Tema 3. Divisibilidad de números naturales

Tema 3: Divisibilidad de números naturales.

Gema Isabel Marín Caballero Página 1 de 36

ÍNDICE

1. DIVISIBILIDAD 3

1.1. Definición de divisibilidad ...................................................................................................................... 3

1.2. Relación de divisibilidad ......................................................................................................................... 3

1.2.1. Definición ...................................................................................................................................................... 3

2. MÚLTIPLOS 4

2.1. Definición ................................................................................................................................................... 4

2.2. Múltiplos de un número .......................................................................................................................... 4

2.3. Propiedades ............................................................................................................................................... 6

3. DIVISORES 7

3.1. Definición ................................................................................................................................................... 7

3.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 8

4. RESUMEN DE CONCEPTOS 9

4.1. Relación entre divisible por, múltiplo y divisor ............................................................................... 9

5. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 10

5.1. Definición ................................................................................................................................................. 10

5.2. Criterios de divisibilidad más comunes........................................................................................... 10

5.2.1. Por 2 ............................................................................................................................................................ 10

5.2.2. Por 3 ........................................................................................................................................................... 10

5.2.3. Por 5 ........................................................................................................................................................... 10

5.2.4. Por 9 ........................................................................................................................................................... 11

5.2.5. Por 10 .......................................................................................................................................................... 11

5.2.6. Por 11 .......................................................................................................................................................... 11

5.2.7. Tabla – Resumen ....................................................................................................................................... 11

5.3. Otros criterios de divisibilidad ........................................................................................................ 12

5.3.1. Por 4 ............................................................................................................................................................ 12

5.3.2. Por 6 ........................................................................................................................................................... 12

5.3.3. Por 7 ........................................................................................................................................................... 12

5.3.4. Por 8 ........................................................................................................................................................... 12

5.3.5. Por 25 ......................................................................................................................................................... 13

5.3.6. Por 125 ....................................................................................................................................................... 13

5.3.7. Tabla – Resumen ....................................................................................................................................... 13



6. NÚMEROS PRIMOS 13

6.1. Definición ................................................................................................................................................. 13

6.2. Criba de Eratóstenes ........................................................................................................................... 14

6.2.1. Ejercicio ..................................................................................................................................................... 14

6.3. Tabla de números primos .................................................................................................................... 15

6.4. Reglas para comprobar si un número es primo ............................................................................. 15

7. NÚMEROS COMPUESTOS 16

7.1. Definición ................................................................................................................................................. 16

7.2. Factorizar un número o Descomposición de un número en factores primos ....................... 16

8. CÁLCULO DE TODOS LOS DIVISORES USANDO LA FACTORIZACIÓN 17

9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 19

9.1. Definición ................................................................................................................................................. 19

9.2. Cálculo del máximo común divisor..................................................................................................... 19

9.3. Ejercicios ................................................................................................................................................ 20

9.4. Dos números son primos entre sí ..................................................................................................... 21

10. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 21

10.1. Definición ............................................................................................................................................... 21

10.2. Cálculo del mínimo común múltiplo .................................................................................................. 21

10.3. Ejercicios .............................................................................................................................................. 22

11. RELACIÓN ENTRE M.C.D. Y M.C.M. 23

12. EJERCICIOS 23

13. PROBLEMAS 33



1. DIVISIBILIDAD

1.1. Definición de divisibilidad

La palabra divisibilidad se refiere a la parte de la aritmética que estudia las condiciones que han de tener los números para ser divisibles por otros, es decir, que se puedan dividir exactamente.

Este concepto es muy antiguo y surgió cuando el hombre tuvo la necesidad de repartir cosas

entre varios.

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», «a es divisible por b», «a es un divisor de b» o «b es múltiplo de a». A continuación, se estudiarán estos conceptos.

1.2. Relación de divisibilidad

1.2.1. Definición

Un número a es divisible por otro número b (distinto de cero) cuando la división es exacta.

a es divisible por b a : b = c División exacta (resto = 0)

D d D = dividendo = a

d = divisor = b ≠ 0

c = cociente

Resto = 0

0 c

Ejemplo: ¿ 4 es divisible por 12 ?

4 es divisible por 12, ya que resulta de dividir 12 entre 4.

12 : 4 = 3

a = 12, b = 4, c = 3

También se dice que a es divisible entre b si existe un número c tal que b = a · c.

Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando uno cabe en el otro una

cantidad exacta de veces, es decir, su división es exacta.

D contiene un número exacto c de veces a d.

Si D es divisible por d, decimos que entre D y d existe una relación de divisibilidad.

Ejemplo: En una estantería de 80 cm caben, exactamente, cuatro cazuelas de 20 cm.

Solución:

80 : 20 = 4

El número 20 cabe una cantidad exacta de veces (4) en 80.

20 es divisible entre 80.



2. MÚLTIPLOS

2.1. Definición

Un número a es múltiplo de otro número b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro

número c.

a es múltiplo de b a = b · c

Ejemplo: ¿ 18 es múltiplo de 2 ?

18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9.

18 = 2 · 9

Por la misma razón, 18 es múltiplo de 9.

a = 18, b = 2, c = 9 ó bien a = 18, b = 9, c = 2

Otra forma más fácil de saber si a es múltiplo de b, es resolviendo la división a : b y

comprobar que la división es exacta, es decir, el resto es 0.

Por tanto, un múltiplo natural se obtiene al multiplicarlo por cualquier número natural.

2.2. Múltiplos de un número

Los múltiplos de un número b son otros números a, de igual o mayor tamaño, que lo contienen

una cantidad exacta de veces c y se obtienen multiplicándolo por cualquier otro número natural c. Es

decir, los múltiplos de un número se calculan con la tabla de multiplicar.

Ejemplo: La longitud recorrida por una rana en sucesivos saltos de 20 cm.

Solución:

1 salto 20 cm

2 saltos 40 cm

3 saltos 60 cm

4 saltos 80 cm

5 saltos 100 cm

……

Los números 20, 40, 60, 80, 100, … contienen a 20 una cantidad exacta de veces (1, 2, 3,

4, 5, …). Por tanto, todos ellos son múltiplos de 20.

Todos estos números se obtienen multiplicando 20 por un número natural:

20 · 1 = 20 20 · 2 = 40 20 · 3 = 60 ……



Ejemplos:

a) Múltiplos de 2:

2 · 0 = 0 2 · 1 = 2 2 · 2 = 4 2 · 3 = 6 2 · 4 = 8

2 · 5 = 10 2 · 6 = 12 2 · 7 = 14 2 · 8 = 16 2 · 9 = 18

b) Múltiplos de 3:

3 · 0 = 0 3 · 1 = 3 3 · 2 = 6 3 · 3 = 9 3 · 4 = 12

3 · 5 = 15 3 · 6 = 18 3 · 7 = 21 3 · 8 = 24 3 · 9 = 27

c) Múltiplos de 4:

4 · 0 = 0 4 · 1 = 4 4 · 2 = 8 4 · 3 = 12 4 · 4 = 16

4 · 5 = 20 4 · 6 = 24 4 · 7 = 28 4 · 8 = 32 4 · 9 = 36

d) Múltiplos de 5:

5 · 0 = 0 5 · 1 = 5 5 · 2 = 10 5 · 3 = 15 5 · 4 = 20

5 · 5 = 25 5 · 6 = 30 5 · 7 = 35 5 · 8 = 40 5 · 9 = 45

e) Múltiplos de 6:

6 · 0 = 0 6 · 1 = 6 6 · 2 = 12 6 · 3 = 18 6 · 4 = 24

6 · 5 = 30 6 · 6 = 36 6 · 7 = 42 6 · 8 = 48 6 · 9 = 54

f) Múltiplos de 7:

7 · 0 = 0 7 · 1 = 7 7 · 2 = 14 7 · 3 = 21 7 · 4 = 28

7 · 5 = 35 7 · 6 = 42 7 · 7 = 49 7 · 8 = 56 7 · 9 = 63

g) Múltiplos de 8:

8 · 0 = 0 8 · 1 = 8 8 · 2 = 16 8 · 3 = 24 8 · 4 = 32

8 · 5 = 40 8 · 6 = 48 8 · 7 = 56 8 · 8 = 64 8 · 9 = 72

h) Múltiplos de 9:

9 · 0 = 0 9 · 1 = 9 9 · 2 = 18 9 · 3 = 27 9 · 4 = 36

9 · 5 = 45 9 · 6 = 54 9 · 7 = 63 9 · 8 = 72 9 · 9 = 81

i) Múltiplos de 10:

10 · 0 = 0 10 · 1 = 10 10 · 2 = 20 10 · 3 = 30 10 · 4 = 40

10 · 5 = 50 10 · 6 = 60 10 · 7 = 70 10 · 8 = 80 10 · 9 = 90



2.3. Propiedades

1) Todo número a, distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

Si a ≠ 0 a es múltiplo de a y a es múltiplo de 1

Ejemplo:

Si a = 5 5 es múltiplo de 5 y 5 es múltiplo de 1 porque 5 = 5 · 1

2) El cero es múltiplo de todos los números.

0 es múltiplo de b

Ejemplo:

0 es múltiplo de 5 porque 0 = 0 · 5

3) Todo número b, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.

Si b ≠ 0 Múltiplos de b son infinitos

Ejemplo:

Si b = 3 Múltiplos de 3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ……

Es la tabla de multiplicar de 3.

4) Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.

Si a es múltiplo de b a : b = c y resto = 0

Ejemplo:

Si 6 es múltiplo de 2 6 : 2 = 3 y resto = 0

5) La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

Si a1 y a2 son múltiplos de b (a1 + a2) es múltiplo de b

Ejemplo:

Si 4 es múltiplo de 2 y 6 es múltiplo de 2 4 + 6 = 10 10 es múltiplo de 2

4 = 2 · 2 6 = 2 · 3


6) La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

Si a1 y a2 son múltiplos de b (a2 – a1) es múltiplo de b

Ejemplo:

Si 4 es múltiplo de 2 y 6 es múltiplo de 2 6 – 4 = 2 2 es múltiplo de 2

4 = 2 · 2 6 = 2 · 3




7) Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c a es múltiplo de c

Ejemplo:

Si 18 es múltiplo de 9 y 9 es múltiplo de 3 18 es múltiplo de 3

8) Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Si a es múltiplo de b Múltiplos de a son múltiplos de b

Ejemplo:

Si 12 es múltiplo de 4 Múltiplos de 12 = 0, 12, 24, 36, 48, … son múltiplos de 4

3. DIVISORES

3.1. Definición

Los divisores de un número a son otros números b, de igual o menor tamaño, que están

contenidos en él una cantidad exacta de veces c.

Ejemplo: Se tiene un grupo de 20 chicos y chicas, y se quieren dividir en equipos iguales, ¿en

cuántas distintas formas son posibles?

Solución:

Divisores de 20

Número de equipos 1 2 4 5 10 20

Número de chicos/as 20 10 5 4 2 1

Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 está contenido en 20 una cantidad exacta de

veces (20, 10, 5, 4, 2, 1). Por tanto, todos ellos son divisores de 20.

20 : 1 = 20 20 : 4 = 5 20 : 10 = 2

20 : 2 = 10 20 : 5 = 4 20 : 20 = 1

Todos estos números forman parejas cuyo producto es 20:

1 · 20 = 20 2 · 10 = 20 4 · 5 = 20

Un número b es un divisor de otro número a cuando al dividir a entre b la división es exacta,

es decir, el resto es 0.

b es divisor de a a : b = c División exacta (resto = 0)



Ejemplo: ¿ 4 es divisor de 12 ?

4 es divisor de 12, ya que resulta de dividir 12 entre 4.

12 : 4 = 3

a = 12, b = 4, c = 3

Por la misma razón, 3 es divisor de 12.

a = 12, b = 4, c = 3 ó bien a = 12, b = 3, c = 4

A los divisores también se les llama factores.

NOTA: Hay varias formas para calcular los divisores:

1) Dividimos el número por todos los números naturales (en orden) por los que sea divisible (la

división sea exacta), hasta llegar a una división en la que el cociente < divisor.

2) Dividimos el número por todos los números naturales (en orden) por los que sea divisible (la

división sea exacta), hasta llegar a la mitad del divisor.

3) Usamos la descomposición del divisor en factores primos.

Ejemplos:

a) Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12

b) Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

3.2. Propiedades

1) Todo número b, distinto de 0, es divisor de sí mismo.

Si b ≠ 0 b es divisor de b

Ejemplo:

Si b = 6 6 es divisor de 6 porque 6 : 6 = 1

2) El 1 es divisor de todos los números.

1 es divisor de a

Ejemplo:

1 es divisor de 6 porque 6 : 1 = 6

3) Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto, el número de

divisores es finito.

Si a ≠ 0 Divisores de a ≤ a

Ejemplo:

Si a = 6 Divisores de 6 = 1, 2, 3, 6



4) Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.

Si b es divisor de a1 y a2:

b es divisor de a1 + a2

b es divisor de a2 – a1

Ejemplo:

Si 2 es divisor de 4 y 6:

2 es divisor de 4 + 6 = 10 porque 10 : 2 = 5

2 es divisor de 6 – 4 = 2 porque 2 : 2 = 1

5) Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero.

Si b es divisor de a b es divisor de los múltiplos de b

Ejemplo:

Si 5 es divisor de 10 5 es divisor de los múltiplos de 5 = 0, 5, 10, 15, …





……

6) Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es divisor del tercero.

Si b es divisor de a y a es divisor de c b es divisor de c

Ejemplo:

Si 5 es divisor de 10 y 10 es divisor de 30 5 es divisor de 30

4. RESUMEN DE CONCEPTOS

4.1. Relación entre divisible por, múltiplo y divisor

a : b = c a b a = dividendo

b = divisor b ≠ 0

c = cociente

Resto = 0

División exacta

a es divisible por / entre b

a es múltiplo de b

b es divisor de a

Entre a y b existe una relación de divisibilidad.

0 c

Ejemplo: Completar los huecos con números para que se cumpla la relación.

a) ___ es divisible por 2 Solución: 2, 4, 12, 144, …

b) 81 es múltiplo de ___ Solución: 3, 9

c) 15 es divisor de ___ Solución: 30, 625, …

d) 100 es múltiplo de ___ y ___ Solución: 2 y 5, 1 y 10


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Ejemplo: Realiza los cálculos adecuados para determinar si las siguientes afirmaciones son

verdaderas o falsas:

a) 125 es divisor de 625 Solución: Verdadero porque 625 = 125 · 5

b) 132 es múltiplo de 6 Solución: Verdadero porque 132 = 6 · 22

c) 146 es múltiplo de 13 Solución: Falso porque 146 = 13 · 11 + 3

d) 80 es divisor de 40 Solución: Falso porque 80 > 40 y debe ser menor.

5. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

5.1. Definición

Los criterios de divisibilidad son una serie de reglas, muy simples, que permiten descubrir con

rapidez, sin tener que hacer operaciones, cuándo un número es divisible entre otro, es decir, si un

número es múltiplo de 2, 3, 5, …

5.2. Criterios de divisibilidad más comunes

5.2.1. Por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

Ejemplos:

10 es divisible por 2 porque 10 : 2 = 5



1.024 es divisible por 2 porque 1.024 : 2 = 512

5.2.2. Por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplos:

564 es múltiplo de 3 5 + 6 + 4 = 15, es múltiplo de 3 porque 15 = 3 · 5

777 es múltiplo de 3 7 + 7 + 7 = 21, es múltiplo de 3 porque 21 = 3 · 7

2.040 es múltiplo de 3 2 + 0 + 4 + 0 = 6, es múltiplo de 3 porque 6 = 3 · 2

5.2.3. Por 5

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

Ejemplos:




7.525 es divisible por 5 porque 7.525 : 5 = 1.505



5.2.4. Por 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplos:

81 es divisible por 9 8 + 1 = 9 9 es múltiplo de 9

1.098 es divisible por 9 1 + 0 + 9 + 8 = 9 18 es múltiplo de 9

3.663 es divisible por 9 3 + 6 + 6 + 3 = 18 18 es múltiplo de 9

5.2.5. Por 10

Un número es divisible por 10, si termina en cero.

Ejemplos:



10.230 es divisible por 10 porque 10.230 : 10 = 1.023

5.2.6. Por 11

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es cero o múltiplo de 11.

Ejemplos:

121 es divisible por 11 (1 + 1) – 2 = 2 – 2 = 0

4.224 es divisible por 11 (4 + 2) – (2 + 4) = 6 – 6 = 0

13.101 es divisible por 11 (3 + 0) – (1 + 1 + 1) = 3 – 3 = 0

5.2.7. Tabla – Resumen

En la tabla siguiente, se presenta un resumen de los criterios de divisibilidad más comunes.

Número Criterio de divisibilidad Ejemplos

2 Si termina en cero o cifra par. 10, 24, 238, 1.024, …

3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 564, 777, 2.040, …

5 Si termina en cero o cinco. 10, 45, 515, 7.525, …

9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 81, 1.098, 3.663, …

10 Si termina en cero. 130, 1.440, 10.230, …

11 Si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares

pares y la de los impares es cero o múltiplo de 11. 121, 4.224, 13.101, …



36

5.3. Otros criterios de divisibilidad

5.3.1. Por 4

Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

Ejemplos:

36 es divisible por 4 36 es múltiplo de 4 porque 36 = 4 · 9

400 es divisible por 4 porque tiene 00

1.028 es divisible por 4 1.028 es múltiplo de 4 porque 1.028 = 4 · 257

5.3.2. Por 6

Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

Ejemplos:

72 es divisible por 6:



324 es divisible por 6:



1.500 es divisible por 6:



5.3.3. Por 7

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7.

Ejemplos:

105 es divisible por 7 10 – 5 · 2 = 0, es múltiplo de 7



2.261 es divisible por 7 226 – 1 · 2 = 224, es múltiplo de 7

5.3.4. Por 8

Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

Ejemplos:

4.000 es divisible por 8 porque tiene 000

1.048 es divisible por 8 048 es múltiplo de 8 porque 048 = 8 · 6




36

5.3.5. Por 25

Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.

Ejemplos:

500 es divisible por 25 porque tiene 00



5.3.6. Por 125

Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.

Ejemplos:

1.000 es divisible por 125 porque tiene 000



5.3.7. Tabla – Resumen

En la tabla siguiente, se presenta un resumen de otros criterios de divisibilidad.

Número Criterio de divisibilidad Ejemplos

4 Si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. 36, 400, 1.028, …

6 Si es divisible por 2 y por 3. 72, 324, 1.500, …

7 Cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades

y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7. 105, 224, 343, 2.261, …

8 Si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8. 4.000, 1.048 , 1.512, …

25 Si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25. 500, 1.025, 1.875, …

125 Si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125. 1.000, 1.125, 4.250, …

6. NÚMEROS PRIMOS

6.1. Definición

Un número primo es aquél que no se puede descomponer en factores.

Por tanto, un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

Ejemplos:

5 Divisores de 5 = 1, 5






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El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos como primo.

Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos

menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al

divisor, se dice que el número es primo.

Ejemplo:

Por tanto, 179 es un número primo.

6.2. Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores

que un número natural dado.

1) Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un determinado número.

2) Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.

3) Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la

lista sus múltiplos, y así sucesivamente.

4) El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que

el número final de la lista.

5) Los números que permanecen en la lista son los primos.

6.2.1. Ejercicio

1) Calcular por el algoritmo de la criba de Eratóstenes los números primos menores que 40:

a) Escribimos los números comprendidos entre 2 y 40.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

b) Eliminamos los múltiplos de 2 porque 22 < 40.

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

c) El siguiente número es 3, como 32 < 40 eliminamos los múltiplos de 3.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 25 29 31 35 37



36

d) El siguiente número es 5, como 52 < 40 eliminamos los múltiplos de 5.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37

e) El siguiente número es 7, como 72 > 40 el algoritmo termina y los números que nos quedan son

primos.

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37

6.3. Tabla de números primos

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37

41 43 47 53 59

61 67 71 73 79

83 89 97

101 103 107 109 113

127 131 137 139

149 151 157

163 167 173 179

181 191 193 197 199

6.4. Reglas para comprobar si un número es primo

Existen algunas reglas que permiten comprobar si un número es primo.

Todo número que termina en 0, 2, 4, 5, 6 u 8, o cuyos dígitos suman un número divisible por 3, no

es primo.

Los números que terminan en 1, 3, 7 ó 9 pueden ser primos o no.

Utilizar los criterios de divisibilidad.



36

7. NÚMEROS COMPUESTOS

7.1. Definición

Un número compuesto es aquél que posee más de dos divisores. Es decir, se puede dividir por

sí mismo, por la unidad y por otros números.

Ejemplos:

12 Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12.

15 Divisores de 15 = 1, 3, 5, 15.

32 Divisores de 32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos,

a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.

Ejemplo: 70 = 2 · 5 · 7

7.2. Factorizar un número o Descomposición de un número en factores primos

Factorizar un número consiste en descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo

como producto de sus divisores primos.

Para factorizar un número o descomponerlo en factores primos efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente. Esto es, el número lo

dividimos entre 2 tantas veces como sea posible; después, entre 3; luego, entre 5; y así sucesivamente

entre los siguientes primos hasta obtener 1 en el cociente.

Por tanto, los divisores de un número permiten su descomposición en forma de productos de

dos o más factores.

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los

divisores primos y a la izquierda los cocientes.

Ejemplos:

432

216

108

54

27

9

3

1

2

2

2

2

3

3

3

2.520

1.260

630

315

105

35

7

1

2

2

2

3

3

5

7

432 = 24 · 33 2.520 = 23 · 32 · 5 · 7



36

8. CÁLCULO DE TODOS LOS DIVISORES USANDO LA FACTORIZACIÓN

Para calcular todos los divisores, usamos la descomposición en factores primos.

Ejemplo: Calcula todos los divisores de 72.

72

36

18

9

3

1

2

2

2

3

3

72 = 23 · 32

1º Escribimos todas las potencias de base 2, desde 20 hasta 23.


3º Estas potencias las organizamos en una tabla de doble entrada y multiplicamos unas por

otras.

4º Los productos son todos los divisores de 72.

20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8

30 = 1 1 2 4 8

31 = 3 3 6 12 24

32 = 9 9 18 36 72

Solución: Todos los divisores de 72 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Ejemplo: Calcula todos los divisores de 1.125.

1.125

375

125

25

5

1

3

3

5

5

5

1.125 = 32 · 53



36




otras.

4º Los productos son todos los divisores de 1.125.

30 = 1 31 = 3 32 = 9

50 = 1 1 3 9

51 = 5 5 15 45

52 = 25 25 75 225

53 = 125 125 375 1.125

Solución: Todos los divisores de 1.125 son 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 125, 225, 375, 1.125

Ejemplo: Calcula todos los divisores de 1.125.

90

45

15

5

1

2

3

3

5

90 = 2 · 32 · 5




4º Eliminamos 50 porque es igual a 20.

5º Escribimos el producto de potencias de 21 y 51.


otras.


20 = 1 21 = 2 51 = 5 21 · 51 = 10

30 = 1 1 2 5 10

31 = 3 3 6 15 30

32 = 9 9 18 45 90

Solución: Todos los divisores de 90 son 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90



36

Ejemplo: Calcula todos los divisores de 540.

540

270

135

45

15

5

1

2

2

3

3

3

5

540 = 22 · 33 · 5




4º Eliminamos 50 porque es igual a 20.

5º Escribimos el producto de potencias desde 21 hasta 22 con 51.


otras.


20 = 1 21 = 2 22 = 4 51 = 5 21 · 51 = 10 22 · 51 = 20

30 = 1 1 2 4 5 10 20

31 = 3 3 6 12 15 30 60

32 = 9 9 18 36 45 90 180

33 = 27 27 54 108 135 270 540

Solución: Todos los divisores de 540 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36,

45, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

9.1. Definición

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente, es decir, es el mayor de sus divisores.

9.2. Cálculo del máximo común divisor

1) Se descomponen los números en factores primos.

2) Se toman los factores comunes con menor exponente.



36

9.3. Ejercicios

1) Hallar el m.c.d. de 72, 108 y 60

Solución:


72

36

18

9

3

1

2

2

2

3

3

108

54

27

9

3

1

2

2

3

3

3

60

30

15

5

1

2

2

3

5

72 = 23 · 32 108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5

2) Se toman los factores comunes con menor exponente.

m.c.d. (72, 108, 60) = 23 · 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m.c.d.

El número 12 es divisor de 36.

m.c.d. (12, 36) = 12

2) Hallar el m.c.d. de:

a) 25 · 33

24 · 7

Solución: m.c.d. = 24 = 16

b) 23 · 33 · 57

25 · 32 · 5

Solución: m.c.d. = 23 · 32 · 5 = 8 · 9 · 5 = 360

c) 7 · 115 · 13

53 · 132

74 · 11

Solución: m.c.d. = 1



36

9.4. Dos números son primos entre sí

Dos números son primos entre sí cuando su máximo común divisor es 1.

Ejemplo: Comprueba si estos números son primos entre sí:

a) 18 y 75

Solución:

18 = 2 · 32

75 = 3 · 52

m.c.d. (18, 75) = 3

Por tanto, 18 y 75 no son primos entre sí.

b) 84 y 715

Solución:

84 = 22 · 3 · 7

715 = 5 · 11 · 13

m.c.d. (84, 715) = 1

Por tanto, 84 y 715 son primos entre sí.

10. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

10.1. Definición

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de todos sus múltiplos comunes, excluido el cero.

10.2. Cálculo del mínimo común múltiplo


2) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.



36

10.3. Ejercicios

1) Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60

Solución:


72

36

18

9

3

1

2

2

2

3

3

108

54

27

9

3

1

2

2

3

3

3

60

30

15

5

1

2

2

3

5

72 = 23 · 32 108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5


m.c.m. (72, 108, 60) = 23 · 3 · 5 = 1.080

1.080 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60.

Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m.c.m. de ambos.

El número 36 es múltiplo de 12.

m.c.m. (12, 36) = 36

2) Hallar el m.c.m. de:

a) 25 · 33

24 · 7

Solución: m.c.m. = 25 · 33 · 7 = 32 · 27 · 7 = 6.048

b) 23 · 33 · 57

25 · 32 · 5

Solución: m.c.m. = 25 · 33 · 57 = 32 · 27 · 78.125 = 67.500.000

c) 7 · 115 · 13

53 · 132

74 · 11

Solución: m.c.m. = 53 · 74 · 115 · 132 = 125 · 2.401 · 161.051 · 169 = 8.168.687.902.375



36

11. RELACIÓN ENTRE M.C.D. Y M.C.M.

m.c.d. (a, b) · m.c.m. (a, b) = a · b

Ejemplo:

m.c.d. (12, 16) = 22 = 4

m.c.m. (12, 16) = 24 · 3 =48

12 = 22 · 3

16 = 24

m.c.d. (12, 16) · m.c.m. (12, 16) 4 · 48 = 12 · 16 192 = 192

12. EJERCICIOS

1) Halla los 5 primeros múltiplos de 25.

Solución: Vamos sumando de 25 en 25 y tenemos:

50, 75, 100, 125, 150

2) Halla todos los múltiplos de 18 menores de 225.

Solución: Vamos sumando de 18 en 18 hasta que lleguemos a 225 o nos pasemos, y tenemos:

18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216

3) Calcular todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.

Forma 1:

1º Dividimos:

800 : 17 = 47 Resto = 1 800 = 17 · 47 + 1

860 : 17 = 50 Resto = 10 860 = 17 · 50 + 10

Los múltiplos empiezan a partir de 47 + 1 = 48 y terminan en 50.

Calculamos los múltiplos hasta que lleguemos a 860 o nos pasemos:

17 · 48 = 816

17 · 49 = 833

17 · 50 = 850

17 · 51 = 867

Esta última división no se hace si previamente hemos hecho 860 : 17.



36

Forma 2:

1º Dividimos:

800 : 17 = 47 Resto = 1 800 = 17 · 47 + 1

2º Calculamos 17 · 47 = 799

3º Calculamos el primer múltiplo: 799 + 17 = 816

4º Vamos sumando de 17 en 17 y hasta que lleguemos a 860 o nos pasemos.

Solución: 816, 833, 850

4) ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir en equipos iguales los 24 alumnos y alumnas de

una clase? ¿Cuántos equipos salen en cada caso?

Solución:

Divisores de 24

Número de equipos 1 2 3 4 6 8 12 24

Número de alumnos/as 24 12 8 6 4 3 2 1

Cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 está contenido en 24una cantidad exacta

de veces (24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1). Por tanto, todos ellos son divisores de 24.

24 : 1 = 24 24 : 2 = 12 24 : 3 = 8 24 : 4 = 6

24 : 6 = 4 24 : 8 = 3 24 : 12 = 2 24 : 24 = 1

Todos estos números forman parejas cuyo producto es 24:

1 · 24 = 24 2 · 12 = 24 3 · 8 = 24 4 · 6 = 24



36

5) Marca con una X donde corresponda:

Criterio de divisibilidad

Número 2 3 5 9 10 11

32 X

120 X X X X

245 X

847

900 X X X X X

1.089 X X X

2.310 X X X X

2.772 X X

133

154 X

225 X X X

313

420 X X X X

625 X

7.770 X X X X

1.452 X X X

2.502 X X X

4.639

4.900 X X X

13.101 X X

6) De los siguientes números: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indicar cuáles son primos y cuáles

compuestos.

Solución:

Primos: 179 y 311.

Compuestos: 848, 3566 y 7287.

Número Divisores Total de divisores

Número primo

Número Compuesto

179 1, 179 2 X

311 1, 311 2 X

848 1, 2, 848, … >2 X

3566 1, 2, 3566, … >2 X

7287 1, 3, 7287, … >2 X



36

7) Calcular, mediante una tabla, todos los números primos comprendidos entre 400 y 450.

Solución:

a) Escribimos los números comprendidos entre 400 y 450.

400 401 402 403 404 405 406 407 408 409

410 411 412 413 414 415 416 417 418 419

420 421 422 423 424 425 426 427 428 429

430 431 432 433 434 435 436 437 438 439

440 441 442 443 444 445 446 447 448 449

450

b) Eliminamos los múltiplos de 2 porque 22 < 450.

401 403 405 407 409

411 413 415 417 419

421 423 425 427 429

431 433 435 437 439

441 443 445 447 449

c) El siguiente número es 3, como 32 < 450 eliminamos los múltiplos de 3.

401 403 407 409

413 415 419

421 425 427

431 433 435 437 439

443 445 447 449



36

d) El siguiente número es 5, como 52 < 450 eliminamos los múltiplos de 5.

401 403 407 409

413 419

421 427

431 433 437 439

443 447 449

e) El siguiente número es 7, como 72 > 450 eliminamos los múltiplos de 7.

401 403 407 409

419

421

431 433 437 439

443 447 449

f) El siguiente número es 11, como 112 > 450 eliminamos los múltiplos de 11.

401 403 409

419

421

431 433 437 439

443 447 449



36

g) El siguiente número es 13, como 132 > 450 eliminamos los múltiplos de 13.

401 409

419

421

431 433 437 439

443 447 449

h) El siguiente número es 19, como 192 > 450 eliminamos los múltiplos de 19.

401 409

419

421

431 433 439

443 447 449

i) El siguiente número es 23, como 232 > 450 el algoritmo termina y los números que nos quedan

son primos.

401 409

419

421

431 433 439

443 447 449



36

8) Descomponer en factores:

a) 216

Solución:

216

108

54

27

9

3

1

2

2

2

3

3

3

216 = 23 · 33

b) 360

Solución:

360

180

90

45

15

5

1

2

2

2

3

3

5

360 = 23 · 32 · 5

c) 435

Solución:

435

145

29

1

3

5

29

435 = 3 · 5 · 29

d) 342

Solución:

342

171

57

19

1

2

3

3

19

342 = 2 · 32 · 19



36

9) Descomponer en factores:

a) 2.250

Solución:

2.250

1125

375

125

25

5

1

2

3

3

5

5

5

2.250 = 2 · 32 · 53

b) 3.500

Solución:

3.500

1750

875

175

35

7

1

2

2

5

5

5

7

3.500 = 22 · 53 · 7

10) Calcular el m.c.d. y m.c.m. de:

a) 428 y 376

Solución:


428

214

107

1

2

2

107

376

188

94

47

1

2

2

2

47

428 = 22 · 107 376 = 23 · 47



36


m.c.d. (428, 376) = 22 = 4

m.c.m. (428, 376) = 23 · 107 · 47 = 40.232

b) 148 y 156

Solución:


148

74

37

1

2

2

37

156

78

39

13

1

2

2

3

13

148 = 22 · 37 156 = 22 · 3 · 13


m.c.d. (148, 156) = 22 = 4

m.c.m. (148, 156) = 22 · 3 · 37 · 13 = 5.772

c) 600 y 1.000

Solución:


600

300

150

75

25

5

1

2

2

2

3

5

5

1.000

500

250

125

25

5

1

2

2

2

5

5

5

600 = 23 · 3 · 52 1.000 = 23 · 53


m.c.d. (600, 1.000) = 23 · 52 = 200

m.c.m. (600, 1.000) = 23 · 3 · 53 = 3.000



36

11) Calcular el m.c.d. y m.c.m. de:

a) 1.048, 786 y 3.930

Solución:


1.048

524

262

131

1

2

2

2

131

786

393

131

1

2

3

131

3.930

1.965

655

131

1

2

3

5

131

1.048 = 23 · 131 786 = 2 · 3 · 131 3.930 = 2 · 3 · 5 · 131


m.c.d. (1.048, 786, 3.930) = 2 · 131 = 262

m.c.m. (1.048, 786, 3.930) = 23 · 3 · 5 · 131 = 15.720

b) 3.120, 6.200 y 1.864

Solución:


3.120

1.560

780

390

195

65

13

1

2

2

2

2

3

5

13

6.200

3.100

1.550

775

155

31

1

2

2

2

5

5

31

1.864

932

466

233

1

2

2

2

233

3.210 = 24· · 3 · 5 · 13 6.200 = 23 · 52 · 31 1.864 = 23 · 233


m.c.d. (3.210, 6.200, 1.864) = 23 = 8

m.c.m. (3.210, 6.200, 1.864) = 24 · 3 · 52 · 13 · 31 · 233 = 1.746.521.400



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13. PROBLEMAS

1) Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30

de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos

siguientes y a qué hora.

Solución:

12 segundos 12 = 22 · 3

18 segundos 18 = 2 · 32

1 minuto = 60 segundos 60 = 22 · 3 · 5

m.c.m. (12, 18, 60) = 22 · 32 · 5 = 180

180 segundos : 60 segundos/minuto = 3 minutos

Coinciden a las 6.30 h.

Dentro de 5 minutos, los tres faros sólo coinciden una vez a las 6.33 h.

2) Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona.

¿Dentro de cuántos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

Forma 1:

18 = 2 · 32

24 = 23 · 3

m.c.m. (18, 24) =23 · 32 = 72

Dentro de 72 días.

Forma 2: Completa la tabla para dar la respuesta.

1ª vuelta 2ª vuelta 3ª vuelta 4ª vuelta

Días que tarda viajero 1 18 36 54 72

Días que tarda viajero 2 24 48 72 96

Esto quiere decir que se calculan:

Múltiplos de 18: 0, 18, 36, 54, 72, …

Múltiplos de 24: 0, 48, 72, 96, …

Múltiplos comunes de 18 y 24: 72

El 0 no se cuenta porque es el inicio de los dos viajeros en Barcelona.

Solución: 72 días tardan en encontrarse los dos viajeros en Barcelona.



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3) Óscar y Sonia están montando en los cars de un parque de atracciones. Sonia tarda 4 minutos en

dar una vuelta a la pista y Óscar, 6 minutos. Si salen los dos juntos de la meta, ¿cuántos minutos

tardarán en volver a coincidir en la meta?

Forma 1:

4 = 22

6 = 2 · 3

m.c.m. (4, 6) =22 · 3 = 12

Dentro de 12 minutos.


1ª vuelta 2ª vuelta 3ª vuelta 4ª vuelta 5ª vuelta 6ª vuelta

Minutos que tarda Sonia 4 8 12 16 20 24

Minutos que tarda Óscar 6 12 18 24 30 36


Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, …

Múltiplos comunes de 4 y 6: 0, 12, 24

El 0 no se cuenta porque es el inicio de la carrera.

Solución: A los 12 y 24 minutos coincidirán en la meta.

4) Alba y Sonia van a ver a su abuela un determinado día. A partir de ese día Alba vuelve cada 18 días,

y Sonia, cada 30 días. ¿Cuántos días tardarán en volver a encontrarse por primera vez?

Forma 1:

18 = 2 · 32

30 = 2 · 3 · 5

m.c.m. (18, 30) =2 · 32 · 5 = 90

Dentro de 90 días.



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1ª vuelta 2ª vuelta 3ª vuelta 4ª vuelta 5ª vuelta

Días que tarda Alba 18 36 54 72 90

Días que tarda Sonia 30 60 90 120 150


Múltiplos de 18: 0, 18, 36, 54, 72, 90, …

Múltiplos de 30: 0, 30, 60, 90, 120, 150, …

Múltiplos comunes de 18 y 30: 90

El 0 no se cuenta porque es el inicio de la visita a su abuela.

Solución: 90 días tardan en encontrarse Alba y Sonia.

5) ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de

resto 9?

Solución:

m.c.m. (15, 20, 36, 48) = 24 · 32 · 5 = 720

720 + 9 = 729

6) En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se

quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas

garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el

número de garrafas que se necesitan.

Solución:

m.c.d. (250, 360, 540) = 10

Capacidad de las garrafas = 10 litros

Número de garrafas de T1 = 250 / 10 = 25



Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas



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7) El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el

lado y el número de las baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no

sea necesario cortar ninguna de ellas.

Solución:

3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5

5 m = 50 dm 50 = 2 · 52

A = 30 · 50 = 1.500 dm2

m.c.d. (30, 50) = 2 · 5= 10 dm de lado

Ab = 102 = 100 dm2

1.500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas

8) Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas, de modo que cada caja

contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el

número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

Solución:

m.c.d. (12.028, 12.772) = 124

124 naranjas en cada caja

Cajas de naranjas = 12.772 / 124 = 104

Cajas de manzanas = 12.028 / 124 = 97

Cajas necesarias = 104 + 97 = 201

9) ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m

de longitud y 6,4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?

Solución:

8 m = 80 dm 80 = 24 · 5

6,4 m = 64 dm 64 = 26

m.c.d. (80, 64) = 24 = 16 dm de lado

Ab = 162 = 256 dm2

A = 80 · 64 = 5120 dm2

5.120 dm2 : 256 dm2 = 15 baldosas

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Tema 3. Divisibilidad de números naturales