7/25/2019 tarea 1 c.i

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Tarea I

Profesor: Adolfo Pimienta AcostaCalculo Integral

February 4, 2016

1 Calcular las siguientes sumas

1.10

n=1

[1 + (−

1)n].

2.6

k=0

(k − 2)(k − 3).

3.6

s=1

(5/s).

4. Calculen

k=1

(k2 + 3k + 5).

Sugerencia: Escriba la suma comon

k=1k2+3

nk=1

k+n

k=15 y use las siguientes propiedades:

i)n

k=1

c =  nc.

ii)n

k=1

k = 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)

2  .

iii)n

k=1

k2 = 1 + 2 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6  .

iv)

nk=1 k

3

= 1 + 2 + · · · + n3

=n(n + 1)

22

.

5. Determinen

k=1

(2k − 3)2.

1

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2 Sumas de Riemann

Sea  f  una funcion definida en un intervalo cerrado [a, b] y sea  P  una particion de [a, b].Una   Suma de Riemann  de  f  (o de  f (x)) para  P , es una expresion  RP  de la forma:

RP   =n

k=1

f (wk)∆xk

donde  wk  es un numero en [xk−1, xk] y ∆xk  =  xk − xk−1, para  k  = 1, 2, . . . , n.

Calcule la suma de Riemann  R p  de f   correspondiente a la particion uniforme P  de [1, 5] enlos cuatro subintervalos determinados por  x0  = 1,  x1 = 2, x2 = 3, x3  = 4, x4 = 5, eligiendo:

1.   wk  como el extremo derecho  xk  de [xk−1, xk].

2.   wk  como el extremo izquierdo  xk−1  de [xk−1, xk].

3.   wk  como el punto medio de [xk−1, xk].

3 La Integral Definida

1. Hallar todos los valores de  c  para los que:

i)  c0  x(1 − x)dx = 0

ii)  c0

(2x− 3)(x− 5)dx = 0

Una funcion f  es un  polinomio  si:

f (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0

donde los coeficientes a0, a1, . . . , an  son numeros reales y los exponentes son enteros nonegativos.

2. Hallar un polinomio cuadratico P (x) para el cual  P (0) = 0 = P (1) y  10 P (x)dx = 1.

3. Hallar un polinomio cubico   P (x) para el cual   P ( 0) = 0 =   P (−

2),   P (1) = 15 y

3  0−2 P (x)dx = 4.

Sea f  continua en [a, b]. Si  a ≤ c ≤ b, entonces para todo  x  en [a, b],

Dx

   xc

f (t)dt =  f (x).

2

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Encontrar la derivada de:

4.  Dx

  x2

t√ t3 + 2

dt.

Sabiendo que:

Dx

   g(x)c

f (t)dt =  f (g(x))g(x).

5. Encontrar: Dx

  x20

√ t4 + 1dt.

4 La Integral Indefinida

Usando el metodo de sustitucion calcular las siguientes integrales:

1.   x5dx√ 

1 − x6.

2.    (x + 1)dx

(x2 + 2x + 2)3.

3.  t(1 + t)

1

4dt.

4.   cosxdx

sin3 x  .

5. 

  sinxdx(3 + cosx)2 .

3