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Teorema de Pitágoras1 Triángulos rectángulos
Un triángulo es triángulo rectángulo si tiene un ángulo recto.
C B
A
b
ac
Ángulo recto
Los catetosson perpendiculares
Hipotenusa
C B
A
b
ac
Catetos
Teorema de Pitágoras2 Triángulos rectángulos: propiedades
Dos propiedades de interés:
C B
A
a
cb
Primera
En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos vale 90º
90ºBA
Segunda
La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos rectángulos iguales.
A
B CM
BM = MC
CB
Los triángulosABM y AMC
son iguales By A son complementarios
Teorema de Pitágoras3 Teorema de Pitágoras: idea intuitiva
En un triángulo rectángulo:
ca
b
Área = c2
Área = a2
Área = b2
el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa
es igual
a la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos
a2 = b2 + c2
Teorema de Pitágoras4 Teorema de Pitágoras: comprobación
Por tanto: 32 + 42 = 52
3
4
Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm
El área del cuadradoconstruido sobre elprimer cateto vale 9
Hay 3·3 = 9 cuadraditos
El área del cuadradoconstruido sobre el
segundo cateto vale 16
Hay 4·4 = 16 cuadraditos
Hallemos el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Observa:1. El área del triángulo es 6
2. El cuadrado sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos de área 6. Además contiene un cuadradito de área 1.
3. Su área total es 6·4 + 1 = 25. Luego es un cuadrado de lado 5
Teorema de Pitágoras5 Teorema de Pitágoras: segunda comprobación
Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2
Cuatro triángulos rectángulos de
catetos 3 y 4 cm.Cuyas áreas valen
6 cm2 cada uno.
4
3
7
Observa que en esecuadrado caben:
Además cabe un cuadrado de lado c,cuya superficie es c2.
Se tiene pues:
49 = 4·6 + c2
c2 = 49 - 24 = 25
c2 = 25 = 52
c2
25 cm2
25 = 9 + 16
Por tanto, 52 = 32 + 42
6 cm2
c
Teorema de Pitágoras6 Teorema de Pitágoras: ejercicio primero
En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la hipotenusa.
5
12
a?
Como a2 = b2 + c2 se tiene:
a2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 a = 13 cm
Haciendo la raíz cuadrada
4
169a
Teorema de Pitágoras7 Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo
En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. Calcula el valor del otro cateto.
6
b?
10
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
b2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64
b = 8 cm
a2 = c2 - b2
Luego:
Haciendo la raíz cuadrada:
Teorema de Pitágoras8 Los triángulos “sagrados”
Fueron muy utilizados por los arquitectos y agrimensores egipcios.
Las medidas de sus lados son: 3, 4 y 5 o 5, 12 y 13
(También las proporcionales
a estas)
5 4
3
13
5
12
Todos ellos son rectángulos, pues cumplen
la relación:a2 + b2 = c2
32 + 42 = 52
62 + 82 = 102
92 + 122 = 152
52 +122 = 132
10
6
8
15
9
12
Teorema de Pitágoras9 Reconociendo triángulos rectángulos
Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60 cm de ancho y 80 de largo.
Como los lados de la ventana y la diagonal deben formar un triángulo rectángulo, tiene que cumplirse que:
a2 = b2 + c2
Pero 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está mal construida
80 cm¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm?
a
b
c
Mientras que 1022 = 10404Son distintos
60 c
m
102 cm
Teorema de Pitágoras10 Cálculo de la diagonal de un cuadrado
Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado.
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm cada uno.
Luego, d2 = 49 + 49 = 98
¿Cuánto mide su diagonal?
7
7
d
Cumplirá que: d2 = 72 + 72
9,998d
Teorema de Pitágoras11 Cálculo de la diagonal de un rectángulo
Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm.
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, respectivamente.
Luego, d2 = 36 + 64 = 100
¿Cuánto mide su diagonal?
6
8
d
Cumplirá que: d2 = 62 + 82
d = 10
Teorema de Pitágoras12 Cálculo de la altura de un triángulo isósceles
Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm.
La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 8 cm y el otro cateto 3 cm.
Luego, 64 = 9 + h2
¿Cuánto mide su altura?
6
8 Cumplirá que: 82 = 32 + h2
Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y
la divide en dos partesiguales
h
3 3
h2 = 64 – 9 =55
4,755h
8
Teorema de Pitágoras12 Cálculo de la altura de un triángulo equilátero
Tenemos un triángulo equilátero cuyos lados iguales miden 10 cm cada uno.
La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo hipotenusa miden 10 cm y el otro cateto 5 cm.
Luego, 100 = 25 + h2
¿Cuánto mide su altura?
10
Cumplirá que: 102 = 52 + h2
Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y
la divide en dos partesiguales
h
5 5
h2 = 75
6,875h
10
h2 = 100 - 25
10
Teorema de Pitágoras12 Cálculo del lado de un rombo
Tenemos un rombo cuyas diagonales miden 16 cm y 12 cm, respectivamente.
Las dos medias diagonales, de 8 cm y 6 cm, son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es lado del rombo.
¿Cuánto mide su lado?
Cumplirá que: a2 = 82 + 62
Las diagonales del rombo son perpendiculares y lo dividen
en cuatro triángulosrectángulos iguales a
12
a2 = 100
10100a
8
6
a2 = 64 + 36
16
Teorema de Pitágoras12 Cálculo de una diagonal de un rombo
Tenemos un rombo cuya diagonal mayor mide 24 cm y su lado mide 15 cm, .
La medias diagonal de 12 cm y el lado de 15 cm, son el catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
¿Cuánto mide la otra diagonal?
Cumplirá que: 152 = 122 + c2
Las diagonales del rombo son perpendiculares y lo dividen
en cuatro triángulosrectángulos iguales
15
d
c2 = 81
981c
12
c225 = 144 + c2
24
c2 = 225 - 144
La diagonal menor será 9 · 2 = 18 cm
Teorema de Pitágoras13 Cálculo de la apotema de un hexágono regular
Tenemos un hexágono regular de lado 6 cm. ¿Cuánto mide su apotema?
a2 = 36 - 9 = 27
Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 6 cm y otro cateto 3.
Recuerda:
Cumplirá que: 62 = a2 + 32
1. La apotema es la medida desde el centro del hexágono a la mitad de un lado.
2. En un hexágono regular la distancia del centro a cualquiera de los vértices es igual al lado.
27a
3 3
6
