Tema 3 - Analisis de Deformaciones

LECCIN 3: ANLISIS DE DEFORMACIONES

3.1 Definiciones y terminologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 1

3.2 Anlisis local de la deformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 1

3.3 Interpretacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 3

3.4 Cambios de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 8

3.5 Otros resultados de inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - 9

3-1

LECCIN 3: ANLISIS DE DEFORMACIONES

3.1 Definiciones y terminologa

En tanto en cuanto sea posible, se har uso de la notacin tensorial en los desarrollos de las ecuaciones. Nos restringiremos a sistemas de referencia eucldeos. Al no haber diferencia entre los caracteres contravariante y covariante de los tensores en dichos sistemas, usaremos exclusivamente subndices en los desarrollos.

Cualquier repeticin de ndices corresponder a una contraccin del tensor, salvo que se especifique lo contrario. Por ejemplo:

=

=

n

1iiiii aa

=

=

n

1iijiiji baba

Se designarn con un punto las derivadas totales respecto al tiempo y con una coma las derivadas parciales respecto a las coordenadas espaciales. Por ejemplo:

dtdu

u ii =&

j

ij,i

x

uu

=

La siguiente terminologa ser de uso frecuente:

- vector desplazamiento : ui - vector velocidad : ii uv &= - coordenadas espaciales : xi

3.2 Anlisis local de la deformacin

Considrese un cuerpo antes y despus de deformarse. Un punto P, caracterizado por su radio vector xi, pasar a ser P, caracterizado por xi. Nos ocupamos aqu de las deformaciones continuas:

3-2

Fig. 3.1 Configuracin del cuerpo antes y despus de deformarse

xi = xi (xj) . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

ecuaciones que suponemos tienen una inversa:

xi = xi (xj) . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

de forma que la transformacin es biunvoca.

Las ecuaciones (1) pueden escribirse:

xi = xi + ui . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

donde ui es el vector desplazamiento o corrimiento.

Consideremos ahora dos puntos Po y P de un elemento pequeo de volumen del cuerpo sin deformar, que pasarn a Po y P en la configuracin deformada. Si las deformaciones son pequeas (lo que definimos diciendo que las derivadas ui , j son pequeas, esto es, ui , j

3-3

El tensor gradiente de desplazamientos ui, j puede descomponerse en la suma de dos tensores, uno simtrico y uno hemisimtrico:

( ) ( )i,jj,ii,jj,ij,i uu21

uu21

u ++= . . . . . . . . . . . . . . . (5)

Definimos los siguientes tensores:

( )i,jj,iij uu21

+= . . . . . . . . . . . . . . . . . (6)

( ) ( )i,jj,ij,ii,jij uu21

uu21

== . . . . . . . . . . . . . . . . . (7)

Si llamamos dxi = xi xi0 podemos reescribir la ecuacin (4)

ui = ui0 + i

j dxj i j dxj . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8)

Llamaremos tensor de deformaciones al ij y tensor de giros al ij. El motivo de asignar estos nombres se entender en la prxima seccin.

3.3 Interpretacin

Interpretamos ahora el significado fsico de los tres sumandos de la ecuacin (8). Se ver que dos de ellos corresponden a movimientos de slido rgido (traslaciones y giros) mientras que el otro representa el proceso de deformacin propiamente dicho.

a) Traslacin de slido rgido

Es claro que, si ij = ij = 0, se sigue que ui = ui0. El punto P y el Po tienen idntico desplazamiento independientemente de dxj, es decir, independientemente de la posicin relativa de P respecto de Po. El movimiento ui0 representa por tanto una traslacin de slido rgido, igual para todos los puntos del entorno.

b) Giro de slido rgido

La interpretacin del ltimo trmino i j dxj es ms clara si se construye el vector dual i en la forma:

p4notewifiwwRectngulo

p4notewifiwwDestacar


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p4notewifiwwLnea



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3-4

ijkijk 21

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (9)

es decir 1 = 23 2 = 31 3 = 12.

Recurdese que ijk es el tensor de permutacin, cuyas componentes son 0, 1 1, segn haya ndices repetidos, sean distintos en orden directo o distintos en orden inverso, respectivamente. Recurdese tambin que ijk ajk = 0 si y slo si ajk = akj ; que ijk xj yk representa el producto vectorial yx ; y que ijk uk , j representa el rotacional utor . Adems, dada una matriz aij, la expresin ijk a1i a2j a3k representa su determinante.

El vector k es el vector dual del tensor hemisimtrico ij. La relacin entre ambos expresada en la ecuacin (9) puede tambin escribirse:

ij = ijk k . . . . . . . . . . . . . . . . . (10)

Con esta definicin del vector i, veamos cul es el valor de ij dxj. Reemplazando el valor de ij de la ecuacin anterior, se puede escribir:

ij dxj = ijk k dxj = ijk j dxk . . . . . . . . . . . . . . . . (11)

que no es otra cosa que el producto vectorial xd .

El movimiento descrito por el producto vectorial dx es un giro caracterizado por el vector de giro y cuyo eje pasa por P0. Por tanto, el trmino ij dxj corresponde a un giro puro sin deformacin. Las distancias relativas entre puntos se conservan.

Es inmediato verificar que el vector resulta ser precisamente la mitad del rotacional del campo de desplazamientos:

utor21

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (12)

Para ello basta observar la expresin del rotacional de ui, que puede fcilmente comprobarse que es kij uj, i. Por ejemplo, la primera componente es:


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p4notewifiwwLnea






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3-5

( ) 13

2

2

3231 utor2

1x

u

x

u

21

=

==

Hay que recordar que, en todo lo anterior, sigue suponindose que los giros son pequeos.

c) Deformacin

Se ha visto que el primer trmino de la ecuacin (8) corresponde a una traslacin y el ltimo a un giro. Esto incluye todos los movimientos posibles de un slido rgido. El trmino restante deber por tanto representar la deformacin del cuerpo. Para ello estudiaremos el significado fsico de las componentes del tensor ij. Comenzaremos con la componente 11.

Fig. 3.2 Posicin relativa de P0 y P con las componentes 1 de sus desplazamientos

Considrese que los dos puntos P y Po estn alineados con el eje x1 (Fig. 3.2); Po tiene un corrimiento ui0, P tiene ui. Se cumplir:

ui = ui0 + ui , j ( xj xj0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . (13)

El desplazamiento relativo es:

ui ui0 = ui , j ( xj xj0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . (14)

Si Po y P estn sobre el eje x1 , la componente 1 del desplazamiento relativo es:

u1 u10 = u1 , 1 ( x1 x10 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . (15)

es decir:

011

011

1,111xx

uuu

== . . . . . . . . . . . . . . . . . (16)

P0

P0

P

P u10 u1



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3-6

Esto indica que 11 es el desplazamiento relativo por unidad de longitud en la direccin del eje x1; es decir, 11 representa el alargamiento unitario de un segmento paralelo al eje x1.

Lo mismo ocurre con 22 y 33, salvo que las direcciones son x2 y x3 respectivamente. Las ii son las extensiones o deformaciones longitudinales o normales. Miden lo que se estiran o encogen segmentos situados paralelamente a los ejes. Los valores positivos corresponden a los alargamientos y los negativos a los acortamientos.

Quedan por interpretar las componentes ij tales que i j. Para ello, considrese un cuadrado elemental con lados paralelos a los ejes x e y.

Fig. 3.3 Evolucin de ABC durante la deformacin

Llamaremos aqu u a la componente x del desplazamiento; v es la componente y. El desplazamiento horizontal relativo de B respecto a A deber ser segn la ecuacin (13):

dxx

uduB

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (17)

duB = dx

x

, u

dvB = dx

duC = dy y u

y , v

A B

C

v x

dvC = dy v y

x u

d

d

dx

dy

B

C








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3-7

Los otros trminos son nulos, pues el vector AB slo tiene componente x. De forma idntica obtenemos:

dxx

vdvB

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (18)

dyyuduC

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (19)

dyyvdvC

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (20)

Puesto que el ngulo d es pequeo:

dxx

udx

dxx

v

dtgd

+

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (21)

y como :1x

u

3-8

ngulo recto con lados inicialmente paralelos a xi y yj. Estas componentes ij (y j) se llaman deformaciones tangenciales o cortantes.

En consecuencia, en la matriz que representa al tensor de deformaciones, los trminos de la diagonal principal describen las deformaciones lineales (cambios unitarios de longitud de segmentos paralelos a los ejes), mientras que los otros trminos describen las distorsiones angulares.

Es interesante observar que el tensor de giros puede interpretarse tambin utilizando los conceptos anteriores. Es claro que:

( ) dd21

12 = . . . . . . . . . . . . . . . . . (26)

que, evidentemente, es el giro sufrido por la bisectriz del ngulo inicialmente recto.

3.4 Cambios de volumen

Consideremos un cubo de lado L con aristas paralelas a los ejes coordenados. Al deformarse, sus aristas medirn L ( 1 + 11 ), L ( 1 + 22 ) y L ( 1 + 33 ). Podemos entonces calcular la dilatacin cbica o cambio unitario de volumen:

VVV

VV

=

=

3

3332211

LL)1(L)1(L)1(L +++

=

3

3332211

3

LL)1(L +++

=

donde se han despreciado los trminos de orden superior por ser pequeos todos los ij. En suma:

= 11 + 22 + 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . (27)

La dilatacin cbica es, por tanto, igual a la traza del tensor ij :

= ii . . . . . . . . . . . . . . . . . (28)


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3-9

es decir, la suma de los trminos de la diagonal principal. Puesto que ii = ui, i podemos escribir:

i,iu= . . . . . . . . . . . . . . . . . (29)

lo que en notacin vectorial es:

udiv= . . . . . . . . . . . . . . . . . (30)

Es claro, entonces, que la condicin necesaria y suficiente para que la deformacin ocurra sin cambio de volumen es que la divergencia del campo de desplazamientos sea nula, esto es, que el campo de desplazamientos sea solenoidal.

Resulta conveniente a menudo separar el tensor de deformaciones en dos partes:

ijijij e3+= . . . . . . . . . . . . . . . . . (31)

donde el tensor eij se define como la diferencia:

ijijij 3e = . . . . . . . . . . . . . . . . . (32)

Este tensor se conoce como el tensor desviador de deformaciones. Es evidente que la dilatacin cbica asociada al primer sumando de (31) (parte istropa o hidrosttica) es ; mientras que la asociada al segundo (parte desviadora) es nula. El resultado es una descomposicin del tensor ij en dos partes: una que incluye slo el cambio de volumen (sin cambiar la forma) y otra que engloba todo lo dems (que son los cambios de forma a volumen constante). Esta descomposicin es conveniente, porque las ecuaciones que rigen el cambio de volumen de los cuerpos suelen ser fundamentalmente distintas de las que gobiernan el resto de las deformaciones.

3.5 Otros resultados de inters

Sin entrar en detalles, conviene presentar otros resultados interesantes que ataen al tensor de deformaciones.




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3-10

a) Rotacin de ejes:

Si giramos los ejes xi a un sistema nuevo xi:

xi = Qij xj . . . . . . . . . . . . . . . . . (33)

donde Qij es la matriz del cambio de coordenadas. La nueva expresin de las componentes del tensor de deformaciones es:

km = ij Qki Qmj . . . . . . . . . . . . . . . . . (34)

como para cualquier tensor de segundo orden.

b) La dilatacin cbica es invariante frente a giros del sistema de ejes. Para verlo, basta observar que :

kk = ij Qki Qkj . . . . . . . . . . . . . . . . . (35)

Pero, puesto que xi y xi son ambos sistemas ortonormales :

Qki Qkj = ij . . . . . . . . . . . . . . . . . (36)

con lo que:

kk = ij ij

= ii . . . . . . . . . . . . . . . . . (37)

c) Para cada estado de deformacin existe un conjunto de ejes xi mutuamente perpendiculares que hace diagonal la matriz que representa al tensor; en los nuevos ejes:


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3-11

ij =

33

22

11

000000

Dichos ejes se llaman ejes principales. Los ngulos rectos con lados inicialmente paralelos a las direcciones principales no sufren distorsin durante el proceso de deformacin. Los tres valores 11, 22, 33 en dichos ejes son las deformaciones principales. Las deformaciones principales incluyen entre ellas a la mxima y mnima deformacin normal en el punto considerado.

d) Las mximas deformaciones cortantes estn a 45 con respecto a las direcciones principales. Sus valores son semidiferencias de las deformaciones principales.










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