1

Tema 5. Sólidos funiculares (cables)

5.1. Introducción

Los sólidos funiculares son elementos cuya longitud es mucho mayor que las

dimensiones de su sección transversal.

Se emplean en diferentes estructuras, por ejemplo, puentes, sistemas

eléctricos o teleféricos.

Para su estudio se emplean 3 hipótesis:

1) No soportan momentos y por lo tanto se doblan.

2) Sólo pueden trabajar a tracción.

3) Aunque no son sólidos rígidos, en su posición de equilibrio pueden ser

tratados como tal. Por lo tanto pueden aplicarse las ecuaciones de la

estática sobre un sólido funicular una vez éste toma su posición de

equilibrio.

2

5.2. Ecuación diferencial de equilibrio y longitud

Analizamos el segmento OP y aplicamos las ecuaciones de la estática:

( )

0

0

0

0 cos

0 sin

0

x

x

y

P

F T T

F T R qdx

M T y R x x

θ

θ

= =

= = =

= = −

∑

∑ ∫∑

2 2

0T T R= +

Analizamos un diferencial de longitud de cable

A

B

x

O

P

0

x

R qdx=∫

T0

T

θ

x

O

P

y

θ

θ+dθ

T+dT

T

x

yds

dx

dy

q(x)

3

Estas expresiones se simplifican obteniendo:

sin cos 0

cos sin 0

Td dT

Td dT qdx

θ θ θθ θ θ

− + =+ − =

Donde se han empleado las siguientes igualdades trigonométricas:

( )( )

cos cos sin

sin sin cos

d d

d d

θ θ θ θ θθ θ θ θ θ

+ = −

+ = +

Combinando ambas ecuaciones se obtiene:

cosd

T qdx

θ θ=

Por otro lado el ángulo del cable se puede relacionar con los diferenciales de x e

y de la siguiente manera:

arctandy

dxθ =

Por lo tanto:

2

222

2 2cos

1

d y

d d ydx

dx dxdy

dx

θ θ= = +

Que puede introducirse en la ecuación anterior dando:

( ) ( )( ) ( )

0 cos cos 0

0 sin sin 0

x

y

F T dT d T

F T dT d T qdx

θ θ θ

θ θ θ

= + + − =

= + + − − =∑∑

4

2

2cos

d yT q

dxθ =

Que puede reescribirse de la siguiente manera:

2

2

0

d y q

dx T=

Para calcular la longitud del cable obtenemos el diferencial de longitud:

2

2 2 21 1dy

ds dx dy dx dx ydx

′= + = + = +

De donde:

2

0 01

s x

s ds y dx′= = +∫ ∫

Estos límites de integración son válidos si cuando el origen de coordenadas está

en el punto mínimo del sólido funicular.

5

5.3. Carga concentrada

Cuando un cable sólo soporta cargas concentradas y el peso propio es

despreciable, la carga distribuida aplicada es nula (q(x) = 0). Por lo tanto:

2

20

d y

dx=

Como consecuencia el cable está formado por segmentos rectos.

4 m 4 m 4 m 4 m

2 m

2 m

a

Q

200 kN

P

A

B

C

D

E

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5.4. Carga uniforme por unidad de abscisa:

Son cables que soportan una carga distribuida constante (q(x) = q0 = constante).

Por lo tanto:

01

0

201 2

02

qy x C

T

qy x C x C

T

′ = +

= + +

Tomando como origen el punto mínimo del cable se despejan las condiciones

de contorno.

00

0

yx

y

′ == =

La forma de este tipo de cables es una parábola según la siguiente expresión.

20

02

qy x

T=

A partir de ese origen de coordenadas, la fuerza que transmite el cable es:

2 2 2

0 0T T q x= +

Y la longitud del cable se calcula a partir de la siguiente expresión:

A B

7

2

0

0 00

1s x q

s ds x dxT

= = +

∫ ∫

Cuya integral es:

2 2

0 0 0 0

0 0 0 0

11 ln 1

2

q T q qs x x x

T q T T

= + + + +

En esta integral se puede introducir:

0

0

2q yx

T x=

Llegando a la expresión final.

2 221 2 2 21 ln 1

2 2

y x y ys

x y x x

= + + + +

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5.5. Cable sometido a su peso propio: La catenaria

Una catenaria es un cable que soporta exclusivamente su peso propio. El peso

propio del cable no es una carga uniforme por unidad de abscisa, ya que la inclinación

del cable no se mantiene constante y por lo tanto la longitud de cable por unidad de

abscisa es variable.

La catenaria se rige por la siguiente igualdad:

qdx wds=

Donde w es el peso de cable por unida de longitud.

21ds

q w w ydx

′= = +

Introduciendo esta expresión en la ecuación general de un cable.

Se define el parámetro de la catenaria:

0Tcw

=

Por lo tanto:

21

dyc dx

y

′=

′+

En este caso conviene tomar el origen de coordenadas a una distancia c del

punto mínimo, tal y como se muestra en la figura:

22

2

0 0

1d y dy q w

ydx dx T T

′ ′= = = +

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Con este origen de coordenadas:

0 2 01

y xdyc dx

y

′ ′=

′+∫ ∫

Cuya solución es:

argsinh( )x

yc

′ =

Por lo tanto:

sinhdy x

ydx c

′ = =

Volviendo a integrar:

0sinh cosh 1

y x

c

x xdy dx y c c

c c

= ⇒ − = −

∫ ∫

De donde:

coshx

y cc

=

A

B

O

P

x

y

c

10

En este caso la longitud del cable es:

2

0 01 sinh cosh

x xx xs dx dx

c c

= + =

∫ ∫

sinhx

s cc

=

Y fuerza que transmite el cable es:

2 2 2 2 2

0T T w s w c s= + = +

21 sinh coshx x

T wc wcc c

= + =

T wy=

Nota: Para trabajar con la catenaria se emplean las funciones hiperbólicas. A

continuación se recuerdan su definición y sus relaciones más relevantes:

cosh sinh2 2

x x x xe e e e

x x

− −+ −= =

( ) ( )

2 2cosh sinh

cosh sinh sinh cosh

1x x

x x x x

− =

′ ′= =