5/20/2018 tarea_1_sem2

1/7

UNIVERSIDAD DE CORDOBAFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA

Tarea Mtodos Numricos

30 de Agosto de 2014

1. Responda Verdadero o Falso. Justifique su respuesta.(a) El mtodo de biseccin est garantizado para encontrar una raz en el intervalo en el que se

encuentra la raz.

(b) El mtodo de biseccin converge rpidamente.

(c) Es posible encontrar tericamente el nmero mnimo de iteraciones necesarias por mtodo debiseccin antes de comenzar la iteracin.

(d) El mtodo de Biseccin encierra la raiz en cada iteracin.

(e) El mtodo de Newton converge siempre.

(f) La convergencia cuadrtica significa que se obtienen alrededor de dos dgitos de precisin encada iteracin.

(g) La iteracin del punto fijo siempre converge, pero la razn de convergencia es bastante lenta .(h) La tasa de convergencia del mtodo de Newton, cuando ste converge, es mejor que la del

mtodo de la secante.

(i) El teorema de punto fijo, da a la vez condiciones necesarias y suficientes para la convergenciade la iteracin de punto fijo a una raz.

(j) Una ventaja computacional del mtodo de la secante es que no se requiere la derivada de f(x).

(k) El mtodo de Newton es un caso especial de la iteracin del punto fijo.

(l) El mtodo de Newton y el mtodo de la secante requieren dos aproximaciones iniciales paracomenzar la iteracin.

2. Utilice el mtodo de biseccin para aproximar

3 con una tolerancia de error = 103 en los

intervalos: [1, 2],[1, 3], y [0, 2].3. Para cada una de las siguientes funciones, haga lo siguiente:

Comprobar si hay un cero de f(x)en el intervalo indicado.

Encontrar el nmero mnimo de iteraciones, N, necesarias para lograr una precisin de= 103

utilizando el mtodo de biseccin.

Utilizando el mtodo de biseccin, realice N iteraciones y presente los resultados en formatabular y en forma grfica.

(a) f(x) =xsenx 1en [0, 2](b) f(x) =x3 1en [0, 2]

(c) f(x) =x2

4senxen [1, 3](d) f(x) =x3 7x + 6en [0, 1,5](e) f(x) =cosx xen [0, 1](f) f(x) =x tanxen [4, 4,5](g) f(x) =ex xen [0, 1](h) f(x) =ex 1 x x2

2 en [1, 1]

4. Construir un ejemplo sencillo para demostrar que un peque no valor funcional de f(xk) en unaiteracink no significa necesariamente que xk est cerca de la razx = def(x).

1

5/20/2018 tarea_1_sem2

2/7

5. Se puede probar que si g (x)es continuamente diferenciable en un intervalo abierto que contiene elpunto fijo, y si|g()|< 1, entonces existe un nmero > 0 de tal manera que la iteracin

xk+ 1 =g(xk)

converge cada vez que se elige x0 tal que|x0 | .Utilizando el resultado anterior, hallar la funcin de iteracin g(x)y un intervalo[a, b]para

f(x) =x tanx

de tal manera que la iteracin siempre converja. Encontrar la solucin con una precisin de= 104.

Encuentre un cero de la funcinf(x) =ex senxen [0,5, 0,7], escogiendog(x) =x + f(x)yusando el resultado en la primera parte.

6. Para cada una de las funciones siguientes, encontrar un intervalo y una funcin de iteracinx = g(x)de modo que la iteracin de punto fijo:

xk+1 = g(xk)

converja para cualquier eleccin dex0 en el intervalo. A continuacin, aplique dos iteraciones paraaproximar un cero en ese intervalo escojiendo una aproximacin inicial adecuada x0.

(a) f(x) =x cosx(b) f(x) = 3

x2 x 2

(c) f(x) =x ex(d) f(x) =x2 4sin(x)(e) f(x) = 1

1+ex2 + cosx

(f) f(x) = x2

4 1(g) f(x) =x 2senx

(h) f(x) =x3

7x + 6(i) f(x) = 1 tanx

7. Utilizar la iteracin de punto fijo para calcular

2con una precisin de = 104.

8. Estudiar la convergencia de todas las iteraciones de punto fijo de la funcinf(x) =x3 7x + 6enx= 2con todas las posibles funciones de iteracin g(x). Representar grficamente estos esquemasde iteracin.

9. Dibuje una grfica def(x) =x + lnxy demostrar quef(x)tiene un nico cero en 0 < x

5/20/2018 tarea_1_sem2

3/7

(c) f(x) =x ex(d) f(x) =x2 4sin(x)(e) f(x) = 1

1+ex2 + cosx

(f) f(x) = x2

4 1

(g) f(x) =x 2senx

(h) f(x) =x3

7x + 6(i) f(x) = 1 tanx

12. Aplicar el el mtodo de la secante para determinar un cero con una precisin de = 104 a cadauna de las siguientes funciones:

(a) f(x) =x cosx(b) f(x) = 3

x2 x 2

(c) f(x) =x ex(d) f(x) =x2 4sin(x)(e) f(x) = 1

1+ex2 + cosx

(f) f(x) = x2

4 1(g) f(x) =x 2senx(h) f(x) =x3 7x + 6(i) f(x) = 1 tanx

13. Anote las iteraciones de Newton para las siguientes funciones:

x3 cos(x2 + 1) = 02senx x2 x + 1 = 0

14. Desarrollar el mtodo de Newton para calcular lo siguiente:

ln(a)(logaritmo natural de a) ( a>0 )arc cos ay arc sen a

ea

Haga tres iteraciones para cada problema escojiendo una funcin adecuada y un x0 adecuado.Compare sus resultados con los obtenidos por MATLAB con la funcin incorporadaf zero.

15. Explique lo que sucede cuando se aplica el mtodo de Newton para encontrar una raz dex33x+6 =0, comenzando con x0= 1.

16. Construya su propio ejemplo para demostrar el hecho de que el mtodo de Newton puede divergirsix0 no est bien elegido.

17. Mostrar que la secuencia de iteracionesde Newton de la funcin f(x) = x3

2x+ 2 con x0

= 0oscilar entre 0 y 1. Dar una representacin grfica de este hecho. Encuentra ahora una raz positivadef(x)usando el mtodo de Newton por la eleccin de un x0 adecuado.

18. Estudiar el comportamiento de convergencia del mtodo de Newton para aproximar el cero x= 2de los siguientes dos polinomios:

f(x) =x3 3x 2g(x) =x2 4x + 4

comenzando con la misma aproximacin inicial x0= 1,9.

3

5/20/2018 tarea_1_sem2

4/7

19. Anote la secuencia de iteraciones Newton para encontrar un mnimo o un mximo de una funcinf(x). Aplicar para encontrar el valor mnimo de f(x) =x2 + senx

20. Obtenga un algoritmo para calcular n

A basado en el mtodo de Newton y aplicar su algoritmopara calcular 5

30, escojiendo una aprocimacin inicial adecuada.

21. Repetir el problema anterior con el mtodo de la secante y comparar la rapidez de convergencia.

22. Demostrar que la velocidad de convergencia del mtodo de Newton para una raz mltiple es slolineal, no cuadrtica. Construir un pequeo ejemplo para apoyar esta afirmacin.

23. Demostrar que la velocidad de convergencia del mtodo de la secante es superlineal.

24. Aplicar el mtodo de la secante a f(x) = x3 3x+ 2 para aproximar la raz x = 1con x0 = 0yx1= 2. Demostrar que el factor de convergencia es aproximadamente 1.6.

25. El polinomio P6(x) = 3x6 7x3 8x2 + 12x+ 3 = 0tiene una doble raz en x =1. Aproximaresta raz, primero utilizando el mtodo estandar de Newton, comenzando con x0=0,5.

26. Considere la ecuacin de Kepler del movimiento

M=E esenE

Para encontrar E, tenemos que resolver la ecuacin no lineal:

f(E) =M+ esenE E= 0

Demostrar que la iteracin de punto fijo

E=g(S) =M+ esenE

converge.

Dadae = 0, 0167 (Excentricidad de la Tierra)y M = 1 ( en radianes ) calcule E utilizando

Mtodo de biseccin Iteracin de punto fijo E = g ( E), como antes

El mtodo de Newton Mtodo de la secante.

Para elegir aproximaciones iniciales apropiadas o un intervalo que contiene la raz (requeridopara el mtodo de biseccin ), representar grficamente la funcin f(E) y luego determinargrficamente donde cruza el eje E.

27. Considerar la ecuacin de estado de Van der Walls:

(P+ a

V2)(V b) =RT

Usar el mtodo de Newton para calcular el volumen V especfico del dixido de carbono a una

temperatura T= 300o

K, dada P = 1atom, R= 0, 082054J ( kgo

K), a = 3.592 Pa m6/kg2 ,b= 0,04267m2/kg. Obtener la aproximacin inicial V0 de la ley de los gases ideales : P V =RT.

28. Repetir el ltimo problema para el oxgeno para el cual a = 1,360y b = 0,03183.

29. Windmill Electric PowerCada vez es ms comn el uso de turbinas de viento para generarenerga elctrica. La produccin de energa generada por un molino de viento depende de dimetro

4

5/20/2018 tarea_1_sem2

5/7

de la cuchilla y la velocidad del viento. Una buena estimacin de la produccin de energa est dadapor la siguiente frmula:

EO = 0,01328D2V3 (1)

donde EO = Salida de Energa , D = Dimetro del aspa de molino ( mts ), V = Velocidad delviento en m/s. Utilice el mtodo de Newton para determinar cul debe ser el dimetro del aspade molino, si se quiere generar 500 vatios de energa elctrica cuando la velocidad del viento es 10

mph.

30. Un tanque esfrico de radio r = m contiene un lquido de volumen V = 0,5m3. Cul es laprofundidad,h, del lquido?. Utilice la siguiente frmula: V = h

23

(3R h)para resolver.31. Suponga que el desplazamiento de un cuerpo en el tiempo t est dada porx(t) = cos10t 12sen10t.

En qu momento t (s) el desplazamiento ser de 20 metros ?.

32. Supongamos que el desplazamiento de un cuerpo en el tiempo tbajo una oscilacin de amortiguacinque est dada por x(t) = et(Acos

122

t+ sen122

t). Determinar el tiempo necesario para que elcuerpo llegue al estado de reposo x(t) = 0 usando las condiciones iniciales: x(0) = 1 , x(0) = 5. (Sugerencias: En primer lugar, encuentre Ay B utilizando las condiciones iniciales, luego resuelvala ecuacin parat haciendox(t)= 0.)

33. Mtodo de Haley. La siguiente iteracin para encontrar una raz de f(x) = 0:

xi+1=xi 2f(xi)f(xi)

2f(xi)2 f(xi)f(xi)se conoce como iteracin de Haley.

Se puede demostrar que si f(x) es tres veces continuamente diferenciable y x = es una raz def(x) = 0, pero no de su derivada, entonces la iteracin de Haley converge a cero si la aproximacininicialx0 est suficientemente cerca, y adems la convergencia es cbica; esto es,

ei+1

e

3

i C

, para alguna C >0 Calcular un cero positivo de f(x) =x3 3x + 1 a partir de x0= 0,5con unatolerancia de error de = 10 4.

34. Considere la ecuacin dex2 3x 1 = 0

Cuantas iteraciones se necesitan para tener una precisin de 0,00001 usando el mtodo deBiseccin en en el intervalo [1, 1]?Obtenga una funcin de punto fijo que le permita aproximar la misma raiz del punto anterior.Pruebe que esa funcin cumple las hipotesis del teorema de punto fijo.

35. La concentracin c de una bacteria contaminante en un lago decrece segn la expresin:

c(t) = 80e2t + 20e0,5t

siendot el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita para que el nmero de bacteriasse reduzca a 7.(Utilizar el Mtodo de Newton).

36. Probar, mediante el mtodo de Newton, que la ecuacin

xn+1= xn(2 Axn)

se puede utilizar para aproximar a 1A

si x1 es una estimacin del recproco de A.

5

5/20/2018 tarea_1_sem2

6/7

37. Se desea aplicar el mtodo de Biseccin para encontrar las soluciones de

x3 7x2 + 14x 6 = 0

en el intervalo[0, 1]con una precisin de 105.Cuantas iteraciones son necesarias?

38. Se desea aproximar el valor de xque en la grfica de y = 1

xproduce el punto mas cercano a(2, 1).

Si queremos usar el mtodo de Newton, cual debe ser la ecuacion para hallar xn+1

?

39. Sean f(x) =x3 cos xy p0=1.Aplique el mtodo de Newton para encontrar p3.>Podriamosutilizarp0= 0?

40. Con el mtodo de la secante aproxime, con un grado de exactitud de 103, el valor de xque en lagrfica de y = x2 + 1 produce el punto mas cercano a (1, 1). Use otro mtodo para obtener losdatos iniciales necesarios para el mtodo de la secante.

41. Escribir un programa que implemente el modo de Jacobi y otro que implemente el modo deGauss-Seidel para la resolucin de un sistema lineal Ax= b, con las siguientes condiciones:

que indique si el mtodo resulta o no convergente para la matriz A,

que incluya una restriccin al nmero de iteraciones,

que finalice si el mtodo se estaciona.

(Sugerencia: utilizar los comandos tril, diagy eigde Matlab)

42. Decidir para cada uno de los siguientes sistemas, si los modos de Jacobi y de e Gauss-Seidelson convergentes. En caso afirmativo usarlos para resolver el sistema. Es la matriz del sistemadiagonal dominante? y simtrica y definida positiva?

3 1 12 6 11 1 4

xyz

=

596

5 7 6 57 10 8 76 8 10 95 7 9 10

uxyz

=

23323331

43. Consideremos el siguiente sistema en forma matricial

1 2 60 5 14 1 2

xyz

=

565

Escriba la formulacin matricial del Mtodo de Jacobi correspondiente al sistema de ecuacionesanterior. Asegurese de que su formulacin sea convergente.

44. Consideremos el sistema de ecuaciones linealesAx= b, del que se conoce una descomposicin LUcomo la que sigue

3 2 a1,32 4 11 a3,2 3

=

1 0 0l2,1 1 0

1

3

1

2 1

3 2 10

8

3 1

30 0 u3,3

=LU

Deduzca los valores omitidos en cada matriz.

Use esa descomposicion para calcular la solucin exacta del sistemaAx= b.

6

5/20/2018 tarea_1_sem2

7/7