TEOREMAS DE MUESTREO ASOCIADOS A PROBLEMAS … · En el Cap´ıtulo 2 se tratan los teoremas de muestreo asociados a pro-blemas de Sturm–Liouville, tanto regulares como singulares,

TEOREMAS DE MUESTREO ASOCIADOS APROBLEMAS DIFERENCIALES Y EN

DIFERENCIAS

Miguel Angel Hernandez Medina

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA A LASCIENCIAS DE LA INFORMACION

E.T.S.I. DE TELECOMUNICACION

TEOREMAS DE MUESTREO ASOCIADOS APROBLEMAS DIFERENCIALES Y EN

DIFERENCIASAUTOR:

Miguel Angel Hernandez Medina

DIRECTOR:Antonio Garcıa Garcıa

Profesor Titular de UniversidadDepartamento de Matematicas

Universidad Carlos III de Madrid

Fecha

D. Carlos Vega VicenteCatedratico de UniversidadPresidente del Tribunal

D. Manuel Alvarez FernandezCatedratico de UniversidadSecretario del Tribunal

D. Manuel Arrate PenaCatedratico de Universidad

D. Francisco Marcellan EspanolCatedratico de Universidad

D. Jose Marıa Sanz SernaCatedratico de Universidad

A mis padres y hermano.

Quisiera agradecer en primer lugar a mi director de tesis, Antonio GarcıaGarcıa, su dedicacion y paciencia en los momentos difıciles. Agradecer susconsejos, sin los cuales esta memoria no hubiese nacido. No hay agradeci-miento menos retorico que este.

Quiero dar las gracias al Departamento de Matematicas de la UniversidadCarlos III de Madrid, en particular a Julio Moro Carreno por sus animosy amistad, a Froilan Martınez Dopico por su apoyo informatico, a JuanManuel Molera Molera por su asesoramiento cuantico, y a Jose CuestaRuiz por su decisiva colaboracion en el diseno final de esta memoria.

Tambien quiero agradecer a mis companeros de Departamento las faci-lidades que siempre me han dado. De entre estos ultimos quisiera destacara Regino Criado y Andres Bujosa, que siempre estaban dispuestos a dedi-carme unos minutos, u horas, de su tiempo y siempre con buen humor.

Por ultimo quisiera dar las gracias a Pedro Zufirıa, tutor ejemplar dondelos haya.

Introduccion a la Teorıa de Muestreo

Podrıamos definir la Teorıa de Muestreo (“Sampling Theory”) como aque-lla rama de las Matematicas que trata de la reconstruccion de elementos deuna cierta clase de funciones enteras, denominadas funciones bandalimita-das, a partir de sus valores en un conjunto discreto de puntos. Existe unaequivalencia entre la funcion (fuente de informacion contınua) y una ciertasucesion de sus muestras (fuente de informacion discreta). La manera dehacer matematicamente efectiva esta equivalencia es desarrollar la funcionen una serie conteniendo sus muestras. Es decir,

f(z) =!

n

f(tn)Sn(z), (1)

con convergencia uniforme sobre subconjuntos compactos de C al menos.Las funciones muestrales Sn(z) verifican la propiedad interpolatoria

Sn(tm) = !nm,

por lo que estos desarrollos son, de alguna forma, la extension infinitaa la interpolacion polinomica de Lagrange. De hecho, en la mayorıa delos casos a tratar, las funciones muestrales se parecen a los polinomiosde Lagrange, sustituyendo el polinomio que aparece por la funcion enteraproducto canonico de las muestras {tn}.

Desde el punto de vista teorico, la Teorıa de Muestreo interacciona concampos de la Matematica tales como la interpolacion y aproximacion, lasfunciones especiales y sus desarrollos en serie, la teorıa de las funcionesenteras y la teorıa de Paley–Wiener, Analisis Numerico, Analisis Armonicoy desarrollos asociados con problemas de autovalores.

Aunque la Teorıa de Muestreo, tal como la conocemos hoy en dıa, tieneunos 50 anos de antiguedad, sus raıces matematicas se pueden encontraren los trabajos de algunos grandes matematicos como Poisson [80], Borel[14], Hadamard [38], La Vallee Poussin [100], E.T. Whittaker [107] y Ferrar[31].

El teorema fundamental en Teorıa de Muestreo, llamado teorema deWhittaker–Shannon–Kotel’nikov en honor a los tres autores a los que sereconoce su paternidad [87, 106, 61], establece que si una senal f(t) nocontiene frecuencias superiores a !

2 ciclos por segundo, esta completamentedeterminada dando sus valores en una sucesion de puntos espaciados cada1! segundos, es decir tn = n

! con n ! Z, y puede ser reconstruida mediantela formula

f(t) =!!

n="!f"n

"

# sen #("t " n)

#("t " n)=

!!

n="!f"n

"

#senc("t " n).

La serie anterior recibe el nombre de serie cardinal, donde las funcionesmuestrales son trasladadas de la funcion seno cardinal senc x = sen "x

"x . En

xii

el resultado anterior descansa un principio muy importante en Teorıa dela Senal que dice que toda la informacion de una senal bandalimitada (i.e.con contenido frecuencial acotado) esta contenida en una sucesion de susmuestras tomadas en instantes regularmente espaciados. El conocimientode la frecuencia lımite determina la mınima frecuencia a la que debe sermuestreada la senal para que su reconstruccion sea completa. Esta fre-cuencia es conocida como frecuencia Nyquist en referencia al autor queprimeramente destaco su importancia [76]. Shannon en su famoso trabajoCommunication in the presence of noise [87] tambien menciono que otrosconjuntos de muestras como valores de la derivada de la senal o muestrasen instantes no uniformemente distribuidos podrıan ser utilizados para lareconstruccion de una senal de contenido frecuencial acotado.

Entre las aplicaciones practicas de la Teorıa de Muestreo se pueden ci-tar: analisis de la senal, teorıa de sistemas, teorıa de la prediccion, teorıade la informacion, procesos estocasticos, optica, espectroscopıa, procesa-miento de imagenes, ademas de sus importantes conexiones con el analisismultiresolucion y la teorıa de wavelets.

Una vision mas amplia del espectro abarcado por la Teorıa de Muestreo,tanto en sus aspectos teoricos como practicos, puede encontrarse en loslibros de J.M. Whittaker [106], Marks [71, 72], Stenger [92], Zayed [111],Walter [102] y Marvasti [73], ası como en los artıculos de recopilacion deJerri [51], Butzer [16, 18], Higgins [46] y Brown [15].

Introduccion al contenido de la memoria

Como anteriormente se ha dicho, el Teorema WSK afirma que una funcionf ! L2(R) cuya transformada de Fourier es de soporte compacto vienecompletamente caracterizada por sus valores en una sucesion regularmenteespaciada de puntos. Concretamente, si su transformada de Fourier $f tienesu soporte contenido en ["#, #], es decir

f(z) =1#2#

% "

""

$f(")ei!z d", z ! C, (2)

entonces

f(z) =!!

n="!f(n)

sen#(z " n)

#(z " n), z ! C.

Si consideramos la funcion entera P (z) = sen "z"z , la formula anterior puede

escribirse como

f(z) =!!

n="!f(n)

P (z)

P #(n)(z " n), z ! C. (3)

Esta ultima expresion pone de manifiesto el caracter interpolatorio tipoLagrange del Teorema WSK. Lo anterior podrıa reformularse diciendo queexiste una clase de funciones enteras definida mediante la transformada (2),cuyos elementos pueden reconstruirse mediante una serie interpolatoria tipoLagrange (3).

De aquı surge una generalizacion inmediata: obtener clases de funcionesenteras asociadas a una transformada integral (no necesariamente la deFourier), que se puedan recuperar a partir de una sucesion de muestrasmediante una serie interpolatoria de tipo Lagrange.

En 1957, Kramer [62] establecio los primeros resultados en la direccionapuntada anteriormente. La piedra angular del desarrollo posterior consisteen un resultado que se conoce como Lema de Kramer y que ha sido eleva-do, en la literatura posterior, al rango de teorema. En el se afirma que latransformacion integral definida en un intervalo acotado [a, b], debera tenerun nucleo !(x, t) que particularizado en una sucesion {tn} $ R, {!(x, tn)},constituya un sistema ortogonal completo del espacio L2[a, b]. En particu-lar, para el Teorema WSK se tiene que [a, b] = ["#, #], !(x, t) = eixt y lasucesion es la de los numeros enteros Z.

En su trabajo, Kramer apunto nucleos !(x, t) asociados a problemasregulares de Sturm–Liouville, puesto que en estos casos es posible obtenerlas autofunciones del problema, que forman un sistema ortogonal completode L2[a, b], particularizando el nucleo en los autovalores del problema. Latecnica anterior no es valida para todos los problemas de contorno, por loque en los ultimos anos, han aparecido diversos artıculos aportando nuevosresultados en la lınea sugerida por Kramer.

xiv

Otros tipos de operadores diferenciales, no necesariamente del tipo S-turm-Liouville, son candidatos a jugar un papel similar en esta teorıa.En esta memoria, aparte de abundar en los problemas clasicos de Sturm–Liouville, tambien se estudian teoremas de muestreo asociados a operado-res de Dirac unidimensionales. En general, para establecer resultados sobremuestreo sera valido cualquier operador diferencial definido sobre un ciertodominio denso de L2("), con " dominio de Rn, que sea invertible, simetricoy con resolvente compacta. En esta clase de operadores estan los operadoressimetricos cuyo operador resolvente es de Hilbert–Schmidt, que engloban asu vez otros operadores definidos a partir de problemas diferenciales y endiferencias de segundo orden, autoadjuntos o no.

Pasamos a continuacion a describir, de una manera concisa, el desarrolloque se ha seguido en la presente memoria. Esta consta de cinco capıtulos,cuyo contenido detallamos brevemente, indicando tanto su relacion con elcuerpo de teorıa existente, ası como sus aportaciones a este.

El primer capıtulo es introductorio y en el se estudian los espacios clasicosde Paley–Wiener a partir de la dualidad de Fourier. Proponemos una de-mostracion alternativa al clasico teorema de Paley–Wiener–Levinson sobremuestreo no uniforme. Esta utiliza un resultado de Titchmarsh [96] quepermite recuperar funciones bandalimitada a partir de sus ceros. Noteseque, en general, una funcion entera no esta determinada por sus ceros. Asıse justifica teoricamente el metodo de los zero–crossings que utilizan losingenieros en Teorıa de la Senal. Los resultados matematicos obtenidos soninterpretados en el lenguaje utilizado en Ingenierıa.

El concepto de funcion bandalimitada puede hacerse mas general si utili-zamos la transformada de Fourier en el sentido de las distribuciones. Nuevasfunciones pasan a engrosar el listado de funciones bandalimitada, consti-tuyendo el espacio de Paley–Wiener PW . El teorema de Paley–Wiener–Schwartz caracteriza este espacio como PW = F"1[E #(R)], donde E #(R) esel conjunto de las distribuciones de soporte compacto. Dotando a PW deuna topologıa lımite inductivo, la transformada distribucional de Fourier esun isomorfismo topologico entre PW y E #(R), generalizandose por tanto elconcepto de dualidad de Fourier. Haciendo uso de esta dualidad, aparte derecuperar los teoremas de muestreo clasicos, se obtienen otros nuevos parafunciones enteras con crecimiento polinomico sobre el eje real. Los desarro-llos muestrales obtenidos convergen uniformemente sobre compactos de C

ya que probamos que la convergencia en PW implica en particular a esta.En el Capıtulo 2 se tratan los teoremas de muestreo asociados a pro-

blemas de Sturm–Liouville, tanto regulares como singulares, ası como desus posibles generalizaciones. Por lo que respecta al problema de Sturm–Liouville regular, damos una nueva interpretacion a los teoremas de mues-treo que aparecen en la literatura matematica. Esta consiste en probarla existencia de una dualidad de tipo Fourier asociada con una transfor-mada (que llamaremos de Sturm–Liouville) estrechamente relacionada conel problema original. Los resultados de muestreo se obtienen utilizando

Introduccion al contenido de la memoria xv

las tecnicas del capıtulo anterior. Aportamos tambien nuevos resultadosasociados con el problema de Sturm–Liouville singular en toda la recta.Terminamos el capıtulo introduciendo un marco mas general que nos vaa permitir obtener teoremas de muestreo asociados a operadores inverti-bles, simetricos y de resolvente compacta, lo que nos ayudara a estudiarproblemas en dimension mayor que uno y obtener resultados de muestreoasociados con la funcion de Green de un problema diferencial o con opera-dores integrales tipo Fredholm.

Los sistemas diferenciales de Dirac unidimensionales presentan muchassimilitudes en sus propiedades espectrales con los operadores de Sturm–Liouville. Por ello, se puede llevar a cabo un estudio similar al realizado enel caso de Sturm–Liouville, obteniendose teoremas de muestreo asociadosal caso regular, al caso singular en la semirrecta [0,%) o utilizando lamatriz de Green del problema. Como consecuencia del teorema de muestreoasociado al caso regular se obtiene el teorema de muestreo para funcionesbandalimitada respecto de la de transformada de Hartley (version real dela transformada de Fourier). Todo este estudio es el contenido del Capıtulo3.

Los dos ultimos capıtulos de la memoria estan dedicados al estudio deteoremas de muestreo asociados a problemas en diferencias de segundo or-den del tipo Sturm–Liouville. Por cuestiones metodologicas y por el tipode resultados obtenidos, hemos dividido su estudio en dos capıtulos. Enel primero de ellos, el cuarto de la memoria, se estudian problemas fini-tos en diferencias de segundo orden. Este estudio se realiza a partir dedos versiones discretas del Lema de Kramer, y como casos particulares seobtienen las formulas interpolatorias finitas asociadas a familias de poli-nomios ortogonales. Estos muestreos finitos no son sino reescrituras de laformula interpolatoria de Lagrange, pero, al aparecer involucradas familiasde polinomios ortogonales que son densas en ciertos espacios L2, estamosaproximando la funcion desconocida a partir de un numero finito de susmuestras en determinados valores reales. Es un caso similar al que ocurrecuando aproximamos una funcion periodica (suficientemente regular) me-diante un polinomio trigonometrico cuyos coeficientes se calculan medianteuna transformada discreta de Fourier de muestras, regularmente espacia-das, de la funcion original.

Finalmente, el Capıtulo 5 esta dedicado al estudio de la existencia de teo-remas de muestreo asociados con problemas infinitos tipo Sturm–Liouvilleen diferencias de segundo orden. El tipo de estudio que desarrollamos de-pende de que el coeficiente p(n) de la ecuacion

&[p(n)#x(n)] + q(n)x(n) = $x(n), n ! 0

se anule o no para n = "1. Notese que aunque las soluciones de estosproblemas son sucesiones {x(n)}!n=0, el valor en "1 aparece implıcito al darla condicion de contorno en 0. En el caso de que el coeficiente no se anule,se obtiene un teorema de muestreo analogo al que existe para el problema

xvi

contınuo de Sturm–Liouville singular en la semirrecta [0, +%). Si se anulaeste coeficiente, el metodo utilizado en el caso anterior deja de ser valido.Sin embargo, adaptando convenientemente el problema se pueden obtenerresultados de muestreo haciendo uso de las generalizaciones propuestas enel Capıtulo 2.

INDICE GENERAL

1 Teorıa de muestreo de funciones bandalimitada 11.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 El espacio de Paley–Wiener PW" . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Propiedades del espacio PW" . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Consecuencias del Teorema clasico de Paley–Wiener 61.2.3 Muestreo no uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Frames. Algoritmos iterativos . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Version distribucional de la dualidad de Fourier . . . . . . . 18

2 Teoremas de muestreo asociados a problemas de Sturm-Liouville. Generalizaciones 272.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Lema de Kramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Teoremas de muestreo asociados a problemas de Sturm-Liou-

ville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1 Problema de Sturm-Liouville: Caso regular . . . . . 302.3.2 Problema de Sturm-Liouville: Caso singular . . . . . 332.3.3 Dualidad tipo Fourier asociada a problemas de Sturm-

Liouville regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Teoremas de muestreo asociados a operadores simetricos con

resolvente compacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4.1 Teoremas de muestreo asociados a operadores de Hil-

bert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.2 Teoremas de muestreo asociados a operadores inte-

grales tipo Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5 Problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Teoremas de muestreo asociados con el operador de Diracunidimensional 653.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

xviii INDICE GENERAL

3.3 Teorema de muestreo asociado al operador de Dirac: CasoRegular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.1 Aplicacion a la transformada de Hartley de una fun-

cion banda-limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.2 Teorema de muestreo asociado a la matriz de Green

en el caso regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4 Teoremas de muestreo asociados con el operador de Dirac:

Caso Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.1 Los casos punto lımite y cırculo lımite . . . . . . . . 763.4.2 Otros teoremas de muestreo asociados al operador

unidimensional de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4 Problema finito de Sturm-Liouville en diferencias: mues-treos finitos 914.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2 Lema de Kramer discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3 Problemas finitos de Sturm-Liouville en diferencias . . . . . 994.4 Caso no autoadjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.5.1 Problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5.2 Diseno de filtros FIR con muestreo no uniforme . . . 114

5 Problema de Sturm-Liouville en diferencias: caso infinito 1175.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3 Caso infinito regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3.1 Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.3.2 Teorema de muestreo asociado al problema de Sturm-

Liouville infinito regular . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.4 Caso infinito singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.4.1 Teorema de muestreo asociado a operadores linealessimetricos densamente definidos en %2(N0) con resol-vente de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.4.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

1

TEORIA DE MUESTREO DE FUNCIONESBANDALIMITADA

1.1 Introduccion

El Teorema WSK y muchas de sus extensiones han sido probadas de maneradiferente: utilizando series de Fourier, la formula de sumacion de Poisson,integrales de contorno, etc.[47, 111]. Desde nuestro punto de vista, la ma-nera mas elegante de demostrarlo es la debida a Hardy [39], utilizandoel hecho de que la transformada de Fourier clasica es una isometrıa entreL2["#, #] y el espacio de Paley–Wiener

PW" = {f ! L2(R) ' C(R), sop $f ( ["#, #]},

donde $f denota la transformada de Fourier F(f) de f . Para cada f ! PW"

se tiene que

f(z) =1#2#

% "

""

$f(")ei!z d",

por lo que cualquier valor f(tn) de f es el producto interno, en L2["#, #],

de $f y la exponencial compleja e"itn! (salvo un factor constante). El puntoclave en la prueba de Hardy es que un desarrollo convergiendo en L2["#, #]se transforma mediante F"1 en otro desarrollo convergiendo en la topologıade PW". Esta, a su vez, implica convergencia uniforme en bandas horizon-tales del plano complejo. Si escogemos el primer desarrollo de tal maneraque sus coeficientes sean muestras de f , o de alguna otra funcion relacio-nada con f , (sus derivadas, su transformada de Hilbert, etc.) se obtienendiferentes teoremas de muestreo para funciones en PW". La tecnica dedualidad de Fourier tambien puede aplicarse al caso multidimensional o aldenominado caso multibanda de funciones cuyas transformadas de Fouriertienen su soporte en una union finita de intervalos disjuntos [47].

2 Teorıa de muestreo de funciones bandalimitada

Despues de una introduccion a la tecnica de la dualidad de Fourier,en este primer capıtulo se tratan brevemente las dos clases de muestreono uniforme que son de interes en Teorıa de la Senal. En el primer tipo,los ceros de la senal (no uniformemente distribuidos en general) contienentoda su informacion (zero–crossings), mientras que en el segundo caso sonmuestras no uniformes de la senal las que contienen esta informacion. Alcontrario de lo que ocurre en el primer tipo, los puntos de muestreo nouniformes del segundo caso son independientes de la senal.

Intuitivamente hablando, el muestreo no uniforme es la manera naturalpara la representacion discreta de una senal. Por ejemplo, si suponemosuna senal con regiones de altas y bajas frecuencias, es mas eficiente, desdeel punto de vista practico, muestrear las regiones de baja frecuencia a unafrecuencia de muestreo menor que las regiones de alta frecuencia.

El conjunto de funciones bandalimitada se puede ampliar de una maneranotable si, en vez de tomar la transformada de Fourier usual, utilizamos latransformada de Fourier distribucional y consideramos aquellas funcionescuya transformada de Fourier tiene soporte compacto. Esto nos permiteconsiderar funciones en los espacios Lp(R) para p > 2, y polinomios multi-plicados por exponenciales complejas.

En este capıtulo consideramos tambien la dualidad de Fourier distri-bucional y la aplicamos para obtener teoremas de muestreo en el espaciofuncional de Paley–Wiener PW de las funciones enteras que satisfacen unadesigualdad de la forma

|f(z)| " A(1 + |z|)NeB| Im z|, z ! C,

para ciertas constantes A, B, N ! 0. Autores como Campbell [19], Pfa$el-huber [79] y Lee [65] han obtenido desarrollos muestrales en este marco masgeneral con convergencia funcional o en el sentido de las distribuciones.

Finalmente, terminamos el capıtulo obteniendo otros desarrollos (ahorano muestrales) en el espacio de Paley–Wiener utilizando la transformada deFourier inversa de familias clasicas de polinomios ortogonales. Para ello, he-mos utilizado los desarrollos en polinomios ortogonales para distribucionesde soporte compacto que aparecen en el libro de Walter [102].

1.2 El espacio de Paley–Wiener PW#

El espacio de Paley–Wiener, PW"#, es el espacio de las funciones de L2(R),

bandalimitadas a ["#&, #&], esto es, sop $f ( ["#&, #&]. Sin perdida degeneralidad supondremos a lo largo del capıtulo que & = 1.

Definicion 1.1

PW" = {f ! L2(R) ' C(R) con sop $f ( ["#, #]} .

donde $f = F(f) es la transformada de Fourier de f .

1.2 El espacio de Paley–Wiener PW! 3

Dada una funcion f ! PW" podemos extenderla a C por medio de

f(z) =1#2#

% "

""

$f(u)eizu du , z ! C ,

Utilizando el Teorema de Morera se demuestra que f : C ) C es unafuncion entera. Ademas, f es de tipo exponencial a lo mas #, pues paracada z ! C

|f(z)| "1#2#

% "

""| $f(u)|e(" Im z)u du "

* $f*L1["","]#2#

e"|z| .

El Teorema clasico de Paley–Wiener [77] demuestra que tambien se verificael recıproco

Teorema 1.1 (Paley–Wiener) Sea f ! L2(R), f ! PW" si y solo si fse puede extender a una funcion entera sobre C de tipo exponencial a lomas #.

#

El Teorema de Paley–Wiener nos da la siguiente caracterizacion del espacioPW",

PW" = {f ! H(C)/|f(z)| " Ae"|z|, f |R! L2(R)} .

1.2.1 Propiedades del espacio PW!

El espacio PW" es un espacio de Hilbert dotado del producto interno

+f, g,PW!=

% !

"!f(x)g(x) dx .

Por el Teorema de Plancherel, la transformada de Fourier es un isomorfismoisometrico entre PW" y L2["#, #], donde en L2["#, #] consideramos elproducto interno usual

+ $f, $g,L2["","] =

% "

""

$f(")$g(") d".

A esta propiedad nos referiremos en adelante como dualidad de Fourier.En efecto, si f ! PW", entonces

f(z) =1#2#

% "

""

$f(u)eizu du, z ! C, (1.1)

y por lo tanto*f*PW! = * $f*L2["","] .


Teniendo en cuenta que {e"int/#

2#}n$Z es una base ortonormal deL2["#, #], aplicando la identidad de Parseval obtenemos

*f*2PW!

=!!

n="!|f(n)|2 .

El Teorema de Paley–Wiener y la dualidad de Fourier proporcionan unmetodo sencillo para probar que PW" es un espacio cerrado para la deri-vacion. En efecto, si f ! PW" entonces

f #(z) =1#2#

% "

""it $f(t)eizt dt

y t $f(t) ! L2["#, #] por lo que f # ! PW". Ademas se verifica la siguientedesigualdad (desigualdad de Bernstein [47, pag. 107])

*f #*PW! " #*f*PW! .

La dualidad de Fourier entre PW" y L2["#, #] nos permite construirbases ortonormales y bases de Riesz de PW" a partir de bases de L2["#, #].Una base de Riesz en un espacio de Hilbert es la imagen mediante unisomorfismo de una base de Hilbert . Para otras caracterizaciones de basesde Riesz en un espacio de Hilbert separable, puede consultarse [109].

Si {'n(x)} es una base ortonormal (resp. de Riesz) de L2["#, #], entonces{F"1'n(x)} sera una base ortonormal (resp. de Riesz) de PW". Siguiendoeste razonamiento

&F"1

'e"int

#2#

(=

sen #(z " n)

#(z " n)= (n senc z

)

n$Z

es una base ortonormal de PW", siendo (tg(x) = g(x" t) y senc la funcionseno cardinal definida como

senc x =

*sen "x

"x si x -= 0,

1 si x = 0.

Por tanto, para cada f ! PW" existe una sucesion {cn}n$Z de %2(Z) talque

f(z) =!!

n="!cn senc(z " n) , (1.2)

con convergencia en la norma de PW". Aplicando la desigualdad de Cau-chy–Schwarz en (1.1), para cada f ! PW" y z = x + iy ! C se tiene

|f(x + iy)| " e"|y|* $f*L2["","] = e"|y|*f*PW! , (1.3)


por tanto la convergencia en la norma de PW" implica en particular laconvergencia uniforme en bandas horizontales de C.

Si en (1.1) tomamos z = n, se obtiene que cn = f(n), por lo que

f(z) =!!

n="!f(n) senc(z " n) . (1.4)

La ecuacion (1.4) puede reescribirse como

f(z) =!!

n="!f(n)

G(z)

G#(n)(z " n),

con G(z) = sen#z/#, lo que pone de manifiesto su caracter interpolatorio,generalizando en el caso infinito a los polinomios de Lagrange.

El desarrollo (1.4) junto con el razonamiento sobre su convergencia uni-forme es conocido por Teorema de Whittaker–Shannon–Kotel’nikov (Teo-rema WSK).

Teorema 1.2 (WSK) Toda funcion f ! PW" puede ser reconstruida apartir de sus muestras en los puntos tn = n ! Z mediante la formula

f(z) =!!

n="!f(n) senc(z " n) .

La convergencia es uniforme en bandas horizontales de C, en particular entodo R.

#

Otras bases ortonormales de PW" se pueden obtener a partir del siguienteresultado ([47]) en cuya demostracion, que omitimos, se vuelve a hacer usode la dualidad de Fourier

Teorema 1.3 Sea

T (t).=

1#2#

F"1()["","]e"i$)(t) ,

donde * : R ) R es una funcion medible y )["","] es la funcion carac-terıstica del intervalo ["#, #]. Entonces {T (t " n)}n$Z es una base orto-normal de PW".

#

La desigualdad (1.3) prueba que la evaluacion puntual para cada z !C es un funcional lineal continuo sobre PW" y por tanto, es un espaciocon nucleo reproductor (ver [48]). El nucleo reproductor sera una funcion,


K : C . C ) C tal que K(·, w) ! PW" para cada w ! C y si f ! PW" ,entonces

f(w) = +f, K(·, w),PW!.

Si f ! PW", para cada w ! C

f(w) =1#2#

+ $f(t), e"iwt,L2["","] .

Utilizando la dualidad de Fourier tenemos

f(w) =

+f(z),

sen #(z " w)

#(z " w)

,

PW!

,

y por lo tanto K(z, w) = senc(z " w). En particular, para cada t ! R

f(t) = +f, (t senc,PW!=

% !

"!f(x) senc(x " t) dx = (f / senc)(t).

1.2.2 Consecuencias del Teorema clasico dePaley–Wiener

En esta seccion profundizaremos en el significado de la isometrıa

F : PW" ") L2["#, #],

f ") $f

y en sus consecuencias dentro de la Teorıa de la Senal.Dada $f ! L2["#, #] consideremos su extension periodica a todo R, $fp !

L2p["#, #], definiendo en L2

p["#, #] el producto interno

+ $fp, $gp,L2p["","]

.= + $f, $g,L2["","]

Trivialmente la aplicacion

P : L2["#, #] ") L2p["#, #]

$f ") $fp

es una isometrıa entre los espacios L2["#, #] y L2p["#, #].

Como vimos anteriormente, si f ! PW" se verifica

*f*2PW!

=!!

n="!|f(n)|2,

es decir, la energıa de la senal bandalimitada f esta contenida en sus mues-tras {f(n)}n$Z. Ası pues, podemos definir un isomorfismo isometrico, M,entre PW" y %2(Z)

M : PW" ") %2(Z)f ") {f(n)}n$Z.


El Teorema WKS nos proporciona la recuperacion de la senal f ! PW" apartir de {f(n)}n$Z mediante

f(z) =!!

n="!f(n)

sen#(z " n)

#(z " n), z ! C ,

es decir, nos da la expresion explıcita de M"1.Finalmente, si $f ! L2["#, #], los coeficientes de Fourier respecto del sis-

tema {e"int/#

2#}n$Z de la funcion periodica $fp resultan ser {f(n)}n$Z !%2(Z). Resumiendo todo lo anterior podemos escribir el siguiente diagramaconmutativo

PW"! F " L2["#, #]

f ! " $f

{f(n)}n$Z

#$

! " $fp

#$

%2(Z)

M

#

$

!F

" L2p["#, #]

P

#

$

(1.5)

donde todas operadores que intervienen son isomorfismos isometricos entrelos respectivos espacios de Hilbert.

La isometrıa F la podemos entender tambien considerando %2(Z) comoun subespacio del espacio de distribuciones temperadas S# mediante lainyeccion

%2(Z) !I

) S#

{cn}n$Z"

!!

n="!cn!n.

Ası, si la sucesion {f(n)}n$Z pertenece a %2(Z) entonces

I{f(n)}n$Z =!!

n="!f(n)!n

sera la senal muestreada, y tomando la transformada de Fourier F en S#

F' !!

n="!f(n)!n

(=

!!

n="!f(n)F(!n) =

!!

n="!f(n)

e"int

#2#

,

que en nuestro caso se identifica con $fp ! L2p["#, #], al ser su desarrollo en

serie de Fourier respecto de {e"int/#

2#}n$Z. Hemos obtenido el conocidoresultado de Teorıa de la Senal que nos dice que cuando se muestrea una


senal se periodiza su espectro, y ademas una justificacion rigurosa del !-metodo de Kohlenberg que tanto se utiliza, de una manera formal, en losmanuales de Teorıa de la Senal [60].

De una manera grafica se puede representar el diagrama (1.5) como

f( )!

p

^f ( )!

f(nT )s

s

t

t !

!

f(t)

"# #

"# 3#"3# #{

T =1

En Teorıa de la Senal, se recupera la senal original mediante un filtradopaso bajo (ideal), cuya funcion de transferencia es

H(") =

*1 si |"| " #

0 si |"| > #,

del espectro de la senal muestreada.

f( )!

1

"# # !

Si sop $f ( B, intervalo centrado en el origen, la frecuencia Nyquist de


muestreo "s viene dada por long B2" . En nuestro caso, "s = 1 y el perıodo de

muestreo Ts = 1!s

= 1.Si muestreamos a una frecuencia "s > 1 (Ts < 1), estaremos en la

siguiente situacion

sT <1

f(nT )s

pf ( )!

! #s

{

!"# #

t

y nos encontraremos en el caso de sobremuestreo (oversampling). Obvia-mente, podemos recuperar f mediante un filtrado paso bajo del espectrode la senal muestreada.

Si muestreamos a una frecuencia "s < 1 (Ts > 1), la nueva situacion sera

sT >1

f(nT )s

pf ( )!

{

!"# #

! #st

y se produce el fenomeno de solapamiento del espectro o aliasing. En estecaso, es imposible recuperar f mediante un filtrado paso bajo.

1.2.3 Muestreo no uniforme

La ecuacion (1.4) expresa la posibilidad de recuperar una funcion de PW"

a partir de sus muestras regularmente espaciadas. Desde un punto de vistapractico, serıa interesante disponer de un resultado similar pero con unadistribucion no uniforme de las muestras a lo largo del eje real. Parece logicopensar que si las muestras no uniformes estan suficientemente cerca de{tn = n}n$Z, entonces se podrıa obtener un resultado parecido al expuestoen el Teorema WSK. El primer resultado en esta direccion fue probado porPaley y Wiener en [77]. Concretamente, demostraron que si una sucesionde puntos {qn}n$Z verifica

D.= sup

n$Z

|qn " n| <1

#2(1.6)


y la sucesion es simetrica, es decir, q"n = "qn para n ! N, entoncescualquier funcion f ! PW" puede recuperarse mediante la serie

f(z) =!!

n="!f(qn)

G(z)

G#(qn)(z " qn), (1.7)

donde ahora

G(z) = (z " q0)!-

n=1

'1 "

z2

q2n

(.

Posteriormente Levinson en [67] mejoro la condicion (1.6). Demostro quesi una sucesion de numeros reales, no necesariamente simetrica, {qn}n$Z

verifica

D.= sup

n$Z

|qn " n| <1

4, (1.8)

entonces se obtiene un desarrollo analogo a (1.7) para funciones de PW"

donde en este caso

G(z) = (z " q0)!-

n=1

'1 "

z

qn

('1 "

z

q"n

(. (1.9)

Una demostracion de este resultado, al que suele denominarse como Teore-ma de Paley–Wiener–Levinson o Teorema PWL, puede consultarse en [67].La condicion (1.8) esta asociada con un resultado debido a Kadec sobreperturbaciones de la base ortogonal {einx}n$Z del espacio L2["#, #].

Teorema 1.4 (Teorema 14 de Kadec) Si {qn}n$Z es una sucesion de

numeros reales que verifica la relacion

supn$Z

|qn " n| <1

4, (1.10)

entonces, {eiqnx}n$Z es una base de Riesz de L2["#, #].#

Se puede demostrar que 1/4 es la mejor cota posible [109].El problema de recuperar una senal bandalimitada puede ser considerado

desde otro punto de vista. Por el Teorema de Paley–Wiener sabemos queel conjunto de funciones bandalimitada a ["#, #] coincide con el conjuntode las funciones enteras de tipo exponencial a lo mas # cuya restriccion aR pertenece a L2(R). Por el Teorema de Hadamard (ver [22]) sabemos quelas funciones enteras no estan completamente determinadas por sus ceros,sin embargo, las funciones bandalimitadas a un intervalo simetrico respectodel origen estan unıvocamente determinadas por sus ceros. Este resultadoes debido a Titchmarsh [96].


Teorema 1.5 (Titchmarsh) Sean F ! L1[a, b] y f la funcion enteradefinida por

f(z) =

% b

aF (w)ezw dw .

y supongamos que f(0) -= 0. Entonces f tiene un numero infinito de ceros,{zn}n$N tales que si |zn| " |zm| siempre que n " m, entonces

f(z) = f(0)ea+b2

z!-

n=1

'1 "

z

zn

(,

donde el producto infinito converge en valor principal.#

En el Teorema de Titchmarsh se supone que no existen + > a y , < b talesque F (w) = 0 (a.e.) en [a, +] o [b, ,].

Si f es bandalimitada a ["a, a], entonces

f(z) = f(0)!-

n=1

'1 "

z

zn

(,

si f(0) -= 0 o

f(z) = Azm!-

n=1

'1 "

z

zn

(,

si z = 0 es un cero de f de orden m.Si f es una funcion con valores reales entonces | $f(x)|2 = $f("x) $f (x) es

una funcion par. Ası, si f es bandalimitada, su espectro debe ser simetricorespecto del origen.

En Teorıa de la Senal se recuperan senales bandalimitada a partir de susceros reales (zero–crossings) mediante lo que se denomina zero–crossinginterpolation. El Teorema de Titchmarsh justifica teoricamente el metodo.La manera “heurıstica” de construir el interpolador es la siguiente:

Se parte de la senal x(t) y se construye su senal clipped asociada, sgnx(t)que sirve para localizar sus ceros {tk}k$Z. A continuacion se procesa estasenal clipped del siguiente modo

sgnx(t)

..12

ddt

.."

!!

k="!

!tk

.

Se aplica ahora la transformada de Hilbert, que en el caso funcional estadefinida por Hf(t) = vp

/!"!

f(s)t"s ds, al peine de Dirac

0!k="! !tk

. Poste-riormente, se integra el resultado obteniendo

!!

k="!

!tk

H"!!

k="!

1

t " tk

/" ln

!-

k="!

|t " tk|


Aplicando la funcion exponencial a ln1!

k="! |t " tk| y utilizando el Teo-rema de Titchmarsh recuperamos el valor absoluto de la senal (salvo unfactor constante)

ln!-

k="!

|t " tk|exp"

....K!-

k="!

..1 "t

tk

...... = |x(t)|

Para recuperar la senal original basta con tener en cuenta que

x(t) = sgn[x(t)]|x(t)|.

Los ceros de una funcion bandalimitada pueden ser complejos. En ge-neral, estos son mas difıciles de detectar que los ceros reales y desde elpunto de vista practico, su existencia representa una dificultad. Sin embar-go, utilizando un resultado de Du%n y Shae$er [23] se puede conseguir quela interseccion de la senal bandalimitada con otra sinusoidal de frecuenciadeterminada por su ancho de banda tenga sus ceros reales. La senal di-ferencia se podra recuperar mediante interpolacion zero–crossing y comoconsecuencia, la senal original sumando la sinusoide utilizada. El resultadoreferido es

Teorema 1.6 (Duffin–Shaeffer) Sea f(z) una funcion entera de tipoexponencial a lo mas - con f(z) ! R para z ! R y tal que

|f(x)| " 1, para cada x ! R.

Entonces para cada + ! R la funcion

cos(-z + +) " f(z)

tiene solo ceros reales o es identicamente nula. Ademas, todos los ceros sonsimples, excepto, quizas, aquellos en los que f(x) = ±1.

#

Con ayuda del Teorema de Titchmarsh 1.5 vamos a ofrecer una nuevademostracion al Teorema PWL.

Sea {qn}n$Z $ R una sucesion de numeros reales tales que verifiquen(1.10) y sea G(z) definida en (1.9). A lo largo de la prueba veremos queG(z) esta bien definida y es una funcion entera.

Teorema 1.7 (Paley–Wiener–Levinson) Cualquier funcion f del es-pacio PW" puede se puede recuperar a partir de las muestras {f(qn)}n$Z

mediante la serie interpolatoria de tipo Lagrange

f(z) =!!

n="!f(qn)

G(z)

G#(qn)(z " qn).

La convergencia es uniforme en bandas horizontales de C, en particular entodo R.

#


Demostracion. Por el Teorema– 14 de Kadec tenemos que el sistema E =

{e"iqnx/#

2#}n$Z es una base de Riesz de L2["#, #]. Ası pues, existe unaunica base de L2["#, #] biortogonal a E, H = {hn(x)}n$Z ([109]). Es decir,para cada m, n ! Z se tiene

+hn, e"iqmx%

2",L2["","]

= !nm

Puesto que $f ! L2["#, #] tenemos

$f(.) =!!

n="!+ $f, hn,L2["","]

e"iqn%

#2#

=!!

n="!+ $f, e"iqn"

%2"

,L2["","]

hn(.) .

(1.11)

Haciendo uso de la dualidad de Fourier obtenemos

f(z) =!!

n="!+ $f, e"iqn"

%2"

,L2["","]

F"1(hn)(z) . (1.12)

Puesto que

+ $f, e"iqn%/#

2#,L2["","] = +f, (qn senc,PW!= f(qn),

llamando gn = F"1(hn) podemos escribir (1.12) como

f(z) =!!

n="!f(qn)gn(z) . (1.13)

Las funciones

gn(z) = F"1(hn)(z) =1#2#

% "

""hn(.)eiz% d. ! PW" ,

se anulan en {qm}m &=n. Veamos que estos son sus unicos ceros. Si gn(-) = 0para un - /! {qm}m &=n, entonces

H(z) =z " qn

z " -gn(z) ! PW"

es una funcion de PW" , no identicamente nula que se anula en todoslos puntos de la sucesion {qn}n$Z. Como consecuencia, obtendrıamos que

{ e"iqn"%

2"}n$Z no serıa un sistema completo de L2["#, #], lo que es imposible

al ser una base de Riesz.Aplicando el Teorema de Titchmarsh obtenemos

gn(z) = AnG(z)

z " qn.


Puesto que gn(qn) = 1, entonces An = (G#(qn))"1, por lo que

f(z) =!!

n="!f(qn)

G(z)

G#(qn)(z " qn), (1.14)

con convergencia en la norma de PW" y por lo tanto, uniforme en bandashorizontales de C.

$

Una consecuencia que se extrae de la demostracion anterior es que tanto{(qn senc}n$Z como {gn}n$Z son bases de Riesz biortogonales en PW".

Podemos construir para el muestreo no uniforme un diagrama conmuta-tivo analogo al mostrado en la pagina 7

PW"! F" L2["#, #]

%2(Z)

!

E"

!M

"

donde F es la transformada de Fourier y

M : PW" ") %2(Z)f ") {f(qn)}n$Z

E : L2["#, #] ") %2(Z)$f ") {f(qn)}n$Z

Tanto M como E son isomorfismos, pues tanto las coordenadas de f ! PW"

respecto de {gn}n$Z como las de $f respecto de la base de Riesz {hn}n$Z

son {f(qn)}n$Z. Pero a diferencia de lo que ocurrıa en el diagrama anteriorestas aplicaciones no son isometrıas.

1.2.4 Frames. Algoritmos iterativos

En los apartados anteriores hemos visto que al ser la sucesion {e"in!}n$Z

una base ortogonal de L2["#, #], mediante la transformada inversa de Fou-rier se obtiene el Teorema WSK que nos permite recuperar una funcionf ! PW" a partir de sus muestras {f(n)}n$Z. Si las exponenciales comple-jas {e"iqn!}n$Z forman una base de Riesz de L2["#, #], el Teorema PWLnos permite recuperar f ! PW" a partir de sus muestras no uniformes{f(qn)}n$Z. Podemos generalizar aun mas, suponiendo que las exponen-ciales complejas {e"iqn!}n$Z forman un frame de L2["#, #]. En este apar-tado veremos que es posible reconstruir f ! PW" a partir de sus muestras{f(qn)}n$Z mediante un algoritmo iterativo.

El concepto de frame fue introducido por Du%n y Shae$er en 1952 [24].

Definicion 1.2 Una sucesion {gn}!n=1 de un espacio de Hilbert separableH es un frame si existen dos constantes positivas A y B (llamadas cotas


del frame), tales que para todo elemento f ! H se verifica

A*f*2H "

!!

n=1

|+f, gn,|2 " B*f*2H (1.15)

Si A = B se dice que el frame es estrecho. Si el frame deja de serlo siquitamos alguno de sus elementos, se denomina exacto.

De la definicion anterior se obtiene que todo frame es un conjunto completode H , pues si +f, gn, = 0 para todo n, entonces necesariamente f = 0. Engeneral, un frame es un conjunto que puede contener un subconjunto propioque sea a su vez completo.

Un sistema de exponenciales complejas {e"ixnt/#

2#}n$Z es un framedel espacio L2["#, #] si existen dos constantes positivas A y B tales que

A*'*2L2["","] "

!!

n="!

....1#2#

% "

""'(t)eixnt dt

....2

" B*'*2L2["","]

para cada ' ! L2["#, #]. Si aplicamos la dualidad de Fourier, lo anteriores equivalente a que para toda funcion f ! PW" se verifique

A*f*2PW!

"

!!

n="!|f(xn)|2 " B*f*2

PW!.

Como f(xn) = +f, (xn senc,, {(xn senc}n$Z sera un frame de PW" .El siguiente Teorema relaciona los frames con las bases de H (ver [109]).

Teorema 1.8 Sea G = {gn}!n=1 un frame de H (espacio de Hilbert sepa-rable) con cotas A y B, entonces:

i) G es exacto si y solo si G es una base de Riesz.

ii) Si G es estrecho con A = B = 1 y para cada n ! N se tiene *gn*H = 1entonces G es una base ortonormal.

#

Asociado al frame G = {gn}!n=1 es puede definir un operador lineal S,denominado operador frame, mediante:

S : H ") Hf ") S(f) =

0!n=1 +f, gn,gn

(1.16)

S es un operador acotado [109, pag. 155]. El siguiente Teorema resume laspropiedades fundamentales del operador frame (ver [111, pag. 263]).

Teorema 1.9 Sea H un espacio de Hilbert separable y G = {gn}!n=1 $ Hun frame con cotas A y B, entonces


i. El operador frame asociado S verifica AI " S " BI, es positivo ypor lo tanto, autoadjunto (T1 " T2 0 +(T2 " T1)x, x, ! 0 para todox ! H).

ii. S es invertible y B"1I " S"1 " A"1I.

iii. Para cada f ! H

f =!!

n=1

+f, S"1(gn),gn =!!

n=1

+f, gn,S"1(gn) (1.17)

iv. {S"1(gn)}!n=1 es un frame con cotas B"1 y A"1.

v. Si existe {cn}!n=1 tal que f =0

n cngn entonces

!!

n=1

|cn|2 =!!

n=1

|an|2 +!!

n=1

|an " cn|2 ,

con an = +f, S"1(gn),.

vi. Si {gn}!n=1 es un frame exacto (y por lo tanto una base de Riesz)entonces {gn}!n=1 y {S"1(gn)}!n=1 son bases biortogonales.

#

El siguiente Teorema proporciona condiciones suficientes sobre una su-cesion {xn}n$Z para que {(xn senc(x)}n$Z sea un frame de PW" .

Teorema 1.10 ([24]) Sea {xn}n$Z una sucesion de numeros reales veri-ficando |xn " xm| ! + > 0, si n -= m, y

supn$Z

|xn " /n| " L < % ,

con 0 < / < 1 y +, L > 0. Entonces existen constantes 0 < A " B, quedependen solo de /, + y L, tales que

1f ! PW", A*f*2PW!

"!

n$Z

|f(xn)|2 " B*f*2PW!

.(1.18)

#

Si S es el operador frame asociado a T = {(xn senc(x)}n$Z, para cadaf ! PW"

S(f) =!

n$Z

f(xn)(xn senc. (1.19)

En el operador frame aparecen las muestras {f(xn)}n$Z de la funcionf . A continuacion veremos como se puede recuperar f a partir de S(f)mediante un algoritmo iterativo. Este se basa en el teorema de inversion deun operador lineal mediante series de Neumann en un espacio de Banach.


Teorema 1.11 Sea A un operador lineal acotado en un espacio de BanachE tal que

*f " Af* " -*f* , 1f ! E

con 0 < - < 1. Entonces A es invertible y se puede recuperar f a partir deAf mediante el algoritmo iterativo

f0 = Af (1.20)

fn+1 = fn + A(f " fn) , n ! 0 (1.21)

es decir limn'! fn = f . Ademas, *f " fn* " -n+1*f*.#

Supongamos que T = {(xn senc(x)}n$Z es un frame de PW", y sea S eloperador frame asociado.

Sea S .=

2

A + BS. Por el Teorema 1.9 sabemos que

2A

A + B*f*2

PW!"

2

A + B+S(f), f,PW!

,

si restamos ambos terminos de *f*2PW!

, obtenemos

+(I " S)f, f,PW!"

B " A

B + A*f*2

PW!.

Analogamente, puesto que

2

A + B+S(f), f,PW!

"2B

A + B*f*2

PW!,

obtenemos

"B " A

B + A*f*2

PW!" +(I " S)f, f,PW!

.

Luego,

"B " A

B + A*f*2

PW!" +(I " S)f, f,PW!

"B " A

B + A*f*2

PW!,

y teniendo en cuenta que I " S es autoadjunto, se concluye que

*I " S* = sup(f(=1

+(I " S)f, f, "B " A

B + A< 1 .

Por lo tanto podemos aplicar el algoritmo iterativo descrito en el teoremaanterior para reconstruir cualquier funcion f ! PW" a partir de S(f) quese calcula mediante una sucesion {f(xn)}n$Z de sus muestras. En este casola tasa de convergencia - = B"A

B+A depende de las constantes A y B del

frame. Se sabe que B se comporta como L/"1, pero de la cota A solo seconoce su existencia. Estos metodos iterativos han sido mejorados por H.G.Feichtinger y K. Grochenig en [28], de manera que la tasa de convergenciasea conocida a priori.


1.3 Version distribucional de la dualidad de Fourier

En esta seccion ampliamos el concepto de funcion bandalimitada conside-rando la transformada de Fourier en el sentido de las distribuciones. Unafuncion sera bandalimitada si su transformada de Fourier distribucional esuna distribucion con soporte compacto. Esto nos permitira considerar ex-ponenciales complejas multiplicadas por polinomios o funciones de Lp(R)con p > 2. Las funciones bandalimitadas forman el espacio

PW = {f ! H(C) | 2A, B, N ! 0 .. |f(z)| " A(1 + |z|)NeB| Im z| , 1z ! C} .

ya que el Teorema de Paley–Wiener–Schwartz (ver [10]) establece que latransformada de Fourier distribucional

F : PW ") E #(R)f ") F(f) = T , f(z) = 1%

2"+T, eiwz,, z ! C.

(1.22)

es un isomorfismo lineal entre el espacio de funciones PW y el espacio E #(R)de las distribuciones con soporte compacto.

El punto clave en lo que sigue es que debido al Teorema de Paley–Wiener–Schwartz–Ehrenpreis [10, pag. 84] se puede dotar a PW de una topologıaque haga que el isomorfismo lineal (1.22) se convierta en un homeomorfis-mo. Ası, aunque no dispongamos de una isometrıa entre los espacios PW yE #(R), la transformada de Fourier nos sera de utilidad para transportar undesarrollo de T convergente en E #(R) a un desarrollo de f convergente en latopologıa de PW . Ademas, como veremos mas adelante, la convergencia enla topologıa de PW implicara la convergencia en compactos de C. A estehomeomorfismo lo llamaremos Dualidad de Fourier distribucional, ynos permitira recuperar, de una manera unificada resultados clasicos demuestreo, tanto en el caso funcional como en el caso distribucional.

Para empezar, describiremos la topologıa de PW que convierte a la trans-formada de Fourier distribucional (1.22) en un homeomorfismo entre PWy E #(R).

Para cada n ! N0 = N 3 {0}, denotamos por PWn al subespacio defunciones enteras tales que

*f*n.= sup

z$C

&|f(z)|

(1 + |z|)nen| Im z|

)< % (1.23)

Para cada n ! N0, (PWn, * *n) es un espacio de Banach. Ademas PWn $PWn+1, para cada n, con inclusion continua. Se verifica que

PW =!2

n=0

PWn .

Dotaremos a PW de la topologıa lımite inductivo de los espacios de Banach{(PWn, * *n)}!n=0. La topologıa lımite inductivo en PW es la topologıa

1.3 Version distribucional de la dualidad de Fourier 19

localmente convexa mas fina para la cual todas las inclusiones

PWn!

in ) PW (1.24)

son continuas (ver [83, cap. V], [49]). Dotando a PW de esta topologıa,el Teorema Paley–Wiener–Schwartz–Ehrenpreis establece que la transfor-mada de Fourier es un homeomorfismo entre PW y E #(R), dotado esteultimo espacio de la topologıa fuerte ,(E #(R), E(R)), es decir, de la topo-logıa de la convergencia uniforme sobre conjuntos debilmente acotados deE #(R) = C!(R) (ver [10]).

Para cada n ! N0 la convergencia en la norma * *n de PWn implica laconvergencia uniforme sobre conjuntos compactos de C ya que si K es uncompacto de C

supz$K

|f(z)| " An(K)*f*n,

siendoAn(K) = sup

z$K(1 + |z|)nen| Im z|.

Por lo tanto, las inclusiones (1.24), dotando a PW de la topologıa dela convergencia uniforme sobre compactos, son continuas. Puesto que latopologıa lımite inductivo es la mas fina con esta propiedad obtenemos elsiguiente resultado

Lema 1.1 Si una sucesion converge en PW para la topologıa lımite induc-tivo entonces convergera uniformemente sobre subconjuntos compactos deC.

Conviene observar que, puesto que E(R) es un espacio de Montel, si unasucesion de E #(R) converge debilmente entonces tambien converge fuerte-mente, es decir, Tn ) T en ,(E #(R), E(R)) si y solo si +Tn, 0, ) +T, 0,para toda 0 ! E #(R) (ver [99]).

La convergencia en L2["#, #] implica convergencia en E #(R) ya que sifn ) 0 en L2["#, #] y 0 ! E(R) se puede usar la desigualdad de Cauchy–Schwarz

....

% "

""fn0

.... " *fn*L2["","]*0)["","]*L2["","] """)n'!

0(1.25)

donde )["","] es la funcion caracterıstica del intervalo ["#, #], y por tantofn ) 0 en E #(R).

El desarrollo $f(.) =0

n$Zf(n) e"in"

%2"

o el desarrollo (1.11) que convergen

en L2["#, #], tambien lo haran en E #(R) y por consiguiente, aplicando ladualidad de Fourier, se obtendran los teoremas WSK y PWL.

Tambien podemos hacer uso de la dualidad de Fourier para demostrar unteorema de muestreo para los espacios de Paley–Wiener PW p

" con 1 < p "


%. Una funcion entera f pertenece a PW p" si y solo si existe g ! Lp("#, #)

tal que

f(z) =

% "

""g(u)eiuz du , z ! C,

Puesto que para cada z ! C tenemos que |f(z)| " e"|z|*g*L1, toda funcionde PW p

" es una funcion entera de tipo exponencial a lo mas #.En el siguiente teorema centraremos nuestra atencion en el caso 1 < p < 2

ya que cuando p ! 2 Lp["#, #] $ L2["#, #] y podrıamos aplicar el TeoremaWSK.

Teorema 1.12 Sea f ! PW tal que su transformada de Fourier $f perte-nezca al espacio Lp["#, #] con 1 < p < 2. Entonces,

f(z) =!!

n="!f(n)

sen#(z " n)

#(z " n).

La convergencia es uniforme sobre los subconjuntos compactos de C.#

Demostracion. Puesto que {e"in!}!n="! es una base de Schauder deLp["#, #] para 1 < p < 2 (ver [109]), tenemos

$f(") =!

n$Z

cne"in!

#2#

)["","], (1.26)

con convergencia en Lp["#, #]. Este desarrollo converge tambien en E #(R),ya que la convergencia en Lp["#, #] implica la convergencia en E #(R) (elargumento es el mismo que el utilizado en (1.25) pero utilizando la de-sigualdad de Holder en vez de la desigualdad de Cauchy–Schwarz).

Los coeficientes del desarrollo de $f (1.26) se pueden identificar facilmentepues

f(m) =1#2#

+ $f, eim!, =1

2#

!

n$Z

cn+e"in!)["","], eim!, =

=1

2#

!

n$Z

cn2#!nm = cm,

Por tanto

$f(") =!

n$Z

f(n)e"in!

#2#

)["","].

con convergencia en E #(R). Aplicando la transformada de Fourier inversaobtenemos el resultado.

$


Una funcion f que verifique las condiciones del teorema anterior pertene-ce al espacio de Bernstein Bq

" de funciones enteras de tipo exponencial a lomas # cuya restriccion a la recta real pertenece a Lq(R), donde 1

p + 1q = 1

(ver [109]).Hagamos notar que no toda transformada de Fourier inversa de una

distribucion de soporte compacto admite un desarrollo como el que apareceen el Teorema WSK convergiendo en el sentido funcional. La derivada dela delta de Dirac en un punto a ! ("#, #), !#a tiene como transformadade Fourier inversa f(z) = "izeiaz/

#2#, funcion cuyas muestras f(n) son

O(|n|) cuando |n| ) %, por lo tanto el desarrollo (1.4) diverge.Sea T ! E #(R) una distribucion con soporte, sop T , contenido en el in-

tervalo abierto ("#, #) y consideremos su extension 2#–periodica

Tper = T / #2" , (1.27)

donde #2" =0!

n="! !2n" es el peine de Dirac de periodo 2#. Se sabe queTper es una distribucion temperada y que admite un desarrollo en serie deFourier

Tper =!!

n="!cne"inw (1.28)

que converge en la topologıa del espacio de las distribuciones temperadasS#(R) [102]. Ademas se verifica que existe p ! Z

cn =f(n)#

2#=

1

2#+T, einw, = O(|n|p) (1.29)

con f = F"1(T ). Para poder aplicar el argumento de dualidad necesitamosque la convergencia de (1.28) sea en E #(R). Para conseguirlo introduciremosun factor de convergencia. Este consiste en una funcion de C!(R), de so-porte compacto en ("#, #) y que sea identicamente igual a 1 en un entornodel soporte de T . Este factor siempre lo podemos escoger par, por lo quesu transformada de Fourier sera una funcion real. Estamos en disposicionde probar el siguiente resultado.

Lema 1.2 Sean T ! E #(R) con sop T $ ("#, #), f = F"1(T ) ! PW y$1 ! D(R) con sop $1 $ ("#, #) y $1(x) 4 1 en un entorno del soporte de T .Entonces,

T =1#2#

!!

n="!f(n)e"inw$1 (1.30)

con convergencia en E #(R).#


Demostracion. Puesto que $1(x) 4 1 en un entorno del soporte de T , se

tiene que $1Tper = T . La multiplicacion por $1 es una operacion continua enS#(R), por lo que, teniendo en cuenta (1.28), obtenemos

T =!!

n="!cne"inw$1

con convergencia en S#(R). Ademas, la convergencia es tambien en E #(R),pues si 0 ! C!(R), entonces

+T, 0, = +$1Tper, 0, = +T, $10,

y esto implica

+T, 0, = limN'!

+0N

n="N cne"inw, $10, = limN'!

+0N

n="N cne"inw$1, 0, .(1.31)

$

Este Lema nos va a permitir probar el siguiente teorema de muestreoregular para funciones con crecimiento polinomico sobre el eje real [19].

Teorema 1.13 (Teorema de Campbell) Sean f ! PW , T = F(f) y$1 ! D(R) como en el Lema 1.2. Entonces,

f(z) =1#2#

!!

n="!f(n)1(z " n) (1.32)

con convergencia uniforme en los subconjuntos compactos de C.#

Demostracion. Basta con aplicar la transformada de Fourier inversa en(1.30) para obtener el siguiente desarrollo en PW

f(z) =1#2#

!!

n="!f(n)F"1(e"inw$1)(z) =

1#2#

!!

n="!f(n)1(z " n)

(1.33)

en PW .$

El precio que hay que pagar para obtener la convergencia en E #(R) esque nos fuerza a utilizar una frecuencia de muestreo (en nuestro caso 1)mayor que la indicada por la frecuencia de Nyquist 2 supx$sop T |x|/2#.

El desarrollo muestral (1.33) se puede expresar tambien de la siguiente


forma

f(z) =1#2#

!!

n="!f(n)F"1(e"inw$1)(z)

=1#2#

!!

n="!f(n)F"1(e"inw)["","]

$1)(z)

=!!

n="!f(n)((n senc /1)(z)

(1.34)

desarrollo que se asemeja al desarrollo del Teorema WSK.La forma de la expresion muestral (1.34) no es inusual. Puede consul-

tarse los trabajos de Feichtinger y Grochenig [29, 28] para ver ejemplosde desarrollos cuyas funciones muestrales vienen expresadas mediante unaconvolucion.

En lo que sigue vamos a aplicar la dualidad de Fourier a desarrollos enE #(R) respecto de algunas familias clasicas de polinomios ortogonales. Estosdesarrollos no seran desarrollos muestrales pues los coeficientes de las seriesno son muestras de funciones del espacio de Paley–Wiener.

Para empezar veamos como los polinomios de Legendre {Pn(x)}!n=0 con-ducen a los denominados desarrollos de Bessel–Neumann en el espacio

PW1.= {f ! L2(R) ' C(R) | sop $f $ ["1, 1]}.

Sabemos que {3

n + 12Pn(x)}!n=0 es una base ortonormal de L2["1, 1] y

queF(int"1/2Jn+ 1

2(t))(x) = Pn(x))["1,1](x)

para cada n ! N0, donde Jn+ 12

es la funcion de Bessel de orden n + 12 .

En el caso funcional tenemos el siguiente resultado

Teorema 1.14 Sea f ! PW1. Entonces

f(z) =!!

n=0

aninz"1/2Jn+ 12(z) (1.35)

con convergencia uniforme en los compactos de C, donde

an = (n +1

2)+ $f, Pn,L2["1,1].

#

Demostracion. Sea

$f(x) =!!

n=0

anPn(x)


el desarrollo de la trasformada de Fourier $f de f , respecto de la base delos polinomios de Legendre en L2["1, 1]. El resultado se obtiene aplicandola transformada de Fourier inversa.

$

El resultado anterior puede ser extendido al caso distribucional. Paraobtener un desarrollo analogo al desarrollo de Bessel–Neumann (1.35) parafunciones cuya transformada de Fourier sea una distribucion T ! E #(R) consop T $ ("1, 1), necesitamos desarrollar T respecto de los polinomios deLegendre con convergencia en E #(R). De nuevo, esto nos fuerza a introducir

un factor de convergencia $1.

Teorema 1.15 Sea T ! E #(R) tal que sop T $ ("1, 1) y sea $1 ! D(R) con

sop $1 $ ("1, 1) y 1 4 1 en un conjunto abierto que contenga al soporte deT . Si f = F"1(T ), entonces

f(z) =!!

n=0

an(&n / 1)(z), (1.36)

con convergencia uniforme sobre subconjuntos compactos de C, donde an =+T, Pn, y &n(t) = int"1/2Jn+ 1

2(t). #

Demostracion. Por la Proposicion 6.3 de [102] tenemos que

T =!!

n=0

anPn)["","]$1,

con convergencia en E #(R). Usando ahora la dualidad de Fourier obtenemos(1.36).

$

Podemos repetir el proceso anterior considerando ahora las funciones deHermite. La transformada de Fourier de las funciones de Hermite normali-zadas

hn(x) =Hn(x)e"x2/2

#1/42n/2(n!)1/2, n ! N0

es 4hn(") = ("i)nhn("), n ! N0, donde Hn es el enesimo polinomio deHermite.

Si f ! PW" entonces,

$f(") =!!

n=0

anhn)["","](") (1.37)

con convergencia en L2["#, #] y como consecuencia en E #(R). Los coeficien-tes an vienen dados por

an = + $f, hn,L2["","].


Aplicando la transformada de Fourier inversa a (1.37) obtenemos el si-guiente resultado

Teorema 1.16 Sea f ! PW". Entonces

f(z) =!!

n=0

inan(hn / senc)(z)

con convergencia uniforme en compactos de C, donde an = + $f, hn,L2["","].#

Para la version distribucional del desarrollo anterior necesitamos de nuevoun factor de convergencia apropiado $1 para conseguir que las series deHermite, que sabemos que convergen en S#(R) [102, Th. 6.7], converjan enE #(R).

Teorema 1.17 Sean f ! PW , T = F(f) con sop T $ ("A, A) y $1 !D(R) con sop 1 $ ("A, A) y 1 4 1 en un conjunto abierto que contenga alsoporte de T . Entonces,

T =!!

n=0

anhn$1

con convergencia en E #(R), donde an = +T, hn,. Ademas

f(z) =!!

n=0

inan(hn / 1)(z)

con convergencia uniforme en compactos de C.#

2

TEOREMAS DE MUESTREO ASOCIADOS APROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE.

GENERALIZACIONES

2.1 Introduccion

En el Capıtulo 1 vimos como las funciones bandalimitadas a ["#, #] sepueden recuperar a partir de una sucesion de sus muestras. Estas funcio-nes se caracterizan por ser la imagen del espacio L2["#, #] mediante latransformada de Fourier inversa, esto es:

f ! PW" 0 f(t) =1#2#

% "

""

$f(x)eitx dx .

Es decir, las funciones del espacio PW" vienen asociadas a una transforma-da integral cuyo nucleo es el de Fourier K(x, t) = eitx/

#2#. La pregunta

que este hecho sugiere es: ¿existiran otras transformadas integrales distin-tas de la de Fourier que definan funciones enteras, que se puedan recuperara partir de una sucesion de sus muestras? La respuesta es afirmativa yvamos a explicar como se ha ido desarrollando esta idea. Historicamente,esta parte de Whittaker [106] quien propuso el nucleo K(x, t) =

#xtJ0(xt)

de la transformada de Hankel de orden cero sobre un intervalo finito. Fuesin embargo Kramer [62] el primero que formalizo la idea de una genera-lizacion del teorema WSK siguiendo una idea de Weiss [103] que anuncioen el Bulletin de la AMS sin publicar su prueba. Para Kramer, el nucleoK(x, t) es una funcion que pertenece a un cierto L2(I) para cada t fijo, yque particularizada en una sucesion de puntos {tn} forma una base orto-gonal de L2(I). Como ya se sugerıa en los trabajos anteriores, problemasde contorno del tipo Sturm–Liouville son los candidatos a generar estosnucleos si existiera una funcion '(x, t), que particularizada en la sucesion{tn} de los autovalores del problema, generase la sucesion de autofunciones.

28 Teoremas de muestreo y problemas de Sturm–Liouville. Generalizaciones

Este es el caso del problema de Sturm–Liouville regular. El argumento deKramer no se puede aplicar a cualquier problema de contorno (ver [111,pg. 50]) y, en general, el resultado no se verifica si el operador diferenciales de orden mayor que 2, o si las condiciones frontera son de tipo mixto.Tampoco queda clara su aplicacion en problemas de contorno singulares.Hay que notar que no todo nucleo de Kramer proviene de un problema decontorno [56].

Desde finales de la decada de los 80 y comienzos de los 90, han sidomuchos los trabajos de investigacion publicados en la direccion de encontrarteoremas de muestreo asociados a problemas de contorno [52, 110, 120, 27].En todos ellos, se ha puesto de manifiesto que los teoremas de muestreoque se encuentran no son mas que series interpolatorias tipo Lagrangey que los puntos de muestreo son los autovalores del problema. Se hanobtenido teoremas de muestreo para operadores diferenciales de orden >2 o para problemas de contorno con condiciones frontera de tipo mixto[116]. Tambien se han obtenido resultados utilizando la funcion de Greende problemas no necesariamente autoadjuntos [112].

En este capıtulo, ademas de poner en una perpectiva actual lo conocidosobre el tema, aportamos nuevos resultados asociados al problema singularde Sturm–Liouville en toda la recta: Teoremas 2.4, 2.5 y el Corolario 2.1.En la seccion 2.3.3 ponemos de manifiesto como existe una dualidad tipoFourier asociada al problema de Sturm–Liouville regular. Aplicando estadualidad se obtienen los teoremas de muestreo conocidos, de la mismaforma en que se obtuvieron para el espacio de Paley–Wiener PW" .

Toda la teorıa anterior se puede generalizar para la obtencion de teoremasde muestreo asociados con operadores simetricos con resolvente compacta.En particular, cuando estos operadores sean del tipo Hilbert–Schmidt. Co-mo un caso particular de lo anterior, se obtienen los resultados de [3] paraoperadores integrales tipo Fredholm.

2.2 Lema de Kramer

Comenzamos esta seccion enunciando el Lema de Kramer. Este resultadocontiene la idea que ha sido mas fructıfera en la busqueda y demostracionde teoremas de muestreo como se pondra de manifiesto en las paginasposteriores.

Teorema 2.1 (Lema de Kramer) Sean D, I $ R, con I un intervalo,y K(x, t) un nucleo que pertenece a L2(I) para cada t ! D. Sea X ( Z

un conjunto de ındices y supongamos que existe una sucesion de numerosreales {$n}n$X $ D tal que {K(·, $n)}n$X es una base ortogonal de L2(I).Entonces, si

f(t) =

%

Ig(x)K(x, t) dx = +g, K(·, t),L2(I) , (2.1)

2.2 Lema de Kramer 29

con g ! L2(I), f se puede recuperar a partir de sus valores en el conjunto{$n}n$X mediante:

f(t) = limN'!

!

|n|!Nn$X

f($n)Sn(t) (2.2)

donde

Sn(t) = *K(·, $n)*"2L2(I)

%

IK(x, $n)K(x, t) dx

siendo la convergencia absoluta, y uniforme en los subconjuntos de D enlos que *K(·, t)*L2(I) este acotada.

#

Para una demostracion del Lema de Kramer se puede consultar [47, pag.79] y [111, pag. 47].

Para comprobar como el Lema de Kramer generaliza el Teorema WSK,basta con tomar I = ["#, #], K(x, t) = eixt y $n = n ! Z. En este caso,

Sn(t) = *K(·, n)*"2L2(I)

% "

""K(x, n)K(x, t) dx =

sen #(t " n)

#(t " n),

y por lo tanto si f(t) =/ """ F (x)eixt dx con F ! L2("#, #), siguiendo el

Teorema 2.1, tenemos

f(t) =!!

n="!f(n)

sen#(t " n)

#(t " n). (2.3)

Con las hipotesis del Teorema 2.1, definimos el operador K mediante:

(Kg)(t) =

%

Ig(x)K(x, t) dx , t ! D .

K es un operador inyectivo, pues si Kg = 0 entonces g sera ortogonalal conjunto completo {K(·, $n)}n$X , por lo que necesariamente g 4 0.Denotemos al rango del operador K mediante R $ L2(D). Si el operadorK"1 es un operador acotado, entonces su dominio R sera un subespaciocerrado del espacio de Hilbert L2(D) y por lo tanto a su vez un espacio deHilbert.

Si I = ["#, #] y K(x, t) = eixt el espacio R es el espacio de Paley-WienerPW" que como es sabido es un espacio de Hilbert con nucleo reproductor(RKHS).

En determinados casos el espacio R es tambien RKHS. En efecto, si K"1

es un operador acotado entonces R es un espacio RKHS (ver [47, pag. 82]).Si ademas el operador K es una isometrıa entre los espacios L2(I) y Rtenemos la siguiente expresion para el nucleo reproductor k(x, t) de R

k(x, t) = +K(·, x), K(·, t),L2(I) . (2.4)


Ejemplo. Sea K(x, t) =#

xtJ&(xt) con t ! R+ y x ! (0, 1). Este nucleoes el que corresponde a la transformada de Hankel de orden 2. La trans-formada de Hankel induce un operador acotado e inyectivo entre L2(0, 1)y L2(R+). Utilizando lo anterior deducimos que la imagen de L2(0, 1) me-diante este operador, que es un subespacio cerrado de L2(R+), es un espaciode Hilbert con nucleo reproductor. Si utilizamos (2.4) se sabe (ver [47, pag.83]) que en este caso

k(x, t) =

#xt

t2 " x2(tJ&+1(t)J&(x) " xJ&+1(x)J&(t)) .

El problema importante a la hora de utilizar el Lema de Kramer es comoencontrar el nucleo K(x, t) y la sucesion {$n}n$X en el Teorema 2.1. Esprecisamente en la busqueda de teoremas de muestreo asociados a los pro-blemas de Sturm-Liouville donde el Lema de Kramer ha resultado ser masutil.

2.3 Teoremas de muestreo asociados a problemasde Sturm-Liouville

2.3.1 Problema de Sturm-Liouville: Caso regular

Consideremos el problema de Sturm-Liouville regular

Ly.= "y## + q(x)y = $y x ! [a, b] (2.5)

y(a) cos+ + y#(a) sen + = 0 (2.6)

y(b) cos, + y#(b) sen , = 0 (2.7)

donde q(x) es continua en el intervalo finito [a, b]. El problema (2.5)–(2.7)define un operador autoadjunto (ver [26, pag. 141]) con espectro discreto([98]). Los autovalores {$n}!n=0 son por lo tanto reales y siguiendo [98,pag. 12 y ss.], simples y acotados inferiormente. Ademas, las autofuncionesasociadas forman una base ortogonal de L2(a, b) (ver [21, pag. 198]).

Sean '(x, $) y .(x, t) las soluciones de (2.5) que verifican

'(a, $) = sen+ , '#(a, $) = " cos+ ,.(b, $) = sen , , .#(b, $) = " cos, .

La funcion '(x, $) verifica la condicion de contorno (2.6), para todo $, ypor lo tanto $n sera un autovalor si y solo si '(x, $n) verifica la condicionde contorno (2.7). Por lo tanto, {'(x, $n)}!n=0 seran las autofunciones delproblema (2.5)–(2.7). Definidas las soluciones ' y . el Wronskiano W de 'y . se define como

W ('(·, $), .(·, $)) =

....'(x, $) .(x, $)'#(x, $) .#(x, $)

.... (2.8)

2.3 Teoremas de muestreo asociados a problemas de Sturm-Liouville 31

Se puede demostrar ([98, pag. 7-11 y 19]) el siguiente resultado

Lema 2.1 W ($).= W ('(·, $), .(·, $)) es independiente de x ! [a, b], es

una funcion entera de orden 1/2, sus ceros son reales, simples y son losautovalores {$n}!n=0 del problema (2.5)–(2.7). Ademas cuando k ) %tenemos

5$k =

k#

b " a+ O

'1

k

((2.9)

#

Teniendo en cuenta la independencia de W ($) de x tenemos:

W ($) = " cos,'(b, $) " sen,'#(b, $). (2.10)

Al ser W ($) una funcion entera de orden 1/2 con ceros simples en {$n}!n=0,el teorema de factorizacion de Hadamard ([22, pag. 289]) aplicado a estecaso asegura que

W ($) = CP ($) (2.11)

con C ! C y

P ($) =!-

n=0

'1 "

$

$n

(, (2.12)

si 0 /! {$n}!n=0 o

P ($) = $!-

n=1

'1 "

$

$n

(, (2.13)

si $0 = 0.Ya estamos en disposicion de enunciar un teorema de muestreo asociado

al problema de Sturm-Liouville regular (2.5)–(2.7).

Teorema 2.2 Sea

f($) =

% b

ag(x)'(x, $) dx , (2.14)

donde g ! L2(a, b). Entonces f se puede reconstruir a partir de sus valoresen los autovalores {$n}!n=0 mediante:

f($) =!!

n=0

f($n)

/ ba '(x, $)'(x, $n) dx

*'(·, $n)*2L2(a,b)

. (2.15)


La serie (2.15) puede expresarse mediante una serie interpolatoria tipo La-grange como

f($) =!!

n=0

f($n)P ($)

P #($n)($ " $n)(2.16)

donde P esta definida en (2.12) si 0 no es autovalor o en (2.13) en casocontrario.

La convergencia de la serie es absoluta, y uniforme sobre los subconjuntoscompactos de C.

#

La representacion de f mediante la serie (2.15) es una consecuencia in-mediata del Lema de Kramer, ya que el nucleo '(x, $) verifica todas lashipotesis necesarias. Para comprobar la segunda representacion se puedeconsultar [47, pag. 168-169].

Daremos una nueva prueba de este resultado en la pagina 48 en dondepondremos de manifiesto que se puede definir una transformada de Sturm-Liouville que, a su vez, define una isometrıa entre L2(a, b) y cierto espaciode funciones enteras. En este estudio aparece una dualidad analoga a la deFourier del Capıtulo 1.Ejemplo: Transformada coseno finita. Aplicaremos el Teorema 2.2 alproblema de Sturm–Liouville regular

" y##(x) = $y(x) , x ! [0, #] (2.17)

y#(0) = 0 (2.18)

y#(#) = 0. (2.19)

Un sistema fundamental de soluciones de (2.17) es {cosx#

$, senx#

$}.Para seguir las hipotesis del Teorema 2.2 sea '(x, $) = cosx

#$ y .(x, $) =

sen x#

$. Los autovalores del problema son $n = n2, n ! N0, por lo tanto,en este caso

L($) = $!-

n=1

'1 "

$

$n

(=

#$ sen #

#$

#

(para la ultima igualdad ver [22, pag. 175]). Por lo tanto

L#($n) =

*12 ("1)n si n -= 0

1 si n = 0

y ası para toda funcion f($) definida como

f($) =

% "

0F (x) cos x

#$ dx ,


donde F ! L2(0, #), tenemos, por el Teorema 2.2, que:

f($) = f(0)sen#

#$

##

$+ 2

!!

n=1

f(n2)("1)n

#$ sen #

#$

#($ " n2)

Como se puede comprobar facilmente f($) solo depende de#

$, por lo quesi $ = t2 y

g(t) =

% "

0F (x) cos xt dx ,

entonces

g(t) = g(0)sen#t

#t+ 2

!!

n=1

g(n)("1)nt sen#t

#(t2 " n2).

Este resultado se puede generalizar (ver [111, pag. 114]) a cualquier teoremade muestreo asociado a un problema de Sturm–Liouville regular.

2.3.2 Problema de Sturm-Liouville: Caso singular

Cuando tratamos de extender los resultados obtenidos en la seccion ante-rior para problemas de Sturm–Liouville regulares al caso singular surgenvarios problemas. El primero es que, a diferencia del caso regular, hay pro-blemas de Sturm-Liouville singulares cuyo espectro continuo es no vacıo.Si este es el caso, toda tentativa de ampliar los resultados derivados delLema de Kramer serıa inutil. Incluso si el problema singular tiene espec-tro discreto no siempre es posible obtener resultados similares a los de laseccion anterior. De todas formas, si se puede aplicar el Lema de Kramer,obteniendo una transformada integral asociada al problema, los teoremasde muestreo que se obtengan estaran ligados a series interpolatorias tipoLagrange.

Consideremos el problema de Sturm-Liouville

Ly.= "y## + q(x)y(x) = $y x ! (a, b) (2.20)

y(a) cos+ + y#(a) sen + = 0 , (2.21)

donde ahora q(x) tiene una singularidad en alguno de los extremos delintervalo (a, b), o bien, este no esta acotado por alguno de sus extremos.Se sabe ([21, pag. 27]) que ambos casos son equivalentes, y siguiendo [111],dividiremos el analisis en dos subcasos. En el primero trataremos el caso[0,%) con q(x) continua en [0,%), y en el segundo estudiaremos el caso(a, b) = ("%,%) imponiendo alguna condicion adicional.

Problemas de Sturm-Liouville en la semirrecta [0,%)

En toda esta seccion supondremos que el intervalo es [0,%). Tal comohicimos en el caso regular, sean '(x, $) y 1(x, $) soluciones de (2.20) tales


que

'(0, $) = sen+ , '#(0, $) = " cos+ ,1(0, $) = cos+ , 1#(0, $) = sen + .

Se sabe (ver [98, Capıtulos 2 y 3]) que existe una funcion compleja m($),analıtica en el semiplano superior y en el semiplano inferior tal que

*(x, $).= 1(x, $) + m($)'(x, $), Im $ -= 0, (2.22)

es una solucion de (2.20) que pertenece a L2(0,%). A la funcion *(x, $) sela denomina funcion de Weyl y a m($) funcion de Weyl-Titchmarsh. Weylen [105] fue el primero en probar que dependiendo unicamente de q(x),se podıan establecer dos casos disjuntos a la hora de estudiar el problema(2.20)–(2.21). A estos casos los denomino caso punto lımite y caso cırculolımite. Para un estudio detallado de estos casos se puede consultar [69,Capıtulo 2]. Aquı nos limitaremos a exponer los resultados fundamentales.

El el caso punto lımite existe solo una funcion m($) analıtica en C " R

que verifique (2.22) para $ ! C " R, mientras que en el caso cırculo lımitehay infinitas funciones con estas caracterısticas. Ademas, en el caso cırculolımite '(x, $) pertenece a L2(0,%) y, por lo tanto, toda solucion de (2.20)–(2.21) pertenece a L2(0,%).

Una condicion suficiente para que el problema (2.20)–(2.21) tenga espec-tro discreto es que q(x) ) % cuando x ) +%. Se puede dar una condicionmenos restrictiva para la existencia de espectro discreto ([69, pag. 75]).

Lema 2.2 Si q(x) verifica

1. Existe una constante positiva c tal que para toda x ! [0,%)

q(x) > "c

2. Para todo " > 0,

limx'!

% x+!

xq(x) dx = % ,

entonces el problema (2.20)–(2.21) con (a, b) = (0,%) tiene espectro dis-creto.

#

En todo lo que sigue supondremos que el espectro de (2.20)–(2.21) es dis-creto, lo que equivale a suponer que la funcion m($) para Im$ > 0 (oIm $ < 0) se puede extender a una funcion meromorfa con polos simples{$n}!n=0 en el eje real. Ademas (ver [98, Capıtulo 2,5]):

i) Los autovalores coinciden con los polos de m($) y son simples.


ii) El numero de autovalores negativos es finito y limn'!

$n = +%.

iii) La autofuncion asociada al autovalor $n es '(x, $n) y

*'(·, $n)*2 =1

rn

donde rn es el residuo asociado al polo $n de m($).

Podemos suponer, sin perdida de generalidad, que {$n}!n=0 $ R+ 3 {0} yque si 0 es un autovalor, o polo de m($), entonces $0 = 0.

Una de las principales diferencias entre el caso regular y el singular es ladistribucion de los autovalores: en el caso singular no hay ninguna expre-sion asintotica general como (2.9), por lo que el producto P ($), definido en(2.12), puede no converger. Ası, tenemos que imponer una condicion adi-cional a los autovalores {$n}!n=0 para poder definir su producto canonico.Sea

3.= inf{k > 0 |

!!

n=0

1

|$n|k< +%}.

Si 3 < % se dice que la sucesion {$n}!n=0 tiene exponente de convergenciafinito. Sea p el menor entero no negativo mayor que 3 " 1, se define

P ($) =

*1!n=0 (1 " '

'n) exp(

0pi=0

1i (

''n

)i) si p ! 11!

n=0(1 " ''n

) si p = 0

si $0 -= 0 o

P ($) =

*$1!

n=1 (1 " ''n

) exp(0p

i=01i (

''n

)i) si p ! 1

$1!

n=1(1 " ''n

) si p = 0

si $0 = 0.La funcion P ($) esta bien definida y en una funcion entera cuyos ceros

son {$n}!n=0 (ver [22, Capıtulo 11]). A la funcion P ($) se la denomina pro-ducto canonico asociado a la sucesion {$n}!n=0. Con todos estos resultadose hipotesis podemos enunciar un teorema de muestreo asociado al problemade Sturm-Liouville en [0,%)

Ly.= "y## + q(x)y = $y x ! [0,%), (2.23)

y(0) cos+ + y#(0) sen+ = 0, (2.24)

(2.25)

probado por Zayed en ([110]), basandose en resultados generales sobre pro-blemas de Sturm-Liouville que pueden encontrarse en [98] o [69].


Teorema 2.3 Sean !(x, $) = P ($)*(x, $) y F ! L2(0,%). Toda funcionf($) de la forma

f($) =

% !

0F (x)!(x, $) dx , (2.26)

es una funcion entera y se puede reconstruir a partir de sus muestras en{$n}!n=0 mediante la serie interpolatoria tipo Lagrange

f($) =!!

n=0

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n). (2.27)

La convergencia de la serie es absoluta, y uniforme en compactos de C.#

Veamos un ejemplo donde se aplica el Teorema anterior.Ejemplo: La transformada de Hankel.

Sea el problema de Sturm-Liouville

y## "422 " 1

4x2y = "$y , 0 < x " b < %, 2 ! 1, (2.28)

y(b) = 0 . (2.29)

En este caso la funcion q(x) = (422 " 1)/x2 es discontinua en 0 por lo que(2.28)–(2.29) es equivalente a un problema de Sturm-Liouville en la semi-rrecta. Tal como se prueba en [98, pag. 82] y siguiendo la misma notacion

'(x, $) =#

2

#xb(J&(x

#$)Y&(b

#$) " Y&(x

#$)J&(b

#$))

1(x, $) =#

2

#xb$(J&(x

#$)Y #

&(b#

$) " Y&(x#

$)J #&(b

#$))+

'(x, $)

2b

donde J& e Y& son, respectivamente, las funciones de Bessel de orden 2 deprimera y segunda especie. Ademas, la unica solucion de (2.28)–(2.29) es#

xJ&(x#

$) por lo que de (2.22) se deduce que

m($) = "#

$J #

&(b#

$)

J&(b#

$)"

1

2b.

Los autovalores, {$n}!n=1, de (2.28)–(2.29), o polos de m($), son los cerosde J&(b

#$) y puesto que

J&(b#

$) =1

2#

$n($ " $n)bJ #

&(b#

$) + . . . ,

el residuo de m($) en $n es rn = "2$n/b. Este residuo es negativo debido aque la singularidad es el extremo inferior del intervalo (0, b). La autofuncion,'(x, $n), asociada al autovalor $n es

'(x, $n) =#

2

#xbJ&(x

5$n)Y&(b

5$n).


Aquı la funcion P ($) es

P ($) =!-

n=1

'1 "

$b2

!2&,n

(

donde !&,n es el enesimo cero positivo de J&(z).Las funciones J&(b

#$) y P ($) tienen los mismos ceros y se sabe ([111,

pag. 132]) que

J&(b#

$) =(b#

$)&

2&&(2 + 1)P ($).

Siguiendo la notacion del Teorema 2.3

!(x, $) = P ($)*(x, $) =2&&(2 + 1)

(b#

$)&

6x

bJ&(x

#$).

Por lo tanto, si

f($) = c&

% b

0F (x)

#x$"&/2J&(x

#$) dx

con c& =2&&(2 + 1)

b&+ 12

y F ! L2(0, b), entonces

f($) =!!

n=1

f($n)2$(&+1)/2

n $"&/2J&(b#

$)

($ " $n)bJ #&(b

#$n)

.

Problemas de Sturm-Liouville en ("%, +%)

La estrategia para obtener teoremas de muestreo en este caso es dividirel problema en dos subproblemas de Sturm-Liouville, uno en la semirrecta("%, 0) y otro en la semirrecta (0, +%). Consideremos el problema

y## " q(x)y = "$y , x ! R , (2.30)

con q(x) continua en R. Sean '(x, $) y 1(x, $) ls soluciones de (2.30) queverifican

'(0, $) = 0, '#(0, $) = "11(0, $) = 1, 1#(0, $) = 0

En este caso, tendremos dos funciones de Weyl, *+(x, $) y *"(x, $), ydos funciones de Weyl-Titchmarsh m+($) y m"($) tales que, para cada$ ! C " R

*+(x, $) = 1(x, $) + m+($)'(x, $) ! L2(0,%),

y*"(x, $) = 1(x, $) + m"($)'(x, $) ! L2("%, 0).


Las funciones m+($) y m"($) son analıticas en los semiplanos superior einferior. Supondremos en lo que sigue que estas funciones admiten exten-siones meromorfas.

Tal como se prueba en [98, pag. 127], una condicion suficiente paraque tanto m+($) como m"($) admitan extensiones meromorfas es quelimx'±! q(x) = %.

Se sabe ([98, pag. 43]) que los autovalores del problema (2.30) son lospuntos {$n}!n=0, que verifican alguna de las siguientes propiedades

1. $n es polo comun de m+($) y m"($) pero con residuos asociados, r+n

y r"n , distintos.

2. m+($n) = m"($n) -= 0

3. $n es un cero comun de m+($) y m"($) y

limµ''n

m+(µ)

m"(µ)-= 1

Es importante hacer notar que los ceros de las funciones m±($) son siempreceros simples.

Si la funcion q(x) es una funcion par, entonces '(·, $) sera una funcionimpar y 1(·, $) una funcion par y, por lo tanto, *+("x, $) = *"(x, $) ym+($) = "m"($). Ası, si q(x) es par, µ es un autovalor de (2.30) si y solosi es un cero o un polo de m+($). El siguiente Lema sera necesario en lademostracion del teorema de muestreo que estamos buscando.

Lema 2.3 (([98])) Para cada $, $# ! C " R se verifica

% !

0*+(x, $)*+(x, $#) dx =

m+($) " m+($#)

$# " $

Teorema 2.4 Sea el problema (2.30) con q(x) continua en R, par y veri-ficando

limx'±!

q(x) = %.

Sean {$2n}!n=0 y {$2n+1}!n=0 los ceros y polos de m+($), estos ultimos conresiduos {r2n+1}!n=0 y sea P ($) el producto canonico asociado a la sucesionde los polos, es decir a {$2n+1}!n=0.Si F ! L2(R) y

f($) =

% !

0F (x)!+(x, $) dx +

% 0

"!F (x)!"(x, $) dx

(2.31)

con!±(x, $) = P ($)*±(x, $) ,


entonces

f($) =1

2

!!

n=0

f($2n)P ($)m+($)

P ($2n)($ " $2n)m#+($2n)

+1

2

!!

n=0

f($2n+1)P ($)

($ " $2n+1)P #($2n+1).

(2.32)

La convergencia de las series es absoluta, y uniforme sobre los subconjuntoscompactos de C.

#

Demostracion. Con las hipotesis expuestas se verifica ([98, pag. 43]) quelas autofunciones asociadas a los autovalores {$2n}!n=0 son {1(·, $2n)}!n=0

y las autofunciones asociadas a {$2n+1}!n=0 son {'(·, $2n+1)}!n=0. Sean

*2n(x) = 1(x, $2n) , *2n+1(x) = '(x, $2n+1).

Notese que las autofunciones *n son funciones pares o impares dependiendode si n es par o impar y forman una base de L2("%,%)(ver [98]).

Puesto que !+(x, $) ! L2(R+) y !"(x, $) ! L2(R") tenemos

!+(x, $))R+(x) =!!

n=0

+!+(·, $), *n,R+

**n*2R

*n(x) (2.33)

!"(x, $))R" (x) =!!

n=0

+!"(·, $), *n,R"

**n*2R

*n(x) (2.34)

F (x))R+(x) =!!

n=0

+F (x), *n,R+

**n*2R

*n(x) (2.35)

F (x))R"(x) =!!

n=0

+F (x), *n,R"

**n*2R

*n(x) (2.36)

donde

+G, H,R+ =

% !

0GH dx (2.37)

+G, H,R" =

% 0

"!GH dx (2.38)

+G, H,R

=

% !

"!GH dx (2.39)

y *G*2R

=/!"! |G|2 dx.

Puesto que (2.31) es equivalente a

f($) = +F)R+ , !+(·, $))R+,R

+ +F)R" , !"(·, $))R",R

,


aplicando la identidad de Parseval obtenemos

f($) =!!

n=0

+F, *n,R++!+(·, $), *n,R+

**n*2R

+!!

n=0

+F, *n,R"+!"(·, $), *n,R"

**n*2R

.(2.40)

Puesto que !+(x, $) = !"("x, $), tenemos, para cada n ! N0,

+!+(·, $), *2n,R+ = +!"(·, $), *2n,R"

+!+(·, $), *2n+1,R+ = "+!"(·, $), *2n+1,R" ,

por lo que (2.40) queda

f($) =!!

n=0

+F, *2n,R+!+(·, $), *2n,R+

**2n*2R

+!!

n=0

+!"(·, $), *2n+1,R" (+F, *2n+1,R+ " +F, *2n+1,R")

**2n+1*2R

.(2.41)

Por el Lema 2.3% !

0!+(x, $)!+(x, $#) dx = P ($)P ($#)

m+($) " m+($#)

$# " $;

(2.42)

tomando el lımite $# ) $2n obtenemos% !

0!+(x, $)!+(x, $2n) dx = P ($)P ($2n)

m+($)

$2n " $,

y puesto que

!+(x, $2n) = lim'''2n

P ($)*+(x, $) = P ($2n)1(x, $2n) ,

obtenemos la relacion% !

0!+(x, $)*2n(x) dx = P ($)

m+($)

$2n " $. (2.43)

Tomando ahora el lımite cuando $ ) $2n

**2n*2R = "2m#

+($2n), (2.44)

al ser *2n par.Analogamente, si en (2.42) tomamos el lımite cuando $# ) $2n+1

% !

0!+(x, $)!+(x, $2n+1) dx = "P ($)P #($2n+1)

r2n+1

$2n+1 " $.

Ası pues, se verifica

!+(x, $2n+1) = P #($2n+1)r2n+1'(x, $2n+1),


por lo que % !

0!+(x, $)*2n+1(x) dx =

P ($)

$ " $2n+1,

y tomando el lımite cuando $ ) $2n+1 concluimos

**2n+1*2R =

2

r2n+1,

al ser *2n+1 impar.Por (2.31)

f($2n) = P ($2n)

% !

"!F (x)*2n(x) dx (2.45)

f($2n+1) = P #($2n+1)r2n+1(+F, *2n+1,R+ " +F, *2n+1,R") .(2.46)

Sustituyendo todo lo anterior en (2.41) se obtiene finalmente

f($) =1

2

!!

n=0

f($2n)P ($)m+($)

P ($2n)($ " $2n)m#+($2n)

+1

2

!!

n=0

f($2n+1)P ($)

($ " $2n+1)P #($2n+1).

Las convergencias absoluta y uniforme de las series anteriores se pruebancomo en el Teorema 2.3 (consultar [111]).

$

El siguiente teorema da una vision diferente del desarrollo (2.32). La funcionf($) definida en (2.31) se puede recuperar a partir solo de sus valores en{$2n}!n=0. Con la notacion anterior tenemos

Teorema 2.5 Sea F ! L2(R) y

f($) =

% !

"!F (x)!(x, $) dx (2.47)

con!(x, $) = !+(x, $))R+ + !"(x, $))R" .

Entonces

f($) =!!

n=0

f($2n)P ($)m+($)

P ($2n)($ " $2n)m#+($2n)

, (2.48)

donde la convergencia de la serie es absoluta, y uniforme sobre los subcon-juntos compactos de C.

#

Demostracion. La funcion !(x, $) pertenece a L2("%,%), por lo tanto

!(x, $) =!!

n=0

+!(·, $), *n,R

**n*2R

*n(x) .


Asımismo F ! L2("%,%), de modo que tambien

F (x) =!!

n=0

+F (x), *n,R**n*2

R

*n(x) .

Ahora bien, como !(·, $) es par, se verifica +!(·, $), *2n+1,R= 0 para cada

n ! N0 y, por lo tanto, si utilizamos la identidad de Parseval

f($) = +F, !(·, $), =!!

n=0

+F, *2n,R+!(·, $), *2n,R**2n*2

R

. (2.49)

Por (2.43) sabemos que

+!(·, $), *2n,R= 2

% !

0!+(x, $)*2n(x) dx = 2P ($)

m+($)

$2n " $

y por (2.45) f($2n) = P ($)+F, *2n,R. Sustituyendo en (2.49) y teniendo encuenta (2.44) obtenemos finalmente

f($) =!!

n=0

f($2n)P ($)m+($)

P ($2n)($ " $2n)m#+($2n)

.

$

El siguiente corolario establece que para reconstruir la funcion definida en(2.31) basta con considerar, indistintamente, sus valores en los ceros o enlos polos de la funcion meromorfa m+($).

Corolario 2.1 Si F ! L2(R) y

f($) =

% !

0F (x)!+(x, $) dx +

% 0

"!F (x)!"(x, $) dx

entonces

!!

n=0

f($2n)P ($)m+($)

P ($2n)($ " $2n)m#+($2n)

=!!

n=0

f($2n+1)P ($)

($ " $2n+1)P #($2n+1) (2.50)

y

f($) =!!

n=0

f($2n+1)P ($)

($ " $2n+1)P #($2n+1). (2.51)

#

Demostracion. Basta con igualar los desarrollos muestrales de f($)(2.32) y (2.48).

$


Ejemplo. (Desarrollos muestrales con funciones de Hermite).Consideremos la ecuacion diferencial

" y## + x2y = $y , "% < x < % (2.52)

en este caso q(x) = x2 es una funcion par y

limx'±!

q(x) = +% .

Se puede probar ([98]) que estamos en el caso punto lımite tanto en elextremo "% como en +%. Los autovalores y autofunciones de (2.52) estandados por ([98])

$n = 2n + 1 , n ! N0

*n(x) = e"x2

2 Hn(x)

donde Hn(x) es el polinomio de Hermite de grado n. Para cada $ en C"R

la funcion'0(x, $) = 2

14(1"')D 1

2('"1)(

#2x)

donde Dµ(x) es la funcion parabolica cilındrica, es la unica solucion (salvomultiplos) de (2.52) que pertenece a L2(0, +%), por lo que siguiendo lanotacion de las seccion, existe + ! C tal que '0(x, $) = +*+(x, $).

Las autofunciones *n(x) = e"x2

2 Hn(x) son pares o impares dependiendode si n es par o impar. Si n = 2m, 4m + 1 sera un cero de m+($), y sin = 2m + 1, 4m + 3 sera un polo de m+($).

Aunque no conocemos la funcion m+($) el Corolario 2.1 permite obtenerun desarrollo muestral asociado a las funciones de Hermite.Sea

f($) =

% !

"!F (x)'(x, $) dx

con '(x, $) = '0(x, $))R+ + '0("x, $))R" y F ! L2(R). Entonces

f($) =!!

k=0

f(4k + 3)P ($)

P #(4k + 3)($ " (4k + 3)),

donde P ($) =1!

k=0(1 " '4k+3 ) exp( '

4k+3 ).Utilizando la formula de Mellin

ey((x) &(x)

&(x + y)=

!-

n=0

'1 +

y

x + n

(e"

yx+n ,

donde 3(x) = !#(x)!(x) , el producto canonico P ($) es igual a

P ($) =

exp

'"'

4 3

'34

((&

'34

(

&

'34 " '

4

( ,


y (ver [111, pag. 141])

P #(4k + 3) =("1)k+1

4&

'3

4

(k! exp

'"

1

43

'3

4

((4k + 3)

(,

por lo que

f($) =!!

k=0

f(4k + 3)

4("1)k+1 exp

'143

'34

((4k + 3 " $)

(

&

'34 " '

4

(k![$ " (4k + 3)]

.

Cuando el problema (2.30) es punto lımite tanto en +% como en "%,entonces puede que para $ ! C"R no haya ninguna solucion pertenecientea L2(R), por lo que , en general, no se puede buscar el nucleo que definela transformada integral ligada al Lema de Kramer entre las soluciones de(2.30). En cambio, si estamos en el caso cırculo lımite en ambos extremos,existe una solucion, que denominaremos '0(x, $) ($ ! C), con la propiedadde que '0(x, $n) es la autofuncion correspondiente al autovalor $n. En estecaso, el desarrollo (2.32) se simplifica notablemente. Concretamente si

f($) =

%

R

F (x)'0(x, $) dx

con F ! L2(R), entonces

f($) =!!

n=0

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n),

donde P ($) es el producto canonico asociado a los autovalores del problema{$n}!n=0 (ver [111, pag. 127]).

2.3.3 Dualidad tipo Fourier asociada a problemasde Sturm-Liouville regulares.

En esta seccion veremos como un problema regular de Sturm-Liouville de-fine una transformada, a la que denominaremos transformada de Sturm-Liouville, que nos define una isometrıa entre L2(a, b) y cierto espacio defunciones enteras, que definiremos mas adelante.

Consideremos el problema de Sturm-Liouville regular

" y## + q(x)y = $y, x ! [a, b], q ! C[a, b] (2.53)

y(a) cos+ + y#(a) sen + = 0, (2.54)

y(b) cos, + y#(b) sen , = 0, (2.55)

y sea '(x, $) la solucion de la ecuacion que verifica la condicion inicial'(a, $) = sen+, '#(a, $) = " cos+. Sea {$n}!n=0 la sucesion de autova-lores del problema, cuyas autofunciones asociadas son {'(x, $n)}!n=0 y sea


+n = *'(·, $n)*L2(a,b). En adelante se supondra que si alguno de los autova-lores es nulo, entonces este sera $0. Como vimos en el Teorema 2.2 '(x, $)verifica las condiciones del Lema de Kramer, por lo que toda funcion dela forma f($) = +u, '(·, $),L2(a,b), con u ! L2(a, b), se puede recuperar apartir de sus muestras en los autovalores, es decir

f($) =!!

n=0

f($n)Sn($), (2.56)

donde

Sn($) = +"2n

% b

a'(x, $n)'(x, $) dx, (2.57)

siendo la convergencia de la serie absoluta, y uniforme en los conjuntosD $ C en los cuales *'(·, $)*L2(a,b) este acotada. En esta seccion daremosuna nueva interpretacion a este Teorema de muestreo, estudiando el espacio

de las funciones de la forma f($) = +u, '(·, $),L2(a,b). Sea 4($) =!

'n!'

+"2n ;

la funcion no decreciente 4 definira una medida positiva, d4($), en el sentidode Lebesgue–Stieltjes en R. Sea

Ba,b) = {f : C ") C | f($) =

% b

au(x)'(x, $) dx con u ! L2(a, b)}.

Las funciones de Ba,b) son funciones enteras de orden 1/2 y tipo menor o

igual que b " a. En efecto, se sabe ([98]) que

'(x, $) = O7e(x"a)

#|'|8

cuando |$| ) %, uniformemente en x. Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz en

f($) =

% b

au(x)'(x, $) dx

obtenemos una desigualdad del tipo

|f($)| " Ae(b"a)#

|'| .

Vamos a probar que las restricciones de las funciones de Ba,b) al eje real

forman un subespacio cerrado de L2)(R). Tengase en cuenta que tal como

se ha definido el nucleo '(x, $), si f ! Ba,b) entonces f|R es real.

Definicion 2.1 Denominaremos transformada de Sturm-Liouville ala aplicacion

( : L2(a, b) ") Ba,b)


definida mediante

[((u)]($) = U($).=

% b

au(x)'(x, $) dx, para cada u ! L2(a, b).

(2.58)

Sea r la aplicacion lineal inyectiva definida por r(U).= U|R para U ! Ba,b

) .Denominemos por T a la aplicacion r 5 ( .

Teorema 2.6 La aplicacion lineal T es una isometrıa entre los espaciosde Hilbert L2(a, b) y L2

)(R). Si U = Tu, entonces

u(x) =

% !

"!U($)'(x, $) d4($) . (2.59)

#

Demostracion. Sea u ! L2(a, b) y U($) = [T (u)]($).Puesto que {'(x, $n)}!n=0 es una base ortogonal de L2(a, b) tenemos:

u(x) =!!

n=0

+u, '(·, $n),'(x, $n)

+2n

=

% !

"!U($)'(x, $) d4($)

con convergencia en L2(a, b), lo que demuestra (2.59).Ademas

%

R

|U($)|2 d4($) =!!

n=0

|U($n)|2+"2n =

!!

n=0

|+u, '(·, $n),|2+"2n

=

% b

a|u(x)|2 dx

donde la ultima igualdad se obtiene utilizando la identidad de Parseval.$

El teorema anterior prueba que si U($) ! Ba,b) entonces su restriccion a

la recta real pertenece a L2)(R), ademas, el subespacio formado por estas

restricciones es un subespacio cerrado de L2)(R) (al ser T"1 un operador

cerrado y continuo cuyo dominio es el subespacio r(Ba,b) ) de L2

)(R), por loque Ba,b

) es un espacio de Hilbert dotado del producto interno

+f, g,B#

.=

%

R

f(x)g(x) d4(x), para cada f, g ! Ba,b) .

El siguiente Corolario es una consecuencia inmediata del teorema ante-rior.

Corolario 2.2 {0n($)}!n=0.= (({'(·, $n)}!n=0) es una base ortogonal del

espacio de Hilbert Ba,b)

#


El espacio Ba,b) = {U($) | U($) =

/ ba u(x)'(x, $) dx con u ! L2(a.b)} es tal

como indica el siguiente teorema un espacio RKHS. Conviene recordar queaunque Ba,b

) es isomorfo (isometricamente) al espacio L2(a, b), este ultimono es un espacio RKHS.

Teorema 2.7 Ba,b) es un espacio RKHS siendo su nucleo reproductor

k($, µ).= +'(·, $), '(·, µ),L2(a,b). (2.60)

#

Demostracion. Sean F ! Ba,b) y $ ! C. Si l'F

.= F ($) se tiene que

|l'F | = |F ($)| = |% b

a(("1F )(x)'(x, $) dx| ,

y aplicando Cauchy-Schwarz obtenemos

|l'F | " *("1F*L2(a,b)*'(·, $)|L2(a,b)

= *F*B#*'(·, $)*L2(a,b) .

Ası pues, Ba,b) es un espacio RKHS al ser la evaluacion puntual, l', una

aplicacion lineal y continua para cada $ ! C.Sea ahora f = ("1(F ) ! L2(a, b), entonces

F ($) = +f, '(·, $),L2(a,b) = +(f, ('(·, $),Ba,b#

= +F, ('(·, $),Ba,b#

,

y por lo tanto,k($, µ) = +'(·, $), '(·, µ),L2(a,b)

es el nucleo reproductor de Ba,b) .

$

Al ser Ba,b) un espacio RKHS sabemos que cualquier sucesion de Ba,b

)

que converja en la norma * *Ba,b#

converge puntualmente. Ademas, si en

D $ C se verifica la propiedad

|k($, $)| " M, 1$ ! D $ C,

la sucesion convergera uniformemente sobre D.

Lema 2.4 Para cada compacto " $ C existe una constante M(") tal que

|k($, $)| " M("), 1$ ! ". (2.61)

#


Demostracion. Por (2.60) sabemos:

|k($, $)| = |% b

a'(x, $)'(x, $) dx|

=

% b

a|'(x, $)|2 dx

= *'(·, $)*2L2(a,b).

Ademas, como *'(·, $)*L2(a,b) " Be(b"a)#

|'|, se puede asegurar que

|k($, $)| " B2e2(b"a)#

|'|.

$

El siguiente teorema nos asegura que las funciones del espacio Ba,b) se

pueden recuperar a partir de sus valores en los autovalores del problemamediante una serie interpolatoria tipo Lagrange.

Teorema 2.8 (Teorema de muestreo para Ba,b) ) Cada F ! Ba,b

) sepuede desarrollar como

F ($) =!!

n=1

F ($n)Sn($) , (2.62)

donde

Sn($) =P ($)

($ " $n)P #($n),

con P ($) definida en (2.12) o (2.13). Ademas, la convergencia es uniformeen compactos de C.

#

Demostracion. Por el Corolario 2.2 sabemos que {0n($)}!n=0 es una baseortogonal de Ba,b

) , ası pues, para cada F ! Ba,b) tenemos

F ($) =!!

n=0

+F, 0n,B#

0n($)

*0n*2B#

=!!

n=0

+("1F, ("10n,L2(a,b)0n($)

*'(·, $n)*2L2(a,b)

.

Teniendo en cuenta que ("10n = '(x, $n), entonces

+("1F, ("10n,L2(a,b) = F ($n). (2.63)

Como '(x, $) y '(x, $n) son soluciones de (2.53) se verifica

($ " $n)'(x, $)'(x, $n) = ['(x, $)'#(x, $n) " '#(x, $)'(x, $n)]#.


Integrando la igualdad anterior

($ " $n)

% b

a'(x, $)'(x, $n) dx = '(b, $)'#(b, $n) " '#(b, $)'(b, $n) .

(2.64)

Si sen, -= 0, teniendo en cuenta que '(x, $n) verifica la condicion de con-torno (2.55), tenemos por (2.10) que

W ($)'(b, $n) = sen ,('(b, $)'#(b, $n) " '#(b, $)'(b, $n)) .

Por lo tanto% b

a'(x, $)'(x, $n) dx =

W ($)

$ " $n

'(b, $n)

sen ,,

y si $ ) $n,

*'(·, $n)*2L2(a,b) = W #($n)

'(b, $n)

sen ,,

y, por lo tanto, por (2.11),

0n($)

*'(·, $n)*2L2(a,b)

=P ($)

($ " $n)P #($n).

Si sen, = 0, por (2.10)

W ($)'#(b, $n) = " cos,'(b, $)'#(b, $n) ,

y por (2.55) podemos escribir (2.64) como

% b

a'(x, $)'(x, $n) dx = "

W ($)

$ " $n

'#(b, $n)

cos,.

Procediendo como antes, obtenemos nuevamente que

0n($)

*'(·, $n)*2L2(a,b)

=P ($)

($ " $n)P #($n),

y el Teorema queda demostrado.$

Ejemplo: Transformada coseno finita.Consideremos el problema de Sturm-Liouville regular

"y## = $y, x ! [0, #], (2.65)

y#(0) = y#(#) = 0 . (2.66)

En este caso '(x, $) = cos#

$x y los autovalores son $n = n2, n ! N0.Como consecuencia


1.

4($) =

9:

;

2

#

'[#

$] + 1

(si $ ! 0

0 si $ < 0

2. F ! Ba,b) 6

0!n=0 |F (n2)|2 < %.

El nucleo reproductor, k($, µ), de Ba,b) es

k($, µ) =

% "

0cos

5$s cos

5µs ds . (2.67)

Teniendo en cuenta que cos z = cos z, si desarrollamos (2.67) obtenemos

k($, µ) =

5$ sen

5$# cos

5µ# "

5µ cos

5$# sen

5µ#

$ " µ.

Una base ortogonal de Ba,b) se calcula ahora de forma inmediata utilizando

el Corolario 2.2. En el caso que nos ocupa

0n($) = k($, n2) =("1)n

5$ sen

5$#

$ " n2

Las funciones, f , de Ba,b) se pueden recuperar a partir de sus valores en los

puntos n2 mediante

f($) = f(0)sen

5$#

5$#

+2

#

!!

n=1

f(n2)("1)n

5$ sen

5$#

$ " n2.

Del hecho de que Ba,b) sea un espacio RKHS se pueden obtener algunas

formulas interesantes. Por ejemplo, para $, µ ! 0

sen5

$#5

$#

'sen

5µ#

5µ#

(+

2

#

!!

n=1

5$ sen

5$#

$ " n2

'5µ sen

5µ#

µ " n2

(

=

5$ sen

5$# cos

5µ# "

5µ cos

5$# sen

5µ#

$ " µ.

La formula anterior se ha obtenido a partir de la expresion general, validaen cualquier espacio RKHS, del nucleo reproductor k

k($, µ) =!!

n=0

1

+2n

0n($)0n(µ).


Transformada de Sturm-Liouville discreta

La “dualidad”entre los espacios Ba,b) y L2(a, b) construida por medio de la

isometrıa ( se complementa con el siguiente resultado

Proposicion 2.1 La isometrıa ( se puede descomponer en el siguientediagrama conmutativo

L2(a, b)( " Ba,b

)

%2*(N)

!

3

-

"

siendo

%2*(N)

.= {(an)!n=0 $ C |

!!

n=0

|an|2

+2n

< %} (2.68)

dotado del producto interno

+(an), (bn),+2$.=

!!

n=0

anbn

+2n

, (2.69)

y donde

3(F ) = (F ($n))!n=0 1F ! Ba,b) ,

-(f) = (+f, '(·, $n),L2(a,b))!n=0 1f ! L2(a, b),

son isomorfismos isometricos entre espacios de Hilbert.#

Demostracion. Bastara con probar que 3, - estan bien definidas, sonisometrıas y que se verifica ( = 3"1-.Sabemos que para cada f ! L2(a, b),

f(x) =!!

n=0

+f, '(·, $n),L2(a,b)'(x, $n)

+2n

. Utilizando la igualdad de Parseval obtenemos

*f*2L2(a,b) =

!!

n=0

|+f, '(·, $n),L2(a,b)|2

+2n

= *(+f, '(·, $n),L2(a,b))*2+2$(N),

lo que prueba que - es una isometrıa. El teorema clasico de Riesz-Fischerasegura que - es sobreyectiva y por lo tanto un isomorfismo.


La aplicacion 3 esta bien definida y es una isometrıa pues para cada F !Ba,b

)

*F*2B#

=!!

n=0

|F ($n)|2

+2n

< %.

Sean (an)!n=0 ! %2*(N) y f ! L2(a, b) tales que f = -"1(an). Entonces

an = +f, '(·, $n),L2(a,b), para cada n ! N0,

y, por lo tanto, si F = (f concluimos que F ! Ba,b) y F ($n) = an para

cada n ! N0, lo que prueba que 3 es un isomorfismo y que ( = 3"1-.$

2.4 Teoremas de muestreo asociados a operadoressimetricos con resolvente compacta

Sea el problema de contorno

L(y) = $y (2.70)

Uj(y) = 0, j = 1, 2, . . . , n , (2.71)

donde

Ly =n!

i=0

pi(x)yn"1)(x), x ! [a, b],

con pi(x) ! Cn"i[a, b] y p0(x) -= 0 en [a, b] y

Uj(y) =n!

i=0

[+i,jyi"1)(a) + ,i,jy

i"1)(b)] .

Se sabe que el problema (2.70)–(2.71) es equivalente a la ecuacion integral

y(x) = $

% b

aG(x, t)y(t) dt ,

donde G(x, t) 4 G0(x, t) y G'(x, t) es la funcion de Green asociada a(2.70)–(2.71). Al ser la funcion de Green el nucleo del operador resolventeasociado, cuando (2.70)–(2.71) es un problema autoadjunto, parece naturalextender los problemas de muestreo asociados a problemas diferenciales co-mo (2.70)–(2.71) a operadores simetricos con resolvente compacta y, comocaso particular, de estos a operadores integrales del tipo Hilbert-Schmidt.

Sea A : D(A) $ L2(") ) L2(") un operador lineal simetrico, densa-mente definido en L2("), siendo " un dominio de Rn. Supongamos queexiste T = A"1 y que es un operador compacto definido en L2("). Por

Muestreos y operadores simetricos con resolvente compacta 53

el teorema espectral para operadores compactos y simetricos en un espa-cio de Hilbert ([93, Capıtulo 36]) sabemos que el espectro de T es dis-creto. Ademas, si {µn}!n=0 es la sucesion de autovalores de T , entonceslimn'! |µn| = 0 y puesto que 0 no es un autovalor de T , tenemos que lasucesion de autofunciones, {'n}!n=0, es un conjunto ortonormal (aplican-do el esquema de Gram-Schmidt, si fuese preciso) completo de L2("). Elsubespacio propio asociado a cada autovalor µn es de dimension finita; seakn = dimker(µnI " T ) < %. Tambien sabemos que {$n = µ"1

n }!n=0 sonlos autovalores de A y {'n}!n=0 las autofunciones asociadas. Puesto quelimn'! |µn| = 0 se tiene que

0 < |$0| " |$1| " . . . " |$n| " . . .

con limn'! |$n| = %.Supongamos que la sucesion {$n}!n=0 tiene exponente de convergencia

finito y sea P ($) su producto canonico asociado. El siguiente lema nos serade utilidad en lo que sigue

Lema 2.5 Si K es un compacto de C, se verifica que

sup'$K

....P ($)

$ " $n

.... " CK, para cada n ! N0.

#

Demostracion. Como |$n| ") %, sea

H.= {$i1 , $i2 , . . . , $iq}

el conjunto de autovalores que pertenecen al compacto K. Sea

!.= d(K, {$n}!n=0 " H) > 0,

se verifica que

sup'$K

....P ($)

$ " $n

.... "1

!sup'$K

|P ($)| =1

!*P*K

si $n ! {$p}!p=0 " H . Si $j ! H , como la funcion hj($) = ($ " $j)"1P ($)es analıtica en K podemos definir

M.= max(*hi1*K, *hi2*K, . . . , *hiq*K).

Tomando CK.= max(M, !"1*P*K) el Lema queda probado.

$

Fijando g ! L2(") podemos definir el siguiente nucleo

!(x, $).= P ($)[R'g](x); x ! ", $ ! C , (2.72)


donde R' = ($I " A)"1 es el operador resolvente de A.Puesto que dimker(µnId " T ) = kn, reescribire la sucesion de las auto-

funciones de T como {'n,i}n$N0donde i = 1, 2, . . . , kn. En estas condiciones

se verifica el siguiente teorema de muestreo

Teorema 2.9 La funcion f definida por

f($) =

%

"F (x)!(x, $) dx ,

con F ! L2("), es una funcion entera que se puede recuperar a partir de susvalores en los autovalores {$n}!n=0 de A mediante la serie interpolatoriatipo Lagrange

f($) =!!

n=0

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n),

siendo la convergencia de la serie absoluta, y uniforme en los compactosde C.

#

Demostracion. Como [R'g] admite el desarrollo en L2(") ([93, pag.502])

[R'g](x) =!!

n=0

'1

$ " $n

kn!

i=1

+g, 'n,i,L2(")'n,i(x)

(,

el nucleo !(x, $) sera una funcion entera en la variable $ ! C y perteneceraa L2(") como funcion de x ! ". Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, f($) esta bien definida para cada $ ! C y heredara la analiticidadde ! respecto a $.

Por hipotesis, f($) = +F, !(·, $),L2("). Si desarrollamos F y !(·, $) res-pecto de la base {'n,i}, obtenemos

F (x) =!!

n=0

kn!

i=1

+F, 'n,i,L2(")'n,i(x) (2.73)

!(x, $) =!!

n=0

P ($)

$ " $n

kn!

i=1

+g, 'n,i,L2(")'n,i(x) . (2.74)

Aplicando la identidad de Parseval

f($) = +F, !(·, $),L2(") =!!

n=0

P ($)

$ " $n

kn!

i=1

+g, 'n,i,L2(")+F, 'n,i,L2(").

Por otra parte

f($n) = lim'''n

%

"F (x)!(x, $) dx =

%

"F (x) lim

'''n

!(x, $) dx ,


y como

lim'''n

!(x, $) = lim'''n

<P ($)

$ " $n

kn!

i=1

+g, 'n,i,L2(")'n,i(x) +

+ P ($)!!

m &=n

1

$ " $m

km!

i=1

+g, 'm,i,L2(")'m,i(x)

==

= P #($n)kn!

i=1

+g, 'n,i,L2(")'n,i(x) ,

tenemos

f($n) = P #($n)kn!

i=1

+g, 'n,i,L2(")

%

"F (x)'n,i(x) dx =

= P #($n)kn!

i=1

+g, 'n,i,L2(")+F, 'n,i,L2(").

De todo lo anterior concluimos que

f($) =!!

n=0

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n). (2.75)

Demostraremos ahora que la convergencia de la serie (2.75) es absoluta,y uniforme en los subconjuntos compactos de C. En efecto, sea K $ C

compacto, se tiene

....f($)"N!

n=0

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

.... =

....!!

n=N+1

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

....

"

!!

n=N+1

....f($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

....

"

!!

n=N+1

'....P ($)

$ " $n

....

kn!

i=1

|+g, 'n,i,L2(")||+F, 'n,i,L2(")|(

" CK

' !!

n=N+1

kn!

i=1

|+F, 'n,i,|2(1/2' !!

n=N+1

kn!

i=1

|+g, 'n,i,|2(1/2

,

donde para obtener la ultima desigualdad hemos aplicando el Lema 2.5 yla desigualdad de Cauchy-Schwarz. La ultima expresion tiende a 0 cuandoN ) %, independientemente de $ ! K, ya que F y g son funciones deL2(").

$


2.4.1 Teoremas de muestreo asociados aoperadores de Hilbert-Schmidt

Cuando el operador resolvente R' es un operador de Hilbert-Schmidt, y,por lo tanto, esta asociado a un nucleo simetrico de L2(" . "), es posibleobtener otro resultado en donde el nucleo resolvente determinara la clasede funciones que se van a poder recuperar mediante el desarrollo muestral.

Supongamos que para cada f ! L2(")

[R'f ](x) =

%

"G'(x, y)f(y) dy (2.76)

donde el nucleo resolvente G'(x, y) es simetrico y pertenece a L2(" . "),con " dominio de Rn. En este caso, el operador resolvente es un operadorde Hilbert-Schmidt en L2("). Fijado y0 ! ", definimos el nucleo

'(x, $) = P ($)G'(x, y0), x ! ", $ ! C, (2.77)

que nos va a permitir demostrar el siguiente teorema de muestreo

Teorema 2.10 La funcion f definida por

f($) =

%

"F (x)'(x, $) dx ,

con F ! L2("), es una funcion entera que se puede recuperar mediante laserie interpolatoria tipo Lagrange

f($) =!!

n=0

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n),

siendo la convergencia de la serie absoluta, y uniforme sobre los subcon-juntos compactos de C.

#

Demostracion. Sabemos que el nucleo G' se puede expresar como (ver[6, Capıtulo 12])

G'(x, y) =!!

n=0

1

$ " $n

kn!

i=1

'n,i(x)'n,i(y) ,

por lo que, fijado y0 ! ", '(x, $) sera una funcion perteneciente a L2(")respecto de la variable x y una funcion entera respecto a $ ! C. Bastaaplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para comprobar que f esta biendefinida; ademas, hereda la analiticidad de '(x, $).


Desarrollando en serie de autofunciones F y '(·, $) se obtiene que

F (x) =!!

n=0

kn!

i=1

+F, 'n,i,L2(")'n,i(x) (2.78)

'(x, $) =!!

n=0

P ($)

$ " $n

kn!

i=1

'n,i(y0)'n,i(x) . (2.79)

Aplicando la igualdad de Parseval

f($) = +F, '(·, $),L2(") =!!

n=0

P ($)

$ " $n

kn!

i=1

+F, 'n,i,L2(")'n,i(y0).(2.80)

Calculamos f($n) como en el Teorema 2.9

f($n) = lim'''n

f($) =

%

"F (x) lim

'''n

'(x, $) dx

= P #($n)kn!

i=1

+F, 'n,i,L2(")'n,i(y0) ,

luego

f($n)

P #($n)=

kn!

i=1

+F, 'n,i,L2(")'n,i(y0) .

Sustituyendo en (2.80) obtenemos

f($) =!!

n=0

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n).

Probemos que la convergencia de la serie es absoluta, y uniforme en lossubconjuntos compactos de C. Sea K $ C un subconjunto compacto. ExisteR > 0 tal que K $ {z | |z| " R} y existe M0 ! N0 tal que |$n| ! 2R paran ! M0 + 1. Sea N ! M0

!!

n=N+1

'....P ($)

$ " $n

....2 kn!

i=1

|'n,i(y0)|2(

" |P ($)|2!!

n=N+1

'0kn

i=1 |'n,i(y0)|2

(|$n|" R)2

(

Ahora bien, la ultima serie es convergente pues tiene el mismo caracter quela serie

!!

n=0

'0kn

i=1 |'n,i(y0)|2

|$n|2

(,

y esta es convergente ya que sus terminos son los cuadrados de los coefi-cientes del desarrollo de la funcion G0(x, y0) que pertenece a L2("). Ası


pues, existe una constante positiva CK tal que

!!

n=N+1

'....P ($)

$ " $n

....2 kn!

i=1

|'n,i(y0)|2(

" CK,

independiente de $ ! K. Como conclusion tenemos

....f($)"N!

n=0

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

....2

=

....!!

n=N+1

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

....2

"

' !!

n=N+1

....f($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

....

(2

"

' !!

n=N+1

kn!

i=1

|+F, 'n,i,L2(")||P ($)||'n,i(y0)|

|$ " $n|

(2

"

' !!

n=N+1

kn!

i=1

|+F, 'n,i,|2(' !!

n=N+1

kn!

i=1

|P ($)|2|'n,i(y0)|2

|$ " $n|2

(

" CK

' !!

n=N+1

kn!

i=1

|+F, 'n,i,|2(

.

donde hemos aplicado la desigualdad de Cauchy–Schwarz. La ultima serietiende a cero cuando N ) %, independientemente de $ ! K, ya queF ! L2(").

$

En el teorema anterior es importante hacer notar que al ser el operadorresolvente de Hilbert-Schmidt los autovalores del operador A verifican

!!

n=0

1

|$n|2< %

y, por lo tanto, el producto canonico P ($) sera

P ($) =!-

n=0

'1 "

$

$n

(exp

'$

$n

(

si0!

n=0 |$n|"1 = %, o

P ($) =!-

n=0

'1 "

$

$n

(

si0!

n=0 |$n|"1 < %.


Ejemplos.

1. Operador de Sturm-Liouville regular. Consideremos el opera-dor de Sturm-Liouville regular definido por

Lf = "f ## + qf (2.81)

en el dominio

D(L).= {f ! C2[a, b] | B1f 4 cos+f(a) + sen +f #(a) = 0

B2f 4 cos,f(b) + sen,f #(b) = 0}

(2.82)

donde q(x) continua en el intervalo finito [a, b]. Sin perdida de gene-ralidad podemos suponer que los autovalores de L son distintos de 0.En efecto, si 0 es un autovalor de L basta con escoger un numero realµ que no pertenezca al espectro de L y considerar el problema

Lf = ($ " µ)f

con f ! D(L).

Como $n = O(n2) cuando n ) % siendo {$n}!n=0 = &(L), su pro-ducto canonico P ($) sera

P ($) =!-

n=0

'1 "

$

$n

(.

Sea G'(x, y) la funcion de Green del problema de Sturm-Liouville

"Lf = $f (2.83)

B1f = 0 (2.84)

B2f = 0. (2.85)

Para y0 ! [a, b] definimos el nucleo !(x, $) = P ($)G'(x, y0) en [a, b].C. Se verifica el siguiente resultado

Corolario 2.3 La funcion f($) =/" F (x)!(x, $) dx con F perte-

neciente a L2[a, b] admite el desarrollo en serie interpolatoria tipoLagrange

f($) =!!

n=1

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n),

siendo la convergencia de la serie absoluta, y uniforme en los com-pactos de C.

#

Muestreos como el anterior, asociados a funciones de Green, se pue-den obtener tambien para operadores no autoadjuntos (ver [111, pag.174]).


2. El Corolario 2.3 admite una generalizacion para dimensiones mayoresque uno. Sea " una region acotada de R2 o R3 y consideremos losproblemas de Dirichlet y Neumann definidos respectivamente como

#* = "$*, x ! ", (2.86)

*(x) = 0, x ! 5" (2.87)

y

#* = "$*, x ! ", (2.88)

5*

5n(x) = 0, en 5". (2.89)

Como antes, podemos suponer que los autovalores {$n}!n=0 de losproblemas anteriores son todos distintos de cero. Sabemos que $n =O(n) en R2 y $n = O(n2/3) en R3 cuando n ) %, por lo que enambos casos el producto canonico asociado a {$n}!n=0 es

P ($) =!-

n=0

'1 "

$

$n

(exp

'$

$n

(.

Si G'(x, y) es la funcion de Green de cualquiera de los problemasanteriores, fijando y0 ! " definimos el nucleo

!(x, $).= P ($)G'(x, y0) ,

en " . C. El siguiente resultado es consecuencia del Teorema 2.10.

Corolario 2.4 La funcion f($) =/" F (x)!(x, $) dx con F per-

teneciente a L2(") admite el desarrollo en serie interpolatoria tipoLagrange

f($) =!!

n=1

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

siendo la convergencia de la serie absoluta, y uniforme en los com-pactos de C.

#

Cuando trabajamos en RN con problemas analogos a (2.86)–(2.87)o (2.88)–(2.89) puesto que $n = O(n2/N ), se tiene que el operadorresolvente no es un operador de Hilbert-Schmidt y, por consiguiente,el Teorema 2.10 no se puede aplicar.


2.4.2 Teoremas de muestreo asociados aoperadores integrales tipo Fredholm

Como una consecuencia de los resultados anteriores se pueden obtener losresultados probados por Annaby y El-Sayed en [3].

Sean " un dominio de Rn y [ >Ky](x) =/" K(x, t)y(t) dt, para y ! L2("),

con K(x, t) ! L2(".") simetrico, es decir, K(x, t) = K(t, x) para x, t ! ".El operador integral >K es obviamente un operador de Hilbert-Schmidt.Supondremos en lo que sigue que 0 no es autovalor de >K y, por lo tanto, si{$"1

n }!n=0 = &( >K) (con $k repetido segun su multiplicidad), y {'n}!n=0 esla sucesion asociada de autofunciones ortonormalizadas, se verifica

i)!!

n=0

1

$2n

< %

ii) El conjunto {'n}!n=0 es una base ortonormal de L2(").

Sea >K' = (I " $ >K)"1 >K, donde $"1 ! 4( >K). Se sabe ([82, Capıtulo 4])que el operador >K' es tambien un operador integral asociado al nucleoK'(x, t) ! L2(" . ") que verifica

K'(x, t) =!!

n=0

'n(x)'n(t)

$k " $, (2.90)

con convergencia en L2(" . "). Por lo tanto, el operador >K' tambien esun operador de Hilbert-Schmidt.

Corolario 2.5 La funcion f($) =/" F (x)((x, $) dx, con F en el espacio

L2(") y ((x, $) = P ($)K'(x, t0) para un t0 ! " fijo, admite el desarrolloen serie interpolatoria tipo Lagrange

f($) =!!

n=1

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n),

donde P ($) es el producto canonico asociado a {$n}!n=0. La convergenciade la serie es absoluta, y uniforme en los subconjuntos compactos de C.

#

Ejemplo. Consideremos el nucleo

K(x, t) = e(x+t)/2

% !

max(x,t)

e",

(d(, 0 " x, t < %

Los autovalores del operador integral asociado a este nucleo son µk =(k + 1)"1, k ! N0, y las autofunciones normalizadas

'k(x) =e"x/2

k!Lk(x) ,


donde {Lk(x)}!k=0 son los polinomios de Laguerre. Siguiendo (2.90), elnucleo resolvente K' es

K'(x, t) =!!

k=0

e"(x+t)/2Lk(x)Lk(t)

(k!)2((k + 1) " $).

Sea ((x, $) = P ($)K'(x, t0), para t0 ! 0 fijo. Toda funcion f de la forma

f($) =

% !

0F (x)((x, $) dx ,

con F ! L2(0,%), se puede expresar como

f($) =!!

k=0

f(k + 1)P ($)

($ " k " 1)P #(k + 1),

donde

P ($) =!-

k=0

'1 "

$

k + 1

(exp

'$

k + 1

(.

2.5 Problema inverso

En las secciones anteriores los puntos sobre los que se tomaban las mues-tras eran, en general, los autovalores de ciertos problemas diferenciales ointegrales y las clases de funciones sobre las que aplicabamos los mues-treos se definıan a partir de ciertos nucleos asociados a estos problemas.En esta seccion se enunciara un teorema de muestreo usando una sucesionarbitraria de puntos, y construyendo el nucleo a partir de ellos.

Sea {tn}!n=1 una sucesion de numeros complejos distintos de cero queverifica limn'! |tn| = +% y

0!n=1 |tn|"2 < %. Denominaremos P (t) al

producto canonico asociado a la sucesion {tn}!n=1. Sea {'n(x)}!n=1 un siste-ma ortonormal completo de funciones de L2(I, dµ), donde I es un intervalo,finito o infinito de R y dµ es una medida sobre I. Sea

K(x, t) = P (t)!!

n=1

'n(x)

t " tn. (2.91)

K(·, t) pertenece a L2(I, dµ) para cada t ! C pues para cada t

!!

n=1

1

|t " tn|2< % .

Teorema 2.11 ([114]) Si

f(t) =

%

IF (x)K(x, t) dµ(x),

2.5 Problema inverso 63

con F ! L2(I, dµ), f es una funcion entera que se puede recuperar a partirde sus valores en {tn}!n=1 mediante la serie muestral

f(t) =!!

n=1

f(tn)P (t)

(t " tn)P #(tn).

Ademas, la convergencia de la serie es absoluta, y uniforme sobre compactosde C.

#

Ejemplo. Sean a > 0 y b, c dos numeros reales distintos de cero talesque b -= "an y c -= "an para cada n ! N0. Consideremos la sucesion{an+b}!n=03{"(an+c)}!n=0. Consideremos el producto infinito convergente

P (t) =!-

n=0

'1 "

t

an + b

('1 +

t

an + c

(,

y el sistema ortonormal completo {'n(x) = einx}!n="! del espacio de Hil-bert L2[0, 2#].

Para x ! [0, 2#] y t ! C diferente de {an + b}!n=0 3 {"(an + c)}!n=0 sedefine

H(x, t) =!!

n="!an(t)einx

con

an(t) =

9????:

????;

1

t " (an + b), n = 1, 2, . . .

1

t " b+

1

t " c, n = 0,

1

t " an + c, n = "1,"2, . . .

Sea K(x, t) = P (t)H(x, t). Entonces, (ver [114]) para cada

f(t) =

% 2"

0F (x)K(x, t) dx,

con F ! L2(0, 2#), se verifica que

f(t) =a

&((c + t)/a)&((b " t)/a)& !!

n=0

("1)n+1&((b + c)/a + n)

n!

<f(an + b)

t " (an + b)"

f("an" c)

t + (an + c)

=)(2.92)

Si c = a " b la expresion (2.92) se reduce a ([114])

f(t) =!!

n="!f(an + b)

sen[#(t " an " b)/a]

#[t " (an + b)]/a,

formula que recuerda a las series cardinales.

3

TEOREMAS DE MUESTREO ASOCIADOS CONEL OPERADOR DE DIRAC UNIDIMENSIONAL

3.1 Introduccion

En la Fısica Clasica, el movimiento de una partıcula en el espacio estaperfectamente descrito por la ecuacion de Newton si se conocen su posiciony velocidad en el tiempo t. En Mecanica Cuantica, sabemos que los valoresde una medicion solo pueden ser conocidos con ciertas probabilidades. Elestado del sistema es descrito por una funcion ', llamada funcion de onda,cuya evolucion temporal esta descrita por la ecuacion de onda i!-#

-t =H', donde H es el hamiltoniano del sistema. Si tenemos por ejemplo, unapartıcula en un campo conservativo con potencial U(x, y, z), entonces el

hamiltoniano toma la forma H = " !2

2m# + U(x, y, z), y la ecuacion deonda se convierte en la ecuacion de Schrodinger

i!5'

5t= "

!2

2m#' + U(x, y, z)' . (3.1)

En el caso particular de una dimension espacial, y suponiendo separacionde variables *(x, t) = '(x)ei't/!, se obtiene

"$'(x) = "!2

2m'##(x) + U(x)'(x) ,

donde el parametro espectral $, en Fısica, representa la energıa de la par-tıcula.

En los aceleradores de partıculas se han obtenido altas velocidades, yen estos casos la teorıa cuantica basada en la ecuacion (3.1) da malosresultados. Dirac sustituyo la ecuacion de Schrodinger por una nueva ley,que lleva su nombre, invariante bajo el grupo de Lorentz para incorporarası los efectos relativistas.

66 Teoremas de muestreo asociados con el operador de Dirac unidimensional

En dos dimensiones, una espacial y otra temporal, hay una representa-cion bidimensional del grupo de Lorentz y la ecuacion de Dirac que rige laevolucion espacio temporal de una partıcula de masa m sometida a poten-ciales A0(x, t), A1(x, t) se escribe como

(i!4*5* " 4*A* " mI*)!(x, t) = 0 , (3.2)

donde

40 =

'0 "ii 0

(, 41 =

'0 ii 0

(,

y el estado de la partıcula viene descrito por la funcion de onda !(x, t) =('1(x, t), '2(x, t))T .

Eligiendo una base adecuada y separando variables, la ecuacion de Dirac(3.2) se puede escribir como

u#2(x) + (V (x) + m)u1(x) = $u1(x)

" u#1(x) + (V (x) " m)u2(x) = $u2(x), x ! I = (a, b), (3.3)

donde el efecto de la interaccion de los potenciales A*, + = 0, 1, vienerepresentado por el nuevo potencial V (x). El sistema (3.3) recibe el nom-bre de sistema de Dirac estacionario unidimensional, y el operador de laizquierda es el operador de Dirac.

Despues de esta introduccion al operador de Dirac, hay que decir que lainvestigacion sobre teoremas de muestreo asociados a el, tanto en el casoregular (I finito) como en el caso singular (I infinito), se debe a que suspropiedades espectrales son muy similares a las del operador de Sturm–Liouville. Por tanto, la mayorıa de resultados del Capıtulo 2 son traslada-bles para el caso del operador de Dirac unidimensional. En [119] se pruebaun teorema de muestreo asociado con el problema de Dirac unidimensio-nal regular. Como caso particular, se obtiene un teorema de muestreo parafunciones bandalimitadas en el sentido de la transformada de Hartley. Latransformada de Hartley es una version real de la transformada de Fourierintroducida en 1942 por Hartley en [40], cuya definicion es

F ($) =

% !

"!f(t) cas($t) dt,

donde cas($t).= cos($t)+sen($t). Hartley querıa superar lo que para el era

un defecto de la transformada de Fourier: la representacion de una funcionf(t) que toma valores reales, mediante una funcion $f(") que toma valorescomplejos. Su formulacion no tuvo ningun eco hasta que en el ano 1984R.N. Bracewell, profesor de Ingenierıa Electrica en Stanford, introdujo unalgoritmo (conocido como transformada rapida de Hartley) para calcularla transformada de Hartley de una manera rapida y eficiente.

3.2 Preliminares 67

En este capıtulo, ademas del teorema de muestreo asociado al caso re-gular, se prueba un teorema de muestreo utilizando la matriz de Greencomo nucleo y tambien otro resultado asociado con el problema de Di-rac singular en la semirrecta [0,%). En este caso, como en el analogo deSturm–Liouville, hay que recurrir a la teorıa de Titchmarsh–Weyl sobre loscasos punto lımite o cırculo lımite que aparece explicada en la monografıade Levitan y Sargsjan [69].

3.2 Preliminares

Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales de Dirac

y#2 + p11(x)y1 + p12(x)y2 = $y1

"y#1 + p21(x)y1 + p22(x)y2 = $y2,

donde pij(x), i, j = 1, 2, son funciones reales continuas definidas en [0, #] y$ es un parametro. Usando notacion matricial este sistema puede escribirseen la forma

Bdy

dx+ P(x)y = $y , (3.4)

donde

B =

'0 1"1 0

(,P(x) =

'p11(x) p12(x)p21(x) p22(x)

(,y =

'y1(x)y2(x)

(.

Por medio de la transformacion ortogonal diferenciable

H(x) =

'cos'(x) " sen'(x)sen '(x) cos'(x)

(,

donde

'(x) =1

2tan"1 2p12(x)

p11(x) " p22(x), (3.5)

y haciendo el cambio de variable y = H(x)z, podemos transformar el sis-tema (3.4) en

Bdz

dx+ Q(x)z = $z , (3.6)

donde

Q(x) =

'"p(x) 0

0 "r(x)

(,

con

p(x) = "('# + p11 cos2 ' + p12 sen 2' + p22 sen2 ') (3.7)

r(x) = "('# + p11 sen2 ' " p12 sen 2' + p22 cos2 '). (3.8)


Al sistema (3.6) se le denomina forma canonica del sistema (3.4) ver [69,pag. 186], y a partir de ahora enfocaremos nuestra atencion sobre la formacanonica (3.6).

A partir de (3.6) se plantea el siguiente problema con condiciones decontorno:

y#2 " p(x)y1 = $y1 , y#

1 + r(x)y2 = "$y2, (3.9)

y1(0) sen+ + y2(0) cos+ = 0 (3.10)

y1(#) sen , + y2(#) cos , = 0 , (3.11)

donde p(x) y r(x) son funciones continuas definidas en [0, #] y +, , sonconstantes reales.

Sea L2[0, #] el espacio de Hilbert

L2[0, #].= {f : R ) C medible |

% "

0fT f < %} (3.12)

dotado del producto escalar

+f ,g, .=

% "

0fT (x)g(x) dx =

% "

0

7f1(x)g1(x) + f2(x)g2(x)

8dx ,

si f , g ! L2[0, #].El problema (3.9)–(3.11) tiene un conjunto numerable de autovalores

reales y simples {$n}!n="! ([69]).Si

yTn (x, $n) = (yn,1(x, $n), yn,2(x, $n))

es la autofuncion asociada al autovalor $n, se verifica que {yn}!n="! esuna sucesion ortogonal de funciones con valores reales en L2[0, #]

% "

0yT

n (x, $n)ym(x, $m)dx =

=

% "

0[yn,1(x, $n)ym,1(x, $m) + yn,2(x, $n)ym,2(x, $m)]dx = 0 .

Si y(x, $) y z(x, $#) son soluciones de (3.9) tenemos

y#2 " p(x)y1 = $y1 , y#

1 + r(x)y2 = "$y2 (3.13)

z#2 " p(x)z1 = $#z1 , z#1 + r(x)z2 = "$#z2. (3.14)

Multiplicando (3.13) por z1 y "z2, y (3.14) por "y1 y y2 respectivamente,y sumando obtenemos

d

dx{z1(x, $#)y2(x, $) " z2(x, $#)y1(x, $)} =

($ " $#){y1(x, $)z1(x, $#) + y2(x, $)z2(x, $#)} (3.15)

3.3 Teorema de muestreo asociado al operador de Dirac: Caso Regular 69

Tambien en [69] se prueba que si fT (x) = (f1(x), f2(x)) es una funcion conderivada continua y verifica las condiciones de contorno (3.10) y (3.11),entonces

f(x) =!!

n="!cn

!n(x)

*!n*2, (3.16)

donde

cn =

% "

0fT (x)!n(x)dx =

% "

0[f1(x)!n,1(x) + f2(x)!n,2(x)]dx,

!Tn (x) = (!n,1(x), !n,2(x)) es la autofuncion asociada al autovalor $n y

*!n*2 =

% "

0!T

n (x)!n(x)dx =

% "

0[!2

n,1(x) + !2n,2(x)]dx.

Ademas la serie (3.16) converge absoluta y uniformemente en [0, #]. Si f esuna funcion de L2[0, #] tambien admite un desarrollo como en (3.16) peroahora la convergencia es en media cuadratica.

3.3 Teorema de muestreo asociado al operador deDirac: Caso Regular

En esta seccion se obtendra un teorema de muestreo asociado al problema(3.9)-(3.11).

Teorema 3.1 Sea f(x) ! L2[0, #] una funcion de cuadrado integrable de-finida en [0, #] con valores en R2. Sea

F ($) =

% "

0fT (x)!(x, $)dx , (3.17)

donde !(x, $) es la solucion del sistema diferencial (3.9) con !1(0, $) =cos+ y !2(0, $) = " sen+. Entonces F ($) es una funcion entera de tipoexponencial a lo mas # que puede ser reconstruida a partir de sus valoresen los puntos {$n}!n="! mediante la formula

F ($) =!!

n="!F ($n)

P ($)

($ " $n)P #($n). (3.18)

La convergencia de la serie es absoluta, y uniforme sobre los conjuntoscompactos de C, y

P ($) = ($ " $0)!-

n=1

(1 "$

$n)(1 "

$

$"n). (3.19)


es una funcion entera cuyos ceros son exactamente los autovalores del pro-blema (3.9)-(3.11).

#

Demostracion. El producto infinito dado en (3.19) define una funcionentera puesto que se sabe que los autovalores del problema (3.9)–(3.11)satisfacen la formula asintotica $n = a0 + n + a1/n + O(1/n2) cuando|n| ") % (ver [69, pag. 193]). La afirmacion de que F ($) es una funcionentera de tipo exponencial a lo mas # se sigue de la relacion

|F ($)| "

% "

0|f1(x)||!1(x, $)|dx +

% "

0|f2(x)||!2(x, $)|dx

y del hecho de que tanto !1(x, $) como !2(x, $) son funciones enteras detipo exponencial a lo mas #; ver Lema 7.2.1 en [69].

Puesto que !(x, $) es una funcion de L2[0, #] para cada $, tenemos

!(x, $) =!!

n="!Dn($)

!n(x)

||!n||2, (3.20)

donde

Dn($) =

% "

0!T (x, $)!n(x)dx =

=

% "

0[!1(x, $)!n,1(x) + !2(x, $)!n,2(x)]dx , (3.21)

!T (x, $) = (!1(x, $), !2(x, $)) y !Tn (x) = (!n,1(x), !n,2(x)).

Puesto que f es una funcion de L2[0, #], tiene un desarrollo como en(3.16). Utilizando la identidad de Parseval y la definicion (3.17), obtenemos

F ($) =!!

n="!+f , !n,

+!, !n,*!n*2

.

Como

F ($n) =

% "

0fT (x)!(x, $n)dx =

% "

0fT (x)!n(x)dx = +f , !n, ,

tenemos

F ($) =!!

n="!F ($n)

+!, !n,*!n*2

. (3.22)

De la relacion (3.15), se obtiene

($ " $#)

% "

0yT (x, $)z(x, $#)dx = W(z, y)(#) " W(z, y)(0)

(3.23)

Caso Regular 71

donde

W(y, z) =

....y1(x, $) y2(x, $)z1(x, $#) z2(x, $#)

.... .

Sea '(x, $) la solucion de la ecuacion diferencial (3.9) con '1(#, $) = cos,y '2(#, $) = " sen,. Sea

P ($) = W(!(#, $), '(#, $)) = !1(#, $)'2(#, $) " !2(#, $)'1(#, $)

= " sen,!1(#, $) " cos,!2(#, $) .

(3.24)

Analogamente

P ($#) = " sen,!1(#, $#) " cos,!2(#, $#) . (3.25)

Multiplicando (3.24) por !1(#, $#) y (3.25) por !1(#, $) y restando lasecuaciones resultantes, tenemos

P ($)!1(#, $#) " P ($#)!1(#, $) =

= cos,[!2(#, $#)!1(#, $) " !1(#, $#)!2(#, $)] . (3.26)

Si y(x, $) = !(x, $) y z(x, $#) = !(x, $#), teniendo en cuenta que !(0, $) y!(0, $#) verifican la misma condicion de contorno (3.10) en 0, tenemos queW(!(·, $), !(·, $#))(0) = 0. Por (3.23)

($ " $#)

% "

0!T (x, $)!(x, $#)dx = !1(#, $#)!2(#, $) " !2(#, $#)!1(#, $) ,

(3.27)

relacion que, teniendo en cuenta (3.26), se puede reescribir como

($ " $#)

% "

0!T (x, $)!(x, $#)dx =

P ($#)!1(#, $) " P ($)!1(#, $#)

cos,,

suponiendo que cos, -= 0. Tomando el lımite cuando $# ) $n obtenemos

($ " $n)

% "

0!T (x, $)!n(x)dx =

"P ($)!n,1(#)

cos,, (3.28)

puesto que por (3.24) y (3.11) P ($n) = 0. Analogamente se puede probarque

($ " $n)

% "

0!T (x, $)!n(x)dx =

"P ($)!n,2(#)

sen,, (3.29)

siempre que sen, -= 0. Tomando el lımite cuando $ ) $n se tiene

*!n*2 =

% "

0!T

n (x)!n(x)dx ="P #($n)!n,1(#)

cos,(3.30)

="P #($n)!n,2(#)

sen ,. (3.31)


De (3.21), (3.28) y (3.30) se tiene que

+!, !n,*!n*2

=P ($)

($ " $n)P #($n), (3.32)

si , -= #/2. Si , = #/2, considerando (3.21), (3.29) y (3.31) obtenemos elmismo resultado. Ahora sustituyendo la igualdad (3.32) en (3.22) se obtiene(3.18).

Para probar que la convergencia de la serie (3.18) es absoluta, y uniformeen un subconjunto compacto K de C, consideremos

SN (x) =N!

n="N

F ($n)!n(x)

*!n*2.

Para , -= #/2, tenemos, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, (3.22),(3.28) (o (3.29) si , = #/2) y (3.30),

....F ($) "N!

n="N

F ($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

....2....F ($) "

N!

n="N

F ($n)+!, !n,*!n*2

....2

=

....

% "

0[f(x) " SN (x)]T !(x, $) dx

....2

"

'% "

0

..[f(x) " SN (x)]T !(x, $).. dx

(2

"

'% "

0!T (x, $)!(x, $)dx

(*f " SN*2

" CK*f " SN*2, (3.33)

donde

CK = max'$K

(

% "

0!T (x, $)!(x, $)dx) < % .

El ultimo termino tiende a cero cuando N ) %. Para terminar la demos-tracion, es preciso probar que la funcion P ($) de (3.24) es esencialmenteel producto infinito definido en (3.19). La funcion definida en (3.24) es unafuncion entera cuyos ceros son los autovalores del problema de Dirac. Sidenotamos el producto infinito de (3.19) temporalmente con $P ($), pode-mos escribir P ($) = g($) $P ($), donde g($) es una funcion entera que no seanula en ningun punto. Ası,

P ($)

P #($n)=

g($) $P ($)

g($n) $P #($n),

y el teorema sigue siendo valido para la funcion F ($)/g($)$

Caso Regular 73

3.3.1 Aplicacion a la transformada de Hartley deuna funcion banda-limitada

Consideremos el problema (3.9)–(3.11) con p(x) = 0 = r(x)

y#2 = $y1 , y#

1 = "$y2, (3.34)

y1(0) sen+ + y2(0) cos+ = 0 (3.35)

y1(#) sen , + y2(#) cos, = 0 . (3.36)

Es facil comprobar que una solucion de (3.34) y (3.35) es

!T (x, $) = (cos($x " +), sen($x " +)).

Sustituyendo esta solucion en (3.36), obtenemos

cos($# " +) sen , + sen($# " +) cos , = sen($# + , " +) = 0 ,

por lo que los autovalores son $n = n " ." , donde - = , " +.

La funcion P ($) definida en (3.19) viene dada por

P ($) = (1 +$

!)

!-

n=1

'1 "

$

n " !

('1 +

$

n + !

(=

sen #($ + !)

sen#!,

donde ! = ." y - -= 0. Si - = 0, entonces P ($) = $

!-

n=1

(1 "$2

n2) =

sen#$

#.

Aplicando el Teorema 3.1 tenemos que si

F ($) =

% "

0{f1(x) cos($x " +) + f2(x) sen($x " +)}dx ,

con f1 y f2 ! L2[0, #], entonces

F ($) =!!

n="!F (n " !)

sen #($ " n + !)

#($ " n + !),

para cualquier !.En particular, si f1(x) = f2(x) = f(x), obtenemos una generalizacion de

la transformada de Hartley F ($) de una funcion bandalimitada f(x)

F ($) =

% "

0{cos($x " +) + sen($x " +)}f(x) dx

que puede ser reconstruida por medio de la expresion

F ($) =!!

n="!F (n " !)

sen #($ " n + !)

#($ " n + !)


donde ! = c" *" , para una constante arbitraria c. Cuando + = 0 obtenemos

la transformada de Hartley de una funcion bandalimitada f a [0, #]

F ($) =

% "

0{cos$x + sen $x}f(x) dx ,

que se puede expresar como

F ($) =!!

n="!F (n " c)

sen #($ " n + c)

#($ " n + c).

La convergencia de las series anteriores es absoluta, y uniforme en compac-tos de C.

3.3.2 Teorema de muestreo asociado a la matrizde Green en el caso regular

Sean "(x, $) y !(x, $) las soluciones de el sistema (3.9) que verifican

01(0, $) = cos+ , 02(0, $) = " sen+ ,

*1(0, $) = cos, , *2(0, $) = " sen, .

Se verifica que el operador resolvente del operador unidimensional de Dirac,R' = ($I "L)"1, definido por el sistema (3.9)–(3.11), es un operador inte-gral asociado al nucleo G'(x, y), matriz definida mediante ([69, pag.195])

G'(x, y) =

9?????:

?????;

" 1!(')

@*1(x, $)01(y, $) *2(x, $)01(y, $)

*1(x, $)02(y, $) *2(x, $)02(y, $)

A

, si y < x

" 1!(')

@01(x, $)*1(y, $) 01(x, $)*2(y, $)

02(x, $)*1(y, $) 02(x, $)*2(y, $)

A

, si y > x(3.37)

donde "($) = 01(x, $)*2(x, $) " 02(x, $)*1(x, $), verificandose que

[R'f ](x) =

% "

0G'(x, y)f(y) dy .

Puesto que los autovalores del sistema verifican la formula asintotica

$n = a0 + n + a1/n + O(1/n2) (3.38)

cuando |n| ) %, el operador R' es un operador de Hilbert-Schmidt. Su-pondremos, en lo que sigue, que ningun autovalor es igual a cero. Fijadoy0 ! (0, #), definimos el nucleo

!(x, $) = P ($)G'(x, y0), x ! (0, #), $ ! C , (3.39)

donde P ($) es el producto infinito asociado a los autovalores {$n}!n="!definido en (3.19). El siguiente teorema se basa en el Teorema 2.10

3.4 Teoremas de muestreo asociados con el operador de Dirac: Caso Singular 75

Teorema 3.2 La funcion f = (f1, f2) definida como

f($) =

% "

0FT (x)!(x, $) dx

con F ! L2(0, #), es tal que fi (i = 1, 2) es una funcion entera y f se puederecuperar a partir de sus valores en los autovalores {$n}!n="! mediantelas series interpolatorias tipo Lagrange

fi($) =!!

n="!fi($n)

P ($)

($ " $n)P #($n), i = 1, 2 ,

siendo la convergencia de las series absoluta, y uniforme sobre los compac-tos de C.

#

Demostracion. El resultado propuesto es una simple consecuencia delTeorema 2.10 teniendo en cuenta que [69, pag. 196 y ss.]

G'(x, y) =!!

n="!

!n(x)!Tn (y)

($ " $n)*!n*2.

La columna i-esima (i = 1, 2) de la matriz G'(x, y0), [G'(x, y0)]i sera

[G'(x, y0)]i =

!!

n="!

!n,i(y0)!n(x)

($ " $n)*!n*2.

Puesto que

fi($) =

% "

0FT (x)!i(x, $) dx,

donde !i(x, $).= P ($)[G'(x, y0)]i, repitiendo la demostracion del Teore-

ma 2.10 para cada fi obtendremos el resultado propuesto.$

3.4 Teoremas de muestreo asociados con eloperador de Dirac: Caso Singular

El objetivo de esta seccion es obtener un teorema de muestreo asociado,en este caso, al operador de Dirac unidimensional en la semirrecta. Paraello es necesario establecer condiciones suficientes para que el problema(3.40)–(3.41) tenga espectro discreto y toda funcion de L2(0,%) puedadesarrollarse en terminos de las autofunciones del problema.

Consideremos el problema

y#2 " q1(x)y1 = $y1 , y#

1 + q2(x)y2 = "$y2, 0 " x < % (3.40)

y1(0) sen+ + y2(0) cos+ = 0 (3.41)


siendo q1(x) y q2(x) funciones continuas. Sea "(x, $) la solucion de (3.40)con

01(0, $) = cos+ , 02(0, $) = " sen+ ,

donde + ! R. Es claro que "(·, $) verifica la condicion de contorno (3.41).Se puede demostrar, considerando una sucesion de problemas regulares

como (3.9)–(3.11), que existe una funcion monotona no decreciente 4($)("% < $ < %) tal que para toda funcion f ! L2(0,%) se verifica (ver [69,pag. 216])

*f*2 =

% !

0

'|f1(x)|2 + |f2(x)|2

(dx =

% !

"!F 2($) d4($),

(3.42)

donde F ($) es el lımite en L2)(R) de la sucesion

Fn($) =

% n

0fT (x)"(x, $) dx ,

y si g ! L2(0,%) entonces% !

0fT (x)g(x) dx =

% !

"!F ($)G($) d4($).

Antes de estudiar mas en detalle el espectro del problema pasemos a definirque entenderemos por caso cırculo lımite y caso punto lımite.

3.4.1 Los casos punto lımite y cırculo lımite

Tal como sucede en el caso singular en los problemas de Sturm-Liouville elsistema

'0 1"1 0

(dy

dx"'

q1(x) 00 q2(x)

(y = $y , (3.43)

con x ! [0,%) se puede clasificar en dos casos. El resultado fundamental,que se resume a continuacion, puede consultarse en [69, pag. 221]. Si Im$ -=0 y "(x, $), #(x, $) son soluciones de (3.43) verificando las condicionesiniciales

01(0, $) = cos+ , 02(0, $) = " sen+

61(0, $) = sen + , 62(0, $) = cos+ ,

entonces la solucion !(x, $) = #(x, $)+ l($)"(x, $) verifica la condicion decontorno en b > 0

(61(b, $) + l($)01(b, $)) cos, + (62(b, $) + l($)02(b, $)) sen, = 0

si y solo si l($) esta en la circunferencia Cb de C de ecuacion W(!, !)(b) =0. Si b ) % la circunferencia Cb tiende o bien a una circunferencia lımite

Caso Singular 77

C! (interior a Cb) o bien se contrae a un punto m!($). En el primercaso (caso cırculo lımite) todas las soluciones de la ecuacion (3.43) per-tenecen a L2(0,%), en el segundo caso (caso punto lımite) solo ten-dremos una unica solucion en L2(0,%) (salvo multiplos), precisamente#(x, $) + m!($)"(x, $).En cualquier caso, la funcion

!(x, $) = #(x, $) + m!($)"(x, $)

es solucion de (3.43) en L2(0,%), siendo m!($) cualquier punto de C! enel caso cırculo lımite. Se puede comprobar que, en el caso punto lımite (ver[69, pag. 221])

m!($) = limb'!

61(b, $)

01(b, $).

La funcion m!($) es analıtica en los semiplanos superior e inferior. Talcomo se prueba en [69, pag. 241] es suficiente que q1(x) y q2(x) sean con-tinuas para que estemos en el caso punto lımite.

Lema 3.1 Si m!($) tiene polos en el eje real, estos tienen que ser nece-sariamente simples.

#

Demostracion. Sea 2 = Im $, para todo b > 0 se verifica [69, pag. 220]

1

2|l($)|2*"*2

L2(0,b) " *#*2L2(0,b) " *#(·, $) + l($)"(·, $)*2 "

|l($)|2

y por lo tanto

1

2|l($)|2*"*2

L2(0,b) " *#*2L2(0,b) "

|l($)|2

por lo que

|l($)| "1

2*"*2L2(0,b)

+

&2*#*2L2(0,b)

*"*2L2(0,b)

+1

22*"*4L2(0,b)

) 12

(3.44)

de (3.44) se deduce que para todo b > 0 fijo el termino a la derecha de ladesigualdad es de orden O( 1

& ) cuando 2 ) 0 y por lo tanto m!($) = O( 1& )

cuando 2 ) 0, y ası, si m!($) tiene polos en el eje real estos han de sernecesariamente simples.

$

Las condiciones para que el problema (3.43) junto con la condicion decontorno

y1(0) cos+ + y2(0) sen+ = 0 (3.45)

tenga espectro discreto son tambien analogas a las enuciadas en [98, pag.121]. Concretamente


Lema 3.2 Si q1(x) y q2(t) son dos funciones monotonas que verifican

1. q1(x) ! 0, q2(x) " 0, q#1(x) > 0, q#2(x) < 0 y cuando x ) %,q1(x) ) +%, q2(x) ) "%,

o

1’. q1(x) " 0, q2(x) ! 0, q#1(x) < 0, q#2(x) > 0 y cuando x ) %,q1(x) ) "%, q2(x) ) +%,

y

2. q#i(x) = O(|qi|c), i = 1, 2, donde c ! (0, 3/2)

3. Existe M > 0 tal que q##i (x) (i = 1, 2) no cambian de signo cuandox > M ,

entonces la funcion m!($) es meromorfa y el espectro del problema esdiscreto, siendo los polos de m!($) los autovalores del problema.

#

Si la funcion m!($) es meromorfa se puede deducir que la funcion espec-tral 4($) es una funcion escalera no decreciente, cuyos saltos son los polosde m!($) y sus alturas los correspondientes residuos (ver [98, pag. 68]).

Para probar que las autofunciones del problema (3.40)–(3.41) forman unabase ortogonal de L2(0,%), necesitamos probar unos resultados previos queno aparecen en [69].

Lema 3.3 Sea fn ! L2(0,%) una sucesion que converge a f en L2(0, A)para cada A > 0 y tal que

% !

0|fn(x)|2 dx " K, 1n ! N. (3.46)

Entonces f ! L2(0,%) y si g ! L2(0,%) se verifica que

limn'!

% !

0fTn g dx =

% !

0fT g dx

#

Demostracion. Se tiene

limn'!

% X

0fTn (x)fn(x) dx =

% X

0fT (x)f(x) dx " K ,

para todo X > 0, por lo tanto f ! L2(0,%). Sea g ! L2(0,%) y X > 0,entonces

....

% !

0(f " fn)T g dx

.... "

....

% X

0(f " fn)Tg dx

....+....

% !

X(f " fn)T g dx

.... .

Caso Singular 79

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz....

% !

0(f " fn)T g dx

.... "

'*f " fn*L2(0,X)*g*L2(0,!)

(+

'*f " fn*L2(0,!)*g*L2(X,!)

(.

Por (3.46) y puesto que *f*2 " K tenemos que

*f " fn*2L2(0,!) " 4K.

Sea X > 0 tal que

*g*L2(X,!) </

4#

K.

Existe N ! N tal que para todo n > N se verifica

*f " fn*L2(0,X) </

2*g*L2(0,!),

luego para n > N ....

% !

0(f " fn)T g dx

.... < / .

$

Lema 3.4 Si $, µ son dos numeros complejos no reales, se verifica:

limx'+!

W[!(·, $), !(·, µ)](x) = 0

#

Demostracion. Para cada b > 0 tenemos

W[#(·, $) + l($)"(·, $), #(·, µ) + l(µ)"(·, µ)](b) = 0,(3.47)

ya que #(·, $) + l($)"(·, $) verifica en b una condicion de contorno inde-pendiente de $.

La ecuacion (3.47) es equivalente a

WB!(·, $) + (l($) " m!($))"(·, $),

!(·, µ) + (l(µ) " m!(µ))"(·, µ)C(b) = 0.

Desarrollando la expresion anterior obtenemos

W[!(·, $), !(·, µ)](b) + (l($) " m!($))W["(·, $), !(·, µ)](b) +

+ (l(µ) " m!(µ))W[!(·, $), "(·, µ)](b) +

+ (l($) " m!($))(l(µ) " m!(µ))W["(·, $), "(·, µ)](b) = 0. (3.48)


Por (3.23) sabemos que

W["(·, $), !(·, µ)](b) =

= (µ " $)

% b

0"T (x, $)!(x, µ) dx + W["(·, $), !(·, µ)](0). (3.49)

Teniendo en cuenta que !(·, µ) ! L2(0,%) y utilizando la desigualdad deCauchy–Schwarz, de (3.49) de obtiene

|W["(·, $), !(·, µ)](b)| " A

'% b

0|"(x, $)|2 dx

(1/2

+ B,(3.50)

con A, B ! 0.En el caso punto lımite se verifica la siguiente relacion ([69, pag. 219])

|l($) " m!($)| "1

2| Im $|

'% b

0|"(x, $)|2 dx

("1

. (3.51)

Por lo tanto de (3.50) y (3.51), obtenemos que

limb'+!

(l($) " m!($))W["(·, $), !(·, µ)](b) = 0. (3.52)

Supongamos ahora que estamos en el caso cırculo lımite. Si l($) ) m!($)cuando b ) +% tambien se llega a (3.52), pues en este caso

% b

0|"(x, $)|2 dx ) *"(·, $)*2

L2 < %,

cuando b ) +%.Argumentos similares al anterior prueban que

limb'+!

(l(µ) " m!(µ))W[!(·, $), "(·, µ)](b) = 0

limb'+!

(l($) " m!($))(l(µ) " m!(µ))W["(·, $), "(·, µ)](b) = 0,

por lo que de (3.48) se obtiene el resultado.$

Lema 3.5 Si $, µ pertenecen a C " R se verifica:% !

0!(x, $)T !(x, µ) dx =

m!($) " m!(µ)

µ " $. (3.53)

En particular, si µ = $ se tiene

*!(·, $)*2L2(0,!) = "

Im m!($)

Im $. (3.54)

Caso Singular 81

Demostracion. Si b > 0 por (3.23) sabemos que

($ " µ)

% b

0!T (x, $)!(x, µ) dx =

W[!(·, $), !(·, µ)](b) " W[!(·, $), !(·, µ)](0) .

Puesto que *1(0, -) = sen+ + m!(-) cos+ y ademas *2(0, -) = cos+ "m!(-) sen+,

W[!(·, $), !(·, µ)](0) =

(sen+ + m!($) cos+)(cos + " m!(µ) sen +) "(sen+ + m!(µ) cos+)(cos + " m!($) sen +) = m!($) " m!(µ) .

Por el Lema 3.4, si b ) %

(µ " $)

% !

0!T (x, $)!(x, µ) dx = m!($) " m!(µ).

Haciendo µ = $, puesto que !(x, $) = !(x, $), se obtiene (3.54).$

Teorema 3.3 Sea µ ! R un polo simple de m!($) entonces "(x, µ).=

$(x) pertenece a L2(0,%) y *$*2L2(0,!) = r"1

µ , donde rµ es el residuo de

m!($) en el polo µ.#

Demostracion. Sea µm = µ + i2(m) (m ! N) con 2(m) > 0 y 2(m) ) 0cuando m ) %. Se verifica para i = 1, 2 y X > 0 que

% X

0|2(m)*i(x, µm) + irµ'i(x)|2 dx ) 0

cuando m ) %, puesto que al ser µ un polo simple de m!($) se tiene que

limm'!

(µm " µ)*i(x, µm) =

= limm'!

(µm " µ) [6i(x, µm) + m(µm)0i(x, µm)] =

= rµ0i(x, µ) =

= rµ'i(x)

y asılim

m'!2(m)*i(x, µm) = "irµ'i(x) .

Ademas por (3.54) tenemos para cada m ! N

*2(m)!(·, µm)*2L2(0,!) = "2(m) Im(m!(µm)) " |2(m)m!(µm)| " K


con K independiente de m pues µ es un polo simple de m!($). Mul-tiplicando (3.53) por i2(m)/rµ y aplicando el Lema 3.3 obtenemos que$ ! L2(0,%) y que

% !

0!T (x, $)$(x) dx =

1

$ " µ. (3.55)

Repitiendo el razonamiento anterior tenemos

*$*2L2(0,!) =

1

rµ.

$

Teorema 3.4 Supongamos ahora que m!($) es una funcion meromorfay sean {$n}!n="! $ R sus polos.

Sea A = {$n}!n="! la sucesion de autofunciones con $n(x) = "(x, $n).Se verifica que A es un sistema ortogonal completo de L2(0,%). #

Demostracion. Sean $n, $m dos autovalores distintos. Por (3.55) tene-mos

% !

0!T (x, $)$n(x) dx =

1

$ " $n. (3.56)

repitiendo el razonamiento de la demostracion del Teorema 3.3 con µ = $m

obtenemos% !

0$T

m(x)$n(x) dx = 0. (3.57)

Demostraremos ahora que A es un conjunto completo de L2(0,%).Al ser m!($) meromorfa, si fT

N (x) = (fN,1(x) fN,2(x)) es una funcionque se anula fuera del intervalo [0, N ] entonces [69, pag. 216]

% N

0(|fN,1|2 + |fN,2|2) dx =

!!

n="!

|FN ($n)|2

*$n*2L2

,

donde FN ($n) =/!0 fT

N (x)$n(x) dx.Sea ahora f ! L2(0,%) y {fN} una sucesion de funciones de L2(0,%)

tales que para todo N ! N fN se anula fuera del intervalo [0, N ] y fN ) fcuando N ) % en L2(0,%). Si F ($n) =

/!0 fT (x)$n(x) dx, se tiene que

% !

0|f |2 dx = lim

N'!

% N

0|fN |2 dx

= limN'!

!!

n="!

|FN ($n)|2

*$n*2L2

=!!

n="!

|F ($n)|2

*$n*2L2

,

Caso Singular 83

puesto que

limN'!

|FN ($n)|2

*$n*2L2

=|F ($n)|2

*$n*2L2

y0!

n="!|F ('n)|2

(!n(2

L2

< %, por la desigualdad de Bessel.

$

Ya estamos en disposicion de enunciar y demostrar un teorema de mues-treo analogo al propuesto en [111] para problemas de Sturm-Liouville sin-gulares en la semirrecta.

Consideremos el problema (3.40)–(3.41). Supongamos que m!($) es me-romorfa y sean {$n}!n="! los autovalores del problema ($0 se reserva parael posible autovalor 0). Definimos la sucesion {µn}!n=0 mediante

µ2n"1 = $n , (3.58)

µ2n = $"n , (3.59)

y supongamos que dicha sucesion tiene exponente de convergencia finito.Sea P ($) el producto canonico asociado a la sucesion {µn}!n=0 de autova-lores del problema (3.40)–(3.41).

Teorema 3.5 Sea "(x, $) = P ($)!(x, $). Entonces toda funcion f de laforma

f($) =

% !

0FT (x)"(x, $) dx ,

con F ! L2(0,%), es una funcion entera, y se puede reconstruir a partir desus muestras en {$n}!n="! mediante la serie interpolatoria tipo Lagrange

f($) =!!

n="!f($n)

P ($)

($ " $n)P #($n). (3.60)

La convergencia de la serie es absoluta, y uniforme en los compactos de C.#

Demostracion. "(x, $) es una funcion entera en $ al serlo #(x, $) y"(x, $) y haber quitado las singularidades de m!($) al multiplicar porP ($).

Puesto que {$n}!n="! es una base ortogonal de L2(0,%), si Im$ -= 0tenemos por (3.55) que

!(x, $) =!!

n="!

1

$ " $n

$n(x)

*$n*2L2

(3.61)

y

F(x) =!!

n="!

+F, $n,*$n*2

L2

$n(x) (3.62)


donde las series (3.61) y (3.62) convergen en L2(0,%).

Si $ ! R " {$n}!n="!, se sabe que0!

n="!(!n("2

L2

|'"'n|2 es convergente ([69,

pag. 225]) por lo que (3.61) tiene sentido para $ ! C " {$n}!n="!.Por la identidad de Parseval tenemos que

f($) =!!

n="!

+F, $n,$ " $n

P ($)

*$n*2L2

. (3.63)

Por otra parte,

f($n) = lim'''n

f($) = lim'''n

% !

0FT (x)"(x, $) dx =

= lim'''n

P ($)

$ " $n

% !

0FT (x)($ " $n)!(x, $) dx =

= lim'''n

P ($)

$ " $n

'% !

0F1(x)($ " $n)*1(x, $) dx +

% !

0F2(x)($ " $n)*2(x, $) dx

(.

Teniendo en cuenta que

lim'''n

($ " $n)*i(x, $) = *$n*"2L2 'n,i(x),

por el Lema 3.3 obtenemos que

f($n) = P #($n)

% !

0*$n*

"2L2 (F1(x)'n,1(x) + F2(x)'n,2(x)) dx

= P #($n)*$n*"2L2 +F, $n,L2 . (3.64)

Como consecuencia de (3.63) y (3.64) obtenemos (3.60). Puesto que la serie0!

n="!(!n("2

L2

|'"'n|2 esta uniformemente acotada en los subconjuntos compac-

tos de C que no contengan a ninguno de los autovalores {$n}!"! y P ($)se anula precisamente en estos autovalores, obtenemos que para todo sub-conjunto compacto K de C existe una constante positiva CK tal que

!!

n="!

|P ($)|2

|$ " $n|2*$n*2L2

< CK, 1$ ! K.

Como consecuencia de (3.60) y de la desigualdad de Cauchy-Schwarz tene-

Caso Singular 85

mos

....f($) "N!

n="N

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

.... =

....!

|n|>N

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

.... "

"!

|n|>N

....f($n)P ($)

($ " $n)P #($n)

....

=!

|n|>N

....P ($)+F, $n,

($ " $n)*$n*2L2

....

"5

CK

' !

|n|>N

|+F, $n,|2

*$n*2L2

(1/2

) 0

cuando N ) % por (3.62).La convergencia uniforme en compactos de la serie (3.60) implica que

f($) es una funcion entera. $

3.4.2 Otros teoremas de muestreo asociados aloperador unidimensional de Dirac

En esta seccion empezaremos definiendo un operador autoadjunto asociadoal problema (3.40)–(3.41) que bajo las condiciones del Lema 3.2 va tenerresolvente compacta.

SeaD(l)

.= {y ! C1

0 (0,%) | y1(0) sen+ + y2(0) cos+ = 0}

donde C10 (0,%) es el espacio de funciones de clase C1 de soporte compacto

y l : D(l) $ L2(0,%) ) L2(0,%) definido por

l(y).=

'y#2 " q1(x)y1

"y#1 " q2(x)y2

.

(

Se puede probar ([69]) que el cierre del operador l, L = l, es un operadorautoadjunto cuyo dominio esta formado por las funciones yT = (y1 y2) queverifican

i) y ! L2(0,%)

ii) y1, y2 ! ACloc(0,%)

iii) l(y) ! L2(o,%)

iv) y1(0) sen+ + y2(0) cos+ = 0

El operador L tendra resolvente compacta Rµ = (µI " L)"1, con µ /!{$n}!n="!, si, por ejemplo, se satisfacen las hipotesis del Lema 3.2 [26,pag. 423]. En este caso


Rµf(x) =!!

n="!

+f , $n,L2

µ " $n

$n(x)

*$n*2L2

, (3.65)

para f ! L2(0,%).Sea g ! L2(0,%), y definamos el nucleo

"(x, µ) = P (µ)Rµg(x), x ! (0,%), µ ! C , (3.66)

donde P (µ) es el producto canonico asociado a los autovalores {$n}!n="!(suponiendo que exista). Aplicando el Teorema 2.9 tenemos el siguienteresultado

Teorema 3.6 La funcion f definida como

f($) =

% !

0FT (x)"(x, $) dx

con F ! L2(0,%), es una funcion entera que se puede recuperar a partir desus valores en los autovalores {$n}!n="! mediante la serie interpolatoriatipo Lagrange

f($) =!!

n="!f($n)

P ($)

($ " $n)P #($n),

siendo la convergencia absoluta, y uniforme en los compactos de C.#

El operador autoadjunto L tiene matriz de Green G'(x, y) con $ /! &(L).Concretamente (ver [69, pag. 222 y ss.])

G'(x, y) =

9?????:

?????;

"

@*1(x, $)01(y, $) *1(x, $)02(y, $)

*2(x, $)01(y, $) *2(x, $)02(y, $)

A

si y < x

"

@01(x, $)*1(y, $) 01(x, $)*2(y, $)

02(x, $)*1(y, $) 02(x, $)*2(y, $)

A

si y > x,(3.67)

verificandose que para cada f ! L2(0,%) y µ /! &(L)

Rµf(x) =

% !

0G'(x, y)f(y) dy .

De forma equivalente

Rµf =

'!1(x, $)!2(x, $)

(,

Caso Singular 87

donde

!1(x, $).= *1(x, $)

% x

0"T (y, $)f(y) dy + 01(x, $)

% !

x!T (y, $)f(y) dy

!2(x, $).= *2(x, $)

% x

0"T (y, $)f(y) dy + 02(x, $)

% !

x!T (y, $)f(y) dy.

En [69] se enuncian condiciones suficientes para que el operador resolventeRµ sea un operador de Hilbert-Schmidt, lo que equivale a decir que lamatriz de Green G' pertenezca a L2((0,%) . (0,%)).Sea H(x) la matriz

H(x) =

'cos'(x) " sen'(x)sen '(x) cos'(x)

(,

con '(x) =1

2

% x

0(q1(s) + q2(s)) ds. Si H(x)z = y, entonces (ver [69, pag.

186]) el problema (3.40)–(3.41) se transforma en

Bdz

dx+ Q(x)z = $z , 0 < x < % (3.68)

z1(0) sen+ + z2(0) cos+ = 0 , (3.69)

donde

B =

'0 1

"1 0

(, Q(x) =

'p(x) q(x)q(x) "p(x)

(.

Para obtener (3.69) tengase en cuenta que

y(0)

'sen +cos+

(= H(0)z(0)

'sen +cos+

(= z(0)

'sen+cos+

(

ya que H(0) = I.La matriz de Green, G'(x, y), asociada al problema (3.40)–(3.41), defi-

nida en (3.67), se puede expresar como:

G'(x, y) =

*"!(x, $)"T (y, $) si y < x

""(x, $)!T (y, $) si y > x.(3.70)

Si >!(x, $).= H"1(x)!(x, $) y >"(x, $)

.= H"1(x)"(x, $), la matriz

>G'(x, y) =

9:

;">!(x, $)>"T (y, $) si y < x

">"(x, $)>!T(y, $) si y > x ,

(3.71)

es la matriz de Green asociada a (3.68)–(3.69), ya que >!(x, $) y >"(x, $)

son soluciones de (3.68) y >!(x, $) = H"1(x)!(x, $) ! L2(0,%), y entonces


se puede repetir el razonamiento que aparece en [69, pag. 223]. La relacionentre las matrices de Green viene dada por

>G'(x, y) = H"1(x)G'(x, y)H(y). (3.72)

El siguiente Lema ([69]) proporcionara una condicion suficiente para pro-bar un teorema de muestreo basado en el Teorema 2.10 del Capıtulo 2.

Lema 3.6 Supongamos que la matriz Q(x) verifica las siguientes condicio-nes

1. Para |x " .| " 1,

|||(Q(x) " Q(.))Q"a(x)||| " A1|x " .|

donde A1 > 0, 0 < a < 2.

2. Si |x " .| " 1,|||Q(.)||| " A2|||Q(x)|||

con A2 > 0.

3. Si |x " .| > 1, entonces

|||Q(.)||| " A3|||Q(x)|||ec0|x"%|

donde A3 > 0, 0 < c0 < 1.

4. Si x es suficientemente grande,

cx* " |||Q(.)|||2 " Cx*

donde c, C > 0 y + > 2.

5.1

p! L1(0,%) o

1

q! L1(0,%),

siendo |||A||| la norma de Hilbert-Schmidt de la matriz A = (aij)i,j=1,2, es

decir, |||A||| = (02

i,j=1 |aij |2)1/2. Entonces la funcion de Green asociada al

problema (3.68)–(3.69), >G', verifica

% !

0

% !

0||| >G'(x, y)|||2 dxdy < % (3.73)

si $ = iµ.

Caso Singular 89

Teniendo en cuenta (3.73), si $ = iµ, obtenemos% !

0

% !

0|||G'(x, y)|||2 dxdy =

% !

0

% !

0|||H(x) >G'(x, y)H"1(y)|||2 dxdy "

"

% !

0

% !

0|||H(x)|||2||| >G'(x, y)|||2|||H"1(y)|||2 dxdy

= 4

% !

0

% !

0||| >G'(x, y)|||2 dxdy < % ,

ya que |||H(x)|||2 = 2 para todo x ! (0,%). La relacion anterior muestraque el operador resolvente, R', del operador L es un operador de Hilbert-Schmidt cuando $ = iµ. Ahora bien como se tiene que ([95])

R' " R. = (- " $)R'R.

para todo par $, - de elementos del conjunto resolvente del operador L,4(L), tenemos que para cada $ ! 4(L) el operador R' es un operadorde Hilbert-Schmidt. Sean {$n}!n="! los autovalores de L y supongamos$n -= 0 para todo n. Fijado y0 ! (0,%), definimos el siguiente nucleo

!(x, $) = P ($)G'(x, y0), x ! (0,%), $ ! C. (3.74)

Al ser R' un operador de Hilbert-Schmidt, se verifica que si {µn}!n=0 es lasucesion definida en (3.58) y (3.59), el producto canonico, P ($), asociadoa los autovalores {µn}!"!, es igual a

P ($) =!-

n=0

'1 "

$

µn

(e'/µn

si0!

n=0 |µn|"2 < % y0!

n=0 |µn|"1 = %, o

P ($) =!-

n=0

'1 "

$

µn

(

si0!

n=0 |µn|"1 < %.

Teorema 3.7 Las componentes de la funcion f = (f1, f2) definida como

f($) =

% !

0FT (x)!(x, $) dx ,

con F ! L2(0,%), son funciones enteras que se pueden recuperar a partir desus valores en los autovalores {$n}!n="! mediante las series interpolatoriastipo Lagrange

fi($) =!!

n="!fi($n)

P ($)

($ " $n)P #($n), i = 1, 2.


La convergencia de las series es absoluta, y uniforme en los compactos deC.

#

Demostracion. La demostracion de este teorema es analoga a la delTeorema 3.2, basta tener en cuenta que [69, pag. 227]

G'(x, y) =!!

n="!

$n(x)$Tn (y)

($ " $n)*$n*2L2

.

$

4

PROBLEMA FINITO DE STURM-LIOUVILLEEN DIFERENCIAS: MUESTREOS FINITOS

4.1 Introduccion

El muestreo finito surge cuando en un espacio de Hilbert del tipo

L2(E; ") = {f : E ) C | f medible,

%

E|f |2" dx < %},

disponemos de una base ortonormal {'n}!n=1 y queremos obtener desarro-llos muestrales en el espacio de “polinomios generalizados”

HN = {f ! L2(E; ") | f($) =N!

n=1

an'n($), {an}Nn=1 $ C}

donde N ! N es fijo. Es decir, desarrollar los elementos de HN en otrasbases de manera que los coeficientes sean muestras de la funcion desarro-llada. El espacio finito dimensional HN tiene nucleo reproductor dado porla expresion

KN (t, $) =N!

n=1

'n(t)'n($).

Si existen puntos {$n}Nn=1 $ E tales que {KN(·, $n)}N

n=1 sea una baseortogonal de HN entonces cualquier funcion f ! HN se puede escribircomo

f(t) =N!

n=1

f($n)KN (t, $n)

KN ($n, $n).

Cuando {KN(·, $n)}Nn=1 es simplemente base de HN tambien existen re-

sultados muestrales. Al ser HN un espacio de dimension finita y, tal co-mo hemos supuesto, {KN(·, $n)}N

n=1 es una base de HN , existe una base

92 Problema finito de Sturm-Liouville en diferencias: muestreos finitos

{'j}Nj=1 biortogonal a {KN(·, $n)}N

n=1, tal que

f(t) =N!

n=1

bn'n(t) ,

y puesto que bn = +f, KN(·, $n), = f($n) se tiene el desarrollo muestral

f(t) =N!

n=1

f($n)'n(t) .

Lo anterior se puede aplicar al subespacio TN formado por las funciones deL2["1, 1] de la forma

f(t) =N!

n=0

cn(n +1

2)1/2Pn(t), cn ! C, n = 0, 1, . . . , N,

donde Pn(t) es el enesimo polinomio de Legendre. Concretamente, si f !TN y {$0, . . . , $N} $ ["1, 1] son las raıces del polinomio PN+1(t)+CPN (t)(C > 0), entonces:

f($) = (N + 1)N!

n=0

f($n)PN+1($n)PN ($) " PN ($n)PN+1($)

($ " $n)0N

j=0 (2j + 1)|Pj($n)|2,

donde se ha utilizado la formula de Christo$el–Darboux y que la sucesion{(n + 1

2 )1/2Pn(t)}!n=0 es una base ortonormal de L2["1, 1].El problema del muestreo finito es similar al de aproximar una funcion

f ! L2p[0, T ] mediante el polinomio trigonometrico

0N/2"1n="N/2 cne2"nit/T .

Los coeficientes (cn)N/2"1n="N/2 se calculan mediante la transformada discreta

de Fourier de longitud N , DFTN , a partir de las muestras {f( kN T )}N"1

k=0de la funcion. Desde el punto de vista de la eficiencia computacional, elproblema radica en disponer de un algoritmo rapido para calcular los coe-

ficientes (cn)N/2"1n="N/2 a partir de las muestras de la funcion, tal como ocurre

con la FFTN .En este capıtulo, a partir de dos versiones discretas del Lema de Kramer,

se obtienen teoremas de muestreo asociados a problemas en diferencias desegundo orden, tanto en el caso autoadjunto como en el general. Comocasos particulares se recuperan los resultados conocidos de muestreo finitoen el caso unidimensional. Al final del capıtulo, siguiendo una idea de [84],se sugiere una posible aplicacion de los resultados obtenidos.

4.2 Lema de Kramer discreto 93

4.2 Lema de Kramer discreto

Dado X $ Z, y "(n) una sucesion con "(n) > 0 para n ! N0, sea %2(X ; ") elespacio de Hilbert de las sucesiones {y(n)}n$X dotado del producto interno

+y, z,+2(X;!) =!

n$X

"(n)y(n)z(n).

Teorema 4.1 (Lema de Kramer discreto) Sean X $ Z, finito o in-finito, " : X ) R aplicacion tal que "(n) > 0 para cada n ! X yK(n, $) ! %2(X ; ") para cada $ ! D $ C.Supongamos que existe {$n}n$S)X $ D tal que {K(·, $n)}n$S sea unabase ortogonal de %2(X ; "). Entonces si

f($) =!

n$X

"(n)g(n)K(n, $) (4.1)

con g ! %2(X ; "), f se puede recuperar a partir de sus valores en el conjunto{$n}n$S mediante:

f($) = limN'!

!

|n|!Nn$S

f($n)Wn($), (4.2)

donde

Wn($) = *K(·, $n)*"2+2(X;!)

!

m$X

"(m)K(m, $n)K(m, $),

siendo la convergencia absoluta, y uniforme en los subconjuntos de D enlos que *K(·, $)*+2(X;!) este acotada. #

Demostracion. Sea !n.= *K(·, $n)*2

+2(X;!), entonces {!"1/2n K(·, $n)}n$S

es una base ortonormal del espacio %2(X ; "). Utilizando la identidad deParseval obtenemos para cada g ! %2(X ; "):

+g, K(·, $), =!

n$S

+g, !"1/2n K(·, $n),+K(·, $), !"1/2

n K(·, $n),, 1$ ! D.(4.3)

La igualdad anterior prueba (4.2), pues

Wn($) = !"1n +K(·, $), K(·, $n),,

f($n) = +g, K(·, $n),.

La convergencia de (4.2) es absoluta pues por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos:

' !

|n|!Nn$S

....f($n)Wn($)

....

(2

"

' !

|n|!Nn$S

!"1n |f($n)|2

(' !

|n|!Nn$S

!n|Wn($)|2(

.


La convergencia de las series anteriores esta garantizada pues {!"1/2n f($n)}

son los coeficientes de Fourier de g y {!1/2n Wn($)} los de K(·, $) respecto

de la base ortonormal {!"1/2n K(·, $n)}n$S. La convergencia uniforme sobre

los subconjuntos de D en los cuales *K(·, $)*+2(X;!) este acotada se obtienede la siguiente desigualdad:....f($) "

!

|n|!Nn$S

f($n)Wn($)

.... "

DDDDg "!

|n|!Nn$S

f($n)!"1n K(·, $n)

DDDD*K(·, $)*,

donde hay que tener en cuenta queDDDDg "

!

|n|!Nn$S

f($n)!"1n K(·, $n)

DDDD """")N'!

0,

puesto que {!"1/2n f($n)} son los coeficientes de Fourier de g respecto de la

base {!"1/2n K(·, $n)}n$S . $

Cuando X es finito el Lema de Kramer discreto puede interpretarse delsiguiente modo: {K(n, ·)}n$X es base del espacio vectorial sobre C

BX = {f : D ) C | f($) =!

n$X

"(n)g(n)K(n, $) con g ! %2(X ; ")}.

El problema de reconstruir una funcion f ! BX a partir de sus muestras{f($n)}n$X , se reduce a encontrar una base de BX respecto de la cual ftenga como coordenadas dichas muestras.Para todo elemento de µ0 ! D la funcion evaluacion

Eµ0: BX ") C

f 7) f(µ0)

pertenece al espacio dual de BX , B*X . Ademas como {K(n, ·)}n$X es base

de BX y Eµ(K(n, ·)) = K(n, µ), si {K(·, $n)}n$X es base de %2(X ; ")(espacio isomorfo a B*

X) se tiene que {E'n}n$X es base de B*X . La base de

BX respecto de la cual las coordenadas de f ! BX sean {f($n)}n$X sera labase dual de {E'n}n$X . Esta base es precisamente {Wn(·)}n$X pues parai, j ! X se tiene

E'i(Wj(·)) = *K(·, $j)*"2+2(X;!)

!

m$X

"(m)K(m, $j)K(m, $i) = !ij

al ser {K(·, $n)}n$X base ortogonal de %2(X ; ").Un ejemplo de lo que acabamos de decir es el caso comentado en la in-troduccion del capıtulo. Aquı X = {0, . . . , M}, BX es el espacio de los


polinomios de grado menor o igual que M y K(n, $) = Pn($). Si C > 0y {$0, . . . , $M} son las raıces del polinomio PM+1 + CPM , se obtiene que{K(·, $i)}M

i=0 es una base ortogonal de %2(X ; ") y, siguiendo el razonamien-to anterior, la base dual de {E'i}M

i=0 es la obtenida por la evaluacion delnucleo reproductor de BX en los puntos {$0, . . . , $M} tal como ya habıamosvisto.El Teorema 4.1 ademas de dar una nueva interpretacion a resultados yaconocidos cuando X es finito, es tambien valido cuando X es infinito comopondremos de manifiesto a continuacion con un ejemplo.

Ejemplos.

1. Formula interpolatoria de Cauchy.Consideremos el problema en diferencias

y(n + 1) = $y(n), n = "N, . . . , N ; (4.4)

y("N) = y(N + 1) = 1. (4.5)

Las soluciones de (4.4)–(4.5) tienen que ser de la forma {$n+N}Nn="N

con $2N+1 = 1, es decir, las soluciones de (4.4)–(4.5) son las sucesio-nes {'r(n)}N

n="N , r ! {0, . . . , 2N} con

'r(n) = e2!i

2N+1(n+N)r.

Es inmediato comprobar que {'r(·)}2Nr=0 es una base ortogonal del

espacio %2("N, N) 4 C2N+1 [5, pg. 26], Por tanto, el conjunto

&'*

r(·))2N

r=0

.=

&e"

2!i2N+1

Nr'r(·))2N

r=0

,

es tambien una base ortogonal de %2("N, N).Sea K(n, t)

.= eint con t ! R. Teniendo en cuenta lo anterior, K(n, t)

verifica las condiciones del Teorema 4.1 para tr.= 2"r

2N+1 , "N " r " N

por lo que todo polinomio trigonometrico p(t) =0N

n="N cneint sepuede escribir como

p(t) =N!

n="N

p(tn)+K(·, tn), K(·, t),+2(N,"N)

*K(·, tn)*2+2("N,N)

=1

2N + 1

N!

n="N

'p(tn)(

N!

j="N

eijte"ijtn)

(

=1

2N + 1

N!

n="N

p(tn)sin 1

2 (2N + 1)(t " tn)

sin 12 (t " tn)

.

(4.6)


2. Un ejemplo con X infinitoConsideremos el problema en diferencias

yn+1 =1 + i$cn

1 " i$cnyn, n = 0, 1, . . . (4.7)

y0 = 1 (4.8)

donde Re cn > 0. Es facil probar que si D.= C " {" i

cn}!n=0 entonces

para cada n ! N0.= N 3 {0} y cada $ ! D,

yn($) =n"1-

p=0

1 + i$cp

1 " i$cp. (4.9)

{" icp}n"1

p=0 es el conjunto de polos de la funcion meromorfa yn($).

En lo que sigue supondremos que se verifican las condiciones

i) limn'! cn = 0,

ii)0!

n=0 an < %.

donde an.= cn + cn = 2 Re cn > 0.

Con estas hipotesis se verifica ([5, pag. 58 y ss.]) que

y!($).= lim

n'!yn($)

es una funcion meromorfa con polos {"i

cn}!n=0 y ceros {

i

cn}!n=0.

Ademas, para cada $ ! D se cumple {yn($)} ! %2(0,%; an), esto es:

!!

n=0

an|yn($)|2 < %.

Sea 3n($).= (1 " i$cn)"1yn($). Como consecuencia de i) tenemos

que para cada $ ! D la sucesion {3n($)} esta en %2(0,%; an). Parapoder aplicar el Lema de Kramer discreto al problema propuesto esnecesario definir, en este caso, el concepto de autovalor tal como haceAtkinson en [5]. Para + ! R (fijo) diremos que µ ! D es un autovalordel problema (4.7)-(4.8) si

y!(µ) = ei*. (4.10)

Si ademas se verifica

limr'+!

y!(ir) = ei* (4.11)

y

limr'+!

"r2y#!(ir)

iy!(ir)=

1

,, (4.12)


para algun , > 0, entonces diremos que ! es un autovalor.En [5] se prueba que el conjunto de autovalores finitos del problemaes numerable y real. Sea A este conjunto con la posible inclusion delautovalor !, entonces

A = {$r}!r=0 ,

donde si ! es autovalor lo denotaremos por $0.

Tambien se prueba en [5] que {3n($r)}!n=0, r = 1, 2..., es una baseortogonal de %2(0,%; an), si ! no es autovalor. Si ! es autovalor,una base ortogonal de %2(0,%; an) es {3n($r)}!n=0 3 {3n}!n=0, r =1, 2..., donde 3n se define como

3n.= lim

''!i$3n($),

verificandose

*3n*2+2(0,!;an) = ,"1.

Despues de estos resultados preliminares, ya estamos en condicionesde aplicar el Lema de Kramer discreto. Para ello distinguiremos doscasos:

Caso 1. Supongamos que ! no es un autovalor. Sea

K1(n, $) : N0 . D ) C (4.13)

(n, $) ) 3n($). (4.14)

Si

f($) =!!

n=0

ang(n)K1(n, $); $ ! D,

donde g ! %2(0,%; an), f se puede reconstruir mediante la si-guiente formula

f($) =!!

r=1

f($r)+3n($), 3n($r),+2(0,!;an)

*3n($r)*2+2(0,!;an)

.

Caso 2. Supongamos ahora que ! es un autovalor del problema. Sea

K2(n, $) : N0 . (D 3 {" ic0}) ") C

(n, $) ")

*3n($) si $ ! D,

3n si $ = " ic0


(se ha utilizado el polo " ic0

para incluir en la definicion el auto-valor !). Si

f($) =!!

n=0

ang(n)K2(n, $); $ ! D 3 {"i

c0},

donde g ! %2(0,%; an), f se puede reconstruir mediante la si-guiente formula

f($) =!!

r=1

f($r)+K2(n, $), 3n($r),+2(0,!;an)

*3n($r)*2+2(0,!;an)

+

f("i

c0)+K2(n, $), 3n,+2(0,!;an)

*3n*2+2(0,!;an)

.

3. Otra aproximacion al espacio de Paley-Wiener PW".Si K(n, $) = sen "('"n)

"('"n) , consideremos el espacio de Hilbert

H .= {f : C ) C | 2{af

n} ! %2(Z) tal que f(z) =!

n$Z

afnK(n, z)}

(4.15)


+f, g,H.= +af

n, agn,+2(Z)

Puesto que |K(n, $)| " #"1|$ " n|"1, se tiene

|f($)|2 " *afn*2

+2(Z)

DDDD1

#($ " n)

DDDD2

+2(Z)

< %, si $ /! Z.

Si $ = m ! Z, f(m) = afm. Por tanto, las funciones de H estan bien

definidas. Por otra parte, {K(·, m)}m$Z es una base ortonormal de%2(Z) pues

K(n, m) = !n,m. (4.16)

Aplicando el Teorema 4.1 tenemos que, para cada f ! H,

f($) =!

m$Z

f(m)Wm($),

con

Wn($) =!

m$Z

sen #(n " m)

#(n " m)

sen#($ " m)

#($ " m)=

sen#($ " n)

#($ " n)= K(n, $).

(4.17)

4.3 Problemas finitos de Sturm-Liouville en diferencias 99

Veamos que la convergencia de la serie

!

n$Z

f(n)sen #($ " n)

#($ " n)(4.18)

es uniforme en R. Sea $ ! R, los coeficientes de Fourier de ei't respec-to de la base ortogonal de L2["#, #] {eint}n$Z son { sen"('"n)

"('"n) }n$Z,por lo tanto aplicando la identidad de Parseval tenemos

2# = *ei't*2L2["","] = 2#

!

n$Z

....sen #($ " n)

#($ " n)

....2

. (4.19)

Luego

!

n$Z

....sen #($ " n)

#($ " n)

....2

= 1,

es decir, *K(·, $)*+2(Z) esta acotado en R y el resultado se deduce delLema de Kramer discreto.

El Lema de Kramer discreto tambien es de utilidad para reconstruir fun-ciones, que se definen a partir de ciertas soluciones de problemas finitos deSturm-Liouville en diferencias, mediante sus valores en los autovalores delproblema.

4.3 Problemas finitos de Sturm-Liouville endiferencias

Consideremos el siguiente problema en diferencias

&[p(n)#y(n)] + q(n)y(n) = $"(n)y(n), n ! X, (4.20)

y("1) + hy(0) = 0 (4.21)

y(M + 1) + ky(M) = 0 (4.22)

donde

1. X = {0, 1, . . . , M},

2. #y(n) = y(n + 1) " y(n) y &y(n) = y(n) " y(n " 1), son respectiva-mente los operadores forward y backward en diferencias,

3. p(n) > 0, 1n ! X y p("1) ! 0,

4. "(n) > 0, 1n ! X ,


5. h, k ! R

Sea %2(X ; ") el espacio de Hilbert de las M + 1-tuplas'

y(0), . . . , y(M)

(! C

M+1


+y, z,+2(X;!) =M!

n=0

"(n)y(n)z(n).

Seguidamente, definimos las soluciones del problema con las que construi-remos el nucleo K(n, $) que aparece en el Lema de Kramer discreto.

Definicion 4.1 Sea *(n, $) la solucion de (4.20) verificando:*

*("1, $) = + -= 0 *(0, $) = "*h si h -= 0

*("1, $) = 0 *(0, $) = , -= 0 si h = 0

En la referencia clasica [5, Capıtulo 4], se prueba que *(n, $) es un polino-mio en $ de grado n, ademas, para todo numero real C el polinomio

*(M + 1, $) + C*(M, $)

tiene M + 1 raıces reales simples {$0, . . . , $M}. Estas raıces son precisa-mente los autovalores del problema, siendo el sistema

{(*(0, $i), . . . , *(M, $i))}Mi=0

una base ortogonal del espacio %2(X ; "); ademas, para cada r ! X

**(·, $r)*+2(X;!) = p(M)*(M, $r)[*#(M + 1, $r) + k*#(M, $r)]

(4.23)

El siguiente lema que tambien se puede encontrar en [5, pag. 98] remite ala formula de Christo$el-Darboux

Lema 4.1 Sean y(n) y z(n) soluciones de:

&[p(n)#y(n)] + q(n)y(n) = $"(n)y(n), n ! {0, . . . , M}&[p(n)#y(n)] + q(n)y(n) = µ"(n)y(n), n ! {0, . . . , M}

respectivamente, verificando ambas la condicion (4.21). Entonces:

($ " µ)M!

n=0

"(n)y(n)z(n) = p(M)[y(M + 1)z(M) " y(M)z(M + 1)].(4.24)

#

4.3 Problemas finitos de Sturm-Liouville en diferencias 101

Conocidos estos resultados previos estamos ya en disposicion de aplicar elTeorema 4.1 a problemas de Sturm–Liouville en diferencias finitas.

Teorema 4.2 Toda funcion f de la forma

f($) =M!

n=0

"(n)u(n)*(n, $),

con u ! %2(X ; ") puede reconstruirse a partir de sus valores en las raıces{$0, . . . , $M} del polinomio de grado M + 1 en $

*(M + 1) + C*(M), C ! R,

mediante la siguiente formula:

f($) =M!

n=0

f($n)p(M)

<*(M, $n)*(M + 1, $) " *(M + 1, $n)*(M, $)

22n($ " $n)

=(4.25)

donde 2n = **(·, $n)*+2(M ;!).#

Demostracion. Basta con aplicar el Teorema 4.1 con K(n, $).= *(n, $)

y tener en cuenta la formula de Christo$el-Darboux. $

Ejemplos.

1. Muestreo finito asociado a los polinomios de Legendre.Los polinomios de Legendre, Pn($) verifican la siguiente relacion derecurrencia a tres terminos:

(n + 1)Pn+1 = (2n + 1)$Pn " nPn"1, n ! 0,(4.26)

con las condiciones iniciales

P"1($) = 0, P0($) = 1.

En este caso, la ecuacion (4.26) es analoga a la ecuacion (4.20) conp(n) = n + 1, "(n) = 2n + 1 y q(n) = 2n + 1. Fijemos C ! R y sean{$0, . . . , $M} las raıces del polinomio PM+1($) + CPM ($). Sea

K(n, $).= Pn($).

Por el Teorema 4.2, si

f($) =M!

n=0

(2n + 1)cnPn($), $ ! C


entonces

f($)=(M + 1)M!

n=0

f($n)PM+1($n)PM ($) " PM ($n)PM+1($)

($ " $n)0M

j=0 (2j + 1)|Pj($n)|2 (4.27)

y de (4.27) y (4.23) obtenemos la conocida formula

f($)=M!

n=0

f($n)PM+1($n)PM ($) " PM ($n)PM+1($)

($ " $n)PM ($n)[P #M+1($n) + CP #

M ($n)].(4.28)

2. Muestreo finito asociado a los polinomios de Chebyschev desegunda especie.Podemos repetir el argumento del ejemplo anterior ya que los po-linomios de Chebyschev tambien se pueden obtener a partir de unproblema de Sturm–Liouville discreto escrito en forma autoadjunta.Concretamente, los polinomios de Chebyschev de segunda especie,Un($), verifican:

Un+1 = 2$Un " Un"1, n ! 0, (4.29)

con las condiciones iniciales

U"1($) = 0, U0($) = 1.

Por lo tanto si f($) =0M

n=0 2cnUn($) =0M

n=0 dnUn($) repitiendolos pasos del ejemplo anterior, obtenemos

f($) =M!

n=0

f($n)UM+1($n)UM ($) " UM ($n)UM+1($)

2($ " $n)0M

j=0 |Uj($n)|2

donde {$0, . . . , $M} son las raıces del polinomio UM+1($)+ CUM ($)con C ! R.

4.4 Caso no autoadjunto

En general, dada una familia de polinomios ortogonales {Qn($)} que veri-fique una relacion de recurrencia a tres terminos

p(n)Qn+1($) = (,(n) + $"(n))Qn($) " p(n " 1)Qn"1($)(4.30)

Q"1($) = 0 (4.31)

Q0($) = 1 (4.32)

4.4 Caso no autoadjunto 103

siendo p(n) > 0 para n > 0, p("1) ! 0 y "(n) > 0 para n > 0, se puedeextraer un desarrollo del tipo (4.27). Concretamente si {$0, . . . , $M} sonlas raıces del polinomio QM+1($) + CQM ($) con C ! R entonces si

f($) =M!

n=0

"(n)cnQn($) =M!

n=0

dnQn($)

se tiene

f($) = p(M)M!

n=0

f($n)QM+1($n)QM ($) " QM ($n)QM+1($)

($ " $n)0M

j=0 "(n)|Qj($n)|2

Hay, sin embargo, familias de polinomios ortogonales que no estan definidaspor una ecuacion en diferencias de la forma (4.30); por ejemplo, la familiade polinomios de Hermite, {Hn(x)}, que verifica la relacion de recurrencia

Hn+1(x) = 2xHn(x) " 2nHn"1(x).

A continuacion probaremos un teorema para obtener resultados parecidosa los anteriores con ecuaciones en diferencias no escritas en forma autoad-junta. Para ello necesitamos la siguiente version biortogonal del Lema deKramer discreto.

Teorema 4.3 Sean X $ Z, " : X ) R aplicacion tal que para cadan ! X, "(n) > 0 y sean

K(n, $), K*(n, $) ! %2(X ; "), para cada $ ! D $ C.

Supongamos que existen {$n}n$S)X , {$*n}n$S)X $ D tales que si

0n(m).= K(m, $n), 0*

n(m).= K*(m, $*

n)

se verifica que {0n, 0*n}n$S es un sistema biortogonal y {0n}n$S una base

de %2(X ; "). Si

f($) =!

n$X

"(n)g(n)K(n, $) (4.33)

con g ! %2(X ; "), f se puede recuperar a partir de sus valores en el conjunto{$n}n$S mediante:

f($) = limN'!

!

|n|!Nn$S

f($n)Wn($) (4.34)

donde

Wn($) = 2"1n

!

m$X

"(m)0*n(m)K(m, $)


y

2n.=

!

m$X

"(m)0*n(m)0n(m).

De manera dual, si

f($).=

!

n$X

"(n)l(n)K*(n, $) (4.35)

con l ! %2(X ; "), f se puede recuperar a partir de sus valores en el conjunto{$*

n}n$S mediante:

f($) = limN'!

!

|n|!Nn$S

f($*n)W *

n($), (4.36)

donde

W *n($) = (2n)"1

!

m$X

"(m)0n(m)K*(m, $).

La serie (4.34) converge uniformemente sobre los subconjuntos de D en losque *K(·, $)*+2(X;!) este acotada. Analogamente la serie “dual”(4.36) con-verge uniformemente en los subconjuntos de D en los que *K*(·, $)*+2(X;!)

este acotada.#

Demostracion. Demostraremos (4.34) ya que (4.36) se prueba de formasimilar.Al ser {0n, 0*

n} un sistema biortogonal tenemos:

g(m) =!

n$S

+g, (2n)"1/20n,2"1/2n 0*

n(m),

K(m, $) =!

n$S

+K(·, $), 2"1/2n 0*

n,(2n)"1/20n(m),

y por lo tanto

+g, K(·, $), =!

n$S

2"1n +g, K(·, $),+K(·, $), 0*

n),, (4.37)

para cada $ ! D. La relacion (4.37) prueba (4.34), pues

Wn($) = 2"1n +K(·, $), 0*

n,,f($n) = +g, K(·, $n),.


La convergencia uniforme sobre los subconjuntos de D en los que se verificaque *K(·, $)*+2(X;!) este acotada, se extrae de la siguiente desigualdad:....f($) "

!

|n|!Nn$S

f($n)Wn($)

.... "

DDDDg "!

|n|!Nn$S

f($n)2"1n K*(·, $*

n)

DDDD*K(·, $)*,

donde hay que tener en cuenta queDDDDg "

!

|n|!Nn$S

f($n)2"1n K*(·, $*

n)

DDDD """")N'!

0,

puesto que

g(m) =!

n$S

+g, 0n,2"1n 0*

n(m) =!

n$S

f($n)2"1n 0*

n(m).

$

Consideremos el siguiente problema en diferencias

!(n)yn+1 = (,(n) + $+(n))yn " -(n)yn"1; 0 " n " M, $ ! C,(4.38)

y"1 + hy0 = 0; h ! R (4.39)

donde !(n), -(n) son sucesiones que verifican:

1. !(n) -= 0; 0 " n " M ,

2. -(n) -= 0; 1 " n " M + 1,

3. sgn !(n) = sgn -(n + 1); 0 " n " M

y +(n) > 0, 0 " n " M . Se define !("1) = -(0).Tal como ocurrıa en los problemas de Sturm-Liouville, es facil demostrarpor induccion que si yn($) verifica (4.38) y (4.39) con y0 = c -= 0, yn($) esun polinomio en $ de grado n. Basandonos en la ecuacion (4.38) podemosdefinir un operador, L, del siguiente modo

L : DL $ %2("1, M + 1; +) ") CM+1

y 7") L(y)

donde

DL = {y ! %2("1, M + 1; +) | y"1 + hy0 = 0, yM+1 + kyM = 0}, h, k ! R

(4.40)

y

(Ly)(n) =!(n)yn+1 " ,(n)yn + -(n)yn"1

+(n), n = 0, 1, . . . , M.

(4.41)


Asociado al operador L, tenemos su operador adjunto, L*

L* : DL$ $ %2("1, M + 1; +) ") CM+1

y 7") L*(y)

siendo

DL$ = {y* ! %2("1, M + 1; +) |y*"1 + hy*

0 = 0,

y*M+1 + k

!(M)

-(M + 1)y*

M = 0} (4.42)

donde

(L*y*)(n) =-(n + 1)y*

n+1 " ,(n)y*n + !(n " 1)y*

n"1

+(n), n = 0, 1, . . . , M.

(4.43)

Tanto DL como DL$ son subespacios de CM+3 de dimension M + 1. Masconcretamente las aplicaciones

i : DL ") CM+1

y = (y"1, . . . , yM+1) 7") (y0, . . . , yM )

i* : DL$ ") CM+1

y* = (y*"1, . . . , y

*M+1) 7") (y*

0 , . . . , y*M )

son isomorfismos entre espacios vectoriales. Con la ayuda de estos isomor-fismos podemos definir

+z, z*,+2(0,M ;*).= +z, i*(z*),+2(0,M ;*)

+y, z,+2(0,M ;*).= +i(y), z,+2(0,M ;*)

para cada z ! CM+1, z* ! DL$ e y ! DL. Si consideramos los problemasde autovalores

Ly = $y, (4.44)

L*z* = $z*, (4.45)

estamos en disposicion de probar la siguiente proposicion.

Proposicion 4.1 Si z* ! DL$ e y ! DL se verifica:

+Ly, z*,+2(0,M,*) = +y, L*z*,+2(0,M,*). (4.46)

#


Demostracion. Sean z* ! DL$ e y ! DL, entonces:

+Ly, z*,+2(0,M,*) " +y, L*z*,+2(0,M,*)

es igual a

M!

n=0

(!(n)yn+1 " ,(n)yn + -(n)yn"1)z*n "

M!

n=0

yn(-(n + 1)z*n+1 " ,(n)z*n + !(n " 1)z*n"1) =

M!

n=0

(!(n)yn+1z*n + -(n)yn"1z*n) "

M!

n=0

(!(n " 1)ynz*n"1 + -(n + 1)ynz*n+1). (4.47)

Agrupando terminos en (4.47) obtenemos

M!

n=0

(!(n)yn+1z*n " !(n " 1)ynz*n"1) +

M!

n=0

(-(n)yn"1z*n " -(n + 1)ynz*n+1), (4.48)

simplificando en (4.48),

'-(0)y"1z*0 " !("1)y0z*"1

(+

'!(M)yM+1z*M " -(M + 1)yMz*M+1

((4.49)

y teniendo en cuenta que

yM+1 + kyM = 0,

y"1 + hy0 = 0,

z*"1 + hz*0 = 0,

y

z*M+1 + k!(M)

-(M + 1)z*M = 0,

de (4.49) se obtiene finalmente que


+Ly, z*,+2(0,M,*) " +y, L*z*,+2(0,M,*) = 0.

$

Sea yn($) la solucion de (4.38)-(4.39) con y0 = 1; analogamente seaz*n($) la solucion del problema en diferencias adjunto con z*0 = 1. Puestoque yM+1($)+kyM ($) es un polinomio de grado M +1, el operador L tieneM + 1 autovalores que, como veremos mas adelante, son reales y simples.Denominemos a estos autovalores, o a las raıces del polinomio yM+1 +kyM ,$0, . . . , $M . En efecto, tal como se prueba en [54, pag. 77], existen sucesiones

• "(n) =n"1-

i=0

!(i)

-(i + 1)> 0

• p(n " 1) = "(n)-(n); 0 " n " M + 1

y q(n) tales que 1y ! DL

"(n)+(n)(Ly)(n) = &[p(n)#yn] + q(n)yn,

y ası el problema de autovalores (4.44) es equivalente a este otro, que aun-que no de Sturm-Liouville (p(n) no tiene que ser positivo para 0 " n " M),esta ya en forma autoadjunta

&[p(n)#yn] + q(n)yn = ("(n)+(n))$yn.

Tambien en este caso y tal como ocurrıa en los problemas finitos de Sturm-Liouville, el polinomio yM+1 +kyM tiene M +1 raıces reales simples; bastacon repetir la demostracion teniendo en cuenta ahora que p(n) -= 0 paran ! 0.Si {$0, . . . , $M} son reales, entonces, por la Proposicion 4.1, tenemos tam-bien que {$0, . . . , $M} son los autovalores de L* y por (4.46) si

Yi.=

'y0($i), . . . , yM ($i)

(, i = 0, . . . , M,

Z*i

.=

'z*0($i), . . . , z

*M ($i)

(, i = 0, . . . , M,

el sistema {Yi, Z*i } es biortogonal en %2(0, M ; +).

Sean K(n, $) = yn($) y K*(n, $) = z*n($). Ambos nucleos verifican lashipotesis del Teorema 4.3 y, por lo tanto, si

f($) =M!

n=0

+(n)g(n)K(n, $)


con g ! %2(0, M ; +) y M ! 0, entonces

f($) =M!

n=0

f($n)

'2"1

n

M!

m=0

+(m)K*(m, $n)K(m, $)

(,

(4.50)

donde

2n.=

M!

m=0

+(m)K*(m, $n)K(m, $n).

La expresion (4.50) se puede simplificar notablemente. Tal como hemosdemostrado el polinomio yM+1($) + kyM ($) tiene las mismas raıces que el

polinomio z*M+1($)+k /(M).(M+1)z

*M ($), para todo numero real k. En particu-

lar, puesto que M ! 0 es arbitrario, para cada N ! N los polinomios yN($)y z*N ($) tienen las mismas raıces y por lo tanto existe &N ! R tal que

z*N ($) = &NyN($); $ ! C.

El coeficiente principal del polinomio de grado N , yN ($) es igual a1N"1i=0 +(i)!(i)"1 mientras que el coeficiente principal del polinomio z*N($)

es1N"1

i=0 +(i)-(i + 1)"1, por lo tanto, para cada N ! N

&N =N"1-

i=0

!(i)

-(i + 1).

Si definimos &0.= 1, tenemos los siguientes corolarios

Corolario 4.1 Si

f($) =M!

n=0

+(n)g(n)yn($)


f($) =M!

n=0

f($n)

'0Mm=0 +(m)&mym($n)ym($)0M

m=0 +(m)&m|ym($n)|2

(. (4.51)

#

Tengase en cuenta que $i ! R y que por lo tanto ym($i) ! R para 0 " i "

M y m ! 0.

Corolario 4.2 Si

f($) =M!

n=0

+(n)g(n)z*n($)



f($) =M!

n=0

f($n)

'0Mm=0 +(m)&"1

m z*m($n)z*m($)0M

m=0 +(m)&"1m |z*m($n)|2

(. (4.52)

#

Ejemplos.

1. Muestreo asociado a los polinomios de Laguerre.Los polinomios de Laguerre satisfacen la ecuacion de recurrencia atres terminos

("1 " n)L*n+1($) = [$ " (2n + + + 1)]L*

n($) " ("+ " n)L*n"1($),

donde + > "1 y L*"1($) = 0, L*

0 ($) = 1. El problema adjunto,siguiendo lo anterior, es:

("n " 1 " +)Q*n+1($) = [$ " (2n + + + 1)]Q*

n($) + nQ*n"1($),

con Q*"1($) = 0 y Q*

0 ($) = 1. En este caso se tiene para cada n ! N0

Q*n($) =

' n-

i=1

i

(+ + i)

(L*

n($).

Por lo tanto si

f(x) =M!

n=0

g(n)L*n($)

y {$*0 , . . . , $*

M} son las raıces de L*M+1($) + CL*

M ($) (C ! R), por(4.51) obtenemos

f($) =M!

n=0

f($*n)

'0Mm=0 &mL*

m($*n)L*

m($)0M

m=0 &m|L*m($*

n)|2

(.

donde &m =1n

i=1i

(*+i) .

Si, en particular, + = 0 estamos en un problema autoadjunto y si lasraıces de L0

M+1($) son {$00, . . . , $

0M}, utilizando la formula de Chris-

to$el-Darboux tenemos

f($) = (M + 1)M!

n=0

f($0n)

' "L0M ($0

n)L0M+1($)

($ " $0n)0M

j=0 |L0j($

0n)|2

(.

2. Muestreo asociado a los polinomios de Hermite. Como ya seha apuntado anteriormente, los polinomios de Hermite verifican:

Hn+1($) = 2$Hn($) " 2nHn"1($),


con H"1($) = 0 y H0($) = 1.

Su ecuacion en diferencias “adjunta”es

(2n + 2)Qn+1($) = 2$Qn($) " Qn"1($),

con Q"1($) = 0 y Q0($) = 1. Para cada n ! N0 se tiene:

Qn($) =1

2nn!Hn($).

Ası, si

f($) =M!

n=0

g(n)Hn($)

y {$0, . . . , $M} son las raıces de HM+1($) + CHM ($) (C ! R), por(4.51) obtenemos

f($) =M!

n=0

f($n)

'0Mm=0 3mHm($n)Hm($)0M

m=0 3m|Hm($n)|2

(

donde 3m = 12mm! , m ! 0.

Los teoremas de muestreo obtenidos para problemas finitos de Sturm-Liouville en diferencias se han obtenido con ayuda del Lema de Kramerdiscreto. Seguidamente daremos una aproximacion diferente a estos teore-mas de muestreo.

Sean {$n}Mn=0 los autovalores del problema en diferencias (4.20) -(4.22)

y 2n = **(·, $n)*, 0 " n " M , las normas de las autofunciones.

Definicion 4.2 Sea

BM ={f ! F(C, C) | 2u ! %2(0, M ; ") tal que f($) = +u, *(·, $),+2(0,M ;!)}


+f, g,BM

.=

M!

n=0

2"2n f($n)g($n), para f, g ! BM .

El espacio BM coincide obviamente con el conjunto de los polinomios com-plejos de grado menor o igual que M en $.

Proposicion 4.2 La aplicacion

! : %2(0, M ; ") ") BM

u 7") +u, *(·, $),+2(0,M ;!)

es una isometrıa entre espacios euclıdeos M + 1 dimensionales. #


Demostracion. Para cada u ! %2(0, M ; ") se verifica

u(m) =M!

n=0

+u, *(·, $n),+2(0,M ;!)*(m, $n)

22n

.

Teniendo en cuenta que para cada i ! {0, . . . , M}, $i ! R y que por lotanto *(·, $n) = *(·, $n),

u(m) =M!

n=0

[!(u)]($n)*(m, $n)

22n

,

por lo que utilizando la identidad de Parseval

*u*2+2(0,M ;!) =

M!

n=0

|[!(u)]($n)|2

22n

= *!(u)*2BM

.

$

Esta isometrıa nos permite nos permite dar una nueva prueba del Teorema4.2

Teorema 4.4 Toda funcion f ! BM se puede reconstruir a partir de susvalores en los puntos {$0, . . . , $M} mediante la siguiente formula:

f($) =M!

n=0

f($n)p(M)[*(M, $n)*(M + 1, $) " *(M + 1, $n)*(M, $)

22n($ " $n)

]

(4.53)

#

Demostracion. Sea u ! %2(0, M ; ") tal que !(u) = f , entonces

u(·) =M!

n=0

[!(u)]($n)*(·, $n)

22n

.

Aplicando la isometrıa !,

[!(u)] =M!

n=0

[!(u)]($n)!(*(·, $n))

22n

.

Puesto que!(*(·, $n))

22n

=+*(·, $n), *(·, $),+2(0,M ;!)

22n

,

basta con recordar (4.24) para obtener el resultado. $

4.5 Aplicaciones 113

4.5 Aplicaciones

4.5.1 Problema inverso

Conocidos los valores de una funcion f en un conjunto de puntos

{$0, . . . , $M},

la clasica formula interpolatoria de Lagrange no nos proporciona, en gene-ral, una “buena aproximacion” a nuestra funcion f . Sin embargo, si los“polinomios”involucrados en las formulas muestrales tratadas en el capıtuloson densos en un cierto espacio L2

/ ponderado, la formula interpolatoriaobtenida sera una “aproximacion” en la norma cuadratica de dicho espa-cio. El problema se reduce , por tanto, a construir a partir de los puntos{$0, . . . , $M} un problema de Sturm–Liouville en diferencias finito que ten-ga precisamente esos autovalores, y que la ecuacion nos defina los primerospolinomios de una familia ortogonal en un cierto espacio L2

/[a, b], en el quesera densa. El siguiente teorema, resumen de algunos resultados en [5, pag.108 y ss.], establece que dado A .

= {$0, . . . , $M} $ R es posible encon-trar un problema de Sturm-Liouville en diferencias, finito, que tenga porautovalores precisamente los elementos del conjunto A.

Teorema 4.5 Sean

1. A .= {$0, . . . , $M} $ R,

2. {"(n)}Mn=0, con "(i) > 0, 1i = 0, . . . , M,

3. {4n}Mn=0, con 4i > 0, 1i = 0, . . . , M,

4. k ! R.

Entonces, existen sucesiones finitas {p(n)}Mn="1 y {b(n)}M

n=0 de numerosreales con p(i) > 0 para i = "1, . . . , M, tales que el problema en diferencias

p(n)yn+1 = (b(n) + $"(n))yn " p(n " 1)yn"1, n = 0, . . . , M,(4.54)

y"1 = 0, (y0 -= 0) (4.55)

yM+1 + kyM = 0 (4.56)

tiene a A como conjunto de autovalores y tal que si {yn($i)}Mn=0 es la

M + 1-upla asociada al autovalor $i con y0 = 1/p("1) entonces:

M!

n=0

"(n)|yn($i)|2 = 4i.

#


4.5.2 Diseno de filtros FIR con muestreo nouniforme

En este apartado sugerimos la aplicacion de las tecnicas estudiadas sobremuestreo finito al diseno de filtros digitales FIR (Finite Impulse Response)tal como se hace en [84] utilizando los polinomios de Laguerre. Considere-mos la respuesta en frecuencia de un filtro FIR

H(ei!T ) =M!

n=0

h(n)e"i!nT 4 H("), (4.57)

donde h(n) es la respuesta impulsional del filtro digital, T es el perıodo demuestreo y " la frecuencia medida en radianes por segundo. Para obtenerun diseno con fase lineal, la respuesta en frecuencia debe ser o bien simetricao bien antisimetrica sobre un punto medio a determinar. Para cada unode estos dos casos M puede ser par o impar [84]. Suponiendo un disenosimetrico con M par, tenemos

H(") =

M2"1!

n=0

"h(n)e"i!nT

#+ h

'M

2

(e"i! M

2T +

M!

n= M2

+1

"h(n)e"i!nT

#.

(4.58)

Considerando la simetrıa h(i) = h(M " i), i = 0, 1, . . . , M2 "1 obtenemos

H(") = e"i! M2

T

9:

;2

M2"1!

i=0

h(i) cos

<'M

2" i

("T

=+ h

'M

2

(EF

G.(4.59)

En el caso simetrico con M impar se obtiene

H(") =

M"12!

n=0

"h(n)e"i!nT

#+

M!

n= M+12

"h(n)e"i!nT

#

= e"i! M2

T 2

M"12!

i=0

2h(i) cos

<'M " 2i

2

("T

=.

(4.60)

En ambos casos la ecuaciones son de la forma

H(") = A(")e"i! M2

T

donde A(") es una funcion real de la variable " que depende de la respuestaimpulsional h(n) desconocida.

4.5 Aplicaciones 115

Si queremos disenar un filtro para el rango de frecuencias [0, #], sea{Pn}!n=0 una familia de polinomios ortogonales densa en L2

/[L#, L##] con

[0, #] $ [L#, L##]. Por lo tanto

A(") =!!

n=0

bnPn(")

en L2/[L

#, L##]. Consideremos la aproximacion

A(") =N!

n=0

bnPn(") .

Por el Teorema 4.2 tenemos que

A(") =N!

n=0

A(-n)Wn(") (4.61)

donde los puntos {-n}Nn=0 son las raıces del polinomio PN+1+CPN con C !

R y las funciones muestrales Wn(") estan determinadas por la expresion(4.25). Los valores A(-n) los podemos elegir dependiendo del filtro quequeramos disenar: filto paso-bajo, filtro pasa-banda, etc...

Los puntos {-n} dependen de la familia de polinomios escogida y del pa-rametro C. En [84] se utilizan los polinomios de Laguerre {L*

n}, esto obligaa un proceso de busqueda (teniendo como variables + y n) para encontrarel polinomio que tenga como raıces puntos adecuados a los requerimientosdel diseno.

Ciertamente, la localizacion de los puntos sobre los que realizar el mues-treo es crucial para obtener un diseno optimo que satisfaga a la vez losrequerimientos de mınima atenuacion y frecuencia de corte. Los resultadosobtenidos en las secciones 4.3 y 4.5.1 nos permiten facilitar el proceso.Partiendo de unos puntos muestrales que sean adecuados al problema, sepuede construir un problema de Sturm-Liouville discreto finito y, por lotanto, los N + 1 primeros terminos {Rn}N+1

n=0 de una familia de polinomiosortogonales. Se puede completar esta familia finita para obtener una familia{Rn}!n=0, cuyo intervalo de ortogonalidad contenga a [0, #], que sirva debase para la expresion (4.61).

5

PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE ENDIFERENCIAS: CASO INFINITO

5.1 Introduccion

En este capıtulo estudiamos teoremas de muestreo asociados a problemasde contorno discretos cuya ecuacion es de la forma

&[p(n)#y(n)] + q(n)y(n) = $y(n), n ! 0, (5.1)

con p("1) ! 0 y p(n) > 0 para n ! N0.Como en el caso continuo, el objetivo es encontrar un nucleo !(n, $),

n ! N0 y $ ! C, que nos defina una clase de funciones enteras

B =

*

f : C ") C | f($) =!!

n=0

an!(n, $), {an} ! %2(N0)

H

cuyos elementos se puedan recuperar a partir de la sucesion de sus valoresen los autovalores del problema, mediante una serie interpolatoria tipoLagrange.

Por lo tanto, comenzamos estudiando las condiciones bajo las cualesun problema de Sturm–Liouville en diferencias infinito, posee un espectrodiscreto y una sucesion ortogonal completa de autofunciones en %2(N0).

Si p("1) > 0, estamos en el analogo discreto del problema de Sturm–Liouville singular en la semirrecta. Utilizando la teorıa clasica de Weyl–Titchmarsh podemos clasificar la singularidad en el infinito dentro de lascategorıas punto y cırculo lımite. Ademas, si la funcion de Weyl m!($) esuna funcion meromorfa con polos simples en el eje real, estos son los auto-valores del problema, y de manera analoga al caso continuo, se construye elnucleo buscado. Concretamente, !(n, $) = P ($)*!(n, $) donde P ($) es elproducto canonico de la sucesion de autovalores y *!(n, $) es la solucion

118 Problema de Sturm-Liouville en diferencias: caso infinito

de la ecuacion (5.1) que pertenece a %2(N0) para $ ! C " R, dada por laconstruccion de Weyl–Titchmarsh. En este caso, el teorema de muestreoobtenido es completamente analogo al estudiado por Zayed [110, 111].

En el caso de que p("1) = 0, no es posible emplear la tecnica ante-rior pues, a lo mas, existe una unica solucion linealmente independientede la ecuacion en %2(N0). Por esta razon la clasificacion de la singularidaden el infinito la hacemos a partir de la teorıa de operadores buscando lascondiciones en las que la ecuacion (5.1) nos define un operador simetrico,densamente definido en %2(N0) con extension autoadjunta. De esta ma-nera llegamos a la clasificacion punto–cırculo lımite segun el numero desoluciones de la ecuacion (5.1) en %2(N0) para $ ! C " R. Esta construc-cion se podrıa haber seguido en el caso anterior. Optamos por la teorıa deWeyl–Titchmarsh debido a que, aunque se llega a resultados equivalentes,se obtiene explıcitamente el nucleo de la transformada discreta que nosdefinira la clase de funciones a recuperar mediante una serie interpolatoriatipo Lagrange. En el caso singular, en el supuesto de que el operador seainvertible con resolvente compacta, podemos aplicar los resultados que apa-recen al final del Capıtulo 2. En el caso particular de que la resolvente seaun operador del tipo Hilbert–Schmidt, el nucleo que nos definira la familiade funciones enteras recuperables a partir de los autovalores del problema,vendra dado por el nucleo resolvente del operador.

5.2 Preliminares

Sea ( la aplicacion definida sobre el conjunto de las sucesiones de numeroscomplejos {y("1), y(0), . . . , } mediante

((y)(n) = &[p(n)#y(n)] + q(n)y(n), si n ! 0, (5.2)

con p(m) > 0 si m ! N0 y p("1) ! 0. #, & son los operadores forwardy backward en diferencias definidos en el capıtulo anterior. Es interesanteobservar que &[p(n)#y(n)] = #[p(n" 1)#y(n" 1)], de donde la necesidadde tener definido y("1). El problema de Sturm-Liouville ligado a ( vienedado por la ecuacion en diferencias

((y)(n) = $"(n)y(n) (5.3)

y("1) + hy(0) = 0 (5.4)

donde "(n) > 0 para cada n ! N0 y $ ! C. Se puede suponer sin perdidade generalidad que "(n) 4 1, pues mediante el cambio de “variables”

>y(n) =5

"(n)y(n) (5.5)

>q(n) =1

5"(n)

(p(n) + p(n " 1) " q(n)) (5.6)

>p(n) =15"(n)

p(n)15

"(n + 1)(5.7)

5.2 Preliminares 119

se llega a la ecuacion en diferencias

&[>p(n)#>y(n)] + [>p(n) + >p(n " 1) +1

5"(n)

>q(n)]>y(n) = $>y(n).(5.8)

A lo largo de todo el capıtulo supondremos que "(n) 4 1. Si desarrollamosla ecuacion (5.2) obtenemos

((y)(n) = p(n)y(n + 1) + [q(n) " p(n) " p(n " 1)]y(n) + p(n " 1)y(n " 1),(5.9)

y, consecuentemente, (5.3) puede reescribirse como

p(n)y(n + 1) = [b(n) + $]y(n) " p(n " 1)y(n " 1) , (5.10)

donde b(n) = "q(n) + p(n) + p(n " 1).Vamos a recordar agunos resultados sobre ecuaciones en diferencias que

se necesitaran a lo largo del capıtulo.Sea y(n) una solucion del problema ((y)(n) = $y(n) y z(n) una solucion

de ((z)(n) = µz(n) verificando ambas la condicion de contorno u("1) +hu(0) = 0, con h ! R, entonces se verifica para cada n ! 0 la siguienteigualdad tipo Lagrange [54, pag. 13]

($ " µ)n!

i=0

y(i)z(i) = p(n)

....y(n + 1) y(n)z(n + 1) z(n)

.... . (5.11)

Dadas dos sucesiones de numeros complejos y(n) y z(n) con n ! "1 solu-ciones de ((u)(n) = $u(n) se verifica que la sucesion

W [y, z](n).= " p(n " 1)[y(n)#z(n " 1) " z(n)#y(n " 1)]

=p(n " 1)[y(n)z(n " 1) " z(n)y(n " 1)] (5.12)

es constante para n ! 0 [54, pag. 16]. La sucesion W [y, z](n), n ! 0,se denomina Casarotiano de las sucesiones y(n) y z(n), n ! "1. Delresultado anterior se deduce que si y(n) y z(n) son soluciones de ((u)(n) =$u(n) y W [y, z] 4 0 entonces existe a ! C tal que y(n) = az(n) para cadan ! "1 si p("1) > 0 y para n ! 0 si p("1) = 0.

El siguiente resultado, que es la identidad de Green en el caso discreto,sera de gran utilidad en lo que sigue

Lema 5.1 (([54])) Para cada y(n) y z(n) sucesiones complejas con n !

"1, y para cada m ! 0 se verifica

+(y, z,+2(0,m) " +y, (z,+2(0,m) = W [y, z](m + 1) " W [y, z](0) .(5.13)

#


Por la identidad de Lagrange, concluimos, que si

(u = $u ,

(z = $*z ,

entonces,

($ " $*)m!

n=0

u(n)z(n) = W [u, z](m + 1) " W [u, z](0),(5.14)

pues (z = $* z.Debido al diferente estudio que haremos segun p("1) > 0 o p("1) = 0

daremos la siguiente definicion.

Definicion 5.1 Diremos que ((y)(n) = $y(n) es regular (resp. singu-lar) cuando p("1) > 0 (resp. p("1) = 0).

5.3 Caso infinito regular

5.3.1 Resultados previos

Sean 11(·, $) y 12(·, $) soluciones de ((y)(n) = $y(n), verificando las con-diciones iniciales

11("1, $) = "1

p("1), 11(0, $) = 0

12("1, $) = 0 , 12(0, $) = 1.(5.15)

Las soluciones 11(·, $) y 12(·, $) son linealmente independientes verifican-dose para cada n ! 0

W [11(·, $), 12(·, $)](n) = 1 .

Casos tipo punto y cırculo lımite

Dados N ! N0 3 {"1}, h ! R y $ ! C " R sea

mN,h($).= "

11(N + 1, $) + h11(N, $)

12(N + 1, $) + h12(N, $). (5.16)

Se verifica que 11(n, $) + mN,h12(n, $) es solucion de

((u)(n) = $u(n), 0 " n " N

u(N + 1) + hu(N) = 0.

Si definimos la transformacion de Mobius SN,'(z) como

SN,'(z).= "

z11(N, $) + 11(N + 1, $)

z12(N, $) + 12(N + 1, $), (5.17)

5.3 Caso infinito regular 121

entonces ([22, pag. 47 y ss.]), SN,'(z) transforma R! = R 3 {%} en unacircunferencia (en el sentido amplio) de C!. Ademas, como

SN,'

'"12(N + 1, $)

12(N, $)

(= % , (5.18)

por el principio de simetrıa ([22, pag. 51]), se obtiene que el centro de estacircunferencia es

"W [11(·, $), 12(·, $)](N + 1)

W [12(·, $), 12(·, $)](N + 1).

De lo anterior se deduce que para N = "1, S"1,'(R!) = R! y si N !

0 entonces SN,'(R!) es una circunferencia en C, que denotaremos porC(N, $), de radio [5, pag. 127]

rN,' =

.....2 Im$

N!

n=0

|12(n, $)|2.....

"1

. (5.19)

Para fijar ideas supondremos en lo que sigue que Im$ > 0. En ese caso,se verifica que SN,'(C+) = D(N, $), siendo C+

.= {z ! C | Im z > 0}

y D(N, $) la region interior de C(N, $) (N ! 0). En efecto, basta conconsiderar (5.18) y que Im 12(n, $) > 0 si Im $ > 0.

Se puede probar por induccion [5, pag. 126] que para N ! 0

C(N + 1, $) $ D(N, $) .

Al estar las circunferencias C(M, $) encajadas, o bien se contraen en unpunto interior a todas ellas, o bien tienden a una circunferencia lımite. Encualquier caso, llamaremos C(%, $) a este lugar lımite.

Por (5.19) sabemos que el radio de la circunferencia C(N, $) tiende acero si y solo si, la serie

0!n=0 |12(n, $)|2 diverge. El siguiente teorema

profundiza sobre lo anterior [5, pag. 127]

Teorema 5.1 Si Im $ > 0 se tiene

limN'!

rN,' > 0 0 11(·, $) , 12(·, $) ! %2(0,%) .

Ademas, las series0!

n=0 |1i(n, $)|2 (i = 1, 2) tienen el mismo caracter.#

Como consecuencia de este Teorema podemos concluir que si las circunfe-rencias C(N, $) se contraen a una circunferencia de radio positivo, entoncestodas las soluciones de (5.3) para Im$ > 0 pertenecen a %2(0,%).

El caso de que C(%, $) sea un punto e Im$ > 0, tambien se puedeasegurar la existencia de soluciones pertenecientes a %2(0,%).

Sea, en cualquier caso, m!($) ! C(%, $). Se verifica el siguiente resul-tado.


Teorema 5.2 ([54]) La sucesion

*!(n, $) = 11(n, $) + m!($)12(n, $) (5.20)

pertenece a %2(0,%) y

**!(·, $)*2+2(0,!) " "

Im m!($)

Im $

lo que implica que si Im $ > 0 entonces Im m!($) < 0.Ademas, para cada $, $# ! C " R se verifica

limN'!

W [*!(·, $), *!(·, $#)](N + 1) = W [*!(·, $), *!(·, $#)](%) = 0

#

Si m!($) ! C(%, $), existe una sucesion de numeros reales hN tales que

limN'!

mN,hN ($) = m!($).

Si ademas, limN'! rN,' = 0, el lımite anterior es independiente de lasucesion hN y por lo tanto

m!($) = " limN'!

11(N + 1, $)

12(N + 1, $).

En todo lo anterior hemos supuesto que Im$ > 0. Para Im$ < 0 se puedehacer un estudio analogo. El problema ((y)(n) = $y(n) se encontrara, portanto, en uno de los dos casos especificados en la siguiente definicion.

Definicion 5.2 (Casos punto lımite y cırculo lımite) Sea $ ! C"R. Diremos que estamos en el caso punto lımite si limN'! rN,' = 0y, en ese caso, la sucesion definida en (5.20) es la unica solucion (salvomultiplos) que pertenece a %2(0,%).

Diremos que estamos en el caso tipo cırculo lımite si limN'! rN,' >0 y, en ese caso, todas las soluciones de ((y)(n) = $y(n) pertenecen a%2(0,%).

El siguiente resultado pone de manifiesto que el problema (5.3) seracırculo lımite o punto lımite independientemente del complejo $ elegido, esdecir, el estar en un caso u otro es una propiedad intrınseca del operador( .

Teorema 5.3 ([54]) Si se verifica que C(%, $) es una circunferencia deradio positivo para un $ ! C " R, entonces C(%, µ) es una circunferenciade radio positivo para cada µ ! C.

#


Resumiendo todo lo anterior, o bien el problema (5.3) es cırculo lımitepara cada $ ! C y tiene dos soluciones linealmente independientes perte-necientes a %2(0,%), o bien es punto lımite y solo tiene una solucion (salvomultiplos) perteneciente a %2(0,%) para cada $ ! C"R. En el caso puntolımite si $ ! R el problema ((y)(n) = $y(n) tiene a lo mas una solucionperteneciente a %2(0,%).

Existen condiciones suficientes para saber cuando un problema de Sturm-Liouville en diferencias infinito es cırculo lımite o punto lımite.

Teorema 5.4 Sea M(n) una sucesion de numeros positivos y supongamosque existen N ! N y K1, K2 > 0 tales que para cada n ! N se verifica

i) q(n) " K1M(n),

ii)

....p(n " 1)1/2&M(n)

M(n)1/2M(n " 1)

.... " K2,

iii)!!

n=N

[p(n " 1)M(n)]"1/2 = %.

Entonces el problema ((y)(n) = $y(n) es punto lımite.#

En el criterio anterior, debido a Mingarelli [74], exige, para poder ser uti-lizado que "(n) 4 1. Los siguientes criterios se aplican en el caso general.

Teorema 5.5 ([5]) Si las series0!

n=0 "(n),0!

n=0 |q(n)|,0!

n=0 [p(n)]"1

y0!

n=0|q(n)|

p(n"1) convergen, entonces el problema ((y)(n) = $"(n)y(n) escırculo lımite.

#

Teorema 5.6 ([5]) Si la sucesionq(n)

p(n " 1)esta acotada superiormente y

la serie0!

n=0 "(n) diverge, entonces el problema ((y)(n) = $"(n)y(n) espunto lımite.

#

Funciones espectrales. Funciones espectrales lımite

Dado el problema ((y)(n) = $y(n), consideremos la siguiente sucesion deproblemas finitos de Sturm-Liouville en diferencias

&[p(n)#y(n)] + q(n)y(n) = $y(n), n = 0, 1, ..., N , (5.21)

y("1) = 0 , (5.22)

y(N + 1) + hy(N) = 0 , (5.23)

donde h = hN ! R depende de N .


Sean {$N,hi }N

i=0 las raıces del polinomio 12(N + 1, $) + h12(N, $), o lo esequivalente, los autovalores del problema (5.21)–(5.23) que como sabemospor el Capıtulo 4 son reales y simples.

Definicion 5.3 Se define la funcion espectral asociada al problema de-finido por (5.21)–(5.23) 7N,h : R ) R como

7N,h($) =

9????:

????;

!

0<'N,hi !'

1

4N,hi

si $ ! 0

"!

'<'N,hi !0

1

4N,hi

si $ < 0(5.24)

donde 4N,hi

.= *12(·, $N,h

i )*2+2(0,N).

La funcion mN,h($) definida en (5.16), en principio para $ ! C"R, puede

extenderse a C " {$N,hi }N

i=0, resultando una funcion meromorfa con polosen los autovalores y, tal como prueba el siguiente resultado (ver [5, pag.107]), con residuos asociados {4N,h

i }Ni=0.

Teorema 5.7 Para cada $ ! C " {$N,hi }N

i=0 se verifica que

mN,h($) =

% !

"!

1

$ " µd7N,h(µ) =

N!

i=0

1

4N,hi ($ " $N,h

i ).

(5.25)

#

Una de las propiedades fundamentales de la funcion espectral 7N,h es(ver [5, pag. 106])

% !

"!12(p, $)12(q, $) d7N,h($) = !pq (5.26)

con p, q = 0, 1, . . . , N , lo que implica que {7N,h(µ)}N,h esta uniformenteacotada en h y N . Ası, podremos escoger una sucesion N1, N2 , . . . , talque 7Ni,hi(µ) sea una sucesion convergente; denotando el lımite por 7(µ)tenemos

limi'!

7Nihi(µ) = 7(µ) ,

para cada µ ! R excepto, quizas, en un subconjunto numerable de R, sobrelos cuales definimos 7(µ) imponiendo que sea continua por la derecha. Lafuncion 7(µ), igual que las funciones espectrales 7N,h(µ), es no decrecientey ademas verifica (ver [5, pag. 121 y 122])

% !

"!$2n d7($) < % , n = 0, 1, . . . , (5.27)


junto con una propiedad analoga a la expresada en (5.26)

% !

"!12(p, $)12(q, $) d7($) = !pq , p, q = 0, 1, . . . . (5.28)

En ([5, pag. 130]) se demuestra que existe una relacion unıvoca entre lospuntos de C(%, $) ($ ! C " R) y las funciones 7(µ) obtenidas mediantelımite de funciones espectrales que verifican (5.27) y (5.28). A las funcionesası obtenidas las denominaremos funciones espectrales lımite. Por loanterior, si estamos en el caso punto lımite solo habra una unica funcionespectral lımite. En cambio en el caso cırculo lımite hay una infinidadde funciones espectrales lımite. El siguiente resultado relaciona de formaexplıcita las funciones m!($), definidas sobre C " R, con las funcionesespectrales lımite.

Teorema 5.8 Sea limi'! 7Ni,hi(µ) = 7(µ) con µ ! R. Supongamos quepara $ ! C " R

limi'!

mNi,hi($) = m!($) ! C(%, $) . (5.29)

Entonces,

m!($) =

% !

"!

1

$ " µd7(µ) . (5.30)

#

El lımite que aparece en (5.29) siempre existe, basta con tener en cuenta(5.25) y que limi'! 7Ni,hi(µ) = 7(µ). Una consecuencia del teorema ante-rior es que la funcion m!($) definida en (5.29) sera una funcion meromorfacon polos simples en el eje real si la funcion espectral lımite 7(µ) es unafuncion escalera.

Para el tipo de problemas que se tratan en esta memoria es importanteestablecer condiciones sobre el problema (5.3) para, asociado a el, encontraruna base ortogonal de autofunciones de %2(0,%). De esta manera podremosutilizar metodos analogos a los ya vistos en el Capıtulo 2 para el caso con-tinuo. El siguiente resultado sera fundamental ([5, pag. 124]) para nuestrospropositos.

Teorema 5.9 Existe r ! R tal que

!!

n=0

|12(n, r)|2 < % (5.31)

si y solo si existe una funcion espectral lımite, 7(µ) con un salto positivoen r.


Ademas si 4"1r es la amplitud del salto en r de 7(µ) entonces

!!

n=0

|12(n, r)|2 " 4r . (5.32)

#

Sea 7(µ) es una funcion espectral lımite escalera con saltos en {$n}!n=0

de amplitud 4"1n , entonces por (5.28)

!!

n=0

12(p, $n)12(q, $n)4"1n = !pq , p, q = 0, 1, . . . (5.33)

y

!!

n=0

|12(n, $i)|2 " 4i , i = 0, 1, . . . (5.34)

Ademas se puede demostrar ([5, pag. 443 y ss.]) que si u(n) es una sucesionde %2(0,%) entonces se verifica una identidad de tipo Parseval

*u*2+2(0,!) =

!!

n=0

|vi|24"1i (5.35)

donde para cada i ! N0

vi.= +u, 12(·, $i),+2(0,!) .

y

u(n) =!!

i=0

vi12(n, $i)4"1i . (5.36)

Resumiendo, si 7(µ) es una funcion espectral lımite escalonanda con saltos

en {$n}!n=0 de amplitud 4"1n , entonces {12(·, $i)4

"1/2i }!i=0 es un frame es-

trecho en %2(0,%; ") con cota 1.Por todo lo anterior, si podemos enunciar condiciones suficientes para queuna funcion espectral lımite sea una funcion escalera con un conjunto nu-merable no finito de saltos positivos, estaremos en condiciones de probar unteorema de muestreo analogo al Teorema 2.3 del Capıtulo 2. Esta condicionla podemos encontrar en [5].

Teorema 5.10 Si

limn'!

q(n) = "% , (5.37)


entonces cualquier funcion espectral lımite es una funcion escalera. Ade-mas, si {µk}!n=0 es el conjunto de puntos de discontinuidad de una funcionespectral lımite y si los suponemos ordenados de forma decreciente, enton-ces

limk'!

µk = "%

#

Operadores autoadjuntos asociados en el caso infinito regular

Definicion 5.4 Sean D(() y F los siguientes subespacios de %2("1,%)

D(().= {y ! %2("1,%) | (y ! %2(N0)}

F.= {y ! %2("1,%) | y("1) = 0} .

Trivialmente el subespacio cerrado F de %2("1,%) es isometricamente iso-morfo a %2(N0).

Para $ ! C " R, sean 1' y *' soluciones de (( " $)u = 0 con *' !%2("1,%) y W [*', 1'] = 1.

En %2(N0) definimos el operador R' mediante:

(R'f)(n).= *'(n)

n!

j=0

1'(j)f(j) + 1'(n)!!

j=n+1

*'(j)f(j) , f ! %2(N0) .(5.38)

Lema 5.2 R' es un operador entre los espacios %2(N0) y %2("1,%) cuyorango es el conjunto

&'.= {u ! D(() | W [u, 1'](0) = 0 y W [u, *'](%) = 0}.

Ademas, para cada f ! %2(N0) se verifica que (( " $)R'f = f .#

Demostracion. Si ! = R'f , entonces

#!(n " 1) = #*'(n " 1)n"1!

j=0

1'(j)f(j) + #1'(n " 1)!!

j=n

*'(j)f(j).


Teniendo en cuenta que #(h(n)g(n)) = #h(n)g(n + 1) + h(n)#g(n) obte-nemos

#[p(n " 1)#!(n " 1)] = #[p(n " 1)#*'(n " 1)]n!

j=0

1'(j)f(j)

+ [p(n " 1)#*'(n " 1)] 1'(n)f(n)

+ #[p(n " 1)#1'(n " 1)]!!

j=n+1

*'(j)f(j)

+ [p(n " 1)#1'(n " 1)]*'(n)f(n)

= #[p(n " 1)#*'(n " 1)]n!

j=0

1'(j)f(j)

+ #[p(n " 1)#1'(n " 1)]!!

j=n+1

*'(j)f(j)

" W [1', *'](n)f(n).

De la definicion de R', y recordando que 1' y *' son soluciones de (( "$)u = 0 con W [*', 1'] = 1 se concluye que (( " $)! = f .

Ademas, para cada n ! 0

W [!, *'](n + 1) = "p(n)[!(n + 1)#*'(n) " #!(n)*'(n + 1)]

=!!

j=n+2

*'(j)f(j) + *'(n + 1)f(n + 1),

y puesto que *' pertenece a %2("1,%) y f pertenece a %2(N0), obtenemos

W [!, *'](%) = limn'!

W [!, *'](n + 1) = 0.

Analogamente teniendo en cuenta la definicion de !, concluimos que

W [!, 1'](0) = 0.

Nos falta probar que &' es el rango de R'. Hemos demostrado queR(R') $ &', nos falta, pues, probar la otra inclusion. Sea u ! &', en-tonces (( " $)u ! %2(N0) y para cada n ! N0 tenemos que

[R'(( " $)u](n) = *'(n)+(( " $)u, 1',(0,n) + 1'(n)+(( " $)u, *',(n+1,!)

= *'(n)(W [u, 1'](n + 1) " W [u, 1'](0))

+ 1'(n)(W [u, *'](%) " W [u, *'](n + 1))

= W [*', 1'](n + 1)u(n)

= u(n),


puesto que

+(( " $)u, 1',(0,n) = +(u, 1',(0,n) " $+u, 1',(0, n)

= +(u, 1',(0,n) " $+u, 1',(0,n) "

" +u, ( 1',(0,n) + +u, ( 1',(0,n)

= W [u, 1'](n + 1) " W [u, 1'](0)

al ser (1' = $1'.Si n = "1, se tiene que

[R'(( " $)u]("1) = 1'("1)+(( " $)u, *',N0

= "1'("1)W [u, *'](0),

de donde sumando y restando u("1)1'(0)*'("1), se obtiene finalmente

[R'(( " $)u]("1) = "*'("1)W [u, 1'](0) + u("1)

= u("1),

quedando concluida la prueba. $

Si definimos el nucleo G'(m, n) (funcion de Green), mediante

G'(m, n) =

*1'(m)*'(n) si 0 " m " n

1'(n)*'(m) si n < m,(5.39)

entonces el operador resolvente R' se representa como

(R'f)(n) =!!

j=0

G'(j, n)f(j), f ! %2(N0). (5.40)

A continuacion estudiaremos la restriccion de ( al subconjunto &'. Enprincipio &' es un subconjunto de D(() que depende del complejo $ ! C"R

escogido. Los siguientes lemas prueban que, bajo determinadas condiciones,esto no es ası, es decir, que las “condiciones de contorno”que determinan&' son independientes de $.

Lema 5.3 Supongamos que estamos en el caso punto lımite, entonces paracada $ ! C " R se cumple:

&' = {u ! D(() | W [u, 1'](0) = 0}. (5.41)

Ademas, si 10 y 11 son soluciones de

(( " $i)f = 0, $i ! C " R, i = 0, 1

con W [10, 11](0) = 0, se verifica &'0= &'1

.#


Demostracion. Sea

E'.= {u ! D(() | W [u, 1'](0) = 0}.

Para la igualdad (5.41) bastara con comprobar que E' $ &'.Sea u ! E', entonces (( " $)u ! %2(N0) y por lo tanto R'(( " $)u ! &'.La sucesion u"R'(( " $)u pertenece al nucleo del operador T (()" $I,

siendo T (() la restriccion de ( al subespacio D((), pues se verifica que

(T (() " $I)(R'(( " $)u) = (( " $)u.

Si estamos en el caso punto lımite existe una constante compleja K tal que

u " R'(( " $)u = K*', (5.42)

Por el Lema 5.2 sabemos que W [R'f, 1'](0) = 0 para toda sucesion f !%2(N0), luego de (5.42) deducimos que

KW [*', 1'](0) = 0 6 K = 0.

Por lo tanto u = R'(( " $)u y ası u ! &'.Supongamos ahora que W [10, 11](0) = 0 y sea u ! &'0

. Probaremos queu ! &'1

o, lo que es equivalente, que W [u, 11](0) = 0.Si u pertenece a &'0

, existe una sucesion f perteneciente a %2(N0) talque u = R'0

f . Ası pues, por (5.38)

u(0) = 10(0)!!

j=0

*0(j)f(j)

u("1) = 10("1)!!

j=0

*0(j)f(j),

y por tanto,

W [u, 11](0) = W [10, 11](0)!!

j=0

*0(j)f(j) = 0.

$

Lema 5.4 Supongamos que estamos en el caso cırculo lımite. Sean $i !C"R y 1i, *i soluciones de (( "$i)f = 0, pertenecientes a %2("1,%) conW [*i, 1i] = 1, i = 0, 1. Si W [*0, *1](%) = 0 y W [10, 11](0) = 0, entonces&'0

= &'1.

#


Demostracion. Dado u ! &'0, existe una sucesion f perteneciente a

%2(N0) tal que u = R'0f . Ası pues como

u(n) = *0(n)n!

j=0

10(j)f(j) + 10(n)!!

j=n+1

*0(j)f(j)

u(n + 1) = *0(n + 1)n+1!

j=0

10(j)f(j) + 10(n + 1)!!

j=n+2

*0(j)f(j),

por lo tanto se tiene que

W [u, *1](n + 1) = "p(n)

<*0(n + 1)*1(n)

n+1!

j=0

10(j)f(j)

+ 10(n + 1)*1(n)!!

j=n+2

*0(j)f(j)

" *0(n)*1(n + 1)n!

j=0

10(j)f(j)

" 10(n)*1(n + 1)!!

j=n+1

*0(j)f(j)

=

= W [*0, *1](n + 1)n!

j=0

10(j)f(j)

+ W [10, *1](n + 1)!!

j=n+1

*0(j)f(j).

Puesto que 10 pertenece a %2("1,%) y por hipotesis W [*0, *1](%) = 0,se verifica

limn'!

W [*0, *1](n + 1)n!

j=0

10(j)f(j) = 0.

El lımite de W [10, *1](n + 1) cuando n tiene a infinito existe pues

W [10, *1](n + 1) = W [10, *1](0) + ($0 " $1)n!

j=0

10(j)*1(j)

y, 10 y *1 pertenecen a %2("1,%). Por tanto, W [u, *1](%) = 0.$

Lema 5.5 Tanto en el caso punto lımite como en el caso cırculo lımite severifica W [u, v](0) = W [u, v](%) = 0 para cada u, v ! &' con $ ! C " R.

#


Demostracion. Puesto que para cada u, v ! &' se tiene que

W [u, 1'](0) = W [v, 1'](0) = 0

se deduce que W [u, v](0) = 0.Supongamos ahora que estamos en el caso cırculo lımite y que u = R'f

y v = R'g, entonces para cada n ! N0

W [u, v](n) = "p(n " 1)[(R'f)(n)#R'g(n " 1) " (R'g)(n)#R'f(n " 1)].

Por tanto

W [u, v](n) = "p(n " 1)

<[*'(n)

n!

j=0

1'(j)f(j) + 1'(n)!!

j=n+1

*'(j)f(j)]

[#(*'(n " 1))n"1!

j=0

1'(j)g(j) + #(1'(n " 1))!!

j=n

*'(j)g(j)]

" [*'(n)n!

j=0

1'(j)g(j) + 1'(n)!!

j=n+1

*'(j)g(j)]

[#(*'(n " 1))n"1!

j=0

1'(j)f(j) + #(1'(n " 1))!!

j=n

*'(j)f(j)]

=.

La expresion anterior tiende a cero cuando n ) % ya que f, g, 1', *' !%2(N0) y W [*', 1'] 4 1.

En el caso punto lımite consideremos el conjunto

D#0(()

.= {y ! D(() | y("1) = y(0) = 0 y 2M ! N con y(n) = 0, 1n > M}

y sea T #0(() la restriccion del operador maximal T (() definido en D(() a

D#0((). El cierre del operador T #

0((), T0((), verifica (ver Teorema 5.13 masadelante para una demostracion similar)

[T0(()]* = T (() (5.43)

Al ser dimKer[T (() " $I] = 1 para cada $ ! C " R, se verifica quedimD(()/D0(() = 2 ([26]), donde D0(() es el dominio del operador T0(().

Fijemos N ! N y sean '1, '2 ! D(() sucesiones que verifiquen

'1("1) = 1, '1(0) = 0'2("1) = 0, '2(0) = 1

y tales que para i = 1, 2 'i(n) = 0 para cada n > N . De (5.43) deducimosque si y ! D0(() entonces y("1) = y(0) = 0. Basta tener en cuenta que

W [y, 'i](0) = +y, T (()'i, " +T0(()y, 'i, = 0.


Las sucesiones '1, '2 son independientes modulo D0(() y, por tanto, paracada ' ! D(() existen '0 ! D0(() y +, , ! C tales que ' = '0 ++'1 +,'2.

Ası, si * ! D(() para n ! N suficientemente grande se verifica

W [', *](n + 1) = W ['0, *](n + 1).


W ['0, *](%) = W ['0, *](0) + +T0(()'0, *, " +'0, T (()*,,

concluimos que W ['0, *](%) = 0.Para concluir la demostracion basta con tener en cuenta que

D0(() $ &' $ D(().

$

Lema 5.6 Sean *' y 1' soluciones de (( " $)f = 0 con W [*', 1'] = 1. SiW [1', 1'](0) = 0 y W [*', *'](%) = 0, se verifica que si v ! &' entoncesv ! &'.

#

Demostracion. Sea v ! &', entonces

W [v, 1'](0) = 0 6 W [v, 1'](0) = 0 (5.44)

W [v, *'](%) = 0 6 W [v, *'](%) = 0. (5.45)

Podemos denotar a 1' como 1' y a *' como *', pues se verifica que (( "$)1' = 0 y (( " $)*' = 0.

Ademas, como W [*', 1'] = 1, si

&' = {u ! D(() | W [u, 1'](0) = 0, W [u, *'](%) = 0}

por los Lemas 5.3 y 5.4 tenemos &' = &'.Teniendo en cuenta (5.44) y (5.45), concluimos que v ! &'.

$

Las sucesiones 12(n, $) y *!(n, $) con $ ! C"R, definidas en la seccion5.3.1, cumplen las siguientes propiedades

1. Para cada $, $# ! C " R, W [12(·, $), 12(·, $#)](0) = 0,

2. Para toda $# ! C " R, W [*!(·, $), *!(·, $#)](%) = 0,

3. W [*!(·, $), 12(·, $)] 4 1,

4. W [u, 12(·, $)](0) = 0 0 u("1) = 0.

Si definimos )' como

)'.= {u ! D(() | W [u, 12(·, $)](0) = 0, W [u, *!(·, $)](%) = 0},

de las propiedades y lemas anteriores se deduce:


1. )' = )'#

.= ), para cada $, $# ! C " R.

2. ) = {u ! D(() | W [u, *!(·, $)](%) = 0} ' F .

3. Si estamos en el caso punto lımite entonces ) = D(() ' F .

Estamos en condiciones de probar que el operador ( restingido a ) esautoadjunto.

Sea S(() la restriccion de ( al subespacio ). Al ser el subespacio Fisometricamente isomorfo a %2(N0) supondremos:

S(() : ) $ F ") F

Teorema 5.11 El operador S(() es autoadjunto y C " R esta contenidoen el conjunto resolvente 4(S(()).

#

Demostracion. Primero probaremos que S(() es un operador simetrico.Teniendo en cuenta la identidad de Lagrange, bastara probar que para cadau, v ! ) se verifica que

W [u, v](0) = W [u, v](%) = 0. (5.46)

La primera de las igualdades se verifica trivialmente pues v("1) = 0, laotra se deduce de los lemas 5.5 y 5.6. Para cada $ ! C " R se verifica(Lema 5.2)

[S(() " $I]"1 = R',

y, por lo tanto, para cada $ ! C " R

R(S(() " $I) = R(S(() " $I) = %2(N0), (5.47)

donde R(S(()" $I) es el rango del operador S(()" $I. La relacion (5.47)equivale a que el operador simetrico S(() sea autoadjunto (ver [26, pag.108]).

$

5.3.2 Teorema de muestreo asociado al problemade Sturm-Liouville infinito regular

El objetivo de esta seccion es probar un teorema de muestreo que nospermitira reconstruir ciertas funciones enteras mediante sus valores en losautovalores, {µk}!k=0, asociados a un problema de Sturm-Liouville en dife-rencias de los que acabamos de tratar.

Sabemos que en el caso regular para todo numero $ ! C"R, existe unasolucion en %2("1,%)

*!(n, $) = 11(n, $) + m!($)12(n, $) .


Si estamos en el caso punto lımite, *!(·, $) es la unica sucesion (salvomultiplos) con esta propiedad.

En lo que sigue supondremos que m!($) 4 m($) es una funcion mero-morfa con polos simples en los autovalores del problema de Sturm-Liouvilley residuos asociados {4"1

k }!k=0.

Lema 5.7 Se verifican las siguientes igualdades

1. Para cada n ! N0, limµ'µk

(µ " µk)*!(n, µ) =1

4k12(n, µk),

2. Si $, µ ! C " R,!!

k=0

*!(k, $)*!(k, µ) =m($) " m(µ)

µ " $

#

Demostracion. En efecto, si M ! N y $, µ ! C " R tenemos

($ " µ)+*!(·, $), *!(·, µ),+2(0,M) = ($ " µ)M!

k=0

*!(k, $)*!(k, µ)

= W [*!(·, $), *!(·, µ)](0) " W [*!(·, $), *!(·, µ)](M + 1)

= m(µ) " m($) " W [*!(·, $), *!(·, µ)](M + 1), (5.48)

y, teniendo en cuenta que

limM'!

W [*!(·, $), *!(·, µ)](M + 1) = 0,

obtenemos

!!

k=0

*!(k, $)*!(k, µ) =m($) " m(µ)

µ " $. (5.49)

Por otra parte,

limµ'µk

(µ " µk)*!(n, µ) = limµ'µk

(µ " µk)11(n, µ) +

+ limµ'µk

(µ " µk)m($)12(n, µ) =

=1

4k12(n, µk). (5.50)

Lema 5.8 Para cada h ! ("/, /) sea Fh ! %2(N0) y sea F (k) una sucesionde numeros complejos. Supongamos que:

1. 1k ! N0, limh'0

|Fh(k) " F (k)| = 0,


2. Existe K ! 0 tal que para cada h ! ("/, /) y para cada M ! N,

M!

k=0

|Fh(k)|2 " K.

Entonces

• F ! %2(N0),

• para cada g ! %2(N0), limh'0

!!

k=0

Fh(k)g(k) =!!

k=0

F (k)g(k).

#

Demostracion. Si M ! N0 se tiene que

M!

k=0

|F (k)|2 = limh'0

M!

k=0

|Fh(k)|2 " K,

y por tanto F ! %2(N0).Sea g ! %2(N0), entonces

Ah.=

....!!

k=0

(Fh(k) " F (k))g(k)

.... "

....M!

k=0

(Fh(k) " F (k))g(k)

....+....

!!

k=M+1

(Fh(k) " F (k))g(k)

.....

Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz concluimos que

Ah "

' M!

k=0

|Fh(k) " F (k)|2(1/2

*g*

+

' !!

k=0

|Fh(k) " F (k)|2(1/2' !!

k=M+1

|g(k)|2(1/2

. (5.51)

Sea ! > 0, como *Fh " F*+2(N0) < 2#

K y g ! %2(N0) existe M ! N0 talque

*Fh " F*+2(N0)

' !!

k=M+1

|g(k)|2(1/2

<!

2, 1h ! ("/, /).

(5.52)

Fijemos M0 que verifique (5.52). El primer termino de (5.51) tiende a cerocuando h ) 0 por la hipotesis 1, luego existe h0 ! ("/, /) tal que si h !("/, /) y |h| < h0 entonces

'M0!

k=0

|Fh(k) " F (k)|2(1/2

*g* <!

2. (5.53)


De (5.52) y (5.53) se obtiene el resultado. $

Lema 5.9 Si $ ! C " R se verifica

!!

n=0

*!(n, $)12(n, µk) =1

$ " µk

#

Demostracion. Sea µkh

.= µk + ih,(h -= 0); entonces µk

h ) µk cuandoh ) 0. Sea

F kh (n)

.= (µk

h " µk)*!(n, µkh).

Tomando µ = $ en (5.49) obtenemos

!!

n=0

|*!(n, $)|2 = "Imm($)

Im $. (5.54)

Teniendo en cuenta (5.54) y el hecho de que µk es un polo simple de m($)existe una constante positiva K tal que

!!

n=0

|F kh (n)|2 " |hm(µk

h)| " K,

para h suficientemente pequeno. Ademas, por el Lema 5.7 tenemos quepara cada M ! N

limh'0

M!

n=0

|F kh (n) "

1

4k12(n, µk)|2 = 0.

Ası pues, las sucesiones F kh cumplen las hipotesis del Lema 5.8 y el resultado

es una consecuencia inmediata de este donde g(n) = *!(n, $). En efecto,

limh'0

!!

n=0

*!(n, $)F kh (n) =

1

4k

!!

n=0

*!(n, $)12(n, µk)

= limh'0

(µkh " µk)

m($) " m(µkh)

µkh " $

=1

4k($ " µk),

(5.55)

y, por lo tanto,

!!

n=0

*!(n, $)12(k, µk) =1

$ " µk. (5.56)

$


Lema 5.10 Si m($) es una funcion meromorfa, entonces {12(·, µk)}!k=0 esuna base ortogonal de %2(N0).

#

Demostracion. Si multiplicamos (5.56) por $"µk y repetimos el procesohaciendo tender $ a µk obtenemos que

*12(·, µk)*2+2(0,!) = 4k .

Como habıamos probado (pagina 126) que {12(·, µk)4"1/2k }!k=0 es un frame

estrecho de cota 1, se obtiene que {12(·, µk)4"1/2k }!k=0 es base ortonormal

de %2(N0) (ver ii) del Teorema 1.8).$

Lema 5.11 La serie0!

k=01

)k|'"µk|2 esta uniformemente acotada sobre los

compactos de C que no contengan a ningun autovalor {µk}!k=0.#

Demostracion. Aplicando (5.40) a

'(n, µk).=

12(n, µk)

*12(·, µk)*+2(N0),

se tiene que, para $ /! {µk}!k=0,

'(n, µk) =!!

j=0

(µk " $)G'(j, n)'(j, µk),

de donde

+G'(·, n), '(·, µk), ='(n, µk)

µk " $. (5.57)

Aplicando la identidad de Parseval a {G'(·, n)} obtenemos

*G'(·, n)*2+2(N0) =

!!

k=0

....'(n, µk)

µk " $

....2

, para cada n ! N0, $ -= µk.(5.58)

En particular, tomando n = 0 en (5.58) se concluye el resultado. $

Supondremos que la sucesion de autovalores {µk}!k=0 tiene exponente deconvergencia finito, y denotaremos por P ($) su producto canonico.

Lema 5.12 Para todo compacto K $ C existe CK > 0 tal que

!!

n=0

1

4n

....P ($)

$ " µn

....2

< CK, 1$ ! K.

#


Demostracion. Sea H = {µi1 , µi2 , . . . , µiq} el conjunto de autovaloresque pertenecen al compacto K y sea l

.= {i1, . . . , iq}. Entonces

!!

n=0

1

4n

....P ($)

$ " µn

....2

=q!

j=1

1

4ij

....P ($)

$ " µij

....2

+!!

n=0n/$l

1

4n

....P ($)

$ " µn

....2

.

Por el Lema 2.5 del Capıtulo 2 sabemos que existe RK > 0 tal que

q!

j=1

1

4ij

....P ($)

$ " µij

....2

< RK, 1$ ! K. (5.59)

Tambien sabemos que la serie0!

n=01

)n|'"µn|2 esta acotada uniformemen-te en los compactos que no contengan a ninguno de los autovalores, por lotanto existe TK > 0 tal que

!!

n=0n/$l

1

4n

....P ($)

$ " µn

....2

< TK, 1$ ! K. (5.60)

Tomando CK = 2 max{RK, TK} el Lema queda probado.$

Los resultados anteriores nos permiten demostrar el siguiente teorema demuestreo analogo al que aparece en [111, pag. 118 y ss.] para el problemasingular de Sturm–Liouville en el caso continuo.

Teorema 5.12 Si definimos el nucleo !(n, $).= P ($)*!(n, $) y conside-

ramos

f($) =!!

k=0

F (n)!(n, $) (5.61)

con F ! %2(N0), entonces f es una funcion entera que se puede recuperara partir de sus valores en los autovalores mediante la serie interpolatoriatipo Lagrange

f($) =!!

k=0

f(µk)P ($)

($ " µk)P #(µk). (5.62)

La convergencia de la serie es absoluta, y uniforme sobre compactos de C.#

Demostracion. Como F ! %2(N0) tenemos

F (n) =!!

k=0

+F, 12(·, µk),*12(·, µk)*2

12(n, µk). (5.63)


Por el Lema 5.9 tenemos que, para cada $ ! C " R,

*!(n, $) =!!

k=0

1

($ " µk)*12(·, µk)*212(n, µk). (5.64)

Como la serie!!

k=0

1

4k|$ " µk|2

es convergente para $ ! C " {µk}!k=0, el desarrollo (5.64) es valido enC " {µk}!k=0.Utilizando la identidad de Parseval, de (5.61), (5.63) y (5.64) deducimos

f($) =!!

k=0

F (k)P ($)

($ " µk)*12(·, µk)*2, (5.65)

donde F (k).= +F, 12(·, µk),. Ademas hemos probado que f($) esta bien

definida para $ -= µk. Por un razonamiento analogo al empleado en elLema 5.9 tenemos

f(µk) = lim''µk

f($) = lim''µk

!!

n=0

F (n)!(n, $)

= lim''µk

P ($)

$ " µk

!!

n=0

F (n)($ " µk)*!(n, $)

= P #(µk)!!

n=0

F (n)12(n, µk)

4k

=1

4kP #(µk)F (k).

(5.66)

De (5.65) y (5.66) obtenemos para todo $ ! C

f($) =!!

k=0

f(µk)P ($)

($ " µk)P #($).

Sea K un subconjunto compacto de C. Aplicando la desigualdad de

5.4 Caso infinito singular 141

Cauchy–Schwarz tenemos

....f($) "N!

k=0

f(µk)P ($)

($ " µk)P #(µk)

....2

=

....!!

k=N+1

f(µk)P ($)

($ " µk)P #(µk)

....2

"

' !!

k=N+1

....f(µk)P ($)

($ " µk)P #(µk)

....

(2

"

' !!

k=N+1

....P ($) $F (k)

($ " µk)4k

....

(2

"

' !!

k=N+1

| $F (k)|2

4k

(' !!

k=N+1

1

4k

....P ($)

$ " µk

....2(

" CK

' !!

k=N+1

| $F (k)|2

4k

(") 0

cuando N ") % independiente de $ ! K, debido al Lema 5.12 y al caracter

convergente de la serie0!

k=0| bF (k)|2

)k. Ademas, obtenemos que f($) es una

funcion entera al ser lımite uniforme en compactos de funciones enteras.$

5.4 Caso infinito singular

En este caso p("1) es igual a 0, lo que tiene importantes consecuencias.En efecto si p("1) = 0 no es posible encontrar dos soluciones linealmenteindependientes de (( " $)0 = 0, con $ ! C " R, pues aplicando (5.12),si z(n) e y(n) son soluciones, entonces W [y, z] 4 0. Por tanto, la teorıadel apartado anterior no es aplicable aquı. En particular, tendremos queredefinir los conceptos de punto lımite y cırculo lımite. Puede darse el casode que para $ ! C"R no haya una solucion de (( "$)0 = 0 pertenecientea %2(N0).

Sea 1(·, $) la solucion de (( " $)0 = 0 verificando 1(0, $) = 1. Conside-remos la sucesion p(n), n ! "1 definida por

p(n) =

*1 si n = "1

p(n) si n ! 0(5.67)

Si para cada $ ! C, definimos 1("1, $) = 0 entonces (( " $)1(·, $) = 0.Sabemos que existe una sucesion z(n, $), n ! "1 que verifica:

1. z("1, $) = 1, z(0, $) = 0,

2. (( " $)z(·, $) = 0,


3. Para todo n ! 1,

W [1(·, $), z(·, $)](n) = 1,

siendo ( el operador asociado a (5.2) pero sustituyendo p por p.Si z(·, $) ! %2(N0) entonces (z(·, $) ! %2(N0) aun cuando (z(·, $) -= $z(·, $).

Si y("1), y(0), . . . , es una sucesion de numeros complejos entonces

((y)(n) = p(n)y(n+1)+(q(n)"p(n)"p(n"1))y(n)+p(n"1)y(n"1), n ! 0.

Como se puede observar el termino y("1) no tiene ninguna influencia sobrela sucesion (y. Por lo tanto, los dominios de todos los operadores queestudiaremos en esta seccion seran subespacios de %2(N0).

Definicion 5.5 Diremos que el problema de Sturm-Liouville en diferen-cias (5.2) con p("1) = 0 es tipo cırculo lımite si 1(·, $) ! %2(N0) paratodo numero complejo $.

Si existe $ ! C " R tal que la sucesion 1(·, $) no pertenece a %2(N0),entonces diremos que el problema es tipo punto lımite.

Si existe $0 ! C"R tal que 1(·, $0) pertenezca a %2(N0) entonces para cada$ ! C la sucesion 1(·, $) pertenece a %2(N0), puesto que en este caso lasucesion z(·, $0) pertenecera a %2(N0) y por lo tanto el problema (regular)asociado a ( sera cırculo lımite y de ahı la validez de la afirmacion.

En el caso singular la identidad de Green (5.13) se simplifica notable-mente

+(y, z,+2(0,m) " +y, (z,+2(0,m) = W [y, z](m + 1) .

Sean las sucesiones u, v ! %2(N0) y n ! 0. Si definimos

+u, v,n.=

n!

j=0

u(j)v(j)

entonces,+(u, v,n " +u, (v,n = W [u, v](n + 1).

Para simplificar la notacion sea H.= %2(N0).

Definicion 5.6 Sean los operadores T (() : D(() $ H ") H y T #0(() :

D#0(() $ H ") H, donde:

D(().= {y ! H | (y ! H} $ H

D#0(()

.= {y ! H | 2N ! N0 tal que 1m ! N y(m) = 0}

Evidentemente D#0(() $ D(() y por lo tanto el operador T (() extiende

a T #0((), hecho que notaremos con T #

0(() $ T ((). El siguiente Teoremaestablece las propiedades fundamentales del operador T #

0(().


Teorema 5.13 Se verifica:

1. D#0(() es un subespacio denso de H.

2. T #0(() se puede prolongar a un operador cerrado y su cierre, T0((),

verifica:

[T0(()]* = T (() y T0(() = [T (()]*,(5.68)

donde [T0(()]* (resp.[T (()]*) es el operador adjunto de T0(() (resp deT (()).

#

Demostracion. Para probar que T #0(() se puede prolongar a un operador

cerrado demostraremos que D([T #0(()]*) es un subconjunto denso de H . Si

* ! D(() y ' ! D#0(() se verifica que W [', *](%) = 0; ası pues

+T #0(()', *,H = +', T (()*,H . (5.69)

Como consecuencia se obtiene que T (() $ [T #0(()]* y, por lo tanto, el con-

junto D([T #0(()]*) es un subespacio denso de H , lo que implica que T #

0(()se puede prolongar a un operador cerrado. Ademas, si T0(() es su cierre,T (() $ [T0(()]*, pues, como es sabido [26, pag. 98], el adjunto de un ope-rador coincide con el adjunto de su cierre. $

En lo que sigue denotaremos al dominio de T0(() por D0(().Para probar (5.68) nos queda demostrar que [T0(()]* $ T (().Sea u ! D([T0(()]*), entonces si

D0N (().= {y ! D#

0(() | 1m ! N y(m) = 0},

se verifica para cada ' ! D0N (() $ D#0(() que

+[T0(()]*u, ',H = +u, T0(()',H= +uN , T0N(()',HN

= +T0N (()uN , ',HN ,

(5.70)

donde HN.= {y ! H | 1m ! N, y(m) = 0}, T0N (() es la restriccion del

operador T0(() al subespacio D0N (() y

uN(m) =

*u(m) si m < N,

0 si m ! N.(5.71)

De (5.70) deducimos que para cada n < N

([T0(()]*u)(n) = (T0N (()u)(n) = ((u)(n),

y puesto que N es arbitrario concluimos que


[T0(()]*u = (u.

Por tanto[T0(()]* $ T (().

La igualdad T0(() = [T (()]* se deduce de ser el operador T0(() cerrado, yaque entonces T (()* = [T0(()]** = T0(().

$

Sea H un espacio de Hilbert y T : H ) H un operador lineal. Se definesobre H el dominio de regularidad de T, *[T ], como

*[T ].= {$ ! C | 2k($) con *(T " $)u* ! k($)*u*, 1u ! D(T )}.

(5.72)

Los siguientes resultados, que se van a necesitar en lo que sigue, han sidoextraıdos de [26, cap. 3].

1. El dominio de regularidad de T , es un subconjunto abierto de C.

2. Si T es un operador cerrado y $ ! *[T ], (T "$I)"1 existe, es acotadoy cerrado y por lo tanto su dominio, R(T " $I), es cerrado.

3. Si T es cerrado y $ ! *[T ] entonces

def[T " $I].= codimR(T " $I) = dimR(T " $I)+ =

dim Ker(T * " $I).= nul(T * " $I)

verificandose que def[T"$I] es constante en cada componente conexade *[T ].

4. Si, ademas, T es simetrico se tiene que C " R $ *[T ] y si

m+(T ).= def[T " iI]

m"(T ).= def[T + iI]

se verifica que T es autoadjunto si y solo si m+(T ) = m"(T ) = 0.

A m±(T ) se les denomina ındices de defecto de T .

Teorema 5.14 Para cada $ ! *[T0(()] se verifica

0 " def[T0(() " $I] + def[T0(() " $I] " 2 (5.73)

#


Demostracion. Basta con tener en cuenta que, debido a (5.68), paracada $ ! *[T0(()] se verifica la siguiente igualdad

def[T0(() " $I] + def[T0(() " $I] = nul[T (() " $I] + nul[T (() " $I].

Teniendo en cuenta que, para cada µ ! C,

nul[T (() " µI] " 1,

se obtiene el resultado buscado.$

Si def[T0(() " $I] = 1, entonces la sucesion 1(·, $) pertenece al espacioH y como

1(·, $) = 1(·, $) (5.74)

tenemos que def[T0(() " $I] = 1 y por lo tanto para cada µ ! C " R,def[T0(() " µI] = 1. En este caso estarıamos en el caso cırculo lımite.Si, en cambio, existe $0 ! C " R tal que def[T0(() " $0I] = 0, entoncesla sucesion 1(n, $) no pertenece a H y puesto que C " R $ *[T0(()] ydef[T0(() " $I] es constante en cada componente conexa de *[T0(()], de(5.74) obtenemos que para cada µ ! C "R, def[T0(() " µI] = 0 y estamosen el caso punto lımite.Con todo lo anterior podemos enunciar el siguiente corolario

Corolario 5.1 Para cada $ ! *[T0(()]

def[T0(() " $I] = def[T0(() " $I].

Ademas,

def[T0(() " iI] = 0 0 tipo punto lımite

def[T0(() " iI] = 1 0 tipo cırculo lımite

#

Teorema 5.15 (Caso punto lımite) Si existe $ ! C " R tal que

def[T0(() " $I] = def[T0(() " $I] = 0

entonces T0(() = T (() y T (() es autoadjunto.#

Demostracion. Se tiene que

dim (D(()/D0(()) = def[T0(() " $I] + def[T0(() " $I] = 0,

[26, pag. 110], por lo que D(() = D0((). Ademas,


[T0(()]** = [T (()]* = T0(() = T (().

$

En el caso cırculo lımite el operador T0(() es simetrico pero no autoad-junto. El siguiente teorema y el lema en el que se apoya estudia posiblesextensiones de T0(() autoadjuntas.

Lema 5.13 Supongamos que para cada $ ! *[T0(()] def[T0(() " $I] = 1.Sea ' ! D(() "D0(() con W [', '](%) = 0, entonces

D0(() 8 span['] = {u ! D(() | W [u, '](%) = 0}.

#

Demostracion. Sea "0 ! D0(() y + ! C, entonces

W ["0 + +','](%) = W ["0, '](%) + +W [', '](%) = 0

puesW ["0, '](%) = +T0(()"0, ',H " +"0, T (()',H = 0.

Como

dim(D(()/D0(()) = def[T0(() " $I] + def[T0(() " $I] = 2, $ ! *[T0(()],

elegimos * ! D(() tal que D(() = D0(() 8 span[', *]. Sea u = "0 + +' +,* ! D(() verificando W [u, '](%) = 0, con "0 ! D0((). Entonces,

0 = W [u, '](%) = , W [*, '](%). (5.75)

Si W [*, '](%) = 0 entonces para cada v ! D(() tendrıamos

+T (()v, ',H " +v, T (()',H = 0

y, por tanto, ' ! D0((), lo que representa una contradiccion. Finalmente,de (5.75) deducimos que , = 0 y que u ! D0(() 8 span['].

$

Teorema 5.16 (Caso cırculo lımite) Supongamos que

def[T0(() " $I] = def[T0(() " $I] = 1

para todo $ de *[T0(()]. Sea ' ! D(() "D0(() con W [', '](%) = 0. Si

D1.= {u ! D(() | W [u, '](%) = 0},

entonces el operador S.= T (() |D1

es autoadjunto.#


Demostracion. Sean u, v ! D1. Se tiene que

+Su, v,H " +u, Sv,H = +T (()u, v,H " +u, T (()v,H = W [u, v](%).(5.76)

Por el Lema 5.13 sabemos que existen "0 ! D0(() y + ! C tales quev = "0 + +'. Por tanto

W [u, v](%) = W [u, "0](%) + +W [u, '](%) = 0. (5.77)

De (5.76) y (5.77) deducimos que S es simetrico y ası S $ S*. Se verificaque S* $ T ((), pues T0(() $ S y [T (()]* = T ((). Para probar que S* $S, bastara demostrar que para toda sucesion u ! D(S*) se verifica queW [u, '](%) = 0.Sean u ! D(S*) y v = "0 + ' ! D1, entonces

0 = +Sv, u,H " +v, S*u,H= +T (()v, u,H " +v, T (()u,H= +T0(()"0, u,H + +T (()', u,H " +"0, T (()u,H " +', T (()u,H= W [', u](%)

y tambien W [u, '](%) = 0.$

En el caso cırculo lımite, para todo r ! R la sucesion 1(n, r) pertenece aD(() " D0(() puesto que la sucesion z(·, r) pertenece a D(() y se verificaque W [1(·, r), z(·, r)](%) -= 0. Ademas

W [1, 1](%) = W [1, 1](%) = 0;

por lo tanto, la restriccion del operador T (() al subespacio

{v ! D(() | W [v, 1](%) = 0}

es un operador autoadjunto.

Corolario 5.2 Sean $ ! *[T0(()]. Si

def[T0(() " $I] = def[T0(() " $I] = 0

entonces C " R $ 4(T0(()). Si,

def[T0(() " $I] = def[T0(() " $I] = 1

y S es una extension autoadjunta de T0((), entonces C " R $ 4(S).#


Demostracion. En el primer caso, si $ ! *[T0(()] se tiene que

nul[T0(() " $I] = def[T0(() " $I] = 0,

lo que implica que $ ! 4(T0(()). Como T0(() es un operador simetricoC " R $ *[T0(()], por lo que C " R $ 4(T0(()).

En el segundo caso, al ser S autoadjunto, C"R esta contenido en *[S],los ındices de defecto, def[S " iI] y def[S + iI] son nulos y, puesto quedef[S " $I] no varıa en las componentes conexas de *[S], tenemos que si$ ! C " R entonces

nul[S " $I] = def[S " $I] = 0

por lo que $ ! 4(S). $

5.4.1 Teorema de muestreo asociado a operadoreslineales simetricos densamente definidos en!2(N0) con resolvente de Hilbert-Schmidt

En este apartado probaremos un teorema de muestreo similar al Teorema2.10.

Sea A : DA $ %2(N0) ) %2(N0) un operador lineal simetrico con DA

denso en %2(N0). Supongamos que existe T = A"1 y que es un operadorcompacto definido en %2(N0). Sean {µn}!n=0 y {'n}!n=0 los autovalores yautofunciones del operador T respectivamente, con nul(T"µnI) = kn < %.En este caso $n = 1/µn son los autovalores del operador A. Supongamosque la sucesion {$n} tiene exponente de convergencia finito, y sea P ($) elproducto canonico asociado a {$n}.

Sea R($) = ($I " A)"1 el operador resolvente de A y supongamos que

R($)x(m) =!!

n=0

K'(m, n)x(n), (5.78)

con K' simetrico y perteneciente a %2(N0 . N0).Fijamos n0 ! N0 y definimos el nucleo

'(m, $).= P ($)K'(m, n0); m ! N0, $ ! C. (5.79)

Teorema 5.17 Sea f la funcion definida por

f($) =!!

n=0

F (n)'(n, $)

con {F (n)} ! %2(N0). Entonces f es una funcion entera que se puedereconstruir mediante la serie interpolatoria tipo Lagrange

f($) =!!

n=0

f($n)P ($)

($ " $n)P #($n),


siendo la convergencia de la serie absoluta, y uniforme sobre los compactosde C.

#

Demostracion. Si {'n,i}kn

i=1 son las autofunciones asociadas al autovalor$n, el nucleo resolvente lo podemos expresar como

K'(m, n) =!!

t=0

1

$ " $t

kt!

i=1

't,i(m)'t,i(n). (5.80)

Fijado n0 ! N0, '(m, $) es una funcion de %2(N0) respecto a la variable my una funcion entera respecto a la variable $ ! C.Desarrollamos en serie de Fourier de autofunciones las sucesiones {F (m)}y {'(m, $)}

F (m) =!!

t=0

kt!

i=1

+F, 't,i,'t,i(m) (5.81)

'(m, $) =!!

t=0

P ($)

$ " $t

kt!

i=1

't,i(n0)'t,i(m). (5.82)

Aplicando la igualdad de Parseval

f($) = +F (m), '(m, $),+2(N0) =!!

t=0

P ($)

$ " $t

kt!

i=1

+F, 't,i,'t,i(n0).(5.83)

Por otra parte,

f($t) = lim'''t

f($) = P #($t)kt!

i=1

+F, 't,i,'t,i(n0), (5.84)

por lo que

f($) =!!

t=1

f($t)P ($)

($ " $t)P #($t).

La convergencia absoluta y uniforme sobre los compactos de C se pruebacomo en el Teorema 2.10.

Hay que hacer notar que el Teorema anterior tambien es valido en elcaso infinito regular, siempre que la resolvente del operador asociado seaun operador del tipo Hilbert-Schmidt.

5.4.2 Ejemplos

1. Polinomios Pseudo–Laguerre.Consideremos el siguiente problema de Sturm-Liouville

(( y)(n) = &(4"n(n + 1)#y(n)) = $4"ny(n) (5.85)


donde 4 > 1. En este caso "(n) = 4"n y p(n) = 4"n(n + 1). Es claroque p("1) = 0, ası que estamos en el caso singular.

Si hacemos el cambio de variable

y(n) =1#4n

y(n) (5.86)

el problema resultante es

((y)(n) = &[p(n)#y(n)] + Q(n)y(n) = $y(n)(5.87)

con

p(n) =#

4(n + 1) (5.88)

Q(n) =#

4(n + 1) +#

4n " 4n " (n + 1). (5.89)

En [54] se demuestra que el problema anterior es punto lımite por loque el dominio del operador autoadjunto asociado, S(()(= T (()) es

D(S) = {y ! %2(N0) | (y ! %2(N0)} (5.90)

El espectro del operador S(() es

&(S(()) = {$k.= k(1 " 4) | k ! 0},

(ver [54, pag. 114 y ss.]) siendo la autofuncion asociada al autovalor$k

yk(n) = 4n"2

2 #k

<&(n)

&(n " k)41"n

=, (5.91)

{yk}!k=0 es una base de %2(N0), ademas,

*yk*2+2(N0) =

(k!)2

4k"1(4 " 1). (5.92)

Como ya sabemos por el Corolario 5.2, si $ es un numero complejo noreal entonces $ ! 4(S(()). Llamaremos R' = ($I "S(())"1 al opera-dor resolvente de S((). Este operador tiene como dominio el espacio%2(N0) al ser S(() autoadjunto y, por lo tanto, cerrado. Ademas R'

es un operador de Hilbert-Schmidt (y, por lo tanto, compacto) puesla sucesion {($ " $k)"1}!k=0 pertenece a %2(N0). Ası pues, existe unnucleo que llamaremos K' ! %2(N0 . N0) tal que

(R'y)(n) =!!

m=0

K'(m, n)y(m), 1y ! %2(N0) .(5.93)


Teniendo en cuenta (5.91), (5.92) y que las autofunciones forman unabase ortogonal de %2(N0), tenemos

K'(m, n) =!!

k=0

1

$ " $k

4k"1(4 " 1)

(k!)2yk(m)yk(n)

(5.94)

Sean / ! R+ " {$k}!k=0 tal que |//(1 " 4)| /! N y S0.= S(() + /I,

entonces&(S0) = {µk = k(1 " 4) + / | k ! N0}.

Las autofunciones siguen siendo las sucesiones yk(n) pero ahora 0 /!&(S0).Puesto que

0!k=0 |µk|"2 < % y

0!k=0 |µk|"1 = %, el producto cano-

nico asociado a la sucesion {µk}!k=0 es

P ($) =!-

k=0

'1 "

$

µk

(e

%µk . (5.95)

Utilizando la formula de Mellin

ey((x) &(x)

&(x + y)=

!-

n=0

'1 +

y

x + n

(e"

yx+n

donde 3(x) = !#(x)!(x) , el producto canonico P ($) de (5.95) es igual a

P ($) =

exp

'"

$

1 " 43

'/

1 " 4

((&

'/

1 " 4

(

&

'/

1 " 4"

$

1 " 4

( . (5.96)


limx'n

&#("x)

&("x)2= ("1)n+1n! ,

obtenemos

P #(µk) =("1)k+1

1 " 4&

'/

1 " 4

(k! exp

'"

1

1 " 43

'/

1 " 4

(µk

(.

(5.97)

Fijando n0 ! N0 definimos el nucleo '(m, $),

'(m, $) = P ($)K'"0(m, n0), m ! N0, $ ! C.(5.98)


Como consecuencia del Teorema 5.17 si definimos

f($) =!!

n=0

F (n)'(n, $)

con F ! %2(N0), se verifica

f($) =!!

k=0

f(µk)P ($)

($ " µk)P #(µk),

que por (5.96) y (5.97) podemos expresar como

f($) =!!

k=0

f(µk)

$ " µk

(1 " 4)("1)(k+1) exp

'1

1")3

'0

1")

((µk " $)

(

k!&

'0"'1")

((5.99)

2. Polinomios de Charlier.Consideremos ahora el siguiente problema

((y)(n).= &[p(n)#y(n)] + Q(n)y(n) = $y(n) , n ! 0 ,

(5.100)

con

p(n) =5

4(n + 1) , 4 > 1 , (5.101)

Q(n) =5

4(n + 1) +#

4n " 4n " 1. (5.102)

En [54] se demuestra que el problema anterior es punto lımite por loque el dominio del operador autoadjunto asociado, S(()(= T (()) es

D(S) = {y ! %2(N0) | (y ! %2(N0)}. (5.103)

El espectro del operador S(() es

&(S(()) = {$k.= "4k | k ! 0}

(ver [54, pag. 122 y ss.]), siendo la autofuncion asociada al autovalor$k el polinomio de Charlier de grado k

Ck(n) =&(n)4n"1

54n&(n + 1)

#k

<1

4n"1&(n " k)

=,

(5.104)

{Ck}!k=0 es una base de %2(N0), y

*Ck*2+2(N0) = k!4"ke

1# . (5.105)


Como en el ejemplo anterior el operador resolvente R' es un operadorde Hilbert-Schmidt ya que la sucesion {($ " $k)"1}!k=0 pertenece a%2(N0). Como antes,

(R'y)(n) =!!

m=0

M'(m, n)y(m), y ! %2(N0) ,(5.106)

con M' ! %2(N0 . N0); concretamente

M'(m, n) =!!

k=0

1

$ " $k

4ke"1#

k!Ck(m)Ck(n).

(5.107)

Como en el ejemplo anterior 0 ! &(S(()), por lo que no podemosutilizar directamente el Teorema 5.17. Sea ! ! R+ " {$k}!k=0 con!/4 /! N y S0

.= S(() + !I, entonces

&(S0) = {µk = "4k + ! | k ! N0}.

Las autofunciones siguen siendo los polinomios de Charlier Ck(n),pero ahora 0 /! &(S0).Puesto que

0!k=0 |µk|"2 < % y

0!k=0 |µk|"1 = %, el producto cano-

nico asociado a la sucesion {µk}!k=0 es

P ($) =!-

k=0

'1 "

$

µk

(e

%µk . (5.108)

Si utilizamos la formula de Mellin y operamos como en el ejemploanterior tenemos

P ($) =

exp

'$

43

'"

!

4

((&

'"

!

4

(

&

'"

!

4+

$

4

( , (5.109)

y

P #(µk) =("1)k+1

4&

'"

!

4

(k! exp

'1

43

'"

!

4

(µk

(.

(5.110)

Fijando n0 ! N0, definimos el nucleo !(m, $),

!(m, $) = P ($)M'"/(m, n0), m ! N0, $ ! C.(5.111)

Si

f($) =!!

n=0

F (n)!(n, $)


con F ! %2(N0), entonces

f($) =!!

k=0

f(µk)

$ " µk

4("1)k+1 exp

'" 1

)3

'" /

)

((µk " $)

(

k!&

''"/

)

( .(5.112)

BIBLIOGRAFIA

[1] Agarwal, R. P. Di!erence Equations and Inequalities. MarcelDekker, New York, 1992.

[2] Akhiezer, N. I., y Glazman, I. M. Theory of Linear Operatorsin Hilbert spaces. Dover Publications, 1962.

[3] Annaby, M. H., y El-Sayed, M. A. Kramer-Type sampling theo-rems associated with Fredholm integral operators. Methods and Ap-plications of Analysis 2, 1 (1995), 76–91.

[4] Aronszajn, N. Theory of reproducing kernels. Trans. Amer. Math.Soc. 68 (1950), 337–404.

[5] Atkinson, F. Discrete and Continuous Boundary Problems. Aca-demic Press, New York, 1964.

[6] Aubin, J.-P. Applied Functional Analysis. John Wiley & Sons,1979.

[7] Bargmann, V. On a Hilbert space of analytic functions and anassociated integral transform. Part I. Communications on Pure andApplied Mathematics XIV (1961), 187–214.

[8] Bargmann, V. On a Hilbert space of analytic functions and anassociated integral transform. Part II. Communications on Pure andApplied Mathematics XX (1967), 1–101.

[9] Benedetto, J. J., y Frazier, M. W., Eds. Wavelets Mathematicsand Applications. CRC Press, Boca Raton, 1994.

[10] Berenstein, C. A., y Gay, R. Complex Analysis and Special To-pics in Harmonic Analysis. Springer Verlag, New York, 1995.

[11] Beutler, F. J. Sampling theorems and bases in Hilbert spaces.Information and Control 4 (1961), 97–117.

156 BIBLIOGRAFIA

[12] Boas, R. P. Entire functions. Academic Press, New York, 1954.

[13] Bond, F. E., y Chan, C. R. On sampling the zeros of bandwidthlimited signals. IRE Trans. Inform. Theory IT-4 (1958), 110–113.

[14] Borel, E. Sur l’interpolation. C. R. Acad. Sci. Paris 124 (1897),673–676.

[15] Brown, Jr., J. L. Sampling of bandlimited signals: fundamentalresults and some extensions. En Handbook of Statistics Vol. 10, N. K.Bose y C. R. Rao, Eds. Elsevier, Amsterdam, 1993, pp. 59–101.

[16] Butzer, P. L. A survey of Whittaker–Shannon sampling theoremand some of its extensions. J. Math. Res. Exposition 3 (1983), 185–212.

[17] Butzer, P. L., y Nessel, R. J. Fourier Analysis and Approxima-tion. Birkhauser Verlag, Stuttgart, 1971.

[18] Butzer, P. L., Splettßtober, W., y Stens, R. L. The sam-pling theorem and linear predictions in signal analysis. Jahresber.Deutsch. Math. Vereni. 90 (1988), 1–60.

[19] Campbell, L. L. Sampling theorem for the Fourier transform of adistribution with compact support. SIAM J. Appl. Math. 16 (1968),626–636.

[20] Chihara, T. S. An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gor-don and Breach, New York, 1978.

[21] Coddington, E. A., y Levinson, N. Theory of Ordinary Di!e-rential Equations. McGraw Hill, New York, 1955.

[22] Conway, J. B. Functions of Complex Variable. Springer Verlag,New York, 1978.

[23] Duffin, R., y Schaeffer, A. Some properties of functions ofexponential type. Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 236–240.

[24] Duffin, R., y Schaeffer, A. A class of nonharmonic Fourierseries. Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952), 341–366.

[25] Dunford, N., y Schwartz, J. T. Linear Operators, Part II: Spec-tral Theory. John Wiley, New York, 1988.

[26] Edmunds, D. E., y Evans, W. D. Spectral Theory and Di!erentialOperators. Clarendon Press, Oxford, 1987.

[27] Everitt, W. N., Schottler, G., y Butzer, P. L. Sturm-Liouville boundary value problems and Lagrange interpolation series.Rendiconti di Matematica 14 (1994), 87–126.

BIBLIOGRAFIA 157

[28] Feichtinger, H., y Grochenig, K. Irregular sampling theoremsand series expansions of band–limited functions. J. Math. Anal. Ap-pls. 167 (1992), 530–556.

[29] Feichtinger, H., y Grochenig, K. Iterative reconstruction ofmultivariate band-limited functions from irregular sampling values.SIAM J. Math. Anal. 23 (1992), 244–261.

[30] Feichtinger, H., y Grochenig, K. Theory and practice of irre-gular sampling. En Benedetto y Frazier [9], Cap. 8.

[31] Ferrar, W. L. On the cardinal function of interpolation theory.Proc. Roy. Soc. Edinburgh 46 (1926), 323–333.

[32] Frazier, M., y Torres, R. The sampling theorem, 0-transform,and Shannon wavelets for R, Z, T, and Zn. En Benedetto y Frazier[9], Cap. 6.

[33] Garcıa, A. G. The Paley-Wiener-Levinson theorem revisited. In-ternat. J. Math. & Math. Sc. 20, 2 (1997), 229–234.

[34] Garcıa, A. G., y Hernandez-Medina, M. A. Finite samplingassociated with second order di$erence problems. En 1997 Workshopon Sampling Theory and Applications (Aveiro, Portugal, Junio 1997),Universidade de Aveiro, pp. 385–390.

[35] Garcıa, A. G., y Hernandez-Medina, M. A. Sampling Theo-rems associated with di$erence Sturm–Liouville problems. En 1997Workshop on Sampling Theory and Applications (Aveiro, Portugal,Junio 1997), Universidade de Aveiro, pp. 333–338.

[36] Garcıa, A. G., Moro, J., y Hernandez-Medina, M. A. On theDistributional Fourier Duality and its Applications. Enviado.

[37] Gasquet, C., y Witonski, P. Analyse de Fourier et Applications.Masson, Paris, 1990.

[38] Hadamard, J. La serie de Taylor et son prolongement analytique.Scientia 12 (1901), 45–89.

[39] Hardy, G. H. Notes on especial systems of orthogonal functions,IV: The orthogonal functions of Whittaker’s cardinal. Proc. Camb.Phil. Soc. 37 (1941), 331–348.

[40] Hartley, R. V. A more symmetrical Fourier analysis applied totrasmission problems. Proc. Inst. Radio Eng 30 (1942), 144–150.

[41] Heil, C. E., y Walnut, D. F. Continuous and discrete wavelettransforms. SIAM Review 31 (1989), 628–666.

158 BIBLIOGRAFIA

[42] Hernandez-Medina, M. A., y Garcıa, A. G. Dualidad de Fou-rier asociada a problemas de Sturm–Liouville regulares. En XV CED-YA / V CMA (Vigo, Espana, Septiembre 1997).

[43] Higgins, J. R. An interpolation series associated with the Bessel–Hankel transform. J. London Math. Soc. 5 (1972), 707–714.

[44] Higgins, J. R. A sampling theorem for irregularly sampled points.IEEE Trans. Infor. Theory IT-22 (1976), 621–622.

[45] Higgins, J. R. Completeness and bases of sets of special functions.Cambridge University Press, 1977.

[46] Higgins, J. R. Five short stories about cardinal series. Bull. Amer.Math. Soc. 12 (1985), 45–89.

[47] Higgins, J. R. Sampling Theory in Fourier and Signal Analysis:Foundations. Oxford University Press, Oxford, 1996.

[48] Hille, E. Introduction to general theory of reproducing kernels.Rocky Mountain Journal of Mathematics 2, 3 (1972), 321–368.

[49] Horvath, J. Topological Vector Spaces and Distributions. Addison–Wesley, Reading, Massachussetts, 1966.

[50] Horvath, M. Eigenfunction expansions for one–dimensional Diracoperators. Acta Sci. Math. (Szeged) 61 (1995), 225–240.

[51] Jerri, A. The Shannon sampling theorem and its various extensionsand applications: a tutorial review. Proc. IEEE 68, 11 (1977), 1565–1596.

[52] Jerri, A. A note on sampling expansion for a transform with para-bolic cylindrical kernel. Inform. Sci. 26 (1982), 155–158.

[53] Jerri, A. J. Integral and Discrete Transforms with Applications andError Analyisis. Marcel Dekker, New York, 1992.

[54] Jirari, A. Second-Order Sturm-Liouville di$erence equations andorthogonal polynomials. Memoirs of the AMS 113, 542 (1995).

[55] Kadec, M. I. The exact value of the Paley–Wiener constant. SovietMath. Dokl. 5 (1964), 559–561.

[56] Kak, S. C. Sampling theorem in Walsh–Fourier analysis. Electro-nics Lett. 6 (1970), 447–448.

[57] Kishi, G., y Maeda, N. Sampling theorems for signals given by li-near di$erential equations with constant coe%cients. Electron. Com-mun. 53, 4 (1970), 26–36.

BIBLIOGRAFIA 159

[58] Klusch, D. The sampling theorem, Dirichlet series and Bessel fun-ctions. Math. Nachr. 154 (1991), 129–139.

[59] Klusch, D. The sampling theorem, Dirichlet series and Hankeltransforms. Journal of Computational and Applied Mathematics 44(1992), 261–273.

[60] Kohlenberg, A. Exact interpolation of banlimited functions. J.Applied Physics 24 (1955), 1432–1436.

[61] Kotel’nikov, V. On the carrying capacity of the “ether” and wirein telecommunications, material for the first All–Union Conference onQuestions of Communications. Izd. Red. Upr. Svyazy RKKA (1933).

[62] Kramer, H. P. A generalized sampling theorem. J. Math. Phys.63 (1957), 68–72.

[63] Lancaster, O. E. Orthogonal polynomials defined by di$erenceequations. American Journal of Mathematics 63 (1941), 185–207.

[64] Landau, H. L. Sampling data transmission and the Nyquist rate.Proc. IEEE 55 (1967), 1701–1706.

[65] Lee, A. J. Characterization of band-limited functions and proceses.Inform. Control 31 (1976), 258–271.

[66] Levin, B. Distribution of zeros of entire functions, vol. 5 de Trans-lations of Mathematical Monographs. AMS, Providence RI, 1964.

[67] Levinson, N. Gap and Density Theorems, vol. 26 de Amer. Math.Soc. Colloq. Pub. Series. Amer. Math. Soc., New York, 1940.

[68] Levitan, B. M., y Sargsjan, I. S. Introduction to Spectral Theory,vol. 39 de Translations of Mathematical Monographs. AMS, Provi-dence RI, 1975.

[69] Levitan, B. M., y Sargsjan, I. S. Sturm-Liouville and DiracOperators. Kluwer Academic Publishers, 1990.

[70] Levy, H., y Lessman, F. Finite Di!erence Equations. Dover Pu-blications, New York, 1992.

[71] Marks II, R. J. Introduction to Shannon Sampling and Interpola-tion Theory. Springer Verlag, New York, 1991.

[72] Marks II, R. J., Ed. Avanced topics in Shannon Sampling andInterpolation Theory. Springer Verlag, New York, 1992.

[73] Marvasti, F. A Unified Approach to Zero Crossings and Nonuni-form Sampling. Department of Electrical Engineering Institute ofTechnology, Illinois, 1987.

160 BIBLIOGRAFIA

[74] Mingarelli, A. B. A limit point criterion for a three–term recu-rrence relation. C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 3, 3 (1981),171–175.

[75] Nashed, M. Z., y Walter, G. G. General samplings theorems inreproducing kernel Hilbert spaces. Math. Cont. Sig. Sys. 4 (1991),373–412.

[76] Nyquist, H. Certain topics in telegraph transmission theory. AIEETrans. 47 (1928), 617–644.

[77] Paley, R., y Wiener, N. Fourier transforms in the complex do-main, vol. 19 de Amer. Math. Soc. Colloq. Pub. Series. AMS, NewYork, 1934.

[78] Papoulis, A. Signal Analysis. Mc Graw Hill, New York, 1977.

[79] Pfaffelhuber, E. P. Sampling series for banlimited generalizedfunctions. IEEE Trans. Infor. Theory IT-17 (1971), 650–654.

[80] Poisson, S. D. Memoire sur la maniere d’exprimer les fonctions,par des series de quantites periodiques, et sur l’usage de cette trans-formation dans la resolution des di$erents problemes. J, Ecole Roy.Polytechnique 11 (1820), 417–489.

[81] Requicha, A. A. G. The zeros of entire functions: Theory andengineering applications. Proceedings of the IEEE 68, 3 (marzo 1980),308–328.

[82] Riesz, F., y Sz.-Nagy, B. Functional Analysis. Dover Publica-tions, New York, 1990.

[83] Robertson, A. P., y Robertson, W. J. Topological Vector Spa-ces. Cambridge University Press, 1973.

[84] Romero, J., y Plotkin, E. I. Nonuniform sampling based onthe use of root loci of orthogonal polynomials. En 1995 Workshopon Sampling Theory and Applications (Jurmala, Latvia, Sept. 1995),Institute of Electronics and Computer Science, Riga, Latvia, pp. 119–154.

[85] Seip, K. An irregular sampling theorem for functions bandlimitedin a generalized sense. SIAM J. Appl. Math. 47 (1987), 1112–1116.

[86] Seip, K. On the connection between exponential bases and certainrelated sequences in l2("#, #). J. Functional Analysis 130 (1995),131–160.

[87] Shannon, C. E. Communication in the presence of noise. En Proc.IRE (1949), no. 137, pp. 10–21.

BIBLIOGRAFIA 161

[88] Slepian, D. On bandwidth. Second Shannon lecture. Proc IEEE 64(1976), 292–300.

[89] Slepian, D. Some comments on Fourier analysis, uncertanity andmodeling. SIAM Review 28 (1983), 389–393.

[90] Soize, L. Methodes mathematiques en analyse du signal. Masson,Paris, 1993.

[91] Stein, E. M., y Weiss, G. Introduction to Fourier analysis onEuclidean spaces. Princeton University Press, Princeton, New Jersey,1971.

[92] Stenger, F. Numerical methods based on sinc and analytic fun-ctions, vol. 20 de Springer Series in Computational Mathematics.Springer Verlag, Berlın, 1993.

[93] Swarz, C. An Introduction to Functional Analysis. Marcel Dekker,1992.

[94] Szego, G. Orthogonal Polynomials, cuarta ed., vol. 23 de Amer.Math. Soc. Colloq. Pub. Series. AMS, Providence RI, 1975.

[95] Taylor, A. E., y Lay, D. C. Introduction to Functional Analysis.John Wiley & Sons, New York, 1958.

[96] Titchmarsh, E. C. The zeros of certain integral functions. Proc.London Math. Soc. 26 (1926), 283–302.

[97] Titchmarsh, E. C. The Theory of functions. Oxford UniversityPress, Oxford, 1939.

[98] Titchmarsh, E. C. Eigenfuntions Expansions Associated withSecond-Order Di!erential Equations, Part I. Clarendon Press, Ox-ford, 1962.

[99] Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels.Academic Press, San Diego, 1967.

[100] De La Vallee Poussin, C. J. Sur la convergence des formulesd’interpolation entre ordonnees equidistantes. Acad. Roy. Belg. Bull.C1. Sci. 1 (1908), 319–410.

[101] Walter, G. G. Sampling bandlimited functions of polynomialgrowth. SIAM J. Math. Anal. 19 (1988), 1198–1203.

[102] Walter, G. G. Wavelets and Other Orthogonal Systems with Ap-plications. CRC Press, Boca Raton, 1994.

[103] Weiss, P. Sampling theorems associated with Sturm-Liouville sys-tems. Bull. Amer. Math. Soc. 63 (1957), 242.

162 BIBLIOGRAFIA

[104] Welstead, S. T. Boundary conditions at infinity for di$erenceequations of limit-circle type. J. Math. Anal. and Appls. 89 (1982),442–461.

[105] Weyl, H. Uber gewohnliche Di$erentialgleichungen mit Singula-ritaten und die zugehorigen Entwicklungen wilkkurlicher Funktionen.Math. Ann. 68 (1910), 220–269.

[106] Whitakker, J. M. Interpolatory function theory. Cambridge Uni-versity Press, 1935.

[107] Whittaker, E. T. On the functions wich are represented by theexpansion on the interpolation theory. Proc. Roy. Soc. Edinburghsec. A 35 (1915), 181–194.

[108] Yao, K., y Thomas, J. On some stability and interpolatory proper-ties of nonuniform sampling expansion. IEEE Trans. Circuit TheoryCT-14 (1967), 404–407.

[109] Young, R. M. An Introduction to Nonharmonic Fourier Series.Academic Press, New York, 1980.

[110] Zayed, A. I. On Kramer sampling theorem associated with generalSturm-Liouville problems and Lagrange interpolation. SIAM J. Appl.Math. 51 (1991), 575–604.

[111] Zayed, A. I. Advances in Shannon’s Sampling Theory. CRC Press,Boca Raton, 1993.

[112] Zayed, A. I. A new role of Green’s function in interpolation andsampling theory. J. Math. Anal. Appls. 175 (1993), 222–238.

[113] Zayed, A. I. Function and Generalized Function Transformations.CRC Press, Boca Raton, 1996.

[114] Zayed, A. I. A generalized sampling theorem with the inverse of anarbitrary square summable sequence as sampling points. The Journalof Fourier Analysis and Applications 2, 3 (1996), 303–314.

[115] Zayed, A. I. Sampling in a Hilbert space. Proceedings of the AMS124, 12 (1996), 3767–3776.

[116] Zayed, A. I., El-Sayed, M. A., y Annaby, M. H. On Lagrangeinterpolation and Kramer’s sampling theorem associated with self–adjoint boundary–value problems. J. Math. Anal. Appls. 158 (1991),269–284.

[117] Zayed, A. I., y Garcıa, A. G. Kramer’s sampling theorem withdiscontinuous kernel. Por aparecer en Results in Mathematics.

BIBLIOGRAFIA 163

[118] Zayed, A. I., y Garcıa, A. G. Nonuniform sampling of banlimitedsignal with polynomial growth on the real axis. Aceptado en IEEETransactions on Information Theory.

[119] Zayed, A. I., y Garcıa, A. G. Sampling theorem associated withDirac operator and the Hartley transform. Aceptado en J. Anal.Math. Appl.

[120] Zayed, A. I., Hinsen, G., y Butzer, P. L. On Lagrange interpo-lation and Kramer-type sampling theorems associated with Sturm-Liouville problems. SIAM J. Appl. Math. 50 (1990), 893–909.

[121] Zemanian, A. H. Distribution Theory and Transform Analysis. Do-ver Publications, New York, 1987.

[122] Zygmund, A. Trigonometric series. Cambridge University Press,1957.

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TEOREMAS DE MUESTREO ASOCIADOS A PROBLEMAS … · En el Cap´ıtulo 2 se tratan los teoremas de muestreo asociados a pro-blemas de Sturm–Liouville, tanto regulares como singulares,