Tema de Radicales

Tema nos reales: RADICALES

1-

DEFINICIÓN

En general se llama Raíz de índice n de un número A, o raíz n-ésima de A, a otro número, B, de manera que al elevarlo a n (índice) nos dé el valor del radicando A.

si se cumple que

Donde a:

se llama radical.

n se le llama índice del radical con n≥2 ; nNA se le llama radicandoB la raiz n – ésima

Un radical es por tanto una raíz indicada, sin resolver, y representa el valor exacto del número real, sin errores.

Entonces por ejemplo, a partir de la definición podemos calcular las siguientes raices:

a)

por que

b)

por que

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

OBSERVACIONES:

1.- Todo número real positivo tiene dos raíces de igual índice, una positiva y otra negativa:

por que y

Entonces representaremos por: la raíz positiva y − la raíz negativa.

2.- NO EXISTE LA RAÍZ DE ÍNDICE PAR DE NÚMEROS NEGATIVOS,ya que cualquier número elevado a una potencia par es siempre positivo.

3.- Las raíces de índice impar existen siempre, para cualquier número, y tienen el mismo signo del radicando.Es decir, la raíz de índice impar de un número negativo es negativa y la raiz de índice impar de un número positivo es positiva.

2- PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS RADICALES.

2.1. Producto de radicales con el mismo índice:

Es otro radical del mismo índice que resulta de multiplicar los radicandos. Es decir, se deja el índice y se multiplican los radicandos.

Ejemplo / Ejercicio:

a)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

2.2. Cociente de radicales con el mismo índice:

Es otro radical del mismo índice que resulta de dividir los radicandos. Es decir, se deja el índice y se multiplican los radicandos.

1. Definición2. Propiedades de las operaciones de los radicales.3. Calculo de raíces por factorización.

3.1. Extraer factores de un radical.3.2. Introducir factores en un radical.

4. Operaciones con radicales.4.1. Multiplicación y División de radicales.4.2. Suma y Diferencia de radicales

5. Racionalización de fracciones con radicales

1



a) b) c) d)

e) f) g) h)

2.3. Potencia de un radical:

Es otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es una potencia de exponente igual al del radical


a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

2.4. Raíz de un radical:Es otro radical cuyo índice es el producto de los índices y el radicando es el mismo.


a) b) c) d) e) f)

2.5. Radicales Equivalentes:Son radicales equivalentes aquellos que tienen el mismo valor. Por ejemplo:

= = = =

Observamos que una forma de obtener radicales equivalentes es multiplicar el índice y el exponente del radicando por el mismo número, podríamos llamarlo, por analogía con las fracciones, amplificación de radicales. Del mismo modo podemos obtener radicales equivalentes dividiendo el índice y el exponente del radicando por el mismo número, podríamos llamarlo, simplificación de radicales.Así:

Amplificar: ; Simplificar:

Ejemplo / Ejercicio: Obtener dos radicales equivalentes, uno simplificando y otro amplificando:

a) b) c) d) e) f) g) h)

Ejercicio 1: Completa para que sean radicales equivalentes:

a) b) c) d)

Una aplicación inmediata de esta propiedad es la de reducir varios radicales a índice común; calculando el mínimo común múltiplo, m.c.m., de los índices y obteniendo radicales equivalentes a los de partida con índice el m.c.m.

Ejemplo: Vamos a reducir a común denominador: ; ;

1º Calculamos el m.c.m. de los índices: m.c.m.(6,4,1)=122º Obtenemos radicales equivalentes con este índice:

= = =

Ejercicio 2: Reduce a común denominador los siguientes radicales:

a) ; ; b) ; ;

Ejercicio 3: Calcula aplicando las propiedades de los radicales, simplificando el resultado:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

3- CALCULO DE RAÍCES POR FACTORIZACIÓN. Las propiedades de los radicales nos permiten calcular raíces, de forma fácil, a partir de la factorización de su radicando. Este

método es muy útil para el cálculo de raíces de números muy grandes o no inmediatas.

Ejemplo / ejercicio:

a)

, en general,

2


b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

h)

i)

Esto nos lleva a:

3.1. Extraer factores de un radical

Se extraen tantos factores como grupos de igual número que el índice haya.Por ejemplo:

a) , ya que hay un trío de 7 y dos tríos de 5

b) , ya que podemos hacer tres parejas de 2, cinco parejas de 3, una pareja de 5 y ninguna de 7, con lo

cual no podemos extraer ningún factor 7 del radical así que se queda dentro.

c)

d)

e)

f)

g)

h)

3.2. Introducir factores en un radical.

Para introducir un factor en un radical, tenemos que elevarlo al índice del radical, por ejemplo:

a) b) c) d) e) f)

Ejercicio 4: Calcula

a) b) c)

4- OPERACIONES CON RADICALES

4.1. Suma y Diferencia de radicales:

Sólo se pueden sumar y restar radicales iguales, es decir, aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplo Ejercicio::

a)

b) =

c)

d)

e) 343358365

f)

g)

h)

i)

j)

k)

Pero que pasa si tenemos:

¿Qué podremos hacer? …Lo que se hace en estos casos es: 1º factorizar los radicandos y 2º extraer del radical y 3º ahora si, sumar los radicales iguales

2252323)º2(5.2233.2)º1(502318 22 extraemososfactorizam

Ejercicio 5: Suma los siguientes radicales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

3


4.2. Multiplicación y Cociente de radicales:

Sólo se pueden multiplicar y dividir radicales con el mismo índice. Así que el primer paso es reducir a índice común todos los radicales de la multiplicación/división.Ejemplo / Ejercicio:

a) . . = . . = =

=podemos simplificar :3 = =extraemos factores=

b) c) d) e) f) g)

Ejercicio 6: Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

Ejercicio 7: Efectúa, aplicando las propiedades de los radicales, y simplifica:

a) b) c) d)

Ejercicio 8: Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

m)

n)

ñ)

o)

4


5- RACIONALIZAR denominadores.

Consiste en eliminar radicales del denominador, ya que a veces conviene y simplifica el resultado.

Nos encontramos principalmente dos casos:

Caso I: Cuando hay un radical en el denominador bien sólo o bien multiplicado por algún/os número/s. Es decir, cuando tenemos una

expresión reducible a : . Se resuelve pasando a una fracción equivalente, multiplicando numerador y

denominador por el mismo número, que será (se trata de multiplicar el denominador por un número de manera que el exponente

del radicando sea igual que el índice de la raíz y así ésta se simplificaría), de manera que nos quedaría:

Ejemplo/Ejercicio:

a) b) c) d) e) f)

Caso II: Cuando haya en el denominador una suma o resta donde aparezca un radical cuadrado: o

Se resuelve multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador (nota: el conjugado de A+B es A-B y el

conjugado de A –B es A+B), de manera que lo que se obtiene es una suma por deferencia que es igual a la diferencia de cuadrados (nota:

(A+B)∙(A–B)=A2 – B2 ). Así pues:

Ejemplo/Ejercicio:

a) b) c) d) e)

5

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