SISTEMAS DINMICOSTALLER LINEALIZACIN DE MODELOSUn robot manipulador est conformado por una serie de cuerpos o enlaces unidos por articulaciones. Las articulaciones conectan dos enlaces sucesivos, permitiendo un movimiento entre los dos cuerpos. La figura muestra el modelo de un manipulador plano de dos grados de libertad, donde y representan las posiciones articulares de cada enlace, y la longitud de cada enlace, y la masa de cada cuerpo y y es el par aplicado a cada articulacin.

yxq1r2q2r1m1m2El modelo matemtico del robot es el siguiente,

donde,

Los valores de los parmetros son , , , , -m y .En cada punto justifique su respuesta.a. Escriba el modelo del sistema en espacio de estados: , . Siendo , , y . Considere que las salidas del sistema son y y las entradas y .Sugerencia: despeje de la ecuacin de y reemplcela en la ecuacin de .b. Encuentre y para que , , y sea un punto de equilibrio. Explique el significado de un punto de equilibrio.c. Linealice el sistema alrededor del punto de equilibrio obtenido. Indique como se definen las variables , y del modelo linealizado. Explique qu significa linealizar un sistema.d. Determine si el sistema linealizado es estable alrededor del punto de operacin. Explique y justifique su respuesta.e. Con base en el modelo linealizado determine la controlabilidad del sistema. Explique qu significa la controlabilidad de un sistema.f. Determine si a partir de medidas de las posiciones articulares y de los pares de cada articulacin pueden estimarse las velocidades angulares de cada articulacin. Explique qu significa la observabilidad de un sistema.

a) Escribir el modelo en espacio de estados

Donde:

Entonces, tenemos que:

Despejando de (2) tenemos:

Ahora, reemplazando (3) en (1)

Ahora, despejo

Ahora reemplazamos en la ecuacin (3)

Definimos los estados:

Entonces, tenemos:

b) El punto de equilibrio, es un punto donde el sistema toma un valor fijo. En este punto, las derivadas del vector de estado, se hacen cero. Entonces, tenemos que:

Reemplazando en :

Entonces, reemplazando f y e:

Los valores de los parmetros son: , , , , -m y .

Punto de equilibrio: , ,Reemplazando valores:

c) La linealizacin consiste en, llevar un sistema no lineal a un equivalente lineal, en un punto determinado; para, facilitar su anlisis. Este procedimiento se realiza por medio de series de Taylor.Linealizacin (Matlab)

d) Al hacer la simulacin en matlab, podemos concluir que el sistema no es estable pues la parte real de todos los autovalores de la matriz A, no es negativa.Esto significa que el sistema no llega a un valor final determinado.

e) La controlabilidad del sistema, indica que es posible llevarlo a un valor deseado, en un tiempo finito, haciendo uso de una seal de control adecuada. En este caso, el rango de la matriz es 4, por lo cual, decimos que si es controlable.

f) La observabilidad de un sistema, se refiere a la posibilidad de evaluar su estado, con base en sus entradas y salidas.En este caso, la matriz de observabilidad es de rango 4, por lo cual se dice, que el sistema si es observable.