se caracterizaron por requerir un gran
número de parámetros autorregresivos, además de que se imponía una estructura fija de
retardos para representar adecuadamente el comportamiento dinámico de la varianza, con la
finalidad de flexibilizar estos modelos y permitir una representación más parsimoniosa de
la volatilidad en 1986, Bollerslev desarrolló el modelo GARCH basado en el supuesto de
que las ponderaciones de los cuadrados de los residuos pasados disminuyen
geométricamente a una tasa que debe estimarse a partir de los datos. Asimismo, permiten a
la varianza condicional depender de sus propios rezagos.
El modelo más sencillo de este tipo es el GARCH(1,1) a través del cual se pueden
modelar perfectamente los cambios temporales en la varianza condicional incluso sobre
periodos muéstrales largos. Matemáticamente la varianza condicionada se representa,
como:
[3.24]
61
Se denomina ecuación principal a aquella que describe como la variable dependiente varia en el tiempo.
[67]
Con , es decir con coeficientes positivos, en este modelo cuando
tiene un valor alto significa que habrá una mayor varianza en el periodo siguiente y el
termino obliga a que la varianza cambie con cierta inercia, lo cual produce rachas de
mayor variabilidad. La varianza marginal del proceso es :
( ) (
) [3.25]
Tomando las esperanzas:
( ) (
) [3.26]
Y al ser estacionario , lo cual implica que ( ) (
),
entonces:
[3.27]
Sí , la serie tiene varianza finita, y por ser una martingala62
en diferencias, es
ruido blanco, de media cero y varianza condicional , la cual se estima un periodo
adelante basado en información pasada relevante. Además, Bollerslev prueba que si
, el momento de orden 4 de existe y es finito, y la curtosis de
es:
(
)
[ ]
[ ]
[3.28]
El valor de la curtosis es mayor que 3 cuando , por tanto, el proceso
GARCH(1,1) estacionario es leptocúrtico, propiedad que comparte con el modelo
ARCH(1). Si , la ecuación se escribe como:
[3.29]
El modelo GARCH(1,1) puede interpretarse como un proceso ARMA(1,1) para la serie ,
cuya función de autocorrelación será:
( )
( )
[3.30]
62
Una martingala es un proceso estocástico que evoluciona sin tendencia.
[68]
Mediante el modelo GARCH es posible interpretar la varianza estimada actual como una
función ponderada de un valor promedio a largo plazo , así como la información acerca
de la volatilidad durante el periodo anterior ( ) y la varianza estimada del modelo
presentada en un periodo anterior ( ). Debido a que en la práctica al estimar los
modelos GARCH(1,1) se obtienen valores de , y a que son incapaces de
modelizar una respuesta asimétrica de la volatilidad ante las subidas y bajadas de las series,
surgieron los modelos EGARCH.
3.2.5 EGARCH
En 1991, Nelson presentó el modelo EGARCH, el cual puede capturar una respuesta
asimétrica de la volatilidad ante innovaciones de distinto signo, es decir, permite que la
volatilidad condicional sea una función asimétrica del pasado de los datos, ya que, los
signos de la perturbación del periodo anterior afectan el comportamiento futuro de la
volatilidad, pues si la innovación del periodo anterior fue negativa, entonces, se producirá
un aumento de la volatilidad. Por otro lado, este modelo garantiza la no negatividad de la
varianza condicional formulando la ecuación de la volatilidad en términos de logaritmo de
mediante una representación lineal del tipo:
[ ]
√
√
[3.31]
Donde
: Componente de varianza heterocedástica.
√ : Valor autorregresivo de la función.
|
√ | : Efecto asimétrico, donde {
}
El parámetro , mide el grado de persistencia de la varianza condicional, mide la
magnitud del efecto, de tal forma que si , la información nueva ejerce un efecto
positivo en la varianza, lo contrario si . Por su parte , indica el signo del efecto si
hay asimetría, cuando su valor es significativo captura la turbulencia asimétrica de
los mercados que no explican al GARCH. Si , indica que las noticias malas tendrán
un impacto mayor en la volatilidad condicional futura que las noticias buenas de la misma
magnitud. En el siguiente capítulo se realiza la aplicación práctica de la teoría que fue
expuesta, a fin de comprobar o rechazar la hipótesis sostenida al inicio de la investigación.
[69]
CAPÍTULO 4. APLICACIÓN DEL MODELO VASICEK
En los capítulos anteriores se analizó que los agentes económicos al ser racionales buscan
maximizar su saldo disponible dividiéndolo entre saldo para transacciones y saldo
especulativo, este último depende de la tasa de interés de los bonos, dado que, cuando su
nivel aumenta optarán por comprar más bonos aunque eso signifique que tengan menos
dinero y por el contrario, sí el nivel de la tasa de interés baja venderán sus bonos de forma
que aseguren el dinero en su poder, dichas transacciones se realizan en el mercado de
bonos, en el cual existe una vasta gama de instrumentos de deuda, entre ellos los bonos
cupón cero denominados de esa forma, debido a que cotizan a descuento, es decir, no pagan
cupones.
En 1977 Alphonse Vasicek, deriva una ecuación diferencial para la valuación de este
tipo de bonos, siendo el primero en incorporar la hipótesis de reversión a la media a un
modelo de tasas de interés de equilibrio, lo cual implica que bajo condiciones normales
existe un nivel medio al que la tasa de interés retorna en el corto plazo; no obstante, tanto la
tasa de interés como el resto de las variables financieras se caracteriza por tener una
acumulación de volatilidad inherente, tal como se observado en los últimos años. Debido a
ello surgió la necesidad de reformular los modelos con el objetivo de considerar la
aleatoriedad. Actualmente en la literatura financiera se encuentran diversas metodologías
con la finalidad de calcular la volatilidad de una forma más eficiente.
Toda vez que se han estudiado y comprendido los sustentos teóricos sobre los que se
basa la investigación, sólo resta presentar en este último capítulo los resultados logrados a
partir de la estimación de los diversos modelos de volatilidad aplicados al modelo Vasicek,
a fin de obtener un pronóstico más eficiente, suponiendo una varianza heterocedástica.
Antes de poner en práctica cualquier metodología es necesario realizar la búsqueda de la
base de datos, dado que Vasicek supone una tasa instantánea y esta no es observable para
llevar a cabo el análisis es necesario recurrir a una variable que la aproxime
adecuadamente; por lo cual se eligió la serie de CETES al más corto plazo, es decir, diario,
misma que se ha obtenido a partir de fuentes del Banco de México.63
63
www.banxico.org.mx/
[70]
4.1 Comportamiento de la tasa de rendimiento CETES a 28 días
El primer paso para comprobar la hipótesis establecida al inicio de la investigación consiste
en analizar los estadísticos básicos, para lo cual se dispone de una serie de datos
correspondiente a la tasa de rendimiento, diaria, de los CETES a 28 días, durante diez años
(01 de agosto de 2003 al 31 de agosto de 2013),
[4.1]
Donde
Los datos de la tasa de interés se transformaron a rendimientos diarios, en la figura 4.164
se
presentan sus estadísticos básicos. Las medidas de distribución, curtosis y asimetría ayudan
a identificar si los datos se distribuyen de manera uniforme alrededor del punto central
(asimetría), asimismo, a través de dichas medidas se puede medir el grado de concentración
que presentan los valores en la región central de la distribución (curtosis). En este caso la
curtosis es de 1.7551, lo que indica que la distribución es platicúrtica, es decir, es más
achatada de la normal. Debido a que la asimetría tiene un valor positivo de 0.3115, se
puede concluir que la cola en el lado derecho tiene una función de densidad más largo o
más grueso que la normal. Finalmente con el valor Jarque-Bera se concluye que el proceso
no se comporta como una normal.
Figura 4.1. Características de los CETES a 28 días (2003-2013)
Media 0.472987
Mediana 0.481335
Máximo 0.763343
Mínimo 0.281459
Desviación E. 0.138361
Asimetría 0.311521
Curtosis 1.755181
Jarque-Bera 212.4263
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
64
Los datos y gráfica fueron obtenidos mediante Stata 11.1
0.2
.4.6
.81
Den
sity
4 6 8 10cetes
[71]
En la siguiente figura se muestra el gráfico Quantile-Quiantile en el cual se evidencia
la desviación que existe con relación a la diagonal con lo cual se asume que existen valores
extremos, debido a que si fuera una distribución normal los elementos de la diagonal
formarían una línea recta, a través de esto se puede confirmar lo que ya se había
mencionado antes que la serie presenta colas más pesadas en comparación a las que sigue
una distribución normal.
Figura 4.2. Cuantiles correspondientes a los CETES a 28 días
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
La gráfica 4.1 muestra los rendimientos65
de la serie en los cuales se puede apreciar
que durante el periodo de estudio existen clusters o concentraciones de volatilidad, en otras
palabras, existen ciertos periodos en los que se producen altas oscilaciones seguidos por
una relativa calma.
Gráfica 4.1. Rendimientos diarios de la tasa de interés (2003-2013)
-.12
-.08
-.04
.00
.04
.08
.12
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico
65
Para obtener tanto la prueba Bai-Perron como la gráfica se utilizó Eviews 8.
.24
.28
.32
.36
.40
.44
.28 .32 .36 .40 .44 .48
Quantiles of CETES
Qua
ntil
es o
f Nor
mal
[72]
De acuerdo con Perron (1989), generalmente cuando se presenta una modificación o
cambio en las variables económicas es de manera transitoria, aunque existen algunos
eventos que si tienen efectos permanentes. Para mejorar la modelización del
comportamiento de una serie es necesario identificar los quiebres estructurales. Bai y
Perron (1998, 2003), argumentaron que el análisis se basa en una aceptación errónea de la
hipótesis de raíz unitaria cuando no se tiene en cuenta la presencia de cambios
estructurales. Actualmente existen numerosas pruebas para estimar dichos cambios en las
series de tiempo los cuales se pueden clasificar en dos grupos: 1) de un sólo cambio
estructural, y 2) de múltiples cambios estructurales.
Al aplicar la prueba de Bai-Perron para identificar si existe cambio estructural se
identificó que existen cuatros quiebres durante el periodo de estudio: el primero de 01 de
agosto de 2003 al 02 de febrero de 2005, el segundo del 03 de febrero de 2005 al 08 de
agosto de 2006, el tercero del 09 de agosto de 2006 al 21 de abril de 2009, y finalmente el
cuarto del 22 de abril del 2009 al 30 de agosto de 2013 (para mayor detalle ver tabla A1 de
los anexos), gráficamente se presenta a continuación.
Gráfica 4.2. Cambio estructural de los CETES a 28 días (2003-2013)
-3
-2
-1
0
1
2
3
2
4
6
8
10
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Residual Actual Fitted Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico
Las fechas en que ocurrieron los cambios estructurales coinciden con los
acontecimientos sucedidos en la economía mexicana, dado que en 2005, debido a las
condiciones globales de liquidez y al apetito por el riesgo por parte de los inversionistas
internacionales, México fue una alternativa para incrementar el rendimiento de sus
portafolios al invertir en instrumentos de deuda en moneda nacional, provocando con ello
que en el segundo semestre de ese año la tasa de interés presentara una reducción
considerable. En general la política monetaria de ese año estuvo enfocada en mantener una
tasa de interés por debajo del 5 por ciento, además de que se buscaba tener tasas de interés
por encima de la inflación y de las observadas en Estados Unidos para seguir atrayendo
capitales al país.
[73]
Desde finales de 2008 y hasta la mitad del 2009 a consecuencia de la volatilidad que
presentaron las tasas de interés de largo plazo, muchos inversionistas trataron de evitar el
riesgo de perder su capital adquiriendo bonos de corto plazo, lo que contribuyó a la caída
de las tasas, el ambiente de aversión al riesgo continuo hasta los primeros meses de 2009.
En 2013 el nivel de la tasa de interés alcanzó mínimos históricos, debido a la incertidumbre
prevaleciente en la economía mundial, ya que aun cuando la economía estadounidense
sigue creciendo, su sector industrial no lo ha hecho provocando, un aumento de las tasas de
mediano y largo plazo a nivel mundial. A pesar de que la zona del euro dejo de contraerse,
no ha contribuido a que la volatilidad de los mercados financieros disminuya.
La línea vertical de la gráfica 4.2, divide el último quiebre estructural que ha sufrido
la tasa de interés, al cual se aplicará el modelo Vasicek, debido a que este modelo no logra
captar dichos cambios. Los primeros parámetros en estimar para la aplicación de esta
metodología son y , mismos que a continuación se presentan.
4.2 Estimación de los parámetros y
En el capítulo II se proporcionó la ecuación diferencial estocástica del modelo de equilibrio
de Vasicek:
Es necesario recordar que y son la velocidad de reversión a la media y el nivel medio
de reversión de la tasa de interés respectivamente, los cuales se pueden estimar de dos
formas: 1) a través con un modelo de regresión lineal simple con el supuesto estándar de
errores normales no correlacionados, y 2) mediante un proceso autorregresivo de orden uno
con tendencia, ya que el modelo Vasicek supone que la tasa corta se comporta como una
serie autorregresiva cuyo rezago máximo es la tasa del periodo inmediato anterior,
matemáticamente:
[4.2]
Donde
La media (incondicional) de es:
[ ]
[4.3]
[74]
Los resultados arrojados al estimar la regresión lineal, 66
se muestran en la tabla A1 de
los anexos, a partir de los cuales se sustituye la ecuación [4.3], y se obtienen los valores de
los parámetros y , mismos que se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 4.1. Parámetros estimados
CETES28 0.042789 4.227178
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
Según los datos obtenidos se puede concluir que la velocidad a la cual el rendimiento
de los CETES a 28 días, se revierte a su media es 0.042789, a medida que este valor
aumenta, el precio del bono, también aumenta hasta estabilizarse en valores cercanos a su
nominal. Como se ha venido señalando a lo largo de toda la investigación la tasa de interés
es una de las variables financieras que se ha visto más afectada por la volatilidad en los
últimos años, debido a que fluctúa de acuerdo a diversos factores (los cuales también ya se
han señalado), provocando que sea difícil de conocer, por tal motivo se han desarrollado
diversas metodologías con la finalidad de capturar mejor dicha volatilidad.
4.3 Estimación de la volatilidad
A partir de la información presentada en el capítulo 3 sobre la evolución de la tasa de
interés durante el periodo de estudio se puede concluir que esta variable se caracteriza por
tener una acumulación de volatilidad inherente, por tanto, es indispensable contar con un
modelo que capture de forma rápida los eventos que ocurren en el mercado, en base a esto
en los siguientes apartados se aplican las diversas metodologías desarrolladas en el capítulo
precedente para después introducirlas al modelo propuesto a fin de compararlas y decidir
con cuál de ellas se obtiene un pronóstico más eficiente del precio del bono cupón cero.
4.3.1 Cálculo de volatilidad histórica
El cálculo de la volatilidad histórica se realizó a partir de la ecuación [3.9], recordando:
√∑
66
Para obtener los parámetros del modelo se utilizó la macro Análisis de datos/Regresión de Excel.
[75]
Para aplicar la formula se requirió la construcción de una tabla en Excel (en la tabla A3 de
los anexos se muestran las primeras diez columnas, debido a que no tiene sentido práctico
incluirla toda), a través de la cual se obtuvo un resultado de 22.31 por ciento de volatilidad
para el periodo considerado, en la siguiente gráfica se puede apreciar su comportamiento.
Gráfica 4.3. Volatilidad histórica de los CETES a 28 días (2009-2013)
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
En la gráfica 4.3 se puede observar que a lo largo de todo el periodo comprendido en
la investigación la volatilidad tuvo bajadas y subidas excesivamente bruscas, esto debido a
que en este tipo de modelos los pesos de las observaciones son idénticos, para resolver este
problema a continuación se presenta el modelo de media móvil ponderada exponencial.
4.3.2 Cálculo de EWMA
De igual forma que en el modelo de volatilidad histórica para la aplicación de la
metodología EWMA fue necesario construir una tabla en Excel, (las primeras diez
observaciones que componen dicha tabla se muestran en la tabla A4 de los anexos) en base
a la formula [3.12]:
√ ∑
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
21/04/2009 21/04/2010 21/04/2011 21/04/2012 21/04/2013
[76]
Este modelo considera que la función de distribución Normal del parámetro , cambia con
el tiempo. A través de esta metodología se obtuvo una volatilidad de 1.80 por ciento. En el
siguiente apartado se presenta los cálculos realizados para obtener la volatilidad por medio
de un proceso GARCH.
4.3.3 Cálculo del proceso EGARCH
La identificación de los modelos ARCH y GARCH se efectúa después de ajustar un modelo
ARIMA a la serie, por lo cual a fin de asegurarse que la especificación del modelo sea la
correcta, es necesario corroborar que la serie es estacionaria, una primera aproximación a
este problema es el análisis de la función de autocorrelación (AC), la cual se encuentra dada
por:
Donde el valor de se encuentra entre y , al graficar esto se obtiene el correlograma
que contiene a la variable de estudio rezagada en el tiempo (Tsay, 2005). En la figura A1 de
los anexos se presenta el correlograma en el cual se observa que el coeficiente de
autocorrelación tiene un lento decaimiento; el valor de las ACF y PACF (función de
autocorrelación parcial) son de 0.968 en el primer rezago; sin embargo, el coeficiente de
autocorrelación del rezago 36 es de 0.466, en tanto que el de la autocorrelación parcial es
de -0.042. Al no disminuir inmediatamente el coeficiente ACF, se puede pensar que la serie
no es estacionaria, por lo cual a fin de comprobar esto es indispensable realizar una prueba
de hipótesis sobre la presencia de raíces unitarias en base a lo visto en el apartado 3.1 del
capítulo 3.
Al aplicar la prueba Dickey-Fuller, se obtuvo una probabilidad de 0.000, debido a que
es menor a 0.05, se rechaza la hipótesis nula y se acepta que la serie es estacionaria.
Además esto se puede comprobar con el test estadístico Dickey-Fuller, dado que es mayor
al , estadístico de MacKinnon al 99, 95 y 90 por ciento de confianza. (Estos resultados se
evidencian en la tabla A5 de los anexos). En la siguiente figura se presentan las funciones
de autocorrelación simple y parcial por separado, con la finalidad de identificar el modelo
ARIMA.
[77]
Figura 4.3. ACF y PACF de los CETES a 28 días (2009-2013)
Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico
En la función de autocorrelación se observa que todos se salen de las bandas,
mientras que en la PACF las dos primeras son estadísticamente diferentes de cero,
indicando que al menos se debe considerar un AR(1); sin embargo, después de realizar
varios intentos por encontrar un modelo que se comporte como un ruido blanco, se
consiguió al calibrar el modelo con un AR(1) y un MA(20), ya que presentan buena
significatividad individual, pues la probabilidad es menor a 0.05 por ciento, por otro lado el
estadístico Durbin Watson es cercano a 2, en cuanto al círculo unitario ningún valor sale
fuera, (todo esto se presenta en los anexos), por lo cual se puede decir que el modelo al que
se ajusta la serie es ARMA(1,20).
Figura 4.4. Ajuste ARMA(1,20)
-.15
-.10
-.05
.00
.05
.10
-1.3
-1.2
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III
2009 2010 2011 2012 2013
Residual Actual Fitted Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
-0.2
00
.00
0.2
00
.40
0.6
00
.80
Au
tocorr
ela
tion
s o
f ce
tes
0 10 20 30 40Lag
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
0.0
00
.20
0.4
00
.60
0.8
01
.00
Pa
rtia
l a
uto
co
rre
lation
s o
f cete
s0 10 20 30 40
Lag
95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)]
[78]
Una vez que se ajustó el modelo ARMA es indispensable verificar la existencia de
Heterocedasticidad Condicional, mediante el contraste ARCH,67
ya que de ser así, será
posible utilizar los modelos GARCH. Tsay (2010) conjetura que la prueba de Multiplicador
de Lagrange es equivalente a demostrar que en una regresión lineal:
La hipótesis nula es: , si ∑ ̅
, en la que ̅ ∑
es la media muestral de
y ∑ ̂
, donde ̂ son los residuos de la
regresión lineal por mínimos cuadrados. Entonces:
El estadístico posee una distribución asintótica chi-cuadrada con m grados de libertad. La
hipótesis nula se rechaza si o si el p-value de F es menor que . De esta manera
las hipótesis son las siguientes:
Tabla 4.2. Prueba ARCH
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
67 Debido a que una mayor incertidumbre en el pasado podría afectar el comportamiento presente. Engle
propuso en 1982 que la matriz de varianzas y covarianzas del término del error del modelo
depende del cuadrado de los errores observados en el pasado. Pérez (2006).
Heteroskedasticity Test: ARCH
Sample (adjusted): 4/24/2009 8/30/2013
Method: Least Squares
F-statistic 32.91537 Prob. F(1,2626) 0.0000
Obs*R-squared 32.04333 Prob. Chi-Square(1) 0.0000
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.000142 0.0000187 7.583328 0.0000
RESID^2(-1) 0.16795 0.029274 5.737192 0.0000
R-squared 0.028207 Mean dependent var 0.000171
Adjusted R-squared 0.02735 S.D. dependent var 0.000616
S.E. of regression 0.000608 Akaike info criterion -11.97122
Sum squared resid 0.000419 Schwarz criterion -11.96235
Log likelihood 6801.652 Hannan-Quinn criter. -11.96787
F-statistic 32.91537 Durbin-Watson stat 2.096446
Prob(F-statistic) 0.0000
[79]
Los resultados obtenidos aceptan la significatividad de los términos ARCH, dado que
la probabilidad de los valores es menor a 0.05, de esta manera se demuestra que el modelo
presenta heterocedasticidad condicional. Los resultados sugieren emplear un modelo
EGARCH(p,q) junto con un ARMA(1,20), los cuales se presentan en la siguiente tabla:
Tabla 4.3. Estimación del proceso EGARCH (1,1) para el proceso AR(1,20)
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
La varianza condicional del modelo EGARCH (1,1) para el caso analizado está dada por:
(
) (
)
Debido a que el valor del parámetro es 0.96473, se puede afirmar que hay un fuerte
impacto de los choques informativos sobre la varianza condicional. El valor de es
0.369271 por lo cual la nueva información implica un efecto positivo en la varianza. En
tanto que al tener una probabilidad de 0.00 es significativo por lo que captura la
turbulencia asimétrica de los mercados, además de que al ser positivo (0.083217) indica
que la información nueva ejerce un efecto negativo en , en otras palabras, produce un
cambio pequeño en la varianza.
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 4/23/2009 8/30/2013
LOG(GARCH) = C(8) + C(9)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + C(10)
*RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) + C(11)*LOG(GARCH(-1))
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(8) -0.571384 0.061699 -9.260868 0.0000
C(9) 0.369271 0.025338 14.57354 0.0000
C(10) 0.083217 0.012184 6.829907 0.0000
C(11) 0.963473 0.0054 178.4171 0.0000
R-squared 0.960435 Mean dependent var -1.091559
Adjusted R-squared0.960225 S.D. dependent var 0.065892
S.E. of regression 0.013141 Akaike info criterion -6.459124
Sum squared resid 0.195148 Schwarz criterion -6.410402
Log likelihood 3683.012 Hannan-Quinn criter. -6.440722
Durbin-Watson stat 2.09613
Inverted AR Roots 0.98
Inverted MA Roots .93-.16i .93+.16i .79+.40i .79-.40i
.63+.64i .63-.64i .46-.82i .46+.82i
.13+.91i .13-.91i -.14+.87i -.14-.87i
-.40-.80i -.40+.80i -.62+.68i -.62-.68i
-.82+.39i -.82-.39i -.88+.13i -.88-.13i
[80]
Al observar el correlograma se puede observar que la AC no sugiere ninguna
correlación significativa serial o heterocedástica condicional en la serie de residuos, se
comporta como un ruido blanco, ya que a excepción de los rezagos 1 y 2 los demás cuentan
con una probabilidad mayor a 0.05, por lo cual este modelo parece ser adecuado para
describir la dependencia lineal en el retorno y la serie de volatilidades. En la siguiente
gráfica se presenta la volatilidad obtenida a través del proceso EGARCH.
Gráfica 4.4. Volatilidad EGARCH(1,1) para el proceso AR(1,20)
.0000
.0005
.0010
.0015
.0020
.0025
II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III
2009 2010 2011 2012 2013 Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
En la gráfica 4.4 se puede apreciar que los clusters de volatilidad se empezaron a
presentar a partir del cuarto trimestre de 2010, esto como consecuencia del incremento en la
aversión al riesgo que se originó en los mercados financieros internacionales debido a los
problemas fiscales de algunos países que comprenden la zona del euro provocando que las
tasa de interés de los países emergentes (entre ellos México) aumentara. La incertidumbre
en los mercados financieros prevaleció durante el 2010, ya que, existían dudas por parte de
los inversionistas acerca de la sostenibilidad fiscal y de la solvencia del sistema bancario de
dichos países europeos.
Durante el primer semestre del 2012 el crecimiento de la actividad económica se
debilitó a raíz de dos acontecimientos: 1) la crisis de la zona de euro se intensificó a
consecuencia de la afectación que sufrió por el proceso de ajuste fiscal y crediticio, y 2) a la
desaceleración del crecimiento económico de Estados Unidos se le sumó la incertidumbre
con respecto a los efectos que el ajuste fiscal que se aplicaría en 2013 tendrían sobre el
dinamismo de la economía. En este contexto las perspectivas de crecimiento mundial
tuvieron un fuerte impacto en la precepción de riesgo global, por lo cual hubo un aumento
de la demanda de activos considerados como de menor riesgo, provocando que la tasa de
interés en México alcanzara niveles mínimos históricos.
[81]
A continuación se muestra la representación de los saltos de la varianza para el
modelo EGARCH(1,1):
Figura 4.5. Residuos estandarizados
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III
2009 2010 2011 2012 2013 Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
En la gráfica anterior se puede observar que al aplicar el EGARCH (1, 1) los residuos
de la serie mejoraron, por tanto, parece que ahora se comporta como un ruido blanco. Una
vez que se ha obtenido la volatilidad por las diversas metodologías propuestas, el siguiente
punto es aplicarlos al modelo Vasicek para determinar el precio del bono cupón cero a
través de la estructura de plazos.
4.4 Estructura de plazos de la tasa de interés de los CETES a 28 días
Una vez que se han estimado tanto los parámetros y como la volatilidad se puede
obtener la estructura a plazos de Vasicek (1977) partiendo de que el precio en el tiempo ,
de un bono cupón cero que paga una unidad monetaria y madura al tiempo , está dado
por:
Siendo , tasa de corto plazo en el tiempo
[82]
Y
.
/ ( )
La estructura de plazos de Vasicek, se obtiene mediante:
[ [ ]]
Esto, siempre y cuando el precio del bono se muestre como , donde
, es la tasa de interés en el tiempo , para el plazo . Sustituyendo en las
ecuaciones anteriores los valores la volatilidad resultantes de las distintas metodologías
aplicadas para su cálculo, así como de los parámetros y se obtuvieron los resultados
que se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 4.4. Estructura a plazos de los CETES a 28 días con estimación econométrica de
parámetros, bajo el modelo Vasicek (1977).
Metodología de
volatilidad
Estructura a
plazos
R(t, T)
Gráfica
Histórica 3.819219684
EWMA 3.830335729
EGARCH(1,1) 3.827344059
Fuente: Elaboración propia
3.8195
3.8200
3.8205
3.8210
3.8215
3.8220
3.8225
3.8230
3.8235
1
20
39
58
77
96
115
134
153
172
191
210
229
248
Ta
sas
(%)
Plazo en días (un año)
3.8160
3.8180
3.8200
3.8220
3.8240
3.8260
3.8280
3.8300
3.8320
1
20
39
58
77
96
115
134
153
172
191
210
229
248
Ta
sas
(%)
Plazo en días (un año)
3.8160
3.8180
3.8200
3.8220
3.8240
3.8260
3.8280
3.8300
3.8320
1
20
39
58
77
96
115
134
153
172
191
210
229
248
Ta
sas
(%)
Plazo en días (un año)
[83]
La gráfica obtenida al aplicar la volatilidad histórica al modelo de Vasicek indica que en el
corto plazo las tasas de interés tendrán una tendencia a la alza; sin embargo, llegaran a un
punto en el cual la curva se aplana y tiende a decrecer. Por su parte tanto en modelo
EWMA como el EGARCH (1,1) indican que la curva de rendimientos presentara una
tendencia a la alza, aunque en el en primero la pendiente será mayor. El siguiente paso
consiste en obtener el precio del bono cupón cero a través de la ecuación diferencial parcial
derivada de la estructura de plazos del modelo Vasicek.
4.5 Precio del bono cupón cero
La obtención de dicho precio se realizara a través de las formulas vistas en el capítulo 2,
recordando:
O bien
∫
En forma discreta, el precio del bono es:
(
∑
)
Donde
: Tasa corta
En la siguiente tabla se resumen los precios obtenidos al aplicar las formulas anteriores:
Tabla 4.5. Precio del bono cupón cero
Metodología de
volatilidad
Parámetros y
B(0,T)
Histórica
0.042789, 4.227178
0.985185175
EWMA 0.985185274
EGARCH(1,1) 0.985185274
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
En la práctica para realizar las inversiones se toman los primeros siete dígitos del
precio, y como se puede observar en la tabla 4.3., al aplicar el factor de volatilidad obtenido
mediante las tres metodologías propuestas, el precio del bono cupón cero en los tres casos
es similar, de manera que no se detecta que alguna de ellas se comporte mejor que la otra al
incluirlas en el modelo de Vasicek.
[84]
4.6 Análisis comparativo entre las metodologías propuestas para el
cálculo de la volatilidad
La volatilidad es uno de los principales factores que los inversionistas toman en cuenta
antes de realizar una negociación, dado que a través de ella se puede medir y/o estimar la
cuantía de los cambios que si bien no se pueden predecir con exactitud, si se producen en la
tasa de interés, provocando que operen en entornos inciertos, es por ello que tratando de
mitigar los riesgos de perder capital, se han desarrollado diversos modelos que tienen como
finalidad pronosticar la volatilidad de tal forma que el inversionista tenga cierta certeza
acerca de su evolución tratando con ello, asegurar éxito al invertir. Los tres modelos
desarrollados en los apartados anteriores muestran que cada uno cuenta con limitaciones.
Por ejemplo, el modelo de volatilidad histórica no refleja una reacción rápida a los
shocks que se presentan en el mercado, por lo cual los eventos sucedidos en el pasado
influyen considerablemente en el presente. Los modelos GARCH tienen la limitación de
que la varianza condicionada corresponde de la misma manera a los residuos positivos que
a los negativos, contradiciendo el comportamiento observado en las series de tiempo de
datos financieros. Al calibrar un modelo GARCH se demostró lo que se había planteado al
principio de la investigación, que la tasa de interés presenta una volatilidad persistente,
dado que la suma de los parámetros resultó mayor a 1.
Debido a que es muy frecuente que la volatilidad de las series sea persistente
surgieron los modelos EGARCH a través de los cuales se puede capturar una respuesta
asimétrica de la volatilidad ante innovaciones de distinto signo, es decir, permite que la
volatilidad condicional sea una función asimétrica del pasado de los datos, ya que, los
signos de la perturbación del periodo anterior afectan el comportamiento futuro de la
volatilidad, pues si la innovación del periodo anterior fue negativa, entonces, se producirá
un aumento de la volatilidad.
Es necesario recalcar que la varianza de la mayoría de las series no permanece
constante en el tiempo, y que además no tienen un carácter lineal, si no estocástico, por lo
cual los modelos EGARCH resultan eficientes para capturar de manera rápida y eficiente
los patrones de volatilidad de los CETES a 28 días.
[85]
CONCLUSIONES
La mayoría de las series temporales presentan un comportamiento irregular o aleatorio
volviéndolas difícil de predecir mediante modelos lineales, por lo que fue necesario
evolucionar de un análisis clásico a una metodología basada en el carácter estocástico de la
serie. Desde 1970, las investigaciones en materia de finanzas han desarrollado diversos
modelos de estimación que cada vez intentan ser más eficientes en el pronóstico, lo que a
su vez provoca que los inversionistas operen con una menor incertidumbre, si bien no se
puede estar seguro al cien por ciento del comportamiento futuro, si es posible tener cierta
certeza acerca de la evolución de la volatilidad lo cual asegura el éxito no sólo al momento
de invertir, sino también en la gestión del riesgo.
En este trabajo se pretende contrastar tres de los modelos para calcular la volatilidad
de la tasa de interés de corto plazo en México, en específico de la tasa libre de riesgo de
incumplimiento, es decir, de los CETES, ya que Vasicek supone una tasa instantánea y esta
no es observable en el mercado se recurre a los CETES a 28 días, pues este es el plazo más
corto disponible en el mercado mexicano. Los modelos utilizados son: 1) volatilidad
histórica; 2) EWMA, y 3) proceso EGARCH. La finalidad que se busca al formular y
estimar estos diferentes modelos es conseguir el más adecuado para que al introducirlo al
modelo Vasicek se obtenga un precio eficiente. Al inicio de la investigación se consideró
un periodo comprendido entre el 01 de agosto de 2003 al 30 de agosto de 2013.
Sin embargo, debido a las condiciones de las economías globales y a la crisis
financiera que se desencadeno en 2008, se originaron cuatro quiebres estructurales, y dado
que la metodología Vasicek no captura del todo estos cambios, para llevar a cabo el análisis
se utilizó el ultimo quiebre que va del 22 de abril de 2009 al 30 de agosto de 2013, con un
total de 1,138 observaciones diarias. Este cambio estructural se derivó del deterioro de las
expectativas de los inversionistas sobre el desempeño futuro de los activos de los mercados
desarrollados, por lo cual buscaron refugio en los mercados emergentes, en el caso de
México debido al diferencial que existía entre la tasa de interés interna y la estadounidense
(ver gráfica 3.3) contribuyó al aumento en los flujos de capital hacia México.
La llegada de los flujos de capital a México provocó una disminución de la tasa de
interés a niveles mínimos históricos, pues los inversionistas se inclinaron por adquirir
valores gubernamentales de corto plazo (ver gráfica 3.4), esta caída sustancial del
rendimiento de los CETES a 28 días y en general de los instrumentos de corto plazo, estuvo
acompañada de un aumento de su precio de manera consistente.
[86]
Al aplicar el primer modelo los analistas se enfrentan con la dificultad de decidir qué
periodo deben utilizar, dado que por un lado si es demasiado largo no tendrá relevancia
para pronosticar el presente y por otro, si es demasiado corto tendrá mucho ruido. Además
cabe destacar que la varianza de una serie es diferente en cada periodo del tiempo, no
permanece constante. Es precisamente por este problema que surgieron los modelos ARCH
a través de los cuales se muestra que en el tiempo existe una gran volatilidad de las series
de tiempo financieras; dicho de otra forma, existen periodos de oscilaciones seguidos por
una relativa calma.
La volatilidad histórica no refleja una reacción rápida a los shocks que se presentan
en el mercado influido por diferentes factores de corte económico y financiero además de
que tienden a hacer que los eventos sucedidos en el pasado sigan influyendo de manera
considerable en el presente, lo que limita al pronóstico de la volatilidad. Mientras que en
los modelos paramétricos como el EGARCH es posible recoger de forma rápida los eventos
que suceden en el mercado. Asimismo es posible asumir que la varianza tiene cierta
estructura de dependencia con respecto al tiempo arrojando una estimación de la varianza
con características de series de tiempo, haciendo que el parámetro de la volatilidad sea una
variable observable.
Los resultados arrojados por la presente investigación muestran que el parámetro de
volatilidad histórica diaria de los rendimientos de CETES a 28 días es 19.75 por ciento, en
el modelo EWMA 2.71 por ciento, mientras que la volatilidad diaria condicional arrojada
por el modelo EGARCH (1,1) es 2.95 por ciento. No obstante, se encontró que esta serie
presenta volatilidad persistente, debido a que al estimar un modelo GARCH (1,1) la suma
de los parámetros era mayor a 1. Una limitación de los modelos GARCH es que la
varianza condicionada corresponde de la misma manera a los residuos positivos que a los
negativos, por lo cual esta característica contradice el comportamiento observado en las
series de tiempo de datos financieros.
Por ello se utilizó un EGARCH (1,1), debido a que este modelo al formular la
ecuación de la volatilidad en términos de logaritmo de , asegura que la varianza será
positiva. En general los resultados muestran que los tres modelos proveen información
significativa, aunque no se detecta que alguno de ellos, en términos generales, se comporte
mejor que el otro al introducirlos en el modelo Vasicek para determinar el precio del bono
cupón cero, ya que, en los tres casos es similar en el corto plazo, por lo cual, se rechaza la
hipótesis planteada al inicio de la investigación y se concluye que los tres modelos a pesar
de sus limitantes son eficientes.
[87]
Debido a que la tasa de interés varía de acuerdo a diversos factores vinculados a las
emociones y psicología de los inversionistas desencadenadas por la llegada de nueva
información sobre: el nivel de inflación, riqueza, recesión, tipo de cambio, tasas de interés
externas, expectativas, política monetaria, producción, inversión, operaciones de mercado
abierto, entre otras que el modelo Vasicek no captura, pues es un modelo lineal que asume
a la tasa instantánea como único factor suficiente para explicar los movimientos de la tasa
de interés, se recomienda utilizar otro modelo que contemple la introducción de más
factores.
[88]
ANEXOS
Los resultados de la prueba Bai-Perron de cambio estructural muestran que durante el
periodo de estudio se presentaron cuatro quiebres.
Tabla A1. Cambio estructural
Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico
Debido a que el modelo Vasicek supone que la tasa corta se comporta como una serie
autorregresiva cuyo rezago máximo es la tasa del periodo inmediato anterior, la estimación
econométrica de los parámetros y se realiza a través de un proceso AR(1).
Tabla A2. Proceso AR(1)
Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico
Dependent Variable: CETES
Method: Least Squares with Breaks
Included observations: 2631
Break type: Bai-Perron tests of 1 to M globally determined breaks
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 6.440209 0.271603 23.71184 0.0000
C 8.473537 0.176689 47.95747 0.0000
C 7.375606 0.034946 211.0565 0.0000
C 4.326872 0.075389 57.39394 0.0000
R-squared 0.83978 Mean dependent var 6.081261
Adjusted R-squared 0.839597 S.D. dependent var 1.778926
S.E. of regression 0.712465 Akaike info criterion 2.161349
Sum squared resid 1333.484 Schwarz criterion 2.170281
Log likelihood -2839.254 Hannan-Quinn criter. 2.164583
F-statistic 4589.741 Durbin-Watson stat 0.018422
Prob(F-statistic) 0.0000
8/01/2003 - 2/02/2005 -- 394 obs
2/03/2005 - 8/08/2006 -- 394 obs
8/09/2006 - 4/21/2009 -- 705 obs
4/22/2009 - 8/30/2013 -- 1138 obs
Dependent Variable: CETES
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 4.267413 0.06008 71.02887 0.0000
AR(1) 0.970936 0.005787 167.7898 0.0000
R-squared 0.961247 Mean dependent var 4.325576
Adjusted R-squared 0.961213 S.D. dependent var 0.293016
S.E. of regression 0.057708 Akaike info criterion -2.865097
Sum squared resid 3.779743 Schwarz criterion -2.856239
Log likelihood 1630.808 Hannan-Quinn criter. -2.861751
F-statistic 28153.4 Durbin-Watson stat 2.398629
Prob(F-statistic) 0.0000
Inverted AR Roots 0.97
[89]
Para el cálculo de la volatilidad histórica fue necesario construir una tabla mediante la
cual se obtuvo una volatilidad de 19.75 por ciento.
Tabla A3. Cálculo de la volatilidad histórica de los CETES a 28 días
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
El segundo modelo a través del cual se calculó la volatilidad es el EWMA, dado que
este tipo de modelos otorgan mayor ponderación a la información reciente que a la pasada,
pues considera que esta última tiene un impacto poco significativo para dicho calculo, con
tal conjetura se obtuvo una volatilidad de 2.71 por ciento.
Tabla A4. Metodología para calcular la volatilidad EWMA
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
Fecha CETES 28 Desanual Si/Si-1 ln(Si/Si-1) Volatilidad
22/04/2009 5.800452 0.451146267 0.989525157 -0.01053009 0.131470715
23/04/2009 5.806159 0.451590144 1.000983889 0.000983405 0.13083519
24/04/2009 5.795078 0.450728289 0.998091509 -0.00191031 0.174213432
27/04/2009 5.792331 0.450514633 0.999525977 -0.00047414 0.174154984
28/04/2009 5.730977 0.445742656 0.989407719 -0.01064878 0.173836765
29/04/2009 5.740138 0.446455178 1.001598506 0.00159723 0.174061997
30/04/2009 5.745576 0.446878133 1.000947364 0.000946916 0.173344801
03/05/2009 5.7487745 0.447126906 1.000556689 0.000556534 0.173132025
04/05/2009 5.751973 0.447375678 1.000556379 0.000556225 0.173395843
05/05/2009 5.539589 0.430856922 0.963076322 -0.03762262 0.173268743
Fecha CETES 28 Desanual Si/Si-1 ln(Si/Si-1) Rendimiento2
Peso Pesos I αRend^2
02/09/2013 3.819702 0.297088 0.999681752 -0.0003183 1.01314E-05 0.019174757
30/08/2013 3.820918 0.297183 0.999905006 -9.4999E-05 9.02478E-07 0.000878735 6% 7.93039E-10 5.41487E-08
29/08/2013 3.821281 0.297211 0.995369437 -0.00464132 0.002154183 0.000878735 5.6400% 1.89295E-06 0.000121496
28/08/2013 3.839058 0.298593 0.999930457 -6.9546E-05 4.83663E-07 0.000878735 5.3016% 4.25012E-10 2.56419E-08
27/08/2013 3.839325 0.298614 0.974367844 -0.02596638 0.067425307 0.000878735 4.9835% 5.9249E-05 0.003360143
26/08/2013 3.940324 0.306470 1.031250605 0.030772246 0.09469311 0.000878735 4.6845% 8.32101E-05 0.004435893
23/08/2013 3.820918 0.297183 0.999905006 -9.4999E-05 9.02478E-07 0.000878735 4.4034% 7.93039E-10 3.97399E-08
22/08/2013 3.821281 0.297211 0.998019256 -0.00198271 0.000393113 0.000878735 4.1392% 3.45442E-07 1.62718E-05
21/08/2013 3.828865 0.297801 0.999856114 -0.0001439 2.07062E-06 0.000878735 3.8909% 1.81953E-09 8.05651E-08
20/08/2013 3.829416 0.297843 0.99989895 -0.00010105 1.02121E-06 0.000878735 3.6574% 8.97368E-10 3.73497E-08
[90]
En el correlograma de los CETES a 28 días a nivel se puede apreciar que el
coeficiente de autocorrelación tiene un lento decaimiento; al no disminuir inmediatamente
el coeficiente ACF, se puede pensar que la serie no es estacionaria.
Figura A1. Correlograma de los CETES a 28 días (2003-2013)
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
Los resultados arrojados en la prueba de estacionariedad evidencian que se rechaza la
hipótesis nula de raíz unitaria al 1, 5 y 10 por ciento, es decir, se afirma que la serie es
estacionaria.
Tabla A5. Prueba de raíces unitarias de los CETES a 28 días (2003-2013)
Fuente: Elaboración propia con información de Banxico
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -4.836612 0.0000
Test critical values: 1% level -3.435896
5% level -2.863877
10% level -2.568065
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Exogenous: Constant
Null Hypothesis: CETES has a unit root
Nivel
[91]
Después de realizar varios intentos por encontrar un modelo que se comporte como
un ruido blanco, se consiguió al calibrar el modelo con un AR(1) y un MA(20), ya que
presentan buena significatividad individual, ningún valor sale fuera del círculo unitario
Figura A2. Círculo unitario proceso ARMA(1,20)
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
AR roots
MA roots
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico
Al observar el correlograma del proceso EGARCH(1,1) se observa que a partir del
rezago 9 la serie se comporta como un ruido blanco.
Figura A3. Correlograma EGARCH (1,1)
Fuente: Elaboración propia con datos de Banxico
[92]
BIBLIOHEMEROGRAFÍA
Alexander, Carol, 2008, Market risk analysis (Análisis de riesgo de mercado), England,
John Wiley & Sons Ltd., 2008.
Argandoña, Antonio, 1996, Macroeconomía Avanzada, España, McGraw-Hill.
Arnaudo, Aldo, 1972, Economía Monetaria, México, CEMLA.
Bai, J., y Peron, P., 1998, Estimating and testing linear models with multiple structural
changes (Estimación y prueba de modelos lineales con múltiples cambios
estructurales), Econometrica 66, 47-48.
_____, 2003, Critical values for multiple structural change tests (Valores críticos para
pruebas de múltiples cambios estructurales), The Econometrics Journal 6, 72-78.
Banco de México, Informe Anual, varios años, www.banxico.org.mx.
_____, Reporte sobre el Sistema Financiero, varios años.
_____, Informe sobre política monetaria, varios años.
Berrios, Camilo y Sanhueza, Romina, 2011, “Modelamiento de la tasa de interés en Chile”,
Santiago de Chile.
Bollerslev, Tim, 1968, “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity
(Heteroscedasticidad condicional autorregresiva generalizada)”, in Journal
Econometrics 31(1986) 307-327 North-holland.
Bollerslev, Tim, y otros 1992, “ARCH modeling in finance (Modelos ARCH en las
finanzas)”, in Econometrics Journal 52(1992) 5-59 North-holland.
Botha, Marius, Gary van Vouren, Paul, 2001, “The effect of dynamic exponential decay
factor on volatility and VaR”, Journal of Applied Sciences, Pakistan, 24-32.
Branson, William, 1978, Teoría y Política Macroeconómica, Madrid, Fondo de Cultura
Económica.
Brooks, Chris, 2008, Introductory Econometrics for Finance (Intorducción a la
Econometría para Finanzaas), New York, Cambridge University Press.
Campbell, John Y. 1997, The econometrics of financial markets (La econometría de los
mercados financieros), New Jersey, Princeton University Press.
[93]
Carmona, René A. y Michael R. Tehranchi, 2006, Interest rate models: an infinite
dimensional stochastic analysis perspective (Modelos de tasa de interés: una
perspectiva de análisis estocástico dimensional infinito), Germany, Springer 2006.
Chirinos, Ana María y Moreno, Manuel, 2011, “Estimación de la estructura temporal de las
tasas de interés: el caso venezolano”, Colección Economía y Finanzas, serie de
documentos de trabajo, No. 119, Venezuela.
De Arce, Rafael, 1998, “Introducción a los modelos autorregresivos con
heteroscedasticidad condicional (ARCH)”, I.L.Klein
_____, “20 años de modelos ARCH: una visión de conjunto de las distintas variantes de la
familia”, España.
De Arce, Rafael y Mahía Ramón, (2007), Modelos ARIMA material del programa Citius-
Técnicos de previsión de variables financnieras, Departamento de Economía aplicada
UDI Econometría e Informatica.
De Castro, Díez y Mascareñas, Juan, 1993, Ingeniería Financiera, México, Mc Graw Hill.
Díaz Mata, Alfredo y Aguilera Gómez, Víctor, 2005, El mercado bursátil en el Sistema
Financiero, México, Mc Graw Hill.
Dobbins, Stephen y otros, 1994, “Portfolio theory and investment management: on
introduction to modern portfolio theory (Teoría y gestión de la cartera de inversión:
una introducción la cartera moderna)” Gran Bretaña, Page Bros Norwich.
Dornbusch, Rudiger y otros, 2002, Macroeconomía, España, Mc Graw Hill.
Engle, Robert, 1982, “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with estimates of the
variance of United Kingdom inflation (Heteroscedasticidad condicional autoregresiva
con las estimaciones de la varianza de la inflación en el Reino Unido)”, in
Econometrica, Vol. 50, No. 4 pp.987-1007
_____, 1982, “Risk and volatility: Econometric models and financial practice (Riesgo y
volatilidad: modelos econométricos y práctica financiera)”, Revista Asturiana de
economía: RAE No. 31, 2004
_____, 2001, “The use of ARCH/GARCH models in applied econometrics”, The Journal of
Economic Perspectives, (15)4: 157-168
Fabozzi, Frank y otros, 1996, Mercados e instituciones financieras, México, Prentice Hall.
[94]
Fabozzi, Frank, 2000, Bond markets, analysis and strategies (Mercado de bonos, análisis y
estrategias), EUA, Prentice Hall.
Fama, Eugene F. y Kenneth R. French, 1996, “The CAPM is wanted, dead or alive”, The
Journal of Finance, Vol. 51, no. 5, pp. 1947-1958.
_____ 2004, “The Capital Asset Pricing Model: theory and evidence”, The Journal of
Economic Perspectives, Vol. 18, no. 3, pp. 25-46.
Francis, Benito y otros, (), “Modelización de la volatilidad del tipo de interés a corto
plazo”, Revista de economía financiera.
García Padilla, Víctor, 2006, Introducción a las Finanzas, México, CECSA.
Gujarati, Damodar, 2004, Econometría, México, Mc Graw-Hill.
Harris, Laurence, 1985, Teoría monetaria, México, Fondo de Cultura Económica.
Herrera, Luis y Cárdenas, Darwin, (2013), “Modelos de valoración de opciones sobre
títulos de renta fija: aplicación al mercado colombiano”, Estudios Gerenciales,
29(2013): 77-85.
Hull, C. John, 1995, Introducción a los mercados de futuros y opciones, España, Prentice
Hall.
J.P. Morgan, (1996), Tecnhical document Risk Metrics, 4ta edición, New York.
Keynes Maynard, John, 1996, (1930), Tratado del dinero, España, Aosta.
______ 1984, (1936), Teoría general de la ocupación el interés y el dinero, México, Fondo
de Cultura Económica.
______ 1992, Breve tratado sobre la reforma monetaria, México, Fondo de Cultura
Económica.
Knight, Frank, 1947, Riesgo, incertidumbre y beneficio, Madrid, Aguilar.
Kolb, Robert, 1993, Inversiones, México, Limusa.
Longstaff, Francis y Schwartz, Eduardo, 1993, “Interest rate volatility and bond prices
(Volatilidad de la tasa de interés y el precio de los bonos)”, en Financial analysts
journal Vol. 49, No. 4
[95]
López, Francisco, 2004, Modelado de la volatilidad y pronostico del índice de precios y
cotizaciones de la bolsa mexicana de valores. Contaduría y administración, No. 213.
Maddala, G.S., 1992, Introduction to econometrics (Introducción a la econometría),
Canadá, Macmillan publishing company.
Markowitz, Harry, 1959, Portfolio selection: efficient diversification of investment
(Selección de cartera: inversión y diversificación eficiente), New York, John Wiley.
Martinez, Josefina y otros, (), “Modelos paramétricos y no paramétricos, para la previsión
de la volatilidad. Su aplicación al cálculo del valor en riesgo”, XIII Jornadas de
ASEPUMA.
Merton, Robert y Bodie Zvi, 2003, Finanzas, México, Pearson Educación.
Minsky, H. P., “The financial instability hipótesis “(Hipótesis de la inestabilidad
financiera), Levy economics institute, Working paper Número 174.
Mishkin, Frederic S., 2008, Moneda, Banca y Mercados Financieros, México, Pearson.
Mises, Lodwing Von, 1936, Teoría del dinero y el crédito, Madrid, Aguilar.
Osborne, M. F. M., 1959, “Brownian motion in the stock market”, Operations Research,
pp. 145-173.
Philipe, Jorion, (2004), valor en riesgo, México, Limusa.
Roy, E. Bailey, 2005, The economics of financial markets (La economía de los mercados
financieros), New York, Cambridge University Press.
Rueda, Arturo, 2005, Para entender la bolsa: financiamiento e inversión en el mercado de
valores, México, Thomson.
Samuelson, Paul, 1992, Economía, México, Mc Graw Hill.
Serrano, Antonio y otros, 2009, “Redes neuronales artificiales”, Escuela técnica superior de
ingeniería, Curso 2009-2010.
Tobin, James, 1958, “Liquidity preference as behavior towards risk” (Preferencia de
liquidez como comportamiento frente al riesgo), en The review of economic.
_____ 1965,“The monetary interpretation of history”, The American Economic Review,
Vol. 55, no. 3, pp. 464-485.
[96]
_____ 1981, “Portfolio theory”, Science, New Series, Vol. 214, no. 4524, pp. 974.
Vasicek, O, Alphonse, 1977, “An equilibrium characterization of the term structure” (Una
caracterización de equilibrio de estructura temporal), Journal of Financial
Economics.
Venegas, Martínez F. y B. González, Aréchiga, 2002, “Cobertura de tasas de interés con
futuros del mercado mexicano de derivados: un modelo estocástico de duración y
convexidad”, El Trimestre Económico, Vol. 59(2), No. 274.
Venegas Martínez, Francisco, 2006, Riesgos financieros y económicos, México, Cengage
Learning.
_____ “Cobertura de flujos financieros con instrumentos de renta fija.”
Villegas, Eduardo y otros, 2002, Sistema financiero de México, México, Mc Graw Hill,
pp. 64-143.
