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7/23/2019 Teoría de La Estabilidad
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http://download262.seambooks.org/pdf/ecuaciones-diferenciales-y-c-aacute-lculo- variacional-_23smhn.pdf
Teora de la estabilidadEn matemáticas, la teoría de estabilidad estudia la estabilidad de las soluciones
de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos, es decir, examina cómo difieren las
soluciones bajo pequeñas modificaciones de las condiciones iniciales.
La estabilidad es muy importante en física y ciencias aplicadas, ya que en general en los
problemas prácticos las condiciones iniciales nunca se conocen con toda precisión, y la
predictibilidad requiere que pequeñas desviaciones iniciales, no generen comportamientos
cualitativamente muy diferentes a corto plao. !uando la diferencia entre dos soluciones
con valores iniciales cercanos puede acotarse mediante la diferencia de valores iniciales
se dice que la evolución temporal del sistema presenta estabilidad.
Índice
"ocultar #
• $Estabilidad de ecuaciones diferenciales
• %Estabilidad num&rica
• 'Estabilidad de sistemas dinámicos
• ()ipos de estabilidad
"stabilidad de ecuaciones diferenciales"editar #
*ebido a que toda ecuación diferencial puede reducirse a un sistema de ecuaciones
diferenciales de primer orden equivalente, el estudio de la estabilidad de las soluciones deecuaciones diferenciales puede reducirse al estudio de la estabilidad de los sistemas de
ecuaciones diferenciales. !onsideremos por ejemplo un sistema de ecuaciones autónomo
no lineal dado por+
*onde es el vector de estado del sistema, un conjunto abierto que
contiene al origen y una función continua. in p&rdida de generalidad, se
puede asumir que el origen es un punto de equilibrio -si el punto de equilibrio fuera otro
punto se puede acer un cambio de variable y redefinir la función f para que coincida conel origen/+
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$. El punto origen es estable en el sentido de Lyapunov, si para cada ,
existe un tal que, si , entonces , para
cualquier .
%. El punto origen es estable asintóticamente si es estable en el sentido de
Lyapunov y existe tal que si , entonces .
'. El punto origen es estable exponencialmente si es asintóticamente estable y si
existen tales que si ,
entonces , para .
!onceptualmente, las definciones anteriores se pueden interpretar como que+
$. La estabilidad en el sentido de Lyapunov de un punto de equilibrio significa que lassoluciones que empiean 0suficientemente cerca0 de un punto de equilibrio -a una
distancia de ellos/ permanecen 0suficientemente cerca0 para siempre -como
muco a una distancia la una de la otra/. 1ótese que esto debe ser cierto para
cualquier que uno escoja.
%. La estabilidad asintótica significa que soluciones que empiean suficientemente
cerca, no sólo permecen cercanas sino que eventualmente acaban convergiendo
al mismo equilibrio.
'. La estabilidad exponencial significa que las soluciones no sólo convergen, sino que
además convergen al menos tan rápido como .
"stabilidad num#rica"editar #
Artículo principal: Estabilidad num&rica
La estabilidad num&rica t&cnicamente no forma parte de la teoría de la estabilidad, puesto
que no analia la estabilidad de soluciones de un sistema de evolución temporal, sino la
estabilidad del algoritmo usado para encontrar una de las soluciones de dico sistema. in
embargo, el propio algoritmo num&rico de resolución puede ser visto a veces como un
sistema dinámico discreto.
"stabilidad de sistemas din$micos"editar #
La estabilidad de los sistemas dinámicos se refiere a que pequeñas perturbaciones en las
condiciones iniciales o en alguna de las variables que intervienen en la ecuación del
movimiento produca un comportamiento suficientemente similar al comportamiento sin
dicas perturbaciones. 2ara sistemas deterministas descritos por ecuaciones diferenciales
la estabilidad del dico sistema de ecuaciones obviamente implica la estabilidad del
sistema.
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Tipos de estabilidad"editar #
• Estabilidad de Lyapunov
• Estabilidad estructural -matemática/
"stabilidad de %yapunov
En matemáticas, la noción de estabilidad de Lyapunov se da en el estudio de los sistemasdinámicos.
*e manera esquemática, diremos que un punto de equilibrio de la ecuación diferencial
omog&nea es estable si todas las soluciones a la ecuación que parten en
un entorno de se mantienen cerca de para todo tiempo posterior.
Esta definición de estabilidad lleva el nombre de 3le4sandr Liapunov, quien publicó en$56% su tesis de doctorado El problema general de la estabilidad del movimiento , dondedefine este concepto.
7ndice
•
$ *efinición
• % Ejemplos
• ' El caso lineal
• ( 3lgunos resultados
o (.$ El teorema de 8artman9:robman
o (.% ;unciones de Lyapunov
• < =&ase tambi&n
• > ?ibliografía
&efinici'n"editar #
ea un campo de vectores en una variedad diferenciable @.!onsideremos la ecuación diferencial
,
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tal que -es decir, un punto de equilibrio de la ecuación/. *iremosque es+
$. estable en el sentido de Lyapunov si para todo , existe tal que
si es solución de la ecuación con , entonces para
tenemos .
%. asintóticamente estable si cumple con el punto anterior y además el
puede elegirse de manera que .
"(emplos"editar #
-1/ ea la ecuación diferencial en . El A es un punto de equilibrio de laecuación. =eamos que es asintóticamente estable.
i entonces la solución de la ecuación con condición
es . Es fácil ver que para todo tendremos que esa soluciónes decreciente y tiende a A cuando .
2or lo tanto, dado , tomando se cumple+ si
entonces para y .
-2/ 2ara la ecuación el A tambi&n es un punto de equilibrio. =eamos que no esestable.
i entonces la solución a la ecuación con condición
es .
)omando tenemos que ningBn sirve para la definición de estabilidad+
dado la solución verifica pero existe tal
que .
-3/ ea la ecuación , donde . =eamos que el origenes un punto de equilibrio estable pero no asintóticamente estable.
2ara ello mostremos que si es solución a la ecuación
entonces es
constante+ . 2or lo tanto, toda
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solución que parte a distancia r del origen se mantendrá a distancia r siempre. Estoimplica que el origen es estable pero no asintóticamente.
"l caso lineal"editar #
2ara el caso de ecuaciones en del tipo , donde , seconoce una clasificación completa de los casos en que el origen es un punto deequilibrio estable o asintóticamente estable, estudiando sus valores propios.
i tiene todos sus valores propios con parte real negativa entonces el origen es unpunto de equilibrio asintóticamente estable. i la matri tiene algBn valor propio conparte real positiva entonces el origen no es estable.
2ara el caso en que tenga valores propios con parte real nula se sabe que el origenno es asintóticamente estable. 2ara ver si es estable debemos estudiar lasmultiplicidades geom&tricas de dicos valores propios. !uando la matri tiene valorespropios con parte real menor o igual a cero tendremos que+ el origen es estable si ysolo para todo valor propio con parte real A se tiene que la multiplicidad algebraicade es igual a la geom&trica.
)lgunos resultados"editar #
El teorema de 8artman9:robman[editar ]
ea una función diferenciable. El teorema de 8artman9:robman indica que para estudiar la estabilidad de un punto de equilibrio de la
ecuación puede utiliarse su aproximación lineal en algunos casos. @ás
en concreto+ sea tal que y sumatri jacobiana notiene valores propios con parte real nula, entonces es -asintóticamente/ estable si y
solo si el origen es -asintóticamente/ estable para la ecuación .
;unciones de Lyapunov[editar ]
ea una función de clase . !onsideremos la
ecuación . upongamos verifica .
ea un entorno de p, derivable tal que
, . 3 una función así la llamaremos función deLyapunov. 2ara solución a la ecuación diferencial, la derivada de
es .
Existen dos resultados debidos a Lyapunov que conciernen este tipo de funciones+
$. si entonces p es estableC
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%. si entonces p es asintóticamente estable.
*#ase tambi#n"editar #
•
;unción de Lyapunov
+ibliografa"editar #
• otomayor, Dorge -$66/. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias -enportugu&s/. Fío de Daneiro+ G@23 -2rojeto Euclides/.
• :il, Hmar -%AA%/. IEcuaciones diferenciales ordinarias+ teoría básicaJ. Curso
introductorio a las ecuaciones diferenciales. @ontevideo+ G@EFL -;acultad deGngeniería, Kniversidad de la FepBblica/. pp. %(<%%.
• Gma, !arlosC =orel, Mdene4 -$6>5/. IEl problema de estabilidadJ. Ecuacionesdiferenciales ordinarias -primera edición/. @&xico *.;.+ Limusa9Niley .3. pp. $%'$<>.
• Lyapunov, 3le4sandr -$66%/. !e general problem of stabilit" of motion -eningl&s/ -primera edición/. Londres+ )aylor O ;rancis.
