Corrientes Eléctricas Estacionaria

A partir de la teoría de corriente continua, usted se familiarizo con los

problemas de flujo de corriente en un medio conductor, como un alambre

metálica. La relación que rige en estos casos es la Ley de Ohm, la cual establece

que el voltaje entre dos terminales es igual al producto de la corriente y resistencia

entre los terminales. Si el voltaje se aplica a través de un buen aislante, fluirá poca

corriente debido a la alta resistencia. ¿Cómo explicamos entonces el hecho de que

la corriente fluya en un tubo de rayos catódicos, si el medio es vacío, un circuito

abierto?. Aparentemente la ley de ohm no es aplicable en este caso.

El movimiento de cargas libres ocasiona dos tipos de corriente eléctricas:

Corriente de convección y corriente de conducción. La corriente de convección se

debe al movimiento de las partículas con cargas positivas o negativas en el vació o

en un gas enrarecido. Como ejemplo tenemos los haces de electrones en un tubo

de rayos catódicos y los violentos movimientos de partículas cargadas durante una

tormenta. La corriente de convección, resultante de un movimiento hidrodinámico

que implica un transporte de masa, no está regida por la ley de Ohm.

El mecanismo de la corriente de conducción difiere de la corriente de

convección. En su estado normal, los átomos de un conductor ocupan posiciones

regulares en una estructura cristalina. Los átomos consisten en un núcleo con

carga positiva rodeado por electrones dispuestos como capas. Los electrones de

las capas inferiores están fuertemente ligados al núcleo y no tienen libertad para

alejarse. Los electrones de las capas exteriores de un átomo conductor no llenan

por completo las capas, son electrones de valencia o de conducción y su ligadura

al núcleo es muy débil. Estos electrones pueden vagar de un átomo a otro de

forma aleatoria. Los átomos se mantienen en promedio eléctricamente neutros y

no hay un movimiento neto de deriva de electrones

Densidad de Corriente y Ley de Ohm

Corriente de Convección

Considere el movimiento permanente de algún tipo de portadores de carga, cada

uno con una carga q (negativa en el caso de electrones), con velocidad u a través

de un elemento de superficie , como se muestra en la figura A. Si N es el

número de portadores de carga por unidad de volumen, entonces en el tiempo

cada portador se mueve una distancias u y la cantidad de carga que pasa por la

superficie es

= Nqu· (unidad colb) (1)

Figura A

Puesto que las corrientes es la razón de cambio de la carga con el tiempo,

tenemos

= Nqu· = Nqu (unidad Amp) (2)

En la ecuación (2) hemos escrito = como cantidad vectorial. Es

conveniente definir una función puntual vectorial, la densidad de corriente de

volumen o simplemente densidad de corriente, J, en amperes por metro

cuadrados

J= Nqu ( ) (3)

De manera que podemos escribir la ecuación (2) como

J

La corriente total I que fluye por una superficie arbitraria S es entonces el flujo del

vector J por S

I = J (Amp)

De hecho, el producto Nq es la carga libre por unidad de volumen, asi que

podemos reescribir la ecuación (3) como

J= u ( ) que es la relación entre la densidad de corriente de convección

y la velocidad del portador de carga

Corriente de Conducción

En el caso de la Corriente de Conducción puede haber más de un tipo de

portador de carga (electrones, huecos, iones) moviéndose con distintas

velocidades. Debemos generalizar la ecuación (3)

J= ( )

La corriente de conducción es el resultado del movimiento de deriva de los

portadores de carga bajo la influencia de un campo eléctrico aplicado. Los átomos

permanecen neutrales ( ). Es posible justificar de manera analítica que, para

la mayoría de los materiales conductores la velocidad de deriva media es

directamente proporcional a la intensidad de campo eléctrico. En el caso de los

conductores metálicos escribimos

= - E ( ) (8), donde es la movilidad del electrón en ( ). La

movilidad del electrón en el cobre es de 3,2 x ( ), en el aluminio es de

1,4 x ( ), y en la placa es de 5,2 x ( ). A partir de las

ecuaciones (3) ecuación (8) obtenemos

J= E (9)

Donde = - es la densidad de carga de los electrones en movimiento y es

una cantidad negativa. La ecuación (9) puede escribirse como

J= E ( ) (10)

Donde la constante de proporcionalidad, = es un parámetro constitutivo

macroscópico del medio denominado conductividad. La ecuación (10) es la forma

puntual de la Ley de Ohm.

En el caso de los semiconductores, la conductividad depende de la concentración y

de la movilidad tanto de los electrones como los huecos.

= + , h denota un hueco.

Los valores tipos de para el germanio son = 0,38 = 0,18 y para el silicio es

= 0,12 = 0,03

La ecuación (10) es una relación constitutiva de un medio conductor. La unidad de

es amperes por vo;t-matro ( o siemens por metros ( ). El cobre, el

conductor más común, tiene una conductividad de 5,80 x ( ). Por otra

parte la conductividad de germanio es aproximadamente de 2,2 ( ) y la del

silicio es de 1,6 x ( ). La conductividad de los semiconductores depende

de la temperatura.

El inverso de la conductividad es la resistividad y se mide en ohms por metros

(

Ecuación de Conductividad y ley de la Corriente de Kirchhoff

El principio de la conservación de la carga es uno de los postulados fundamentales

de la física. Las cargas eléctricas no se crean ni se destruyen, todas las cargas, ya

estén en reposo o en movimiento, deben considerarse en todo momento.

Considere un volumen arbitrario V limitado por una superficie S. Dentro de la

región existe una carga recta Q. Si fluye una corriente I a través de la a superficie

hacia fuera de la región, la carga en el interior del volumen debe disminuir con una

razón igual a la corriente. A la inversa, si fluye una corriente neta a través de la

superficie hacia el interior de la región, la carga en el interior del volumen debe

aumentar con una razón igual a la corriente. La corriente que sale de la región es

el flujo de salida del vector de densidad de corriente a través de la superficie S.

Tenemos

I = = - = - (18)

Podemos usar el teorema de la divergencia para convertir la integral de superficie

de J en la integral de volumen de J. Para un volumen estacionario tenemos,

= (19)

Al pasar la derivada temporal de dentro de la integral de volumen, es necesario

usar la diferenciación parcial por que puede ser una función del tiempo y de las

coordenadas espaciales. Los integrados deben ser iguales, ya que la ecuación (19)

debe ser válida sin importar la elección de V. Tenemos entonces

= ( ) (20)

Esta relación puntual derivada del principio de la conservación de la carga se

denomina Ecuación de Continuidad.

En el caso de corrientes estacionarias, la densidad de carga no cambia con el

tiempo. Por lo tanto

= 0

Por consiguiente las corrientes eléctricas estacionarias tiene divergencia nula o sea

son solenoidales. La ecuación (21) es una relación puntual y también es válida en

el punto donde = 0 (sin fuente de flujo) esto quiere decir que las líneas de

flujo de la corriente estacionaria se cierran sobre si misma, a diferencia de las

líneas de intensidad de campo electrostático que se originan y termina en carga.

La ecuación (21) nos conduce a la siguiente forma integral para cualquier

superficie cerrada

= 0 que puede escribirse como

= 0 (Amp) (23)

La ecuación (23) se demuestra que las cargas introducidas en el interior de un

conductor se moverán a la superficie del conductor y se redistribuirán de manera

que = 0 y E = 0 en el interior, en condiciones de equilibrio. Ahora podemos

demostar este enunciado y calcular el tiempo necesario para llegar al equilibrio. Si

combinamos la ley de ohm con la ecuación de continuidad y suponemos una

constante, tenemos

= - (24)

En un medio simple

= y la ecuación (24) se convierte en

+ = 0

La solución de la ecuación es

= (C/ ) (26)

En donde es la densidad de carga inicial en t= 0, tanto y pueden ser

función de las coordenadas espaciales y la ecuación (26) nos dice que la densidad

de carga en un lugar determinado disminuirá exponencialmente con el tiempo. Una

densidad de carga inicial disminuirá a o el 36,8% de su valor en un tiempo

igual a

= (s)

La constante de tiempo se denomina tiempo de relajación. En un buen

conductor como el cobre, para el cual

= 5,80 x (s/m), = = 8,85 x (F/m), = 1,53 x (s), un

tiempo realmente muy breve.

Disipación de potencia y ley de Joule

Antes indicamos que, macroscópicamente, los electrones conductores en un

conductor bajo la influencia de un campo eléctrico tienen un movimiento de deriva.

A nivel microscópico, estos electrones chocan con los átomos en sus posiciones de

la red. Por lo tanto, se transmite energía del campo eléctrico a los átomos por

medio de la vibración térmica. El trabajo realizado por un campo eléctrico E

para mover una carga q, una distancia es qE∙( , que corresponde a una

potencia

P = = qE∙u

Donde u es la velocidad de deriva. La potencia total suministrada a todos los

portadores de carga en un volumen

dp = = E ( )

dp = E J o = E J ( )

La función puntual E J es entonces una densidad de potencia en condiciones de

corriente estacionaria. Para un volumen V, la potencia eléctrica total convertida en

calor es

P = (watt) La ley de Joule

En un conductor de sección transversal constante, = , con medido en

la dirección J.

P = = V.I

Donde I es la corriente en el conductor. Puesto que V = R. I tenemos que

P = R La ecuación representa la potencia óhmica, que representa el calor

disipado en la resistencia R por unidad de tiempo.

Ecuaciones para la Densidad de Corriente Estacionaria

Como hemos visto el vector densidad de corriente J es una cantidad básica en el

estudio de la corriente eléctrica estacionaria. De acuerdo con el teorema de

Helmholtz, para la descripción de J se requiere la especificación de su divergencia

y su rotacional. En el caso de la corriente estacionaria, = 0. La ecuación del

rotacional se obtiene combinando la ley de Ohm (J = E) con = 0; es decir,

= 0. En el cuadro A, se muestra la forma diferencial y la forma integral

correspondiente a las ecuaciones que rigen la densidad de corriente estacionaria.

Tabla A

Ecuaciones para densidad de corriente estacionarias

Forma diferencial Forma Integral

= 0 = 0

= 0 = 0

Condiciones en la frontera de la componente normal de la densidad de corriente

Recordemos que En una superficie de separación entre dos medio diferentes, un

campo con divergencia nula tiene una componente normal y un campo rotacional

tiene una componente tangencial continua

= (A/ )

En la superficie de separación de dos medios óhmicos con conductividades y

=

Condiciones en la frontera de la componente tangencial de la densidad de

corriente.

=

Calculo de Resistencia

En campos eléctricos, se encontró la capacitancia entre dos conductores separados

por un medio dieléctrico. Estos conductores pueden ser de forma arbitraria, ver

Figura B. La fórmula básica de la capacitancia puede escribirse en término de la

cantidad de campo eléctrico como.

C= (F)

Figura B

C= = =

Donde la integral de superficie del numerador se aplica a una superficie que

encierra el conductor positivo y la integral de línea del denominador va desde el

conductor negativo (potencial menor) hasta el positivo (potencial mayor)

Cuando el medio dieléctrico tiene perdidas(tiene una conductividad muy pequeña

pero distinta de cero), fluirá una corriente del conductor positivo al negativo y se

establecerá en el medio un campo de densidad de corriente. La ley de ohm, J=

Asegura que las líneas de flujo de J y E serán las mismas en un medio isótropo. La

resistencia entre los conductores es

R= = =

Relación de C y R (o G) entre dos conductores

RC = =

La ecuación es válida si y del medio tiene la misma dependencia espacial o si

el medio es homogéneo (independiente de las coordenadas espaciales). En estos

casos, si se conoce la capacitancia entre dos conductores, podemos obtener la

resistencia (o la conductancia) directamente de la razón sin tener que hacer

nuevos cálculos.