Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

Campos Electromagneticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla

Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

1. Breve resena historica: Fenomenos electricos y magneticos. Importancia del Electromag-netismo. La descripcion mediante campos.

2. La carga electrica: Naturaleza. Propiedades. Distribuciones de carga. Densidades superficialesy lineales.

3. Corriente electrica: Concepto de intensidad. Concepto de densidad de corriente. Corrientessuperficiales y filiformes. Ley de conservacion de la carga.

4. Ecuaciones de Maxwell en el vacıo: Campos Electrico y Magnetico. Formulacion local.Compatibilidad de las ecuaciones.

5. Fuerza de Lorentz: Fuerza general sobre cargas. Fuerza sobre distribuciones. Transformaciongalileana de los campos.

6. Forma integral de las Ecuaciones de Maxwell: Ley de Gauss. Ley de inexistencia demonopolos. Ley de Faraday. Ley de Ampere-Maxwell.

7. Discontinuidades de los campos: Discontinuidad del campo electrico al atravesar unadistribucion superficial de carga. Discontinuidad del campo magnetico al atravesar una distribucionsuperficial de corriente. Balance de carga en una superficie.

8. Conservacion de la energıa: Trabajo de las fuerzas electromagneticas. Teorema de Poynting.Energıas electrica y magnetica. Vector de Poynting.

2.1. Breve resena historica

• Fenomenos electricos y magneticos

Las primeras noticias de lo que hoy conocemos como fenomenos electromagneticos provienendel mundo griego. Hacia el ano 600 a.C. los filosofos helenos habıan ya observado que al frotartrozos de ambar estos adquirıan la capacidad de atraer pequenos fragmentos de papiro y paja. (Lapalabra electron proviene de la voz griega para ambar) Asimismo, observaron que ciertas piedrasprovenientes de la isla de Magnesia (la magnetita) eran capaces de atraer trozos de hierro.

Sin embargo, estos fenomenos no comenzaron a estudiarse intensivamente hasta el principio dela edad moderna (aunque hay que senalar el descubrimiento de la brujula, fenomeno puramentemagnetico, de importancia capital en la historia de la Humanidad). En su obra De magnete (1600),William Gilbert establece por primera vez la distincion entre los dos fenomenos, electricidad ymagnetismo. A partir de este momento las investigaciones se intensifican, pero es sobre todo apartir de la segunda mitad del siglo XVII cuando se empiezan a establecer las bases de lo que hoydenominamos electromagnetismo clasico.

Hay que destacar los trabajos experimentales de Cavendish y Coulomb, que establecieron la leyde atraccion entre cargas electricas. En particular las experiencias de Coulomb consistieron en la

Tema 2: Postulados del Electromagnetismo 1


medida de la fuerza, mediante una balanza de torsion, que sufre una esferilla conductora cargadacuando se le acerca otra esferilla tambien cargada. El resultado de sus observaciones se resumieronen la formula bien conocida analoga a la ley de atraccion de masas de Newton:

F = kqq′

r2,

donde intervienen las dos cargas q y q′, la distancia entre ambas y una constante universal k, paradar la fuerza medida F . Comprobo que dicha fuerza es atractiva o repulsiva dependiendo del tipode electrificacion de las esferas, y que su direccion era segun la recta que las unıa.

La invencion de la pila electrica por Volta (1800), permitio generar corrientes electricas per-manentes, lo cual llevo al descubrimiento de nuevos fenomenos. En particular, en 1820 Oersteddescubrio la primera relacion experimental entre electricidad y magnetismo, al observar que unacorriente electrica era capaz de desviar una aguja imantada (una brujula). En 1831, el fısico inglesMichael Faraday realizo el descubrimiento inverso, un iman en movimiento era capaz de produciruna corriente electrica transitoria. Las ideas de Faraday sobre electricidad y magnetismo fueronampliadas y formuladas matematicamente por James Clerk Maxwell, quien en 1872 presento susfamosas ecuaciones, donde se muestra que la electricidad y el magnetismo, junto con los fenomenosde la optica, obedecen un conjunto unico de leyes. A partir de este momento, todos estos fenomenosse engloban bajo el termino electromagnetismo.

• Importancia del electromagnetismo

En la actualidad se considera que solo existen cuatro interacciones fundamentales en la Natu-raleza: gravitatoria, electromagnetica, fuerza fuerte y fuerza debil. Las dos ultimas solo se dejansentir dentro de los nucleos atomicos (distancias del orden de 10−15m) y son responsables de lacohesion de los nucleos (la fuerza fuerte) y de los fenomenos radioactivos (la fuerza debil).

La fuerza gravitatoria y la electromagnetica son fuerzas de largo alcance, es decir, sus efectosse dejan sentir entre cuerpos separados por distancias muy grandes. La primera es unicamenteatractiva, mientras que la segunda puede ser atractiva o repulsiva. De las dos, la mas intensa esla electromagnetica. Ası, entre dos electrones en reposo la fuerza electrica es aproximadamente1036 veces mas intensa que la fuerza gravitatoria. La razon de que la interaccion gravitatoria seadominante a escala astronomica es la casi perfecta neutralidad de los cuerpos macroscopicos.

En nuestra vida corriente la interaccion electromagnetica es de largo la mas importante. Dehecho, puede decirse que salvo los fenomenos relacionados con el peso, todo lo que nos rodea eselectromagnetismo. La estructura de la materia esta formada por partıculas (protones, electrones,neutrones) que interaccionan por medio de la electricidad y el magnetismo, produciendo distintosestados de agregacion (solidos, lıquidos, gases). En ultima instancia, la impenetrabilidad de lossolidos, poder pisar suelo firme, se debe a esta interaccion. Todos los procesos quımicos, desde elmotor de combustion hasta los procesos biologicos se basan en el electromagnetismo. Y toda laenergıa que recibimos del Sol, gracias a la cual existe la vida sobre la Tierra, llega en forma deondas electromagneticas.

Hablando ya en un nivel ligado a nuestra propia civilizacion, podemos argumentar que todolo relativo a telecomunicaciones, radio y television se apoya en la existencia de ondas electro-magneticas. Las instalaciones electricas de una casa o de una fabrica, o los circuitos integradosque permiten la construccion de ordenadores se basan en el fenomeno de la corriente electrica. Eltipo de energıa mas utilizado en la vida cotidiana es la electrica.



• Descripcion mediante campos

Los fenomenos electromagneticos se manifiestan como fuerzas que actuan entre partıculas ocuerpos materiales (cargas electricas, imanes, corrientes, etc). En principio se intento explicarestas interacciones basandose en el principio de accion a distancia: una partıcula ejerce una fuerzasobre otra situada a una cierta distancia, y la informacion se transmite instantaneamente. Ası escomo Newton trata la interaccion gravitatoria en los Principia (1687).

Sin embargo, esta vision plantea algunos problemas conceptuales. En la vida real la informacionsobre un acontecimiento tarda un cierto tiempo en llegar desde el lugar en que se produce (yasean los cotilleos en un bloque de vecinos o la publicacion de las notas de un examen). Estey otros problemas indujeron a Michael Faraday a introducir la idea de que la interaccion entredos cuerpos cargados o magnetizados no ocurre directamente, sino que se produce a traves deun agente mediador, que es el campo electromagnetico. Ası, al colocar una carga electrica en unpunto, esta crea una perturbacion en el medio que la rodea (que hoy llamamos campo electrico).Si otra partıcula cargada se coloca en ese espacio, el campo en ese punto ejerce una fuerza sobreella. Si se modifica el valor de la primera carga, esta modificacion se traslada al campo, que a suvez la traslada a la segunda partıcula, variando la fuerza ejercida sobre ella.

En un principio la introduccion de este campo puede parecer un artificio destinado a facilitarlos calculos, y ası se trato durante algun tiempo por gran parte de la comunidad cientıfica. Sinembargo, posteriormente se comprendio que el campo electromagnetico posee realidad fısica ensı mismo, entendiendose como tal que es capaz de almacenar y transportar energıa y momentolineal y cinetico.

2.2. La carga electrica

La carga electrica es una cualidad de la materia responsable de la interaccion electromagneticaentre distintas partıculas.

La carga electrica posee las siguientes propiedades:

1. La carga es dual: existen dos tipos que se denominan positivo y negativo, discernible por elcomportamiento que partıculas cargadas con cada tipo muestran en su interaccion con otras dadas,y por la propiedad de neutralizar en cierta medida su efecto cuando se combinan.

2. La carga esta cuantizada: del conocimiento actual de las partıculas elementales se admiteque existe una carga mınima, que es la del electron para el tipo negativo y la del proton para elpositivo, ambas iguales en valor absoluto. Cualquier estado de agregacion de la materia posee unacarga multiplo de dicho valor.

3. La carga se conserva localmente: nunca se ha observado un fenomeno del cual resulte lacreacion neta de carga en un punto del espacio. Siempre que aparece (o se destruye) una carga enun punto, aparece (o se destruye) una carga opuesta en el mismo punto.

4. La carga es un invariante relativista: su medida da el mismo resultado en cualquier sistemade referencia, sea cual sea su velocidad.

La carga se simboliza habitualmente por la letra q. Su medida y la adopcion de la unidad debeposponerse hasta que se describan la interaccion electromagnetica y las condiciones experimentalesadecuadas para ello. Baste adelantar que la unidad en el Sistema Internacional es el Coulombio(C) y que la carga del electron es qe = −1,6 · 10−19 C.



Dado que la materia es discreta y la carga es una cualidad suya, la distribucion de la carga enel universo es discreta. Sin embargo, en la mayorıa de las situaciones que nos interesan, el numerode partıculas constituyentes es tan grande que es conveniente adoptar la hipotesis de mediocontinuo. Segun esta, en cada punto �r del espacio podemos definir una densidad volumetricade carga mediante la expresion

ρ(�r, t) =1

dτ

N∑i=1

qi,

siendo N el numero de partıculas cargadas encerradas en un volumen dτ que contiene al punto �r.El volumen elegido debe ser pequeno en relacion con las dimensiones caracterısticas del sistemaconsiderado, pero suficientemente grande para que las fluctuaciones en el valor de N sean pequenasen comparacion con N . En la mayorıa de las situaciones que estudiaremos es posible encontrar unvolumen dτ que cumpla ambas condiciones. Por tanto podremos considerar la carga asignada a unvolumen elemental dτ en el punto �r por dq = ρ(�r)dτ y aplicar el formalismo del calculo diferenciale integral desarrollado en el tema 1.

Si tenemos una sola especie cargada, con carga q y numero de partıculas por unidad de volumenigual a n(�r), la densidad resultara ser ρ(�r) = qn(�r). Si son s especies con cargas qi y densidadesni tendremos en general

ρ(�r, t) =s∑

i=1

qini(�r, t).

Ejemplo:Teniendo en cuenta que la densidad masica del cobre es ρm = 8,95 g/cm3, que cada atomo posee un electron deconduccion y que el peso atomico del cobre es Pa = 63,55 g/mol, hallese el numero de portadores de carga libres(electrones) para 1 mm3 de este material.

Si un mol posee NA = 6,022 · 1023 atomos de cobre, que ocupan un volumen τmol, la densidad de portadores(pasando todo a unidades del Sistema Internacional) es

n =NA

τmol=

NA

Pa/ρm=

ρmNA

Pa=

6,022 · 1023 · 895063,55 · 10−3

= 8,48 · 1028 m−3.

donde hemos usado que la masa de cobre correspondiente a un mol es Pa y por tanto ρm = Pa/τmol. En 1 mm3 decobre se incluyen entonces

N = nτ = 8,48 · 1028 · 10−9 = 8,48 · 1019 electrones.

Si el volumen considerado es de una micra cubica los electrones de conduccion incluidos son todavıa del ordende 1011, un numero suficientemente elevado para justificar una aproximacion de medio continuo.

En otras muchas ocasiones tendremos que tratar con distribuciones superficiales de carga (comoen el caso de conductores en equilibrio electrostatico, o el bombardeo de materiales aislantes conpartıculas cargadas que quedan depositadas en su superficie). Entonces se define analogamenteuna densidad superficial de carga como

ρS(�r) =1

ΔS

N∑i=1

qi,

con N las cargas encerradas en una porcion de area ΔS, de una capa muy delgada definida en unpunto �r de la superficie. La carga definida en una superficie elemental es dq = ρS(�r)dS.



Tambien es util, aunque de menor interes conceptual, la definicion de una densidad lineal de cargaλ(�r), de tal forma que la carga asociada a un elemento dl de una lınea cargada es dq = λ(�r)dl.

El concepto de densidad volumetrica de carga permite representar distribuciones discretas usandola funcion δ de Dirac. Un conjunto de n cargas qi localizadas en los puntos �ri se describe con lafuncion

ρ(�r) =n∑

i=1

qiδ(�r − �ri).

Ejemplo:Una esfera de radio R posee una distribucion volumetrica de carga con simetrıa radial, descrita por la funcion

ρ(r) ={

0 si 0 < r < R − dρ0 si R − d < r < R.

Se trata pues de una corteza uniformemente cargada de espesor d adyacente a la superficie de la esfera. Si elespesor d es pequeno en comparacion con R puede ser util definir una densidad superficial de carga que sustituyaa la distribucion en volumen. ¿Que relacion existe con la densidad volumetrica?

Para responder a esta cuestion debemos asignar a cada elemento de superficie dS una carga elemental dq. Ladensidad superficial sera entonces ρS = dq/dS. Si la superficie d�S subtiende un angulo solido dΩ desde el centrode la esfera, podemos escribir dS = R2dΩ y dq queda definida como la carga asociada a dicho angulo solido:

dq =∫ R

R−d

ρ0r2dr

∫dΩ(θ,φ)

senθdθdφ =ρ0

3[R3 − (R − d)3

]dΩ.

R

d�

dS

R-d

espesorcargado

rR-d R

�� r

��

Extrayendo un factor R3 del corchete y teniendo en cuenta la relacion entre dS y dΩ escribimos

dq =ρ0R

3

3[1 − (1 − d/R)3

]dΩ =

ρ0R

3[1 − (1 − d/R)3

]dS,

y por tantodq

dS=

ρ0R3

3[1 − (1 − d/R)3

].

Si, como se nos dice, d << R podemos simplificar el resultado desarrollando hasta el segundo termino el parentesis:1 − (1 − d/R)3 � 1 − [1 − 3(d/R)] = 3d/R. Sustituyendo obtenemos

ρS = ρ0d.

Es interesante notar que para que ρS tenga un valor apreciable desde el punto de vista macroscopico ρ0 debe sermuy grande, dado que d, el espesor de la distribucion, se dice que es muy pequeno. Si por ejemplo en una esferametalica de 1 cm de radio la carga se distribuye en una capa de 10−8 m y la carga total es de 10−7 C, tendremosρS = q/(4πR2) ∼ 10−4 C/m2, y ρ0 resulta ρ0 = ρS/d ∼ 104 C/m3.



Podemos extrapolar el resultado del ejemplo anterior a situaciones en las que ya no hay simetrıaradial. En general si tenemos una densidad volumetrica ρ(�r) restringida a una capa de espesore(�rS) adyacente a un punto �rS de una superficie S, el elemento de carga asociado a un dS definidoen un punto de la superficie es

dq = ρdτ = ρedS = ρSdS → ρS = ρe.

Igualmente, si la distribucion de carga es filiforme, podemos relacionar la densidad lineal decarga λ(�r) con la densidad volumetrica, esta vez tomando como volumen elemental un trozo dehilo de longitud dl y seccion S, en el cual se encierra una carga

dq = ρdτ = ρSdl = λdl → λ = ρS.

2.3. Corriente electrica

Se define intensidad de corriente electrica que atraviesa una superficie dada, S, en un sentidotambien especificado, como la carga neta que pasa en ese sentido por unidad de tiempo,

I =dq

dt.

Teniendo en cuenta la naturaleza discreta de los portadores de carga, para calcular la intensidadhabrıa que hacer un recuento estadıstico de portadores que en un intervalo Δt atraviesan lasuperficie en uno y otro sentido, multiplicar por la carga de cada uno (teniendo en cuenta el signo)y dividir por el intervalo temporal elegido. Segun la definicion, si en un determinado medio, dondeexisten portadores de cargas positivas y negativas, fijamos una superficie horizontal y elegimoscomo corriente positiva la que va de abajo hacia arriba, tendremos cuatro tipos de aportes: (1)cargas positivas que atarviesan subiendo; (2) cargas cargas positivas que atraviesan bajando; (3)cargas negativas que atarviesan subiendo, y (4) cargas cargas negativas que atraviesan bajando.De los cuatro, los aportes (1) y (4) son positivos y los aportes (2) y (3) son negativos.

�� q1

v1

�S

v t�

El caso mas simple e ideal es el de un solo tipo de portador con carga q1, con numero de partıculaspor unidad de volumen n1, todas moviendose con velocidad �v1; la carga que pasarıa a traves deuna superficie elemental Δ�S y la intensidad serıan (ver figura)

Δq = q1n1(�v1Δt) · Δ�S ⇒ ΔI = q1n1�v1 · Δ�S,



puesto que solo debemos considerar las cargas encerradas en un volumen cilındrico contiguo ala superficie, con directriz dada por el segmento �v1Δt. Si en una situacion general tenemos sespecies distintas, cada una con una carga qi y consideramos la velocidad media �vi de cada especie,podremos obtener la intensidad mediante la formula

ΔI =s∑

i=1

qini�vi · Δ�S.

Observamos que podemos definir en cada punto del espacio un vector que denominaremos densi-dad de corriente, dado por

�j =s∑

i=1

qini�vi.

La intensidad que atraviesa una superficie S queda finalmente expresada como

I =∫

S�j · d�S.

La unidad de intensidad de corriente en el S.I. es el amperio, simbolizado por .A”, cuyadefinicion operativa se vera en el proximo capıtulo, y que se corresponde con el paso a traves deuna superficie dada de un coulombio en un segundo.

Al igual que con las densidades de carga, en la practica se utiliza tambien el concepto de den-sidad superficial de corriente que se simboliza con el vector �jS. Esta magnitud es util cuandoexiste una region del espacio de espesor e pequeno comparado las dimensiones tıpicas de nuestrosistema, en la cual esta definida una corriente medible macroscopicamente. En tal caso tiene sen-tido interesarse por la intensidad de corriente que fluye a traves de una lınea γ contenida en lasuperficie S que soporta la corriente, puesto que dicha lınea y el espesor e constituyen una delgadaseccion a traves de la cual pasa la carga (ver figura).

dl

S

e�

jS dl

La intensidad se relaciona con la densidad superficial de corriente mediante la formula

I =∫

γ�jS · d�l⊥,

siendo d�l⊥ un vector de modulo igual al segmento dl definido en γ y direccion contenida enla superficie de corriente y perpendicular al segmento. Notese que ed�l⊥ forma un elemento desuperficie adecuado para describir la delgada seccion por la que fluye carga. Por tanto si queremosrelacionar la distribucion superficial con una densidad volumetrica de corriente llegamos a laconclusion de que existe una �j para la cual �jS = e�j. Si el espesor es muy pequeno, la corriente



volumetrica debe ser muy grande para que el producto de una cantidad apreciable desde el puntode vista macroscopico, y por ello se la considera como singularidad. Esta discusion es en todoanaloga a la que se hizo en el ejemplo del apartado 2.2 para relacionar las densidades de cargasuperficial y de volumen.

Ejemplos practicos de la modelizacion mediante corrientes superficiales nos los ofrecen los hilosmetalicos por los que pasan corrientes de muy alta frecuencia (vease el “efecto skin” en el tema9), de forma que la corriente esta restringida a una delgada capa adyacente a la superficie del hilo,con un grosor tanto mas pequeno cuanto mayor es la frecuencia.

Ejercicio:Un cilindro de radio R posee una distribucion volumetrica de corriente descrita por la funcion �j = j0�uφ parar − d < r < R, siendo d < R, y nula para cualquier otro valor de la coordenada radial. ¿Que valor tendrıa unacorriente superficial que sustituyera a la distribucion volumetrica? Analıcese el caso d << R.

Finalmente se introduce las distribuciones filiformes de corriente cuando por una seccionmuy pequena pasa una intensidad apreciable macroscopicamente. Es el caso habitual de hilosmetalicos usados en la confeccion de circuitos electricos. Para ellos la propia intensidad I, con unsentido determinado por su signo, basta para caracterizar la distribucion de corriente.

Ejemplo:Un hilo de cobre de 1 mm2 de seccion puede soportar sin fundirse una corriente de 18 A de intensidad. Hallese lavelocidad media de los electrones de conduccion para dicha intensidad.

Si se admite que la corriente se distribuye uniformemente en toda la seccion del hilo podemos calcular la densidadde corriente de manera muy sencilla:

I =∫

�j · d�S = j

∫dS = jS → j = I/S.

Por otra parte solo hay un tipo de partıcula cargada con velocidad no nula, que es el electron de conduccion cedidopor cada atomo de cobre. El ion positivo restante esta en reposo, formando parte de la red propia del enlacemetalico, y no interviene en la conduccion. Se tiene pues que j = qnv, siendo q = −1,9 · 10−19 C, n el numero deportadores por unidad de volumen y v la velocidad media que se nos pide.

El valor de n fue calculado en un ejemplo anterior (n = 8,48 · 1028 m−3). La velocidad media de los electrones deconduccion en el hilo es

v =j

qn=

I

qnS=

181,6 · 10−19 · 8,48 · 1027 · 10−6

(m/s) = 1,33 mm/s.

El resultado puede sorprender si por ejemplo pensamos en el tiempo que transcurre entre accionar un interruptor yencenderse una bombilla; tiempo muy inferior al que necesitarıa un electron de la corriente establecida en recorreralgunos metros de cable. La resolucion de esta paradoja es simple si tenemos en cuenta que al establecer la corrienteponemos casi instantaneamente en movimiento a todos los electrones de conduccion del circuito a la vez. Lo quese propaga muy rapidamente es la informacion de que en un punto del circuito los electrones estan en movimiento.Esta ”informacion”no es otra cosa que el campo electromagnetico, que introduciremos en los siguientes apartados.

Un comentario importante que podemos hacer aprovechando el ejemplo anterior es que debemostener cuidado en la interpretacion de la definicion de intensidad, I = dq/dt, puesto que el diferencialde carga hace referencia a la carga que esta fluyendo en el intervalo dt, pero no se debe relacionar



con una variacion de la carga existente en una porcion del hilo. De hecho el hilo es neutro en lamayorıa de las aplicaciones (ρ = 0); la carga esta en transito y no hay carga que se acumule. Estose discute de forma general en el siguiente epıgrafe, dedicado a la ecuacion de continuidad.

• Ecuacion de continuidad

La conservacion de la carga implica que la variacion de la carga encerrada en un volumen τ enla unidad de tiempo es debida exclusivamente a la que abandona dicho volumen a traves de sufrontera Sτ . Dado que un flujo positivo (saliente del volumen segun nuestro convenio) implica unadisminucion de la carga en el interior, la formulacion matematica de lo anterior es

−dq

dt=∮

Sτ

�j · d�S,

o bien, usando el concepto de densidad y el teorema de la divergencia,

−∫

τ

∂ρ

∂tdτ =

∫τ

�∇ · �j dτ,

donde la derivada temporal se ha podido introducir en el integrando porque el volumen τ queelegimos no varıa con el tiempo, y como ademas es arbitrario, se debe cumplir

∂ρ

∂t+ �∇ · �j = 0,

que es la ecuacion de continuidad y representa la formulacion matematica de la conservacionlocal de la carga neta. Si las distribuciones no varıan con el tiempo se verificara �∇ · �j = 0.

Ejemplo:En una region del espacio con forma esferica se tiene una densidad de carga uniforme que varıa en el tiempo, ρ0(t).Esto implica necesariamente un flujo de carga en cada punto de dicha region. Admitiendo que el flujo tiene lugaren direccion radial, hallese la densidad de corriente en cada punto y la intensidad que atraviesa los lımites de laregion considerada.

De la ecuacion de continuidad en forma diferencial obtenemos

�∇ · �j = −∂ρ

∂t= −dρ0

dt.

Si la densidad de corriente es radial se puede expresar como �j = j(r, t)�ur. Su divergencia es

�∇ · �j =1r2

∂(r2j)∂r

.

Sustituyendo en la expresion anterior se obtiene una ecuacion en la variable r para la densidad pedida. Multiplicandotoda la ecuacion por r2 e integrando se llega a

r2j(r, t) = −dρ0

dt

∫ r

0

r2dr = −dρ0

dt

r3

3⇒ j(r, t) = −dρ0

dt

r

3.

La segunda cuestion se obtiene, bien integrando esta densidad de corriente a traves de la superficie esferica quelimita la region donde esta definida la densidad de carga, bien aplicando la ecuacion de continuidad en formaintegral. Segun lo ultimo,

I = −dq

dt= − d

dt

(∫esf

ρ0(t)dV

)= −4

3πR3 dρ0

dt.

Puede comprobarse que I =∫

S(R) �j · d�S da el mismo resultado.



2.4. Las Ecuaciones de Maxwell

El Electromagnetismo postula que la presencia de cargas en una region del espacio da lugar engeneral a la existencia de un campo electrico �E(�r) y un campo magnetico �B(�r) que satisfacenlas siguientes ecuaciones:

�∇ · �E =ρ

ε0,

�∇× �E = −∂ �B

∂t,

�∇ · �B = 0,

�∇× �B = μ0

⎛⎝�j + ε0

∂ �E

∂t

⎞⎠ ,

donde ρ es la densidad volumetrica de carga, �j la densidad de corriente y ε0 y μ0 son la permitividady la permeabilidad del vacıo respectivamente, es decir, dos constantes universales cuyos valores enel Sistema Internacional son

ε0 = 8,85 · 10−12C2s2/(kg · m3);

μ0 = 4π · 10−7 kg · m/C2.

Las ecuaciones de Maxwell que acabamos de escribir en forma local permiten determinarde manera unıvoca los campos electrico y magnetico en todo punto del espacio, siempre queconozcamos las densidades de carga y de corriente. Esto es ası puesto que sabemos por el teoremade Helmholtz que un campo vectorial puede ser reconstruido a partir de su divergencia y surotacional, que son los datos que nos aportan estas ecuaciones. El problema desde el punto devista matematico no tiene solucion inmediata mediante la aplicacion de dicho teorema, puesto queen las ecuaciones �E y �B aparecen acoplados (uno interviene en las fuentes vectoriales del otro).No obstante encontraremos en el capıtulo 4 la solucion general.

Ejemplo:Las ecuaciones de Maxwell permiten, de manera inversa, obtener las fuentes (cargas y corrientes) a partir delconocimiento de los campos. Dadas las expresiones

�E(�r, t) = E0 cos(ky − ωt)�uz,

�B(�r, t) = B0 cos(ky − ωt)�ux,

con E0, B0, k y ω constantes, comprobemos que efectivamente pueden ser campos electrico y magnetico respecti-vamente y hallemos sus fuentes.

De la primera ecuacion de Maxwell, �∇ · �E = ρ/ε0, obtenemos la densidad de carga, que en este caso es nula:ρ = ε0�∇ · �E = ∂Ez/∂z = 0.

La tercera ecuacion se verifica trivialmente: �∇ · �B = ∂Bx/∂x = 0.

Para ver si se verifica la segunda ecuacion evaluamos cada miembro por separado:

�∇× �E =∂Ez

∂y�ux = −E0k sen(ky − ωt)�ux,

−∂ �B

∂t= −B0ω sen(ky − ωt)�ux,



e igualando obtenemos la condicion B0ω = E0k que debe cumplirse entre estos parametros para que las expresionespropuestas sean campos electromagneticos.

La cuarta ecuacion tambien debe verificarse, pero esto simplemente determina el valor que debe tener la densidadde corriente �j en cada punto del espacio:

�j =1μ0

�∇× �B − ε0∂ �B

∂t=(

B0k

μ0− ε0E0ω

)sen(ky − ωt)�uz.

Si los valores de los parametros son tales que el primer parentesis es nulo, la densidad de corriente serıa a su veznula en todo el espacio. En tal caso el ejemplo que estamos manejando corresponderıa a una onda electromagneticamonocromatica plana propagandose en el vacıo. Esto ya se vera en el tema 4.

Una propiedad fundamental de las ecuaciones de Maxwell es que son lineales. Esto implica que siconsideramos los campos producidos por ciertas fuentes (cargas y corrientes) que denominaremospor “1”, y, por otro lado, los campos producidos por otras fuentes “2”, entonces el problemaconjunto de encontrar los campos producidos por la combinacion de ambos conjuntos de fuentestiene como solucion la suma de los campos producidos por cada conjunto de fuentes. Esto se sueledenominar principio de superposicion. Un ejemplo simple: el campo electrico que producen doscargas puntuales es la suma vectorial en cada punto de los campos producidos por cada carga. Hayque prevenir sin embargo de que, desgraciadamente, en muchas aplicaciones practicas la presenciade una fuente modifica la otra, con lo que el principio anterior no puede ser aplicado.

Dado que en las ecuaciones de Maxwell aparecen las distribuciones de carga y de corriente, esnecesario comprobar que son compatibles con la ecuacion de conservacion local de la carga. Sitomamos la divergencia de la cuarta ecuacion se tiene

�∇ · (�∇× �B) = μ0

⎡⎣�∇ · �j + ε0

�∇ ·⎛⎝∂ �E

∂t

⎞⎠⎤⎦ .

El primer miembro se anula, y si en el ultimo termino del segundo miembro permutamos lasoperaciones de derivacion temporal y divergencia, y utilizamos la primera ecuacion, resulta

0 = �∇ · �j +∂ρ

∂t,

es decir, la ecuacion de continuidad esta implıcitamente contenida en las ecuaciones de Maxwell.No hay pues que anadirla como un postulado mas.

2.5. Fuerza de Lorentz

Para completar la descripcion de la interaccion electromagnetica es necesario establecer la fuerzasobre las partıculas cargadas. Esta viene dada por la fuerza de Lorentz:

�F = q( �E + �v × �B).

Si se trata de una distribucion volumetrica de cargas y corrientes debemos sumar las fuerzasejercidas sobre cada una de las partıculas encerradas en un volumen dτ , lo cual, usando un recuentoestadıstico sobre cada una de las s especies, se expresa

d�F =s∑

i=1

qinidτ �E +s∑

i=1

qinidτ�vi × �B.



Esta es la fuerza ejercida sobre el elemento de volumen considerado. Hemos tenido en cuentaque los campos �E y �B son practicamente los mismos para todas las partıculas encerradas. Ahorausando los conceptos de densidad volumetrica de carga y de corriente podemos escribir

d�F = (ρ�E + �j × �B)dτ.

En el caso de distribuciones superficiales de carga y de corriente la expresion anterior se trans-forma en

d�F = (ρS�E + �jS × �B)dS.

Finalmente, para distribuciones en forma de hilo, la integracion de la fuerza elemental sobre unvolumen dτ = S dl, siendo S la seccion del hilo, se realiza del siguiente modo:

d�F = (ρ�E + �j × �B)S dl = λ�Edl + Id�l × �B,

siendo d�l un segmento elemental de la lınea de corriente, orientado segun el flujo positivo de carga.Notese que se ha definido λ = ρS, I = jS, y en el segundo termino se ha aprovechado que �j y d�lson colineales.

Las formulas anteriores permiten establecer las unidades en el S.I. de los campos �E y �B. Para elcampo electrico la unidad, que no tiene nombre especıfico, es el newton dividido por coulombio(N/C), mientras que para el campo magnetico la unidad se denomina tesla (T), y equivale a unnewton dividido por amperio y por metro.

La fuerza de Lorentz es el ultimo postulado necesario para establecer las bases del Electromag-netismo: las ecuaciones de Maxwell permiten conocer los campos electrico y magnetico a partir desus fuentes (cargas y corrientes) y la fuerza de Lorentz nos dice como actuan estos campos sobrela materia1. Sin embargo en la practica la situacion en extremadamente compleja, puesto que laspartıculas cargadas son a la vez agentes productores de los campos y receptores de su accion. Enmuchas ocasiones no podemos caracterizar ρ y �j antes de conocer los campos que actuan sobrelos portadores de carga, y por otra parte es claro que no podemos conocer los campos sin conocersus fuentes; hablamos entonces de un problema acoplado. El ejemplo mas claro lo tenemos enun conductor en equilibrio electrostatico (que se estudiara en el tema 5): las cargas producen uncampo electrico que actua sobre ellas mismas hasta alcanzar una distribucion tal que la fuerzatotal ejercida sobre cada parte de la distribucion sea nula. Otro ejemplo es una antena emisorade radiocomunicacion: los electrones se mueven por el metal y producen ondas electromagneticas,pero estas ondas actuan a su vez sobre la propia antena, de manera que no sabemos a priori cuales la corriente que la alimenta.

Por este motivo, la organizacion de este curso introductorio tiene dos partes bien diferenciadas.Hasta el tema 4, inclusive, desarrollamos una teorıa del Electromagnetismo desde un punto devista idealizado, en el que las fuentes son conocidas y llegamos a soluciones de validez general. Apartir del tema 5 nos enfrentamos con la materia desde un punto de vista practico, tratando de

1La situacion es mas complicada en realidad ya que existen partıculas que, independientemente de si tienencarga o no, poseen un momento magnetico asociado con un momento angular intrınseco o espın, sobre el cual uncampo magnetico ejerce una accion no incluida en la fuerza de Lorentz. No obstante el conjunto de postuladosque proponemos es capaz de englobar este tipo de fenomenos si equiparamos el momento magnetico intrınseco almomento asociado a espiras de corriente. Estos conceptos, aun no definidos, se introducen en el siguiente tema.



caracterizar su comportamiento en cuanto a distribucion de fuentes y campos se refiere. Veremosque se consiguen resultados valiosos pero restringidos a ciertos tipos de materiales de compor-tamiento sencillo (conductores ohmicos, dielectricos simples, etc.). Para ello habremos de anadir alos postulados ciertas leyes empıricas o basadas en un tratamiento estadıstico de los constituyentesde la materia.

A continuacion vemos algunos ejemplos sencillos de movimiento de partıculas cargadas en elseno de campos electricos y magneticos conocidos.

Ejemplo:Descrıbase el movimiento de una partıcula cargada en una region en la que existe: (a) un campo electrico constantey uniforme; (b)un campo magnetico constante y uniforme.

(a) Supongamos que la partıcula posee masa m, carga q y velocidad inicial �v0, y que el campo electrico establecido�E0 no es colineal con esta velocidad. La ecuacion de movimiento es

md�v

dt= q �E0.

Esta ecuacion vectorial se integra directamente para dar �v(t) = �v0 + q �E0t/m. Integrando de nuevo con la condicioninicial �r(0) = �r0 se llega a las ecuacion horaria �r(t) = �r0 + �v0t + q �E0t

2/(2m). La trayectoria es un movimientoparabolico en el plano que forman �E0 y �v0.

(b) Para el caso de un campo magnetico uniforme y constante elegimos un sistema de referencia con el eje Z enla direccion del campo, de manera que �B = B�uz. La velocidad inicial tendra en general dos componentes: unaparalela a �B y otra perpendicular, que denotaremos vz�uz y �v⊥ respectivamente. Podemos tratar convenientementela ecuacion de movimiento con esta descomposicion:

md

dt(vz�uz + �v⊥) = q(vz�uz + �v⊥) × (B�uz),

o bienm

dvz

dt�uz + m

d�v⊥dt

= qB�v⊥ × �uz.

El producto vectorial es evidentemente perpendicular al eje Z, mientras que en el primer miembro distinguimoscomponentes paralelas y perpendiculares. Por tanto, teniendo en cuenta que �uz ·d�v⊥/dt = d/dt(�uz ·�v⊥) = 0, resulta

md�v‖dt

= 0; md�v⊥dt

= q�v⊥ × �B

La primera de las dos nos dice que en la direccion del campo el movimiento es uniforme, con vz(t) = vz0.

La segunda ecuacion gobierna la proyeccion del movimiento en el plano XY , perpendicular al campo. Si multi-plicamos escalarmente por �v⊥ el segundo miembro sera nulo y por tanto

m�v⊥ · d�v⊥dt

= 0.

Pero �v⊥ · d�v⊥/dt = d(�v⊥ ·�v⊥)/dt = d(|�v⊥|2)/dt, por lo cual |�v⊥| es constante en el movimiento. Tambien el modulode la fuerza de Lorentz es constante: |�F | = q|�v⊥|| �B|sen(π/2) = qv⊥0B. La fuerza es perpendicular a esa componentede la velocidad y constante en modulo. Se trata pues de un movimiento circular uniforme. El radio de la proyeccionde la trayectoria en el plano XY , R, se obtiene como es habitual igualando en modulo la fuerza de Lorentz a lamasa por el modulo de la aceleracion centrıpeta propia de este tipo de movimiento, es decir, qv⊥B = mv2

⊥/R, conlo cual

R =mv⊥0

qB.

La velocidad angular del movimiento sera ω = v⊥0/R = qB/m, y se denomina frecuencia de ciclotron.

La combinacion de los dos movimientos estudiados (traslacion uniforme y rotacion uniforme en el plano transver-sal) produce un movimiento helicoidal, cuyas ecuaciones horarias se dejan como ejercicio.



• Transformacion galileana de los campos

Los campos no son iguales medidos en sistemas de referencia en movimiento relativo. Paraencontrar una relacion entre ellos usaremos el principio de relatividad galileana, segun el cualla fuerza debe ser la misma en cualquier sistema de referencia inercial.

Supongamos que en cierta region del espacio existen campos electrico y magnetico. Consideremosdos sistemas inerciales, Σ y Σ′, el segundo con velocidad �v0 respecto del primero. Una carga deprueba q se mueve con velocidad �v en Σ y con velocidad �v′ en Σ′. Ambas velocidades se relacionanmediante

�v′ = �v − �v0.

Las fuerzas medidas en cada referencia son

�F = q( �E + �v × �B)

y�F ′ = q( �E ′ + �v′ × �B′) = q

[�E ′ + (�v − �v0) × �B′] .

Hemos distinguido con primas los campos medidos segun Σ′ (pero no la carga, que es invariante).

Igualando �F a �F ′ y teniendo en cuenta que el resultado se debe cumplir para cualquier carga deprueba (q y �v arbitrarias) necesariamente debemos exigir que �B = �B′ y que �E = �E ′ − �v0 × �B′, o,equivalentemente,

�E ′ = �E + �v0 × �B, �B′ = �B,

que son conocidas como las leyes de transformacion de los campos. En su deduccion esta im-plıcita la hipotesis de que la velocidad �v puede ser arbitrariamente grande. Si se impone quela maxima velocidad alcanzable es la de la luz c (relatividad einsteniana) la ley de transforma-cion se modifica, aunque la diferencia entre ambas solo es apreciable para velocidades relativascomparables con c.

Ejemplo:Descrıbase el movimiento de una partıcula cargada en una region en la que existen un campo electrico �E y uncampo magnetico �B constantes, uniformes y perpendiculares entre sı, suponiendo que se parte del reposo en elsistema de referencia del laboratorio, en el que los campos han sido medidos.

Este problema puede plantearse de dos formas diferentes: mediante integracion de las ecuaciones del movimientoen el sistema de referencia que se nos da, o bien tomando un sistema de referencia auxiliar para el cual el campoelectrico no existe. Optamos por lo segundo para ejemplificar el uso de las formulas de transformacion de los camposante un cambio de sistema de referencia.

Podemos encontrar un sistema de referencia para el cual �E′ es nulo debido a que �E y �B son perpendiculares entresı. Si llamamos �va a la velocidad del sistema auxiliar respecto del sistema laboratorio, la ecuacion que la determinasera

�E′ = �E + �va × �B = 0.

Esta condicion no determina completamente el �va (recordemos la analogıa algebraica del teorema de Helmholtzvista en el tema anterior) puesto que necesitarıamos conocer tambien el valor de �va · �B. Esta indeterminacionequivale a poder elegir la direccion de �va con tal que este contenida en el plano perpendicular a �E y que no seacolineal a �B (puesto que entonces el producto vectorial serıa automaticamente cero). La opcion mas simple es tomar�va perpendicular a los dos vectores, es decir, imponer la condicion adicional �va · �B = 0. Multiplicando vectorialmentepor �B escribimos

�B × �E + �B × (�va × �B) = 0.



Desarrollando el producto vectorial triple y usando la condicion de perpendicularidad impuesta se llega a

�va =�E × �B

B2.

En el sistema de referencia que se mueve a esa velocidad no hay campo electrico y el campo magnetico es elmismo que en el sistema laboratorio. Por tanto el problema se ha reducido al de una partıcula que se mueve enun campo magnetico uniforme, con velocidad inicial perpendicular al campo. El movimiento, como vimos en elejemplo anterior, es circular, con radio y velocidad angular conocidos, que en este caso resultan ser

R =mv⊥0

qB=

mE

qB2; ω =

qB

m.

Visto desde el sistema laboratorio el movimiento es la composicion de un movimiento de traslacion a velocidadconstante �va y otro de giro a velocidad angular uniforme ω y radio R. La relacion entre estas tres magnitudes sonpropias de una curva plana especial llamada cicloide, que por cierto tambien describe el movimiento de un puntode una circunferencia que rueda sin deslizar por una superficie plana.

B

E

x

z

y

2.6. Forma integral de las ecuaciones de Maxwell

Hemos presentado ya las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial (puesto que intervienenoperadores diferenciales en su expresion) o tambien llamada en forma local (aludiendo a que setrata de relaciones entre magnitudes que se cumplen en cada punto del espacio). En muchos casosnos sera de utilidad otra forma de expresar estas mismas ecuaciones, que denominaremos en formaintegral. Veamos cada una por separado y de paso aprenderemos el nombre particular que recibecada ley.

• Ley de Gauss

La primera de las ecuaciones de Maxwell recibe el nombre de Ley de Gauss:

�∇ · �E = ρ/ε0.

Su forma integral se obtiene integrandola sobre un volumen τ arbitrario.

∫τ

�∇ · �E dτ =1

ε0

∫τρ dτ.

Usando el teorema de la divergencia en el primer miembro y reconociendo la carga encerrada enτ en la integral del segundo se llega a

∮Sτ

�E · d�S =q(τ)

ε0,



es decir, el flujo de campo electrico que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carganeta que encierra dicha superficie.

• Ley de inexistencia de monopolos.

Otra de las ecuaciones de Maxwell es

�∇ · �B = 0,

que establece que, al contrario de lo que ocurre con el campo electrico, no existen fuentes escalarespara el campo magnetico (monopolos).

En forma integral se tiene

∮Sτ

�B · d�S = 0.

Por ser un campo solenoidal se aplican todas las propiedades que se han estudiado en el tema 1;en particular la conservacion del flujo Φ =

∫S

�B · d�S para cualquier seccion de un tubo de campo,o para cualquier superficie que se apoye en un mismo contorno.

La unidad de flujo magnetico es el weber (Wb). Se tiene que 1Wb = 1T.m2.

• Ley de Faraday

La ecuacion que recibe el nombre de Ley de Faraday es

�∇× �E = −∂ �B

∂t.

Si se integra sobre una superficie arbitraria S resulta

∫S

�∇× �E · d�S = −∫

S

∂ �B

∂t· d�S.

Aplicamos el teorema de Stokes al primer miembro e intercambiamos el orden de derivaciontemporal e integracion en el segundo para obtener

∮γS

�E · d�r = − d

dt

∫S

�B · d�S,

que es la forma integral de dicha ley. Esta ecuacion pone de manifiesto de manera muy intuitivacomo se genera el campo electrico a partir de sus fuentes vectoriales: las variaciones de flujomagnetico tienden a producir lıneas de campo electrico en forma de circuitos contenidos en ladireccion perpendicular. Se trata de una contribucion que hay que anadir al campo generado porla existencia de fuentes escalares (cargas).

Nota avanzada:

Si el circuito de integracion se mueve o se deforma la ley integral sigue siendo valida, siempre y cuando inter-pretemos que el campo electrico que se integra es el medido localmente, es decir, en sistemas solidarios con cadaelemento de corriente que compone el circuito. En efecto, si la superficie sobre la que realizamos la integracion dela ley de Faraday es variable en el tiempo (circuito movil y/o deformable) se tendra



∮γS(t)

�E · d�r = −∫

S(t)

∂ �B

∂t· d�S,

donde ahora la derivada parcial respecto del tiempo no se puede permutar con la integracion espacial puesto quela superficie varıa en el tiempo. De hecho puede verse la relacion entre ambas:

d

dt

∫S(t)

�B · d�S = lımΔt→0

1Δt

[∫S(t+Δt)

�B(t + Δt) · d�S −∫

S(t)

�B(t) · d�S

].

Si sumamos y restamos la cantidad∫

S(t+Δt)�B(t) ·d�S dentro del corchete, podremos agrupar terminos de forma que

la derivada se pueda escribir como

∫S(t)

∂ �B

∂t(t) · d�S + lım

Δt→0

1Δt

[∫S(t+Δt)

�B(t) · d�S −∫

S(t)

�B(t) · d�S

].

El lımite no calculado aun es el termino nuevo que hay que considerar. Vemos que se trata de la diferencia entre elflujo magnetico evaluado en S(t) y el evaluado en S(t+Δt). Ambas superficies estan conectadas por una superficieelemental ΔSL construida con los desplazamientos �v(�r)Δt de cada elemento d�r del contorno de S(t) (ver figura).Un elemento de esta superficie puede escribirse d�r × �v(�r)Δt.

v(r) t�

dr�S(t)

� �S(t+ t)

r

S(t)

Por ser el campo magnetico solenoidal el flujo a traves de S(t) es el mismo que el flujo a traves de ΔSL∪S(t+Δt),puesto que ambas superficies tienen el mismo contorno. De aquı se deduce que el lımite es

−∮

γS

[d�r × �v] · �B = −∮

γS

d�r ·[�v × �B

].

Esta integral de lınea se puede pasar al primer miembro y agrupar con la circulacion de �E para dar∮( �E+�v× �B)·d�r.

Pero la expresion entre parentesis no es otra cosa que el campo electrico �E′ medido en sistemas de referencia ligadosa cada elemento del contorno de integracion. La conclusion es que la ley tiene validez incluso para contornos moviles.

• Ley de Ampere-Maxwell. Corriente de desplazamiento.

La ultima ecuacion se conoce como Ley de Ampere-Maxwell, e indica cuales son las fuentesvectoriales del campo magnetico (las unicas que posee):

�∇× �B = μ0

⎛⎝�j + ε0

∂ �E

∂t

⎞⎠ .



Junto a la corriente �j existe un termino relacionado con la variacion del campo electrico, ε0∂ �E/∂tque se suele denominar corriente de desplazamiento. El apelativo de corriente puede ser en-ganoso, puesto que no se trata de un flujo real de cargas; esta mas bien motivado por sus dimen-siones fısicas, que coinciden con las de �j.

La forma integral de la Ley de Ampere-Maxwell se obtiene considerando una superficie S arbi-traria

∮γS

�B · d�r = μ0

⎡⎣I(S) + ε0

∫S

∂ �E

∂t· d�S

⎤⎦ ,

donde, como en el caso de la Ley de Faraday, se ha aplicado el teorema de Stokes en el primermiembro. En el segundo se ha identificado el flujo de corriente a traves de la superficie con laintensidad I(S) que la atraviesa. Tambien esta presentacion integral, al igual que la regla delflujo para el campo electrico, nos da una idea cualitativa de la configuracion de lıneas de campomagnetico a partir de la de sus fuentes vectoriales.

Ejemplo:Si el campo electrico medido en el espacio resulta ser �E = (A/r2)�ur en coordenadas esfericas, con A constante,¿que podemos decir de sus fuentes escalares y vectoriales?

Se trata de un campo central y su rotacional es nulo, segun vimos en un ejemplo del tema anterior. No existenpues fuentes vectoriales (es decir, campos magneticos variables en el tiempo). En cuanto a las fuentes escalaresusamos la ley de Gauss:

ρ = ε0�∇ · �E = ε01r2

∂

∂r

(r2 A

r2

)= 0.

La conclusion aparente es que no existe carga en ningun punto del espacio. Sin embargo el sentido comun nos diceque si el campo electrico no es nulo, debe haber carga en algun sitio. La unica posibilidad es que este situada enel origen, donde el campo se hace singular y la evaluacion anterior de la divergencia no es aplicable. En efecto, laforma integral de la ley de Gauss nos permite confirmar esta sospecha. Tomando una superficie gaussiana esfericacentrada en el origen y de radio R obtenemos∮

S(R)

�E · d�S =∫

A

R2R2dΩ = 4πA,

donde hemos expresado el elemento de superficie en funcion del angulo solido elemental. La ley integral implicaque 4πA = q/ε0, y de aquı obtenemos el valor de la carga que ha creado el campo. Como ademas el radio elegidopuede ser tan pequeno como se quiera, llegamos a la conclusion de que la carga es puntual.

Recapitulando, por la importancia de la expresion hallada, el campo creado por una carga puntual q es

�E =q

4πε0r2�ur.

Ejemplo:Si el campo magnetico medido en todo el espacio resulta ser, en coordenadas cilındricas, �B = (A/r)�uφ, ¿que podemosdecir de sus fuentes?

En primer lugar, el campo propuesto es admisible puesto que es solenoidal. En efecto, la aplicacion de la diver-gencia a esta expresion nos da cero y se cumple la ley de ausencia de monopolos.

En cuanto a las fuentes vectoriales, la aplicacion del rotacional nos da

�∇× �B =1r

∣∣∣∣∣∣�ur r�uφ �uz

∂/∂r ∂/∂φ ∂/∂z0 r(A/r) 0

∣∣∣∣∣∣ = 0.



Nuevamente se nos presenta el resultado paradojico de un campo sin fuentes, ni escalares ni vectoriales. Y nueva-mente la clave esta en los puntos singulares del campo. Para r = 0 la evaluacion anterior no es valida. Si usamosla version integral de la ley de Ampere-Maxwell aplicada a un circuito circular definido por r = R, y teniendo encuenta que no se nos habla de la existencia de un campo electrico variable en el tiempo,∮

γ(R)

�B · d�r =∫ 2π

0

A

RRdφ = 2πA = μ0I.

Esto relaciona la constante A con la intensidad de corriente que crea el campo. Como esto es cierto para cualquiervalor de R elegido, la conclusion es que la corriente es filiforme. El campo magnetico creado por un hilo recto espues

�B =μ0I

2πr�uφ.

Lo visto en estos dos ejemplos se volvera a estudiar en el siguiente tema, dedicado a las soluciones estaticas delas ecuaciones de Maxwell.

2.7. Discontinuidades de los campos

Esta seccion muestra de manera general que la existencia de singularidades en las fuentes dalugar a discontinuidades en el valor de los campos electrico y magnetico, en forma analoga a loque sucede cuando una funcion de una variable f(x) sufre un salto en x = x0 y esto da lugar auna singularidad de su derivada f ′(x0).

• Campo electrico:

Cuando existe una distribucion superficial de carga, ρS(�r) definida en una superficie S el campoelectrico sufre un salto, entendido como la diferencia entre su valor a un lado y a otro de S. Vamosa establecer las ecuaciones que determinan la discontinuidad a partir de dos de las ecuaciones deMaxwell en forma integral.

e

n�S

S1

E1

E2

S2

�sS

1

2

Aplicamos la ley de Gauss en forma integral utilizando un volumen de integracion en formade pequena caja de pastillas (cilindro aplastado) con generatriz perpendicular a la superficie Sen un punto dado (ver figura). Las dos bases del cilindro, de area ΔS, son por tanto paralelasa la superficie cargada y estan situadas de tal forma que el cilindro contiene una porcion de ladistribucion de carga. La altura e del cilindro puede tomarse tan pequena como se quiera sin queel requisito de contener parte de la distribucion se deje de verificar. Con estas condiciones el flujoa traves de la superficie gaussiana que encierra el volumen cilındrico se escribe∮

SG

�E · d�S =∫

SL

�E · d�S +∫

S1

�E · d�S +∫

S2

�E · d�S,



siendo SL la superficie lateral y S1 y S2 las dos bases, situadas respectivamente en las regiones”1 2”2”, separadas por la superficie cargada. Si tomamos lımite e → 0 el flujo lateral tambientiende a cero, puesto que el campo debe mantenerse finito y el recinto de integracion tiene areacada vez mas pequena. Por otra parte los flujos a traves de las bases se pueden aproximar porlos productos de campo por area si esta es suficientemente pequena para que el campo sea muyaproximadamente constante. Con todas estas consideraciones podemos escribir∮

SG

�E · d�S � �E1 · Δ�S1 + �E2 · Δ�S2.

Podemos expresar las superficies en funcion del vector normal a la superficie cargada, �n, quetomamos dirigido de la region ”2.a la ”1”, escribiendo Δ�S1 = −Δ�S2 = ΔS�n, mientras que porotra parte la carga encerrada sera ρS(�r)ΔS. La ley de Gauss dara como resultado

�E1 · �nΔS − �E2 · �nΔS = ρSΔS/ε0,

y cancelando el factor comun se llega a una condicion sobre las componentes normales del campoelectrico:

�n · [ �E] = ρS/ε0,

que se cumple en cada punto de la superficie cargada. Los corchetes denotan el salto �E1 − �E2 eval-uando ambos campos en las inmediaciones de la superficie. Es importante notar que la definiciondel corchete y el sentido elegido para �n estan relacionados: podemos tomar el sentido opuesto paradefinir el vector normal a la superficie, pero en ese caso la demostracion anterior nos obligarıa adefinir [ �E] como �E2 − �E1. En definitiva , sea cual sea la eleccion, la formula se lee ”la proyec-cion normal del campo evaluado en la region hacia donde apunta el vector normal a la superficiede separacion, menos la proyeccion normal del campo evaluado en la otra region, es igual a ladensidad superficial de carga en ese punto dividido por ε0”.

e

n

�l

E1

tb ta

E2

A

B

C

D

�s

S

1

2

Una segunda condicion da informacion sobre las componentes tangenciales del campo electrico yse obtiene a partir de la ley de Faraday en forma integral. Tomamos una superficie de integracionrectangular, contenida en un plano perpendicular a la superficie S que contiene la distribucion decarga (ver la figura de arriba). El rectangulo se localiza de forma que corta la superficie cargadasea cual sea la longitud e de los lados perpendiculares. Denotamos por �ta al vector unitario perpen-dicular al rectangulo, que estara por tanto contenido en la superficie S. Su sentido nos determinaa su vez un sentido de circulacion del contorno rectangular. Una base local ortonormal del espaciose completa con el vector �tb = �n×�ta, tambien tangente a la superficie cargada, y perpendicular a�ta. La circulacion del campo electrico se puede descomponer en circulaciones sobre cuatro tramosrectos:

Γ =∮

�E · d�r = ΓAB + ΓBC + ΓCD + ΓDA,



de las cuales ΓBC y ΓDA tienden a cero cuando e → 0. Nos queda, considerando los camposaproximadamente constantes en cada tramo por ser estos de pequena longitud, Δl,

Γ � −�E1 · �tbΔl + �E2 · �tbΔl.

Para aplicar la ley de Faraday debemos evaluar el flujo de ∂ �B/∂t a traves del rectangulo. Es claroque tampoco son fısicamente aceptables variaciones temporales infinitas del campo magnetico, ycomo el area sobre la cual evaluamos el flujo tiende a cero cuando e → 0, tambien lo hara el flujo.En consecuencia en la expresion anterior es Γ = 0 y podemos escribir −�tb · ( �E1 − �E2) = 0, o bien,

0 = (�ta × �n) ·[�E]

= �ta ·(�n × [ �E]

). Como el vector tangente �ta puede ser elegido arbitrariamente

en la superficie, lo anterior no es mas que una proyeccion de una ecuacion vectorial que se debesatisfacer:

�n × [ �E] = 0,

Aunque esta forma de expresar el resultado es la mas elegante por involucrar vectores definidosen cada punto de una superficie (y no vectores tangentes que pueden ser elegidos de infinitasmaneras), la ecuacion establece simplemente que la componente tangencial del campo electrico escontinua al atravesar la distribucion, lo cual tambien se suele expresar

E1t = E2t.

Ejemplo:Si el campo electrico medido en todo el espacio es, en esfericas, �E = (A/r2)�ur para r > R y cero si r < R,obtenganse sus fuentes.

La aplicacion de la divergencia y el rotacional a estas expresiones dan cero (vease un ejemplo anterior). No haypues fuentes distribuidas en volumen. Sin embargo el campo sufre una discontinuidad en r = R y por tanto en esasuperficie esferica debe haber una distribucion superficial de carga. Su valor se obtiene aplicando la condicion desalto �n · [ �E] = ρS/ε0. Esto da A/R2 − 0 = ρS/ε0, o sea, ρS = Aε0/R2.

Ademas podemos observar que la continuidad de la componente tangencial se verifica, por ser nula a un lado ya otro de la superficie r = R.

• Campo magnetico:

Podemos realizar el mismo tipo de analisis con las otras dos ecuaciones de Maxwell que restanpor usar, lo cual nos dara otro par de condiciones, ahora referidas a las componentes del campomagnetico en la proximidad de una superficie sobre la que existe una distribucion superficial decorriente. La notacion tiene en lo que sigue el mismo significado que anteriormente.

Usando la condicion de ausencia de monopolos en forma integral se deduce sin dificultad lacondicion

�n · [ �B] = 0,

puesto que la unica diferencia con el caso electrico es que no existe algo analogo a una densidadde carga, ni superficial ni volumetrica.



e

n

�l

B1

B2

ta

tb

jse

n

�l

B1

B2

ta

tb

js

Por el contrario una corriente superficial �jS(�r) constituye una fuente vectorial de campo magnetico,y la ley de Ampere-Maxwell en forma integral debe analizarse con mas cuidado, siguiendo elmismo procedimiento que con la ley de Faraday. Vamos a definir el vector �ta como aquel quees paralelo a �jS en el punto �r de la superficie considerado (ver dibujo de la izquierda en la

figura). La circulacion de �B es analoga a la que se vio para el campo electrico. El flujo queatraviesa el rectangulo se debe exclusivamente a la corriente superficial, puesto que el campo∂ �E/∂t se mantiene finito y el area tiende a cero cuando e → 0. Podemos escribir directamente

−Δl �tb · ( �B1 − �B2) = μ0I(S) = μ0�ta · �jSΔl. Cancelando el factor comun Δl y usando la definicion

de �tb se llega a la ecuacion escalar

�ta ·(�n × [ �B]

)= μ0�ta · �jS.

Si en lugar de un rectangulo perpendicular a la corriente superficial hubieramos tomado unotangente a la misma (dibujo de la derecha) el resultado serıa

�tb ·(�n × [ �B]

)= 0 = μ0�tb · �jS,

puesto que en tal caso la corriente no atraviesa el rectangulo.

La ultima igualdad, aunque cierta por tratarse de dos vectores perpendiculares, parece capri-chosa, pero es ası como mejor se pone de manifiesto que las dos ecuaciones encontradas sonproyecciones en una base del plano tangente a la superficie de la ecuacion vectorial

�n × [ �B] = μ0�jS,

que establece una relacion entre la corriente superficial en cada punto y el salto en la componentetangencial del campo magnetico.

Ejemplo:Si el campo magnetico medido en todo el espacio es, en coordenadas cilındricas, �B = (A/r)�uφ para r > R y cerosi r < R, obtenganse sus fuentes.

La aplicacion de la divergencia y el rotacional a estas expresiones dan tambien cero en este caso y no hay fuentesdistribuidas en volumen. La discontinuidad en la superficie cilındrica r = R evidencia la existencia de una corrientesuperficial. La condicion de salto �n × [ �B] = μ0�jS da, teniendo en cuenta que �n = �ur, �jS = A/(μ0R)�uz.

La continuidad de la componente normal de �B se verifica trivialmente, por ser nula a un lado y a otro de lasuperficie r = R.



• Balance de carga en una superficie.

La conservacion de la carga tambien se debe verificar en cualquier superficie. De especial relevan-cia es el caso de una superficie S en la que tenemos definidas singularidades de carga y corrientedadas por la densidad ρS(�r) y �jS(�r) respectivamente. A un lado y a otro podemos tener definidasdistribuciones volumetricas de carga y corriente, ρi(�r) y �ji(�r), con i = 1, 2 (ver figura).

e

�S

n�S

��S

S1

S2

js

j1

j2

A partir de la ecuacion de continuidad integrada para un volumen elemental ya habitual conforma de caja de pastillas se tiene

0 =∫

τ

(�∇ · �j +

∂ρ

∂t

)=∮

Sτ

�j · d�S +d

dt

∫τρdτ.

La integral de superficie representa el flujo de carga que escapa por la frontera del volumen. Enel lımite en que el grosor de la caja tiende a cero hay tres aportes: dos de ellos son analogos a losencontrados en este tipo de analisis aplicado anteriormente a los campos �E y �B; otro es nuevo ysurge de la presencia de una singularidad superficial de corriente:∮

Sτ

�j · d�S = ΔS(�j1 − �j2) · �n +∫

SL

�j · d�S.

En el flujo lateral no intervienen las distribuciones volumetricas puesto que el area lateral tiendea cero, pero en este lımite sı puede haber flujo de carga debido a la corriente superficial definidaen una fina capa de espesor δ, �jS = lımδ→0 δ�j. Escribiendo d�S = δd�r × �n, siendo d�r un vectorelemental del contorno de S2 se tiene∫

SL

�j · d�S =∮

γS2

�jS · (d�r × �n).

Si dividimos esta expresion por ΔS y tomamos lımite ΔS → 0 encontramos una expresion quedefinimos, por analogıa con el caso tridimensional, como la divergencia superficial del vector �jS

(se trata del flujo que escapa lateralmente por unidad de superficie):

�∇S · �jS = lımΔS→0

1

ΔS

∮γS

d�r · (�jS × �n).

Recordando la segunda definicion intrınseca de rotacional podemos escribir �∇S · �jS = �n · �∇ ×(�jS × �n).

Por otra parte la integral de volumen no es otra cosa que la carga encerrada, que vale ρSΔS. Enconclusion, la ecuacion que resulta es



�n · [�j] + �∇S · �jS +∂ρS

∂t= 0

que es de validez general si la superficie no se deforma.

Ejemplo:Si se bombardea la superficie plana de un material aislante con un haz de iones de intensidad I, y seccion S, conuna inclinacion α respecto de la normal, durante un tiempo T , hallese la densidad superficial de carga depositada.

Podemos distinguir dos medios: uno el material aislante, que no deja pasar a los portadores de carga y dentro delcual podemos tomar �j = 0; otro su exterior, del que proviene el haz, en el cual la densidad de corriente en moduloes I/S si es uniforme. Si el medio es aislante tampoco tendra lugar migracion superficial de la carga, por lo queadmitimos que no hay corriente superficial. En un punto sobre el que incide el haz de iones se establece un balancede carga expresado por la formula encontrada anteriormente, con �jS = 0. Tomando el vector normal a la superficieapuntando hacia el exterior escribimos

− I

Scosα +

∂ρS

∂t= 0,

El signo negativo proviene de que, al ser incidente, forma un angulo mayor de π/2 con la normal a la superficie.Esta ecuacion define la derivada de la densidad de carga como una constante. Integrando en el tiempo,

ρS =∫ T

0

∂ρS

∂tdt = T

I

Scosα.

Como hemos dicho, si la superficie que consideramos se deforma, la formula anterior no es valida.Sirva como ejemplo lo que sigue.

Ejemplo:Hallese la densidad superficial de carga de un globo de radio R1, con carga q, que se infla hasta alcanzar un radioR2.

Suponiendo que la distribucion es uniforme en toda la superficie del globo, la densidad superficial inicial esρS1 = q/S1 = q/(4πR2

1), y la final es ρS2 = q/S2 = q/(4πR22). Esta claro que durante el proceso ∂ρS/∂t �= 0 y sin

embargo la simetrıa del problema impide la existencia de una corriente superficial ni tampoco podemos considerardensidades de corriente a un lado y a otro de la superficie del globo. La ecuacion de balance de carga no se cumple,y ello es debido a que la superficie varıa en el tiempo.

2.8. Energıa almacenada en los campos

En este capıtulo pretendemos introducir todos los conceptos basicos que se deben manejar den-tro de la teorıa electromagnetica. Hemos definido ya la carga y la corriente electrica, ası comosus posibles distribuciones; hemos definido los campos electrico y magnetico; hemos establecidola relacion entre todos ellos (ecuaciones de Maxwell), y hemos cerrado la descripcion de la inter-accion electromagnetica al definir la fuerza de Lorentz. Sin embargo, al igual que en Mecanica, esde la maxima utilidad introducir magnitudes energeticas como herramientas para comprender yanalizar los fenomenos electromagneticos. Veremos en breve que si en una region del espacio exis-ten campos electrico y magnetico, tambien existen asociados a ellos energıas electrica y magnetica,respectivamente.

De cursos introductorios de Fısica estamos acostumbrados a analizar, por ejemplo, la caıdade objetos en la superficie terrestre mediante el calculo de energıas cinetica y potencial, entre



las cuales pueden existir trasvases; tambien se tienen perdidas debidas a rozamiento con el aire,que pueden ser interpretadas como transformacion de energıa mecanica en energıa de otro tipo(calorıfica). Todo esto puede servirnos, a modo de analogıa, para entender los conceptos que ahorasiguen.

• Trabajo de las fuerzas electromagneticas.

Consideremos una distribucion volumetrica de carga y de corriente. Sobre cada portador decarga, con carga q y velocidad �v, la fuerza de Lorentz realiza un trabajo durante un intervalo dtdado por

dWq = �F · d�r = q( �E + �v × �B) · �vdt,

donde hemos tenido en cuenta que en ese intervalo de tiempo el desplazamiento sufrido por lacarga es d�r = �vdt. El segundo termino dentro del parentesis desaparece por ser la fuerza de origenmagnetico perpendicular a la trayectoria del portador. Solo la fuerza de origen electrico realizatrabajo, que sumado para todos los portadores encerrados en un elemento de volumen dτ conducea

dW =s∑

i=1

qini�vi · �E dτ dt = �j · �E dτ dt.

En otras palabras, la potencia mecanica suministrada por unidad de volumen a la distribucion es

dW

dtdτ=

dP

dτ= �j · �E.

• Teorema de Poynting

Acabamos de establecer que sobre una distribucion de corriente el campo electromagnetico realizauna fuerza que por unidad de volumen conduce a la ”inyeccion”de una potencia dada por �j · �E. Siesta expresion es positiva se trata efectivamente de un aporte de energıa por unidad de tiempo alsistema de cargas en ese punto. Si es negativa es el sistema de cargas el que cede esa energıa. Lacuestion que se nos plantea es de quien se extrae o a quien se cede, respectivamente.

Para contestar a esto vamos a presentar la potencia realizada por las fuerzas electromagneticasde otra forma. Usando la Ley de Ampere-Maxwell para expresar la corriente se tendra

�j · �E =

⎛⎝ 1

μ0

�∇× �B − ε0∂ �E

∂t

⎞⎠ · �E =

1

μ0

�E · �∇× �B − ε0�E · ∂ �E

∂t.

Haciendo uso de la identidad

�∇ · ( �E × �B) = �B · �∇× �E − �E · �∇× �B

y sustituyendo �∇× �E a partir de la Ley de Faraday queda

�j · �E = − 1

μ0

�∇ · ( �E × �B) − ε0�E · ∂ �E

∂t− 1

μ0

�B · ∂ �B

∂t.

Los terminos con derivada temporal pueden relacionarse facilmente con las derivadas de E2 y B2,con lo cual llegamos a la expresion final



−�j · �E =∂

∂t(uE + uB) + �∇ · �P ,

donde se definen las cantidades

�P =1

μ0

�E × �B, uE =ε0

2E2, uB =

1

2μ0B2.

La cantidad uE tiene dimensiones de energıa por unidad de volumen, y es dependiente exclusiva-mente del campo electrico en ese punto. Por este motivo se le denomina densidad volumetricade energıa electrica. Analogamente a uB se la denomina densidad volumetrica de energıamagnetica. A �P se le conoce como vector de Poynting, y su significado fısico es el de unflujo de energıa por unidad de superficie transversal. Ya se veran en temas posteriores ejemplosde calculo de energıas y flujos de energıas.

La ecuacion encontrada es el teorema de Poynting, que establece un balance local de energıaen cada instante. En lo que sigue vamos a tratar de interpretar el significado fısico de esta ecuacion.

Quizas la mejor forma de entender la ecuacion se consigue integrandola a un volumen arbitrarioτ . Si hacemos esto, aplicamos el teorema de la divergencia y reordenamos terminos resulta

− d

dt

∫τ(uE + uB) dτ =

∫τ�j · �E dτ +

∮Sτ

�P · d�S,

que debe leerse: la disminucion en la energıa electromagnetica almacenada en una region τ seemplea en trabajo realizado por los campos sobre las cargas y energıa que escapa por su frontera.En otras palabras, parte se transforma en otro tipo de energıa y parte se pierde. La transformacionconsiste en que el sistema de cargas incluido en la region τ modifica su movimiento por efecto dela fuerza de Lorentz, lo cual revierte en una variacion de la energıa mecanica.

Hay que tener en cuenta que en un proceso cualquiera cada uno de los terminos del teoremapuede tener signo positivo o negativo. En efecto, la energıa electromagnetica puede aumentaro disminuir; el flujo de energıa a traves de la frontera puede ser saliente (positivo) o entrante(negativo); el trabajo realizado por la fuerza de Lorentz puede ser tambien positivo o negativo.Si este ultimo es negativo significa, en muchos casos, que existen fuerzas de otro origen que estanactuando en contra del campo electromagnetico. Dichas fuerzas son responsables de que se ganeen energıa electromagnetica. Tal es el caso, por ejemplo, de una central hidroelectrica, en la quela energıa gravitatoria del agua almacenada es responsable de la separacion de carga que producela corriente electrica. La energıa gravitatoria es fuente de energıa electrica. Por tanto, si

∫�j · �Edτ

es negativo, debemos entender que hay otro tipo de energıa (termica, nuclear, quımica, potencial,etc.) que esta actuando como fuente de energıa electromagnetica. Bajo este nuevo punto de vistapodemos reinterpretar el teorema de Poynting escribiendo

−∫

τ�j · �E dτ =

d

dt

∫τ(uE + uB) dτ +

∮Sτ

�P · d�S,

que leemos ahora ası: la potencia cedida por el conjunto de cargas de una region τ al campoelectromagnetico se emplea en aumentar la energıa almacenada en los campos en dicha region yel resto escapa por su frontera.

Hay que hacer enfasis en la realidad independiente de los campos y las partıculas. Estas ultimasconstituyen un sistema mecanico dotado de energıa mecanica (cinetica y de interaccion); por su



parte se acaba de postular que los campos electrico y magnetico almacenan energıa; el teoremade Poynting establece como se intercambia la energıa entre ambos sistemas.

Para clarificar mas el significado del teorema de Poynting, veamos dos ejemplos:

Ejemplos:

1. El Sol constituye un excelente ejemplo de sistema formado por cargas. Su interior es lo que se denomina unplasma, es decir, un gas de partıculas cargadas positiva y negativamente. Las reacciones nucleares que tienen lugaren el constituyen la fuente de energıa electromagnetica. Podemos suponer que posee una temperatura estable, almenos en la escala humana de tiempos, y que por tanto el sistema esta en un estado estacionario. Por tanto laenergıa electromagnetica almacenada es constante y la energıa nuclear se transforma ıntegramente en radiacionelectromagnetica. De los tres terminos involucrados en el teorema de Poynting, solo dos son distintos de cero eiguales entre sı: la energıa nuclear trabaja en contra de los campos electromagneticos, pero no produce un aumentode energıa, sino un flujo hacia el exterior.

2. En un aparato de rayos X un haz de electrones es acelerado por campos electricos muy intensos en cierta region,y luego se les hace chocar, con lo cual pierden su energıa de manera brusca. En este proceso debemos considerardos etapas.

(i) En la primera los electrones adquieren velocidad por el campo electrico aplicado, sin emision apreciable deradiacion, porque la aceleracion de las cargas es relativamente lenta (en el tema 4 veremos que el fenomeno deradiacion requiere aceleracion de cargas). El teorema de Poynting queda en este caso

−∫

τ

�j · �E dτ =d

dt

∫τ

(uE + uB) dτ.

La energıa potencial electrica de las cargas disminuye (uB � 0 y uE < 0) y se transforma ıntegramente en energıamecanica (potencia mecanica positiva, porque �j · �E > 0).(ii) En la segunda etapa los electrones pierden su energıa mecanica tras chocar, pero no ha habido variacion deenergıa electromagnetica almacenada; debemos por tanto decir que toda esa energıa escapa en forma de radiacionX. El teorema queda

−∫

τ

�j · �E dτ =∮

Sτ

�P · d�S,

con ambos terminos positivos (notese que el choque con un material muy masivo es una interaccion con un campoelectrico opuesto a la corriente, y que por tanto �j · �E < 0 en el proceso).

j⋅E<0

j⋅E>0

e

- +

Es instructivo comparar el teorema de Poynting con la ecuacion de continuidad. Ambos sonteoremas de conservacion: uno para la energıa y otro para la carga. Estos teoremas siempre tienenuna misma estructura, a saber, un ”termino fuente”, que caracteriza la creacion o destruccion deuna magnitud (masa, carga, energıa, cantidad de movimiento, etc.), que se iguala a un terminode tasa de crecimiento temporal de dicha magnitud y otro de flujo de la magnitud a traves de lafrontera. En el caso de la energıa electromagnetica existe un termino fuente, −�j · �E, mientras queen el de la carga neta no lo hay, puesto que se postula que se conserva localmente. Si en lugar de



la carga neta se analiza un balance de densidad de portadores de cada especie por separado sı hayen general un termino fuente puesto que las interacciones entre portadores pueden conducir a sucreacion o aniquilacion. En el caso del teorema de Poynting la energıa electromagnetica surge deuna conversion de la energıa mecanica de las partıculas englobadas.

Insistiendo mas en el significado de este tipo de teoremas, pongamos un sımil basado en el sistemade calefaccion de una casa. Los radiadores, estufas, o cualquier otro sistema empleado en el interiorde la casa constituyen las fuentes de energıa termica. La temperatura de la casa es un indicadorde la energıa termica almacenada en su interior. Por ultimo, el calor escapa en cierta medida porlas paredes de la casa (dependiendo de su aislamiento), y en particular por las ventanas. Podemosestablecer el siguiente balance: la potencia calorıfica suministrada por las fuentes es igual a lavariacion de energıa calorıfica almacenada por unidad de tiempo mas la potencia calorıfica queescapa por las paredes y ventanas.

Puede demostrarse que los campos electromagneticos no solo son portadores de energıa, sino tam-bien de momentos lineal y angular. Los teoremas de conservacion de estas magnitudes mecanicasdeben contar con los campos como realidades fısicas del mismo rango que las propias partıculas.

Como ultimo comentario, debemos tener en cuenta que si la descripcion que nos interesa decierto sistema no es como conjunto de portadores sometidos a fuerzas bien definidas (entre ellasla de Lorentz), sino como medios continuos sujetos a lo que se denominan ”leyes constitutivas”,el teorema de Poynting, tal como se ha enunciado, sigue siendo valido pero deja de tener utilidad.Debe en tales casos redefinirse lo que se entiende por energıas electrica y/o magnetica y vector dePoynting, y la interpretacion de los distintos terminos que aparecen en la ecuacion de balance sehace mas complicada. A partir del tema 5, cuando estudiemos el comportamiento electromagneticode los medios materiales, entraremos en descripciones de este ultimo tipo y veremos definicionesde energıas alternativas a las dadas en este apartado.


Documents

Tema 2: Postulados del Electromagnetismo