Tema 5. Uso de las razones de ángulos para la

resolución de problemas

Monumento a Pitágoras en Samos: sigloscuriosos

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En el siglo VI antes de Cristo y gracias a los conocimientos de la geometría del triángulo, se construyóel túnel de Eupalinos en Samos, ciudad natal de Pitágoras.

Esta obra llevaba el agua desde las fuentes del monte Castro a la ciudad. El túnel tenía dos metros dediámetro y un kilómetro de longitud.

Lo que hoy puede ser una obra de ingeniería común, hace casi 28 siglos sólo lo podía programar yejecutar un experto en resolución de triángulos y conocedor de las razones trigonométricas.

1. Triángulo rectángulo. Características

Fuente propia

Figura 1.1

Fuente propia

Figura 1.2

Repasamos

Un triágulo rectágulo, como ya sabes, se caracteriza por tener dos lados perpendiculares .

A los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos , al lado mas grande hipotenusa .

Como has observado en el tema anterior se utilizan las letras griegas alfa ( ) y beta ( )

para nombrar los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (Figura 1.1)

Fuente propia

Figura 1.3

Otra forma muy utilizada es nombrar los vértices por letras mayúsculas y a los lados enminúsculas, de forma que, como aparece en la figura 1.3, el lado opuesto al vértice (el lado que nopasa por el vértice) coincida con la misma letra: el vértice que forman los catetos se le suele llamarA y por tanto a la hipotenusa a , a los otros B , b y C , c .

También aprovechando esta forma de designar los lados y vértices, a sus ángulos llamarle la letracorrespondiente de su vértice (figura 1.3) (se puede poner el angulito arriba para distinguirlo delvértice) .

Como ya sabes uno de ellos es recto, es decir , y como la suma de los ángulos de untriángulo es de 180º nos queda que .

1) Un triángulo rectángulo uno de sus ángulos es de 35º . ¿Cuánto mide los otros dos?

a) 90º y 55º

b) 90º y 65º

c) 90º y 45º

2) Los lados de un triángulo rectángulo miden 6, 8 y 10 cm. ¿Cúal es su área?

a) 48 cm 2

b) 24 cm 2

c) 27 cm 2

Fuente propia

Pregunta de Elección Múltiple

Repasamos las razones

Es importante recordar las razones trigonométricas.

De la misma forma para el otro ángulo

fuente propia

1) Calcula las razones trigonométricas del ángulo 45 º

2)Un cazador acostado en el terreno ve una perdiz que vuela a 15 metros de altura.Por su experiencia calcula que la tiene a unos 30 metros de distancia. ¿Cúal es elángulo que deberá colocar su escopeta para poder alcanzar a la perdiz?

Fuente propia

Un triángulo rectángulo tiene lados de 3, 4 y 5 cm respectivamente. ¿Cuáles son lasmedidas de sus ángulos agudos?

a) 36,87 º y 53,13 º

b) 60 º y 30 º

c) 63 º y 27 º

Resumiendo

En un triángulo rectángulo:

Pregunta de Elección Múltiple

Actividad

2. Resolución de triágulos rectángulos

Fuente propia

Resolver un triángulo rectangulo es hallar sus ángulos y lados a partir de algún elemento conocido.

Para ello vamos a distinguir dos casos (hay que tener en cuenta que siempre conocemos un ángulo:

el de 90 º )

Caso 1º. Se conocen dos lados.

Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el otro lado.

Una vez conocidos los lados se aplica para uno de los ángulos, por ejemplo , lasfórmulas del apartado anterior.

El otro ángulo a conocer se puede calcular porque sabemos que la suma de los ángulos+ = 90º (es decir que = 90- )

Veamos un ejemplo.

La escalera de un electricista mide 12 m . Para arreglar una avería de un poste quemide 6 m de alto la ha colocado contra el suelo y el poste (como indica la figura). Si elposte está vertical, calcula la distancia del pie de la escalera al poste, los ángulos queforman la escalera con el suelo y el poste.

Caso 2º. Se conoce un lado y un ángulo (además del de 90º).

El otro lado se calcula utilizando alguna de las razones trigonométricas del ángulo conocido.

El otro ángulo se calcula puesto que ambos ángulos deben sumar 90º.

Ya conocemos dos lados y por tanto se calcula el tercero como en el caso 1º (Por el teoremade Pitágoras o por alguna de las razones del ángulo).

La mayor cuesta del pueblo tiene de pendiente 25 grados. La longitud de la subida esde 12 metros. ¿Qué diferencia de altura subimos en esos 12 metros? ¿Cuantos metrosen horizontal suponen esos 12 metros de pendiente?

Fuente propia

Para obtener una visión completa de la Torre Eiffel (325 m de altura) disponemos deuna cámara que recoge hasta un ángulo de 47 grados (una cámara normal).

1) ¿A qué distancia mínima del pie de la torre conseguiremos sacarla entera?

Pregunta de Elección Múltiple

b) 303 metros

c) 100 metros

2) ¿Y si es una gran angular? (ángulo máximo de 65 º )

a) 151.5 metros

b) 240 metros

c) 25 metros

3. Aplicaciones a problemas

Metro Cuatro Caminos ritmodominicano.com

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Los cuadriláteros aparecen en nuestro espacio. El herrero que confeccionó el rótulo de la imagenformó un rectángulo en medio de un rombo. Si observas con mas detalle verás que lo formó con cincopiezas:

Rectángulo (metro)

Dos triángulos isósceles iguales (derecha e izquierda de metro)

Dos triángulos isósceles (arriba y abajo de metro)

En el apartado 1.3.2 resolveremos un problema con el cartel de Cuatro Caminos.

3.1. Triángulos no rectángulos

Aplicación a triángulos no rectángulos

Cualquier triángulo no rectángulo se puede resolver dividiéndolo en triángulos rectángulos(acuérdate que resolver era calcular los lados y los ángulos que nos faltan). La forma de hacerlo estrazar una de las alturas y realizar los cálculos para los dos triángulos rectángulos que se forman.

Para triángulos isósceles (dos lados iguales), la altura sobre el lado desigual divide al triánguloen dos triángulos rectángulos iguales. El ángulo que forman los lados iguales se divide en dos partesiguales. Pero, lo mejor es que lo veamos con un ejemplo práctico:

Ejemplo 1 . Un carpintero quiere construir una escalera cuyos brazos, una vezabiertos, formen un ángulo de 60 grados (como en la figura de arriba). Una vezabierta la distancia entre sus pies es de 2 m. ¿Cuánto ha de medir cada brazo? ¿cuáles la altura de la escalera?

Un compás de 20 cm de lado puede abrirse hasta formar un ángulo de 80º.

Pregunta de Elección Múltiple

a) 25.71 cm de radio

b) 12.86 cm

c) 20 cm

b) ¿qué altura tendra totalmente abierto?

a) 20 cm

b) 15.32 cm

c) 18.9 cm

Ejemplo 2 . ¿Cómo podemos medir la altura de la Pirámide de Keops? Obseva la fotografía

Gran pirámide. filemon.upct.es Con licencia de creative commons

Un viajero situado al pie de la pirámide veía la cúspide con un ángulo de 38 º Cuando se alejó 121pies (36,88 metros), la veía con un ángulo de 32º. ¿Cuántos pies mide la altura de la pirámide?

Se trata de un triángulo que no es rectángulo , pero si consideramos la altura de la pirámideobtenemos dos triángulos rectágulos con el cateto en común.

Resolvemos este problema a continuación.

Un viajero desde el pie de la pirámide veía la cúspide con un ángulo de 38 º Cuandose alejó 121 pies (36,88 metros), la veía con un ángulo de 32º. ¿Cuántos pies mide laaltura de la pirámide?

Para medir la altura de mi piso lo observo desde la calle con un ángulo de 40º siavanzo 10 metros el ángulo aumenta a 50º.

¿A qué altura del suelo vivo?

a) 25 m

b) 28,36 m

c) 75 m

Pregunta de Elección Múltiple

3.2. Cuadriláteros

CUADRILÁTEROS

Escudo de la Infanta Leonor:Bajo licencia de Creative Commons

En los escudos los rombos aparecen con gran frecuencia.

En un rombo si trazamos sus diagonales, estas se cortan en un ángulo recto formando trestrángulos rectángulos. Utilizando esta propiedad vamos a resolver el siguiente problema.

Ejemplo 1 . Una ventana en forma de rombo tiene una altura de 90 cm y una anchura de 60 cm.¿Cuánto mide su perímetro? ¿y sus ángulos? ¿y su área?

Fuente propia

E

Fuente propia

Ejemplo 1 . Una ventana en forma de rombo tiene una altura de 90 cm y un anchode 60 cm. ¿cuánto mide su perímetro? ¿y sus ángulos? ¿y su área?

Ejemplo 2 . Con un rombo de papel de 20 cm de lado, 34'8 de diagonal mayor y unosángulos menores de 60º (A y D) queremos construir un sobre (como indica la figura).El ancho del sobre es 10 cm.¿Cuanto mide de longitud?

Fuente propia

Pregunta de Elección Múltiple

Bajo licencia de creative commons

Como ya sabes la figura anterior indica la boca de metro de Cuatro Caminos (para tuinformación esta boca se remodeló).

El largo de la figura es de 2 metros y ancho de 1 metro. El rectángulo (donde pone"metro") mide 1,20 m de largo.

Con estos datos vamos a calcular:

a) Su superficie.

a) 1 m 2

b) 2 m 2

c) 0,5 m 2

b) La medida de su perímetro.

a) 12 metros

b) 4,47 metros

c) 5,45 metros

c) El área del rectangulo inscrito (metro).

a) 0,204 m 2

b) 0,48 m 2

c) No se puede saber con estos datos.

a) 53,13º y 126,87º

b) 50,25º y 129,75º

c) 90º y 90º

3.3. Círculos y otras figuras

Fuente propia

A lo largo de la historia del hombre el interés por la medida de las distancias y el tamaño de losastros ha sido una constante. Aristarco de Samos (170 a C), Hiparco de Nicea (150 a C), entre otrosutilizaron las razones de un triángulo para calcular las distancias y diametros de la luna y el sol.

Veamos un ejemplo que nos permite hallar el diámetro de la luna.

Fuente propia

Desde un punto de la tierra (D) se ve la luna con un ángulo de 0,51º . Se sabe que ladistancia de la tierra a la luna (DA) es de 384.000 km . ¿cúal es el diámetro de la luna(CE)

El ángulo bajo el que se ve el Sol desde un punto de la tierra es de 0.533º. Sabiendoque la distancia al Sol es de 149.600.000 km. ¿Cuál es el diámetro del Sol?

a) 696.000 km

b) 1.392.000 km (apox)

c) 200.000 km

Pregunta de Elección Múltiple

Fuente propia

Un símbolo muy conocido es la llamada estrella de David que tienes arriba. Si observas puedes ver unhexágono (CLMNOD) y seis triángulos equiláteros saliendo de cada uno de sus lados.

Otra forma de verla es observando dos triángulos equiláteros invertidos IJK y PQR que superpuestosformarían el hexágono.

El lado del hexágono es la tercera parte del lado del triángulo (grande) y los ángulos son todos de60º salvo el del interior del hexágono que seria de 120º (observa que si doblas los triángulos quesalen de los lados del hexágono los seis encajan perfectamente en el hexágono). Por eso el área delhexágono coincide con la suma de las áreas de los 6 triángulos equiláteros.

Te propongo el siguiente ejercicio:

Fuente propia

¿Qué mide la distancia RK (o PJ o IQ que es lo mismo) de una estrella que llevo en elpecho, si el lado del hexágono es de 1cm ?

¿Que superficie total tiene la estrella?

a) 5,2 cm 2

b) 9,85 cm 2

c) 12,22 cm 2

Pregunta de Elección Múltiple