Tema 5 - Ecuaciones Constitutivas

7/25/2019 Tema 5 - Ecuaciones Constitutivas

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LECCIN 5: ECUACIONES CONSTITUTIVAS

5.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 1

5.2 Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 1

5.3 Ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5 - 6

5.4 Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 7

5.5 Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 - 8


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LECCIN 5: ECUACIONES CONSTITUTIVAS

5.1 Introduccin

Los dos captulos anteriores se han dedicado respectivamente al tensor dedeformaciones y al tensor de tensiones. El primero describe el estado de deformacin en un

punto. El segundo caracteriza los esfuerzos que experimenta el cuerpo en el punto.

Es lgico esperar que ambos estn relacionados y que esa relacin sea una

caracterstica intrnseca del cuerpo considerado y de las condiciones ambientales (en

particular la temperatura) en las que se encuentra. La relacin entre las deformaciones y las

tensiones es lo que se denomina el comportamiento constitutivo del cuerpo y las ecuaciones

que lo expresan son las ecuaciones constitutivas.

En este captulo se hablar de los dos tipos ms sencillos de ecuaciones constitutivas:

las correspondientes a los slidos elsticos y las de los fluidos newtonianos. Conviene sinembargo aclarar que existe una gran variedad de ecuaciones constitutivas y que para muchos

materiales (como pueden ser los suelos) estamos an lejos de contar con una formulacin

definitiva de su comportamiento que sea vlida con generalidad.

5.2 Elasticidad

Una de las formas de definir la elasticidad es expresando que las tensiones son

proporcionales a las deformaciones:

klijklij C = . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

donde Cijkles un tensor de rigidez con 81 componentes.

Es inmediato ver que, dadas las simetras de los tensores de tensiones y

deformaciones:

jiklijkl CC =

ijlkijkl CC = . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

lo que restringe a un mximo de 36 las componentes diferentes del tensor. Este nmero se

reduce a 21 si existe un potencial elstico W tal que:

ij

ij

W=

. . . . . . . . . . . . . . . . (3)

El potencial es el trabajo elstico realizado por las tensiones. En un muelle de

constante k, con un desplazamiento x, dicho trabajo sera 2kx2

1W= . Salvo que ya no tenemos


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un muelle unidimensional sino ms complejo, la energa potencial almacenada en la

deformacin elstica del cuerpo tiene una expresin idntica:

klijijklC

2

1W = . . . . . . . . . . . . . . . . (4)

W es claramente una forma cuadrtica en ij. Para verlo mejor pueden sustituirse el par de

ndices ij por un nico ndice (11 por 1; 22 por 2; 33 por 3; 12 por 4; 23 por 5; 13 por 6).Entonces:

= C2

1W . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

Como ya sabe el alumno a travs de su bagaje matemtico, toda forma cuadrtica

puede considerarse simtrica sin prdida de generalidad. El nmero de componentes

independientes queda reducido de 36 a:

212

)1n(n=

+

As, el material elstico ms general quedara totalmente caracterizado por un mximo

de 21 parmetros o propiedades independientes.

En general puede esperarse que las componentes del tensor de rigidez variarn al

cambiar la orientacin del material respecto al sistema de referencia. Sin embargo, el

comportamiento del material puede ser tal que ciertas transformaciones de coordenadas dejeninvariante el tensor. Esto conlleva una disminucin del nmero de componentes

independientes del tensor.

Por ejemplo, si la estructura interna del material presenta simetra con respecto a un

plano, disminuye el nmero de constantes independientes a 13. La simetra con respecto a tres

planos ortogonales entre s las disminuye a 9 constantes independientes. La simetra cilndrica

respecto a un eje (ortotropa) limita el nmero de constantes independientes a 5. De especial

inters aqu es la simetra esfrica (isotropa), que reduce a 2 las constantes independientes.

En este ltimo caso las ecuaciones de la elasticidad lineal pueden escribirse de varias

formas distintas, todas ellas con slo 2 constantes independientes. Una de ellas es laformulacin de Lam:

ijijkkij 2 += . . . . . . . . . . . . . . . . (6)

donde y se denominan las constantes de Lam.

En la formulacin de la ecuacin (6), el tensor de tensiones se ha escrito en funcin de

la dilatacin cbica = kky del tensor de deformaciones. Igualmente, las ecuaciones pueden

escribirse en funcin de y del tensor desviador de deformaciones:


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ijijkkij eG2K += . . . . . . . . . . . . . . . . (7)

donde K es el mdulo volumtrico de elasticidad (leccin 1), tal como veremos a continuacin.

G es una constante cuyo valor veremos que coincide con

Si se comparan las ecuaciones (6) y (7) es evidente que:

G= . . . . . . . . . . . . . . . . (8)

Para verlo basta hacer la comparacin para cualquier componente que tenga i j.

Entonces ij= eij y, en consecuencia, resulta = G.

De la ecuacin (7) podemos hallar la presin:

ii31p =

)eG2K(3

1iiiikk +=

= K . . . . . . . . . . . . . . . . (9)

Por tanto, el mdulo de elasticidad volumtrico, tal como esperbamos, relaciona las

presiones con los cambios de volumen:

=

pK . . . . . . . . . . . . . . . (10)

Lo mismo podra hacerse a partir de la ecuacin (6):

ii3

1p =

)2(31

iiiikk +=

+=

3

2 . . . . . . . . . . . . . . . (11)

Comparando este resultado con (9), es claro que:


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+=3

2K . . . . . . . . . . . . . . (12)

relacin que liga el mdulo de elasticidad volumtrico con las constantes de Lam.

Para slidos hay una tercera forma de escribir las ecuaciones de la elasticidad, ms

ingenieril, que puede expresarse observando la deformacin de un cilindro recto sometido a

una traccin: el cilindro se alargar y se estrechar (Fig. 5.1). Supongamos que el cilindro

tena longitud y dimetro unidad. Al alargarse pasar a tener longitud 1+l, mientras el

dimetro se convertir en 1+t(tser negativo). Utilizando las deformaciones longitudinales

y transversales del cilindro, se definen el mdulo de Young E y el coeficiente de Poisson:

Fig. 5.1 Alargamiento longitudinal de un cilindro recto

1

E

= . . . . . . . . . . . . . . . (13)

E es pues el cociente entre la tensin normal aplicada y la deformacin longitudinal

resultante. Mientras tanto, el coeficiente de Poisson es el cociente entre las deformaciones

normales transversal y longitudinal (con el signo cambiado para dar una constante positiva):

1

t

= . . . . . . . . . . . . . . . (14)

Es claro que, si el cuerpo es incompresible,= 0.5; el recproco tambin es cierto. Enefecto, la dilatacin cbica ser:

1t2 +=

112 +=

1

1 1+l

1+t


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1)21( = . . . . . . . . . . . . . . . (15)

Por tanto, la dilatacin cbica ser nula independientemente de lsi y slo si= 0.5.

Las constantes E y son las que se usan normalmente en manuales y bases de datospara describir el comportamiento elstico de slidos istropos. El motivo es que el

alargamiento o acortamiento de probetas cilndricas es un ensayo relativamente sencillo y

corriente.

Ya sabemos que, en un cuerpo elstico istropo, slo hay dos constantes

independientes, aunque podemos decidir qu par de constantes utilizaremos. La tabla

siguiente presenta el valor de cada una de las constantes elsticas mencionadas ms arriba en

funcin de cada pareja de constantes.

f (E,) f (, ) f (K, G)

E

E

(3+ 2)

+

2 (+)

9KG3K + G

3K + 2G2 (3K + G)

E(1 +) (1 - 2)

E

2 (1 +)

2K G

3

G

K

G

E

3 (1 2)

E

2 (1 + )

3+ 2

3

K

G


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5.3 Ecuaciones de Navier

En la formulacin de Lam las ecuaciones que rigen la elasticidad infinitesimal son:

ijijkkij 2 += . . . . . . . . . . . . . . (16)

o, lo que es lo mismo, en funcin de los desplazamientos:

)uu(u i,jj,iijk,kij ++= . . . . . . . . . . . . . . (17)

Si un cuerpo elstico est en equilibrio (en general dinmico), adems de satisfacer las

ecuaciones (17), tendr que satisfacer las condiciones de equilibrio:

0)uF( jji,ij =+ && . . . . . . . . . . . . . . . (18)

Las seis ecuaciones constitutivas (17) ms las tres de equilibrio (18) proporcionan un

sistema de nueve ecuaciones con nueve incgnitas: ij y ui. Estas ecuaciones, junto con lascondiciones de contorno y las condiciones iniciales, permiten determinar las funciones

buscadas. Existen toda una serie de teoremas en relacin con la existencia, unicidad y

estabilidad de las soluciones de este sistema, teoremas que no veremos en este curso.

Si se introducen las ecuaciones (17) en (18) resulta:

0)uF()uu(u jjii,jji,iijki,k =+++ &&

0)uF()uu(u jjii,jjk,kkj,k =+++ &&

0)uF(uu)( jjkk,jkj,k =+++ && . . . . . . . . . . . . . . (19)

con lo que se pueden plantear simplemente tres ecuaciones con tres incgnitas ui. Estas tres

ecuaciones son realmente las ecuaciones del equilibrio, pero con las fuerzas expresadas en

funcin de los desplazamientos a travs de la relacin constitutiva elstica. Se conocen como las

ecuaciones de Navier. Puede notarse que udivu k,k = , y que kk,ju es el laplaciano de u .

Si el equilibrio fuera esttico en lugar de dinmico, basta con anular las aceleraciones en

las ecuaciones (19) para obtener:

0Fuu)( jkk,jkj,k =+++ . . . . . . . . . . . . . . (20)

Ahora las uino son ya funciones del tiempo sino constantes.


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5.4 Fluidos newtonianos

Hasta aqu hemos supuesto que las tensiones dependan linealmente de las

deformaciones.

Recordemos que hemos definido un fluido (como contraposicin a un slido) como un

material incapaz de soportar estticamente ninguna tensin cortante; aplicada una tensin

cortante, un fluido se deforma sin cesar hasta que deja de aplicarse esta tensin. Como

consecuencia, un fluido esttico slo puede estar experimentando una presin; es el

movimiento, y en particular la velocidad de deformacin, la que le permite desarrollar estados

tensionales ms complejos.

En un fluido newtoniano, segn vimos en la primera leccin, las componentes

desviadoras de la tensin son proporcionales a los gradientes de velocidad correspondientes.

As, la ecuacin que describe el comportamiento de los fluidos newtonianos es:

ij1ijkk1ij 2)p( ++= && . . . . . . . . . . . . . . . (21)

donde p es la presin termodinmica obtenida de una ecuacin de estado (funcin del volumen

y dela temperatura, pero no de la velocidad de cambio de volumen) y1 y 1 son

coeficientes

deviscosidad (1

es

la viscosidad dinmica ya vista en

el primer captulo).

Debe notarse que hay dos componentes de la presin: una esttica, relacionada con la

magnitud del cambio de volumen; y una dinmica, relacionada con la velocidad con que dicho

cambio de volumen est ocurriendo. La presin total, que definimos anteriormente como 1/3de la traza del tensor de tensiones, es la suma de ambas. Su valor es:

ii3

1p =

[ ]kk1kk1 23)p(3

1++= &&

kk11 )23(

3

1p += & . . . . . . . . . . . . . . . (22)

Stokes propuso que pp= , con lo que que p coincidira con la parte esttica de la

presin, es decir que la parte dinmica de la presin sera nula. Esto implica:

023 11 =+

113

2= . . . . . . . . . . . . . . . (23)


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relacin que es cierta para los gases monoatmicos pero no en otros casos. Aunque la igualdad

no se verifique siempre, la termodinmica requiere al menos que se satisfaga la desigualdad:

023 11 +

para que la viscosidad volumtrica disipe energa en lugar de crearla.

De todas maneras, los lquidos son poco compresibles y la viscosidad volumtrica no

suele jugar un papel importante; en este curso, no volveremos a hablar de ella. Por el contrario,

s que es importante la viscosidad desviadora (llamada dinmica o simplemente viscosidad) en

el comportamiento de los fluidos reales.

La ecuacin (21) es la que describe el comportamiento de los fluidos newtonianos. En

ella puede apreciarse claramente el significado fsico de la viscosidad, de la que se dio una idea

slo intuitiva en la primera leccin. Si consideramos una tensin cortante ij(i j):

)sumadosnoj,i(2

1

ij

ij

1

=

& . . . . . . . . . . . . . . . (24)

relacin que indica la proporcionalidad de las tensiones cortantes y las velocidades de

deformacin.

5.5 Ecuaciones de Navier-Stokes

Del mismo modo que ocurra en cuerpos elsticos, los medios newtonianos plantean un

sistema de nueve ecuaciones con nueve incgnitas. Seis ecuaciones constitutivas describen el

material y otras tres ecuaciones imponen el equilibrio. Conviene plantear las ecuaciones

constitutivas en velocidades:

)vv()p( i,jj,i1ij1ij +++= & . . . . . . . . . . . . . . . (25)

Las nueve incgnitas son las seis tensiones ijy las tres velocidades vio desplazamientos

ui(en mecnica de fluidos las ecuaciones se plantean y resuelven normalmente en velocidades y

no en desplazamientos).

Como en el caso elstico, las tensiones pueden introducirse en las ecuaciones de

equilibrio, resultando un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas; estas ecuaciones son

conocidas como las ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones del equilibrio dinmico son:

0)vF( jji,ij =+ & . . . . . . . . . . . . . . . (26)


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Al reemplazar (25) en (26) queda:

0)vF()vv()p( jjii,jji,i1iji,1i, =++++ &&

jjii,j1j,1j,1j, vFvp &&& =++++

jii,j1j,11j,j vv)(pF && =+++ . . . . . . . . . . . . . (27)

Para los lquidos, que son poco compresibles, es normal que el trmino en velocidad de

deformacin volumtrica j,& desaparezca, con lo que queda:

jii,j1j,j vvpF &=+ . . . . . . . . . . . . . . . (28)

en donde el trmino Fjson las fuerzas de masa; p, json las fuerzas de presin; ii,j1v son las

fuerzas de viscosidad y vjson las fuerzas de inercia. Esta ecuacin gobierna la dinmica de losfluidos reales incompresibles.

La ecuacin (28) puede dividirse por para expresarla en trminos de aceleraciones:

jj,ii1

j,

j vv

pF &=+ . . . . . . . . . . . . . . . (29)

donde1= 1/es la viscosidad cinemtica.

Para fluidos perfectos las viscosidades son nulas. Las ecuaciones (28) quedan:

jj,j vpF &= . . . . . . . . . . . . . . . (30)

o lo que es lo mismo:

j

j,

j vp

F &=

. . . . . . . . . . . . . . . (31)

Como se ver a lo largo del curso, las ecuaciones de Navier-Stokes subyacen toda la

mecnica de fluidos, por lo que conviene resaltar su importancia como cimiento de todo lo que

sigue en este curso.

Para terminar, puede ser til resear una desafortunada coincidencia que quiz lleve al

lector a confusin. Se trata de la dualidad de significados de algunas letras griegas en la

literatura de slidos y fluidos. En la literatura de slidos, es la 2 constante de Lam y es el

coeficiente de Poisson; en fluidos, es la viscosidad dinmica yla viscosidad cinemtica. En

este captulo, se ha usado 1 (con subndice) para referirse a la viscosidad y evitar la confusin;


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en el resto de este texto, que ya slo trata de fluidos, se abandonar el subndice y se utilizar para designar la viscosidad pues ya no habr posibilidad de confusin.

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