ITESM, Campus MonterreyDepartamento de MatematicasMA-841: Ecuaciones Diferenciales Profesor: Eduardo Uresti CharreLectura #13

2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

2.6 El Metodo de los Coeficientes Indeterminados

La solucion general a la ecuacion diferencial:

y + ay + by = r(x)

tiene la forma:y = yh + yp

donde yh es la solucion general a la ecuacion homogenea auxiliar y yp es una solucion

particular. Un metodo para determinar yp, sin las integrales del metodo de variacion de

parametros, es el de los coeficientes indeterminados. Este se basa en identificar que,

para ciertos casos de r(x), la forma de yp es muy similar a la de r(x). El metodo consiste

en adivinar yp a partir de la forma de r(x): Este proceso de adivinacion se da proponiendo

una forma para yp, donde algunos coeficientes son desconocidos o indeterminados (de all el

nombre del metodo), y posteriormente ajustandolos mediante la solucion de un sistema de

ecuaciones lineales. Como puede ver trabajo siempre habra, aunque resolver un sistema de

ecuaciones lineales se considera siempre un trabajo intelectualmente inferior al de resolver

integrales. La forma adecuada de la yp que se propone se da en la siguiente tabla.

FORMA DE LA SOLUCION PARTICULAR yp(x) DE y + ay + by = r(x)

DEPENDIENDO DE LA FORMA DE LA FUNCION r(x)

Forma que tiene r(x) Forma que debe tener yp(x)1. r(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0 yp(x)=xK[Anxn+An1xn1++A1x+A0]2. r(x)=a ex yp(x)=xK[Aex]3. r(x)=a cos(q x)+b sen(q x) yp(x)=xK [Acos(q x)+B sen(q x)]una de las constantes, a o b,

pueden ser cero

4. r(x)=[anxn++a0]ex yp(x)=xK [Anxn++A0]ex

5. r(x)=[anxn++a0]cos(q x)+ yp(x)=xK[(ANxN++A0)cos(q x)+(BNxN++B0)sen(q x)][bmxm++b0]sen(q x)

alguno de los polinomios puede ser (N es el maximo de n y m)

el polinomio cero

6. r(x)=a excos(q x)+b exsen(q x) yp(x)=xK[Aexcos(q x)+B exsen(q x)]7. r(x)=[anxn++a0]excos(q x)+ yp(x)=xK([ANxN++A0]excos(q x)+[BNxN++B0]exsen(q x))[bmxm++b0]exsen(q x)

alguno de los polinomios puede ser (N es el maximo de n y m)

el polinomio cero

NOTAS

1. Los coeficientes en r(x), representados por las letras minusculas a, b, etc, son conoci-dos, mientras que los coeficientes en yp(x), representados por las letras mayusculas A,B, etc, son las incognitas a determinar, es decir son los coeficientes indeterminados.

2. El valor de K en yp(x) es el menor entero no negativo (K 0) tal que ninguntermino de yp(x) aparezca en la solucion de la ecuacion homogenea auxiliar, y

+ay + by = 0. Una manera practica de determinar K es la siguiente. Para el caso 1,K es la multiplicidad (cuantas veces fue raz) del numero 0 como raz de la ecuacioncaracterstica. En los casos 2 y 4, K es la multiplicidad del numero . En los casos 3 y5, K es la multiplicidad del complejo 0+q i. Y en lo casos 6 y 7, K es la multiplicidaddel complejo + q i.

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