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7/18/2019 Tema 2 Funciones Variables
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7/18/2019 Tema 2 Funciones Variables
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FUNCIÓN VECTORIAL
Teorema 1
Sean f , g y h funciones reales de la variable real t. Entonces se define lafunción vectorial F por medio de:
F(t) = f(t) + g(t) + h(t) = [ f(t), g(t), h(t)]
Donde la función o ecuación vectorial F(t) asigna a cada escalar t en unintervalo o dominio, un vector F(t) o contradominio.
A las funciones vectoriales se les llama también campos vectoriales y hay dedos tipos:
1. Campos vectoriales de variable escalar.
2. Campos vectoriales de variable vectorial.
2
Tema 2 Funciones Variables
Ejemplo: Encontrar el dominio de la función vectorial
= 2 ( 3)− ln
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FUNCIÓN VECTORIAL Teorema 2
Una función o campo vectorial de variable escalar (o real) es una reglaque asocia a cada número real t de un conjunto S ⊂ ℝ, uno y sólo un vector(t) ℝ.
Para 1 dimensión m = 1 : ℝ → ℝ
F(t) = f(t)
Para 2 dimensiones m = 2 : ℝ → ℝ
F(t) = f(t) + g(t)
Para 3 dimensiones m = 3 : ℝ → ℝ
F(t) = f(t) + g(t) + h(t) 3
Tema 2 Funciones Variables
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FUNCIÓN VECTORIAL
Ejercicios: Determinar que dimensión tiene el contradominio de lasfunciones vectoriales, así como el dominio de ellas.
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Tema 2 Funciones Variables
=
= ( sin ) (1 cos )
= ( )
= cos sin
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FUNCIÓN VECTORIAL Teorema 3
Una función o campo vectorial de variable vectorial es una regla queasocia a cada vector r=(x 1, x 2 , …, x n ) de un conjunto S ⊂ ℝ, uno y sólo unvector (t) ℝ.
Para vector de 2 variables y 1 dimensión n = 2, m = 1 : ℝ
→ ℝ
F(t,s) = f(t,s)
Para vector de 2 variables y 3 dimensiones n = 2, m = 3 : ℝ → ℝ
F(t,s) = f(t,s) + g(t,s) + h(t,s)
Para vector de 3 variables y 2 dimensiones n = 3, m = 2 : ℝ → ℝ
F(t,s,u) = f(t,s,u) + g(t,s,u) 5
Tema 2 Funciones Variables
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FUNCIÓN VECTORIAL
Ejercicios: Determinar que dimensión tiene el contradominio de lasfunciones vectoriales, así como el dominio de ellas.
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Tema 2 Funciones Variables
, = 1 1 2 = 2 , = 3 , = 4 , = 5 = 1 0 , = 2 , = 1 , = 3
, = cos sin = 2 , =
2 = 2 , = 2 = = 3
2
. , = sin cos cos sin =
2 , = , = 2 = , = , = 3
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FUNCIÓN VECTORIAL
Teorema 4
Dadas las funciones vectoriales F y G y las función real f :
•
Suma (F + G) (t) = F(t) + G(t)• Diferencia (F – G) (t) = F(t) – G(t)
• Producto punto (F ∙ G) (t) = F(t) ∙ G(t)
• Producto cruz (F × G) (t) = F(t) × G(t)
• Producto función real ( f F) (t) = f (t) F(t)
• Función compuesta (G ° f ) (t) = G( f (t) )
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Tema 2 Funciones Variables
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FUNCIÓN VECTORIAL
Producto punto
Dadas las funciones vectoriales
= (, , ) = (, , )
⋅ = ∗ ∗ ( ∗ )
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Tema 2 Funciones Variables
Producto cruz
Dadas las funciones vectoriales
= (, ) = (, ) × = ∗ ∗
= (, , ) = (, , )
× = ( )
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FUNCIÓN VECTORIAL
Ejemplo: Calcule el producto punto y el producto cruz
= (1,2) G = (4,3)
= (4,0,2) G = (5,2, 1)
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Tema 2 Funciones Variables
*Ejercicio: Calcule el producto punto y el producto cruz
= (2,0) G = (1,1)
= 3 2 G = 6 7 2
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Teorema 5
Sea F(r) una función vectorial, entonces L es el vector límite de F(r) cuandor tiene a r0 , y se expresa como
lim→
=
Si y solo si para > 0 existe δ > 0 tal que:
< siempre que 0 < <
10
Tema 2 Funciones Variables
Teorema 6Sea : ℝ → ℝ definida por = , , … , () entonces:
lim→
() = lim→
, lim→
() , … , lim→
()
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Teorema 7
Sean: : ℝ → ℝ, G: ℝ → ℝ, lim→
() = , lim→
() =
Entonces:
1. Si A existe, es único.
2. lim→
± () = ±
3. lim→
() ∙ () = ∙
4. Para m = 3, lim→
() × () = ×
5. lim→
| | = ||
11
Tema 2 Funciones Variables
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Ejemplos: Encontrar los límites de las funciones vectoriales cuando t tiendea los valores dados.
→ 0 = cos 2 3
→ 1 =
−
−
−
||
→ (1,1) , = arctan() ln
−+
−
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Ejercicios: Determinar los límites de las funciones vectoriales.
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Tema 2 Funciones Variables
F = 2 4 2
→ 2
F = sin cos sin
→ 0
F = + − (1 )
→ 0
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Teorema 8
La función vectorial F es continua en r0 , sí y sólo si se satisfacen las 3condiciones:
1. F(r0 ) existe.
2. lim→
().
3. lim→
() = 0 .
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Tema 2 Funciones Variables
Ejemplo: Encontrar los puntos donde la función es continua
, = sin ln 1 1
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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Teorema 9
Sea F una función vectorial de variable escalar.
= , , … , () →()
=
, , … , ′()
Sea F una función vectorial de variable vectorial.
= , , … , () →
=
,
, … ,
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Tema 2 Funciones Variables
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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
16
Tema 2 Funciones Variables
Ejercicio: Calcular la primera y segunda derivada de la función vectorial.
= ln 1 1
sin
Ejercicio: Encontrar las primeras derivadas parciales y la mixta de lafunción vectorial.
, = s in ln() −
Ejemplo: Calcular la primera y segunda derivada de la función vectorial.
= sin ln tan
Ejemplo: Encontrar las primeras derivadas parciales y la mixta de la
función vectorial. , = ln cos
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REGLA DE LA CADENA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Teorema 10
Sea F una función vectorial, h una función real y G una función vectorialdefinida por G(t)=F(h(s)), si =h(s) entonces la regla de la cadena nos dice:
()
=
(ℎ())
=
()
=
()
ℎ()
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Tema 2 Funciones Variables
Ejemplo: Encontrar las primeras derivadas parciales, usar la regla de lacadena.
, = = =
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J ACOBIANO
Teorema 11
Sea F una función vectorial, se le llama matriz jacobiana o gradiante de F [grad(F) o ] a la siguiente matriz:
=
=
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
Si m=n se puede calcular su determinante y se llama jacobiano.
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Tema 2 Funciones Variables
Ejemplo: Encontrar de la función vectorial.
, , = ln cos()
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Teorema 13
Las ecuaciones paramétricas de una curva no son únicas.
Ejemplo: Encontrar las ecuaciones paramétricas de:
= 1
a) =
b) =
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Tema 2 Funciones Variables
Ejercicio: Encontrar las ecuaciones paramétricas de:
= 1
a) =
b) = c o s
CURVAS EN R3
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Integral definida = =
donde C(t) es un vector constante.
Parametrización o Desplazamiento = = ()
Velocidad =
= ′()
Longitud de arco = ′() ′() ′()
= ′()
=
Diferencial de longitud de arco = ′() =
= ′() ′() ′() dt
Parametrización con longitud de arco
= → → = ()
() → ()
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Tema 2 Funciones Variables
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Ejemplos:
Determine la función vectorial más general cuya derivada sea
= sin 3 cos 2
Obtenga el vector para el cual:
′ = − 3 0 = 6
Calcular la longitud de arco de la curva representada por la funciónvectorial en el intervalo
[0,2] = ( sin ) (1 cos )
Calcular la longitud de arco descrita por el punto terminal de latrayectoria r(t) conforme t se incrementa de 1 a 4.
= sin cos
Parametrizar la función utilizando la longitud de arco como parámetro.
= sin cos
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Tema 2 Funciones Variables
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Ejercicio: Obtenga los vectores para los cuales:
( ) =
− 3 0 = 6
() = (sin ) 2(cos ) r = 0 0 0
23
Tema 2 Funciones Variables
Ejercicio: Calcular la longitud de arco de la curva representada por lafunción vectorial en los intervalos mencionados.
= 1 1 2 [1,2]
= sin cos
Ejercicio: Parametrizar la función utilizando la longitud de arco comoparámetro.
= cos sin
= 2 0 = 0
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Vector Tangente = =
Vector Tangente Unitario =()
()=
= ′()
( ) ⊥ = 1
Vector de magnitud constante ∙ ´ = 0 ⊥ ´ Vector siempre paralelo × ´ = 0 ∥ ´
Ecuaciones recta tangente a la curva en P 0
′()=
′()=
′()
Ecuación del plano normal a la curva en P 0
= 0
Vector Normal Unitario =()
()=
()×() ×()
()×() ×()=
⊥ ∥ = 1
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Curvatura = ′() = ()()
= ()×()()
Radio de curvatura =
Vector curvatura = =()
()
Vector Unitario Binormal = × = ()×()()×()
= × = sin
= 1
∥ [ × ] ⊥ ′()
⊥ ⊥ ∙ = 0
′() ⊥ ′() ∥
Triedro = × = × = ×
Torsión = ′() = ∙ =()∙ ()×()
()×()
Radio de torsión =
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Ejemplos:
Obtener T,N y B
= 3 3
Obtenga el triedro móvil T, N y B
= cos sin
Obtener T, N y B en = 0 .
= s i n c o s
Obtenga el triedro móvil en el punto , 2,4 . = sin 1 cos 4 sin
2
Obtenga el triedro móvil, considere s la longitud de arco.
= cos
sin
26
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Ejemplos:
Obtener ,, , en cualquier punto t.
= cos sin
Obtenga la curvatura, la torsión y sus radios en cualquier punto t.
= 1
2 l n 2
Obtener ,, , en cualquier punto t y en = 0.
= s i n c o s
Obtenga los valores de t para los cuales los radios de curvatura y detorsión , sean mínimos.
= 3 3 3
Obtenga ,, ,, considere s la longitud de arco.
= cos sin
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Ejemplos:
Obtener las ecuaciones de la recta tangente a la curva en el punto = .
= sin 2 cos 2
Obtenga la ecuación del plano normal a la curva con ecuacionesparamétricas ,, en el punto = .
= c o s
= 3 sin 2
= 1 cos 3 Dada la superficie, determinar las ecuaciones paramétricas de la recta
normal y la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto(0,2,
).
, = cos sin 28
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Ejercicio: Obtener el triedro móvil en = .
= ln sin 5
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Tema 2 Funciones Variables
Ejercicio: Obtener la curvatura, la torsión y sus radios en = .
= ln sin 5
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Plano oscilador T y N
Plano rectificador T y B
Plano normal N y B
Fórmulas de Frenet Serret
= =
= =
= =
Relaciones de Frenet Serret
∙
= ∙ =
∙
= ∙ =
∙
= ∙ =
Curva es una línea recta = 0
τ = 0
30
Tema 2 Funciones Variables
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Ejemplo: Dada la curva, determinar las ecuaciones de los planos oscilador(osculador), rectificador y normal.
= (3 2) ( 4) (2 1)
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Tema 2 Funciones Variables
Ejercicio: Obtener los planos oscilador, rectificador y normal en el punto
de
() = (sin cos ) (cos sin ) 2
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3 CINEMÁTICA
Vector desplazamiento = ()
Vector velocidad v(t )=r’(t)
Rapidez = v() = =
Vector aceleración = = =
= ó
ó í
=()∙()
()=
∙
= = v() =
×
=
Curvatura =×
()
Torsión =×∙()
× =
×
32
Tema 2 Funciones Variables
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3 CINEMÁTICA
33
Tema 2 Funciones Variables
Ejemplos:
Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración de unapartícula que se mueve en la hélice de ecuación:
= cos sin
Obtenga la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula que semueve sobre la curva en el punto (2, 1,4) . También calcular lascomponentes tangencial y normal de la aceleración.
= 2 ( 1)
Ejercicio: Obtenga la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula quese mueve sobre la curva en =
. También calcular las componentestangencial y normal de la aceleración.
= 2 3 3
2
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
MOVIMIENTO CIRCULAR
Velocidad angular =
= ′
Aceleración angular =
=
Longitud de arco =
Rapidez =
Aceleración tangencial =
Aceleración normal =
Aceleración =
1 rps (rev. por seg.) 2
1 rpm (rev. por min.)
Fuerza = 34
Tema 2 Funciones Variables
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35
Tema 2 Funciones Variables
Ejemplos:
Calcular la fuerza que actúa sobre un objeto de masa m que se mueve enla trayectoria:
= cos β sin
Un niño juega con una pelota que está unida a un hilo. El niño la hacegirar con una velocidad constante (angular) de 3 revoluciones por segundoy la longitud del hilo es de 0.5m. Si la masa de la pelita es de 0.3 kg y elpeso del hilo es despreciable. Calcular la fuerza ejercida por la pelotasobre el hilo.
= cos β sin
APLICACIONES DE CURVAS EN R3
MOVIMIENTO CIRCULAR
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APLICACIONES DE CURVAS EN R3
Ejercicio de repaso: Obtenga s ,,,,,, , y las ecuaciones de los planos
oscilador, rectificador y normal, para la curva
= cos sin sin
36
Tema 2 Funciones Variables
Ejercicio de repaso: Obtener la velocidad, rapidez, aceleración,componentes tangencial y normal en el punto = 2.
= 4 4 8 3
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Teorema 14
Sea F una función vectorial
, = , = , , ℎ , =
Los parámetros u y v se conocen como coordenadas curvilíneas y las curvas = y = donde y son constantes se conocen como curvasparamétricas.
37
Tema 2 Funciones Variables
SUPERFICIES EN R3
Teorema 15
Si
×
≠ 0 en un punto, asegura la existencia de un plano tangente en ese
punto, y se le conoce como punto ordinario. Una superficie formada deúnicamente puntos ordinarios se le llama superficie suave.
Si
×
= 0 en un punto, se le conoce como punto singular.
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Función escalar
Sea f una función escalar, su gradiente es un vector o tensor de primerorden.
= =
38
Tema 2 Funciones Variables
GRADIENTE
Función vectorial
Sea F un función vectorial, su gradiente es una matriz jacobiana o tensor desegundo orden.
= =
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Propiedades
=
=
=
=
≠ 0
= det () Jacobiano
39
Tema 2 Funciones Variables
GRADIENTE
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Función escalar
Sea f un función escalar, su divergencia es siempre nula.
40
Tema 2 Funciones Variables
DIVERGENCIA
Función vectorial
Sea F un función vectorial, su divergencia será siempre un escalar.
= ∙ =
Fluidos compresibles e incompresibles
Sea V un campo de velocidades de un fluido en movimiento en cualquierpunto, entonces la divergencia de V representa la razón de expansión delfluido por unidad de volumen.
∙ < 0 El fluido se está comprimiendo.
∙ > 0 El fluido se está expandiendo.
∙ = 0 El fluido es incomprensible.
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Campo solenoidal
En un cierto punto P, la divergencia de un campo F puede ser:
∙ < 0 P es un punto sumidero.
∙ > 0 P es un punto manantial o surgente. ∙ = 0 para todo P, F es un campo solenoidal.
41
Tema 2 Funciones Variables
DIVERGENCIA
Propiedades
∙ = ∙ ∙ ∙ = ( ∙ ) ∙
∙ × = ∙ × ( × )
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Función escalar
Sea f un función escalar, su rotacional es siempre cero.
43
Tema 2 Funciones Variables
ROTACIONAL
Función vectorial
Sea F un función vectorial, su rotacional será siempre un vector.
= × =
Definición
El rotacional es una medida de la rotación o vorticidad local de una partículadentro de un flujo, por esta razón, se le conoce también como campovorticoso.
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Irrotacional
Si se cumple × = 0 se dice que es un flujo irrotacional, es decir, lacorriente del fluido está libre de vórtices o remolinos. Si se cumple la mismacondición pero para una fuerza eléctrica E , × = 0, se dice que solamenteexisten fuerzas electrostáticas.
Si se cumple la condición para una fuerza F , es decir, × = 0 se dice quela fuerza o campo F es una fuerza o campo conservativo, donde F se puedeexpresar como el gradiente de una función escalar llamado potencial
44
Tema 2 Funciones Variables
ROTACIONAL
Propiedades
× = × ×
× = ( × ) ×
× × = ∙ ∙ ∙ ∙
Donde ( ∙ ) =
( ∙ ) =
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Aplicación 1 (Ecuaciones de Maxwell)
Intensidad de campo magnético × =
densidad de corriente
Intensidad de campo eléctrico × =
Si es 0 es irrotacional y
existe potencial eléctrico
45
Tema 2 Funciones Variables
ROTACIONAL
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Función escalar
Sea f un función escalar, su laplaciano es siempre un escalar.
= ∙ () =
46
Tema 2 Funciones Variables
L APLACIANO
Función vectorial
Sea F un función vectorial, su laplaciano será siempre un vector.
= ∙ ( ) =
Definición
Se define al operador laplaciano como la divergencia del gradiente.
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Función armónica
Si el laplaciano de una función es 0, = 0, se dice que la función esarmónica y la ecuación iguala a 0 se llama ecuación de Laplace.
47
Tema 2 Funciones Variables
L APLACIANO
Otros operadores
Rotacional de un gradiente × = 0
Gradiente de una divergencia ∙
Divergencia de un rotacional ∙ × Rotacional de un rotacional × × = ∙
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48
Tema 2 Funciones Variables
Ejemplos:
Calcular la divergencia, el rotacional y el laplaciano de
= 5 4 2
Determinar los valores de a para que el vector sea solenoidal.
= ( 3) ( 2) ( )
Obtener los valores de a,b,c para que el campo sea irrotacional.
= ( 2 ) ( 3 ) (4 2)
Calcular desarrollando × ( ∙ ) = ( ) ( ) (4)
Determinar si la función potencial del campo es función armónica.
=
DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO
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7/18/2019 Tema 2 Funciones Variables
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50
Tema 2 Funciones Variables
Un cambio de coordenadas es una transformación
= (, , ) = (, , ) = (, , )
= (, , ) = (, , ) z = (, , )
El vector posición de un punto será: = =
Para que exista una transformación de coordenadas entre los 2 sistemas , el jacobiano debe ser diferente de cero.
,,,, ≠ 0 ó ,,,, ≠ 0
COORDENADAS CURVILÍNEAS
Ejemplo: Determinar si las ecuaciones de transformación definen unsistema de coordenadas curvilíneas.
= 2 3 = 4 12 9 =
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Si se fija una de las variables como puede ser (, , ) = 1, es decir, = (1, , ) entonces se denomina superficie coordenada.
Si se fijan dos de las variables = (, 2, 3) se denomina curvacoordenada.
Un punto en ℝ se puede definir a partir de la intersección de las 3superficies coordenadas o de las 3 curvas coordenadas.
Un punto en ℝ se define por su vector posición, el cual se expresa por mediode vectores base, unitarios mutuamente ortogonales. Para coordenadascurvilíneas existen 2 tipos de vectores base.
COORDENADAS CURVILÍNEAS
T F i V i bl
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Tema 2 Funciones Variables
COORDENADAS CURVILÍNEAS
Vectores normales a las superficies coordenadas.
=
=
=
= = =
Vectores tangentes a las curvas coordenadas.
=
=
=
ℎ =
ℎ =
ℎ =
Los valores ℎ, ℎ, ℎ, , , se les llama factores de escala.
Un sistema de coordenadas curvilíneas es ortogonal si
∙ = ∙ = ∙ = 0
T 2 F i V i bl
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Además se cumple:
=
=
=
= = =
, ,,,
= ∙ × = = 1ℎℎℎ
, ,, ,
= ∙ × = ℎℎℎ =1
, ,,,
,,, , = 1
COORDENADAS CURVILÍNEAS
Ejemplo: Determinar si los sistemas de coordenadas son ortogonales.
= 2 = 2 =
= 4 3 = 3 4
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T 2 F i V i bl
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COORDENADAS CURVILÍNEAS
El gradiente en coordenadas curvilíneas es:
=1
ℎ
1
ℎ
1
ℎ
=
La divergencia en coordenadas curvilíneas es:
=
∙ =1
ℎℎℎ
(ℎℎ )
(ℎℎ )
(ℎℎ )
El laplaciano en coordenadas curvilíneas es:
=1
ℎℎℎ
ℎℎ
ℎ
ℎℎ
ℎ
ℎℎ
ℎ
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COORDENADAS CURVILÍNEAS El rotacional en coordenada curvilíneas es:
× =
ℎℎ
(ℎ )
(ℎ )
ℎℎ
(ℎ )
(ℎ )
ℎℎ
(ℎ )
(ℎ )
Ejemplo: Sea la función , = 3− definida en el sistema de
coordenadas dado por
= =
Determinar el gradiente referido a las bases , , , , , y el laplacianode f .
Ejercicio: Sea la función , = 2 definida en el sistema decoordenadas dado por
= = =
Determinar el gradiente referido a las bases y el