Tema 1: ESPACIOS VECTORIALES - ugr.esrcamino/docencia/geo1-03/g1tema1.pdf · Tema 1: ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael L´opez Camino Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa Universidad

Tema 1:

ESPACIOS VECTORIALES

Prof. Rafael Lopez Camino

Departamento de Geometrıa y TopologıaUniversidad de Granada

Material docente para el alumno

Asignatura: Geometrıa I. Curso 2003/04Licenciatura: Matematicas (Plan 2000)

Universidad de Granada

Universidad de Granada. Licenciatura de Matematicas.Asignatura: Geometrıa I. Prof: Rafael Lopez Camino

1 Espacio vectorial

Definicion 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V,+, ·), donde V es un conjuntono vacıo y +, · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a lasque llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y conlas siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u+ v y ·(λ, v) = λv,

1. u+ (v + w) = (u+ v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).

2. u+ v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).

3. Existe e ∈ V tal que e+ v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).

4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto).

5. λ(µv) = (λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa).

6. λ(u+v) = λu+λv y (λ+µ)v = λv+µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva).

7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).

De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial. A los elementos de Vlo llamamos vectores y a los de R, escalares.

Proposicion 1.1 En un espacio vectorial V ,

1. El elemento neutro es unico. Se denotara por 0.

2. El elemento opuesto de un vector es unico. Si v es un vector, su opuesto lodenotamos por −v.

Proposicion 1.2 En un espacio vectorial se tiene las siguientes propiedades:

1. λ0 = 0, λ ∈ R.

2 Se prohibe cualquier reproduccion sin permiso del autor


2. 0v = 0, v ∈ V .

3. (−λ)v = −(λv), λ ∈ R, v ∈ V .

4. Si λv = 0, entonces λ = 0 o v = 0.

A continuacion, damos algunos ejemplos de espacios vectoriales:

1. Si n es un numero natural, se considera el espacio euclıdeo Rn = {(x1, . . . , xn); xi ∈

R} con la suma y producto por escalares siguientes:

(x1 . . . , xn) + (y1, . . . , yn)0(x1 + y1, . . . , xn + yn).

λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn).

Siempre se supondra que Rn tiene esta estructura vectorial y que llamaremos

usual.

2. Sea V = {(x, y) ∈ R2; x− y = 0} con la suma y producto por escalares como

antes.

3. Sea V = {p} un conjunto con un unico elemento y con p+ p = p y λp = p.

4. Sea V = {f : R → R; f es aplicacion} y

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ R.

5. W = {f : R → R; f es una funcion diferenciable} y la suma y el producto porescales esta definido de forma analoga a la del ejemplo anterior.

6. Se considera el conjunto de los polinomios de grado n ∈ N: un polinomiode grado n ∈ N es una expresion del tipo p(X) = a0 + a1X + . . . + anX

n;abreviaremos p(X) =

∑ni=1 aiX

i, donde por convenio X0 = 1 y en vez deescribir a01 = a0. Dos polinomios p(X) =

∑ni=1 aiX

i y q(X) =∑n

i=1 biXi se

diran iguales si ai = bi para cada i. El conjunto de polinomios de grado n

Se prohibe cualquier reproduccion sin permiso del autor 3


lo denotamos por Pn[X].Definimos la siguiente suma de polinomios y de unescalar por un polinomio:

(n∑

i=1

aiXi

)+

(n∑

i=1

biXi

)=

n∑i=1

(ai + bi)Xi

λ

(n∑

i=1

aiXi

)=

n∑i=1

(λai)Xi

Entonces Pn[X] es un espacio vectorial.

7. Sea X = {a1, . . . , an} un conjunto con n elementos. Se define una palabraformada por el conjunto X como una expresion del tipo x1a1 + . . . + xnan,donde xi ∈ R. Dos palabras x1a1 + . . .+ xnan y y1a1 + . . .+ ynan son igualessi xi = yi. Se define V el conjunto de todas las palabras y se define

(x1a1 + . . .+ xnan) + (y1a1 + . . .+ ynan) = (x1 + y1)a1 + . . .+ (xn + yn)an.

λ(x1a1 + . . .+ xnan) = (λx1)a1 + . . .+ (λxn)an.

Entonces V es un espacio vectorial. Como ejemplo, el conjunto de palabrasdefinidas por {1, X, . . . , Xn} constituyen el espacio Pn[X].

A continuacion definimos estructuras de espacio vectorial a partir de la teorıa deconjuntos. Concretamente, a partir del producto cartesiano, aplicacines biyectivas,espacios cocientes y subconjuntos.

Definicion 1.2 Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales. Se define en V1 × V2 ={(v1, v2); vi ∈ Vi} las siguientes operaciones:

(v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, v2 + u2)

λ(v1, v2) = (λv1, λv2).

Con esta suma y producto por escalares, V1 × V2 es un espacio vectorial y se llamaespacio producto.



Como caso particular, se tiene R2 = R × R (¡comprobad que ambos espacios vecto-

riales coinciden!). De la misma forma, se puede definir el espacio vectorial Rn ×R

m.

Definicion 1.3 Se considera V un espacio vectorial y V ′ un conjunto biyectivo conV . Sea f : V → V ′ una biyeccion entre ambos. Se defineen V ′ la siguiente estructurade espacio vectorial:

u′ + v′ = f(f−1(u′) + f−1(v′)).

λv′ = f(λf−1(v′)).

Se dice V ′ tiene la estructura vectorial inducida de V por la biyeccion f .

1. La estructura vectorial cambia si cambia la biyeccion f .

2. Sea X = {a1, . . . , an} un conjunto de n elementos y V ′ el conjunto de palabrasdefinidas a partir de X. Se considera la siguiente biyeccion entre R

n y V ′:

f(x1, . . . , xn) = x1a1 + . . .+ xnan.

Entonces la estructura vectorial inducida en V ′ de Rn (con la estructura usual)

y de la biyeccion f coincide con la estructura de espacio vectorial que ya sehabıa definida en el conjunto de palabras definidas por X.

3. Se considera R con su estructura usual y R+ el conjunto de los numeros reales

positivos. Se considera la siguiente biyeccion: f : R → R+, f(x) = ex.

Entonces la estructura de espacio vectorial inducida en R+ es:

x+′ y = xy λ ·′ x = xλ.

La estructura vectorial inducida en un subconjunto de un espacio vectorialmotiva el estudio de subespacio vectorial.



2 Subespacio vectorial

Definicion 2.1 Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto suyo. Se dice queU es un subespacio vectorial de V si satisface las siguientes propiedades:

1. Si u, v ∈ U , entonces u+ v ∈ U .

2. Si λ ∈ R y u ∈ U , entonces λu ∈ U .

3. Con la suma y producto por escalares de V , U es un espacio vectorial.

Proposicion 2.1 Sea U un subconjunto de un espacio vectorial V . Entonces U esun subespacio vectorial si y solo si

1. Si u, v ∈ U , entonces u+ v ∈ U .

2. Si λ ∈ R y u ∈ U , entonces λu ∈ U .

Demostracion : Supongamos que U satisface las propiedades 1 y 2. Veamos que conestas son suficientes para probar todas las propiedades de espacio vectorial. Todasestas son ciertas de forma trivial, excepto dos: la existencia de elemento neutro yopuesto. Pero para ello basta con probar que el elemento neutro de V se encuentraen U y lo mismo sucede con el elemento opuesto de un vector de U .

Por hipotesis, si u ∈ U , 0u = 0 ∈ U . De la misma forma, si u ∈ U , −1u =−(1u) = −u ∈ U . q.e.d

En particular, todo subespacio vectorial debe contener el elemento neutro delespacio ambiente, ası como los elementos opuestos de todos los vectores del sube-spacio.

Proposicion 2.2 1. Si U1 y U2 son subespacios vectoriales, entonces U1 ∩ U2

tambien es subespacio vectorial.



2. Si U1 y U2 son subespacios vectoriales de V y U1 ⊂ U2, entonces U1 es unsubespacio vectorial de U2.

1. Si V es un espacio vectorial, {0} y V son subespacios vectoriales, llamadossubespacios vectoriales triviales.

2. U = {(x, y) ∈ R2; x− y = 0} es un subespacio vectorial de R

2.

3. En general, si a1, . . . , an son numeros reales, no todos nulos, el conjunto U ={(x1, . . . , xn) ∈ R

n; a1x1 + . . .+ anxn = b} es un subespacio vectorial de Rn si

y solamente si b = 0.

4. Si V1 y V2 son espacios vectoriales, entonces V1×{0} y {0}×V2 son subespaciosvectoriales del espacio producto V1 × V2.

5. Si V es un espacio vectorial, V ′ es un conjunto biyectivo con V con la estructurade espacio vectorial inducida por una biyeccion f : V → V ′, entonces U ⊂ Ves un subespacio vectorial si y solo si f(U) es un subespacio vectorial de V ′.

Definicion 2.2 Sean U y W subespacios vectoriales de V . Se define la suma de Ucon W como el conjunto

U +W = {u+ w; u ∈ U,w ∈W}.

Entonces U+W es un subespacio vectorial. Ademas se tienen las siguientes propiedades:

1. U +W = W + U .

2. U + U = U .

3. U ⊂ U +W .

4. U +W es el menor subespacio (con respecto a la inclusion de conjuntos) quecontiene a U y a W .



Definicion 2.3 Un espacio vectorial V es suma directa de dos subespacios vectori-ales U y W suyo, y se denota por V = U ⊕W , si V = U +W y U ∩W = {0}.

Con el concepto de subespacio vectorial podemos definir una estructura deespacio vectorial en un conjunto cociente.

Definicion 2.4 Sea U un subespacio vectorial de V . En V se define la siguienterelacion binaria R:

vRw si v − w ∈ U.Entonces R es una relacion de equivalencia en V . Al conjunto cociente se denotapor V/U . Es evidente que la clase de equivalencia de un vector v es

[v] = v + U = {v + u; u ∈ U}.

En V/U se define la siguiente suma y producto por escalares:

(v + U) + (w + U) = (v + w) + U.

λ(v + U) = (λv) + U.

Estas operaciones estan bien definidas: por ejemplo, si v + U = v′ + U y w + U =w′ + U , v − v′ ∈ U , w − w′ ∈ U y por tanto, (v + w) + U = (v′ + w′) + U .

Proposicion 2.3 V/U es un espacio vectorial. El elemento neutro es 0 + U y siv + U ∈ V/U , su elemento opuesto es (−v) + U .

3 Sistema de generadores. Dependencia lineal

Definicion 3.1 Sean X = {v1, . . . , vn} un conjunto de vectores de un espacio vec-torial V . Una combinacion lineal de X es una suma del tipo

a1v1 + . . .+ anvn, ai ∈ R



Se llama subespacio vectorial generados por X al conjunto de combinaciones lineales:

< X >=< v1, . . . , vn >= L({X}) = L({v1, . . . , vn}) = {n∑

i=1

aivi; ai ∈ R}.

Proposicion 3.1 Se tienen las siguientes propiedades:

1. < X > es un subespacio vectorial. Si el cardina de X es 1, se dice que < v >es la recta vectorial generada por v.

2. Si X ⊂ U , donde U es un subespacio vectorial, entonces < X >⊂ U .

3. Si X ⊂ Y , entonces < X >⊂< Y >.

Como ejemplos tenemos:

1. En R3, < (1, 0, 1), (0, 1, 1) >= {(x, y, z) ∈ R

3; x− z = 0, y − z = 0}.2. R

2 =< (1, 1), (0, 2) >.

3. Rn =< (1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1) >.

4. Si X es Y son dos conjuntos finitos de vectores, entonces < X > + < Y >=<X ∪ Y >.

Definicion 3.2 Un espacio vectorial V se llama finitamente generado si existe unconjunto finito de vectores X tal que < X >= V . A X se llama un sistema degeneradores de V .

De esta forma, {1, X, . . . , Xn} es un sistema de generadores de Pn[X].

Proposicion 3.2 1. SI X es un sistema de generadores, y X ⊂ Y , entonces Ytambien es un sistema de generadores.



2. Si {v1, . . . , vn} es un sistema de generadores y v1 es combinacion lineal de losdemas, entonces {v2, . . . , vn} es un sistema de generadores de V .

3. Si {v1, . . . , vn} es un sistema de generadores y v = λ1v1 + . . . + λnvn, conλ1 = 0. Entonces {v, v2, . . . , vn} es un sistema de generadores de V .

4. Un subespacio vectorial de un espacio vectorial finitamente generado, tambienes finitamente generado.

Definicion 3.3 Un conjunto de vectores {v1, . . . , vn} se dice que es linealmente in-dependiente (o que forman un conjunto de vectores libre) si la unica combinacionlineal nula de ellos es la trivial, es dcir, si siempre que se tenga

∑i=1 λivi = 0,

entonces λi = 0 para cada i. En caso contrario, se dice que son linealmente depen-dientes.

Proposicion 3.3 1. {v} es linealmente independiente si y y solo si es no nulo.

2. Dos vectores son linealmente independientes si no son proporcionales.

3. Todo subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independiente, tambienes linealmente independiente.

4. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno de ellos es com-binacion lineal de los demas.

1. {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} ⊂ R3 son linealmente independientes.

2. {(1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)} ⊂ Rn es linealmente independientes.

3. {1, 1 +X, 1 +X2} ⊂ P2[X] es linealmente independiente.

Definicion 3.4 Una base de un espacio vectorial es un sistema de generadores ylinealmente independiente.

1. {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} ⊂ R3 no es base.



2. {(1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)} ⊂ Rn es base. Se llamara la base usual de R

n.

3. {1, 1 +X, 1 +X2} ⊂ P2[X] es base.

Se tiene la siguiente caracterizacion de base.

Proposicion 3.4 Sea B = {v1, . . . , vn} un conjunto de vectores de un espacio vec-torial. Entonces este conjunto es una base si y solamente si para cada v ∈ V , existenunicos λi ∈ R tales que v =

∑ni=1 λivi. A estos numeros se le llaman coordenadas

de v respecto de la base B y se escribira (λ1, . . . , λn).

A partir de ahora vamos a demostrar que en un espacio vectorial dado, elcardinal de las bases de dicho espacio es siempre el mismo. Primero resolvemos elproblema de la existencia de bases en un espacio finitamente generado.

Proposicion 3.5 Sean X e Y dos conjuntos finitos de un espacio vectorial, talesque X ⊂ Y , X es linealmente independiente e Y es un sistema de generadores.Entonces existe una base B de V tal que X ⊂ B ⊂ Y .

Como consecuencia

Corolario 3.1 Si v es un vector no nulo, v pertenece a una base.

Corolario 3.2 Dado un conjunto de vectores linealmente independientes, siemprees posible anadir vectores hasta tener una base (completacion).

Corolario 3.3 En todo sistema de generadores, existe un subconjunto suyo que esbase.

Lema 3.1 Sea B = {e1, . . . , en} una base de un espacio vectorial. Sea v ∈ V yv =

∑ni=1 λivi. Si λ1 = 0, entonces {v, e2, . . . , en} es una base de V .



Teorema 3.1 (de la base) Sea V un espacio vectorial finitamente generado. En-tonces todas las bases de V tienen el mismo cardinal, al que se llamara dimensionde V .

Corolario 3.4 Sea V un espacio vectorial de dimension n. Sea X = {e1, . . . , em}un conjunto de vectores linealmente independiente (resp. sistema de generadores).Entonces m ≤ n (resp. m ≥ n). Ademas se tiene la igualdad si y solamente si Xes base.

Corolario 3.5 Si U es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V , entoncesdim(U) ≤ dim(V ) y la igualdad se tiene si y solamente U = V .

Se tiene los siguiente ejemplos de dimensiones de espacios vectoriales:

1. Por definicion dim(0) = 0.

2. La dimension de Rn es n.

3. La dimension de Pn[X] es n + 1.

Teorema 3.2 1. Si V y V ′ son dos espacios vectoriales, entonces dim(V ×V ′) =dim(V ) + dim(V ′).

2. Si V es un espacio vectorial y V ′ es un conjunto biyectivo con V , entoncesdim(V ′) = V , considerando en V ′ la estructura vectorial inducida por labiyeccion.

3. Si U y W son dos subespacios vectoriales, entonces dim(U +W ) = dim(U) +dim(W ) − dim(U ∩ W ). Como caso particular, si V = U ⊕ W , entoncesdim(V ) = dim(U) + dim(W ).

4. Si U es un subespacio vectorial, entonces dim(V/U) = dim(V ) − dim(U).

Demostracion : 1. Si {e1, . . . , en} y {e′1, . . . , e′m} son bases de V y V ′ respectiva-mente, entonces una base de V ×V ′ es {(e1, 0), . . . , (en, 0), (0, e′1), . . . , (0, e

′m)}.



2. Sea f : V → V ′ la biyeccion. Si {e1, . . . , en} es una base de V , entonces{f(e1), . . . , f(en)} es una base de V ′.

3. Si {e1, . . . , ek} es una base de U ∩W , {e1, . . . , ek, u1, . . . , um} es base de Uy {e1, . . . , en, w1, . . . , wr} es base de W , entonces una base de U + W es{e1, . . . , en, u1, . . . , um, w1, . . . , wr}. En particular, V = U ⊕ W si y solo sila union de una base de U y otra de W es una base de V .

4. Si {e1, . . . , em} es una base de U y {e1, . . . , em, em+1, . . . , en} es una base deV , entonces {em+1 + U, . . . , en + U} es una base de V/U .

q.e.d


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