Mecánica Cuántica I - Maestría en Ciencias Físicas Tarea 1

1. Usando las reglas del álgebra de bra-ket, probar o evaluar lo siguiente (Problema 1.4):

a) Tr(XY)=Tr(YX) , donde X e Y son operadores; b) (XY)t = Yt Xt , donde X e Y son operadores; c) exp[if(A)] = ? en la forma de ket-bra, donde A es el operador

Hermitiano de cuyos eigenvalores son conocidos; d) 𝜓!!

∗!! (𝑥!)  𝜓!!(𝑥

!!), donde  𝜓!! 𝑥! =< 𝑥´|𝑎´ >

2. (a) Considera dos kets |α> y |β>. Suponer que <a´|α>, <a´´|α>,.. y <a´|β>, <a´´|β>,… son todos conocidos, donde |a´>, |a´´>, .. forman un conjunto completo de bases kets. Encontrar la representación

matricial del operador |α><β| en esta base. (b) Consideremos un sistema de espín ½ y sea |α> y |β> ser |Sz=h/2> y |Sx=h/2>, respectivamente. Escribe explícitamente la matriz cuadrada que corresponde a |α><β| en la base usual (Sz diagonal). (Problema 1.5)

3. Usando la ortonormalidad de |+> y |->, probar [Si,Sj] =iεijk ħSk , {Si,Sj} = (ħ2/2)δij ,

donde Sx = ħ/2 (|+><-| + |-><+|) , Sy = iħ/2 (-|+><-| + |-><+|) , Sz = ħ/2 (|+><+| - |-><-|). (Problema 1.8)

4. Construye |𝑆 ∙ 𝑛;+> tal que

𝑆 ∙ 𝑛|𝑆 ∙ 𝑛;+>= (ħ2)|𝑆 ∙ 𝑛;+>

donde 𝑛 es caracterizado por los ángulos mostrados en la figura. Expresa tu solución como una combinación lineal de |+> y |->. (Problema 1.9)

5. El operador del Hamiltoniano para un sistema de dos estados es dado por H = a[ |1><1|- |2><2|+|1><2|+|2><1| ], donde a es un número con la dimensión de energía. Encuentra los eigenvalores de la energía y los correspondientes eigenkets (como combinación lineal de |1> y |2>). (Problema 1.10) 6. Sean A y B observables. Suponer que los eigenkets simultáneos de A y B { |a´, b´> } forman un conjunto ortonormal de bases kets. Podemos concluir siempre que

[A, B] = 0 ? Si tu respuesta es si, prueba esto. Si tu respuesta es no, da un contra ejemplo. (Problema 1.15) 7. (a) Encontrar <(ΔSx)2> = <Sx

2> - <Sx>2 , donde el valor esperado es tomado para el estado Sz+. Usando tu resultado, verifica la relación de incertidumbre generalizada

<(ΔA)2> <(ΔB)2> ≥ ¼ |<[A,B]>| 2 con 𝐴⟶ 𝑆! ,𝐵⟶ 𝑆! . Verifica la relación de incertidumbre con 𝐴⟶ 𝑆! ,𝐵⟶ 𝑆! para el estado Sx+. (Problema 1.19) 8. Considera un espacio ket tres dimensional. Si un cierto conjunto de kets ortonormal, decir, |1>, |2>, y |3> son usados como la base kets, los operadores A y B son representados por

A = 𝑎 0 00 −𝑎 00 0 −𝑎

, B = 𝑏 0 00 0 −𝑖𝑏0 𝑖𝑏 0

con a y b reales. a) Obviamente A muestra un espectro degenerado. B también

muestra un espectro degenerado?. b) Muestra que A y B conmutan. c) Encuentra un conjunto de kets ortonormales los cuales son

simultáneos eigenkets de A y B. Especifica los eigenvalores de A y B para cada uno de los tres eigenkets. La especificación de eigenvalores caracteriza cada eigenket? (Problema 1.23)

9. El operador de translación para un desplazamiento finito (espacial) es dado por

ℱ 𝑙 = 𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑝 ∙ 𝑙𝒽

)  

donde 𝑝 es el operador de momento. a) Evalua [𝑥! , ℱ 𝑙  ] b) Usando a) (u otra relación), demuestra como el valor

esperado <x> cambia sobre la translación. (Problema 1.30)

10. a) Prueba lo siguiente:

I. < 𝑝´ 𝑥 𝛼 >= 𝑖ℏ !!"´

< 𝑝´|𝛼 > II. < 𝛽 𝑥 𝛼 >= 𝑑𝑝´𝜙!

∗ 𝑝´ 𝑖ℏ !!"´𝜙! 𝑝´ ,

donde 𝜙! 𝑝´ =< 𝑝´|𝛼 > y 𝜙! 𝑝´ =< 𝑝´|𝛽 > son funciones de onda en el espacio de momentos.

c) Cual es el significado físico de exp  (

𝑖𝑥Ξℏ)

donde x es el operador de posición y Ξ es algún número con la dimensión de momento? Justifica tu respuesta. (Problema 1.33)

Fecha límite el 3/Septiembre/2014