Potencial en Medios Estratificados

Un problema común y relativamente sencillo en geoelectricidad se presenta cuando en una sección generalmente sedimentaria, se desea investigar la geometría y posible litología de las unidades que la conforman. En estos casos se suelen usar campos estacionarios, que a través de electrodos permiten inyectar corrientes y con otros se mide el potencial. Podemos intentar medir indirectamente las variaciones de resistividad con profundidad en un punto, se habla entonces de Sondeos Eléctricos Verticales (SEV), o se pueden buscar variaciones laterales de propiedades eléctricas, en este caso se habla de “ Calicatas”.

Como primera aproximación supondremos que el medio a estudiar se puede caracterizar, por una cierta estratificación y se mostrará el proceso de cómo a partir de datos medidos en superficie, podremos deducir nuestras incógnitas. El problema se solucionará con cuatro suposiciones:1. El subsuelo consiste en un número finto de capas, separadas entre sí por interfases horizontales, la más profunda de espesor infinito, las otras poseen espesores finitos.2. Cada una de las capas es eléctricamente homogénea e isotrópica.3. El campo es generado por una fuente puntual de corriente, localizada en la superficie de la tierra.4. La fuente de corriente es directa.

Vamos a encontrar una expresión para el potencial en términos de corrientes, distancias entre electrodos y parámetros del subsuelo, para esto solucionaremos la ecuación de Laplace para el potencial eléctrico V. La solución se plantea por simetría, en coordenadas cilíndricas:

2 V 1 V 2 V + 1 2 V 0 (1) r 2 r r z 2 r 2 2

Como se asume isotropía en cada capa, no habrá dependencia angular, por lo tanto sólo subsisten los primeros tres término y la solución de la ecuación se puede hacer por separación de variables:

V (r, z) = U(r) W(z) (2)

Esto conduce a las siguientes soluciones para U y WW = C e - z y W = C e + z (3)

U = C J o ( r) (4)

Donde C y son constantes arbitrarias y J o es la función Bessel de orden cero. De modo que la solución general, suponiendo que C varía en dependencia de , será:

V = o e - z e + z J o ( r) d (5)

La solución anterior va a tener algunas ventajas si se expresa de modo que incluya en forma expresa la solución para un medio homogéneo e isotrópico al que se le inyecta una corriente I:

V = 1 I (6)

2 r 2 + z 2

utilizando además en la teoría de las funciones Bessel, la denominada integral de Lipschitz:

o e - z J o ( r) d = 1 (7) r 2 + z 2

De este modo, la solución general se puede escribir como:

V = 1 I o e - z + e - z e + z J o ( r) d (8) 2

Donde y son funciones arbitrarias de , que no necesariamente son las mismas para cada capa, por lo tanto hay necesidad de especificar su valor.

Vi = 1 I o e - z + i e - z i e + z J o ( r) d (9) 2

Cuando se aplican las condiciones de frontera para tratar de encontrar los valores de las constantes se obtiene que:

1 = 1 y que n = 0

Se puede entonces establecer un sistema de n ecuaciones para las n capas, para encontrar los respectivos valores de i y i , el sistema es lineal y se puede solucionar, p.ej. mediante determinantes (Koefoed, 1979). El caso quizás más común va a ser el de medir el potencial en la capa i = 1, mediciones en la superficie del terreno (z = 0). En este caso:

V = 1 I o 1 + 2 1 J o ( r) d (10) 2

En esta ecuación V es el potencial en un punto de la superficie, I es la intensidad de corriente emitida por una fuente puntual, 1 es la resistividad eléctrica de la primera capa, es una variable de integración, r es la distancia desde la fuente de corriente hasta el punto de medición, J o es la función Bessel de orden cero y finalmente 1 es una función que se denominará función Kernel, que está controlada por las resistividades de las capas, i y las profundidades de los planos de interfases, hi. La función kernel se puede expresar en términos de los parámetros del subsuelo, como el cociente de dos determinantes.

Relaciones de Recurrencia.

Al observar la ecuación (10) conviene definir una nueva función, K() como:K() = 1 + 2 1 (11)

De este modo, la expresión del potencial se transforma en:

V = 1 I o K J o ( r) d (12) 2

La función K se denomina la función kernel de Slichter y a 1 la función kernel de Stefanescu. La relación entre estas funciones y los parámetros del subsuelo se puede

obtener a partir del cálculo de los determinantes, sin embargo, existen expresiones más convenientes para estas relaciones, expresadas en términos de “relaciones de recurrencia”.Dos relaciones de recurrencia comunmente usadas son las de Pekeris y la de Flathe. Su diferencia se esquematiza en la figura 1

0

1 1 1

2 2 2

3

Figura 1

El diagrama de la izquierda ilustra una secuencia original de capas en el subsuelo, el diagrama del centro ilustra el efecto de la relación de recurrencia de Flathe, que es el de agregar una nueva capa en la base de la secuencia original y el diagrama de la derecha muestra el efecto de la relación de recurrencia de Pekeris, que es el de agregar una nueva capa en el tope de la secuencia original y al mismo tiempo mover los electrodos a la superficie de la nueva capa.

La relación de recurrencia de Pekeris se puede aplicar en el sentido inverso, esto es, remover la capa del tope y bajar los electrodos al tope de la nueva capa, proceso que se conoce como reducción al plano de una interfase inferior.

Realmente el problema que se quiere simplificar con las fórmulas de recurrencia, es la solución del sistema lineal de n ecuaciones, expresando una parte del determinante general, en función de la otra y viendo como se modifican las matrices al agregar o quitar más información. Flathe demostró que la adición de una nueva capa modificaba los determinantes que definían el numerador, N y el denominador, D del kernel de Slichter:

D n +1 (u) = D n (u) – k n u 2 n D n (1 /u) (13)

N n +1 (u) = N n (u) – k n u 2 n N n (1 /u) (14)

Los subíndices se refieren al número de capas que poseen las secuencias y

k n = ( n –1 - n ) / ( n –1 + n ) ; u n = exp (- h n )En estas expresiones, h n es la profundidad al plano de interfase de la capa n. La relación de recurrencia de Flathe consta de dos ecuaciones separadas, una para el numerador y otra para el denominador, las cuales no se pueden combinar para obtener una sola ecuación de recurrencia para la función kernel.

La relación de recurrencia de Pekeris describe la adición de una nueva capa en el tope de la secuencia original de capas, combinado con el desplazamiento de los electrodos. Pekeris encontró que:

K i = K i + 1 + p i tanh ( t i) / p i + K i + 1 tanh ( t i ) (15)

En esta última ecuación K es la función kernel de Slichter, el subíndice corresponde a la capa más superficial de la secuencia en consideración. Se ha usado p i = i / i +1 y t i

es el espesor de la capa i. Se ve que la relación de recurrencia de Pekeris consiste en una sola ecuación que describe los cambios de la función kernel de Slichter.

Nótese que la recurrencia de Pekeris se puede invertir:

K i +1 = p i K i p i tanh ( t i) / 1 + K i tanh ( t i ) (16)

Koefoed introdujo el concepto de Transformada de resistividad, T i , definido como:

T i = i K i (17)Para la transformada de resistividad, las relaciones de recurrencia de Pekeris son:

T i = T i + 1 + i tanh ( t i) / 1 +T i + 1 tanh ( t i ) / i (18)

T i +1 = T i i tanh ( t i) / 1 T i tanh ( t i ) / i (19)

La transformada de resistividad tiene las dimensiones físicas de una resistividad y es función de los parámetros de las capas y de , que tiene dimensiones de recíproco de longitud. Existen comportamientos análogos entre transformada de resistividad como función de longitud (1/) y la resistividad aparente como función de separación de electrodos. Por ejemplo, sus comportamientos asintóticos y sus ambigüedades descritas en los fenómenos de equivalencia y supresión.

La Función Resistividad Aparente.

Cuando se tiene un medio Semi Infinito Homogéneo e Isotrópico (SIHI), el potencial medido a una distancia r de la fuente de corriente I está dado por:

V(r) = I / 2 r (20)

En esta ecuación la resistividad que aparece es la resistividad verdadera del medio y como los otros términos de la ecuación ( V, I, r) son resultados de una medición, la resistividad también se conoce como resistividad medida o aparente. Esta resistividad aparente va a seguirse observando o midiendo aun cuando el medio sea heterogéneo. En la práctica, las medidas se realizan con cuatro electrodos, dos de corriente Ay B, y dos de potencial M y N. Para un medio SIHI se obtiene que:

V = 2 I 1 1 (21) 2 s – b s + b

A M N B

b

s

Figura 2

Despejando el valor de de la ecuación anterior, se obtiene la expresión para la resistividad aparente, ¯:

¯ = V 2 s ( s 2 - b 2 ) (22)I 4 b s

El factor ( s 2 - b 2 ) / 4 b s, es el denominado factor geométrico y depende del tipo de configuración de electrodos que se utilice. Si la separación de electrodos consecutivos es igual (=a), el arreglo se denomina de Wenner. En este caso b= a/2 y s = 3 a /2 y :

¯W = ( V / I ) 2 a

Para la interpretación de los datos de SEV es importante conocer la relación entre las funciones resistividad aparente y transformada de resistividad. Primero se encontrará la relación entre resistividad aparente y función kernel de Slichter. La ecuación (23) sirve de partida:

V = 1 I o K J o ( r) d (23) 2

Así que la diferencia de potencial de la ecuación (23) se debe remplazar por:

V 2 V s - b - V s + b

Donde la expresión para V está dada por la ecuación (12). Esto conduce a:

¯ 2 1 s s 2 - b 2 K () Jo s b Jo s bd (24)4bs

o¯ 2 s s 2 - b 2 T () Jo s b Jo s bd (25)

4bsIntroduciendo la excentricidad c = b / s, esta ecuación se puede escribir como:

¯ 2 s 1 - c 2 T () Jo s (1 c Jo s (1 c d (26) 4 c

Casos particulares se obtienen para la configuración de Wenner, cuando c = 1/3 y s = 3a/2,

¯W 2 a T () Jo (a Jo ( 2a d (27)

y para la configuración de Schlumberger:

¯Sc 1 + s 2 T () 1 J1 (s d (28)

Por conveniencia es preferible expresar la relación entre resistividad aparente y transformada de resistividad en términos de variables logarítmicas. De este modo, las curvas van a tener una apariencia más regular, en el sentido de que los períodos de las oscilaciones de las funciones tienden a permanecer del mismo orden de magnitud sobre todo el rango de las curvas. Se introducen entonces las variables x, y, definidas por:

x = log e (s) (29)

y = log e (1 / ) = log e ()

Si se usa además la notación 2s = 2 e x para la distancia entre electrodos de corriente, la expresión general para el arreglo lineal simétrico se transforma en: ¯ 1 - c 2 T (y) Jo (1 c e x - y Jo (1 c e x - y e x - y d y (30)

2 c

Que para el arreglo de Wenner se trasforma en:

¯W = 2 T (y) Jo ( e x - y ) Jo (2 e x - y ) e x - y d y (31)

y para el de Schlumberger:

¯Sc = 1 + T (y) - 1 J1 ( e x - y ) e 2 (x - y) d y (32)

Filtrado Digital

La aplicación del método de filtros lineales digitales en la interpretación de sondeos de resistividad fue iniciada a finales de la década del 60 por Kunetz y principalmente Ghosh. La aplicabilidad del método se basa en el hecho de que las relaciones mostradas entre transformada de resistividad y resistividad aparente son lineales y también lo son las distintas funciones de resistividad aparente entre los diversos arreglos lineales.

En el método de filtros lineales digitales, los valores de una de las funciones se obtienen como una expresión lineal de los valores muestreados de la otra función, habiéndolos tomado a intervalos constantes sobre el eje de las abscisas. Los coeficientes de esta expresión lineal se denominan los coeficientes del filtro.

Recordemos dos teoremas básicos del muestreo:1. Una función queda completamente definida por sus valores muestreados, a intervalo constante, y, siempre que el espectro de Fourier de la función sea cero, para todas las frecuencias mayores que 1 / ( 2 y).2. Este teorema define como se puede reconstruir una función a partir de sus valores muestreados: “Cada valor muestreado se debe remplazar por el producto de su valor muestreado por una función sinc - tipo (Sen x)/x - con período 2 y y cuyo eje de simetría pasa por el punto en consideración. El valor de la función en cualquier punto es entonces, igual a la suma infinita de estas funciones sinc. Así, si una función T (y) se muestreó a distancias ( yo + j y ), entonces el valor de la función en una abscisa y, se obtendrá como:

T (y) = - ∞ T ( yo + j y ) Sen (y - y o - j y) / y (33) (y - yo - j y) / y

El requerimiento mencionado en el primer teorema de que el espectro de Fourier de la función no deba contener frecuencias más altas que la de Nyquist, nunca se satisface plenamente en las funciones de resistividad aparente o transformada de resistividad, ya que sus espectros no se vuelven cero en una frecuencia finita, sino que tienden

asintóticamente a cero. El muestreo, que significa una frecuencia de corte en la frecuencia de Nyquist ( 1 / 2 y), causa un error que aumenta con la longitud del intervalo de muestreo.

A manera de ejemplo consideremos la relación entre la transformada de resistividad y la resistividad aparente, en el caso de un arreglo de Wenner, sustituyamos el valor de T(y) de la ecuación 4.7.11 por el dado por la ecuación (33).

¯W = - ∞ T ( yo + j y ) 2 Sen (y - y o - j y) / y (34) (y - yo - j y) / y

x Jo ( e x - y ) Jo (2 e x - y ) e x - y d y

La ecuación anterior se puede escribir como:

¯W = - ∞ f j T ( yo + j y ) (35)

Donde la notación f j ha sustituido la integral de la ecuación (34). Estos f j son los coeficientes del filtro, mediante el cual los valores muestreados de la transformada de resistividad se deben multiplicar para obtener la función de resistividad aparente. Introduciendo la notación = x – y, los coeficientes del filtro se pueden dar como:

f j = 2 Sen (- + x - y o - j y) / y Jo (e ) Jo (2 e ) e d (36) (- + x - yo - j y) / y

En la anterior ecuación se puede ver que el valor de los coeficientes del filtro está determinado únicamente por los valores x - yo - j y, esto es, la distancia sobre las abscisas desde el punto de muestreo T ( yo + j y ), hasta el punto donde se determina el valor de la función resistividad aparente (x). Así que el filtro se puede considerar como una función continua de (x - yo - j y).

En el proceso de interpretación de SEV’s se usan tres tipos de filtros:1. Filtros para la determinación de valores de la función de resistividad aparente, a

partir de la transformada de resistividad, estos filtros se denominan “indirectos”.2. Filtros para determinar valores muestreados de la función transformada de

resistividad, a partir de la resistividad aparente, estos se denominan “filtros directos”.

3. Filtros para determinar valores muestreados de función de resistividad aparente, en una configuración de electrodos, a partir de otra configuración.

Los filtros se pueden calcular de diferentes maneras: por integración directa, por mínimos cuadrados, mediante la transformada z, o mediante la transformada de Fourier, siendo este último método el más usado actualmente, porque entre otras cosas sirve para cualquier tipo de filtros.

Se puede ver la semejanza entre ecuaciones como la que describe la convolución:

g (t) = h () k(t) dy ecuaciones que aparecen en los filtros de resistividad:

T(y) = ¯Sc (x) J1 ( e - ( y -x ) ) d x

Cálculo de Curvas modelo de Resistividad Aparente.

Desde el comienzo de la interpretación de SEV’s (1955) se establecieron ábacos de dos, tres y hasta cuatro capas, para modelos representativos. Este trabajo se puede hacer mediante diferentes métodos, tales como: integración numérica, método de imágenes, descomposición en fracciones parciales o mediante filtros lineales. Este último método es el que más se usa actualmente.

El procedimiento consiste en dos etapas: la primera es calcular los valores muestreados de la transformada de resistividad, a partir de los parámetros de las capas. Esto se realiza mediante la aplicación de una relación de recurrencia, recordemos que por ejemplo la relación de Pekeris da:

Ti = = T i + 1 + i tanh ( t i) / 1 +T i + 1 tanh ( t i ) / i (37)

La segunda etapa del proceso es la determinación de valores muestreados de resistividad aparente, a partir de los de la transformada de resistividad mediante la aplicación de un filtro lineal, que en general se puede escribir como:

¯ (x o ) = - ∞ f j T ( yo - j y ) (38)

En esta ecuación, x o es la abscisa del punto de la función salida ( resistividad aparente) y yo, la abscisa del primer punto de la función entrada ( transformada de resistividad), con abscisa x o , si no hay desplazamiento entre entrada y salida, yo = x o , la inversión del signo corresponde a una inversión en la secuencia de los coeficientes del filtro.