S. TIMOSHENKO Profesor Emrito de Mecnica para Ingenieros de la Universidad de Stanford. S. WOINOWSKY-KRIEGER Profesor de Mecnica para Ingenieros de la Universidad de Laval Traducido por F. J. MEDINA SALANOVA Ingeniero de caminos Profesor de la Escuela Tcnica Superior de Caminos, Canales y puertos de Madrid. Digitalizado por Librodot.com Prlogo Desde la publicacin de la primera edicin de este libro,seha extendido considerablementelaaplicacindelateoradeplacasylminasalterreno prcticoysehanadoptadonuevosmtodos.Paraellohemostenidoque hacervarioscambiosyadiciones.Lasprincipalesadicionesson:1)un apartadosobrelaflexindeplacasdebidaalesfuerzocortantetransversal; 2)unapartadosobrelaconcentracindetensionesentornoaunagujero circularenunaplacaflexada;3)uncaptulosobrelaflexindeplacas apoyadassobrecimentacinelstica;4)uncaptulosobrelaflexinde placasanistropas,y5)uncap tulorevisandoalgunosmtodosespeciales yaproximados,usadosen elclculodeplacas.Hemosampliadotambin el captulosobreflechasgrandesdeplacas,aadiendovarioscasosnuevosde placasdeespesorvariableyalgunastablasnumricasquefacilitanel clculodelasmismas. En laparte dellibroreferente alateora delminas noshemoslimitado alaadicindelmtododelafuncindetensionesenlateoradelminas membranayalgunasadicionesmenoresenlateoradeflexindelminas. Lateoradelminassehaextendidorpidamenteenlosltimosaos yhan aparecido varioslibros nuevossobre este tema.No sindonos por ello posibledesarrollarestosnuevosavancescondetalle,noshemoslimitadoa una simplereferenciaalanueva biblipgrafa en laqueloslectoresespecial-menteinteresadosporeltemaencontrarnlainformacinnecesaria. S.TIMOSHENKO S.WOINOWSKY-KRIEGER Indice Prlogo. .. Notacin Introduccin 7 13 15 CAPTULO1.F . I ~ x i ~deplacas largasrectangulares en una superficie cllmdrlca.................18 1.Ecuacindiferencialdelaflexincilndrica delasplacas. 2.Flexincilndricadeplacasrectangularesuniformementecargadascon bordessimplementeapoyados............ 3.Flexincilndricadeplacasrectangularesuniformementecargadascon bordes empotrados................. 4.Flexincilndricadeplacasrectangularesuniformementecargadascon bordeselsticamente empotrados........... 5.Efectosobrelastensionesylasflechasdepequeosdesplazamientosde losbordeslongitudinalesenelplanodelaplaca........... 6.Mtodo de clculoaproximadodelparmetro u........... 7.Placaslargasrectangularesuniformementecargadasconpequeacurva-tura cilndricainicial................. 8.Flexincilndrica deuna placasobre cimentacinelstica CAPTULO2.Flexinpuradeplacas 9.Pendientes ycurvaturadeplacasligeramenteflexadas. 10.Relacionesentremomentosflectoresycurvaturaenlaflexinpurade placas .................... . 11.Casosparticulares deflexinpura......... 12.Energa dedeformacinenlaflexinpura de placas. 13.Lmites deaplicacindelasfrmulasdeducidas... 14.Tensionestrmicasenplacasconbordescoaccionados. CAPTULO3.Flexin simtrica deplacas circulares 15. 16. 17. 18. 19. 20. Ecuacin diferencial delaflexinsimtrica de placas circulares bajo carga transversal................. Placa circular uniformementecargada............... Placa circularconagujerocircular enelcentro............ Placa circularcargadaconcntricamente.............. Placa circular cargadaenelcentro................ Correccionesalateoraelementaldeflexinsimtricadeplacascircula-res. CAPTULO4.Pequeasdeformacionesdeplacasbajocargatransver-sal............................. . 18 20 27 32 35 39 42 45 49 49 54 59 62 64 66 69 69 73 77 82 87 92 98 21.Ecuacindiferencialdeladeformada.............."98 22.Condicionesdeborde......................102 10 INDICE 23.Otra formadeobtencindelascondicionesdeborde........ 24.Reduccin delproblema de la flexin de una placa' a la deformacin de una membrana.. . .. . . .... ... . . .... ..... .. 25.Influencia de lasconstantes elsticas en el valor de los momentos flectores. 26.Teora exactadeplacas................ CAPTULO5.Placas rectangulares siInplemente apoyadas 27.Placasrectangularessimplementeapoyadasconcarga sinusoidal 28.SolucindeN avierpara placasrectangularessimplementeapoyadas 29.OtrasaplicacionesdelasolucindeNavier............. 30.Otrasolucinparaplacasrectangularessimplementeapoyadasyunifor-mementecargadas....................... 31 .P l a c a ~rectangularessimplementeapoyadassometidasaunapresinhi-drostatlca........................... 32.Placarectangularsimplementeapoyadasometidaaunacargaconforma deprismatriangular................... 33.Placarectangular simplementeapoyadayparcialmentecargada . . 34.Placarectangular simplementeapoyadaconcargaconcentrada 35.Momentosflectoresenunaplacarectangularsimplementeapoyadascon carga concentrada....................... 36.Placasrectangularesdelongitudinfinita conbordessimplementeapoya-dos......... . . ......... .... ..... . 37.Momentos flectoresenplacasrectangulares simplementeapoyadassome-tidasauna cargauniformementerepartidaenunrectngulo..... 38.Tensionestrmicasenplacasrectangularessimplementeapoyadas. 39.Influencia de lasdeformaciones por esfuerzos cortantes en laflexinde las placasdelgadas......................... 40.Placasrectangularesdeespesorvariable. .............. CAPTULO6.Placas rectangulares con diversas condiciones de borde. 41 .Flexin de placasrectangulares por momentos repartidos alolargo de sus bordes..... . . . ........... .. .. .. .. . 42.Placasrectangularescondosbordes opuestos simplemente apoyados ylos otrosdosempotrados...................... 43.Placasrectangularescontresbordessimplementeapoyadosyunoempo-trado............................. 44.Placasrectangularesempotradosentodoelcontorno ......... 45.Placasrectangularesconunbordeadosadyacentessimplementeapoya-dasylosrestantesempotrados............... 46.Placas rectangularescon dosbordes opuestos simplemente apoyados,uno libreyelcuarto empotrado osimplemente apoyado......... 47.Placasrectangularescontresbordesempotrados yelcuarto bordelibre . 48.Placasrectangularesconlosdosbordes opuestos simplemente apoyados y losotrosdoslibresoelsticamenteapoyados............ 49.Placasrectangularesconloscuatrobordes apoyadoselsticamente oapo-yadosenlasesquinascontodoslosbordes libres.......... 50.Placasrectangularessemi infinitassometidasauna presinuniforme 51.Placasrectangularessemiinfinitasbajocargasconcentradas .. CAPTULO7.Placas rectangulares continuas....... 52.Placascontinuassimplementeapoyadas.......... 53 .Estudioaproximado delasplacascontinuasconvanosiguales..... 54.Flexindeplacasapoyadassobrefilasdecolumnasequidistantes(losas fungiformes) ......... ' ................. 55.Losafungiformeconnuevevanosylosacondosbordeslibres 56.Influenciadelauninrgidaconelsoportesobrelosmomentosdeuna losafungiforme..................... 108 112 117 118 126 126 130 132 135 145 152 156 162 165 172 182 185 189 197 203 203 203 208 216 221 230 232 237 241 243 246 250 254 254 262 272 280 283 INDICE CAPTULO8.Placas sobrecimentacin elstica 57.Flexinsimtricarespectoelcentro ........... 58.AplicacindelasfuncionesdeBesselalproblema dela placa circular 59.Placasrectangularesyplacascontinuassobrecimentacinelstica 60.Placacargadaconfilasde columnasequidistantes...... 61.Flexin deplacasapoyadassobreunslidoelsticosemiinfinito. CAPTULO9.Placas de formas diversas ... . .... . 62.Ecuacionesdelaflexinde placasencoordenadaspolares 63.Placas circularesbajocarga que vara linealmente. 64.Placas circularesbajocarga concentrada........ 65.Placascircularesapoyadasenvariospuntosdelcontorno. 66.Placas enformadesector.......... 67.Placascircularesdeespesornouniforme .... 68.Placasanularesconvariacinlinealdeespesor 69.Placascircularesconvariacinlinealde espesor . 70.Problemasnolinealesenlaflexindeplacascirculares. 71.Placaselpticas... 72.Placastriangulares.............. 73.Placassesgadas............... 74.Distribucindetensionesalrededordeagujeros. CAPTULO10.Mtodos especiales yaproximados en la teora de placas 75.Singularidadesenlaflexindeplacas........... 76.Empleodesuperficiesdeinfluenciaenelproyectodeplacas. . 77.Funciones deinfluenciayfuncionescaractersticas 78.Utilizacindeintegralesinfinitasytransformaciones ..... 79.Mtododevariablecompleja............... 80.Aplicacindel mtodo de laenerga de deformacinalclculode flechas . 81.Otraformadeaplicarelmtododelaenergadedeformacin..... 82.Diversosmtodosaproximados.................. 83.Aplicacindelasecuacionesendiferenciasfinitasalaflexindeplacas simplementeapoyadas.......... 84.Mtodos experimentales......... CAPTULO11 .Flexin de placas anistropas. 85.Ecuacindiferencialdelaplacaflexada... 86.Determinacindelasrigidecesenvarioscasosespecficos 87.Aplican(n)ol1\ 1. (n)O)- " 'CO c5 In eS 1'-.. r" " " ec:c: e

1"> '"' 0'00' 0 EE '''' vvvv '\ bbbb .... ..2: 11 11c: .. "--.,.,., ., E &...-c-c-C-c B'" .,., '" Et\v .,.,., ., a.., c: c: c: ., O O Oe E'".-;- ;: ''' O"- Q,J -' --,; B vvvu .........,O '\ e

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v.,v';;""""o.,)/ ti( X X ::;S J " , -nsE I:I: ] 11 11

V2:\"-.DVl .L./;; t::/-V .-" --;;;. 1--P'" l--V o d o-o c5 .......;- 2--..: .> s'.,seobtienenlasflechasdelaplacasumandomiembro amiembro(73)y(j)quelasconstantesdeintegracinestndadasporlas expresiones(i). Aplicandoelmismoprocedimientodesuperposicinseobtienelasolu-cindelcasodelafigura34,enquelaplacaestapoyadaensucontorno exteriorysoportaunacargauniformementerepartida.Enestecaso,utili-zamoslasolucinencontradaenelapartadoanteriorparaunaplacasin agujero.Considerando laseccindeesta placa por una superficiecilndrica deradiob yperpendicular alaplaca,constaquealolargodeestaseccin actaunesfuerzocortante Q=nqb2 j2nb=qbj2yunmomentoflectorde intensidad[v.eco(69)]. Mr=.!L(3+ JI)(a2 - b2) 16 Por consiguienteparaobtener lastensiones ylasflechaspara elcasode lafigura34,sesumanlastensiones ylasflechasobtenidaspara laplaca sin agujeroalastensionesyalasflechasproducidaspor elmomentoflectory losesfuerzoscortantesindicadosenlafigura35.Estosltimos' valoresse deducendelasexpresiones(72),(73),(e)y(j)teniendocuidado,encuanto alossignosdelosesfuerzoscortantesydelosmomentos. FIG.34 r-------a A \ (3+v) (a2-b1.) 16 FIG.35 En lafigura36sehanrepresentadovarioscasosquetienenuna impor-tanciaprctica.Entodosestoscasoslatensinmximaestdadaporuna frmuladeltipo odmx= kP h2 (75) FLEXIONSIMETRICADEPLACASCIRCULARES81 segnquelacargaaplicadaestuniformementerepartidasobrelasuperfi-cieoconcentrada alolargodelcontorno.La tabla 3da losvaloresnumri-cosdelfactorR,calculadoSIparavariosvaloresdelarelacinajbypara el coeficientedePoissonv=0,3. Caso1Wmx

Caso2

Caso3 Caso9 Caso 10 FIG.36 1 Losclculosparaloscasos1al8,ambosinclusive,fueronefectuadosporA.M.Wahl yG.Lobo,Trans.ASME, vol.52,1930.Se encuentran losdatos suplementariosconcernientes alasplacascircularessimtricamentecargadasconosinagujeroenK.Beyer,DieStatikim Stahlbetonbau,2. aed.,pg.52,Berln,1948. 6.-TEORIA DEPLACASY LAMINAS 82TEORIADEPLACASYLAMINAS TABLA3 Coeficienteskyk,enlasecuaciones(75)y(76)paralosdiezcasosindicadosenlafigura36 alb=1,251,52 , 345 Casokk,kk,kk,kk,kik,kk, 11,100,3411,260,5191,480,6721,880,7342,170,7242,340,704 20,660,2021,190,4912,040,9023,341,2204,301,3005,101,310 30,1350,002310,4100,01831,040,09382,150,2932,990,4483,690,564 40,1220,003430,3360,03130,740,12501,210,2911,450,4171,590,492 50,0900,000770,2730,00620,710,03291,540,1102,230,1792,800,234 60,1150,001290,2200,00640,4050,02370,7030,0620,9330,0921,130,114 70,5920,1840,9760,4141,4400,6641,8800,8242,080,8302,190,813 80,2270,005100,4280,02490,7530,08771,2050,2091,5140,2931,7450,350 90,1940,005040,3200,02420,4540,08100,6730,1721,0210,2171,3050,238 100,1050,001990,2590,01390,4800,05750,6570,1300,7100,1620,7300,175 Enlosmismoscasos,lasflechasmximasestndadasporlasfrmulas deltipo o(76) LoscoeficientesRseencuentrantambinenlatabla3. Cuando elcociente a/b tiende auno,losvalores de RyRIen (75) y(76) puedeobtenerseconunaexactitudsuficienteconsiderandounafranja radialcomounavigaconlasmismascondicionesenloslmitesydecarga quelaplacaconsiderada. LainfluenciadelosmomentosMtsobrelaflexinestotalmentedes-preciada. 18.Placacircularcargadaconcntrica mente Comencemosporelcasodeunaplacasimplementeapoyadasometida aunacargauniformementerepartidaalolargodeuncrculoderadiob [fig.37 a)].Dividiendolaplacaendospartes[fig.37 b)ye)],sevequela ! tbj t I.. a----J I zIo) MI a R IQI (1 61 e) FIG.37 FLEXIONSIMETRICADEPLACASCIRCULARES83 parteinteriordelaplacaest enlasdeflexinpura por losmomentos MI uniformementerepartIdos yque laparte extenor esta flexadaporlosmomentosMIylosesfuerzoscortantesQI 'SeaPlacarga totalaplicada,seencuentraque P Ql=-2rb (a) ElvalordeMIsedeterminapor lacondicindecontinuidadalolargo delcrculor=b,dedondesededucequelasdospartesdelaplacatienen lamismapendienteenestacircunferencia.Lasecuaciones(72)y(})del apartado17,danlapendienteparaelcontornointeriordelaparte exterior delaplaca,setiene (dW)a2b2M(11- Pb) dr=D(1- p)(aZ - bZ)b + 1 + p (i2 Pb[b1- p + - 2In- - 1- ---8rDa1 + p 2bz b(a21+p)] + a2_b2Ina:1 + b21_p (b) Laparteinteriordelaplacaestflexadasegnunasuperficieesfrica cuyacurvatura estdadapor laecuacin (46).La pendientecorrespondien-teenelcontornoes Igualando(b)y(e)seobtiene D(l+ p) b (1+ p)PIn-a (e) (d) SustituyendoestaexpresindeMIen(73),obtenemoslasflechasM I delparteexteriordelaplacadebidoaMI'Lasflechasdebidasalas fuerzasQIseobtienenmediantelaecuacin(f)delapartadoanterior. Sumandoestasflechas,seencuentraparalaparteexteriordelaplaca W=- (a2 - r2)1 + - ----- + (b2 + r2)In-P[(1 1- pa2 - b2)rJ 8rD21+ pa2 a (77) Sustituyendor=benestaecuacin,seobtienelaflechabajolacarga. (w),...,=- (a2 - b2)1+ - --- - - + 2b2 In-P[(1 1- pa2 - b2)bJ 87rD21+ pa2 a (e) Parahallarlasflechasdelaparteinteriordelaplaca,sesumanlas flechas(e)alasdebidasalaflexinpuradeestapartedelaplaca. 84TEORIADEPLACASYLAMINAS Seobtieneas W=[(a2 _b2)(1+ ! 1- va2 - b2)+ 2b2 In 87fD21+ va2 a b2_r2[(1_ v)P(a2_b')_(1+ v)PIn+ 2D(1+ v)87fa2 41r P[b(3+ v)a2 - (1- v)b2] =&rD(b2 + r2)Inti+ r2 - b' + (a'- r')2(1+ v)a2 - P[(b'+2)1+ (a2_b2)(3+ v)a2 - (1- v)r'](78) - 8rDrna2(1+ v)a2 Sielcontornoexteriordelaplacaestempotrado,laflechadelaplaca seobtienesumandolasflechas(77)y(78)alasflechasproducidaspor los flectoresM2uniformementerepartidosa. lolargodelcontorno exteriordelaplaca(fig.38)ydetalvalorquelapendientedelasuperficie -LM2M2 z FIG.38 flexada,enelbordeseanula.Delaecuacin(77)sededucelapendiente enelcontornodeunaplacasimplementeapoyada. LapendientedebidaalosmomentosM2 es Igualandoacerolasumadelasexpresiones(j)y(g),seobtiene pa2_b2 M2=----4ra2 Lasflechasdebidasaestemomentoson (f) (g) M2r2 - a2 Pa2 - b2 W= D(l + v)-2- = 87fD(1+ v)-a-'- (r2 - a2)(h) Sumandoestasflechasalasobtenidasen(77) y(78),tenemosentonces lasflechasparalaparteexteriordelaplacadebordesempotrados w=[(a2 _r2)a2 +b'+ (b2 + r2)In!.](79) &rD a FLEXIONSIMETRICADEPLACASCIRCULARES yparalaparteinterior W=8;D[(b2+r2) 85 (80) Conociendo lasflechasenelcasodecargasuniformementerepartidasa lolargodeuncrculoconcntrico,sepuederesol:verpor .elde superposicintodoproblemadeflexindeplacacIrcularSlmetncamente cargadarespectoalcentro.,. Consideremos,por ejemplo,elcaso enquelacarga estaumformemente repartidaenlapartedelaplaca,interiorauncrculoderadioe(fig.39). Paraobtenerlaflechaentodopuntodelaplacanocargada(a>r>e), seutilizalaecuacin(77).Laflecha,producidaporunacargaelemental repartidasobreunanilloderadiobydeanchuradb(v.fig.39)seobtiene FIG.39 sustituyendo P=2nbq dben (77),donde q designa la intensidad decarga uniforme.Integrandorespectoablaexpresinasobtenida,seobtlenela flecha w=/15Ioc{(a2 - r2)2tl vv)+ r2 In: + b2[1!:_(1- v)(a2 - r2)]}bdb na2(1+ v)a2 qc4 [r1- va2 - r2]+ 16DIn0,- 2(1+ 11) - -0,-2-obien,sustituyendolacargatotalnc2qporP, w= + 11 (a2_r2)+ 2r2In!. 16rD1+ va [ r1- 11 a2 - r2]} + e'Ina - 2(1+ v)a2 (81) 86TEORIADEPLACASYLAMINAS Paracalcularlaflechaenelcentroseutilizalaecuacin(78)endonde sesustituyerpor O yPpor2nbq db,integrandoseobtiene qre[ba2 - b2 (3+ ,,)] (W)r_O=4D}0b2 Ina + -2- 1 + vb db _P[3+ v2 +2 1 c7+ 31'2] - 161rD1 + vacna - 4(1+ v)c (82) dondeP=nc2q Elmomentoflectormximosesitaenelcentroysecalculamedian-te(d). SustituyendoPpor2nbq dbenestaecuacineintegrando,tendremos M.=qre(1- va2 - b2 _1+ vIn~ )b db max}o4a22a =p[(1+v)In~+1_(1-v)C2](83) 4rc4a2 donde,comoantes,Prepresentalacargatotalnc2ql . LosmomentosflectoresMryMI'encualquierpuntodelapartedela placanocargada,secalculanmediantelaecuacin(81).Sustituyendoesta expresinenlasfrmulasgenerales(52)y(53)encontramos Mr =(1+ v)PIn~+ (1- v)Pc2 (l - !)(84) 41rr161rr2 a2 M,=P[(1+ v)In~+ 1- v]- (1- v)Pc2 (l +!)(85) 411' r1611'r2 a2 Losvaloresmximosdeestosmomentosseproducenenelcrculo r=c,donde: Mr =(1+v)PIn~+ (1- v)P(a2 - c2) 411' c161ra2 (86) M,=P[(1+ v)In~+ 1_v]_(1- v)P(a2 + c2) 4re1611'a2 (87) Sepuedeutilizarelmismomtododeclculodelasflechasydelos momentosparatodaclasedeplacacircularsimtricamentecargada. Secalculaasimismolaflechadelcentrodecualquierplacacargadano simtricamentesiguiendolasconsideracionessiguientes. Acausadelasimetratotaldelaplacaydelascondicionesenlos lmites,laflechaenelcentro,debida aunacarganicaP,nodependems quedelvalordeestacargaydesudistanciaalcentrodelaplaca.Esta flechaquedainvariable,silacargaPsedesplaza,quedandoalamisma distanciadelcentro.LaflechanocambiasilacargaPessustituidapor variascargascuyaresultanteseaPysituadassobreelcrculodescrito anteriormenteporP.Deaqusededucequeparacalcularlaflechadela 1 Estaexpresin seaplica solamentecuando eesalmenos variasvecesh.En elapartado19 seestudiarelcasoenqueeesmuypequeo. FLEXIONSIMETRICADEPLACASCIRCULARES87 placaenelcentro,sepuedesustituirunacarganicaPporunacargaP uniformementerepartida alolargodeun crculo en elque elradioesigual ala distancia del centro la carga concentrada.Para una carga uniformemen-terepartida alolargodeuncrculoderadiob,laflechaenelcentrodela placaapoyadaenelcontorno,vienedadaporlaecuacin(78),yes (w)r-o= 8:D[2t1 ~ v v )(a2- b2)- b2 InE](i) Estaeslafrmuladelaflechaenelcentrodeunaplacaproducidapor unacarganicaPsituadaaunadistanciabdelcentro.Apartirdeesta frmulasepuedecalcularlaflechaenelcentroparatodaclasedecarga utilizandoelmtododesuperposicinl. Lasflechasylastensiones,enunaplacacircular'conosinorificio, puedensereficazmentereducidasreforzandolaplacapornerviosconcn-tricos2 oradiales.Detodasformas,enesteltimocasoladistribucinde tensionesnoesyasimtricaconrespectoalcentrodelaplaca. 19.Placacircularcargadaen.el centro Seobtienelasolucindelproblemadeunacargaconcentradaenel centrodeunaplaca,apartird ~ lestudiodelapartado18,suponiendoque elradio c del crculo,en elcual est repartida la carga,sehace infinitamente pequeoentantoquelacargatotalPquedafinita.Conestahiptesis,se encuentraquelaflechamximaenelcentrodeunaplacasimplemente apoyada,es,segn(82), Wmx = (3+ v)Pa2 1611'(1+ v)D (88) Laflechaentodopuntodelaplaca,aunadistanciardelcentroes, segn(81) W=-- --- (a2 - r2)+ 2r2 In-P[3+ Vr] 161rD1 + va (89) ElmomentoflectorparalospuntostalesqueT>Cseobtienesupri-miendolostrminosenlenlasecuaciones(84)y(85),lo queda Pa Mr=4r (1+ v)Inr(90) M,=.!: [(1+ v)In~+ 1- JI](91) 1Saint Venantindicestemtododeclculodelasflechasenelcentrodelaplacaensu Thoriedel'J:sticitdescorpssolides,traducidaporClebsch,Pars,1883,pg.363.Sepuede obtener(,)aplicandoelteoremadeMaxwellalasplacascirculares. .Este~ ~ s ohasidoestudiadoporN.A.Nash,L.Appl.Mechanics,voL15,pg.25,1948. Veasetamblen C. B.Blezeno yR.Grammel,TechnischeDynamik,2." ed., voL1, pg.497,1953. 88TEORIADEPLACASYLAMINAS Para obtener lasfrmulascorrespondientes alcaso de una placa circular debordeempotrado,derivamoslaecuacin(89)yseencuentraparala pendienteenelcontornodeunaplacasimplementeapoyada,laexpresin (dW)Pa - drr=a=4(1+ v}trD (a) LosmomentosflectoresM2 uniformementerepartidosalolargodel empotramiento(fig.40)creanunaflexindelaplacasegnunasuperficie esfricaenlaqueelradioestdadopor (46)ylapendienteenelcontorno es (1+ v)D (b) ~..... - a.... ' ----- f =- ~ IM2 :zFIG.4O Utilizando(a)y(b),seencuentraquelacondicinparaqueelborde empotradonogireda (e) LasflechasdebidasalosmomentosM2 seobtienenapartirdela ecuacin(h)delapartadoprecedente P(r2 - a2) &rD(1+ v) Sumando estas flechas alas de una placa simplemente apoyada (ec.(89)], seencuentralaexpresindelasflechasdeunaplacaempotrada,cargada ensucentro Pr2 rP W=81rDIna + 161rD(a2 - r2) (92) Sumando(e)a(90)y(91),seobtienenlasexpresionesdelmomentode flectorentodopuntonomuyprximoalacarga. r Mr=.:: [(l + v) Ina M,=~ :[(l + v)In~(94) Cuandortiendeacero,lasecuaciones(90),(91),(93)y(94)tiendena infinitoyporconsiguientenosonvlidasparaelclculodemomentosde flectores.Porotraparte,lashiptesisquesirvendebasealateoradela FLEXIONSIMETRICADEPLACASCIRCULARES89 flexindeplacascircularesnosonvlidasenlasproximidadesdelpunto deaplicacindelacargaconcentrada.Puestoqueelradioedelcrculoen quePlnestarepartida,disminuye,lapresinPaumentadetalmanera quenosepuededespreciarencomparacinconlastensionesdeflexin, comosehabahechoenlateoraelemental.Lastensionestangenciales despreciadasenlateoraelementalaumentantambinconsiderablemente cuando e tiendeacero,puestoque lasuperficie cilndrica2nehsobre laque estrepartidoelesfuerzocortantetotalP,tiendeacero. Descartandolashiptesis en lasqueestbasada la teoraelemental,seobtienela distribucin de tensionescercadelpunto de aplicacin de la carga asimilandola parte de laplaca auncuerpodetresdimensiones delmismo ordendemagnitud.Para ello imaginemosque laparte central cargada est separada delresto de la placa segn una superficiecilndrica,enlaqueelradio besvariasvecesmayor queelespesor hdela placa(v.fig.41).Sepuedesuponerquelateoraelementaldelaflexinessuficien-tementeexactaaunadistanciabdelpuntodeaplicacindelacargaPyquelas tensionescorrespondientes se calculan por medio delaecuacin (90).El problema de t\]J ! ~ lel ~ _... - b _ . ~.. _.b_..~ FIG.41 ladistribucindetensionesenelcentrosereduceentoncesalproblemadeuna distribucinsimtricadetensionesenuncilindrodealtura hyderadiob,sometido aunacargaPrepartidasobreunpequeocrculoderadioe,yalasreaccionesalo largodelcontornolateraP. Lasolucindeesteproblemamuestraquelatensindecompresinmximaen elcentroAdelacargasuperiordelaplacapuedeexpresarsemediantelafrmula" aproximada P[1+ 2.,] v.=v ...VI- - --- - (1+ .,)a 1I"Cl 2 (95) dondealrepresentaelvalordelatensindecompresindebidaaflexin"obtenida por la teora aproximada mediante (83),en el caso deuna placa simplemente apoyada, yaesunfactornumricoquedependede2e/h,relacindeldimetrodelcrculo cargado al espesor delaplaca.Varios valoresdeestefactorestn dadosenlatabla 4. La figura42muestralavariacindeaenfuncinde2e/h.Cuandoe tiende acero,la tensincalculadaporlaecuacin(95)tiendeainfinito. IVariosejemplosdedistribucinsimtricadetensionesseestudianenS.Timoshenko yJ.N.Goodier,Theory01Elasticity,2.a ed.,pg.384,1951.A.Nitdaihaestudiadoelcaso delafigura41(vasesulibroElastisehePlatten,pg.308)ytambinporS.Woinowsky-Kneger(vasesuestudioenIngr.-Areh.,vol.4,pg.305,1933).Losresultadosdadosaqu sehantomadodeesteltimotrabajo. 2Cuando eesmuypequeolatensindecompresin PI :re" deberser mayorqueelvalor am.dadoporlaecuacin(93)(vasefig.43). "Estevalorsernegativoenlaecuacin(95). 90TEORIADEPLACASYLAMINAS LatraccinmximaseproduceenB,centrodelacarainferiordelaplaca (fig.41).Cuando eespequeo,esdecir,para una fuerteconcentracinde carga,esta 2cjh=0,10 I a =0,0106i 0,4 Cl.10.3 o.z.0,1 O O ./ V / [7 7 0,51,0 L52,0 2.53,0 TI FIG.42 TABLA4 Valoresdelfactoraenlaecuacin(95) 0,250,500,751,001,50 0,04660,12340,2000,2630,348 2,002,50 0,3860,398 traccinesprcticamenteindependiente delarelacin2e/h.En elcasodeuna placa simplementeapoyadaestdadoporlafrmulaaproximada'. amx =:. [(1+v)(0,485In+ 0,52) + 0,48J (96) donde a eselradioexterior. Paraobtenerlastensionesdecompresina,ya,enelcentrodelacarasuperior deunaplacaempotrada,serestaalatensinde a,[v.eco(95)],elvalor P63P 2 teniendoencuentalosmomentosM.=- P/4n.Latraccinmximaenelcentro de lacara inferior de una placa empotrada ypara una fuerteconcentracin de la carga (e=0),secalcularestandolaecuacin(d)delaecuacin(95);seencuentra amx=:. (1+ v) (0,485In+ 0,52)(97) Lafigura43muestraladistribucindetensionesatravsdeunaplacacircular gruesa(h/a=0,4)empotradaenelcontorno.Estastensionesestncalculadaspara e=O,layv=0,3.En estecaso,latensinde compresin mximau" perpendicular alasuperficiedelaplaca,esmayorquelatensindecompresinmximaenla flexin[eco(95)].Latensindetraccinmximaesmenorquelatraccindadapor lateoraelementaldelaflexin.Lalneadepuntos,enlafigura43,indicaelvalor deestaltimaatravsdelespesordelaplaca.Estatraccinestcalculadamediante laecuacindelmomentoflector. M.= !..+ v)In _(1 - v)c"] max4n e4a" (98) obtenidasumandoelmomentoM.=- P/4n alaecuacin(83). IVaseWoinowsky-Krieger,ob.cit. FLEXIONSIMETRICADEPLACASCIRCULARES91 Paracalcularlasdimensionesdeseguridaddeunaplacacircularcargadaensu centro,sepuede limitar elestudio a!clculo de lastensiones mximas de traccinpor flexinenlacara inferior delaplaca,con ayuda de lasecuaciones (96) y(97).Aunque lastensionesde compresinsobrelacara superior puedenser muchas vecesmayores r=O z FIG.43 quelastensionesdetraccinenlacarainferiordelaplaca,encasodefuertes concentracionesdecarga,norepresentanunpeligrodirecto,acausadesucarcter localizado.Las deformaciones localesde un material dctil no afectanla deformacin generaldelaplacasilastraccionesenlacarainferiornosobrepasanloslmitesde seguridad.Laresistenciaacompresindeunmateria!frgilesgeneralmentevarias vecesmayorquesuresistenciaatraccin,demodoqueunaplacadeestematerial sersegura,acondicindequelatraccindelacarainferiorpermanezcadentrode loslmitesdeseguridad. Sisequiereunadescripcinexactadeladeformacindeunaplaca,deberemos tomarenconsideracinlasperturbacioneslocalesdebidasaunacargaconcentrada, enlaproximidaddesupuntodeaplicacin.Estaperturbacinestprincipalmente limitadaauncilindroderadioigualavariasvecesh,assuinfluenciasobrela deformacintotal es importante cuando elespesor de la placa no esmuy pequeo con relacinasuradio.Lafigura44muestralasflechasdeplacascircularesdebordes I 1,211.81r Ci-FIG.44 empotrados soportando una carga concentrada para lasque larelacin espesor aradio (hja)es:0,2;0,4y0,61 Lalneadepuntosindicalaflechadelateoraelemental [eco Puedeverselaentrelacurvatericaylacurvaexactadismi- cuando disminuye h/a.En el apartado siguiente se probar que esta esdebidaprincipalmentealainfluenciadelosesfuerzoscortantesquese despreCiantotalmenteenlateoraelemental. ILascurvasdelafigura44resultandelasolucinexactadeWoinowsky-Krieger,ob.cit . 92TEORIADEPLACASYLAMINAS 20.Correcciones alateora elemental de flexinsimtrica de placas circulares Lasrelaciones(37)y(38)entre momentosflectoresycurvaturasquese dedujeronparaelcasodeflexinpura,hanservidodebasealasolucin dediferentesproblemas,quehemosestudiadosobreflexinsimtricade placascirculares.Nosehantenido en cuenta lainfluencia quetienensobre laflexinlastensionestangencialesylaspresionesnormalessobreplanos paralelosalasuperficiedelaplaca.Porconsiguienteslosonrigurosaslas solucionesdadasparaunaplacaanularsometidaamomentosuniforme-menterepartidosalolargodeloscontornos externo einterno(fig.31).En todoslosdemscasosestudiados,lasfrmulasobtenidassonaproximadas ysuexactituddependedelarelacindelespesordelaplacaasuradio externo.Seobtienenfrmulasmsaproximadasmedianteelclculoapro-ximadoldelainfluenciaquesobrelasdeformacionesejercenlastensiones tangenciales ylaspresiones laterales.Consideremos ahora,una placa circu-larsinorificio,apoyadaensucontornoycargadauniformemente.El esfuerzocortanteQporunidaddelongituddearcoalolargodelcrculo deradioTes Q =1/2qr Lasolucinexactarelativaalasplacasenlasqueelespesornose suponepeque02 indicaquelastensionesdelosesfuerzoscortantesT", varanatravsdelespesordelaplacasiguiendounaleyparablicadela misma maneraqueenlasvigasdeseccinrectangularestrecha.Por consi-guiente,latensindelesfuerzocortantemxima, seencuentraenlasuper-ficiemediadelaplacaysuvalores: 3 qr (Trz)mx=2 2h(a) Ladeformacindebidaalesfuerzocortanteesentonces (b) dondeweslaflechaadicionaldelasuperficiemedia,debidaalatensin tangencial.Integrandoseencuentraelvalordelasflechasproducidaspor lastensionestangenciales W)=~--'L...Ca2 - r2)Ce) 24.Gh ,UnateorarigurosadeplacasfueiniciadaporSaint-Venantensutraduccindela Thoriedel'lasticitdescorpssolides,pg.337.Uninteresantejuiciode~ s t etrabajoaparece enHistoryof theTheoryof ElasticitydeI.TodhunteryK.Pearson,vol.2: parte1,pg.217. UnnuevodesarrollodelateorasedebeaJ.H.Michell,Proc.LondonMath.Soc.,vol.31, pgina100,1900,YaA.E.H.Love,MathematicalTheoryofElasticity,4."ed.,pg.465. UnalistadereferenciassobreesteasuntohasidodadaporWoinowsky-Krieger,ob.cit.,p-gina203.Enelaprtado26sedanalgunosejemplosdelateorarigurosa. 2 TimoshenkoyGoodier,op.cit.,pg.351. FLEXIONSIMETRICADEPLACASCIRCULARES93 yenelcentrodelaplaca (d) Lapresinlateralqueactasobrelaplacacreaunacurvaturapositiva convexahaciaabajo,semejantealaqueseproduceenunavigauniforme-mentecargada l. La presin q por unidad de superficie,da lugar aun alargamiento radial igualavq/Eenlapartesuperiordelaplaca.Elalargamientoesvq/2Eenla superficiemediayesnuloenlaparteinferiordelaplaca.Supongamosla relacinlineal,elvaloraproximadodelradiodecurvaturaRseobtienea partirdelaecuacin "qh 2E2R dedondesededuce 1"q 2R2hE ylaflechanegativaes, (e) Sumandolasecuaciones(e)y(e)a(67),seencuentra una expresin ms exactadelaflecha lacualseconvierteenelcentro qa4 (5+"43+ " h2) wmx =64D1+ " + :31- ,,2(l2 (f) Elsegundotrminodelsegundomiembrode(j)representalacorrec-cinparalastensionestangencialesylapresinlateralcuandolarelacin delespesordelaplacaalradioespequeo.Elvalordeestaconexindada paralasolucinexactaes2 qa4 2 8+ " + ,,2h2 64D 51- ,,2a2 (g) Parav=0,3elvalorexactoesun20%inferioraldadoporlaecua-cin(j). En unaplacacircular cargadauniformemente,conbordeempotrado,la flechanegativaW2,debidaalapresin,noseproduceyporconsiguiente, IVaseibd.,pg.43. VaseLove,op.cit.,pg.481. 94TEORIADEPLACASYLAMINAS slodebe ser consideradalaflechawpdebidaalesfuerzocortante.Suman-doestaflechaa(62),seobtiene,msexactamente,elvalordelaflecha. (h) Esinteresantehacerconstarquecoincideconlasolucinexacta!. Consideremosacontinuacinlasflechasproducidasporlastensiones tangencialesenlaplacaanularsometidaaesfuerzoscortantesuniforme-menterepartidosalolargodelbordeinterior comoindicalafigura32.La mximatensintangencialaunadistanciaTdelcentro,es 3P (Trz)mx='221Trh dondePrepresentaelesfuerzocortantetotal.Ladeformacintangencial correspondientees2: 3P '221Trh{] (i) Integrandoseobtienelaflechadebidaalesfuerzocortante 3Pa W1=--- In 41Th{]r Ph2 a In-81T(1- v)Dr Paraobtenerunvalormsprecisodelaflechadelaplaca(fig.32)se debesumar(;)alaecuacin(k)delapgina79.Cuandoelradiobdel agujeroesmuypequeo,laecuacindelaflechatotaldeberser W=~[3+ v(a2_r2)+ r2In!:]+Ph2 Ina(k) 81TD2(1+ v)a81T(1- v)Dr Laflechaenelcontornodelagujeroes: Pa2 [3+ v1h2 a] Wmax =81TD2(1+ v)+ y-::-; (l2Inb (l) Elsegundotrminodeestaexpresinrepresentalacorreccindebida a losesfuerzoscortantes.Siendoinfinitocuandobtiendeacero,yaquese suponequePtienesiempreunvalorfinito.Porconsiguientecuandob tiendeacero,lastensionesydeformacionestangencialesseharninfinita-mentegrandes. Eltrminode(l)querepresentalacorreccinparaelesfuerzocortantenose puedeaplicarparaunaplacasinorificio.Enelcasodeunaplacasinagujerodebe esperarseuna correccinmenor acausa delefecto de cuadebido a lacargaconcen-trada P,aplicada en elcentro de lacara superior de laplaca.Imaginemos que laparte centraldelaplacaseseparapormediodeuncilindroderadio.bpequeo,yquesu ,Vaseibd.,pg.485.. ,Silaplacanoestagujereada,elsegundomiembrodelaecuacin(1)debesermulti-plicadopor(1- .)/(1+ .),deacuerdoconlaecuacin(t),pg.97. FLEXIONSIMETRICADEPLACASCIRCULARES95 accinsobreelrestodelaplacaestsustituidaporlosesfuerzoscortantesverticales equivalentes aPascomo por lasfuerzasradiales Squerepresentanelefectode cua de la carga, fuerzasrepartidas alo largo del contorno superior delagujero como indica lafigura45.Esevidentequeestasltimascreanunatensindelasuperficiemedia ascomounadeformacinde,laplacahaciaarriba.Sedebeentoncesreducirel trminocorrectivodelaecuacin(k)parahacerloaplicableaunaplacasinagujero. FIG.45FIG. 46 Para hacemos ideadelaimportancia de lasfuerzasradiales,S,consideremos laplaca enlasdoscondicionesdecargadelafigura46.Enelprimercasolaplacaest comprimidapordosfuerzasigualesyopuestasP,queactanalolargodelejede simetraz.En elsegundocasolaplaca estsometida auna compresinuniforme,en suplano,bajo elefecto de unapresin puniformemente repartida sobre lasuperficie cilndricadel contorno.Acausadeladeformacinlateral,estaspresionesaumentan elespesordelaplacaenunacantidad Ah= 2vp h E Sepuedeentonces,apartirdeestaecuacin,calcularelaumentoLITdelradioT delaplaca,debidoalaaccindelasfuerzasP[fig.46 a);paraesto,aplicamosel teoremarecprocoalasdoscondicionesdecargadelafigura46.Seencuentra dedondesededuce P!ih21'P !ir=2rrhp=E 21rr (m) Comparemosesteaumentodelradioaldelradiodeuncilindrodeparedgruesa producidoporunapresininternap,.Sielradiointeriorbdelcilindroesmuy pequeocomparadoconelradioexteriorT,elaumentodeTseobtienemediantela ecuacinldeLam 1+ VPib1 !ir=---E (n) Comparando(m)y(n)se\legaalaconclusindequeelalargamientoradial debido aP[fig.46 a)tieneelmismo valorque elproducido por unapresininterna P..en una placa que tiene un pequeo orificio cilndrico en elcentro (fig.45).Estando dadoelvalorde p,porlaecuacinsiguiente: dedonde 2vP1+ VPib1E21rr= ~ ~ vP Pi~-(l-+-,,-),..-b-' IVaseTimoshenko,StrengthofMateria/s,parteJI,3.'ed.,pg.210,1956. (o) 96TEORIADEPLACASYLAMINAS Volvamosalcasodeunafuerzaconcentradaenelcentrodelacarasuperiorde laplaca(fig.45),sellegaalaconclusindequelafuerzaSporunidaddelongitud decircunferenciadelorificiodebeserigualalapresinp,hI2.Utilizandoelvalor de p,dado en(o),seobtiene s="Ph 2(1+ ,,) ... b' Estasfuerzasaplicadasalacarasuperiordelaplacaproducensobrelaplaca flechaswI cuyovalorsecalculasustituyendo Sh"Ph' MI="2=4(1+ ,,) ... b' enlaecuacin(73)ydespreciandob2frenteaa2 Deestaformaseobtiene vPh2 a2 - r2 vPh2 a WI=- 8n(1+ v)2D-a-2- - 4(1_v2)nDIn---;(p) Sumando(P)a(k)seobtienelaexpresinsiguiente,msaproximadaparala flechadeunaplacasinorificiobajounacargaPconcentradaenelcentrodelacara superior: P[3+ "r]Ph'a w=.- --- (a'- r')+ T2 In- +In-8 ... D2(1+ ,,)a8... (1+ ,,)DT a'- T' ----- (q) 8... (1+ p)'Da' Estaecuacinsepuedeutilizarparacalcularlaflechaentodoslospuntosdela placaquenoestn demasiadoprximosalpunto deaplicacindelacarga.Cuando r esdelmismoordendemagnitudqueelespesordelaplaca,laecuacin(q)1;10 es aplicable,ypara obtener una solucin satisfactoria,la parte central de la placa deber ser considerada de la formaque se explic en el apartado anterior.Se obtiene un valor aproximadodelaflechadeestapartecentralasimilndolaaunaplacadepequeo radiob,sumandolaflechadebidaalasperturbacioneslocalesenladistribucinde tensiones,cercadelpuntodeaplicacindelacargaalaflechadadaporlateora elementaP.Laflechadebidaalasperturbacioneslocalesesafectadamuypocopor lascondicionesdecontornodelaplacaY,porconsiguiente,puededeterminarse aproximadamentepormediodelascurvasdelafigura44;lacurvaentrazosse obtiene apartir de laecuacin(92).Las flechasadicionalesdebidasalaperturbacin localdetensionessonigualesalasdiferenciasentrelasordenadasdelaslneas continuasdelacurvadetrazos. Por ejemplo sea una placa en que elradio de laparte interior, esb=5h.La flecha delaparteinterior,calculadaconayudade(92)ytomadacomounidadenla figura44,es Pb2 P al=16...D=16....D(5h)' Utilizandolacurvahla=0,2(fig.44),laflechaadicionaldebidaalaperturba-cindelatensinlocales P a2 =0,2181 =0,2116....D(5h)'(T) Siseconsideraunaplacaenqueb=2,5h,seobtiene,conlacurvahla=0,4 P a.=0,8116... D(2,5h)'(s) ,Enelcasoconsideradoestaflechasecalculautilizandoelprimer trminode(q)ysusti-tuyendobpora. FLEXIONSIMETRICADEPLACASCIRCULARES97 ue difiere muy poco de ladada en (r)para b=5h.Esto no es satisfactorio si se, toma ~2W!>2W+ =; (120) Ambas ecuaciones sondelamismaclasequelaque seobtieneparauna membrana!uniformementetensadabajocargatransversal. La solucindeestasecuacionessesimplificamucho enelcasodeplaca simplementeapoyadadeformapoligonal,en elcualencadaparterectadel contornotenemos O2W(OS2=O por ser w=O enelcontorno.Teniendoen cuentaqueporserelbordesimplementeapoyadoMn =Odeducimos tambin02w/On2=O enelcontorno.Porlotanto[v.eco(34)]tenemos a2wa2wa2wa2wM as2+ an2= ax2+ ay2=- D=O(e) enelcontornosegnlasegundadelasecuaciones(111).Sevequela solucindelproblemadelaplacasereduceenestecasoalaintegracin sucesivadelasdosecuaciones(120).Comencemosconlaprimera ydeter-minemosunasolucinquesatisfagalacondicinM=O enelcontorn02Sustituyendo esta solucin enlasegunda ecuacin eintegrndola,hallamos lasflechasW.Ambosproblemassondelamismaclasequeelproblemade calcularlasflechasdeunamembranauniformementetensada,concarga lateralyflechanulaenelcontorno.Esteltimoproblemaesmuchoms sencilloqueelproblemadelaplacaypuedesiempreresolverseconapro-ximacinsuficienteutilizandounmtododeintegracinaproximado como eldeRitzoelmtododediferenciasfinitas.Seestudiarnmsadelante (v.aps.80y82)algunosejemplosdeaplicacindeestosltimosmtodos. Enelestudiodelosproblemasdetorsin3 sedanvariasaplicacionesdel mtodoRitz. Otrocasosencillodeaplicacindelaecuaciones(120)eseldeiapiaca poligonalsimplementeapoyadaflexadapormomentosMn uniformemente repartidosenelcontorno.Enestecasolasecuaciones (120)tomanlaforma i)2Mi)2M ax2+ay2=O a2wa2wM ax2+ ay2=- D (121) IVaseS.TimoshenkoyJ.N.Goodier,Theory01E/as/ici/y,2."ed. ,pg.269,1951. 2Ntesequesilaformadelaplacanoespoligonal,Mgeneralmentenoseanulaenel contornocuandoesM"=O. "VaseTimoshenkoyGoodier,op.ci/.,pg.280. S .-TEORIADE PLACASY LAMINAS 114TEORIADEPLACASYLAMINAS Enelborderectotenemosdenuevoo2wjO?'O.Dedonde Mn = a2w -DiJn2 yenelcontornotenemos a2wiJ2wiJ2wMnM iJx2 + ay2an2 DD Estacondicindecontornoylaprimeradelasecuaciones(121)se cumplirndandoaMelvalorconstanteM=Mnentodoslospuntosde laplaca,loqueequivaleaquelasumademomentosflectoresMxyMy es constanteentodalaplaca.Lasflechassehallarnentoncesdelasegunda delasecuaciones(121) 1quetomalaforma + =-(d) Puedededucirsedeestoque,enelcasodeunaplacapoligonalsimple-menteapoyada,f1exadapormomentosMn uniformementedistribuidosen elcontorno,ladeformadadelaplacaeslamismaqueparaunamembrana [1-------- a-----] 1c----x La) YRb)J FIG.55 uniformementetensadaconcargauniformementedistribuida.Hay muchos casosparaloscualeslassolucionesdelproblemadelamembranason conocidas.Estassolucionespuedenaplicarseinmediatamente' enelestudio deloscorrespondientescasosdeplacas.Sea,porejemplo,elcasodeuna placatriangularregularsimplementeapoyadaflexadapormomentosM uniformementedistribuidosenelcontorno.Ladeformada eslamisma I,alamembranauniformementetensadayuniformementecargada.Esta ultImasepuedeobtenerexperimentalmenteconfacilidadtendiendouna lminade aguade jabnsobreuncontornotriangular yca:gndolaunifor-mementeconaireapresin2ElprimeroquelodemostrfueS.Woinowsky-Kriegcr ,n!?r.-Arch. ,\'01.4,pg.254, "Talesexperimentosseusanpararesolverproblemasdetorsin;vaseTimoshenkoy Goodier,op.cit.,pg.289. PEQUEASDEFORMACIONESDEPLACASBAJOCARGATRANSVERSAL11S Laexpresinanalticadeladeformadaestambincomparativamente sencillaenestecaso.Tomemoselproductodelosprimerosmiembrosde lasecuacionesdelostresladosdeltringulo EstaexpreSIOnevidentementeseanulaenelcontorno.Porlotantola condicindecontornow=Osecumpleparalamembranasilasflechas tienenlaexpresin [X3 - 3y2xa(x2+ y2)4a3]w=N3- .3+ 3 . 27 (e) DondeNesunfactorconstantecuyovalorseeligedemodoquese cumplalaecuacin(d).Deestemodoobtenemoslasolucinbuscada w=::'D [x3 - 3y2x- a(x2 + y2)+a3](1) Sustituyendo x=yO,obtenemoslaflechaenelcentro deltringulo M"a2 Wo=271i (g) Lasexpresionesdelosmomentosflectoresytorso ressonsegnlas ecuaciones(101)y(102) 1')3;] My= [1+ 1'+(1- v)3; ] Jl-fzlI 3(1- v)Mny 2a Losesfuerzoscortantessegnlasecuaciones(106)y(107)son (h) (1) Enelcontornosegnlaecuacin(d)deelapartado22,elesfuerzo cortante esQn=O yelmomentoflectoresigualaMn.Elmomento torsor enelladoBC(fig.SS)segnlasecuaciones(e)delapartado22es: M - 3(1- v)M n(- r3) nI- 4ay- VXLasreaccionesverticalesqueactanenelladoBC(fig.SS)son _3(1- v)M 2an (i) 116 TEORIADEPLACASYLAMINAS Porsimetradeducimosquelasmismasreaccionesuniformemente distribuidasactantambinenlosotrosbordesdelaplaca.Estasfuerzas estncompensadasporlasreaccionesenlasesquinasdelaplacarectangu-lar,cuyovalorpuedehallarsecomoseindicaenlapgina105Y es R=2(M"t)z_la,II_0=(1- v)V3 M",(j) Ladistribucindelasreaccionesenelcontorno indicadaenla figuraSSb).Lasmximastensionesdeflexinestnenlasesquinasy actanenelsentidodelosplanosbisectoresdelosngulos.Elvalordelos correspondientesmomentosflectoresessegnlasecuaciones(h) (k) Estemtododedeterminarlaflexindeunaplacapoligonaldebidaa momentosuniformementerepartidosenelcontornopuedeaplicarseal clculodelastensionestrmicasproducidasentalesplacasporcalenta-mientono uniforme.Alestudiarlastensionestrmicasenplacassometidas atraccinsevioenelapartado14[eco(b)]queelcalentamiento nounifor-meproducemomentosflectoresuniformementerepartidosenelcontorno de laplaca,momentosque evitantodaflexindelaplaca.Elvalor de estos momentoseslatD(1+ v) M ..=h(l) Para obtener lastensiones trmicasenelcasodeuna placa simplemente apoyadabastasuperponeralastensionesproducidasenlaflexinpura debidadalosmomentos(l)lastensionesqueseproducenenunaplaca simplementeapoyadaenlosbordesporlosmomentosflectores - atd(1+ v)/huniformementerepartidosenelcontorno.Lasolucinde este ltimoproblema puede obtenerse singrandificultad,enelcasodeuna placadeformapoligonal2,comoyaseexplic. FIG.56 ISesuponequelacarasuperiordelaplacamantieneunatemperaturamsaltaquela carainferiorylaplacaastienetendenciaaflexarconlaconvexidadhaciaarriba. 2VaseelestudiodeJ.L.Maulbetsch, J.Appl.Mechanics,voL2,pg.141,1935. PEQUEASDEFORMACIONESDEPLACASBAJOCARGATRANSVERSAL 117 Tomemosdenuevocomoejemplounaplacatriangularsilos bordes estn sujetos,losmomentos flectoresdebidos aun calentamiento no uniformeson M'=M'=+ JI)"11(m) Para hallar losmomentos flectoresMxyMypara una placa simplemente apoyadadebemossuperponeralosmomentos(m)losqueseobtienende lasecuaciones(h)haciendoMn =atD(1+ v)fh. Deestaformaseobtienefinalmente M - atD(l+ JI) _atD(lj-_jlj [1+ JI - (1 1x- h2h atD (1+v)_atD (1+ji)[1+JI +(1_ h2h M=! atEh2y "11 8a v)] =atEh2 (1+ 3X) 24a v)3;] atEh2 (1_3X) 24a Lasreacciones pueden obtenerse delasecuaciones (l)y(g)sustituyendo Mn =atD(1+ v)fh.Deahdeducimos aM,,atEh2 V ..=Q"- as =Sil R va atEh2 12 Losvaloresobtenidosparalosmomentosyreaccionesocasionadospor uncalentamientonouniformeestnrepresentadosenlafigura56a)yb), respectivamente. 25.Influencia delasconstantes elsticas en el valor delosrrwmentos flectores Sehavistoenlasecuaciones(101)y(102)quelosvaloresdelosmomentos flectoresytorsoresestnconsiderablementeinfluidosporel.,:alornumricodel coeficiente dePoisson.Por otra parte puede demostrarse con faCilidadque para casos decargatransversalelvalordeDwesindependientedeEyvestlaplacasimple-menteapoyadaoempotrada yseansusbordesrectosonolosean.'. SuponiendocualquiercombinacindeestascondicionesdecontornoconSidere-moselsiguienteproblema.DadosunosmomentosMxyMlI paraunvalorde", calcular los nuevos valores de estosmomentospara un valor v'de lamisma constante elsticaSeanM' yM'losnuevosvaloresde losmomentos flectores.Escribiendo las (101{ para" ydespuspara,,',eliminandoentreellaslascurva-turas o2wjox2yo2wjoy2yresolviendolasecuacionesresultantes,obtenemospara M; yM'=_1_ [(1-+ - v)Mvl ,s 1_(122) M'=_1_ [(1- ",,')M.+ (,,'-1- ,,1 118 TEORIADEPLACASYLAMINAS AspuedencalcularseM;y siseconocenMxyMy. Silaconstante"estincluidaenalgunadelascondicionesdecontorno,como ocurreenelcasodebordelibrelec.(112)],lasecuaciones(122)yanosonvlidas. Silaplacaestelsticamenteapoyadaoelsticamenteempotrada,losmomentos dependentambindelvalordelarigidez aflexinDdelaplacarespectoalangldez delacoaccin. Lastensionestrmicas,finalmenteestnafectadasnosloporlosfactoresmen-cionados,sinotambinpor elvalorabsolutodelarigidezDdelaplaca. Enla tabla5se dan valoresmediosde ",para algunosmateriales.Elltimo valor de la tabla vara considerablemente segn la edad delhormign,tipo de ridos yotros factores'. TABLA5 ValoresmediosdelmdulodePoisson/'Acero Aluminio Vidrio Hormign 26.Teoraexactadeplacas Material :10,30 0,30 0,25 0,15-0,25 Laecuacindiferencial(103)quejuntoconlascondicionesdeborde,definelas flechasdeunaplaca,sededujo(v.ap.21)despreciandoelefectoque tienensobrela flexinlatensinnormalaz ylastensionestangencialesT",yTyz'Esto significaque en ladeduccindeestaecuacinsehaconsideradoquelascapasdelgadasenplanos paralelosalplanomedioestnenestadodetensinplanaenqueslolastensiones ax,ayyTxy puedenserdistintasdecero.Unodeloscasosmssencillosdeestaclase eseldeflexinpura.Ladeformada enestecasoesunafuncinde segundo gradoen xey[v.eco(c),ap.11]quesatisfacelaecuacin(103).Lastensionesax' ay yTXY son proporcionalesazeindependientesdexey. Hayotroscasosdeflexinenqueseproducerigurosamenteunadistribucin planadetensiones.Seapor ejemplounaplacacircularconunagujerocircularenel centro,flexadapormomentosMr uniformementerepartidosenelcontornodel agujero(fig.57).Cadacapadelgadadelaplaca,separadapordosplanosprximos paralelosalplanomedioestenlasmismascondicionestensionalesqueuncilindro depareddelgadasometidoacompresinotraccinuniforme[fig.57 b)].Lasuma ar + a,delastensionesprincipalesesconstanteenestecaso'ypuedededucirseque ladeformacindelacapaenladireccinzestambinconstante ynelinterfierecon ladeformacindelascapasadyacentes.Porlotantotenemosdenuevouna distribu-cinplanadetensionesylaecuacin(103)esvlida. Veamosahoraelcasogeneraldelaformadeladeformadadeunaplacacuando laflexindaporresultadounadistribucinplanadetensiones.Pararesolveresta cuestinhayqueconsiderarlastresecuacionesdiferencialesdeequilibrioylasseis condicionesdecompatibilidad.Sisedesprecianlasfuerzasde masaestasecuaciones son:\: ,Elcdigoalemn(DI!\:4227)devaloresde/' quepuedenexpresarseaproximadamente por/' fl. /350,siendo;laresistenciaacompresindelhormigna28dasenlibras porpulgadacuadrada,VasetambinJ.C.Simmons,Z\llag.01ConcreteResearch,vol.8,p-gina39,1956. VaseTimoshenkoyGoodier,op.cit"pg.60. ,Vaseibd.,pgs.229,232. PEQUEASDEFORMACIONESDEPLACASBAJOCARGATRANSVERSAL derx + drxu+ dTu=O dXdydZder.+ dTz + aTyZ =O ayaxdZoUz.+ h-:u+ 071/%=o dZaxay 1(21)Ll.,erx =----1+ vax2 ( 21)Ll.,er. =----1+ v dY' 1( 21)Ll.,er. =----1+ vaz' PI) .1. 1'1"%" =-----1+ v dXay 1a'l) dlTxz=-----1+ /1 axaz 1( 21).6. 1Tuz =-----1+ v ayaz enlascuales y 1) = erz + er.+ erza'a'a' A,=- -1---1---.ax"ay'.az2 Sumandolasecuaciones(b)hallamosque (21) a'l)a'l) - + - + - =Ll.,l) =O ax'ay2az' 119 (a) (b) (e) (d) esdecir,quelasumadelastensionesnormalesesunafuncinarmnica.Enelcaso detensionesplanasT"=T",rr_ -- Oydelasdosltimasecuaciones(e)yla ltimadelas(b)sededuceque('IJjr'zesunaconstantequedenominaremosp.Segn estolaexpresingeneralde(j enelcasodetensionesplanases 1) =00+ {3z (e) donde(Jo esunafuncinarmnicaplana,esdecir, talque a200a'l)o ax'+ ay'=Ll.1)0 =O Vemosqueenelcasodetensionesplanas(j secomponededospartes,(jo inde-pendientedezyfIproporcionalaz.Laprimerapartenovaraenelespesordela placa.Dependedeladeformacindelaplacaensupropioplano ypuedeomitirsesi interesa nicamente laflexinde las pla(;as.De este modo podemos tomar en adelante 1) ={3z (f) Lasecuacionesdeequilibrio(a)sesatisfarnenelcasodedistribucinplanade tensionessitomamos T XJJ = (g) dondeq; eslafuncindetensiones.Veamosahoralaformageneraldeestafuncin. 120 TEORIADEPLACASYLAMINAS Sustituyendolasexpresiones(g)enlaecuacin(j)tenemos a'l.Puedeutil izarselaexpresinaproximada' k_a'- + b' u'fa'bl+ b' porhlsnormasalemanasparahormig6nfundadpsobr" unat " w=""Ioa' jD,y_O bl"x=0,25ax=o,sOaxO,bOax=0,75a 1,00,001310,002030,002010,00162 1,10,001580,002430,002420,00192 1,20.001860.002820.002790.00221 U0,002120,003190,003150,00248 1,40,002350,003530,003480,00273 1,50,002570,003860,003790,00296 l,bOJXl2770,004150,004070,00317 1,70,00296O,0Cl4410,004320,00335 1,80, 003130,004650,004550,00353 1,90,003280,004870,004750,00368 2,00,003420,005060,004940,00382 3,00,004160,006120,005920,00456 4,00,004370,006410,006220,00477 I 5,00,004410,006480,006290,00483 0,004430,006510,006320,00484 Losvaloresnumricosdelosfactores{J y{J Idelasfrmulas(k)y(1) estndadosenlatabla10,Se veque para6?40tosmomentos estnmuy prximosalosdelafranjasometidaaunacargatriangular. Seutilizanlasecuaciones(106)y(107)paracalcularlosesfuerzos cortantes.Dclaprimeradeestasecuaciones,utilizando0)paralospuntos sobreelejexseobtiene Lasexpresionesgeneralesdelosesfuerzoscortantes y son m " y ( - I)"' +l ch --=qo(o'- 3X2)_2q,a "\'"__ '"' _,,_,"_x_' 60:!m'cha",o _.. (m) Q, m 71)' (-1)"' ;- )sh --:..- 2Qoa__" ;--__a__ ,,n_" _,"_ X_ ,,2m2 eh(.1 ma .-. T ABLA10 (11) FactoresfJ yp,paraelclculodemomentosflectoresd.placasreetangu[aressimplemente apoyadasbajQcargahidrosttic3Q - q"x/a - 0,3,b>a M, - {Ja' q" y - OM.=J,a'q"y= bl' , -" - "-" -,

, - 0,2500,5000,6000,7500,2500,5000,6000,75.'0,002810,004870.005180,00465 1.80,002700,004650.00491O,OO-n .. >.70,002610,0044]0,004630.00404 >0,002490,0041 50,004320,00372 1.50,002340,003860,003990,00339 >.'0.002180,003530,003630,0030,00O0,00162 delac ualcadatrminosatis facetambinlascondi cionesenlosbordes y= bI 2.LasfuncionesX I'"IdexselOmandemodoquecadaunade sati s fagalaecuacinhOlllognea(137)delapartado30yas laexpre-slOn(a)sa ti sfacelascondicionesenloslmitesparalosbordes.\'=O y .\'=a, , queelmtododedeterminacindelasfun ciones.\"2 ,"Ies Similaralquesehautili zadoparade te rminarYm,noslimitaremosadar losvaloresnumricosfinal esrepresen tadosenlastabl as13.14,15Y 16,La notacindet.'Stastablaseslamismaquelade correspondientt.'Sacargadepresinhidrosttica. lastablasprecedentes 32.Placarec fang ular lJ imple nlfmle apoyada son ,etidaallnacargf'COI! forrn adetriangula r Supongamosquelaintensidaddelacargaestrepresentadaporun tri {mguloissceles(\'.fig.67 a)].Serepresentadenuevolas uperfi cie nexadapor (a) donde fVlrepresentalaflechadeunafranjaparalelaalejedelasx, si mpl e-menteapoyadayf(!!ti enelamismaformadelapartadoanterior.Para representar laflechawp enlaformade unaserietrigonomtrica,seobserva -,Of---- f--> :0 L f----- a-J yb) Flc.67 que1;.fl echaproducidaporunafuerzaconcentrada distancia !delextremoizqui erdodelafranjaesl: P,aplicadaauna . 2Pal \'1 m'rx D1t'L.m'senasen a .., (b) Susti t uyendoPporqd;yutilizandoq=p a ra: a {2,seobtienelafl echadelafranjadebidaa unacargael ement al.L.1fl echadebidaalacllrgatotalsobrelafr anja,se obtieneporintegracindelaformasiguiente: . W_ \' -.!...sen 11 _'_' _% [( (o_E)sen '_"' _1dI] VT'L.m'aJoaal 2a .. - 1.. - sz-:: (_ 1) 1..- 1l/1mt'% ,sen --ma (e) .. _ 1.3.5. .. ' V""",T imO$henko.S lr fflgt"01,Hat"iab,parte11. 3.& ..-IM0, 1580,3600,1090.2980,035 1.20,003670,03680.04180.1710,3470, 1200,2840,036 1,1 0,003160,03560,03690, 1850,3320, 1330,2680,037 1,00.00263O,OHO0,03170,1990,3 150,1 470.2500,038 33.Plaellr ectflngul ar/f'up l c1nenteapoyadayI Hu-cialmelltecarg adll Consideraremosuncasodefl exinsimt ricaproducidoporunacar-gaquniformementerepartidasobre elrectngulorayado(fig.69)delados 11 yv. Sedesarrollaense ri e,lacarg . 2"' .. !.HU+" " "-- q sen-- d aaI(a- ..a m " ( _ l )("-IJ/!mrUmrX msen2asen a(a) '" _I ,3.S. estaseri erepresentalacargaparalazonaprsldelaplaca. Fre.69 Lafl echa,correspondi entejestazonadelaplaca,seobtienemediante laecuacin( 103),quetomalafo rma (_ 1)(.. - 1l/1mrUmr X "" -2-.- "" - .-tomemos,denue\' o,laOechadelaforma fV = W + Wt (b) (e) dondefV\esunasolucinparticularde(b),independi entedelavariable y q uesatisfacelaecuacin a41O 4r\' a:iT=;-jL., .. _1,3.6 . (_1)(.. - 1)12mrUmrX ------ sen- - ,," --1Il2aa Integrandostaconrespectoax,obtiene 49"' 101..,;T) . ... _l .:i.r... {- 1)(,, - 1)12mrllmrx lit'sen 2a sena(d) EntoncesfVl debeserunasolucindelaecuacin( 137)(pg.136). Eligiendolaforma(1 36)paraestasolucinytomandoen(138)lasfun cio-nespa resde yparay ... .porrazndesimetradelasuperfi cien exadacon res pectoaleje.t' .seobtienepor(e) < u'=o ...+ A ",ch-- + B .--, h -- ",n -- (,) ( m:1yII/ Jly/I/ :1Y )", ;1.>: ao ,aa ..U,J. enlaq ue,estavezes 4qa4 m ... u Oc..=--( _l)(wo-nltsen- (f) ...2a Laecuacin(e)representalasflechasdelazonap rstdelap laca. Cons ide remosahoralazonanocargadadelaplaca,pordebajodela lnel!ISsep uedelOmarparaladeformada 1:"(m:tym:,)'111 ."1)' IV'A'",ch -- + B.--, h --aaa +e'.ohl/Uf)'+m;yhm:tyII/ ;1"X.. ) ..D'",-- e-- " n -- (g) aaoa Esnecesari oahoraelegirlasconstant esA"" BmD'",enlasseries(e) y(g)d etalmaner aquesati sfaga nlascondi cionesentosbordespa ra y=b/2Ylascond icionesdecontinuidadalolargodelareci aIs.Para ;eprescntares tascondicionesenunaformamss impleintroduci moslas notaciones m ... b a",=2a Lascondi cionesgeomtri casalolargodetsexigenque w=w'y iJwow' , para y=2 (h) (i ) Porotraparte,p uestoquenohayfuerzasconcent radasa10largodeIs. losmomentosflectoresi'vlw ylosesfuerzos cortan tesQ, debensercontinuos aloIlITgodeestarecta.Conside rando(1)estasltimascondi cionespueden ponerseenlaforma , paray- 2" (;) Sustluycndo(e)y(g)en(1)y()yusandolanotacin(h)estas ecuacio-nesIOmllnlafo rmasiguient es: (A",- A....eh2 y",+- B ;")2 y",sh2y", - C '"s h21',.- D'", 2 y",ch21'",+ O'"=O ( A..- A '", )sh2 )'m+ (B", - B'", )(sh2)',.+ 2 y",eh21' .. ) - e:..ch2 y",- D;" (ch2 y",+ 2 y",sh2)'", )=o (A ",- A '", )ch2 y ..+ (B ...- 8'",)(2ch2)'",+ 2 y",sh2 y", ) - Cmsh2)'",- D'", ( 2sh2 y",+ 2 y",ch2 y", )=O (A...- A '.. )sh2)'",+ (8 ",- 8 :,,)(3sh2 y",+ 2 y",ch2 y", ) - e:..ch2 y ",- D;" (3ch2 ym+ 2 y ..s h2 y", )=O (k) Deestasecuacionessededuce A...- A '",=O",(1'msh2 1' ...- eh21'",) a. BB'.h2'"- =- 2- ey. e:.. =Qm( Y",ch21'",- sh21'", ) ( /) D'.a - 2- s h2)'", Aestascuat roecuacionesconseisconstantesA",.. .D;"seaadendos ecuacionesquerep resent anlascondicionesenlosbordesparay=b/2. Sust ituyendo(g)enlascondicionesw'= O, Q2w/OY=O para y= b/2 obtendremos A'",chu",+ 8 '". (1 ",sh(1",+ e;.,sh(1 ",+ D;" u ch",=O B ;"ch(1",+ D ;"sh(1",=o (111 ) Las ecuaciones(111)juntoconlas ecuaciones(1),determinanlasconstan-tes: A ",= ehm [C.h(u",- 21'", )+ y ...sh(a",- 2 y", )+ U m - o.- " -c' c- 2Yeco=- ,J 2ch(1m ". Bm - ch(o ",- 2)'", ) 2ch", w Lle\'andoestosva loresasicomo(f)alaecuacin(e),obtiene .._ 1.3.S.m:Iy eh--m :t" (a ",n -- ,-20chu .. [Ch(u ...- 21'", )+ y",sh(ti ... sh2 y ..J - 2 y", )+ ti ",2 ch ... +- - , h -- ,en --ch (a",- 2 y", )m:tynI:t), )m ;x 2 cho...aaa (1/ ) ( 142) Medianteestaecuacinsepuedecalcularlaflechaentodopuntodela zonacargadadebplaca. Enelcasoparti culardequeu=t iY v=bseobtiene,porlasecuacio-nes(J, ),y",=", /2.Lascxpresion(,'s( 11 )tomanlaforma A ..=---- ,+-- th u", a.(" _) eh( 1 ..2 8_", ...- 2 chti ... y( 142)coincideconlaecuacin( 139)(pg.137)obtenidaparaunapl aca rectangul aruni fo rmementeca rgada. Laflechamxi ma delaplacaest en' elcentroy.seobtienes ustituyendo y=O Y .\" =(1 /2enlaf rmula( 142)queda ..I.J.J. 1m;rll -sen -- 1- --- 2(1 ch'" [Ch(a aaab bqa4 x=2' y=Ox=2' y=,O x=2' y=2 - 'U'mx=ana I M,=p,qa2 M.=P2qa2 i M. =yqa2 aP,P2 Y 1,00,001920,02440,0332-0,0697 1,10,002510,03070,0371-0,0787 1,20,003190,03760,0400-0,0868 1,30,003880,04460,0426-0,0938 1,40,004600,0514. 0,0448-0,0998 1,50,005310,05850,0460-0,1049 1,60,006030,06500,0469-0,1090 1,70,006680,07120,0475-0,1122 1,80,007320,07680,0477-0,1152 1,90,007900,08210,0476-0,1174 2,00,008440,08690,0474-0,1191 3,00,011680,11440,0419-0,1246 XJ0,013020,12500,0375-0,1250 cuadrada.Enelcasogeneral,estemomentopuederepresentarseporla frmulayqa2,dondeyesunfactornumricocuyovalordependedela relacina/bdelos .Iadosdelaplaca.Latabla29davariosvaloresdeeste coeficiente. Sustituyendolosvalores(e)deloscoeficientesEmen(173),seobtiene la deformada debida alosmomentos Myrepartidos alolargo de losbordes. xc mnx W sen--2qa4 a n5Dm5.eha m ni -="' 1,3,5, ..mny) -amtha mch _a- (g) Seobtienelaflechaenelcentrosustituyendoxpor a/2ey=en (g). Entonces L m-l.a.5 .. (_1)(m-11/2 m6 a m- tham (1+ a mtham ) a m- th am(amtha m- 1) queesrpidamenteconvergen!eylaflechaseobtieneconunagranexac-titudnoconsiderandomsquealgunostrminosdeestaserie.Enelcaso deuna piacacuadrada,por ejemplo,elprimer trminoda,lsolo,laflecha contrescifrasexactas,ysetiene qa4 W=0,00214 D Restandoestaflechadelaflechaenelcentro,producidaporlacarga uniforme(tabla8,pg.141),obtenemosfinalmenteparalaflechadeuna placacuadradauniformementecargadacondosdesusladossimpiemente apoyadosylosotrosdosempotrados,elvalor W=0,00192 q;4 Sepuederepresentargeneralmente,laflechaenelcentro,porla frmula W=aqa4 D Latabla29davariosvaloresnumricosdea. Sustituyendolaexpreslon(g)delasflechasenlasfrmulasconoci-das(101),delosmomentosflectoresseobtiene .. 2: m-I.3.5 ... m?rx a m3cham' a",- tham e1+ a mtham ) a",- tham(a",th a",- 1) { mnymny} (1- v)-a- sh -a- - [2v+ (1- v)amtham ]ch..mnx 2: sen--2qa2 aa m - tham(1+ U mthu m ) n3 m3 cha ma m- tham(a mtha m- 1) m=I.3.5. . . { mnymnymny} (1- v)--sh-- + [2- (1- v)amth am ]ch--aa.a Enelcentrodelaplaca,estosmomentostomanlosvalores m=I.3.5... ! . (-1) (m - ll/2 m3ch a m (-1) (m - ll / 2 m3 cha m (h) (i) Estasseriesconvergentanrpidamentequesetieneunvalorsuficien-tementeexactodelosmomentos,tomandoslolosdosprimerostrminos de las series.Superponiendo estos momentos alos de una placa simplemen-te apoyada(tabla 8),seobtienen entonceslosvaloresfinalesdelosmomen-tosenelcentrodelaplaca,quepuedenponerseenlaforma (j) dondePIyP2 sonfactoresnumricosquedependendelarelacinb/a. Variosvaloresdeestoscoeficientesestndadosenlatabla29. Paraelcasodeunaplacacuadrada,hallamosquelosmomentosenel centro,son yO,0332qa2 EstossonmspequeosquelosmomentosMx=My=O,0479qa2 en elcentrodeunaplacacuadradasimplementeapoyada.Pero,comoseha visto,losmomentosMy,enelcentrodelosbordesempotrados,sonmayo-resque O,0479qa2 Por consiguiente acausadelatensindelosdosbordes elvalordelatensinmximaenlaplacaaumentacuandoloslados tradosdeunaplacarectangularsonlosmayores(b;1LL y FIG.94FIG.95 Consideremosunacargauniformementerepartidasobreelrearsutde laplacadada!.Unacargaconstantedesignoalternadoenformadetablero dedamaseintensidadrepartidasobreelrea2a.2b,comoindicala figura95,creaentonceslascondicionesdeunborde simplementeapoyado alolargodelaslneasx=O,Y=O.Porconsiguiente,elproblemade flexindeunaplacaquetienedosbordesadyacentessimplementeapoya-dosylosotrosdosempotrados,setransformaenelproblemayaresuelto delapartado44,deunaplacaempotrada entodosucontorno.Losresulta-TABLA38 Flechasymomentosflectoresenplacasrectangularesconunbordesimplementeapoyado ylosotrostresempotrados(fig.94) Cargab/a(Mx)r=a/, ..1/ = 0/ 2(My)=o.F b P.'esinuniforrneq0, 50,00449qb' 'D- 0,0786qb'- O,1148qb' 0 ,750,00286qb4/D- 0,0730qb'- 0,0838qb' 1,00,001S7qb' /D- 0,0601qb'- -0,OS51qb' 10,OO215qa' jD- 0,07S0qa'- 0,0571qa' 2,00,OO257qa' /D- 0,0837qa'- 0,0571qa' 0,50,00202q"b'ID- 0,0368q"b'- 0,0623qob2 0,750,00132qob'ID- 0,0344qob'- -0,0484I]ob' 1,00,000741]ob'l D- 0,0287qob'- 0,03471]ob' Presinhidrostticaqoy/b. . Parael ,estudiode. estecasoSiessenNewmark(trabajocitado)hanaplicadounamodifi-caclOn del metodoTunoshenk.Paralautilizacindel mtododelaenerga vase W. B.Sti-les,J. Appl. Mechanacs,vol.pagoA-35,1947.VasetambinM.K.HuanvHOC... J.Appl.Mechanics,vol.19, pago451,1952.g...onv.ay, dosmuestranqueelmomentomaxlmoenvalorabsoluto,sesltuaenel centrodelladomayordelaplaca.Losvaloresdeestemomentodeempo-tramiento son- 0,1180qb2 para b/a=0,5y- 0,0694qb2 para b/a=1,0.El momentoflectormximoenelcentrodelaplacacuadrada,vale0,034qa2 (parav=0,3)ylaflechacorrespondiente es0,0023qa4/D.En lapgina269 se dan otros datos numricos relativos alos momentos flectores en este caso. 46.Placasrectangularescondosbordesopuestossimplemente apo-yados,urwlibre yelcuartoempotradoosimplementeapoyado! Supongamoslosbordesx=O Y x=a(fig.96)simplementeapoyados, elbordey=b libreyelborde y=O empotrado.Enestecaso,lascondi-cionesdebordeson w=O wO j2w dX2=Opara aw ay Opara x=Oyxa y=O ya lolargodelbordelibre[v.eco(112),(113),pg.104]. + (2- v)l-b libre r. _1... __ l , .a , , , L\.,:o;..,..,'77""""'''''''-k----o --Jx'ql Frc.96 (a) (b) o(e) Enelcasoparticularcargauniformementerepartidaseopera comoenelapartado30ysesuponequelaflechaestcompuestadedos partes W=w!+ W 2 dondeWrepresentalaflechadeunafranjauniformementecargaday simplementeapoyadadeanchura aquepuede' escribirseenformadeserie 4qa4 Wl=71" 515 1m7l"x -sen-m5 a m=1.3.5.... (d) IEstecasofueestudiadoporBoobnov;vaselatraduccininglesadesuobraenTrans . Inst.NavalArch.,vol.44,pg.15,1902,YsuTheoryoJStructureoJShips,voL2,pg.545. SanPetersburgo,1914.FueestudiadotambinporK.Goriupp,Ingr.-Arch.,voL16,pg.77. 1947,YporV.Bogunovic,.OntheBendingofaRectangularPlatewithOneEdgeFree,Belgrado,1953. yw2 vienedadapor L m=l,3,5", , donde Ymsen m7l'X a (e) (j) Lasseries(el)y(e)satisfacenlascondicionesdecontorno(a),yse determinanlascuatroconstantesde(j)detalmaneraquecumplanlas condiciones(b)y(e).Entoncesde(b)obtenemos 'Delasdoscondicionesrestantes(e)hallamos 4 (3-1- v)(1- v)ch2 {Jm -1- 2vch {Jmv(1- v)(l m sh{Jm- (1- v2) (3-1- v)(1- v)ch2 {Jm-1- (1- V)2(J;"-\- (1-1- V)2 4 Cm (3 -1- v)(1-v) sh(1m ch 3m -I-v(1 -\-v)sh-im -v(l-v)(Jm chfim-(1-v)2/3m (3-1- v)(l-v) ch2 -im -1- (1- V)2-i;"-1- (1-1- V)2 dondefim=mnb/o;. (g) (h) Sustituyendolasconstantes(g)y(h)en(j)yutilizandolasseries(e) y(d),seobtienelaexpresindeladeformada.La flechamxima seprodu-ce,enestecaso,enelcentrodelbordelibre.Sibesmuygrandeen comparacin con a,esdecir siel borde libre est lejosdel borde empotrado, laflechadelbordelibreeslamismaqueladeunafranjadelongituda, uniformementecargada ysimplementeapoyada,multiplicadaporelfactor constante(3- v)(1-1- ",)/(3-1- ",).Resultandodelapresenciadeestefactor que laflechamximaesun6,4%mayorqueladelafranja,parav=0,3. Estoseexplicafcilmentesisetieneencuentaquejuntoalbordelibrela placaestflexadasegnunasuperficieanticlstica. Consideremos otrocasoextremo,enelque aesmuygrande encompa-racinconb,laflechamximadelaplacaesevidentementelamismaque ladeunafranjadelngitudbuniformementecargada,empotradaenun extremoylibreenotro,Latabla39davariosvaloresdelaflechamxima calculados!paradiferentesrelacionesb/a.Da tambinlosvaloresmximos delosmomentosflectoresquesecalculanigualmenteapartirdelaexpre-sindeladeformada.Losclculosmuestranque(Mx)mxseproduceenel centrodelbordelibre.ElmximovalorabsolutodelmomentoMysesita ehelcentrodelbordeempotrado. TABLA39 Flechasymomentosflectoresenplacauniformementecargadacondosbordesopuestos simplementeapoyados. eltercerbordelibreyelcuartoempotrado(fig.96) bfa o 1 3 U'mx 0,125qb4fD O, 094qb4fD 0,0582qb4fD 0,0335qb4fD 0,0113qb4fD 0,0141qa4fD 0,0150qa4fD 0,0152qa4fD 0,0152qa4fD v=0,3 x =af2,y=bIx =af2,yO MxMy O-0,500qb' 0,OO78qa2-0,428qb20,0293qa2 -0,319qb20,0558qa2-0,227qb2 0,0972qa2-0,119qb2 0,123qa2 -0,124qa20,131qa2-0,125qa2 0,133qa20,125qa20,133qa2-0,125qa2Setratadelamisma manera,elcasodeuna carga hidrosttica repartida segnlaleyqo(1- y/b).Pondremoslaflechaenlaforma ., w L 1m7l'X -sen-+ m6 a m=1,3,5, ... " L .. , Ym sen m7l'X a (i) dondeYmesdelaformade(j),con%comoconstanteenlugardeq. Operando,comoanterirmente,seobtienenlascuatroconstantesAm,Bm ...DmapartIrdelascondicionesenloslmites(a),(b)y(e). Silaestflexadaporunacargarepartidaenelbordelibre,en lugar de serlo,por una carga repartida sobrelasuperficie,sede be modificar la segunda delascondiciones(e)sustituyendo elcero delsegundo miembro porlaintensidaddelacargarepartidaenelbordelibre.Sehaestudiad02 (fig.97),elcasoparticulardeunafuerzaaplicadaenelborde 1 EstatablasedebeaBoobnov,op.cit. ,VaseC.W.MacGregor,lHech.Eng.,vol.S,pg.225,1935.D.L.Hall,J.Appl. Mechanics,vol.4,pg.8,1937;T.J.Jaramillo,J.Appl.Mechanics,vol.17,pg.67,1950; YK.Girkmann,Fliichentragwerke,4. aed.,pg.233,Viena,1956.Elcasodeunaplacacanti-levercontresbordeslibresycargauniformementerepartidafueestudiadoporW.A.Nash, J.Appl.1Hechanics,vol.19,pg.33,1952.Vasetambinelestudiodeestetipodeplacahecho por W.T,Koiter yJ.B.Alblas conresultadosnumricos enPrOLKoninkl.Ned.Akad,Wetens-chapoAmsterdam,vol.60,pg.173,1957. libredeunaplacamuylarga.Laflechaalolargodeestebordeestdada porlafrmula FIG.97 ElfactoradisminuyerpidamentecuandoladistanciadelpuntoAde aplicacindelacargaaumenta.Latabla40exponevariosvaloresdea.La tabla41dalosvaloresabsolutosmximosdelm0mentodeempotramiento TABLA40 x = b/4b/2 [ 2b a =0,1680,1500,1210,068I0,016 TABLA41 Momentos [lectoreslH= parax0,y- O, debidosacargaconcentradaPenx=O,Y=b,estandolosbordesx=ea /2simplementeapoyados(fig.97) v=0,3 b/a=0,5I0,25 {J=- 0,436 1- 0,498-- 0,507- 0,509 debidoaunacargaqueactaenelcentrodelbordelibredeunaplacade longitudfinitala. Elcasodeunaplacarectangularuniformementecargadasimplemente apoyadasobretresbordesylibreeny=b(fig.98),setratadelamisma maneraqueelcasoanteriorenqueelbordeq=O estabaempotrado. r I I I I .o , I , Libre _J[. __ _ ! LO o FIG.98 J ,EstatablaesdebidaaV.Bogunovic,up.cit.Vasetambinapartado78. Bastasustituirlasegundadelascondicionesdeborde(b)por Omitiendo lasdeducciones damos solamente elresultado numrico final obtenido para este caso.La flecha mxima se produce en elcentro delborde libreascomoelmomento flectormximoMx.Estosvaloresdelasflechas Wm.,Y (Mx)mxestn dados en la segunda ytercera columnas de latabla 421Lasdosltimasdanlosmomentosflectoresenelcentrodelaplaca. TABLA42 Flechasymomentos flectoresenplacasrectangularesuniformementecargadascontresbordes simplementeapoyadosyelcuartobordelibre(fig.98) v=0,3 x=a/2,y=bx=a/2,y=b/2 b/a Wm.ix(M' )mx MIM.v0.0071Oqa'/D0,060qa2 0,039qa2 O,022qa' !0,00968qa'/ D0,083qa'0,055qa2 0,030qa2 1/ 1,4O,01023qa' /D0,088qa'0,059qa'0,032qa' 1/ 1,30,Oi092qa' /D0,094qa'O,064qa'O,034qa' 1/1,20,01158qa4/DO,l00qa'0,069qa'0,036qa' 1/1,10,01232qa4/D0,107qa'0,074qa'0,037qa' 1,00,OI286qa' D0,1l2qa'O,080qa'O,039qa2 1,1O,01341qa4/DO,117qa'0,085qa'0,040qa' 1,2,01384qa'/D0,121qa'O,090qa'0,041qa2 1,3O,01417qa4/D0,124qa'0,094qa'0,042qa' 1.40,01442qa4/ D0,126qa'0,098qa' i0,042qa' ! 1,50,01462qa' /D0,128qa'0,101qa' I O,042qa' 2,0O,01507qa'/DO,132qa'0,113qa' I O,041qa2 3,0O,01520qa'/ D0,133qa'O,122qa'O,039qa2 ex: O,01522qa'DO,133qa'0,125qa'O,037qa' I TABLA43 Flechasymomentosflectoresenplacasrectangularescontresbordessimplementeapoyados yelcuartobordelibre,bajocargahidrosttica(fig.99) x- a/2y- bx=a/2y- b/2- -r -b/a wMzI wMz : M" I t0,00230'ka' / DO,0197'loa'!O,OOI35'loa' /DO, 0145'ka'O,0120qoa' !O,00304qoa'/D0,0265'loa'O,00207'ka'DO, 022O'ka'O,0156'loa' 1,00,00368'ka'/DO,0325q,a20,OO313IJoa'/ D0,033 1'ka'0,0214'loa' 1,5O,00347'loa4/D0,0308q.a2 i 0,00445'loa' /DO,0453'loa' O,0231'loa' 20000291a'D00258 2 'DO 0529a'00222a''lo /'loa0,OOS33'ka/,'lo,'lo xo O,OO651'loa' /D0;0625'loa'0,0187'loa' ,Estatablaylatabla43fueroncalculadasporB..' G.Galerkin;Bull.Polytech.Inst .. volumen26,pg.124,SanPetersburgo.1915. La tabla 43,contieneenformasimilar losvaloresdelasflechasydelos momentosflectoresproducidosenelcentrodelbordelibreyenelcentro' delaplacaporunacargahidrosttica. 47.Placasrectangularescontresbordesempotradosyelcuarto bordelibre Placas,contalescondicionesenlosbordespresentanunintersparti-cularcomopartesintegrantesdedepsitosrectangularesomurosdecon-tencin.Porconsiguiente,seconsiderarenestecaso,enprimerlugar,las cargasuniformementerepartidasehidrostticas. Librey ~__ L" __ ! l I .o ! I KLO ~ - - - - - o - - - - - ~ FIG.99 ..-' I I I I I I y ~ L i b r e .k_ FIG.100 J Supongamos elcontorno delaplaca empotrada en y=0,x=a/2y libreeny=b(fig.100).Supongamosprimerounacargadeintensidadq, uniformementerepartida,laecuacindelasflechaspuedeponerseenla forma Siendo W y W=Wl+ W2+ Wa 2: (_1)(m-ll/2m'lrX cos--m a m=l,3,5, ... 2: m=I,3,5, ... y m( _1)(m-1l/ 2cos m1l'x a (a) (b) (e) contenidasen(a)idnticasa(el)y(e)delapartadoanterior,SIseconsidera lanuevaposicindelorigen. Lasflechasadicionaleswa'debidasalascoaccionesadicionalesenlos bordesx=a/2,seescribendelaformal IEstemtododesolucinsedebefundamentalmenteaGoriupp,op.cit.,pg.153,194X. VasetambinW.].VanderEb,Ingeuieur.vol.26,pg.31,1950. o 11.....6 11" \0("")0\0_00("") ___ 00001:"--...;-...;-..;-.q-..q-MM 6666666 ("'-.\OVl"';-lf}If)_ O'...;-oo_M["-o. O' NMM"';-"';-"';-.q-6666666 trO'Lr)M"';-OOLrl ""MO\O_Oa.n M"';-t.r'llfl\Or---t"--0000000 6666666 I1 11 1 10('-..lf)\O00Ot-L()_OOtnNt"'--N t---l'\O\O\OLr)tr} 6666666 1f)NN\OMf'N +OO_Mtr\O..f" r---l'OOOCl000000 o_qqo_qqq 0000000 i 11 I1 I1"';-('-..\00\00(""..100 1"O',.-q""-.IM...;- _ 00 ____ _0000000 6666666 OONNr---l''''i-N \O....... trao '......q ...... o ....... NNNMM"';-0000000 6666666 '"\Ol"--OOO'ONtrl c'" 0- o'" o'" ....: ....... '" .,....."'. (Fn In1.3,5,.",=1,3,5, ..n;rxn:-rxn;rx)n;ry Ynth' n ch -2b - Fn- - sh - - sen --2b2b2b ( nl;rynl:-rym:-ry Gm sh -- + Hm --ch--ooo nl;rym;ry)m;rx + 1 In--sh -- cos - -ooo (d) dondeFn...1m sonlasconstantesyYn=nno/4b. PuestoqueWa =Oparay=OYx= 0/2,lascondicionesenlos bordesquedebencumplirtambinlasflechas(d)son: [aaU:3 + (2- v)(j32W3] ayaxay[aCWl+ W2+ W3)]=o ax(e) o Desarrollemosahoratodaslasfuncionesnocircularesdex,contenidas en(a),enseriedelaformaLam cos(mnx /a)ytodaslasfuncionessimilares dey,enseriedelaformaLbn sen(nny /2b).Seobtienenentoncesapartir delascondiciones(e)unaseriedeecuacioneslinealesparaFn Gn,... ,In Resolviendolasecuacionessepuedenexpresarlasconstantes desconocidas porlosvaloresconocidosAm...Dm(v.pg.233). Enelcasodeunapresinhidrosttica(v.fig.101),sesuperponela solucin(1)delapartadoanterioralasolucin(d)yseoperacomoseha indicadoanteriormente. y,libre _L FIG.101 Cualquieraquesealacarga,elproblemapuedetratarseporelmtodo dediferenciasfinitas(v.ap.83).Losvaloresdelastablas44y45estn esencialmentecalculadosporestemtodo IVaseA.Smotro, ,,. SolutionforPlatesLoadeJ10theLa",01'Trapeze", :\Iosc,1936. O)o S 11".g ..,

o o11.; >.'" 1:: " .., c;:'" o o 11 E " >.!, + I-'!. Sustituyendoen(v),seobtienefinalmente p>.2 W=Wo+ -- .. m--2,4,6, ... (-1)"'/2mrX -0...="-_ cos -- .. II( 'Y cos'Y y y>. 4+ I-'!.a...'" (w) La flechamxima sesita evidentemente bajolascargas Pyseobtiene sustituyendox=a/2,y=O en(w),dedonde .. .P>.P>.2'\''Ym Wmx =20ak+ --L.y>. 4+ Sol!.(184) m=2,4,6, . EIll'Il'ilSOparticularueunacargaPaislada,queactasobreunaplaca infinita,latlechaseobtieneponiendoa=A. 'en(184).Enestecaso,el primer trminodelafrmulaseanulayutilizando(i),tendremos U tilizandolarelacin 2uVu2 + 1 seencuentra p}..2{'"1du Wmx =2V2 1I"kJoV2 1+ u2 (185) deacuerdoconlaecuacin(180).Conayudadeestevalordelaflecha,la presinmximasobrelacimentacinelstica,es p}..2P(k (p )mx=kU'mx=8= 8""J 15(186) La tensinde traccin mxima seproduce enla cara inferior de laplaca debajodelacarga.Lateoraanteriordaunvalorinfinitoalmomento flectoren puntoysedeberecurriralateoradelasplacasgruesas (v.ap.26).EnelestudiomencionadodeWestergaard,sedalaexpresin siguienteparaelclculodelatensindetraccinmxima,enlacara inferiordelaplaca,establecidamediantelateoradelasplacasgruesas: PEh' (O'r)mx=0,275(1+ ,,)h2logkb4 (x) Enestaecuacinhrepresentaelespesor delaplacay bV1.6c2+ h2 - 0,675hcuandoe< 1,724h ecuandoe >1,724h donde e eselradiodelcrculosobreel quelacargaPsesuponeuniforme-menterepartida.Parae=O,estaremosenelcasodeunafuerzaconcen-trada. Paraunreacuadradacargada,deladou,sesustituyeepor0,57u(v. pg.185). ElcasodecargasequidistantesP,aplicadasalolargodelbordedeuna placasemiinfinitapuede tratarsede formaparecida (v.fig.134),La frmu-ladefinitivaparalatensindetraccinmxima,enlacarainferiordela placa,bajolacarga,para amuygrande,es (O',.)mo.c=0,529(1+ 0,54,,)[log- 0,71 ](y) dondehsecalculacomoenell'IlSOII111l'riory('eselradiodelrellsemi-circularsob'relaquePsesuponequeestuniformementerepartida.Las frmulas(x)e(y)sonmuytilesparaproyectar carreteras dehormign,en estecaso,elcrculoderadioerepresentalasuperficiedecontactodel neumticoconlacarreteral.

FIG.134 60.Placacargadacon filas decolumnasequidistantes Como ltimo ejemplo consideremos una placa infinita apoyada sobre cimentacin elsticaquesoportacargasigualesyequidistantesP,uniformementerepartidacada unadeellassobreuna superficierectangular upor v,comoindicalafigura135.La flexindetal puede tratarsemediantelasolucin deWestergaard yaestudiadautilizandounaseriesencilla'. -$-$-$ .c $- $f-x .c , ---,---ti y FIG.135 Muchomssencillaytambinmsadecuada,salvoparaelcasodecargasfuer-tementeconcentradas,essinembargolasolucinenseriedobleporelmtodode Navier. IElproblemadedistribucindetensionesenlasproximidadesdeunacargaaplicada enlaesquinadeunaplacaannohasidoresueltoconelmismogradodeseguridadqueloa problemasvistos.Variasfrmulasempricasysemiempricasrespectoaestecasopuedenen contrarse enConcretePavementDesign,pg.79,PortlandCement Association,Chicago,1951. Importantesresultadosexperimentalessobre esteproblemahan sido obtenidospor M.Dantu, Ann.pontsetchausses,vol.122,pg.337,1952.Vasetambin L. D.Black,Trans.E",.In,/ , Canada,vol.2,pg.129,1958,Y D.E.Nevel,ibd.,pg.132. VaseW.Mller,Ingr.-Arch., vol.20,pg.278,1952,Y Osterr.Ingr.Arch.,vol.6,p-gina404,1952. I.IINcondinorll'NlkNlIlll'trllnosllevanarepresentarlacarl(lItrunllvt'rllllldebida alascolumnasmedianteunaseriedecosenos ~~, \'\'2m,..z2n,..y q=LtLt a",ncos -a- cos -b-... =0n-O (a) La intensidaddelacarga dada esigualaP/uvdentrodelosrectngulosrayados enlafigura135yceroenelresto.Asprocediendodelaformaordinaria,esdecir, multiplicando laecuacin (a)por cos2mnx/acos2nny/b dx dy eintegrando entre los lmites-a/2,+a/2respecto axy-b/2,+b/2respectoay,tenemos 4P'",Am7(Un7rV amA=---sen --sen-7(2mnuvab (b) donde ''''A =1param-FO,n-FO ....n=tparam=O,n-FOom-FO,n=0 '",n=-1para'm'=n=O En elcasoparticular dem=O on=O elcoeficienteseobtienefcilmentecomo lmitedelaexpresin(b). Ahora segnlaecuacin(a)tomamosparalasflechaslaserie w=! ! Amncos2:1rX cos2 ~ 7 ( Y (e) ... =0n=O ylarelacinentreloscoeficientesamn yAmnseestablecefcilmenteporelmismo razonamientoqueantes(v.pg.299).As,utilizandolanotacin obtenemos 2m,.. a 2n7( fJn =-;-A_amn m ..- D'Y!. ..+ k (d) (e) Sustituyndolaenlaserie(e)yteniendoencuentalaelfuacin(b)tenemosel resultadofinall4P 00m1rUn7rV \' \' Emn sen -;-sen bcosClmXcosfJ.. y LtLtmn(D'Y!...+ k) (f) w 7('UV ... -0 n-O Ahora108momentosflectoresdelaplacaseobtienenporderivacincomo ordinariamenteyladistribucindepresionesdelaplacasobreelterrenosehalla multiplicandolaexpresin(f)porelmdulok. El caso particular k=O corresponde auna reaccin delcimiento uniformemente repartida,esdecirelcasodeforjadoinvertido*conunacargauniformeq=P/ab. Se veen laecuacin(f)quelaintroduccin delmdulotiende areducir lasflechasy tambinlosmomentosflectoresdelaplaca. Elcasodeunaplacarectangulardedimensionesfinitasapoyadasobrecimenta-cinelsticaysometidaalaaccindecargaconcentradahasidoestudiadopor H.Happel'.ElmtododeRitz(v.pg.375)sehautilizadoparadeterminarlas ,DebidaaV.Lewe,Bauingenieur,vol.3,pg.453,1923. 2Math.Z.,vol.6,pg.203,1920.Vasetambin,Bautechnik.vol.26,pg.181,1949. flechasdeeslllplaclI.ysehademostrado,enelejemploparticulardeplacacuadrada cargadaenelcentro,quelaseriequedalaflechaconvergerpidamenteylaflecha puedecalcularseconaproximacinsuficientetomandonicamenteunospocospri-merostrminosdelaserie'. 61.Fle:cinde placas apoyadassobreunslidoelstico semiinfmito Hastaaqu,sehasupuestoqueelasiento' delcimientoencualquierpuntoes proporcionalalapresinentrelaplacayelcimientoenesemismopuntoyen consecuenciaindependientedelapresinencualquierotropunto.Estoescorrecto enelcasodeplacaflotanteconsideradaporHertz(v.pg.287),peroenelcasode cimiento cohesivo tal hiptesis se aproxima slo groseramente alcomportamiento real delcimiento;puedeobtenersealgunasvecesunamejoraproximacinapartir delas siguienteshiptesis: 1.Elcimientotienelaspropiedadesdeuncuerpoelsticosemiinfinito. 2.Laplacaseapoyaenelterrenosinrozamiento. 3.Existecontactoperfectoentrelaplacayelterrenoinclusoparapresiones negativas. Estaltimahiptesisparecearbitraria,sinembargounapresinnegativaentre placa yterrenoquedarealmentemsomenoscompensadaporelpesopropiodela placa. Laspropiedadeselsticasdelacimentacinelsticapueden ,caracterizarse,sise admitelaisotropa,porunmdulodeYoungEoyuncoeficientedePoissonPo' En la tabla 63pueden verselosvaloresnumricosaproximados'deestas constantesque dependendelanaturalezadelcimientoyhalladosporensayosdinmicos;juntoa ellossedanlosvaloresdelaconstante ko Eo (a) 2(1- v ~ ) usadaenlosiguiente. TABLA63 Valoresdelasconstanteselsticassegnlanaturalezadelacimentacin TerrenoEa.kgf/cm'lbk",kgf/cm" Arcilla8000,17410 Loesyarcilla9000,42550 Arenamedia1000-13000,33-0,23550-690 Arenaygrava28000,311540 Arcillaplsticalisica27000,441650 Cal(apagadaalaire)11500-133000.32-0.386440-7700 Rocacaliza1120000,2660000 Nos limitaremos aconsiderar elcasode placa infinitamente grande,en estado de simetraaxial.Utilizandocoordenadaspolaresr,(J, podemosescribirlaecuacinde laplacaenlaforma Dt..t.w(r)=q(r)- p(r)(b) enlaque p(r)representalacargadada yp(r)lareaccindelcimiento. IEl problema de una placa cuadrada sobre cimentacin elstica ha sido estudiado tambin experimentalmente;vasela memoriadeJ.VintyW.N.Elgood,Phil.Mag.,serie7,vol.19, pgina1,1935; yladeG.Murphy,IowaStateColl.Eng.Expt.Sta.Bull.,135,1937. ,DebidosaE.SchultzeyH.Muhs,BodenuntersuchungenfUrIngenieurbauten", Berln,1950. VasetambinVeroffentl.Degebo,Fascculo4,pg.37,1936. S"IIK,,(r,(I,'/')111 f1"\'hll"11"1 punto(r,O)delcimicllto,khidll11 111 cllrj(1I11 o rlll 11 1 unidadaplicadaendpunto(I.!,v' ).Laformadela deintluenciadepende exclusivamentedelanaturalezadelcimiento.Utilizandolaspropiedadesdelas funcionesdeBesselpuededemostrarse'quelaecuacin(b)sesatisfacesiendo .(""Q(a)K(a)Jo(ar)a da w(r)Jo1+ Da4K(a) (e) Enlaecuacin(e)JorepresentalafuncindeBesseldeordencero;eltrmino dependientedelanat?ralezadelterrenoes K(a)=Jo'"27rsKo(s)Jo(as)ds en elquelaformadeKoestdefinidapor Ko(s)=Ko[(rt + p2- 2rp coscp)l] siendo s ladistanciaentrelospuntos(r,O)y(1,'1').Finalmente Q(a)=Jo'"q(p)Jo(ap)p dp (d) (e) eseltrminoquedependedelaintensidadq(I)delacargasimtricaparar=(l. EnelcasoparticulardeunacargaPuniformementerepartidaenunacircunfe-renciaderadioe,tnemos (f) EnelcasodelacargaPuniformementerepartidaenelcrculointerioraesa circunferencialaecuacin(e)da P Q(a)=- J,(ac) 1rCa (g) dondelafuncindeBesselesdeprimerorden.Finalmente,cuandolacargaest concentrada enelorigen(1 =O),delaecuacin(f)obtenemos P Q(a)=27r (h) Encuantoaladistribucindelasreacciones,lacorrespondientefuncin p(r)se obtienedelaecuacin(b),sustituyendopreviamente eltrmino q(r)- Jo"Q(Ot)Jo(ar)a da(i) enfuncindesutransformadadeFourier-Bessel(e) .Asobtenemos p(r)_ ..Q(Ot)J o(ar)a da JO1+ Da4K(a) (j) Consideremosahoradoscasosparticularesrespectoalanaturalezafsicadel terreno.Paraunaplacaflotante(ap.57)lafuncindeinfluenciaKo(s)seanulaen todopuntoexceptoens=O,dondeseaplicalafuerzaunidad.Encuantoala ecuacin(d)lafuncin](,,(a)debeserentoncesconstante.Paraobtenerdelaecua-,LasolucindelproblemaensuformamsgeneralsedebeaD.L.Holl,Proc.Fifth Intern.Coogr.Appl.Mech.,Cambridge,Mass.,1938. ci,'lIl(1')111 c'X\lrC' H'IIfuer)p(r)/II,cI,'lI\'u"rclCl,'ClIlladcfinicindclmdulo,dl'lll'IllCls tomarKo(u) ,=l/k.Empleandolanotacinanterior 4 =D/k(pg.287),obtenemos delaecuacin(e)laexpresin 1(" Q(a)J o(ar)a da w(r)- k Jo1+ a4l e (le) quesatisfacelaecuacindiferencial(178)delaplacaflotante. Enelcasodeunmedioistroposemiinfinito,tenemossegnBoussinesq' Ko(s)=(1- vOl/nEosyporlaecuacin(d),K(a)=2(1- vo)"/Eoa,obien 1 K(a)=(koa) dondekoeslaconstanteelsticadefinidaporlaecuacin(a).Escribiendopara abreviar ko D Eo 2D(1-= obtenemosfinalmentelasolucin(e)enlaformamsespecfica ' . w(r)=!(""Q(a)Jo(ar)da koJo1+ (l) (m) En elcasoparticulardeunacargaconcentradaenelorigen,lasexpresiones(X) y(h)dan (187) donde).=alo'Ademslaflechaenelpuntodeaplicacindelacargaes w .=" =Va=O ",as2rDJo1+ Xl9D'D(188) frente alresultado 0,125Pf/D deHertz.Elreparto de presiones se obtiene fcilmente delaexpresingeneral(j).Tenemosparaunpuntocualquiera P1'" JO()XdX p=O1T X8(189) yenespecialenelpuntodeaplicacindelacarga P""xdXPVaP pm;'x=Jo1+ X3 ==(190) frentealvalor0,125P/PobtenidoporHertz.Sisuponemoslosmismosvaloresde wmix enamboscasoslafrmula(190)daunvalorde Pmixquees2,37vecesmayor queeldelafrmuladeHertz(181).EntalcasodebeserI=1,24110 yenlafigu-ra131a)sedanlascurvasdelasflechascorrespondientescalculadassegnlas ecuaciones(179)y(187).La figura131b)muestraenformaanlogalavariacinde lapresin;en estecaso,para obtener valoresigualesde Pmxsegnlasdosfrmulas, debetomarse/=0,806/0, 1Vase,porejemplo,S.TimoshenkoyJ.N.Goodier,Theoryof Elasticity,2.- ed.,p-gina365,NuevaYork,1951. ,Respectoaesteresultado,vasetambinS.Woinowsky-Krieger,Ingr.-Arch.,vol.3, pgina250,1932,yvol.17,pg.142,1949;K.Marguerre,Z.angew.Math.Mech.,vol.17, pgina229,1937;A.H.A.Hogg,Phil.Mag.,vol.25,pg.576,1938. Puededemostrarsefinalmente,queelvalordelosmomento!!flet'tort'sl'nIn proximidaddelacargaconcentradatienelamismaexpresinparaambostiposde cimentacinsiseutilizalavariableadimensionalx=rll yx=rilorespectivamente. Deducimosdeelloque laexpresin(183)delosmomentos flectorespuede utilizarse tambinparaunaplacaapoyadasobreunmedioelstico istroposisustituimos1 porkJ. ProcediendodeestaformaconlafrmuladelatensinmximadeWester-gaard(x)(pg.302),llegamos alafrmula CTmx=0,366(1+ ,,)~[ 10g(:;:) - 0,266](n) en la que k"est dada por la ecuacin (a)yb tiene el mismo valor que en la pgina302. Elproblemadelaflexindeuna placafinitacircular,llevaaunsistemainfinito deecuacioneslinealesparadeterminarloscoeficientesdelaseriequedalasflechas delaplaca'. Podraconsiderarsetambinelusodelmtododediferenciasfinitasparatratar elproblemadeplacascircularesfinitas '. Se han estudiado tambin laflexindeuna placa infinita apoyada sobre una capa elstica,quequedaasuvezsobreunabaseperfectamentergid.a"yelproblemade unalosade pavimentosemiinfinita'. Lastensionesdebidasacargassuperficialesfuertementeconcentradashande corregirsedeacuerdoconlateoradeplacasgruesas.Independientemente 'se .ha desarrolladounateoraespecialdeplacasgruesassoportadaselsticamente". 1VaseH.Borowicka,Ingr.-Arch.,vol.10,pg.113,1939;A.G.Ishkova,Doklady Ahad.NaukS.S.S.R.,vol.56,pg.129,1947;G.PickettyF.J.McCormick,Proc.First U.S.Natl.Congr.Appl.Mech.,pg.331,Chicago,1951.Elefectodela elevacindelaparte exteriordelaplacasometidaacargacentralhasidoestudiadoporH.Jung,Ingr.-Arch.,vo-lumen20,pg.8,1952.Respectoaflexindeplacasrectangulares,vaseM.1.Gorbounov-Posadov,Priklad.Math.Mekhan.,vol.4,pg.68,1940. ,A.Habei,Bauingenieur,voL18,pg.188,1937; para iaapiicacin apiacasrectanguiares, vaseG.Pickett,W.C.Janes,M.E.RavilleyF.J.McCormick,KansasSta teColl.Eng. Expt.Sta.Bull.,65,1951. ,A.H.A.Hogg,Phil.Mag.,vol.35,pg.265,1944. ,G.PickettyS.Badaruddin,Proc.NinthIntern.Congr.Appl.Mech.,vol.6,pg.396, Bruselas,1957. " Elprimerestudiodelcomportamientoestticoydinmicodeestasplacassedebea K.Marguerre,Ingr.-Arch.,vol.4,pg.332,1933.Vasetambin1.Szab,Ingr.-Arch.,vo-lumen19,pgs.128y342,1951;Z. 'angew.Math.Mech.,vol.32,pg.145,1952.Respecto alaaplicacindelateoradeE.Reissner,vaseP.M.NaghdiyJ.C.Rowley,Proc.First MidwestConj.SolidoMech.(Univ.Illinois),pg.119,1953, Y D.Frederick, J.Appl.Mechanics, volumen23,pg.195,1956. 9 Placasdeformasdiversas 62.EClWcionesdela flexindeplacasencoordenadas polares Sehanutilizado(cap.3)lascoordenadaspolaresenelestudiodela flexinsimtricadeplacascirculares,Puedenutilizarseventajosamente en elcasogeneralde flexindeplacascirculares. A,---,r-----x o)b) FIG.136 Sisetomanlascoordenadasry()comoindicalafigura136 a),las relacionesentrecoordenadaspolaresycartesianasson dedonde r2 = X2+ y2O = . arctgY.. (a) x ar= cosO axr 00_!L = ox=r2 senO r ar=JI.. =sen 8 ayr . (b) aexcos ay=:2=-r-lit ili:.'.andot'stasl' xprt'sioncs,seobtienelapendientt'lit'luucformaulI ucunaplaca,enladireccindelasx jw=awar+ aw(JOaxarax00ax =awcosO _.! (Jwsen O jrr (JO (e) Puedeescribirseunarelacinsimilarparalapendienteenladireccin delasy.Paradeterminarlacurvaturaencoordenadaspolaresseprecisan lasderivadassegundas.Repitiendodosveceslaoperacinindicadaen(e), seencuentra a2w.= 0- .!(awcos 0- .! awseno) ax2arraoarr ao =(J2Wcos2O _2a2wsenOcosO + awsen2 O )r2ao)rrarr + 2awsenOcosO + a2wsen2O(d) 00r2a02 r2 Delamismamaneraseobtiene j2W=a2w sen2 O + 2a2wsen OcosO + jw cos2 O . ay2ar2 (JO arrorr _2awsen O cosO + 02Wcos2 O(e) j(Jr2002 r2Pwa2w(J O +a2wcos211 awcos 20 ox ay=ar2sencosarao-r- - ao- r- 2 -aw sen Ocosea2w sen OcosO - arr- a02 r2 (f) Conestatransformcindecoordenadas,seobtiene a2wa2wj2W1 ow1a2w Aw=ox2+ oy2=ar2 + r or+ :2a02(g) Repitiendodosvecesestaoperacin,laecuacindiferencialenderiva-dasparciales(103)deladeformadadeunaplacacargadatransversalmente resulta,encoordenadaspolares: (191) Cuandolacarga estrepartidasimtricamenterespectoalcentrodela placa, la flecha wes independiente de (jy(191) coincide con (58)(v,pg.72), obtenidaenelcasodeplacascircularescargadassimtricamente. Consideremosunelementoenlaplacapordo"plallllll axialesadyacentes,queformanunmgulodOypor dossuperficies cilndri-casderadiosTyT+ dT[fig.136 b)].RepresentamosporMr ,MI yMrt101 momentosflectoresytorsorqueactansobreelelementopor unidadyde longitudytomamoslasdireccionespositivascomoindicalafigura.Para expresar estosmomentosenfuncindelaflechawdelaplaca, queelejexcoincideconelradioT.LosmomentosMIY MrtentonceslosmismosvaloresqueMx'MyMxyenelmismopunto ysusti-tuyendoO por O en(d),(e)y(f),setiene Mr= += + .(()2W()2W)(1dW1()2W...(articulo. ,plOCllI Ihan"ulara). ,La.,nninOlde,""t..,rictonfuncione..caractersticasdelaplac.conlidcnCi.le..belaforma laddonnadlynoolIu,mot porulainformacinpa... laformaapropiadadelasfuncioneoor.decontorno.SustilUyendolaexpresin(211)enlaintegral(h),obtenemos despuesdeintegrarunafuncindesegundogradoenloscoeficientesa,. a ...Ahorabastaelegirestoscoeficientesdemodo quelaintegral(h)sea unminimo,dedondesededuceque al_O oo, 81 iJa.- O al_o aa. (i ) LoquenosdaunsiSlemadenecuacioneslineal esena"al '"',a"Y put.decalcularsefcilmenteestosvaloresencadacasoparticular.Silas funciones'Pson talesquelaexpresin(21 1)puederepresentarunafuncin arbit rariadentrodelcontornodelaplaca ' ,estemlododeclculode flechaswnosllevaaaproximacionescadavezmejorescuando aumenta el nmero" detrminos ytomando ninfinitoobtenemosuna solucinexacta delproblema. Aplican'doelmelodoalcasodeunap lacarectangularsimplemente apoyada,t9mamos laflechamedi antelaserietrigonometrica (a).Entonces, utilizandolaexpresin(d)delaenergadedeformacin,laintegral(h) queda enlaformasiguiente: .. ,'abD\' \', (m'n')' {:z8L..L..a.. a'+ b" ... 1 r r'\' \'mun.y J oJoqL..L..a sen asen bdo!'dy .. 1 " . 1 (j) ylasecuaciones(1)tienenlaforma T'abD a....(m' + n.1) '_{. q4(J 'h'JoJoa =O(k) EnelcasodeunacargaPaplica.daenunpunto de coordenadase,' 1,la intensidaddelacargaqesnulaentodalaplacasalvoenelpunto (e,luen elquetenemosqdxdy=P.Entonceslaecuacin(k)coincideconla ecuacinanles deducidamedianteelprincipio delostrabajlvirtuales. AefectosprcticosdebeteneTllCencuentaquelaintegral rr[a", a'"( a'" )']dd JJaz'ay'- azayz" (1) contenidaenlasexpresiones(h)y(h>seanulasilaplacaestrgidamente empotrada enel contorno.Lamisma simplificacines vlidapal1luna placa ,H.......".vi.toqueun.dobk .ene,r;gOr.orrn!triCll ( .. )""" propiedadreopcctOI1... flecha",deunaplacarectangularl implementeapoyld.Porlo,"nto,pued,+ 4u>,..- 0,29942N 4.,lOu>.+ ... , + 4 ... ,..- O.49$54N ... ,- 10u>.+ 4 ... ,- O,41462N 4w,- 1010,+w. +4w,- O.59329N 400,+ "" - 1010,+ ....+4w.-O,6619 IN don