ANLISIS DE FRECUENCIAEl anlisis de la frecuencia se aplica a una coleccin de datos observados de un fenmeno (X).2La coleccin puede ser en dependencia del tiempo (por ejemplo la lluvia medida en un sitio) o del espacio (por ejemplo cosechas de cultivos en el rea), o puede tener otra dependencia.Lafrecuencia acumuladaes lafrecuencia estadsticaF(XXr) con que el valor de unvariable aleatoria(X) es menor que o igual a unvalor de referencia(Xr).Lafrecuencia acumuladarelativase deja escribir comoFc(XXr), o en breveFc(Xr), y se calcula de: Fc(Xr) =MXr/NdondeMXres el nmero de datosXcon un valor menor que o igual aXr, yNes nmero total de los datos.En breve se escribe: Fc=M/NCuandoXr=Xmin, dondeXmines el valor mnimo observado, se ve queFc=1/N, porqueM=1. Por otro lado, cuandoXr=Xmax, dondeXmaxes el valor mximo observado, se ve queFc=1, porqueM=N.En porcentaje la ecuacin es: Fc(%)=100M/N

Cuando los datos contienen una gran cantidad de elementos, para facilitar los clculos es necesario agruparlos, a estosgruposse los llamaintervalos o clases. Un intervalo es una serie de nmeros incluidos entre dos extremos, as por ejemplo, el intervalo 40 45 est formado por 40, 41, 42, 43, 44 y 45, siendo 40 el lmite inferior, 45 el lmite superior, 39,5 lmite real inferior (lmite inferior disminuido en 5 dcimas) y 40,5 el lmite real superior (lmite superior aumentado en 5 dcimas).Las reglas generales para formas distribuciones de frecuencias para datos agrupados en intervalos son:

1) Calcule el Rango (R).-Tambin se llama recorrido o amplitud total. Es la diferencia entre el valor mayor y el menor de los datos.

Por ejemplo:Si unadistribucinde 40 datos el valor mayor es 41 y el menor es 20 se tiene:Calculando el Rango se obtiene:

Calculando el nmero de intervalos se obtiene:

Calculando el ancho se obtiene:

Redondeando se obtiene: i = 4Calculando el nuevo rango se obtiene:

El exceso de 3 que se tiene en este caso se distribuye entre xmx y xmn. Por lo general se agrega al mayor y se quita al menor. Como por ejemplo, se podra agregar 2 al valor mayor y quitar 1 al valor menor, obtenindose los siguientes nuevos valores:

O tambin se podra agregar 1 al valor mayor y quitar 2 al valor menor, obtenindose los siguientes nuevos valores:

EJEMPLO ILUSTRATIVOA 40 estudiantes se les pidi que estimen el nmero de horas que habran dedicado a estudiar la semana pasada (tanto en clase como fuera de ella), obtenindose los siguientes resultados:3630476032354050

5435455248586038

3235564830554939

5850653556473756

5850475855395845

Solucin:1) Calculando el Rango se obtiene:

2) Calculando el nmero de intervalos se obtiene:

3) Calculando el ancho se obtiene:

Redondeando se obtiene: i = 6, por lo que es necesario realizar un ajuste al rango.Ejemplo 1El volumen de rboles de navidad vendidos anualmente en Mxico ha bajado en dcadas recientes, segn un informe de la SEMARNAT. Las 32 entidades informan de contribuciones de unos 25 millones de rboles de navidad anualmente a las ventas totales en Mxico. Adems, cada estado informa de su cosecha por municipio. Los principales 20 Municipios producto en Mxico provienen de siete estados. El nmero de rboles vendidos por los principales 20 municipios en 2010 aparece en la siguiente tabla. Este estudio se hace cada 5 aos.

Nmero de rboles de navidad vendidos por municipio (10,000 unidades)

42.825.484.836.516.7

21.387.665.4140.015.2

41.217.215.0103.022.1

25.620.3259.064.219.1

1. Calcula la media, mediana y rango para el nmero de rboles de navidad vendidos anualmente por los principales 20 municipios productores. Media: 56.7 Mediana: 31.05 Rango: 244

1. Calcula la desviacin estndar. Desviacin estndar: 59.15

1. Qu te dicen las respuestas a y b acerca de la distribucin para el nmero de rboles? Explica.Que de acuerdo a la media los valores se distribuyen cerca de la media.

1. Observa que la desviacin estndar es un nmero mayor a la media. Qu significa esto en esta situacin?Te indica el sesgo

1. Traza una grfica de puntos de los datos.

Ejemplo 2 El sitio Forbes.com public el EPS (beneficios por accin) de 2013 en dlares para 17 compaas de la industria bancaria.

NombreEPS($)

Astoria Financial2.92

Bankorth Group2.20

Bank of America3.67

BB & T2.61

Compass Bancshares2.86

Golden West Finl3.97

M & T Bank5.74

National City3.75

North Fork Bancorp1.83

Popular1.71

State Street3.13

Synovus Finl1.36

UnionBanCal4.70

Wachovia3.68

Wells Fargo4.00

Westcorp3.71

Zions Bancorp4.36

1. Calcula el rango del EPS.

R= 5.74 - 1.36 R= 4.38

1. Encuentra la varianza del EPS para los bancos.x=2.92+2.20+3.67+2.61+2.86+3.97+5.74+.375+1.83+1.71+3.13+1.36+4.70+3.68+4.00+3.71+4.36 / 17

x= 3.30

S=(2.92-3.30)+(2.20-3.30)+(3.67-3.30)+(2.61-3.30)+(2.86-3.30)+(3.97-3.30)+(5.74-3.30)+(3.75-3.30)+(1.83-3.30)+(1.71-3.30)+(3.13-3.30)+(1.36-3.30)+(4.70-3.30)+(3.68-3.30)+(4.00-3.30)+(3.71-3.30)+(4.36-3.30) / 17-1

S= (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) + (-0.38) / 16

S= 0.24

1. Encuentra la desviacin estndar del EPS para los bancos.

S= SS= 0.24S= 0.489