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Tema :

DETERMINANTES

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

TÓPICOS DE MÁTEMATICAMA49 (EPE)

UPC

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COMPETENCIAS: 1.Describir el concepto de determinante a partir de su definición.

2. Describir las propiedades más importantes de la función determinante.

3. Explicar la relación entre el valor del determinan-

te de una matriz cuadrada y su singularidad.

Hace aproximadamente 2000 años que los

matemáticos chinos conocian bien el concepto

de determinante. Habían encontrado una relación

entre los coeficientes de sistemas de ecuaciones

lineales y la solución de dichos sistemas.En el

mundo occidental, los determinantes fueron

empleados primeramente por Gottfried Wilhen

Leibniz en 1693.

INTRODUCCIÓN:

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MENOR DE UNA MATRIZ

Si A es una matriz de orden nxn,

se llama ij- ésimo menor de A a la

matriz: Mij de orden (n-1)x(n-1)

que se obtiene al eliminar la fila i y la

columna j de A.

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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Sea A una matriz de orden nxn

1)

2) Si n>1: det A = a det M - a det M + ...

... + (-1) a det M n1

11 212111

n1

n+1

Si n=1 : A=[a], det A= a

DEFINICIÓN:

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Ahora:

det A =

(-1)i+1ai1detMi1

i=1

n

DEFINICIÓN:Al número: se le llama determinante de la matriz de orden 2 y escribimos

DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 3X3

3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

=

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DESARROLLO DE LAPLACE

DET(A) = (-1)i+1 ai1det Mi1 + (-1)i+2 ai2detMi2 + ... + +(-1)i+n aindetMin

Según el desarrollo de los elementos de una fila (fila i)

similarmente para las columnas

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1. DETERMINANTE DE LA TRANSPUESTA

Si A es cualquier matriz cuadrada,entonces: det( A )= det A

t

PROPIEDADES DE LOS

DETERMINANTES

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FILAS PROPORCIONALES:

Si una matriz tiene dos filas proporcionales, su determinantees CERO.

SI HAY UNA FILA NULA

det

a a ... a0 0 ... 0

a a ... a

......... = 0

1n12

n1n1n1

11

2.

3.

12

4. Si B se obtiene INTERCAMBIANDOdos filas de A, entonces el determinante cambia de signo: det B = - det A (TRANSFORMACION ELEMENTAL 1)

Si B se obtiene MULTIPLICANDOuna fila de A por el escalar c, entonces:el determinante queda multiplicado por c det B = c (det A) (TRANSFORMACION ELEMENTAL 2)

5.

13

6. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo de otra fila de A, entonces el determinante no se altera det B = det A (TRANSFORMACIÓN ELEMENTAL 3)

7. DETERMINANTE DE UN PRODUCTOSi A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces : det (AB) = (det A)(det B)

8. DETERMINATE DE UNAMATRIZ TRIANGULAR

El determinante de una matriz triangular está dado por el producto de los elementos de su diagonal.

nn

n

n

n

a

aa

aaa

aaaa

0000

.........

...00

...0

...

333

22322

1131211

nnaaaa ...332211