7/23/2019 Taller 1 UNALMED
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Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln - Escuela de
Matemticas
Clculo Diferencial - Taller 1 - Semestre 01-2015
INSTRUCCIONES:Antes de intentar resolver los ejerciciosdel
taller, repase un poco la teora y ejemplos vistos en clase.Realice
este taller individualmente o en grupos. Si tiene algunapregunta,
asista a las asesoras con monitores o profesores.
Clasificacin de problemas: bsico, medio, reto.
1. Explique en sus propias palabras los siguientes
conceptos:
a) La variable y es funcin de la variable x.
b) Fes una funcin lineal de r con pendiente m.
c) fes una funcin creciente en el intervalo [a, b].
2. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es
verda-dero, explique por qu, y si es falso escriba el
enunciadocorrecto o muestre un ejemplo donde el enunciado dadono se
cumpla.
a) N Z Q R.
b) Hay infinitos nmeros irracionales.c) Dado cualquier par de
nmeros realesa < b, siempre
va a existir otro nmero real c, tal que a < c < b.
d) El nmero0,99999 . . . pertenece al intervalo (0, 1).
e) La ecuacinx = 7 representa una funcin de x.
f) Las funciones nicamente se pueden definir medianteuna
frmula.
g) Una funcin par puede ser creciente en todo su do-minio.
h) Para algunos nmeros, se cumple que|x|= x.
i) Si se dice que y es proporcional a x, entonces y esuna funcin
lineal de x.
j) Si fes funcin impar y 0 Dom(f) entoncesf(0) = 0.
k) Si m = 0 entonces la grfica de y = mx + b intersecael eje
horizontal.
l) Si las variables x y y estn relacionadas mediante laecuacinx2
+y2 = 1 entonces, y es funcin de x.
m) La funcin|x| +x es par.
n) Para cada par de puntos en el plano, existe una fun-cin
lineal que pasa por ellos.
) Si dos funciones lineales tienen pendientes
diferentes,entonces sus grficas se interceptan en exactamenteun
punto.
3. Para cada una de las siguientes situaciones o
enunciadosidentifique la variable independiente, la variable
depen-diente, haga una grfica aproximada de la funcin quelas
relaciona, halle una frmula, e indique su dominio yrango.
a) La poblacin colombiana es actualmente de 46 mi-llones de
personas, y se espera que siga aumentando
a una tasa de 800 mil personas por ao.
b) Hay promocin de azcar. El kilo vale 1000 pesopero por la
compra de ms de 20 kilos, le hacen udescuento del 10 % en el precio
por kilo sobre cakilo adicional. Si compra ms de 30 de kilos a
ustele toca pagar 5000 pesos extra para que le ayudencargar ese
montn de azcar.
c) La temperatura del aire en la atmsfera depende la altura.
Para empezar, en la troposfera, que se etiende por los primeros 10
km de altura, y que dnde todo el clima se desarrolla, la
temperatura daire disminuye a una tasa de 6.5C por cada kilmtro.
Luego hay una zona llamada la tropopausa, unos 10 km de espesor, en
donde el mximo nivel dozono se alcanza, y por tanto la temperatura
del are es aproximadamente constante. La siguiente caes la
estratosfera, la cual se extiende por 50 kmen la cual ocurre lo que
se llama una zona de invesin, es decir la temperatura de hecho
incremenlinealmente con la altura, de manera tal que en
parte superior de esta capa la temperatura es aprximadamente 5C.
Suponga que la temperaturanivel del suelo es de 30 grados.
d) En un taxi de Medelln, el precio de la carrera dpende de la
distancia recorrida por el taxi as:
banderazo vale 2.600 pesos, por cada 78 metrse cobran 81 pesos y
la carrera mnima es de 4.6pesos.
4. En la figura se proporcionan las grficas de dos funcionf y g
. Se sabe adems que la funcin g es par.
a) D los valores def(1)y g (1).
b) Para cules valores (aproximados) de x se tief(x) = g(x)?
c) Estime la solucin de la ecuacinf(x) = 2.
d) Estime la solucin de la ecuacing (x) = 2.
e) En cules intervalos es f decreciente?
f) D el dominio y el rango de f.
g) D el dominio y el rango deg .
5. Sif(x) = 3x22x+1, encuentref(2),f(2),f(a),f(a
f(a+ 1), f(a) + 1, 2f(a), f(2a), f(|x|), |f(x)|.
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6. Halle el dominio de las siguientes funciones. Determine sila
funcin es par o impar. Use un computador o calcu-ladora para
graficarlas y, a partir de la grfica, estime elrango de cada
funcin.
f(x) = 4
x2 +x, g(x) =
x
x+ 5, h(x) =
x3 +x
4 x2
r(x) = x3
|x 1|
, s(x) = x2|x|, t(x) = |x| +x2
cos x
,
u(x) =
x4 2x, 2 x 0
x4 2x, 0 x 2.
7. Halle las ecuaciones de las rectas paralela y perpendiculara
la recta y = 7 4xque pasen por el punto (1, 1). Hagaun grfico de
las rectas resultantes.
8. La distancia recorridaD en un pedalazo de una bicicleta,est
dada por
D= p R, donde R = # dientes del plato# dientes del pin
se llama la relacin y p es el permetro de la rueda. Su-ponga que
una bicicleta tiene ruedas de 26 de dimetro,cuatro piones de 11,
15, 19 y 32 dientes respectivamen-te, y en la parte delantera,
platos de 22, 32 y 44 dientes.Cules son el dominio y rango de la
funcin D = f(R)?
PlatosPiones
Rueda
9. Una forma muy sencilla de revolver una baraja de cartases la
siguiente: 1) se parte la baraja por el medio, 2) seponen las
partes lado a lado, 3) se intercalan las cartas.Ver figura
siguiente. Este proceso se puede describir me-
diante una funcin: sea x la posicin inicial de la cartacontando
de arriba abajo, y f(x) su posicin final. Porejemplo, la carta
punteada comenz en la posicin nme-ro dos, y termin de cuarta,
entonces f(2) = 4. Sea N elnmero de cartas en la baraja, y suponga
que Nes par.
a) Para el caso N = 10 que se muestra en la figura,halle la
tabla de la funcin f.
b) Seag la funcin que describe revolver dos veces. Ha-lle la
tabla de g .
c) Para un nmero par de cartas N general, halle la
frmula para f.
1) 2) 3)
10. A cul de las grficas corresponden cada una de las guientes
historias de mi recorrido desde la casa a la unversidad:
a) Me pinch viniendo y me toc cambiar llanta.
b) Me vine despacio pero me toc acelerar porque md cuenta que
iba a llegar tarde.
c) Se me quedaron los libros en la casa y me toc dvolverme.
Cmo describira en palabras la grfica sobrante?
Tiempo
Distancia a
la casa
Tiempo
Distancia a
la casa
Tiempo
Distancia a
la casa
Tiempo
Distancia a
la casa
11. Las Empresas Pblicas cobran mensualmente por el sevicio de
acueducto de la siguiente manera: un costo fims el precio por metro
cbico multiplicado por el cosumo del mes en metros cbicos. En un
mes dado, a uncasa que consumi 2 m3 de agua le lleg una cuenta p40
mil pesos, y a un restaurante vecino, que consumim3, le cobraron
100 mil pesos. Halle la frmula que usalas Empresas Pblicas para
calcular el valor de la cuenmensual.
12. Halle una frmula para una funcinfdefinida por tramlineales
que pase por los puntos (11, 2), (3,1), (5, 3Para cules valores de
x se cumple que f(x) = 0?
13. Se mide la distancia de un mensajero, que se desplaen
bicicleta, desde su lugar de trabajo y se representa una de las
grficas siguientes. Conociendo que el mensajro hace una nica
diligencia en cada viaje, que cuando detiene por un semforo lo hace
mximo por dos minuty que al regreso de uno de sus viajes sufri un
accidete que lo detuvo unos quince minutos y lo hizo ir de
adirectamente al hospital, localizado bastante lejos de
lugar de trabajo, escoja la grfica que mejor describa dcha
situacin.
