Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli · AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli

DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CUADERNILLO DE CÁLCULO DIFERENCIAL

FECHA: 26/08/13, Primera versión

ELABORO

ING. JULIO MELÉNDEZ PULIDO

REVISO

ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS Y MATEMÁTICAS

Vo. Bo.

ING. MARIA DEL CARMEN RODRIGUEZ PASCUAL

JEFE DE DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA


Ing. Julio Meléndez Pulido 2013-2 2

Unidad 1

Números Reales

Competencia especifica:

Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer

y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, representando las

soluciones en la recta numérica real.

1.1 La recta numérica

Definición:

La recta numérica es una línea recta en la que asociamos cada número con un punto de la

recta.

La recta la dibujamos horizontal, se elige un punto arbitrario, llamado origen, que

representa al 0 y un punto a la derecha que representa al 1.

Ejemplo:

Pedro camina tres pasos hacia la derecha y luego cinco en la misma dirección ¿a cuántos

pasos se encuentra de la posición inicial?.

1.2. Números Reales

Son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que

necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos

los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números

irracionales (aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten)



Ejemplo:

1/4 = 0,250000... Es un número racional por lo tanto es un número real

1.3. Propiedades de los números reales

Los números reales son un conjunto con dos operaciones binarias + y * el cual satisface

los siguientes axiomas.

Cerradura

Si a y b están en R entonces a b y *a b son números determinados en forma única que están también en R.

Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)

Si a y b están en R entonces a b b a y * *a b b a Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)

Si a, b y c están en R entonces ( ) ( )a b c a b c y *( * ) ( * )*a b c a b c

Propiedad Distributiva.

Si a, b y c están en R entonces *( )a b c ab ac

Existencia de Elementos neutros.

R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a

los reales.

Elementos inversos

Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es

diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1.

Ejemplo:

Propiedad conmutativa de la multiplicación

2 X 3 =6 y 3 X 2 = 6

Propiedad conmutativa de la suma

2 + 3 = 5 y 3 + 2 = 5

1.3.1. Tricotomía

Tricotomía es el resultado que se obtiene al comparar dos números a, b, que pertenezcan

a los números reales (R), que cumplan con una y solo una de las condiciones siguientes:

1. a<b, donde: a menor que b

2. a > b, donde: a mayor que b

3. a = b, donde: a igual que b.



1.3.2 Transitividad

Transitividad Es la que me permite comparar tres números reales a, b y c, de tal forma

que, cuando un número entero es menor que otro y éste es menor a un tercero,

entonces el primero es menor que el tercero.

Ejemplo:

Sea: y c = 18

Sí: a < b, se cumple que - 17 < - 9 y b < c, se cumple que - 9 < 18

Entonces: a < c, se cumple que - 17< 18

• Sí m y n e R, podemos concluir que si m>n entonces - m < n.

• Un número m es positivo sí y solo sí m > 0.

• Un número m es negativo sí y solo sí m < 0.

1.3.3. Densidad

Definición:

Densidad Ésta propiedad dice que para todo número a y b pertenecientes a R, existe otro

número c, tal que:

a< c <b

Es decir, que dados dos números siempre podemos encontrar otro que esté entre los 2 o,

equivalentemente, que podemos tener siempre un número tan cercano como queramos a

otro dado.

1.3.4 Axioma del supremo

Definición:

Axioma del supremo Si A es un conjunto de números reales, entonces y es una cota

superior de A si y sólo si y es un número real y para cada x ∈ A, x ≤ y.

Ejemplo:

1. El conjunto {2, 4, 6, 8, 10} es acotado superiormente por cualquier número mayor o

igual a 10.



2. El conjunto {x ∈ R: x < 3} es acotado superiormente por cualquier número mayor o

igual a 3.

3.-El conjunto {x2 + 1, −1 ≤ x ≤ 1} es acotado superiormente por cualquier número

mayor o igual a 2.

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.

Definición:

INTERVALOS EN LA RECTA REAL

Dados dos números cualesquiera a y b, tales que a < b de la recta real, se define intervalo

de extremos a y b al conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.

El segmento ab se llama intervalo.

Ejemplos:

Clasificación de los intervalos

Abierto en ambos extremos

En forma de conjunto: ba, = bxaIRx /

Representación Gráfica:

Cerrado en ambos extremos





a b + ∞ - ∞

Semiabierto por la derecha:



Semiabierto por la izquierda:



Abierto por la derecha que se extiende hacia la izquierda:

En forma de conjunto: a, = axIRx /


Cerrado por la derecha que se extiende hacia la izquierda:

En forma de conjunto: a, = axIRx /




Abierto por la izquierda que se extiende hacia la derecha:

En forma de conjunto: ,a = axIRx /


Cerrado por la izquierda que se extiende hacia la derecha:

En forma de conjunto: ,a = axIRx /


1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de

desigualdades cuadráticas con una incógnita.

Definición:

Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la

otra".

Ejemplo

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ;

porque 5 - 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

-9 < 0 ;

porque -9 -0 = -9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

-10 > -30;

porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20



1.6 Valor absoluto y sus propiedades.

Definición:

Un valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-).

Ejemplo:

5 es el valor absoluto de 5 y de -5.

Propiedades

No negatividad:

1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

Definición:

Básicamente, el conjunto solución de una desigualdad con valor absoluto debe ser

calculado utilizando dos posibilidades (por definición de valor absoluto) que cumplan con

lo establecido, ejemplo: Si x > k , donde k > 0, entonces en el conjunto solución se

incluyen todas las coordenadas en la línea que son mayores de k unidades del origen.

Ejemplo

Resuelta la siguiente desigualdad

4 2 6x

Solución:

4 2 6

4 6 2

4 4

4

4

1

x

x

x

x

x



INGENIERIA ELECTRONICA

ACTIVIDAD EVALUACION UNIDAD I

Código

Periodo: 2013-2

Nombre del profesor:

Asignatura: CÁLCULO DIFERENCIAL Fecha:

Unidad:

I. Números Reales :

1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. 1.6 Valor absoluto y sus propiedades. 1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

Nombre de los

integrantes del equipo: 1. Grupo:

Competencia

específica:

Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una

incógnita y desigualdades con valor absoluto, Representando las soluciones en la recta numérica real.

Instrucciones generales:

Llena los datos solicitados en la actividad (nombres, fecha y grupo).

El desarrollo de la actividad se deberá hacer en hojas blancas.

Orden y limpieza en el desarrollo de los ejercicios.

Encierra en un recuadro el resultado final.

Anexa la impresión donde se observe la utilización del programa Mathcad para la comprobación de

resultados.

Engrapa tus hojas teniendo como portada el presente instrumento de evaluación.

1. Resolver las siguientes inecuaciones lineales y graficar el conjunto solución:

a) 2 1 7x b) 5 2 7 3x x c) 1 9 2 5x

2. Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas y de grado superior, además grafique el conjunto

solución:

d) 22 3 1 0x x e)

3 23 18 40 0x x x f) 4 3 210 35 50 24 0x x x x

3. Resolver las siguientes inecuaciones en valor absoluto, además grafique el conjunto solución:

g) 5 4x h) 6 2x i) 2 3 8 10x x

Puntuación

Alcanzada

1ra. oportunidad 2da. oportunidad

Firma del Alumno Firma del docente

Felix Antonio Saucedo Esquivel



Unidad 2

Funciones


Comprender el concepto de función real e identificar tipos de funciones, así como aplicar

sus propiedades y operaciones.

2.1 Concepto de variable, función, dominio, codominio y recorrido de una

función.

Definición:

Variable es aquella que puede tomar distintos posibles valores dentro de un suceso.

Ejemplo:

Son variables de las personas: la edad, sexo, talla, peso, contextura, color del cabello,

color de ojos.

Definición:

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro

conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del

dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el

recorrido, también llamado rango o ámbito).

Ejemplo:

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en

kilos.

Conjunto x Conjunto Y

Ángela 55

Pedro 88

Manuel 62

Adrián 88

Roberto 90

Definición:

Dominio conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta.



Ejemplo:

Retomando el ejemplo anterior.

Decimos que cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se

llama la entrada o variable independiente.

Definición:

Contradominio, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar

la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función.

Ejemplo

Retomando el ejemplo anterior

Decimos que cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se

llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener

dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan

el mismo peso.

Definición:

Recorrido de una función conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Ejemplo:

f (x) ={(2,3) (5,7)(1,8)(4,3)}

En este caso el dominio de la función sería:

dom f = {2,5,1,4}

recorrido sería: rec f ={3,7,8}

2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

DEFINICIÓN:

Considérese una función f:

1) F es uno a uno o inyectiva si para cada x1 y x2 en x se cumple cualquiera de las

siguientes condiciones

a) 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x

b) 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x



2) f es sobre o suprayectiva si satisface cualquiera de las siguientes condiciones

a) Para cada y en Y existe x en X tal que f(x)=y

b) Y= f

3) F es biyectiva si es uno a uno y sobre.

Ejemplo

Determinar si la función : {1}f R R es inyectiva y/o suprayectiva.

1( )

1

xf x

x

Sean 1 2, ( )x x Dom f

1 2

1 2

1 1( 1) ( 2)

1 1

x xf x f x

x x

1 2 2 1( 1)( 1) ( 1)( 1)x x x x

1 2 1 2 2 1 2 11 1x x x x x x x x

2 12 2x x

NOTA: RECUERDA QUE SE OCUPA ELIMINACION DE TERMINOS SEMEJANTES

2 1x x

Por lo tanto f es inyectiva

2.3 Función real de variable real y su representación gráfica.

Definición:

Sean X y Y conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X a

Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de

Y

Es que matemáticamente tenemos que:



Ejemplo:

Supongamos la función 2( )f x x .Expresamos a la izquierda los valores de la variable y de

función en una tabla y ala derecha la gráfica de la función.

2( )f x x

x es la variable independiente

f(x) variable dependiente

x=-10,-9.95…..10

2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.

Definición:

Función polinomial

Una función f es una función polinomial si es de la forma

f (x) = anxn + an−1xn−1 + • • • + a1x + a0.

n es un número natural y se llama el grado del polinomio.

Los números an, an−1, • • • , a1, a0 son números reales y son los coeficientes del

polinomio.

Dominio de f : Todos los números reales.

Un punto de alternancia es un punto que separa una parte creciente de una

decreciente o viceversa.

Un cero de un polinomio es el punto r en su dominio tal que f (r) = 0.

Un polinomio de grado n tiene a lo más (n − 1) puntos de alternancia y a lo más n

ceros.

Si r es un cero de un polinomio

P (x) = xn + an−1xn−1 + • • • + a1x +a0,

entonces |r| < 1 +max{|an−1| , |an−2| , . . . , |a1| , |a0|}.

Casos particulares de polinomios son las rectas y las parábolas.

Ejemplo:



Función racional

Definición:

Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma ( )

( )( )

p xf x

q x se llama una función

racional, donde Q(x) es diferente de cero.

Ejemplo:

Función Irracional

Definición:

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical

donde g(x) es una función polinómica o una función racional.

Si n es par, el radical está definido para g(x)

Ejemplo:



2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones

exponenciales.

Funciones Trascendentes

Definición:

No siempre se puede modelar con funciones del tipo algebraico; esto ha dado lugar al

desarrollo de otro tipo de funciones, las funciones trascendentes.

Se llama función trascendente, aquella variable que contiene expresiones trigonométricas,

exponenciales o logarítmicas.

Algunos ejemplos de funciones trascendentes son:

2

3

5

x

x

y e senx

y

y Log x

Función trigonométrica Directas

Definición:

Las funciones trigonométricas son el resultado del cociente de dos números (cateto sobre

hipotenusa, hipotenusa sobre cateto, cateto sobre cateto). Esto hace necesario, para el

dominio de definición, restringir el eje en aquellos números que anulen el denominador.

Ejemplo:

Seno La función seno es la asociación entre un

ángulo dado x y el valor de su seno

f (x) = sen x

Coseno La función coseno es la asociación entre un ángulo

dado x y el valor de su coseno.

f(x) = cos x

Tangente La función tangente es la asociación entre un

ángulo dado x y el valor de su tangente.

f(x) = tg x

Cotangente La función cotangente es la asociación entre un

ángulo dado x y el valor de su cotangente.

f(x) = cotg x

Secante La función secante es la asociación entre un

ángulo dado x y el valor de su secante.

f(x) = sec x

Cosecante La función cosecante es la asociación entre un

ángulo dado x y el valor de su cosecante.

f(x) = cosec x



Nota:

Recuerda que…

La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y tangente

con cotangente.

También, tenemos que:

costan

sen

;

seng

coscot





Función exponencial

Definición:

Sea un número real positivo y distinto de 1. Definimos la función exponencial de base

como aquella que tiene la forma:

xaxf )(

Por ejemplo:

Función Título f(x) = 10x Función exponencial de base 10 f(x) = 2x Función exponencial de base 2

2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia, función valor

absoluto

La función de valor absoluto

Definición:

Tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será

positiva o nula.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o

trozos).

Ejemplo:

Se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de

x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada

intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x

es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.



2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.

Adición

Definición

Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g,

respectivamente. La función f + g está definida por:

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x

Ejemplo:

Sean ( )f x x y ( )g x x .Entonces ( )( )f g x x x .El dominio de f es ( , ) y el

dominio de g es [0, ) .Así el dominio de f + g es f gD D = ( , ) [0, ) [0, )

Multiplicación

Definición



Sean f y g dos funciones y fD y

gD denotan los dominios de f y g, respectivamente. La

función f g está definida por ( )( ) ( ) ( ).f g x f x g x El dominio de f g es f gD D .

Ejemplo

Sea f(x) = | x | y g(x) = 5. Entonces (f ⋅g)(x) = f(x) g(x) = | x |⋅5. El dominio de f es 3 y el

dominio de g es 3. Entonces el dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg = 3. Si x = -2, entonces (f ⋅ g)(-

2) = f(-2) ⋅ g(-2) = |-2|5 = 2⋅5 = 10.

Composiciones de Funciones

Definición

Sabemos que la notación “g(a)” significa el valor de la función g(x) cuando x = a; se

obtiene al sustituir a por x, siempre que x aparezca en la expresión de g(x). Por ejemplo,

si g(x) = x3 + 2, entonces g(a) = a3 + 1;

si g(x) = 2xx−, entonces g(a) = 2aa−

Si f(x) es una función, entonces g(f(x)) es la función que se obtiene al sustituir f(x) en lugar

de x, siempre que ésta ocurra en la expresión de g(x). La función g(f(x)) es llamada la

compuesta de g con f y se utiliza el símbolo operacional o para denotar la compuesta de g

con f. Así (g o f) (x) = g(f(x)).

Si g(x) = x2 y f(x) = x + 2, entonces (g o f)(x) = g(f(x)) = (f(x))2 = (x + 2)2

Ejemplo

Sea f(x) = x + 3 y g(x) = 2x + x . Encuentre g o f y especifique su dominio.

Solución:

Por las definiciones de gof, f y g, tenemos que

(g o f) (x) = g(x + 3) = 2(x + 3) + 3x

El dominio X de f es el conjunto de todos los números reales. Sin embargo (g o f) (x) es

un número real sólo si x ≥ -3. Por lo tanto el dominio de gof es el intervalo [-3, ∞). x f(x)

g(f(x )

También es posible calcular la composición de f con g. En este caso obtenemos primero la

imagen de x bajo g y luego aplicamos f a g(x). Esto nos da una función compuesta de Z a X

denotada por fog. Por lo tanto por definición (f o g) (x) = f(g(x)) para cada x en Z.

2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas.

Función Inversa

Definición

Dada una función, se llama función inversa de y se denota por a otra función que para

cualquier valor del dominio de se cumple que:



f(f -1(x))= x

f -1(f(x)) = x

Ejemplo:

Calcula la inversa de la función . .

Primero intercambiamos la y la : y después despejamos la :

Luego la función inversa de es .

Vamos a comprobar que efectivamente es la inversa:

La función logarítmica

Definición

En base a es la función inversa de la exponencial en base a los valores de la función loga se

denotan como loga (x) y puesto que loga y la función exponencial con base a son inversas

se puede afirmar que:

( ) log ( )af x x si y solo si yx a

Ejemplo

( ) log

0, 1

( ) log

af x x

a a

f x x

x Y=log2x

1/8 -3

¼ -2

½ -1

1 0

2 1

4 2

8 3



2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los

números reales: las sucesiones infinitas.

Conceptos básicos

Definición

Función: una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no

hay ningún número que tenga más de una imagen.

Dominio de una función o campo de existencia: es el conjunto formado por los

elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x ( variable independiente)

forman el conjunto original.

Graficamente lo miramos en el eje OX de abscisas, leyendo como escribimos de izquierda

a derecha.

Recorrido o rango de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son los

valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor

depende del valor que le demos a "x". Graficamente lo miramos en el eje OY de

ordenadas, leyendo de abajo a arriba.



Funciones Polinómicas

Definición

Son funciones polinómicas las rectas,parábolas y polinomios de grado superior. El dominio

de una función polinómica es todo R Dom f(x)=R, no tenemos que calcular nada. La

función existe desde x , hasta x Dom ( ) ( , )f x

Dom ( )f x R también se puede expresar Dom ( ) ( , )f x

Ejemplo:

1 3 2( ) 6 8f x x x x

Dom f(x)=R podemos leer valores de la función para cualquier valor de x

Recorrido = R, seguimos el eje OY de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.

2.10 Función implícita

Definición

Es función implícita en la que no se puede despejar la variable independiente de la variable

dependiente.

Ejemplo de una función implícita



INGENIERIA ELECTRONICA

ACTIVIDAD

EVALUACIÓN UNIDAD 2 Código

Periodo: 2013-2



Unidad:

2. Funciones: 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. 2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva 2.3 Función real de variable real y su representación gráfica. 2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional. 2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales. 2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. Función valor absoluto. 2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición. 2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas. 2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas. 2.10 Función implícita.

Nombre del alumno: 1. Grupo:

Competencia

específica: Comprender el concepto de función real y tipos de Funciones, así como estudiar sus propiedades y operaciones.






Consulta una fuente de información para el desarrollo de la actividad.

Anexa copias subrayadas con marca texto de la fuente de información utilizada.

Anexa la impresión donde se observe la utilización del programa Mathcad para la graficación de todas las

funciones.

Anexa la impresión de los códigos de programa Matlab para la graficación de funciones implícitas.


4. Indicar si los conjuntos de Pares ordenados, forman una función:

2,0 , 4,0 , 6,0 5,6 , 6,7 , 7,8 0,1 , 0,2 , 0,3 1,1 , 2,2 , 3,3

5. Graficar las siguientes relaciones y funciones en el plano coordenado:

a. 3 2y x

b. 4

2

xy

c. 2 4y x

d. 3 4y x x

e. 4y x

f. 3y x

6. Hallar los dominios de definición de las siguientes funciones:



a. 5 2y x

b. 1

7y

x

c. 4y x

d. log 2y x

e. 2log 1y x

f. 4

3 6

xy

x

g. 2log 1y x

h. 2 4y x

i. 3 1xy

j. 2

1

4y

x

k. 31y x

l. 29y x

7. Indicar si las siguientes funciones son Inyectivas (I), Suprayectivas (S), o Biyectiva (B):

a. 4 2y x

b. 1y x

c. 3 9y x x

d. 4xy

8. Hallar las funciones inversas de las siguientes funciones:

a. 4 2y x

b. 3

5

xy

x

c. 1xy e

d. 2y x

e. 2

1

1y

x

f. 2 1y x

g. 3 1y x

h. 4 7

7 4

xy

x

i. 2 2 5y x x

9. Hallar ( f + g )(0); ( f – g )(-1); ( f· g )(1); ( f / g )(2) si:

2 24 6 1 1f x x x g x x

10. Graficar las siguientes funciones polinómicas:

a. 2y

b. 2 3y x

c. 2 16y x

d. 3 9y x x

11. Indicando si existe simetría (S) o no existe simetría (NS) respecto de X, Y, origen, respectivamente y

hallando las asíntotas verticales y horizontales grafica las siguientes funciones:

a. 1

2y

x

b. 2 4

xy

x

c.

2

2

9

4

xy

x

d. 6

3

xy

x

e.

22

2 1

xy

x

f.

22

2

4

9

xy

x

12. Graficar las siguientes funciones exponenciales:



a. 3xy

b. 1

3

x

y

c. 10 xy

d. 2 1xy e

13. Graficar las siguientes funciones logarítmicas:

a. log 2y x

b. 2logy x

c. 2log 1y x

14. Resolver:

a. 33 27 0x

b. 2 162 8 0x

c. 3 2 9xe

d. log 5 2x

e. 2log 4log 3x x

f. 5ln 32xe

15. Graficar las siguientes funciones trigonométricas:

a. 5sin 2y x

b. 2sin6

y x

c. 2 siny x x

d. sin cosy x x

16. Resolver:

a. 4cos 2 0x

b. 6arcsin 2 0x

c. 8sin 5cos 0x x

d. 29arctan 4 0x

17. Graficar las siguientes funciones:

a. 3f x x b. sgn 1f x x

18. Indicar que funciones de las siguientes son pares o impares:

a. 5f x x x

b. 2 1f x x

c. 3f x

d. 6f x x

e. 2 cosf x x x

f. tanf x x x



19. Graficar las siguientes funciones implícitas

a. 2 3 8x xy y

b. cos yx y xe

c. 5 2 2 43 5 12y x y x

d. cos cos 1x y y x

1.

Puntuación

Alcanzada


Firma del docente

Firmas de los integrantes del equipo



Unidad 3

Límites y Continuidad

Competencia Específica:

Comprender el concepto de Limites defunciones y aplicarlo para determinar

analíticamente la continuidad de una función, en un punto o un intervalo y mostrar

gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

3.1 Limite de una sucesión

Definición:

Una sucesión tiene límite, si sus términos van tomando valores cada vez más próximos a

una cierta cantidad que llamamos límite de la sucesión.

Ejemplo.

Dada una sucesión (an), se dice que (an ) tiene por límite I, tiende a l o converge a l

cuando n tiende a infinito (¥), y se simbolizará.

Si para todo e > 0 (épsilon) tan pequeño como se quiera, existe un subíndice n0 tal que

para todo n ³ n0, an pertenece al entorno (I - e, I + e).

Es decir, a partir de un elemento en adelante todos caen en el entorno citado.

Esto significa que para n ³ n0, | an - I | < e.

Y recordando el significado de valor absoluto, | an - I | < e se traduce en

-e < an - I < e, y sumando I a los tres miembros de la desigualdad, I -e < an < I + e.

EL número n0 que se ha de encontrar para cada e, depende de éste. En general, cuando

más pequeño se tomó e, mayor ha de ser el n0 correspondiente.

Propiedades de límites de una sucesión

Primera propiedad

La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma de los

límites.



Segunda propiedad

La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la diferencia de

los límites.

Tercera propiedad

El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de

los límites.

Cuarta propiedad

Si una sucesión (an ) tiene límite L, distinto de 0, y tiene todos sus términos también

Quinta propiedad

Sean (an) y (bn) dos sucesiones convergentes que tienen por límites L1 y L2.

Ejemplo

Halle el límite de sucesión si existe 2

2

3 8

7 3 1n

na

n n

Solución



2

2

2

2

2

2

2

2

3 8lim lim

7 3 1

3 8

lim7 3 1

83

lim3 1

3

3

7

nx x

x

x

na

n n

n

n

n n

n

n

n n

3.2 LIMITE DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL

Definición:

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R

en R

Una función real esta definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar

por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de la variable independiente y

la y o f(x) variable dependiente o imagen.

Definición:

TEOREMA 1. (Unicidad del Límite)

Si 1lim ( )

x af x L

y

2lim ( )x a

f x L

, entonces L1 =L2

En palabras: Si una función tiene límite en un punto a, dicho límite es único.

Ejemplo:

10

1lim

1x

xe

Primero realizaremos el límite por la derecha y luego el límite por la izquierda, si son

iguales entonces existe el límite:

Por la derecha:

10

1 1lim 1

11

xx

ee



Por la izquierda:

10

1 1lim 0

11

xx

ee

Como podemos observar el límite no existe puesto que los dos límites laterales son

diferentes.

Definición:

TEOREMA 2. (Algebra de Límites)

Sea n un entero positivo, k una constante real y f y g funciones tales que y existen.

Entonces:

1. limx a

k k

(El límite de una constante es la constante)

2. limx a

k a

(Límite de la función identidad)

3. lim ( ) lim ( )x a x a

k x k f x

(Toda constante puede salir del límite)

4. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x

El límite de una suma de funciones es la suma de

los límites.


f x g x f x g x

El límite de la diferencia de funciones es la

diferencia de los límites.


f x g x f x g x

El límite de un producto es el producto de los

límites.

7.

lim ( )( )

lim( ) lim ( )

x a

x a

x a

f xf x

g x g x

Siempre que El límite de un cociente es el cociente de los límites.

8. lim ( ) lim ( )n n

x a x af x f x



Ejemplo:

Constante

4

lim7 7x

Identidad

2

lim 2x

x

Límite de la suma y de la diferencia de funciones.

3

lim(2 4) 2x

x

y3

lim3 9x

x

,entonces,

3 3 3lim((2 4) (3 )) lim(2 4) lim3 2 9 11x x x

x x x x

Y 3 3 3

lim((2 4) (3 )) lim(2 4) lim3 2 9 7x x x

x x x x

Limite del cociente

0

1lim

2 2

x

x

e

x

Limite del producto

2

2

2

2

2

lim 2

lim

lim 2

x

x

x

x

x

x

e e

xe e

3.3. Cálculo de Límites

Calculo de límites:

Estrategia para el cálculo de limites

1. Aprenda a reconocer cuales límites pueden evaluarse por medio de la sustitución

directa

2. Si el límite de ( )f x cuando x se aproxima a c no se puede evaluar por

sustitución directa, tratar de encontrar una función g que coincida con f para todo x

distinto de x c [Selecciona una g tal que el límite de ( )g x se pueda evaluar por

medio de la sustitución directa.]

3. Aplicar el teorema 3.7 ( se muestra en la parte de abajo) para concluir de manera

analítica que lim ( ) lim ( ) ( )x c x c

f x g x g c

4. Utilizar una gráfica o una tabla para respaldar la conclusión



Ejemplo:

Encontrar el límite

3

1

1lim

1x

x

x

Solución 1: Sea 3( ) ( 1) / ( 1)f x x x factorizando y cancelando los factores, f se

puede escribir como: 2

2( 1)( 1)( ) 1 ( )

( 1)

x x xf x x x g x

x

1x

De tal modo, para todos los valores de x distintos de 1x , las funciones de f y g

coinciden como en el ejemplo .Puesto que el límite lim ( )x c

g x

existe, se puede aplicar el

teorema 3.7 y concluir que f y g

Tienen el mismo límite en 1x .

3 2

1 1

2

1

2

1

2

1 ( 1)( 1)lim lim

1 1

( 1)( 1)lim

1

lim( 1)

1 1 1

3

x x

x

x

x x x x

x x

x x x

x

x x

3.4 Propiedades de los límites

Definición:

Las propiedades de los límites permitirán calcular y establecer límites sin usar la definición

formal.

Suponga k una constante, entonces

Propiedad de la función constante:

1.- limx a

k k

Propiedad de la identidad:

2.- limx a

x a

El siguiente teorema agrega más propiedades de los límites, estas propiedades permitirán

calcular algunos límites a partir del límite de otras funciones.



Teorema: Suponga ( )f x y ( )g x dos funciones tales que lim ( )x a

f x

y lim ( )x a

g x

existen.

Entonces:

Propiedad del factor constante:

3.- Si k es una constante tenemos que lim( ( )) lim ( )x a x a

kf x k f x

Propiedad de la suma:

4.- lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x

Propiedades de la resta:


f x g x f x g x

Propiedad del producto:


f x g x f x g x

Propiedades del cociente:

7.-

lim ( )( )

lim(lim ( )

x a

x a

x a

f xf x

g x g x

, si lim ( ) 0x a

g x

Propiedad de la potencia:

8.- Para n entero positivo tenemos lim( ( )) lim ( )n

n

x a x af x f x

Propiedad de la raíz:

9.- lim ( ) lim ( )n n

x a x af x f x

,

Las conclusiones del teorema tienen dos partes, una implícita: la función que se le toma

limite en el lado izquierdo de la igualdad tiene límite en a y otra explicita: se dice que

este límite vale el lado derecho de la igualdad. Por ejemplo, si tenemos que lim ( )x a

f x

y

lim ( )x a

g x

existen entonces podemos asegurar que el límite de ( )( )f g x cuando x va a

a existe y vale el lado derecho de (4).

Ejemplo:

Calcular los siguientes límites, justificando que propiedades se está usando.

a) 4

2lim 3x

x ; b) 3 2

3lim 15x

x x ; c)

4

1

1lim

15x x ;

Solución:

a) 4

2lim 3x

x =

4

23lim

xx

=

4

23 lim

xx

=

43 2 = 48



b) la propiedad de la suma y diferencia puede ser aplicadas reiterativamente cuando hay

más de dos términos, utilizando apropiadamente la propiedad asociativa. Directamente

podemos ver la primera igualdad

3 2

3lim 15x

x x =

3 2

3 3 3lim lim lim15

x x xx x

=

3 3

3 3lim lim 15

x xx x

Ahora

aplicamos la propiedad de la identidad.

= 3 23 3 15 27 9 15 33

c) 4

1

1lim

15x x =

4

1

1lim

15x x =

4 1

1

lim

lim( 15)

x

xx

= 4

1 1

1

lim lim15x x

x

= 4

4

4 4

11 1

1 15 22

Comentarios:

1) Observe que en c) efectivamente se cumple la condición 1

limx

1

15x >0. Esta condición

nos permite aplicar la propiedad de la raíz del límite, cuando el índice es par. Si no fuese

así entonces pudiese ocurrir que este límite no tuviese sentido por estar evaluando fuera

del dominio de la función.

2) como se podrá apreciar en todos estos ejemplos, el limite se hubiese podido obtener

sustituyendo, sin embargo hay que ser muy cautos, no todos los limites los podremos

obtener de esta forma. Debemos siempre basarnos en alguna propiedad para ir

obteniendo los límites.

3.5 Límites laterales

Definición

Supongamos que ( )f x está definida en un cierto intervalo (a, 0x ). Si para números x del

dominio de f suficientemente próximos a 0x y menores que 0x , los valores

correspondientes de ( )f x están tan próximos 1 como queramos, decimos que 1

es el límite por la izquierda de ( )f x , cuando x tiende a 0x . Lo anterior se denota

mediante 0

1lim ( ) ;x x

f x

0x x Se lee: x tiende a 0x por la izquierda



Supongamos que ( )f x está definida en un cierto intervalo 0( , )x b . Si para números x del

dominio de f suficientemente próximos a x0 y mayores que 0x , los valores

correspondientes de ( )f x están tan próximos 2 como queramos, decimos que 2

es el límite por la derecha de ( )f x cuando x tiende a 0x . Lo anterior se denota

02lim ( ) ;

x xf x

0x x (Se lee: x tiende a 0x por la derecha)

A los límites ( )f x &0

limx x

( )f x se les conoce como límites laterales.

Es claro que: 0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f x f x f x

Este resultado se usa frecuentemente para probar la no existencia de un límite.

• Si no existe alguno de los límites laterales, el límite no existe.

• Si los límites laterales existen pero son diferentes, el límite no existe.



Ejemplo:

1) Dada la función ( )x a

f xx a

, calcular (en caso de existir) cada uno de los límites

siguientes:

1.- lim ( )x a

f x

2.- lim ( )x a

f x

3.- lim ( )x a

f x

Por definición de valor absoluto:

Por lo tanto:

1.- Si x a , entonces & 0x a x a , por lo que

( )( ) & 1

( )

x a x ax a x a

x a x a

lim lim 1 1.x ax a

x a

x a

2.- Si x a , entonces & 0x a x a , por lo que

( )& 1

( )

x a x ax a x a

x a x a

lim lim1 1.x ax a

x a

x a

3.- Ya que lim ( ) 1& lim ( )x a x a

f x f x

1 entonces lim ( )x a

f x

lim ( )x a

f x

y por lo tanto

lim ( )x a

f x

No existe.

Observa que ( )x a

f xx a

se obtiene de la función ( )

xg x

x desplazándola unidades



En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x

tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho

punto sino a su alrededor.

2) Dada la función:

Hallar

0

limx

f x

0lim 1 1x

0lim1 1x

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0

3.6 Límites infinitos y límites al infinito

Definición:

Si dado cualquier número M > 0, ( )f x > M con tal de tomar a x suficientemente cerca de

x0, diremos que ( )f x diverge a (se lee “más infinito") y lo denotaremos así:

0

lim ( )x x

f x

Gráficamente 0

lim ( )x x

f x

quiere decir que dada cualquier recta y = M con M > 0, la

gráfica de ( )f x en cierto intervalo con centro en 0x está arriba de tal recta,

exceptuando lo que ocurre en 0x



Si dado cualquier número N < 0, ( )f x < N con tal de tomar a x suficientemente cerca

de 0x

diremos que ( )f x diverge a (se lee “menos infinito") y lo

denotaremos así: 0

lim ( )x x

f x

Gráficamente 0

lim ( )x x

f x

quiere decir que dada cualquier recta y = N con N < 0, la

gráfica de ( )f x en cierto intervalo con centro en 0x está abajo de tal recta, exceptuando

lo que ocurre en 0x

Las definiciones de 0

lim ( )x x

f x

y de

0

lim ( )x x

f x

=

son análogas.

Tenemos entonces: 0 0 0

lim ( ) lim ( ) limx x x x x x

f x f x

0 0 0

lim ( ) lim ( ) limx x x x x x

f x f x

Ejemplo:

A) Dada la función ( )f x =2

1

( 3)x , mostrar numéricamente que

3

lim ( )x x

f x

Numéricamente podemos dar a la variable x valores cada vez más cercanos (por la

izquierda o por la derecha) al número 0x = 3; obtener las imágenes ( )f x

correspondientes y observar su comportamiento.



Observamos aquí que, cuanto más se acerca x al número 0x = 3, las imágenes

2 4 6 8( 10 ,10 ,10 ,10 ,...) son cada vez más grandes. Este comportamiento es el que

(intuitivamente) nos lleva a afirmar que ( )f x cuando 3 . Es decir3

lim ( )x

f x

.

Gráficamente se ve así:

B) Dada4

1( )

( 2)f x

x

mostrar numéricamente que

2lim ( )x

f x

Damos a x valores numéricos cada vez más cercanos al número 0x = 2, primero por la

izquierda ( 2 )x y luego por la derecha ( 2 )x ; obtenemos las imágenes ( )f x

correspondientes y observamos su comportamiento.



1.- cuando 2x :

4

4 4 1 4 4

1 1 1 11.9 ( ) 10

(1.9 2) ( 0.1) ( 10 ) 10x f x

8

4 4 2 4 8

1 1 1 11.99 ( ) 10

(1.99 2) ( 0.01) ( 10 ) 10x f x

12

4 4 3 4 12

1 1 1 11.999 ( ) 10

(1.999 2) ( 0.001) ( 10 ) 10x f x

Observamos aquí que las imágenes ( )f x son negativas y cada vez de mayor valor absoluto.

Intuitivamente decimos que ( )f x cuando 2x Esto es2

lim ( )x

f x

2.- cuando 2x :

4

4 4 1 4 4

1 1 1 12.1 ( ) 10

(2.1 2) (0.1) (10 ) 10x f x

8

4 4 2 4 8

1 1 1 12.01 ( ) 10

(2.01 2) (0.01) (10 ) 10x f x

12

4 4 3 4 12

1 1 1 12.001 ( ) 10

(2.001 2) (0.001) (10 ) 10x f x

Aquí también observamos que las imágenes ( )f x son negativas y cada vez de mayor

valor absoluto; por lo cual (intuitivamente) decimos que ( )f x cuando 2x .

Es decir, 2

lim ( )x

f x

3. Ya que 2 2

lim ( ) & lim ( )x x

f x f x

, podemos afirmar que 2

lim ( )x

f x

Gráficamente se ve así:



Y además tenemos en general:

Si 0

lim ( ) 0x x

g x

y ( ) 0g x si cerca de 0x

0

lim( )x x

c

g x , entonces si c > 0;

Si 0

lim ( ) 0x x

g x

y si ( ) 0g x cerca de 0x , entonces

0

lim( )x x

c

g x si c > 0;

Si 0

lim ( ) 0x x

g x


0

lim( )x x

c

g x si c < 0;

Si 0

lim ( ) 0x x

g x


0

lim( )x x

c

g x si c < 0;

3.7 Asíntotas.

Definición.

Se llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero,

cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.

Asíntotas horizontales

Consideremos ahora una situación diferente. Sea una función ( )y f x como la que está

representada en el marco de la izquierda. El dominio de esta función es el conjunto de

todos los números reales. En este caso se produce una situación interesante que se debe a

la forma que tiene la gráfica de ( )f x . Si movemos ininterrumpidamente hacia la derecha la

flecha naranja, la flecha azul se va acercando cada vez más al valor L, por lo cual se dice

que la recta horizontal y L es una asíntota horizontal de ( )f x a la cual se van acercando

cada vez más la gráfica de la función. Dicho con mayor precisión:

Podemos hacer que la variable y tome valores tan cercanos a L como queramos haciendo

que la variable x tome valores positivos cada vez mayores.

Por supuesto esto no lo podemos hacer en la práctica, porque nuestra gráfica es finita y la

flecha se “sale” en algún momento por la derecha. Para obviar esta dificultad hemos

adoptado el procedimiento de que la flecha se detenga en el borde derecho de la gráfica y

que aparezca en azul, junto al eje x, el símbolo de infinito. Esta será nuestra forma de

representar el hecho aludido anteriormente que se representa matemáticamente así

lim ( )x

f x L



Figura 1.Grafica de asíntotas horizontales.

En este caso no es necesario utilizar el símbolo “-” como exponente aunque

evidentemente se trata de un límite por la izquierda porque no es posible que la variable x

tienda a infinito por la derecha. Es decir, la notación con el símbolo “-” resultaría

redundante.

Otro tanto puede decirse del cuando x . Si corremos ininterrumpidamente hacia

la izquierda la flecha naranja, la flecha azul se va acercando cada vez más al valor L o dicho

con mayor precisión:

Podemos hacer que la variable y tome valores tan cercanos a L como queramos haciendo

que la variable x tome valores negativos cada vez menores.

Este hecho se representa formalmente así: lim ( )x

f x L

Ejemplo:

Es la asíntota vertical.

Es la asíntota horizontal.

Es la asíntota oblicua.



3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y un intervalo

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma

la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en

el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres

condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho

punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él

y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en

él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Definición: Discontinuidades.

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no

coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y

no coincide con el valor de la función en el mismo.

El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se

llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites

laterales en él y son distintos. Si f es discontinua en el punto x=a, el valor se llama salto de

la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.

Definición: Continuidad en un intervalo.

Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de los puntos

de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo contrario en los

extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c)=0

Funciones continuas: son aquellas cuyas graficas pueden dibujarse sin levantar el lápiz del

papel.

Función continúa en un punto: el análisis de la definición de continuidad nos muestra que

para ser continua en el punto a, una función debe satisfacer las siguientes condiciones.

1.- la función f debe estar definida en a ( de modo que f (a) exista).

2.- debe existir el límite de f (x) cuando x tiende a a.



3.- los números de las condiciones 1 y 2 deben ser iguales.

Ejemplo:

La función 2

( )2

xf x

x

¿es continua en el punto x = 3?

1. 3 3

2 3 2lim ( ) lim 5

2 3 2x x

xf x

x

2. 3 2

(3) 53 2

f

3. 3

lim ( ) (3)x

f x f

Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3.

• Dada la función estudiar la continuidad de dicha función en: x=-1

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:

1. Estudiamos la existencia del 1

lim ( )x

f x

Como en el punto x = −1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la

existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el

punto. Por tanto:

1 1

1 1

lim ( ) lim (3 5) 2

lim ( ) lim (3 5) 2

x x

x x

f x x

f x x

En consecuencia, existe1

lim ( ) 2x

f x

pues los límites laterales son iguales.

2. ( 1) 2f

3. 1

lim ( ) ( 1)x

f x f

Luego la función es discontinua en el punto x = −1



INGENIERÍA ELECTRÓNICA

ACTIVIDAD


Periodo: 2013-2



Unidad:

3. Límites y Continuidad: 3.1 Límite de una sucesión. 3.2 Límite de una función de variable real. 3.3 Cálculo de límites. 3.4 Propiedades de los límites. 3.5 Límites laterales. 3.6 Límites infinitos y límites al infinito. 3.7 Asíntotas. 3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo. 3.9 Tipos de discontinuidades


Competencia

específica: Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.








funciones.


resultados.


1. Evalúe el límite, si existe:

1)

2)

3)

( )

4)

( )

5)

√

6)

7)

√ √

8)

√

9)

10)

11)

12)

√

2. Usar una gráfica de ( ) √ √



a. para estimar el valor de ( ) con un valor de b. para estimar el valor de ( ) con un valor de

c. resolver el límite para encontrar el valor exacto del límite

d. evaluar el límite utilizando el comando de mathcad

3. Estime el valor de (√ ):

a. Graficando la función ( ), b. Use una tabla de valores de ( ) para tantear el valor del límite con un valor de , y

c. Utilice el comando de mathcad para evaluar el límite.

4. De las siguientes funciones:

a) determine las asíntotas horizontales y verticales de cada curva,

b) grafique en mathcad las funciones,

c) para las asíntotas verticales evalúe el límite cuando x tiende al valor donde se localiza la asíntota

vertical y comente el resultado

d) para las asíntotas horizontales evalúe el límite cuando x tiende al valor donde se localiza la

asíntota horizontal y comente el resultado

e) ¿Cuándo el límite de una A.V. existe que le está indicando?

f) ¿Cuándo el límite de una A.H. existe que le está indicando?

5. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene una discontinuidad removible en a? Si es removible, hallar una

función g que coincida con f para y que sea continua en toda la recta real .

( )

( )

2.

Puntuación

Alcanzada


Firma del docente

Firma del alumno



Unidad 4

Derivadas

Competencia Específica:

Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y

analizarla variación de una variable con respecto a otra

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una

función

Incremento: Variación infinitesimal del valor de una variable que se usa para definir

determinados conceptos analíticos, como pasar de un valor a otro. Se simboliza por la

letra griega Δ(delta). Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se

dice que ha tenido un incremento.

El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o

disminuye al pasar de un valor a otro.

Ejemplo:

Si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3 y el valor final x2 es igual a 7, el

incremento Δx= x2=x1=7*3=4: la variable se ha incrementado positivamente en 4

unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, Δx=x2-x1=3-7=-4: la variable

ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

Razón de cambio: Se conoce como razón de cambio a la medida en que una variable

cambia con respecto a otra, como por ejemplo la velocidad, la cual es una razón de

cambio del espacio con respecto al tiempo.

Ejemplo:

Encontrar la derivada:

Racionalizamos.



Calculamos el límite.

Solución:

4.2 La interpretación geométrica de la derivada.

Definición:

La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta

tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la

recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir,

provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente

de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de

cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones.

4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.

Diferencial: El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de

la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a

la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente

entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un



hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a

nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se

toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal

que haga desde el punto en cuestión.

Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en

cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la fórmulas matemáticas están

definidos respectivamente por y .

4.4 Propiedades de la derivada.

Propiedades de la derivada

Son una serie de pasos con las que se puede obtener la función derivada de varias de las

funciones más utilizadas cumpliendo con varias de las siguientes reglas mas comunes en el

tema.

Aplicando la definición de la derivada se obtienen las siguientes reglas de derivación que

indican cómo obtener la función derivada de las funciones elementales más utilizadas

Propiedades

1.- si f y g son dos funciones derivables entonces f+g también lo es y (f+g)’(x)= f’(x)+g’(x).

2.- si f es una función derivable y t un número real cualquiera entonces t.f también lo es y

(t.f)’(x)=t f’(x)

3.- si f y g son dos funciones derivables, entonces, f.g también lo es y (f.g)’(x)=f’(x)g(x) +

f(x)g’(x),

4.- si f y g son dos funciones derivables con g(x) ≠0 entonces f/g también lo es y

5.- si f es derivable en x y g lo es en f(x) entonces g o f es derivable en (g o f)’(x)=g’(f(x))

f’(x). Esta propiedad se conoce con el nombre de regla de la cadena.

6.- si f es una función inyectiva y derivable en x con f’(x) ≠0 entonces la función inversa f-1

es derivable en f(x) y (f-1)’(f(x))=



Aplicando estas propiedades y las reglas de derivación se puede obtener fácilmente la

función derivada de las funciones más habituales.

4.5 Regla de la Cadena.

En las reglas básicas de derivación se aplican fórmulas apropiadas para calcular las

derivadas de las funciones f g (suma), f g (diferencia), fg (producto) yf

g(cociente).

Pero no se presentó en esa sección una regla que nos diga cómo calcular la derivada de

una composición de funciones; esto es, no sabemos cómo calcular la derivada de f o g ( g

compuesta con f o bien g seguida de f ).

Es, precisamente, la regla de la cadena la que nos dice cómo obtener la derivada de (y f

o )( )g x .

Ejemplo:

Si ( )u g x es una función derivable en 0x , donde 0 0( )u g x y si ( )y f u es una función

derivable en 0u , entonces la función (y f o )( )g x es derivable en 0x :

( f o 0 0 0 0 0) '( ) '( ) '( ) '[ ( )] '( )g x f u g x f g x g x .

En la demostración de esta regla desempeña un papel relevante el comportamiento de la

función ( )u g x cuando x está cerca de 0x , ya que si existen puntos x cerca de 0x tales que

0( ) ( )g x g x , entonces la diferencia 0( ) ( ) 0g x g x genera problemas.

Por eso en esta demostración suponemos que 0( ) ( )g x g x para x cerca de 0x y x 0x

Sea ( ) (x f o )( ( [ ( )] ( )g x f g x f u con ( )u g x ,



4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.

1. Fórmula de Diferenciación General

( )0

d c

dx , en esta formula, es un valor constante.

1( )nnd x

nxdx

,esta es la regla de la potencia de la diferenciación.

En esta fórmula, debe ser exclusivamente un numero real.

( )1

d x

dx , lo que significa que cuando un numero es diferenciado con respecto a si

mismo producirá 1 como resultado

2. Formulas de diferenciación; Funciones Logarítmicas

(ln ) 1d x

dx x , lo que significa que la diferenciación del logaritmo natural de un número

con el mismo número producirá la inversa del número como resultado.

(ln ( )) 1 ( ( ))

( )

d f x d f x

dx f x dx , esta ecuación explica que la diferenciación de un logaritmo

natural de la función con respecto a la variable de entrada producirá el inverso de la

multiplicación de la función con la derivada de la función como salida.

(log ) 1

ln

ad x

dx x a , esta ecuación explica que la diferenciación del logaritmo de una

variable con respecto a su variable de entrada dará el inverso de la multiplicación del

número con el logaritmo natural del número.

3. Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales

( )x

xd ee

dx , esta fórmula de diferenciación es interesante dado que establece; la

diferenciación del exponente de una variable producirá el exponente de la variable como

salida.

( )( )( ) ( ( ))f x

f xd e d f xe

dx dx , esta regla establece que la diferenciación del exponente de

una función producirá la multiplicación del exponente de la función con la derivada de la

función como salida.



( )

lnx

xd aa a

dx , esta regla establece que la diferenciación de una constante

elevada a la potencia de una variable producirá la multiplicación de la constante elevada a

la potencia de la misma variable con el logaritmo natural de la constante.

4. Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales

( )d Sinx

Cosxdx

( )d CosxSinx

dx

2( )d TanxSec x

dx

2( )d CotxCosec x

dx

( )d SecxSecx Tanx

dx

Las fórmulas mostradas anteriormente se explican por sí mismas y no necesitan ninguna

otra explicación.

Ejemplo:

Determinar y , donde 2

1

lnx

xy .

Solución. ;lnln1

ln2

xx

y

xxxx

xy

yy

1

ln

11lnln

2ln

23;

xxx

xy

x

lnln2ln

1ln3

21

.

Ejemplo.

Calcular y , si 3 2

752

1

)2()1(

)2()3()1(

xx

xxxy .



Solución:

)1ln(3

2)2ln(7)3ln(5)1ln(

2

1ln xxxxy );2ln(

3

1x

;)2(3

1

)1(3

2

2

7

3

5

)1(2

1ln

xxxxxy

yy

)2(3

1

)1(3

2

2

7

3

5

)1(2

1

)2()1(

)2()3()1(

3 2

752

1

xxxxxxx

xxxy

4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital.

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función

con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una

función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de

orden superior de la función. La derivada de primer orden de la función se representa

como

( )f x

La derivada de segundo orden de una función se representa como,

( )f x

La derivada de tercer orden de una función se representa como,

( )f x

Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como

“g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la

derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”,

etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma

hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.

La derivada de segundo orden de una función ( )f x , que es todavía más diferenciable,

2 2

2 2

( )( )

d y d f xy f x

d x d x

La regla de L’Hôpital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del

cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites

son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.

Esta regla se utiliza para transformar los límites intermedios en una forma determinada y

por tanto, obtener la salida más conveniente.

La definición formal de L’Hôpital es, existen dos funciones f(x) y g(x). Ahora bien, si

lim ( ) lim ( ) 0x c x c

f x g x



, además ( )

lim( )x c

f x

g x

, es real, entonces la regla de L’Hôpital,

( ) ( )lim lim

( ) ( )x c x c

f x f x

g x g x

Ejemplo .

Calculemos la segunda derivada del ejemplo 3, para mostrar la utilización de derivación

logarítmica para el cálculo de derivadas de orden superior.

Solución:

2

2

1

1

3

(ln ) 1(ln ) , 2 ln ln

ln

x

xx

y x y xx x

.

Derivando y

2 2

1 1

3 2

6

(ln ) 3 (ln )x xx x x x

yx

2 2

11

3 2 6

1 (ln ) 1 2 (ln ) 12 ln ln 3ln ln

ln ln ln ln

x xx xx x

x x x x x x x x

2 2

2

1 1

1

4 3 2 4

2 1 (ln ) 1 2 (ln )(ln ) 2 ln ln

ln ln ln

x x

xx x

x xx x x x x x x x

2 2 2

1 2ln ln 1 1 23 2ln ln

ln ln ln ln

xx

x x x x x x

En el cálculo de y se ha aplicado la fórmula utilizada en el ejemplo 3 . .

2

1

3

(ln ) 12 ln ln

ln

xxy x

x x

4.8 Derivada de funciones implícitas.

La derivada de la función implícita ( )y y x definida mediante la ecuación ( , ) 0F x y

puede calcularse: o bien despejando la y, o bien, mediante la siguiente fórmula:

Fxy

Fy , siempre que 0yF

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la

derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables ( , )z f x y definida

mediante la ecuación ( , , ) 0F x y z puede calcularse mediante las fórmulas:



x

z

Fz

x F

;

y

z

Fz

x F

,siempre que 0zF

Dada la ecuación ( , ) 0F x y Si el punto 0 0( , )x y cumple la ecuación 0 0( , ) 0F x y , la

función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de 0 0( , )x y y 0 0( , ) 0F x y

entonces la ecuación 0 0( , ) 0F x y define una función explícita ( )y y x en un entorno de

0x con 0 0( )y y x

Dada la ecuación ( , , ) 0F x y z Si el punto 0 0 0( , , )x y z cumple la ecuación

0 0 0( , , ) 0F x y z , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de

0 0 0( , , )x y z y entonces la ecuación define una función explícita ( , )z f x y en un entorno

de dicho punto.

Ejemplos:

Calcula y', siendo 3 2 25 4 0y y y x

Solución:

Tenemos: 3 2 2( , ) 5 4F x y y y y x

hallamos las derivadas parciales:

2xF x ; 23 2 5yF y y

Por lo tanto:

2

2

3 2 5

Fx xy

Fy y y

2) Calcula dz en la ecuación xyz x y z

Solución:

Consideramos la función: ( , , )F x y z xyz x y z

Hallamos las derivadas parciales

1xF yz ; 1yF xz ; 1zF xy

Con lo cual

1 1

1 1

z yz z xz

x xy y xy

Con lo que resulta:

(1 ) (1 )

1

z z yz dx xz dydz dx dy

x xy




ACTIVIDAD


Periodo: 2013-2



Unidad:

4. La Derivada

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.

4.2 La interpretación geométrica de la derivada.

4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.

4.4 Propiedades de la derivada.

4.5 Regla de la cadena.

4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.

4.7 Derivadas de orden superior

4.8 Derivada de funciones implícitas.


Competencia

específica: Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y analiza la variación de una variable con respecto a otra.








funciones.


resultados.


a) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

1. 7

3 4F x x x

7. 2 7g x x x 13.

4

2

1

2 5f t

t t

19. 3 1 tanf t t

2. 1

siny xx

8.

2xy xe

14.

36

7

yF y

y

20. 5

1

2 1f z

z

3. 3 3sin cosy x x

9. 1

5 xy

15.

3

1

x

x

ey

e

21. sin tan siny x

4. 5siny e

10.

2sin

cos

xy

x

16. 1 2tany x

22. 32 21 2y x x

5. 3 3cosy a x

11. 6

21 cosy x

17. 2sin cosy kx

23. 1210 23 2 5 1G x x x x



6. x

f xc

xx

12. ax b

f xcx d

18. 2

5000 140

tV

24.

0.4

0.4

40 24

1 4

xR

x

b) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado, grafique ambas:

1. 8

; 4,24 3

yx

2. sin cos2 ; ,16

y x x

3. sin sin ; ,0y x 4. 10 ; 1,10xy

c) Determine la primera y segunda derivadas de cada una de estas funciones:

1. 5 26 7f x x x x

7. 3G r r r 13.

cxy xe

2. cos2y

8. 1

1g u

u

14. 2

1

xy

x

3. 2 1h t x

9. 1

xy

x

15. 2 cosg s s s

4. 8

3 5F s s

10. 3

32 41y x

16. 1 2tany x

5. 8 3 47 2y t t t

11. tan3H t t

6. siny

12. 3 5tg t t e

d) Determine y’’’:

1. 8

; 4,24 3

yx

2. sin cos2 ; ,16

y x x

Puntuación

Alcanzada


Firma del docente

Firmas del alumno



Unidad 5. Aplicaciones de la derivada


Aplicar el concepto de la derivada para la solución de problemas de optimización y de

variación de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones.

5.1. Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas

ortogonales

Recta tangente

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y

que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso

particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, 1R

Ejemplo1.

Cálculo de la ecuación de la recta tangente a f(x)=x3+1 en 0 0.5x

1. Derivamos la función f '(x)=3x2.

2. Evaluamos la derivada en 0,5, f '(0.5)= m t=0.75.

3. Calculamos la ordenada de x o=0.5 que es yo= 0fx =1.13.

4. Sustituimos los valores dados en la ecuación de la recta tangente a la curva, es

decir en yo= 0,m x + b, para obtener b=0.75.

5. Escribimos la ecuación de la recta tangente: y = 0,75 x + 0,75

Recta normal

La recta normal a la curva en el punto de abscisa o es la recta perpendicular a la tangente

a la curva en el mismo punto.

Ejemplo2.

Cálculo de la ecuación de la recta normal a y=x3+1 en xo=0,5.

1. Derivamos la función, y'=3x2.

2. Evaluamos la derivada en y'(0.5) = m t = 0.75.

3. Calculamos la pendiente de la recta normal m n= - 1.33.

4. Calculamos la ordenada de 0x =0.5 que es yo=1.13.

5. Calculamos la ordenada en el origen de la recta normal, b=1.79.

6. Escribimos la ecuación de la recta normal:

y n = -1.33 x +1.79



5.2. Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del

cálculo diferencial.

TEOREMA DE ROLLE: Si:

• f es una función continua definida en un intervalo cerrado

• f es derivable sobre el intervalo abierto

• ( ) ( )f a f b

Entonces: existe al menos un número c perteneciente al intervalo ( , )a b tal que 1( ) 0f c

Si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente

horizontal.

El teorema asegura que, en las condiciones del enunciado, existe al menos un punto en el

que la tangente a la curva es horizontal.

Para ir de a a b, al ser la función continua, o bien va recta (función constante) o, en al

menos un punto, tiene que doblar con tangente horizontal por ser derivable.

Ejemplo1:

La función graficada arriba es )(xf )4)(1)(4( xxx = 161623 xxx .

Si tomamos a = -4 y b = -1, tenemos que 0)()( bfaf . A partir de

1623)( 2 xxxf = 0, encontramos que 67.2x , es el que pertenece a que

satisface el teorema de Rolle.

Aun cuando no es necesario que ( ) ( ) 0f a f b hemos escogido estos puntos porque de

antemano sabemos que en ellos ( ) ( )f a f b .

TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL

CALCULO DIFERENCIAL

El teorema de valor medio, también llamado teorema de los incrementos finitos o

teorema de Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.

Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. Este

teorema lo formuló Lagrange y por eso también el conocido como el teorema de

Lagrange, es una generalización del teorema de Rolle.

Sea f(x) una función que satisface lo siguiente:

1. f(x) es una función continua en el intervalo [a,b]

2. f(x) es una función diferenciable en [a,b]

Entonces hay un número "c" en el intervalo [a,b] tal que

x( ) ( )

´f b f a

fb a



Ejemplo2:

Compruebe que la función satisfaga las hipótesis del teorema del valor medio en el

intervalo dado .Determinar todos los números c que satisfagan la conclusión del teorema

del valor medio.

2

1

( ) 3 2 5,[ 1,1]

( ) 6 2

f x x x

f x x

Teorema valor medio despejado

1( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a

Sustituimos la x por la c

1 6 (6 2)(1 2)C c

Despejando

4 (6 2)(2)c

c C

5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función.

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y

puntos de inflexión. Criterios para la segundo derivada de máximos y

mínimos.

Función decreciente y creciente:

Una función creciente es cuando a un incremento de x le corresponde un incremento

positivo de y; a un incremento negativo de x le corresponde un incremento negativo de y.

O sea a medida de que el valor de x aumenta, aumenta el de y; de donde, el x y el y

tendrán el mismo signo.

Se dice que la función y=f(x) es creciente en un intervalo si es creciente todos los valores

del intervalo.

Una función es decreciente cuando a un incremento positivo de x le corresponde un

incremento negativo de y; a un incremento negativo de x le corresponde un incremento

positivo de y. O sea el valor dey disminuye cuando x aumenta; de donde, el x y el y

tendrán signos opuestos.



Ejemplo1:

Encuentre los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.

1.- Empecemos por graficar la función:

Derivemos la función 23 12 9dy

x xdx

Si tomamos un punto entre cero y uno, digamos 0.5 y sustituyendo en el resultado de la

derivada, tenemos:

23(0.5 ) 12(0.5) 9dy

dx =+ por lo que la función es creciente en ese punto

Ahora tomemos otro punto en el intervalo (1,3), digamos 2, sustituyendo en la derivada

tenemos:

23(2 ) 12(2) 9dy

dx Por lo que la función es decreciente en ese punto.

X Y

0 0

1 4

2 2

3 0

4 4

5 20

-1 -16

-2 -50



MAXIMOS, MINIMOS DE UNA FUNCION:

Máximos:

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y

a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a

su derecha creciente.

Gráficas de máximos y mínimos

Ejemplo2

Hallar los valores máximos y/o mínimos de la función 2 4 7y x x



Solución:

Graficando la función anterior se obtiene la parábola de la figura 3, en la cual se ve que

tiene solamente un mínimo. Lo anterior deberá confirmarse aplicando el procedimiento.

Paso 1: Derivando la función e igualando a cero:

2 4 0dy

xdx

Paso 2: Resolviendo 2x - 4 = 0, se llega a que x = 2. Este es el valor crítico. En este

momento se sabe que en x = 2 hay un máximo o un mínimo, pero no se sabe cuál de los

dos.

Paso 3a: Dando primero un valor un poco más pequeño que x = 2, por ejemplo, con x =

1 y sustituyendo en la derivada:

2(1) 4 2dy

dx

Luego con un valor un poco mayor que x = 2, por ejemplo con x = 3 y sustituyendo en

la derivada:

2(3) 4 2dy

dx

Paso 3b: Como la derivada cambió de signo de negativo a positivo significa que existe un

mínimo en el valor crítico que se analiza, es decir, hay un mínimo en x = 2.

Criterio de la primera derivada de máximos y mínimos.

Un máximo relativo de una función es todo punto c, f(c) de ( , )a b , para el cual se cumple

que f(x) f(c) para todo x de ( , )a b . Un mínimo relativo de una función es todo punto c,

f(c) de ( , )a b , para el cual se cumple que f(x) f(c) para todo x de ( , )a b . Una función tiene

un Máximo relativo o un mínimo relativo en un punto c cuando c es un valor Mínimo r.

crítico de f.

Ejemplo3

Hallar máximos, mínimos y graficar la siguiente función f(x) = x2 + 3x – 4

Primer derivada de la función f ’(x) = 2x + 3 = 0

Valor Crítico x = -3/2

f ’(-2) = 2(-2) + 3 < 0 (-) f ’(0) = 2(0) + 3 > 0 (+)

El signo de la derivada antes y después del valor crítico varía de (-) a (+) por tanto la

función tiene un mínimo en x = -3/2

f(-3/2) = (-3/2)2 + 3 (-3/2) – 4 = 9/4 – 9/2 – 4 ;



Mínimo en y = -25/4

CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXION

Si la gráfica de una función continua posee una tangente en un punto en el que su

concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo, o viceversa, este punto se denomina

punto de inflexión. Si (cf. (c)) es un punto de inflexión, entonces o bien f’’(c)=0 o f’’(c) no

existe.

Ejemplo 1

( )f x = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f ''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de

derivada segunda y si:

f '''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

f (0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)



CRITERIOS PARA LA SEGUNDA DERIVADA DE MAXIMOS Y MINIMOS

Criterio de la Segunda Derivada: Sea f una función tal que su primera y segunda

derivada existan en x = c. Para la curva de f:

• Existe un máximo relativo en x = c si:

f '(c) = 0 y f ''(c) < 0

• Existe un mínimo relativo en x = c si:

f '(c) = 0 y f ''(c) > 0

Cuando la función permite un cálculo rápido de sus derivadas sucesivas, el teorema resulta

ser el mejor camino para la determinación de los extremos relativos.

Ejemplo 1.-

Calcular los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada de la función

f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 5.

a) Calcular los números críticos.

f '(x) = 0

f '(x) = 3x2 – 12 x + 9

3x2 – 12x + 9 = 0

2 – 4x + 3 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0 x – 1 = 0

x = 3 x = 1

b) Calculo de la segunda derivada.

f '' (x) = 6x – 12

c) Sustitución de los números críticos.

Si x = 1

f ''(x) = 6 (1) – 12 = 6 – 12 = - 6 < 0 (máximo).

Si x = 3

f ''(x) = 6 (3) – 12 = 18 – 12 = 6 > 0 (mínimo).

d) Calculo de los valores relativos.

Si x = 1

f (x) = (1)3 – 6 (1)2 + 9 (1) + 5

= 1 – 6 + 9 + 5 = 9

Máximo = 9 para x = 1

Si x = 3

f(x) = (3)3 – 6 (3)2 + 9 (3) + 5

= 27 – 54 + 27 + 5 = 5

Mínimo = 5 para x = 3



5.4 Análisis de la variación de funciones

Definición:

En numerosas ocasiones nos interesa conocer sólo el máximo o el mínimo de una función.

Estos problemas a menudo requieren un planteamiento previo que, resumiendo, es el

siguiente:

a. Determinar la función de la que se quiere obtener el máximo o el mínimo. Es fácil

que ésta dependa de más de una variable; en este caso buscar la relación entre ellas para

que la función sólo dependa de una incógnita.

b. Calcular el máximo o el mínimo pedido, imponiendo las condiciones necesarias en

sus derivadas.

c. Criticar la solución obtenida

Ejemplo1.

Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el

tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de

alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede

expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A

instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de

cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad?.

a. Determinar la función

• Llamemos x a las alarmas de tipo B instaladas, con lo que las alarmas de tipo A

serán

• La seguridad de la empresa viene expresada por la función

b. Calcular el máximo

• Calculamos

• Resolvemos la ecuación . Soluciones:

• Calculamos y su signo en estos valores. El máximo se obtiene en

c. Criticar las soluciones

• Deberemos instalar 6 alarmas de tipo B y 3 de tipo A



5.5 Calculo de aproximaciones usando la diferencial

Definición:

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la

derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función

alrededor de un punto.

La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea 0 0( , )P x y un

punto fijo sobre la gráfica de ( )y f x Tomando el punto 0 0( , )P x y como origen, se

introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes

antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen

y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber: dy mdx donde m es la

pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo,

esto es ( )m f x , se tiene entonces: ( )dy f x dx Lo anterior nos permite dar la

definición formal de la diferencial.

Ejemplo 1

Un tanque cilíndrico abierto tendrá un revestimiento de 2cm de espesor. Si el radio

interior tiene 6m y la altitud es de 10m, calcule mediante diferenciales la cantidad

aproximada de material de revestimiento que se usará.

1.- Dibujamos la imagen del problema y planteamos las relaciones y datos existentes en el

problema:

2( )v r h

0.02dr m

6r m

10h m

2.- Obtenemos el diferencial del volumen en términos de la diferencial del radio.

2 * * *dv r h dr 3.- Sustituimos los datos en la relación 2 * * *dv r h dr

2 (6 )(10 )(0.02 )dv m m m

4.-Efectuando las operaciones indicadas encontramos la cantidad aproximada de material

de revestimiento que se usará.

32.4dv m



5.6 Problemas de optimización y tasas relacionadas

Definición:

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la

forma más apropiada para realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se

calculan los valores mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia

mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc. La

función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas

restricciones que deben tomarse en cuenta.

Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una

función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo. Es decir, la optimización

busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local. El mínimo o máximo absoluto es

el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.

Hay algunos pasos que deben seguirse con el fin de desglosar un problema de

optimización:

1). Lo primero y más importante es identificar las variables y constantes de la función. Esto

ayuda a determinar la parte de la función que será minimizada o maximizada.

2). Escribir la fórmula adecuada para la función particular, para lo cual tenemos que

calcular el mínimo o máximo.

3). Ahora, la fórmula será escrita en términos de una sola variable, es decir ( )f x .

4). Establezca la diferenciación de ( )f x a 0 , ( ) 0f x y resuelva a través de observar

todas las limitaciones y otros valores críticos para encontrar los valores extremos.

Ejemplo1.

Considere la función 2( ) 4 2g x r r . Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo

será encontrado [0,1] . Calculando ( )g x se obtiene,

'( ) 2 4 0g x r

Por lo tanto, 2 viene a ser un valor crítico, luego remplazando el 2 en la función g (2) =2.

Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,

g (0) = −2 g (1) = 1

Se puede observar, que el valor máximo de g(x) en [0, 1] es 2.

Un tipo parecido de problema es el problema de las tasas relacionadas. Se trata de un

problema en el que se proporciona la tasa de variación de al menos una variable de la

función y en el problema se necesita buscar la otra tasa de variación.

También hay ciertas reglas simples para resolver estos problemas:

Considere que f(a) sea una función con dos variables a y b, las cuales cambian con el

tiempo y la tasa de variación de a es dada con el tiempo, es decir da

dt .

1). En primer lugar, encontrar la derivada de f(a), es decir, f ‘(a)



2). Ponga el valor de a en la ecuación

3).Entonces multiplíquelo con da

dt .para obtener

db

dt

Aplicar las reglas en un ejemplo proporcionará una mejor comprensión:

Suponga que la pregunta dada dice lo siguiente: Se está bombeando aire a un globo

esférico de 4 cm de radio a 35 /cm seg . Entonces, el ritmo de cambio del radio del globo

necesita ser calculado.

Se puede observar que el radio y el volumen son las variables de las funciones

correspondientes. dv

dtes dada y es igual a 35 /cm seg .y necesita encontrarse. Como

dr

dt

34 / 3v r . Diferenciando ambos lados, se obtiene . Ahora sustituyendo el valor de en

esta ecuación, se obtiene 7

64

dr

dt .

Referencias Bibliográficas

• AYRES J.R, Frank. Cálculo diferencial e integral Serie Schaum. Mc Graw Hill.

• CUELLAR, Juan Antonio. Matemáticas VI Calculo Integral. Mc Graw Hill.

• GRANVILLE, William Anthony. Calculo diferencial e integral. Limusa.

• LEITHOLD, Louis. El Cálculo. Oxford.

• SWOKOWSKI, Earl. Cálculo con geometría analítica. Grupo editorial

Iberoamericano.




ACTIVIDAD

EVALUACIÓN UNIDAD Código

Periodo: 2013-2



Unidad:

5. Aplicaciones de la Derivada

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales

5.2 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para

máximos y mínimos, concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos


Competencia

específica: Aplicar el concepto de la derivada para la solución de problemas de optimización y de variación de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones.


1. Llena los datos solicitados en la actividad (nombres, fecha y grupo).

2. El desarrollo de la actividad se deberá hacer en hojas blancas.

3. Orden y limpieza en el desarrollo de los ejercicios.

4. Encierra en un recuadro el resultado final.

5. Consulta una fuente de información para el desarrollo de la actividad.

6. Anexa la impresión donde se observe la utilización del programa Mathcad para la graficación de todas las

funciones.

7. Anexa la impresión donde se observe la utilización del programa Mathcad para la comprobación de

resultados.

8. Engrapa tus hojas teniendo como portada el presente instrumento de evaluación.

1. De las siguientes funciones:

a) Encuentre los intervalos sobre los cuales f es creciente o decreciente

b) Halle los valores máximos y mínimos de f

c) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión

1) 3 22 3 36f x x x x 5) 2 lnf x x x

2) 3 24 3 6 1f x x x x 6) 2x xf x e e

3) 4 22 3f x x x 7) 1f x x x

4) 2

2 3

xf x

x

8)

1

3 4f x x x

3.

Puntuación

Alcanzada


Firma del docente

Firma del alumno

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Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli · AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748