Teor a de Mo dulos Algebra Lineal

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Jos Luis Camarillo Nava

Teor a de Mo dulos

Cap tulo I

Estructura de mdulo sobre un anillo

Sea (R, +, 0, *, 1) un anillo con identidad multiplicativa 1 y supngase que 1 .

Supngase que (M, +) es un grupo abeliano. Recurdese al conjunto

( ) { | (1)

Es muy fcil demostrar que ( ) es un anillo bajo la suma y el producto usual de

funciones: concretamente, si ( ) entonces y, se definen,

respectivamente, por

{ ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ( )) (2)

para cada .

El elemento neutro para el producto de esta estructura de anillo es la funcin identidad

de M, que se denotar por . En Teora de Anillos es muy til la nocin dada en la

siguiente

Obsrvese que entonces, en las condiciones de la definicin 1.1, a cada le

corresponde ( por medio de ) un homomorfismo de , ( ) , y se tienen las siguientes

propiedades

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (3)

( )

para cada

Usualmente, se dice tambin (en estas condiciones) que opera sobre . En efecto,

para demostrarlo se procede como sigue: para cada y , se define una ley de

operacin externa por

Definicin 1.1:

Sea (R,+,0,*,1) un anillo con identidad, y (M, +) un grupo abeliano. Se llama

representacin de R sobre M a todo homomorfismo de anillos, ( )

[ ( )]( ) (4)

Esta operacin tiene las siguientes propiedades:

(m.1) Si y ( ) .

(m.2) Si y ( ) .

(m.3) Si y ( ) ( .)

(m.4) Si .

As pues, se ha obtenido una nueva estructura definida en M por el anillo R y

caracterizada por las propiedades (m.1), (m.2), (m.3) y (m.4). Esta estructura es de

gran utilidad en Teora Algebraica de Nmeros.

As pues, una representacin de sobre , , induce una estructura de - mdulo a

izquierda.

Recprocamente, supngase que se tiene definida sobre una estructura de - mdulo

a izquierda, , tal que si ( ) , se satisfacen las propiedades

(m.1), (m.2), (m.3) y (m.4). Se obtendr, de manera natural, una representacin de

sobre . En efecto, como se cumple (m.1) entonces los elementos de actan

linealmente sobre , por lo que es natural definir, para cada , la aplicacin

dada por

( ) (5)

Por (5) y (m.1), es claro que es un homomorfismo de anillos, es decir:

Definicin 1.2:

Sea (R,+,0,*,1) un anillo con identidad, y (M, +) un grupo abeliano. Se llama

estructura de R-modulo a izquierda sobre M a toda aplicacin , tal que si ( ) , se satisfacen las siguientes propiedades:

(m.1) ( ) (m.2) ( ) (m.3) ( ) ( ) (m.4) cualesquiera sean y .

( ) , para cada (6)

Considrese entonces la aplicacin ( ) , definida por

( ) para cada (7)

Usando (m.2), (m.3) y (m.4) se demuestra que es un homomorfismo de anillos, es

decir, una representacin de sobre . Obsrvese que la aplicacin induce la

estructura de - mdulo a izquierda sobre con la que se comenz el razonamiento.

Se ha demostrado pues, el siguiente

Ejemplo 1:

Recurdese que (,+,*) es un anillo. Se afirma que todo grupo abeliano, ( ), es

un -mdulo a izquierda. En efecto, para demostrarlo, bastara lograr definir una

operacin externa entre los elemento de y los elementos de . Ms precisamente, si

y , se puede definir el smbolo por

{

( )

( ) ( ) (8)

As, se puede demostrar que (8) es o define una estructura de -mdulo a izquierda

verificando que se cumplen los axiomas de la definicin (1.1) (Ejercicio para el lector).

Ejemplo 2:

Todo espacio vectorial sobre un cuerpo es (obviamente) un -mdulo a

izquierda.

Ejemplo 3:

Sea ( ) un anillo. El producto de anillo determina (obviamente) una

estructura de mdulo a izquierda sobre el grupo abeliano ( ).

Teorema 1.1:

Sea (R,+,0,*,1) un anillo con identidad, y (M, +) un grupo abeliano. Entonces, existe

una correspondencia biyectiva entre representaciones del anillo en ( ) y estructuras de R-modulo a izquierda definidas sobre M.

Ejemplo 4:

Sea ( ) un grupo abeliano y considrese al anillo como el anillo de

endomorfismos de :

( ) { | .

Entonces, ( ) tiene una estructura natural de -modulo a izquierda. Obsrvese que

en este caso los elementos de son funciones. As pues, si y si , se puede

definir la operacin *, es decir, el smbolo de manera natural por

( )

Demostracin:

(): En efecto, sea . Entonces, se tiene que y as, por la hiptesis de

(i), resulta que

( ) ( ( )) ( ) ( )

. Luego, ( ).

():

Teorema 1.2:

Sean ( ) y ( ) anillos, I un ideal de . Supngase que es un

homomorfismo de anillos y sea R / I el epimorfismo cannico. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) Existe un homomorfismo tal que

(ii) ( )

En tal caso, es nico .

Recurdese que es el anillo

de todas las clases laterales

izquierdas mdulo I:

{ |

As, es natural definir por

( ) ( ) , para cada (9)

Como la definicin hecha en (9) depende en principio del representante, , es

necesario demostrar que, en realidad, est bien definida. Ms precisamente, debe

demostrarse que

y ( ) ( ) (10)

En efecto, si y , entonces

( ) (por la hiptesis de (ii))

( )

( ) ( )

Ahora bien, por (9) y por ser ( ) para cada , es claro que

( ) ( ) ( ( ) ) ( )( ) para cada

Luego, .

Finalmente, obsrvese que es nico: en efecto, pues suponiendo que se tenga otro

homomorfismo de anillos, tal que , se tendra entonces que

(11)

Como es sobreyectiva, entonces cancelable a derecha (consulte el Ejercicio 1.1), lo

que implica por (11) que .

Demostracin:

():

Por hiptesis, se tiene la estructura de a izquierda y, la

estructura de ( ) a izquierda ( ) . Considrense entonces

las respectivas representaciones y que, como se demostr en el Teorema 1.1,

inducen estas estructuras:

( )

( ) ( )

End(M)

Esto implica que

Teorema 1.3:

Sean ( ) y (M, +) un a izquierda. Supngase que I es un ideal de . Considrese el conjunto

{ | Considrese la ley de operacin externa ( ) definida por :

, para cada y (12)

Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) La ley de operacin externa, ( ) , es una estructura de ( ) a izquierda.

(ii) {

Si y r [ ( )]( ) (13)

Si y [ ( )]( ) (14)

Por (12), (13) y (14) se tiene que

[ ( )]( ) = [ ( )]( ) cualesquiera sean y (15)

Por (15), resulta que

[ ( )] = [ ( )] para cada (16)

La ecuacin (16) implica que lo que implica por el Teorema 1.2 que

( ), de modo que

( ) ( ) , para cada (17)

Por (13) y (17), resulta que para cada y para cada , de modo

que { .

() Sea ( ) la representacin que induce la estructura de

a izquierda. Entonces, vale que

Si y r [ ( )]( ) (18)

Por otro lado, como { (por hiptesis), se tiene que

para cada y para cada ,

de modo que por (18), resulta que

( ) ( ) , para cada

lo que implica que

( )

lo que implica que ,por el Teorema 1.2, que existe un homomorfismo de anillos

( ) ( ) tal que

(19)

Como se demostr en el Teorema 1.1, la existencia del homomorfismo permite

definir una estructura de ( ) a izquierda, ( ) , por

Si y [ ( )]( ) (20)

Obsrvese que, por (19) y (20), resulta que para cada y

[ ( )]( ) = [ ( )]( ) [ ( ( ))]( ) [ ( )]( )

Ejemplo 5:

Sea el anillo ( ) usual de los nmeros enteros. Para cada , con

, tmese el ideal de , . Recurdese que el anillo cociente es el

anillo de enteros modulo , . Es decir:

{

Considrese el grupo abeliano ( ). Por el resultado del Ejemplo 1: , se tiene

que es un mdulo . Segn el Teorema 1.3, la ley de operacin externa

definida para cada y por

,

ser una estructura de mdulo a izquierda sobre si, y slo, si { . Pero,

es claro que { . Por tanto, no es una estructura de mdulo a izquierda

sobre .

Ejemplo 6:

Sea el anillo ( ) usual de los nmeros enteros. Para cada , con

, tmese el ideal de , . Tmese otro nmero natural y

considrese el grupo abeliano ( ). Por el resultado del Ejemplo 1: , se tiene

que es un mdulo definiendo la operacin para cada y

por

Segn el Segn el Teorema 1.3, la ley de operacin externa

definida para cada y , por

,

ser una estructura de mdulo a izquierda sobre si, y slo, si {

lo cual (obviamente) equivale a que { , lo cual a su vez es (obviamente)

equivalente a que | .

Ejemplo 7:

Segn el Ejemplo 6, si , se tiene que tiene una estructura natural de

mdulo a izquierda si, y slo, si | . As, por ejemplo, tiene una estructura

natural de mdulo a izquierda (pues 2 | 4!). Esta estructura natural tiene la

siguiente tabla de operaciones:

*

Ejemplo 8:

Sea ( ) un grupo abeliano y un nmero primo. Por el Ejemplo 1 se sabe

que es un -mdulo a izquierda. Considrese el ideal . Segn el Teorema 1.3,

la ley de operacin externa

definida para cada y por

,

ser una estructura de mdulo a izquierda sobre si, y slo, si { , es

decir, si ,y slo, si

, para cada

En tal caso, se tendr que es un espacio vectorial.

Ejemplo 9:

Sea ( ) un anillo, con y ( ) un mdulo a izquierda.

Considrese al conjunto:

{ | }

Es muy fcil demostrar que es un ideal biltero de (Ejercicio). Por la definicin

de , es claro que { ; luego, por el Teorema 1.3, tiene una

estructura natural de mdulo a izquierda definiendo la operacin externa,

( ) , para cada y por

Al ideal se le llama el anulador de en y se suele denotar por

( )

Demostracin:

En efecto, recurdese que por el Teorema 1.1

Si y r [ ( )]( ) (21)

As, por (21) y por definicin de ( ), es claro que

( )={ | }

={ | [ ( )]( ) }

={ | ( ) ( )

= ( ),

Es decir:

( ) ( ) (22)

Definicin 1.3:

Sea (R,+,0,*,1) un anillo con identidad, y (M, +) un grupo abeliano con estructura

de mdulo a izquierda. Entonces, se dice que es fiel si, y slo , si ( ) { .

Teorema 1.4:

Sea (R,+,0,*,1) un anillo con identidad, y (M, +) un grupo abeliano con estructura

de mdulo a izquierda. Supngase que ( ) es la representacin que induce la estructura de a izquierda. Entonces:

es fiel es inyectivo.

Por (21), (22) y la Definicin (1.3), es claro que

es fiel ( ) {

( ) {

es inyectivo

Ejemplo 9:

Sea ( ) un anillo, con y considrese a ( ) con su estructura natural

de mdulo a izquierda, es decir, la misma que define a su estructura de anillo.

Obsrvese que es fiel; en efecto pues como

( )={ | }

Entonces tomando si , se tiene que . En particular,

para , se tiene que de modo que . Luego, ( ) { lo que

demuestra que es fiel sobre s mismo.

Ejemplo 10:

Sea ( ) un grupo abeliano y el anillo de endomorfismos ( ).

Considerando a con su estructura natural de mdulo a izquierda, se tiene que

es fiel.

En efecto, recurdese que tal estructura es la operacin en la que se

define el smbolo , para cada y de manera natural por

( )

Luego,

( ) { |

{ | ( )

{ ( )| ( )

{ ( )}

{ }

Por tanto, es fiel.

Submdulos

Demostracin:

Es inmediato

Ejemplo 11:

Es claro que si es un mdulo a izquierda, entonces { y son submdulos de

.

Ejemplo 12:

Sea ( ) un anillo y considrese a con su estructura natural de mdulo a

izquierda. Entonces, es claro que los submdulos de son los ideales de .

Ejemplo 13:

Sea es un mdulo a izquierda y . Entonces es fcil ver que el conjunto

{

Definicin 1.4:

Sea ( ) un mdulo a izquierda. Se dice que un subconjunto, , de es un submdulos si, y slo , si :

(i) ( ) es un submdulo de ( ). (ii) Si ,

Teorema 1.5

Sea ( ) un mdulo a izquierda y un subconjunto de . Entonces, es un submdulo de si, y slo , si :

(i) (ii) Si

(iii) Si ,

es un submdulo de (Ejercicio) y se le llama el submdulo cclico de generado

por . Se suele simbolizar por .

Ms generalmente, si { es un subconjunto finito de , entonces es

fcil demostrar que el conjunto

{

es un submdulo de (Ejercicio) y se le llama el submdulo de generado por .

Ejemplo 14:

Sea es un mdulo a izquierda y submdulos de . Se define el conjunto

por :

{

Es muy fcil demostrar que es un submdulo de (Ejercicio).

Ejemplo 15:

Considrese al anillo con su estructura natural de mdulo. Entonces, los

submdulos de son sus ideales. Ahora bien, se sabe que (utilizando el Algoritmo de

Euclides) se puede demostrar que todo ideal, , de es de la forma

, con

Adems, es fcil demostrar que para cada vale que

( )

( )

[ ]

Ejemplo 15: Sea ahora ( ) un grupo abeliano y ( ). Considrese a

con su estructura natural de mdulo: es decir, si y entonces la

operacin se define por

( )

Ahora, para cada par ( ) ,con e un ideal de se define

( ) { ( )

Es muy fcil demostrar que ( ) es un submdulo de (Ejercicio).

Homomorfismos de R-mdulos

Tambin, suele decirse que es una aplicacin lineal o que respeta la suma de y

la multiplicacin (de elementos de ) por escalares de . Tal y como se hace en

lgebra Lineal sobre espacios vectoriales, se definen los siguientes conceptos:

Definicin 1.6:

Sea un anillo con identidad dos mdulos a izquierda y una aplicacin. Se dice que es un homomorfismo de mdulos si, y solo, si para cada y se tiene que

1) ( ) ( ) ( ) 2) ( ) ( )

Definicin 1.7:

Sea un anillo con identidad dos mdulos a izquierda y un homomorfismo de mdulos. Entonces:

1) ( ) { ( ) se suele llamar el ncleo de .

2) ( ) { ( ) se suele llamar la imagen de .

3) Se dice que es monomorfismo es inyectiva.

4) Se dice que es epimorfismo es sobreyectiva.

5) Se dice que es isomorfismo es biyectiva.

6) Se dice que es un endomrfismso .

1) Se dice que es automorfismo es isomorfismo y .

Demostracin: Ejercicio

Teorema 1.6:

Sea un anillo con identidad dos mdulos a izquierda y un homomorfismo de mdulos. Entonces:

(i) ( ) { ( ) es un submdulo de

(ii) ( ) { ( ) es un submdulo de .

(iii) Se dice que es monomorfismo ( ) { .