Tema 5: Transmisin del calor. 1. Introduccin
Departamento de Ingeniera Qumica Operaciones Bsicas. I.T.A.
Industrias Agrarias y Alimentarias
Las leyes de transmisin de calor tienen primordial importancia
en el diseo y funcionamiento de mltiples equipos como generadores
de vapor, hornos, precalentadores, cambiadores, refrigeradores,
evaporadores, condensadores, etc., en innumerables aplicaciones
industriales. En muchos casos el objetivo principal es obtener las
mximas velocidades de transmisin de calor por unidad de superficie,
compatibles con los factores econmicos. En otros casos, como en los
cambiadores, recuperadores y regeneradores, el objetivo es el
aprovechamiento y recuperacin del calor. Finalmente, otras veces
interesa hacer mnimas las prdidas de calor mediante aislamientos.
Los mecanismos bsicos de transmisin del calor son conduccin,
conveccin y radiacin. Sin embargo, en la mayora de los casos el
calor se transfiere simultneamente en varias de estas formas.
Conduccin. Se define como la transferencia de calor debida a una
diferencia de temperaturas, sin desplazamiento apreciable de
partculas. La conduccin implica la transferencia de energa cintica
de una molcula a otra adyacente. Es el mecanismo principal de
transmisin de calor en slidos y se estudia haciendo uso de la
ecuacin general de conservacin de la energa.
del fluido con otra. El movimiento del fluido puede producirse
por diferencia de densidades causadas por la diferencia de
temperatura, como en la conveccin natural, o bien por medios
mecnicos, como en la conveccin forzada. Es el mecanismo principal
de transmisin de calor en fluidos, y para estudiarla se hace uso de
leyes experimentales y analogas al no poder definir el estado
turbulento.
La transmisin de calor por conveccin implica la transferencia de
calor por mezcla de una parte
Conveccin.
Radiacin. Un cuerpo caliente emite energa radiante en todas las
direcciones. Cuando esta energa alcanza a otro cuerpo, parte de
ella puede reflejarse, otra parte puede ser transmitida a travs del
cuerpo, y el resto es absorbida y transformada en calor. A
temperatura elevada la transmisin de calor por radiacin es siempre
importante, y a veces tambin lo es a temperatura ambiente. La
transmisin por radiacin es exclusiva del calor y difiere mucho de
todas las otras formas materiales de transporte, especialmente en
que no necesita la presencia de un medio material (de hecho
necesita la ausencia de medio o que el medio sea transparente). Se
estudia haciendo uso de las leyes bsicas de la radiacin as como
algunas leyes experimentales.
2. Transmisin del calor por conduccin
y se verifica sin movimiento del medio. Tiene lugar
fundamentalmente en el seno de cuerpos slidos, como paredes de
hornos, tberas, cmaras frigorficas, o tambin como frutos que se
refrigeran o latas de conserva que se esterilizan.
Tal y como se ha expuesto en el tema anterior, es el mecanismo
molecular de transporte del calor
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Transmisin del calor por conduccin
Transmisin delema 5 T calor
Puede tener lugar tambin el lquidos o en gases y, de hecho
contribuye al transporte en estos sistemas. Sin embargo en el caso
de fluidos los gradientes de temperatura suelen causar conveccin
que tiene una contribucin mucho mas alta que la conduccin en el
seno del fluido. Para estudiar la conduccindel calor utilizaremos
las ecuaciones presentadas en el tema 4: ley de Fourier:
! q=k !Ty ecuacin de continuidad SIN generacin y SIN el
componente de transporte msico ! !C p!
v que es:
[1]
Escrita de esta forma es independiente de la geometra y podemos
adaptarla con facilidad a cada caso particular. 2.1. Conduccin
unidimensional en estado estacionario. Cuerpos homogeneos.
dT !
!C p =! q dt
[2]
En este caso, el flujo de calor se ha establecido de forma
estable creando una distribucin de temperaturas que NO VARIA CON EL
TIEMPO, con lo que el trmino de derivada respecto del tiempo se
hace 0 quedando que nos sirve para analizar casos de transmisin de
calor en paredes simples de hornos, tuberas o depsitos esfricos que
se presentan a continuacin. 2.1.1. Geometra plana: seccin de paso
constante.!
0=! q[3]
de flujo es constante, cosa que adems se deduce automticamente
de la ecuacin de continuidad. En efecto, tomando la expresin en
coordenadas cartesianas del operador nabla
La aceptacin de estado estacionario y seccin de paso constante
implica que la densidad!
=
!
!x , y , z!
y si el flujo se mueve en una nica direccin, que tomaremos como
x, Ec[3] queda
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Transmisin del calor por conduccin
Transmisin delema 5 T calor
0=
d qx dx
es decir, que qx es igual a una constante. Por otra parte, la
ecuacin de Fourier [1] con la expresin unidimensional en
cartesianas es
qx=k
integrando entre la condicin inicial x=0, T=T1, y cualquier
punto del interior x que estar a la temperatura T,se obtiene
dT=
T T1 x x=0
dT dx
T1
qx
T2
qx x=e qx dx=
k k dx x=0
x=0[4]
TT 1=
qx k x
Figura 1Flujo de calor en geometra plana.
x=e
y aplicando la otra condicin de contorno: x=e, T=T2
qx=k
T 1T 2 e
[5]
TT1
que nos da la densidad de flujo de calor, qx (J ms-1) en funcin
del espesor de la placa, e, las temperaturas de los extremos, T1,
T2, y la conductividad trmica k. Sustituyendo [5] en [4]:2
T=T 1
T 1T 2 e x
[6]
T2
que es la expresin del perfil de termperaturas y dice que en
este caso el perfil es LINEAL. Ntese que la forma del perfil viene
dada por la geometria y no influye en nada la conductividad.
Cuestiones
Figura 2Perfil plano de temperaturas
x=0
x=e
x
A veces la conductividad puede variar con la temperatura, sobre
todo cuando las temperaturas son muy diferentes. Considere el caso
sencillo de una variacin lineal tal como k=a!bT , donde a y b son
dos constantes. En que ecuacin tendra en cuenta esta circunstancia?
Integre la ecuacin y obtenga una expresin general.
2.1.2. Geometra cilndrica: incremento lineal de la seccin de
paso.
de forma inversamente proporcional al radio (la seccin de paso
longitud de una superficie cilndrica es 2 r L, por lo que aumenta
linealmente con el radio r).
En el caso de flujo radial cilndrico la densidad de flujo vara
desde un contorno al otro,
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ITIAA Aunque se puede incorporar este razonamiento a
Transmisin del calor por conduccin
ransmisin delema 5 T calor T
la ecuacin de Fourier (poniendo que
S2R2
Ro en su expresin), es ms qR!R!=qR!Ro!
R cmodo aplicar directamente la ecuacin de continuidad: escoger
coordenadas cilndricas, escribir que la divergencia de qR es igual
a cero y dejar que solo hay componente radial, esto es 1 d
!RqR!
! q=
dR =0 R
RR1 S1
S=2 R L d !RqR!
que se simplifica a ; =0 y se integra a dR RqR=A , donde A es
una constante que habr que Figura 3Esquema del flujo radial por
sacar de las condiciones de contorno y significa lo conduccin en la
seccin de un cilindro. que ya habiamos dicho: la densidad de flujo
disminuye de forma inversamente proporcional al radio.A qR=
R[7]
Ya se puede escribir la ecuacin de Fourier con la precaucin, de
nuevo, de escribir el gradiente de tepteraruras en cilndricas y
conservar slo la componente radial:dT qR=k dRque con la expresin de
la densidad de flujo [7] que ya conocemos queda : [8]
A dT =k R dR
R R1
T T1
R
A
ln
R = k !T 1T!
R1 A
[9]
La constante A sale de la otra condicin de contorno que es la
situacin y temperatura de la cara exterior (R=R2, T=T2)k!T 1T
2!
R2 k =
!T 1T 2! ; A=
, que sustituyendo en [7] da la expresin de la A R1
ln!R2/R1!
densidad de flujo de calor:ln
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Transmisin del calor por conduccin
Transmisin delema 5 T calor
qR=
T 2!
Rln!R2/R1!
1
k!T
[10]
y el flujo de calor para un cilindro completo Q=qR1S1=qR2S2=
k 2!RL!T 1T 2!
!T 1T 2!
=k 2!L Rln!R2/R1!
ln!R2/R1!
[11]
Y sustituyendo la constante A en [9] sale el perfil
T=T 1
!T
T 2!
R ln ln!R2/R1!
R11
[12]
Las formas del perfil de temperaturas y de la densidad de flujo
del calor frente al radio se muestran cualitativemente en la
siguiente figura: T11,1
qr1 qr2 R1q(R)
T(R)T2-0,4
R
Cuestiones
Figura 4Perfil de densidad de flujo del calor y perfil de
temperatura en la geometra cindrica.
R2
Dibuje la densidad de flujo de calor frente al radio para un
sistyema elegido por usted. Dibuje el perfil de temperaturas. Una
tubera de material plstico 2 cm de dimetro interno y 4 mm de
espesor de pared conduce agua caliente. En cierta seccin del
recorrido su temperatura interna es de 55C y la externa de 48C. Si
su conductividad es de 18 W m-1 C -1 que flujo de calor escapa por
cada metro de conduccin en esa zona? Y si las condiciones fuesen
las mismas pero la tubera fuese de cobre de 1,5 mm de espesor?
Conociendo el perfil de temperaturas puede averiguar la
conductividad?
Area media logartmica Una interesante variacin de la equacin
[10] es la siguiente. Sea L la longitud de lasuperficie cilndrica
de intercambio, con lo que las superficies interna y externa son
S1= 2 R1
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Transmisin del calor por conduccin
Transmisin delema 5 T calor
L y S2 2 R2 L. Particularizando [10]a R2 y multiplicando por el
area a ambos lados:Q=qR2S2=qR1S1=2!Lk
!T T !
=k1 2
!T 1T 2!
ln!R2/R1!
ln!2!LR2/2!LR1! !R2R1!
2 1
2!L!R R !
Q=k
!S S !2 1
!T 1T 2!
!T 1T 2!
=k!Sml!
!e!
ln!S2/S1! !R2R1!
[13]
Donde Sml es la media logartmica de las superficies intern e
interna y e es el espesor de la pared cindrica. La Ec[13] provee de
una forma extraordinariamente sencilla de calcular flujos de calor
en sistemas con flujo radial nico. Adems, para espesores de pared
pequeos (Se
