TEMA 1. SISTEMAS ÓPTICOS PERFECTOS. El estudio de la formación de imágenes por los sistemas ópticos puede reducirse al de la formación de la imagen de una fuente u objeto puntual. En general, los rayos que salen de un punto y atraviesan un sistema óptico, no vuelven a reunirse en un único punto, sino que se concentran en una zona del espacio que puede tener mayor o menor extensión, según la calidad del sistema óptico. Esta concentración de luz se llama imagen. Los instrumentos ópticos de calidad deben dar como imagen de un punto, una concentración de luz suficientemente pequeña como para que pueda asimilarse a un punto. Aunque sólo en algunos casos particulares todos los rayos que salen del objeto se cortan en un único punto imagen, después de atravesar el sistema óptico resulta enormemente interesante estudiar las propiedades de la formación de imagen “ideal” por parte de un sistema óptico a las que intentamos aproximar el comportamiento de los sistema ópticos reales.

1.1. Sistema óptico perfecto. Sistema óptico perfecto. Lo ideal sería que un sistema óptico representara todo el espacio objeto en el correspondiente espacio imagen estableciendo una correspondencia homográfica completa punto a punto, recta a recta y plano a planoque fuera una semejanza para dos figuras conjugadas cualesquiera. Sin embargo, esto es en general imposible y un sistema óptico de revolución se considera perfecto con tal de que cumpla las Condiciones de Maxwell:

1) A un plano objeto normal al eje del sistema debe corresponderle un plano imagen también normal al eje.

2) Todos los rayos que entran en el sistema concurrentes en un punto cualquiera del plano objeto, bien sea éste real o virtual, pasan a la salida real o virtualmente por un punto del plano imagen (imagen stigmática).

3) Cualquier figura contenida en el plano objeto se representa en una figura semejante contenida en el plano imagen, siendo la razón de semejanza constante para cualquier par de figuras conjugadas y contenidas en estos planos.

Por tanto, para que un sistema tuviera comportamiento de sistema perfecto para un objeto plano, sería necesario que las superficies de onda emergentes correspondientes a los haces que tienen su origen en cada uno de los puntos del objeto fueran esféricas, que sus centros de curvatura estuvieran en un plano (plano imagen) y, por último, que existiese perfecta semejanza entre el plano objeto y el plano imagen. Las superficies cuádricas y óvalos de Descartes garantizan la correspondencia stigmática total sólo entre dos puntos, pero sin restricción de abertura. Los sistemas centrados en zona paraxial producen una representación óptica perfecta para infinitos pares de puntos, pero con tan fuertes restricciones de abertura y campo (sólo mientras senos y tangentes puedan sustituirse por sus arcos) que no son utilizables en la práctica sino en sino en determinadas ocasiones. Los sistemas ópticos que se usan en la actualidad se caracterizan en general por trabajar con grandes campos y aberturas simultáneamente de modo que dejan de comportarse como sistema perfectos y la imagen comienza a presentar defectos. Lo que deben ser planos imagen se convierten en superficies curvadas, la semejanza entre objeto e imagen no se conserva, la nitidez de los detalles se pierde apareciendo imágenes borrosas y la luz blanca del objeto aparece dispersa en sus colores en la imagen. Estos defectos se llaman aberraciones. 1.2. Elementos cardinales. En los sistemas ópticos existen tres pares de puntos y otros tres pares de planos que permiten conocer el comportamiento de un sistema, sin necesidad de realizar una marcha detallada de rayos dentro de los mismos. Son los focos y los planos focales, los puntos y los planos principales y los puntos y planos nodales. Estos elementos suelen llamarse cardinales y en ellos los aumentos toman valores particulares.

1 - 1

a) Focos y planos focales. Si tomamos como punto objeto el del infinito del eje, O∞ , su imagen cuando la luz va de izquierda a derecha se llama foco imagen del sistema y se designa por F’ (fig. 1.1). El plano normal al eje por F’ es el plano focal imagen. Análogamente existe un punto F, tal que todos los rayos que parten de él salen del sistema paralelos al eje. Este punto, F, es el foco objeto y el plano normal al eje es el plano focal objeto. El aumento angular es infinito en el foco imagen y cero en el foco objeto. Ambos focos pueden ser reales o virtuales.

Fig. 1.1

De la definición se deduce que el plano focal imagen es la imagen del plano del infinito y el plano del infinito es la imagen del plano focal objeto, por tanto, todo haz que tiene su origen en un punto Q del plano focal objeto saldrá del sistema en forma de haz paralelo hacia 'Q ∞ y, análogamente, todo haz paralelo que en cualquier dirección penetra en el sistema, irá a concurrir a la salida en un punto del plano focal imagen, (fig. 1.2). 'Q

Fig. 1.2

Colimador. Si en el foco objeto real de un sistema se coloca una fuente puntual de luz, el dispositivo transforma el haz divergente en uno de rayos paralelos al eje. Tal montaje se denomina colimador. Si el punto emisor está fuera de eje, los rayos emergente serán paralelos entre sí pero oblicuos al eje. b) Planos y puntos principales. Se llaman planos principales dos planos conjugados normales al eje, con aumento lateral ' 1β = + . Sus puntos de intersección con el eje, H y H', son los puntos principales y, al igual que los focos, pueden ser reales o virtuales. Por tanto todo haz de rayos que partiendo de un punto P del plano principal objeto penetre en el sistema, o que lo haga apuntando todos sus rayos a ese punto P, emergerá concurriendo real o virtualmente en el punto P' del plano principal imagen que esté a la misma distancia del eje y al mismo lado que P.

Fig. 1.3

1 - 2

Para determinar estos planos gráficamente basta con trazar un rayo cualquiera paralelo al eje como el rayo 1 de la fig. 1.3, el cual a la salida pasará por el foco imagen F'. El punto P' donde se

cortan las prolongaciones del incidente y emergente pertenece al plano principal imagen, que será el normal al eje por P', quedando determinado el punto principal H'. Repitiendo el proceso para un rayo que entre de izquierda a derecha se encuentra el punto P que pertenece al plano principal objeto y el punto principal objeto H.

Focal y potencia de un sistema. Poder refractor. Denominamos respectivamente distancia focal objeto e imagen de un sistema a las distancias HF f= y ' ' 'H F f= , tomando siempre origen en los puntos principales. El sistema de la fig. 1.4 tienen f negativa y f’ positiva, mientras que el de la fig. 1.5 tiene f positiva y f’ negativa.

Fig. 1.4

Fig. 1.5

Se define la potencia de un sistema como la inversa de su focal y designaremos la potencia objeto por 1/ fϕ = y la potencia imagen por ' 1/ 'fϕ = . Cuando la focal se mide en metros, la potencia se expresa en dioptrías. Ambas están relacionadas por

' '

f nf n= − (1.1)

y para sistemas en aire o sumergidos en medios de índices iguales tenemos

'f f= − (1.2)

Por medio de estas ecuaciones, todas aquellas relaciones en que intervengan focales y potencias se pueden poner en función de una de ellas solamente. En general usaremos la focal imagen y la potencia imagen. En ocasiones resulta útil manejar lo que se denomina magnitudes reducidas, esto es, longitudes divididas por el índice de refracción y sus inversas. Las focales reducidas serán /f n y

'/ 'f n , y sus recíprocas y se denominan poderes refractores, es decir: F F '

nf

F = y ''

nf

=F ' (1.3)

Trazado de rayos. Si conocemos la posición de los puntos principales y de los focos de un sistema podemos determinar el conjugado de un rayo cualquiera que entra en el sistema y, por tanto, la imagen de cualquier punto. Si un rayo se dirige al punto P del plano principal objeto (fig. 1.6), al salir lo hará pasando por P' a la misma altura que P. Para hallar su dirección, basta trazar un rayo auxiliar paralelo al incidente que pase por F, los conjugados se cortarán en el punto Q' del plano focal imagen.

Fig. 1.6

1 - 3

Un sistema centrado tiene un eje de simetría denominado eje óptico. Un punto determina, junto con el eje óptico, el plano meridiano o tangencial, en el que debe encontrarse el punto imagen. Todo rayo que parte del objeto y está contenido ene l plano tangencial se mantiene dentro de este plano por razones de simetría, por lo que la utilización del plano meridiano permite resolver los cálculos de sistema ópticos centrados en dos dimensiones en lugar de en tres, simplificando el proceso.

Puntos nodales. Se denominan así a dos puntos conjugados en el eje, N y N’, para los que el aumento angular es ' 1γ = + . Por tanto, todo rayo que entre en el sistema por el punto nodal objeto formando con el eje un ángulo σ, sale del sistema pasando real o virtualmente por el punto nodal imagen formando con el eje un ángulo 'σ σ= . En la figura (1.7) intentamos hallar la imagen del punto Q, situado en el plano focal objeto. Sabemos que su imagen estará en el infinito, 'Q ∞ , de modo que todos los rayos que parten de Q, a la salida del sistema serán paralelos entre sí. Si trazamos el rayo QP paralelo al eje, el emergente será P’F’. Si además trazamos el rayo QM paralelo a P’F’, su emergente saldrá paralelo a sí mismo y, por tanto ese par de rayos determinan los puntos nodales.

Fig. 1.7

De la figura (1.7) por paralelismo e igualdad de triángulos se obtiene que ' 'NH N H= , ' , y también que ' y que 'NN HH= FN f= ' 'F N f= , ya que los triángulos y

son iguales, así como los y . De todo esto se concluye que la distancia entre los punto nodales es igual a la distancia entre los puntos principales y en sistemas con índices extremos iguales, al ser , sus puntos principales y nodales coinciden y, todo rayo que entra en el sistema pasando por el punto H, sale por H’ paralelo al entrante.

NHM ' 'N H M ''QFN P H' ' F

'FN f= = f−

1.3. Ecuaciones de correspondencia.

Sea un sistema definido por sus elementos cardinales, planos principales y focos, y tratamos de hallar las ecuaciones algebraicas que relacionan la posición, aumento, etc. de un objeto y con su imagen y’.

Fig. 1.8

1 - 4

Designamos por z y z’ las distancias FO y F’O’, y por a y a’ las HO y H’O’. Para determinar la imagen de y trazamos desde dos rayos, uno paralelo al eje y otro que pasa por el foco objeto F. Sus conjugados se cortan en el punto . De los triángulos rectángulos semejantes OO y , y de los y , deducimos las ecuaciones:

1O

'1'O 1F FHR

' ' 'P H F 1' 'F O O

' ''' '

y f f z ay z a f f f

β ' 'f−= = − = − = − = −

− (1.4)

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

como vemos el aumento se puede determinar de conocer z o de conocer z’, distancias al objeto y a la imagen contadas desde los focos, respectivamente.

Orígenes en los focos. De las expresiones (1.4) (3) y (5) se obtiene

2' ''

nz z f f fn

= = − ' (1.5)

que es la ecuación de correspondencia de Newton, y en caso de medios extremos iguales, 'n n= ,

2' 'z z f= − . (1.6)

Las expresiones (1.4) (3) y (5) nos permiten calcular el aumento lateral conocidas z o z’.

Orígenes en puntos principales. A partir de las expresiones (1.4) (4) y (6) se tiene:

''

'f a fa f f

−=

− (1.7)

y operando se llega a la ecuación:

' 1'

f fa a+ = (1.8)

Introduciendo la relación entre focales ( )/ ' 'f n n f= − , se tiene:

'' '

n n na a f

− + =' (1.9)

y para sistemas en medios con índices extremos iguales,

1 1 1' 'a a f

− + = . (1.10)

De las ecuaciones (1.4) (1) y (6) se tiene

' ' '' 1' '

y f a ay f

β 'f

−= = = − .

De (1.9), multiplicando sus dos miembros por a’ y dividiéndolos por n’ se obtiene a , lo que sustituido en la anterior da

'/ 'f

'''

y n ay n a

β = =' (1.11)

y para índices extremos iguales

'' y ay a

β '= = (1.12)

1 - 5

Orígenes en puntos conjugados (P y P’). Siempre la correspondencia óptica en el eje queda determinada si se conocen tres pares de elementos conjugados. En este caso son ( ), 'F O∞ ,

y . Si tomamos orígenes en P y P’ para hallar las relaciones entre O y O’, llamando ( , 'O F∞ ) ( , ')P P

'; ; ; ' ' '; ' ' '; ' 'P Pz FO z FP k PO z F O z F P k P O= = = = = = '

tendremos:

PFO z z k= = +

'' ' ' 'PF O z z k= = + ' Fig. 1.9

Aplicando la ecuación de Newton (1.5) a los puntos y , se tiene: O 'O

( )( )'' 'P P 'z k z k f f+ + =

operando y teniendo en cuenta que '''P Pz z f f= , queda

'' 1 0'

P Pz zk k+ + = (1.13)

Relación entre los aumentos lateral β’, axial α’ y angular γ’. Tomando incrementos en (1.6) se tiene

' ' 0z z z z∆ + ∆ = , o bien ' ' 'z zz z

α∆= − =

∆

Multiplicando las (1.4) (3) y (5), resulta

2 ''' '

z f n zz f n z

β = = −' (1.14)

de donde

2 '' ' nn

α β= (1.15)

Y teniendo en cuenta que (' / 'n n )'β γ= , obtenemos la siguiente relación entre los tres aumentos:

' ' 'β α γ= (1.16) 1.4. Sistemas compuestos. Elementos cardinales de un sistema compuesto. Varios sistemas ópticos perfectos, uno a continuación de otro, con sus ejes ópticos coincidentes, de manera que la imagen del primero es objeto para el segundo y así sucesivamente, también constituyen un sistema óptico perfecto, cuyos elementos cardinales se pueden calcular para encontrar el sistema equivalente. Acoplamos dos sistemas (I) y (II), de los cuales se conocen sus focos y puntos principales y vamos a determinar los elementos cardinales del sistema compuesto, . , ', 'F F H yH

F A t, la distancia de acoplamiento entre el foco imagen del sistema (I) y el foco objeto del sistema (II), se le denomina intervalo óptico. A la distancia de acoplamiento entre los planos principales la llamaremos e, es decir .

1 2'F

1 2'e H H= Trazamos un rayo, l, paralelo al eje a una altura . Este rayo saldrá del sistema (I) pasando por y del (II) pasando por , ya que entró paralelo al eje del sistema total. Para conocer su dirección a partir de , trazamos el rayo auxiliar QL , paralelo al eje, que saldrá por , por tanto el rayo saldrá del sistema (II) paralelo a , y determinará . Pero además, su

1h

2

2'L F

1'F 'F

2'P 2'F

1 2'P P 2' 'F

1 - 6

intersección con la prolongación de l dará el punto P’ del plano principal imagen correspondiente al sistema total, con lo que queda determinado . 'H

2F

1

1'f

qf

M PM

− =

'f = −

P M= =

2' '

Fig. 1.10

Los triángulos P H y (rayados verticalmente) son semejantes al . Por eso, podemos escribir que

1 1' ' F 1' 21'F Q 1 2'P M P

ht

= − (1.17) q

2 2M P qe t

= (1.18)

Análogamente, los rayados horizontalmente y son semejantes al 2 2' ' 'H L F 2

'' ' 'F H P

2 2' 'M P P . De ellos se obtienen:

1

2' 'hf

= (1.19)

2 2

2 2

' '' ' '

qP f

= (1.20)

De (1.17) y (1.19) se obtiene

1 1

2

''

f h 'ft q f

= (1.21)

y para la focal imagen del sistema total se tiene

1 2' 'f ft

(1.22)

De (1.18) y (1.20), se obtiene

2 2 2 2 2

2

' ' ''

'M P M Pet q q f

= (1.23)

y teniendo en cuenta que 2 2 2 2' 'M P M P= y que 2 2' ' ' 'M P H H= , queda

21

'''

eH H ft f

= = −ef (1.24)

que nos da la abscisa del punto principal del sistema total tomando como origen el punto principal imagen del sistema (II). Haciendo razonamientos análogos entrando por la derecha con un rayo paralelo al eje daría para la focal objeto

1 - 7

1 2f fft

= (1.25)

y para la posición del plano principal objeto del sistema total respecto al plano principal objeto del sistema (I)

1 12

e eH H ft f

= =f 1.26)

Si en vez de referir las ecuaciones (1.22) y (1.25) a la distancia entre focos, introducimos la de acoplamiento entre planos principales, e, de la figura 6.3, se tiene

1't e f f2= − + (1.27) con lo cual (1.22) resulta

1 2

1 2

' '''

f ffe f f

= −− +

(1.28)

o bien, teniendo en cuenta que ( )2 2 2' / '2f f n n= −

2

2 1 2 1 2

1 1 1' ' ' ' ' '

n ef n f f f f= + − (1.29)

Introduciendo (1.27) en (1.24) y (1.26) se tiene para la posición del plano principal imagen

22

1 2

'' ''

e fH He f f

=− +

(1.30)

Análogamente para la posición del plano principal objeto del sistema respecto a 1H

11

1 2'e fH H

e f f=

− + (1.31)

Si se introducen en (1.29) las potencias en lugar de las focales, se tiene

21 2 1

2

' ' ' ''

n en 2'ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + − (1.32)

finalmente en función de los poderes refractores tendremos

1 2 12

' ' ' 'en

= + −F F F F F 2' (1.33)

que es la fórmula de Guldstram. Los sistemas en los que coincide con , es decir t , tienen según (1.22) y (1.25) sus focos en el infinito y se llamas afocales o telescópicos.

1'F 2F 0=

Acoplamiento en aire. Si los sistemas se acoplan en aire, 1 2 2' 1n n n= = = , 1 1'f f= − ,

2 2'f f= − , 'f f= − y las fórmulas anteriores quedan:

1 2

1 2

' ''' 'f ff

f f e=

+ −, 1 2 1' ' ' 'e 2'ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + − , 1 2 1' ' ' 'e 2'= + −F F F F F

11

1 2

'' '

e fH Hf f e

=+ −

, 22

1 2

'' '' '

e fH Hf f e−

=+ −

( )1 21 1 21 1

1 2 1 2 1 2

' '' ' '' ' ' ' ' '

f e fe f f fH F H H HFf f e f f e f f e

−= + = − =

+ − + − + −

1 - 8

( )2 12 1 22 2

1 2 1 2 1 2

' '' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' ' '

f f ee f f fH F H H H Ff f e f f e f f e

−−= + = + =

+ − + − + −

Sistemas convergentes y divergentes. Un sistema se dice que es convergente cuando un haz de rayos incidente paralelo al eje converge realmente en el foco imagen, es decir cuando el foco imagen es real. Si el foco imagen es virtual, los rayos divergen a la salida del sistema y se llama divergente. Nótese que el que el sistema tenga su focal imagen 'f positiva o negativa no determina su comportamiento. Por ejemplo, un sistema como el de la figura 1.10 es convergente ( real) y, sin embargo, . Si los sistema I y II se acercaran más

'F' 0f < ( )0t < , los planos principales serían

interiores a los focos, 'f sería positiva y el sistema sería convergente o divergente según que fuera real o virtual. También pueden darse situaciones en las que el carácter convergente o divergente dependa de que la luz paralela entre por la derecha o por la izquierda.

'F

1.5. Lentes gruesas y delgadas.

Un sistema compuesto formado por dos dioptrios esféricos (ver ANEXO 1) de radios y , tomando éstos como sistemas simples en los cuales los puntos principales coinciden con los

vértices constituye una lente. La distancia

1r

2r

1 2S S d= se llama espesor y tiene su origen en . Si suponemos que el índice de la lente es , y que está en el aire,

1Sn 1 2'n n 1= = , tendremos para las

potencias imagen de las dos superficies

11 1

1 1''

n 1f n r

ϕ −= = y 2

2 2

1 1'' 1

n 1f r

ϕ −= = (1.34)

Sustituyéndolas en (1.32), y teniendo en cuenta que el espesor de la lente en el eje es , se obtiene para la potencia imagen de la lente 1 2'd H H e= =

( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 11 1 1 1 1 1' 1' 1

n nn n n d n df n r r r r n r r n r r

ϕ− − − −

= = − + = − − +

(1.35)

cuya recíproca da la focal imagen 'f . Para hallar la posición de los planos principales respecto a los vértices bastará tener en cuenta las ecuaciones (1.24) y (1.26) una vez calculada la focal 'f , y las (1.34) con lo que se obtiene

( )( ) ( )

22

1 1 1 2

1 ''' '' 1

n f d r df eH Hf n r n r r n d

−= − = − =

− − − (1.36)

( )( ) ( )

11

2 2 1 2

1 '1

n f d r df eH Hf n r n r r n d

−= − = − =

− − − (1.37)

Lentes delgadas. Una lente se dice que es delgada cuando su espesor es despreciable frente a cada uno de los radios de curvatura, de modo que despreciando el último sumando en (1.35) la potencia imagen vendrá dada por:

( )1 2

1 ' 1'

n 1 1f r r

ϕ

= = − −

(1.38)

1 - 9

En una lente delgada pueden considerarse los vértices de las dos superficies confundidos, así como los planos principales, y éstos coincidiendo con los vértices. En ellas serán de aplicación las ecuaciones (1.8), (1.9),(1.10),(1.11) y (1.12), siendo en este caso a y a’ las distancias de la lente al

objeto e imagen. También será aplicable (1.32) a su acoplamiento, poniendo en ella las potencias de las lentes y siendo e la distancia que la separa. Así para dos o más lentes delgadas pegadas con medios extremos en aire, la potencia total será:

1

'n

Tj

' jϕ ϕ=

=∑ (1.39)

Trazado gráfico de rayos a través de una lente delgada. La posición y el tamaño de la imagen producida por una lente delgada pueden determinarse gráficamente de forma sencilla a partir de las trayectorias de los rayos de luz que, saliendo del extremo del objeto, pasan de forma real o virtual por alguno de los puntos axiales característicos de la lente. Nótese que si la lente es delgada y en medios extremos iguales H, H’, N y N’ coinciden en el centro de la lente y, por tanto, el rayo que pasa por el centro no se desvía. En las figuras 5.4(a) y 5.4(b) se muestran rayos que se pueden utilizar para determinar la imagen 'O de un punto O formada, respectivamente, por una lente delgada convergente y por una divergente.

Fig. 1.11(a) Fig. 1.11(b)

En la práctica, con el trazado de dos de los tres rayos mostrados es suficiente para determinar la imagen O’.

ANEXO 1. DIOPTRIO Y ESPEJO ESFÉRICOS

A1.1. Invariante de Abbe.

Vamos a suponer un punto objeto O situado a una distancia frontal s y tratamos de determinar la distancia frontal s’ de su imagen O’. En la fig. A1.1, O es un objeto virtual al que apunta un rayo en la dirección del eje, y el rayo AO, que tras refractarse se cortan en O’. En esta figura todas las magnitudes lineales y angulares son positivas (ANEXO 2). Con la aproximación de la óptica paraxial, la ley de la refracción será:

' 'n nε ε= (A1.1)

Fig. A1.1

De la figura, por consideraciones sobre los triángulos ICO e ICO’ se deducen las relaciones:

ε ϕ σ= − , ' 'ε ϕ σ= − , hr

ϕ = , hs

σ = , ''

hs

σ = (A1.2)

Sustituyéndolas todas en (A1.1) se llega a:

1 - 10

''

h h h hn nr s r s

− = − =

A (A1.3)

y dividiendo por h

1 1 1 1''

n nr s r s

− = − =

Q (A1.4)

La expresión Q = n(1/r-1/s), que no varía de valor al escribirla para el espacio objeto o el imagen, se denomina invariante de Abbe. Sustituyendo las expresiones de σ y σ’ de (A1.2) se obtiene la fórmula de Lange, de gran interés en el cálculo de sistemas ópticos

'' ' n nn n hr

σ σ −− = (A1.5)

Finalmente, si despejamos 1/s’ en (A1.4) obtenemos

1 1 '' ' '

n n ns n s n r

1−= + (A1.6)

que nos permite hallar s’ conocido todo lo demás.

Casos particulares.

a) Superficie plana refractante. Haciendo r = ∞ en (A1.6) se obtiene

'' nsn

= s

n

(A1.7)

b) Espejo esférico. Haciendo 'n = − en (3.7), se llega a

1 1 2's s r

+ = (A1.8)

c) Espejo plano. Haciendo n ' n= − en (A1.7) tenemos

's s= − (A1.9)

Puesto que estas fórmulas se han obtenido considerando todas las variables positivas, al resolver problemas, deberá introducirse cada dato con su signo.

A1.2. Elementos cardinales. Distancias focales. Para obtener las focales de un dioptrio esférico, en el que los puntos principales están confundidos con el vértice, basta hacer en (A1.6) sucesivamente y s = −∞ 's = ∞ , de modo que

'nf r

n n= −

− y ''

'nf r

n n=

− (A1.10)

Por tanto, para una superficie que separa medios de índices n y n’, las potencias serán

'n nn r

ϕ −= −

1 y '''

n nn r

ϕ 1−= (A1.11)

y los poderes refractores

'n nr−

= −F y 'n nr−

=F ' (A1.12)

Para un espejo, ( ) y obtenemos 'n = −n ' / 2f f r= = y 'F F≡ . Los espejos tienen un solo foco y una focal porque la luz sólo puede llegarle de un lado. Si el espejo es cóncavo (concavidad hacia la luz incidente), , , el foco es real. Si el espejo es convexo, ,

, el foco es virtual. 0r < ' 0f f= < 0r >

'f f= > 0

1 - 11

Puntos principales. En aproximación paraxial, los puntos del dioptrio y del espejo pertenecen a los planos principales (se confunden con el plano tangente en el vértice S) estando confundidos H y H’ con el vértice.

Puntos nodales. De su definición, como el rayo refractado tiene que ser paralelo al incidente, el único punto que cumple esto es el centro de curvatura C, luego 'C N . Puede

obtenerse este resultado utilizando las expresiones generales: teníamos

N≡ ≡''

'f =

−n r

n n y

'n r

n nf = −

−; y

'' ' ''

n rFN H F fn n

= = =−

, luego HN HF FN= + = f + f’ ' ''

n r rn n−

' 'n r n r n

n n n n= − +

− −= =

−, de donde

. Análogamente N C≡ ' ''n rF N HF f

n n= = = −

−, luego '' '

' 'n r

n n' ' ' ' n rH N H F F N r

n n= + = − =

− −

' 1

y . 'N C≡γ = En los espejos los puntos nodales coinciden con el centro de curvatura ( ) aumento

angular unidad.

A1.3. Trazado de rayos y ecuaciones de correspondencia. Construcción geométrica de la imagen en un dioptrio esférico. Para la formación de la imagen a través de un dioptrio se tendrán en cuenta las propiedades siguientes (fig. A1.2):

(1) El rayo que incide paralelo al eje es desviado por el dioptrio de manera que pasa real o virtualmente por F’ (rayos 1 y 1’)

(2) El rayo incidente que pasa por el centro del dioptrio no se desvía (rayos 2 y 2’)

(3) El rayo incidente que pasa real o virtualmente por F, emerge paralelo al eje óptico (rayos 3 y 3’)

Fig. A1.2

En la figura A1.2 se muestra la formación de la imagen de un objeto extenso situado en el punto O teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

Ecuaciones de correspondencia. Sustituyendo en (A1.6) la expresión para la distancia focal imagen (A1.10) se obtiene la ecuación de Descartes:

'' '

n n ns s f

− + =' (A1.13)

ecuación que, con la ayuda de (1.2) se convierte en:

' 1'

f fs s+ = . (A1.14)

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ANEXO 2. NOTACIÓN Sea una superficie esférica de centro C, fig. A2.1, que separa dos medios de índices n y n’ y que consideraremos que funciona como un sistema óptico perfecto. Ante ella situamos un objeto lineal OP de tamaño y, y determinamos la imagen de O por medio de los rayos OS y OI.

Fig. A2.1

La imagen y’ estará en la perpendicular al eje por O’ y para hallar el extremo de la imagen trazaremos el rayo PS. En lo sucesivo emplearemos la siguiente notación (ver tabla 2.1):

a) Los elementos que hacen referencia a la imagen se señalan con las mismas letras que los homólogos del objeto pero con primas. b) El sentido positivo para las distancias en el eje y a lo largo de cualquier rayo es el de la luz incidente, de izquierda a derecha. Por tanto, las distancias frontales al objeto y a la imagen, s y s’, y el radio de curvatura r, medidas desde el vértice S, serán positivas si están a la derecha de S y negativas si están a su izquierda. c) Los segmentos normales al eje son positivos hacia arriba y negativos hacia abajo. d) Los ángulos de incidencia, refracción y reflexión son positivos si al llevar el rayo, por giro, a coincidir con la normal por el camino angular más corto, se va en el sentido de las agujas del reloj. e) Los ángulos con el eje son positivos si al llevar el rayo, por giro, a coincidir con el eje, se va en el sentido contrario a las agujas del reloj.

TABLA A2.1.

Nótese que según estos convenios, en la reflexión ε y ε’ serán de signo contrario, por tanto la ley de la reflexión se escribirá:

'ε ε= − (A2.1)

lo que equivale a una refracción con índices n y n’ tales que 'n n= − .

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