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Tema 1: Fundamentos de probabilidad

1.- Construya el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos.

a) Se pregunta a una persona si la primera letra de su apellido es vocal o consonante

b) Se pregunta a una persona si el día del mes en que nació es non o par.

c) Se observa el comportamiento de 10 acciones de la Bolsa Mexicana de Valores y se registra el número de éstas que finalizaron el día a la baja.

d) Se pregunta a una pareja el número de años cumplidos de escuela primaria cursados por cada uno.

2.- Demostrar la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones.

a) Si PA PB p, entonces PA B p b) Si PA PB, entonces A c) Si PA 0, entonces A d) Si PA 0, entonces PA B 0

3.- Una urna contiene tres pelotas rojas, dos blancas y una azul. Una segunda urna contiene una pelota roja, dos blancas y tres azules.

a) Una pelota es seleccionada al azar de cada urna.

a.1) Describe el espacio muestral para este experimento.

a.2) Encuentre la probabilidad de que ambas pelotas sean del mismo color.

a.3) ¿La probabilidad de que ambas pelotas sean rojas es mayor que la probabilidad de que ambas pelotas sean blancas?

b) Se selecciona aleatoriamente una urna y se extraen dos pelotas. b.1) Describa el espacio muestral para este experimento. b.2) Encuentre la probabilidad de que ambas pelotas sean del mismo color.

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b.3) ¿La probabilidad de que ambas pelotas sean rojas es mayor que la de que ambas sean blancas?

4.- Dado que 0 PA 1 y 0 PA 1, probar la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones.

a) Si PA|B PA, entonces PB|A PB. b) Si PB|A PB|A, entonces A y B son independientes.

c) Si PA a y PB b, entonces PA|B .

d) Si PA PB, entonces PA|B PB|A. e) Si PA|B PB|A, entonces PA PB.

5.- Un dado es lanzado tantas veces como sea necesario hasta obtener un seis. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten más de cuatro lanzamientos para obtener un seis, dado que no se obtuvo un seis en el primer lanzamiento?

6.- a) Si PB PA|B PC|A B , encontrar PA B C.

b) Demuestre que si A, B y C son tres eventos tales que PA B C 0 y PC|A B PC|B, entonces PA|B C PA|B.

7.- a) Sean B, B, … , B eventos mutuamente excluyentes y B B ! . Supongamos que P#B $ % 0 y que P#A&B $ p para j 1,2, … , n. Demostrar que PA|B p.

b) Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes tales que PA % 0 y PB % 0 Demuestre que A y B no pueden ser independientes.

8.- Sean A y B dos eventos independientes en un espacio de probabilidad Ω , A, P. a)Demostrar la independencia entre A y B y entre A y B y finalmente A y B. b) Si PA PB , encontrar P*A B + A B,.

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9.- Supóngase que un punto es escogido al azar en el cuadrado unitario. Sea A el evento: el punto esté en el triángulo delimitado por las líneas y 0, x 1 y x y, y sea B el evento:

el punto esté en el rectángulo con vértices 0,0, 1,0, /1, 0 , /0 , 0. Calcule PA + By PA B. 10.- Suponga que los coches tienen la misma probabilidad de ser fabricados en lunes, martes, miércoles, jueves o viernes. Los coches hechos en lunes tienen una probabilidad de 4% de ser amarillos; los coches hechos en martes, miércoles o jueves tienen una probabilidad de 1 % de ser amarillos, y los coches hechos en viernes tienen una probabilidad de 2% de ser amarillos. Si se compra un coche y resulta ser amarillo ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado el lunes? 11.- Suponga que hay una prueba para detectar cáncer con la propiedad de que el 90% de aquellas personas con cáncer reaccionan positivamente y el 5% de aquellas sin cáncer reaccionan positivamente. Si el 1% de los pacientes en un hospital tienen cáncer, ¿cuál es la probabilidad de que un paciente seleccionado al azar reaccione en forma positiva a la prueba? 12.- Una máquina tiene 4 componentes que funcionan en paralelo, de tal forma que la máquina falla si por lo menos tres componentes fallan. Suponga que las fallas en los componentes son independientes entre sí. Si los componentes tienen probabilidades de 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 de fallar cuando la máquina se pone a funcionar, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina funcione correctamente cuando empiece a funcionar? 13.- Un portafolio de inversión está formado por 10 acciones de las cuales 6 finalizaron a la alza y 4 a la baja el día de hoy.

a) Se escogen aleatoriamente 3 acciones del portafolio, pero no se sabe si estuvieron a la alza o a la baja el día de hoy. Encuentre la probabilidad de que una cuarta acción seleccionada del portafolio haya finalizado a la baja.

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b) ¿Cuál es la probabilidad de que las primeras tres acciones haya finalizado a la alza si la cuarta acción seleccionada finalizó a la baja? c) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres acciones escogidas hayan finalizado a la alza si se sabe que al menos una de ellas termino a la alza?

14.- Un punto es seleccionado aleatoriamente en el cuadrado unitario y se sabe que está en el triángulo delimitado por x 0, y 0, x 1 y 1. Encuentre la probabilidad de que el punto también se encuentre en el triángulo delimitado por x 1, y 0 y x y.

15.- La experiencia indica que el 20% de las personas que reservan una mesa en algún restaurante nunca asisten. Si un restaurante tiene 50 mesas y acepta 52 reservaciones, ¿cuál es la probabilidad de que se pueda acomodar a todas las personas que lleguen? 16.- Un autobús empieza su recorrido con 6 personas y realiza 10 paradas en diferentes lugares. Suponga que todos los pasajeros tienen la misma probabilidad de bajarse en cualquier parada. Encuentre la probabilidad de que no bajen dos o más pasajeros en la misma parada.

17.- Sean A y B dos eventos tales que : PA 2 , PB|A y PA|B 2. i) Demuestra que PA B % 0. ii) Demuestre que A no es subconjunto de B. iii) Calcule PA|B. iv) Calcule PA|B 1 PA|B. v) Calcule PA|B 1 PA|B.

18.- Sean A y B dos eventos independientes tales que PA 0.3, PB 0.2. Encuentre:

a)PA B. b)PA + B. c)PA|B.

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19.- A 100 estudiantes del ITAM se les pregunta el tipo de transporte que utiliza para llegar al ITAM. Los resultados de las entrevistas han sido clasificadas en la siguiente tabla de contingencia:

Carro propio

Otro

Hombre 40 22 Mujer 29 9

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar:

a) Sea mujer? b) Sea hombre y utilice carro propio? c) Sea mujer o use carro propio? d) Dado que es mujer no utilice carro propio? e) Dado que no utilice carro propio no sea mujer? f) Que no sea hombre ni utilice carro propio?

20.- En cierto banco se sabe que 1 de cada 10 personas tarda más de 1 hora en realizar todos sus trámites. Cuatro personas llegan a este banco simultáneamente y el tiempo que se va a tardar cada una es independiente del que se van a tardar las otras personas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Todas salgan en menos de una hora? b) Todas salgan en más de una hora? c) Dos de las cuatro personas salgan después de una hora?

21.- ¿Cuales de los siguientes eventos son independientes? Use el sentido común. a) A-Persona que es jugador profesional de básquetbol B-persona cuya estatura es mayor de 1.83m.

b) A- Persona con una estatura de más de 1.83m B-Persona cuyo padre mide más de 1.83m.

c) A-color de cabello B-sabor de helado favorito.

d) A- edad del individuo B-tipo de música favorita.

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22.- A partir de experiencias previas, una casa de bolsa considera que bajo las condiciones actuales, un cliente invertirá en instrumentos de renta fija con una probabilidad de 0.6, en instrumentos de renta variable con una probabilidad de 0.3 y en instrumentos de renta fija o variable, o en ambos, con una probabilidad de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente escogido al azar invierta:

a) En ambos instrumentos? b) En ninguno de estos instrumentos?

23.- En un salón de 28 alumnos, 7 miden al menos 1.80 metros. Se va a formar un equipo de basquetbol (5 integrantes), pero como todos tienen muchas ganas de jugar, el equipo no se escogerá de acuerdo a las estaturas, sino al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres miembros del equipo midan 1.80 metros o más?

24.- Tres eventos A, B y C se definen en un espacio muestral. Los 3 conjuntos correspondientes a estos 3 eventos no se intersectan y la unión de los 3 es el espacio muestral. El evento B es dos veces más probable que ocurra que el evento A, y el evento C es dos veces más probable que ocurra que el evento B. Determine la probabilidad de cada uno de estos eventos. 25.- Verifique la validez de las siguientes proposiciones. Si la respuesta es falsa, explique la razón de que así sea.

a) Si P*A, 0.1, P*B, 0.3 y A B , entonces PA + B 0.06. b) Si A B y P*B, 0.2, entonces P*A|B, 0. c) Si P*B, 0.05, P*A|B, 0.80 y P*A|B, 0.5, entonces P*B|A, 0.0777. d) Si P*A, 0.8 y P*B, 0.7, entonces P*A B, 0.5. e) ¿Es posible que P*A, 0.7, P*B, 0.4 y A B ?

26.- Una compañía maneja 3 fondos de inversión diferentes. Sea A9 el evento de que el i-ésimo fondo de inversión incremente su valor cierto día. Algunas probabilidades relacionadas con los fondos de inversión son:

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P*A, 0.55 P*A, 0.82 P*A:, 0.45 P*A + A, 0.82

P*A + A:, 0.7525 P*A + A:, 0.78 P*A + A + A:, 0.2

a) ¿Son A y A independientes? b) ¿Son A: y A independientes? c) ¿Son A , A y A: eventos independientes? d) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1 y 2 aumenten su valor? e) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1, 2 y 3 aumenten su valor? f) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1 y 2 aumenten su valor dado que el fondo 3 incrementó su valor?

g) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los tres fondos de inversión incremente su valor?

27.- Mr. Bandit, un bien conocido ranchero, pero no bien conocido ladrón de ganado; tiene 20 cabezas listas para vender. Dieciséis de estas cabezas son suyas y consecuentemente llevan su propia marca. Las otras cuatro llevan marcas ajenas. Mr. Bandit sabe que el inspector de marcas revisa el 20% del ganado de cualquier cargamento. Él tiene dos camiones, uno puede cargar a las 20 cabezas a la vez, el otro puede cargar sólo 10. Mr. Bandit considera 4 estrategias en su intento de llevar el ganado al mercado para venderlo sin que sea descubierto:

1) Enviar en un sólo cargamento las 20 cabezas. 2) Enviar dos cargamentos de 10 cabezas cada uno, en donde las cuatro cabezas

robadas se encuentran en uno de los viajes. 3) Se envían dos cargamentos de 10, uno con 3 cabezas robadas y el otro con una. 4) Se envían dos cargamentos de 10, cada uno con dos cabezas robadas.

¿Qué estrategia minimiza la probabilidad de que Mr. Bandit sea descubierto?

28.- Considere una urna que contiene 10 pelotas de las cuales 5 son negras. Primero se escoge al azar un número n en ;1,2,3,4,5,6< , y después se selecciona una muestra de n pelotas sin reemplazo de la urna.

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a) Descubra el espacio muestral asociado al número de pelotas negras en la muestra.

b) Encuentre la probabilidad de que todas las pelotas en la muestra sean negras. c) Si se realizara un juego con este experimento en el cual tendrían que pagar $100 y por cada pelota negra obtenida se recibieran $50.

i) Describa el espacio muestral del dinero que se puede ganar en este juego.

ii) ¿Cuál es la probabilidad de que se ganen más de $100 en el juego?

iii) ¿Cuál es la probabilidad de ganar $500?

29.- Un jugador tira un par de dados dos veces. Él gana si los dos totales obtenidos no difieren en más de dos, con las siguientes excepciones: si obtiene un 3 en el primer tiro, debe obtener un 4 en el segundo tiro; si obtiene un 11 en el primer tiro, debe obtener un 10 en el segundo ¿Cuál es la probabilidad de que gane? 30.- Usted es dueño de un pequeño negocio y ha contratado la entrega de su producto a un precio fijo de $20 por unidad. A usted le gusta la seguridad que proporciona un contrato garantizado pero está preocupado por dos posibles catástrofes: a) que la Reserva Federal declare una disminución en los créditos, el cual limitara el financiamiento que necesita para la compra de materia prima y a la fabricación de su producto, o b) que la reserva federal permita cierta inflación y aumente los costos de la materia prima y mano de obra lo que impide a usted obtener utilidades al precio de $20 por unidad. En su opinión, la probabilidad de disminución en los créditos en 0.2 y la probabilidad de inflación es 0.1. Si estos dos sucesos son mutuamente excluyentes, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra uno o el otro? 31.- En Wall Street la tradición dice que si un equipo de la NFC gana el súper tazón, los precios de las acciones serán más altos un año después y si gana un equipo de la AGC el mercado se desplomará. Un artículo de USA Today muestra que lo primero sólo ha ocurrido 22 de 25 veces y lo segundo 9 de 14 veces. Suponga que la probabilidad de que ganen los Vaqueros de Dallas de la NFC es de 0.75. Obtenga la probabilidad de los precios de las acciones aumenten el siguiente año.

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32.- Una compañía famosa de botanas en México lanzo una promoción en el año de 1999 en la cual en sus productos aparecía una tarjeta con 6 círculos para rascar. En cada círculo podía aparecer una estrella o la palabra “PIERDE”. Los premios dependían del número de estrellas que se encontraran sin tener un solo “pierde”, y eran:

No. De estrellas

Premio

2 Participaba en la rifa de $100000

3 Una bosa de botana de 40g 4 Una computadora 5 Un coche nuevo

Una tarjeta podía contener 3,4 o 5 estrellas cubiertas, si la probabilidad de que la tarjeta tuviera 3 estrellas era 0.99, de que fuera 4 era 0.009 y de que fuera 5, 0.001:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 2 estrellas al rascar 2 círculos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 4 estrellas al rascar 4 círculos?

c) Si una persona encontró 4 círculos, ¿Cuál es la probabilidad de que hubiera encontrado la 5ª estrella?

33.- Una persona tiene la siguiente estrategia de juego en las vegas. Apuesta $100 a que la ruleta caerá en el rojo y si gana, se retira. Si pierde, entonces hace la misma apuesta pero con $200 e independientemente del resultado se retira. Suponiendo que tiene una probabilidad de ½ de ganar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane con esta estrategia? b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de $100? c) ¿Por qué no todas las personas usan esta estrategia?

34.- En un casino se juega de la siguiente manera:

Se lanzan 2 dados honestos de 6 caras, de los números impares obtenidos se gana la suma en cientos de pesos y de los números impares se pierde el 75% de la suma en cientos de pesos. Por ejemplo, si se obtiene (1,2) de gana (1 X 100) y se pierde -75(2) (100), es decir, finalmente se pierden $50

a) ¿Cuál es el espacio muestral de lo que se gana en este juego?

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b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar $600? c) ¿Cuál es la probabilidad de perder $600? d) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en este juego?

e) ¿Cuál es la probabilidad de perder en este juego?

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Tema 2: Variables Aleatorias

1.- a) Enseguida se presentan unas funciones. Diga si éstas pueden ser de densidad de probabilidad y si son continuas o discretas. Justifique su respuesta.

i)fx 31 > x, para 0 x 1.

ii)fx ?@A?B , para x 1,2,3,4,5.

iii)fx √?, para 0 x 4.

iv)fx A?, para x 1,2,3,4. v)f?x DEF?! θ?, x 0,1,2, … , θ.

b) ¿Cuáles de las siguientes son funciones de probabilidad o de densidad?, justifique su respuesta.

i)fx .02?0.6?I;B,<x.

ii)fx 0.30.7?I;B,,… <x.

iii)fx 0.6eKLIB,Mx.

iv)fx xI*,D,x.

2.-Sea N un número positivo y sea f una función dada por: fx Nc2?, x 1,2, … , N0 e. o. c R a) Encuentre el valor de c tal que fx sea función de probabilidad.

b) Obtenga la función de distribución acumulada.

c) Obtenga la moda y el valor esperado de x. d) Encuentre Px 1|S 3.

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3.- Un dado se tira hasta que un 6 aparece.

a) Obtenga la función de probabilidades de la variable aleatoriaY, que indica el número de tiros necesarios hasta que un 6 aparezca.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más el dado se tire 6 veces?

c) ¿Cuantos tiros se necesitan para que la probabilidad de obtener un 6 sea al menos .5?

d) Obtenga el valor esperado de Y.

4.- Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución acumulada está dada por:

Fx VWWXWWY 0 x 0 x3 0 x 1x2 > 16 1 x 73 1 x 73

R

a) Calcule:

i)P / x :0.

ii)P / x 10. iii)P / x 10.

b) Encuentre fx y grafíquela.

c) Obtenga el valor esperado, la mediana y la varianza.

d) Obtenga la función generadora de momentos.

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5.- Pruebe la verdad o falsedad de la siguiente afirmación: si fx y fx son funciones de densidad y si los valores θ y θ son tales que θ 1 θ 1; θ, θ 0 , entonces θfx 1 θfx es también una función de densidad. 6.- El individuo A tiene dos monedas y el individuo B tiene una. Ellos juegan volados hasta que uno de los dos tiene las 3 monedas. Sea X el número de volados requerido para que el juego se acabe.

a) ¿Cuál es la función de probabilidad de X?

b) Obtenga la función generadora de momentos de \.

c) Obtenga los coeficientes de simetría y curtosis. Utilice la función generadora de momentos.

7.- El número de solicitudes de apertura de crédito que se reciben diariamente en un banco es una variable aleatoria W con la siguiente función de distribución.

Fw VWXWY 0, w 00.1, 0 w 10.3, 1 w 20.7, 2 w 2 1, 4 w

R

a) Encuentre la probabilidad de que se reciban dos o más solicitudes en un día.

b) Si en la mañana de un día ya se recibió una solicitud, ¿cuál es la probabilidad de que al final del día se hayan recibido tres o más solicitudes?

c) Encuentre la función de densidad de W.

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8.- Suponga que la duración en minutos de cada llamada que se realiza en una empresa, es una variable aleatoria X cuya función de densidad de probabilidad está dada por:

fx _14 e?2 , x % 00, e. o. c.R Obtenga:

a) La función de distribución de X y grafíquela. b) La función generadora de momentos. c) El promedio de la duración de las llamadas.

d) La varianza y el coeficiente de variación de la duración de las llamadas.

e) el coeficiente de asimetría y curtosis. Interprete. f) Obtenga los cuantiles .25, .5 y .75. g)Px % 4|x % 2.

h) En un grupo de llamadas de tamaño N ¿Indique cuál es la probabilidad de que

de ellas duren menos que el promedio?

9.- La proporción de declaraciones anuales del I.S.R. que se presentan correctamente a la S.H.C.P., es una variable aleatoria W que tiene la siguiente función de densidad.

fw 32 w 1 w, 0 w 1

El costo (cientos de millones de $) del seguimiento que realiza la S.H.C.P. De las declaraciones está dado por: a ab 5 > 0.5b > 0.1b.

a) Encuentre el valor esperado y la desviación estándar del costo.

b) ¿Qué relación debe darse entre E*Cw, y CE*w, . Justifique su respuesta.

10.- Considere la variable aleatoria d que representa el ingreso de las personas en cierta localidad. Una posible forma de estudiar el comportamiento de d es proponer que su distribución es:

fy e βgyg , y β

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En donde α, β son parámetros. Esta distribución se conoce con el nombre de distribución de Pareto.

a) Construya la gráfica de d para diferentes valores de α, β. Analice estas gráficas,

¿que se puede decir del comportamiento de la variable d?

b) Obtenga los primeros cuatro momentos con respecto al origen.

c) Obtenga el coeficiente de asimetría y de curtosis. Interprete.

11.- Un inversionista realiza dos inversiones independientes y piensa lo siguiente:

La inversión 1 tendrá una ganancia de $1000 con una probabilidad de 0.6 o un a pérdida de $400 con probabilidad de 1.4.

La inversión 2 tendrá una ganancia de $2000 con una probabilidad de .1, una ganancia de $700 con una probabilidad de 0.4 y una pérdida de $500 con probabilidad de 0.5.

a) Obtenga la función de distribución de la ganancia o pérdida obtenida por las 2 inversiones y grafíquela.

b) Obtenga la probabilidad de que el inversionista no pierda. c) Obtenga la ganancia esperada y la varianza.

12.- Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad fx y función de distribución Fx, obtenga las funciones de densidad de las siguientes variables en términos de fx y Fx.

a)Y a 1 bX.

b)Z j.

c)W e?. d) Indique cómo se relacionan E*GX, y Ge*X, para las funciones anteriores.

13.- Una persona está considerando tres estrategias para invertir $10000. Los rendimientos probables fueron estimados como se presentan a continuación:

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Estrategia 1-Una ganancia de $100000 con probabilidad de 0.15 y una pérdida de $10000 con probabilidad 0.85.

Estrategia 2- Una ganancia de $10000 con probabilidad de .5, una ganancia de $5000 con probabilidad de 0.3 y una pérdida de $5000 con probabilidad de 0.2.

Estrategia 3- Una ganancia de $4000.

a) ¿Cuál es la estrategia que tiene la mayor ganancia esperada?

b) Obtenga la desviación estándar de los rendimientos de cada estrategia.

c) ¿Usted le recomendaría a esta persona escoger la estrategia de mayor ganancia esperada? Justifique.

d) Un amigo le recomienda que combine las primeras dos estrategias de tal forma que invierta una proporción de la inversión inicial en la primera estrategia y el resto en la segunda, pero le advierte que los rendimientos que obtenga son directamente proporcionales a lo que se invierta en cada una. Si invierte 50% en cada una, ¿le está dando un buen consejo a su amigo? ¿Por qué?

14.- Sea Y la proporción de un año que una persona se encuentra desempleada. La función de densidad de fy está dad a por: fy 12y1 > y, 0 y 1

a) Obtenga la función de distribución. Grafíquela. b) Obtenga el valor esperado y la varianza.

Una transformación (logit) para pasar del intervalo 0,1 a los reales, y que es de mucha utilidad en los modelos estadísticos lineales es:

w log y1 > y

c) Obtenga la función de distribución de w. d) Obtenga la función de densidad de w. e) Obtenga el valor esperado y la varianza de w.

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15.- Un inversionista piensa asignar cierto monto en cada una de 2 inversiones y cuenta con un total de $200000 para invertir:

El primer instrumento de inversión tiene un rendimiento del 10%, mientras que el segundo tiene un rendimiento esperado del 18% y una desviación estándar del 6%. Esta persona no sabe qué monto de su dinero destinará a cada instrumento.

a) Cuál es el rendimiento total esperado y la desviación estándar si:

i) Todo lo destina al primer instrumento. ii) Todo lo destina al segundo instrumento. iii) Invierte la mitad en cada uno.

iv) Invierte $50000 en el primero y el resto en el segundo.

b) Proponga uno (o más) criterio(s) para decidir el monto a invertir en cada instrumento. De acuerdo a estos criterios ¿cuánto le conviene invertir en cada instrumento?

16.- Sea un número N entero positivo, y sea fx la función definida por:

fx 2xNN 1 1 , x 1,2, … , N

Demuestre que no es una función de densidad y encuentre su valor esperado.

17.- La distribución dada por:

fx 1β x ep?qr@IB,Mx

Es llamada la distribución Raleigh. Demuestre que la media y la varianza existen y encuéntrelos.

18.- La variable aleatoria Z tiene función de densidad dada por:

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fz c 1 dz, 0 z 2

a) Calcule los valores de c y d tales que el valor esperado de la variable Z sea igual a 4/3.

b) Obtenga el valor esperado y la varianza de W si W 7 > 2z .

19.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de densidad.

fx Γ /k 1 120Γ /k20 √kπ 1 1 x/ky/, x z R, k % 0

en donde k es el parámetro y Γ· la función analítica Gamma dada por: Γt ~ yedyMB

Esta distribución de probabilidad se conoce como distribución t de Student. Los momentos centrales de esta variable son: µ 0, k % 1, r 1,3,5, …

µ k B /r 1 12 , k > r2 0B /12 , k20 , k % 2, r 2,4,6, …

a) Construya la gráfica de la función de densidad para k=1, 5,10. b) ¿Cuál es el valor esperado de esta variable aleatoria? c) Obtenga el valor de los primeros cuatro momentos centrales, el coeficiente de asimetría y curtosis. d) ¿Qué sucede con los coeficientes obtenidos si k ∞?

20.- Sea X una variable aleatoria con función de densidad:

fx Γm 1 n/2Γ /m2 0 Γ /n20 x/1 1 mx/n/ , x z R, k % 0

en donde m, n 1,2, … son los parámetros de la distribución.

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Los momentos con respecto al origen están dados por:

µ´ nm Γ /m2 1 r0 Γ / n2 > r0Γ /m2 0 Γ / n20 , r n2

Esta distribución de probabilidad se conoce como distribución F.

a) Construya la gráfica de la función de densidad para m=1, n=2. b) Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria.

c) ¿Qué signo debe tener el coeficiente de asimetría de la función F?

21.- a) Con relación al ejercicio 26 del tema “Fundamentos de probabilidad”. Considere que al apostar a color en la ruleta el pago es uno a uno. Se define la variable aleatoria G como la ganancia neta obtenida con esta estrategia.

1) Obtenga la distribución de probabilidad de G .

2) Obtenga el valor esperado y la varianza para la ganancia neta de esta persona.

3) ¿Conviene jugar con esta estrategia?

b) Para el ejercicio 34 del tema “Fundamentos de probabilidad” sea X la variable aleatoria que indica la ganancia neta en el juego.

i) Obtenga la función de densidad de X y grafíquela.

ii) Obtenga la esperanza y la varianza de X .

iii) ¿Conviene jugar este juego?

c) En el ejercicio 28 del tema “Fundamentos de probabilidad” si Y es la ganancia neta obtenida.

i) Obtenga la función de densidad de Y y grafíquela. ii) Obtenga la esperanza y la varianza deY. iii) ¿Conviene jugar este juego?

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22.- La cantidad diaria de agua demandada por la población de una cuidad grande del norte del país durante los meses de verano es el resultado de una variable aleatoria X medida en millones de litros y que tiene la siguiente función generadora de momentos. 1 > 0.5B, 2

a) Obtenga la esperanza y la varianza.

b) Construya el intervalo a 2.5 desviaciones estándar de la media e indique qué puede asegurarse de dicho intervalo.

c) ¿Es la función de densidad X simétrica? Justifique.

23.- Los primeros tres momentos con respecto al origen de la variable aleatoria Y son: µ 0.5, µ 0.5, µ: 0.75

a) Obtenga los tres primeros momentos con respecto a la media.

b) ¿Es sesgada la densidad de Y?

24.- Sea X una variable aleatoria con función generadora de momentos M?t Demuestre que:

a)M?t eM?t . b)M?t M?bt .

c)MK t e M?t/b .

d) Utilice estas propiedades y obtenga la media y la varianza de:

i)Y X 1 a. ii)Z bX.

iii)W j . expresadas en términos de la media y varianza de X .

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25.- El gerente de una pastelería esta considerando cuantos pasteles de chocolate se deben hacer cierto día. Él sabe que el número de pasteles de chocolate que son demandados por los clientes en ese día es una variable aleatoria con función de probabilidad dada por:

fx x 1 115 I;B,,,:<x 1 7 > x15 I;2,A<x

La pastelería tiene una ganancia de $15 en cada pastel de chocolate que se vende. Si el pastel no se vende en ese día, se tira (por que no está fresco) y la pastelería pierde $10. Si el gerente desea maximizar la ganancia diaria esperada por la venta de pasteles de chocolate, ¿cuantos pasteles se deben hacer? , ¿cuál es la varianza de la ganancia diaria?

26.- Una clase de economía tiene un total de 20 estudiantes con la siguiente distribución de edad.

Edad No.de estudiantes 19 10 20 4 21 4 24 1 29 1

El profesor seleccionará aleatoriamente y sin reemplazo a 2 estudiantes de la clase para que realicen un reporte del estado de la economía del país.

a) Obtenga el espacio muestral de las edades de los estudiantes seleccionados.

b) Calcule las probabilidades de cada edad.

c) Defina una variable aleatoria que represente el promedio de edad de los dos estudiantes seleccionados. Obtenga la distribución de probabilidad de esta variable y represéntela en una grafica.

d) ¿Cuál es el valor esperado, la varianza, el coeficiente de asimetría y de curtosis esta variable aleatoria?, ¿qué indican estas medidas?

56

e)ó\

13.- Supón que el vector aleatorio en Ã2, \~ 0, Σ con Σ ê4 6 2 46 9 3 62 3 5 44 6 4 6ë.

a) ¿Cuál es la distribución de 3\ 1 4\ 1 \: > \2?

b) ¿Cuál es la distribución de \ dado \ S?

c) ¿Cuál es la distribución de d *\:, \2, dado que \ 2 y \ 3.

57

Respuestas

Tema 1

1.- a);vocal, consonante<

b);Non, Par<

2.- a) F, suponga que ò ó, entonces Ëò ó Ëò ¤ ¤ pues 0 ¤ 1

b) F, sea ò óô

c) F, sea \~¡0,1 y ò cualquier número entre 0 y 1

3.- a.2)Ë©õö©÷ ø÷ù÷ú Ëú÷û÷|üúý1Ëú÷û÷|üúý2 1 ˲üù|üúý1˲üù|üúý2 1

Ëþùýø|üúý1Ëþùýø|üúý1 : 1 1 : A a.3) falso, Ë©þö þùýøö Ë©þö ú÷ûö

b.1) ;ú, ú, ú, þ, ú, , þ, þ, þ, , , <

b.2)Ë©þö ù ©õö©÷ ø÷ù÷ú

Ë©þö ù ©õö©÷ ø÷ù÷ú|üúý1Ëüúý1 1Ë©þö ù ©õö©÷ ø÷ù÷ú|üúý2Ëüúý2 #Ë©þö ú÷ûö|üúý1 1Ë©þö þùýøö|üúý1$Ëüúý1 1 #Ë©þö ²üùö|üúý2 1Ë©þö þùýøö|üúý2$Ëüúý2 /: A 1 A0 /0 1 /: A 1 A0 /0 2A

b.3) cierto Ë©þö ú÷ûö : A B % A A Ë©þö þùýøö

5.- Ë©ö 4 ùý²©õý÷ö 1 > Ë4 ÷ ©ý÷ö ùý²©õý÷ö a demás, Ë©ö 1 1 > Ë1 ùý²©õý÷, por lo tanto

58

Ë©áö 4 ùý²©õý÷ö|©ö 1 á 2 á á 2 ¨ ¨ ¨ á/0@/0/0/0â

A/ A/A/ A 0.5787

7. - a)Ë#óÉ$ % 0 Ëó % 0; Ëò|ó ∑#&$#$ ∑#$ ¤ ∑#$ ¤

b)Ëò ó 0 Ëò|ó Ëó|ò 0 Ëò, Ëó

9.- Área del rectángulo B =1/2, área del triángulo A=1/2, su intersección es la unión entre el cuadrado con vértices (1/2,1/2), (1,1/2), (1,0), (1/2,0) y el triángulo con vértices (0,0),

(1/2,0), (1/2,1/2), por lo tanto el área de su intersección es: 2 1 : y Ëò + ó Ëò 1Ëó > Ëò ó 1 > : A

11.-

Ëaýøú|Ë÷öõõ÷ |¨ô¨ô |¨ô¨ô|¨¨ AA

13.- a) Ëþû Ëþû|3 ù þûË3 ù þû 1 Ëþû|2 ù þûË2 ù þû 11Ëþû|1 ù þûË1 ù þû 1 Ëþû|0 ù þûË0 ù þû 2B : 1B 2 : 1 B A 2 : 1 B A 2 2 A

b) Ë3 ù²|4 ù þû 2 !É|: : 2 !É L"L# B

c) X=al menos una a la alza, Y=tres a la alza, notemos que Ë\ 1 > ËÍ,con Í ninguna a la alza

Ëd|\ Ëd \Ë\ 610 59 481 > ËÍ 610 59 481 > 410 39 28 529

15.- Notemos que para aceptar a todas es necesario que al menos 2 no lleguen por lo tanto Ëø¤ú ÷ö Ëù ©ý÷ö 2 ý÷ ùù$üý 1 > Ëùù$ü ù÷ ©áö 1 1 >#. 2A 1 51. 2A. 8$ 0.99987

59

17.- i) Ëò ó ËòËó|ò 1/8

ii) Si fuese subconjunto no sucedería que:Ëò ó Ëò

iii) Comoòô óô Ω > ò + ó, entonces PA|B &''' + ()*()|* ()*()|* =3/4

iv) Como ò óô ò > ò ó, entonces PA|B 1 PA|B 2 1 &Ù&ÙÚ()*()|* 3/4

v) Claramente ò ó y òô ó forman una partición de ó, por lo tanto PA|B 1PA|B &' 1

19.- a) BB

b) 2BBB

c) 2BBB

d) .B.: e) 2B2B f)

2BBB

24.- 1/7, 2/7 y 4/7

25.- a)+ Ëò + ó Ëò 1 Ëó > Ëò,ó Ëò 1 Ëó 0.4

b)ì pues si ò ó , entonces Ëò ó 0

c)+ Ëó|ò |||'' 0.7767

d)ì Ëò ó >Ëò + ó 1 Ëò 1 Ëó >1 1 Ëò 1 Ëó 1.5 > 1

e)+ Ëòó Ëò 1 Ëó > Ëò,ó 1.1 % 1 !

60

29. La tabla siguiente indica la suma de los dados en uno da los tiros, donde cada valor en ella ocurre con probabilidad 1/36; además, la probabilidad de que la suma no difiera en más de dos es la misma que la unidad menos que difiera en a lo más 2.

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

En la siguiente tabla se muestran las veces que puede ganar cuando en el primer tiro obtiene õ 1 û tomando en cuenta que si obtiene 3 en el primer tiro solo gana con cuatro en el segundo y con 11 en el primero sólo gana con 10 en el segundo

1 2 3 4 5 6 1 6 3 15 20 23 24 2 3 15 20 23 24 23 3 15 20 23 24 23 20 4 20 23 24 23 20 15 5 23 24 23 20 15 3 6 24 23 20 15 3 6

30.- Como son mutuamente excluyentes Ë + þ Ë 1 Ëþ 0.3

32.- a) Sea \=# de estrellas encontradas(al rascar x) y sea d=# de estrellas que venían, entonces la probabilidad buscada es:Ë\ 2 Ë\ 2|d 3Ëd 3 1 Ë\ 2|d 4Ëd 4 1 Ë\ 2|d 5Ëd 5 .99 : A 1 .009 2 :A 1 .001 A 2A 0.2023

b) Ë\ 4 Ë\ 4|d 4Ëd 4 1 Ë\ 4|d 5Ëd 5 .009 2 :A 2 : 1.001 A 2A :2 : 0.00093

c) Ë\ 5|\ 4 !A|-!A-!A!2 .BBLL@B.BBB: .1792

61

34.- a) Sea Í la cantidad ganada en este juego, la siguiente tabla muestra la función masa de \, donde cada celda tiene probabilidad 1/36:

1 2 3 4 5 6

1 -150 125 -300 325 -450 525

2 125 400 -25 600 -175 800

3 -300 -25 -450 175 -600 375

4 325 600 175 800 25 1000

5 -450 -175 -600 25 -750 225 6 525 800 375 1000 225 1200

Por lo que el espacio muestral es: ;>150,125, >300,325, >450,525,400, >25,600, >175,800,175, >600,375,600,25,1000, >750,225,1200<Para todas las siguientes probabilidades se usa la definición frecuentista de probabilidad

b)Ë\ 600 3/36

c)Ë\ >600 3/36

d) Ë\ % 0 17/36

e) Ë\ 0 17/36

62

Tema2

1.- a) Hay que ver que .S 0 para toda S, que /.SS 1 y que sean continuas por la derecha

i) ii) iii) iv) v)

si No no si Si

Cont. disc Disc

b)

i) ii) iii) iv)

No Si No Si

2.- a)∑ 201 2 21 > 2, por lo tanto para que .0S sea una función masa de

probabilidad se necesita que ø 2

3. - a).S VWXWY 1 ¤ 2 ¤ A 34 ¤ A5

R

b) ËS 6 ∑ A5 5! 0.6651

4. - a) i) P / x :0 F /:0 > F /0 5/12

63

ii) P / x 10 F1 > F /0 1/6

iii) P / x 10 F1 > F /0 1/6

6.-

b)£*0, 6@6 8. - a)+S / 2 eKL0B S 1 > 7L8B,M b)© £*0, / 2 e/KL0dxMB 2 , || 2

c) £*\, / 2 xe/KL0dxMB /2 4

d) ìS / 2 xe/KL0dx /L0@MB = 16. aìS 9: 1

h) Ë\ 4 1 > .632, si en un grupo de N todos se distribuyen igual, entonces d número de personas que hablan menos que el promedio ~ óõý# , Ë\ 4$ y

buscamos Ë /d 10 ∑ #1 $2@! 1 > 1

11.-

b)ËÍ 300 .8

14. - a)+; < 0 ; 04;: > 3;2 0 ; 1 1 ; % 1 R b)£*d, / 12;:1 > ;; B 3/5 y ìd / 12;21 > ;; B 1/25

15.- a) Sea X= rendimiento total esperado, \= rendimiento del iesimo instrumento

64

i) £*\, £*200000\, .10200000 20000 y ì\ ì*200000\, 0

ii) £*\, £*200000\, 36000 y ì*\, ì\ 12000

iii) £*\, 100000£*\, 1 100000£*\, 28000 y ì\ ì100000\ 1 ì100000\ 6000

iv)) £*\, 50000£*\, 1 150000£*\, 32000 y ì\ ì50000\ 1 ì150000\ 9000

b) Hay 2 propuestas validas 1.- minimizar la varianza, en cuyo caso se invierte todo en el instrumento 1, y 2.- dado cierto nivel þ de riesgo (varianza !) maximizar el beneficio, en

cuyo caso se invierte, es decir, se invierte =9>9@ > 200000

21.- a)1. ?100 3/4>300 1/4R 2. £ >225.25, ì 82500.25

b)1

1 2 3 4 5 6 1 2 -0,5 4 -2 6 -3,5 2 -0,5 -3 1,5 -4,5 3,5 -6 3 4 1,5 6 0 8 -1,5 4 -2 -4,5 0 -6 2 -7,5 5 6 3,5 8 2 10 0,5 6 -3,5 -6 -1,5 -7,5 0,5 -9

2.£ 0

3. ì 221666.66

23. - a) µ , µ > µ 2 , : µ: > µ µ 1 2µ : 1

b)@#$9 .75

65

25.- Se propone maximizar $ £*15S8AB > 10C > S8AD0, ,C ;0,1,2,3,4< $E 20, para C 5 Y ìú15S8AB > 10C > S8AD0 850