Teoria general de_ecuaciones_polinomicas_para_los_apuntes_-1-13450 (2)

TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS

TEORIA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS

Ecuación polinómica:

Es el resultado de igualar a cero un polinomio. Es decir, sea un

polinomio cualquiera decimos que es una ecuación polinómica.

Solución de una ecuación:

Es un conjunto de valores que satisfacen a la ecuación. Los valores que satisfacen a la

ecuación son los ceros del polinomio equivalente, los cuales se denominan raíces de la

ecuación.

Lema fundamental del álgebra

Toda ecuación polinómica de grado posee al menos una raíz real ó compleja.

Teorema fundamental del álgebra

Toda ecuación polinómica de grado posee y sólo raíces.

Axioma:

Si una ecuación polinómica real entera posee una raíz compleja, su conjugada

también es raíz de la ecuación.

Si una ecuación polinómica racional entera posee una raíz irracional, su

conjugada también es raíz de la ecuación.

TOMAS NAVARRO 36


Ecuación degradada

Es la ecuación correspondiente al cociente que resulta de dividir la ecuación original

entre una de sus raíces.

Raíces múltiple

Es aquella que es raíz de la ecuación original y de por lo menos una de sus ecuaciones

degradadas.

Grado de multiplicidad de una raíz

Es el número de veces que un valor es raíz de una ecuación.

Problemas fundamentales de la teoría general de ecuaciones

En el estudio de la teoría general de ecuaciones existen varios problemas

fundamentales, entre los cuales tenemos:

1. Dadas las raíces de una ecuación y su coeficiente principal, hallar la ecuación.

2. Dada la ecuación y algunas condiciones iniciales de las raíces, hallar las

demás raíces de la ecuación.

3. Dada las raíces de la ecuación, hallar dicha ecuación mediante la relación

entre las raíces y los coeficientes de la ecuación.

4. Transformar una ecuación en otra cuyas raíces mantienen una relación con las

raíces de la ecuación original.

5. Hallar la naturaleza de las raíces de una ecuación.

6. Hallar los límites o intervalo de acotación de las raíces reales de una ecuación.

7. Hallar las raíces racionales de una ecuación polinómica cualquiera.

TOMAS NAVARRO 37

TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS8. Hallar raíces irracionales de una ecuación polinómica cualquiera.

PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 1

Para resolver en la teoría general de ecuaciones problemas donde se conocen las raíces y el

coeficiente principal, se utiliza el teorema del factor representando a la ecuación mediante su

descomposición factorial. Es decir: Sean el coeficiente principal y las

raíces de la ecuación ; decimos que la ecuación viene dada por:

Ej.: Hallar la ecuación cuyo coeficiente principal es 2 y sus raíces sean 2, 1 y -1.

Ej.: Hallar la ecuación cuyas raíces son 3, 1/2 y 2.

Ej.: Hallar la ecuación polinómica racional entero cuyas raíces son: 1,

Ej.: Hallar la ecuación polinomica racional entera cuyas raíces son


Este problema de la teoría general de ecuaciones se resuelve verificando las condiciones

iniciales dadas y si se cumplen, degradar la ecuación hasta una ecuación de segundo grado o

inferior.

Ejercicios:

1.- Hallar las raíces de la ecuación .

2.- Hallar las raíces de la ecuación .

3.- Hallar las raíces de la ecuación , si -2 es

una raíz múltiple.

4.- Hallar las raíces de la ecuación , si es una

TOMAS NAVARRO 38

TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICASde sus raíces.

5.- Hallar las raíces de la ecuación

, si y son raíces.


Este problema se resuelve utilizando las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una

ecuación dada. Estas relaciones pueden de deducida como sigue:

Sea una ecuación cuyas raíces son

, , , , .

Según el problema fundamental No. 1 tenemos que:

Multiplicando de nuevo y agrupando los términos comunes, tenemos que:

Luego por igualdad de polinomio tenemos que:

TOMAS NAVARRO 39


Por lo tanto tenemos que:

Generalizando tenemos que:

.

.

TOMAS NAVARRO 40

TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICASEjemplos:

1.- Usando la relación entre las raíces y los coeficientes, hallar la ecuación cuyas raíces son 1,

2 y -3.

2.- Hallar la ecuación real entera de menor grado cuyas raíces son 2 y .

3.- Usando las relaciones entre las raíces y los coeficientes, hallar la ecuación polinómica

racional entera de menor grado cuyas raíces son , ½, y .

4.- Si , usando las relaciones entre las raíces y los

coeficientes hallar:

a.

b.

c.

d.

5.- Si , hallar la suma de las raíces y el producto de las

raíces.

6.- Resuelva la ecuación usando la relación entre las raíces y los coeficientes, si

y sabiendo que .

7.- Resuelva , sabiendo que el producto de dos de sus raíces

es igual a 34.


Este problema consiste en la obtención de una ecuación a partir de otra ecuación dada, cuyas

raíces mantienen una relación. Entre las relaciones tenemos:

TOMAS NAVARRO 41

TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Donde las raíces de una ecuación son un múltiplo de las raíces de la otra ecuación. Es

decir, .

Donde las raíces de una ecuación son las opuestas de las raíces de la otra ecuación.

Es decir, .

Donde las raíces de una ecuación son las raíces de la otra ecuación aumentadas o

disminuidas en una constante cualquiera. Es decir, .

Donde las raíces de una ecuación son las reciprocas de las raíces de la ecuación dada.

Es decir,

Donde las raíces múltiples en otras cuyas raíces sean las mismas de la ecuación

original, pero todas raíces simples.

TRANSFORMACION DE LA FORMA

Sea transformarla en otra cuyas

raíces son de la forma .

Si despejamos tenemos que: y la sustituimos en el polinomio resulta que:

multiplicando por

tenemos que:

Conclusión:

TOMAS NAVARRO 42

TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICASPara transformar una ecuación en otra cuyas raíces sean un múltiplo de las raíces

originales; se multiplica cada término de la ecuación original por una potencia del múltiplo

cuyo exponente será igual a la diferencia entre el grado de la ecuación y el grado del término

correspondiente.

Ejemplo: Transformar la ecuación en

otra cuyas raíces sean el doble de las originales.

Ejemplo: Transformar la ecuación en otra cuyas raíces sean el

triple de las raíces originales.


Para transformar una ecuación en otra cuyas raíces son las opuestas de las raíces originales,

se considera esta transformación como un caso particular de la transformación anterior en la

cual el escalar es igual a .

Conclusión:

Para transformar una ecuación en otra cuyas raíces sean las opuestas de las originales, se le

cambia el signo a los coeficientes de los términos con paridad opuesta al grado de la ecuación,

es decir, si la ecuación es de grado par, se le cambian los signos de los coeficientes de los

términos de grado impar; y si es impar, a los coeficientes de los términos de grado par.

Ejemplo: Transformar la siguiente ecuación

en otra cuyas raíces

sean las opuestas de las originales.

TOMAS NAVARRO 43


Ejemplo: Transformar la siguiente ecuación en otra cuyas

raíces sean las opuestas de las originales.

Ejemplo: Transformar la siguiente ecuación en otra cuyas

raíces sean las opuestas de las originales.


Para esta transformación se utiliza la expresión correspondiente a la fórmula de Taylor

mediante el uso del esquema de Horner, es decir, que:

Sea , su transformación en otra

cuyas raíces se relacionan por la expresión , es igual a:

sustituyendo por

tenemos que:

o sea:

Ejemplo: Transformar la ecuación en

otra cuyas raíces sean las raíces originales disminuidas en dos unidades.

Ejemplo: Transformar la ecuación en otra cuyas

raíces sean las raíces originales aumentadas en tres unidades.

TRANSFORMACION DE UNA ECUACION QUE POSEA RAÍCES MULTIPLES EN OTRA

CUYAS RAÍCES SEAN LAS MISMAS DE LA ECUACION ORIGINAL, PERO TODAS RAÍCES

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TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICASSIMPLES.

Sea una ecuación que tiene una raíz múltiple,

cuyo grado de multiplicidad es 3. Es decir, donde

son las raíces únicas distintas que tiene la ecuación, siendo

múltiple y simples.

Es decir que si ( 1 )

Entonces ( 2 )

Donde es un polinomio general de segundo grado no divisible por ni

, pues si lo fueran, serian raíces múltiples y ello estaría en

contradicción con la hipótesis inicial.

De esto se deduce que el grado de multiplicidad de una raíz disminuye en una unidad en cada

una de las derivadas sucesivas de la ecuación.

Siendo es el MCD entre , si encontramos el cociente entre y

el MCD , se obtiene:

Luego es una ecuación con las mismas raíces de la ecuación original, pero todas

simples.

TOMAS NAVARRO 45

TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICASConclusión

Para reducir una ecuación a otra cuyas raíces sean sólo simples, basta con dividir la ecuación

entre el MCD de .

Ejemplo: Reducir la ecuación a otra cuyas raíces sean

simples.

Ejemplo: Reducir la ecuación a otra cuyas raíces sean

simples.

Ejemplo: Reducir la ecuación a otra cuyas

raíces sean simples.


Consiste en determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación, es decir, determinar si las

raíces son reales o complejas; y si las reales son positivas, negativas o nulas.

Regla de los signos de Descartes

Toda ecuación polinómica racional entera tendrá tantas raíces positivas como cambio

de signos posee la ecuación ordenada, o éste disminuido de dos en dos.

Ejemplo: Determine el número de posibles raíces positivas de la ecuación

.

El número de raíces negativas será siempre igual al número de cambio de signo que

posee la transformación de la ecuación cuyas raíces son las opuestas de las raíces de

la ecuación original; o este disminuido de dos en dos, es decir, el número de raíces

positivas de la ecuación transformada cuyas raíces son las opuestas de la ecuación

original.

Ejemplo: Determine el número de posibles raíces positivas de la ecuación

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.

El número de raíces nulas será siempre igual al exponente del término de menor grado

que contenga la ecuación.

El número de posibles raíces complejas, será siempre igual a aquel que hace que se

cumpla el teorema fundamental del álgebra.

Ejemplo: Hallar la naturaleza de las raíces de

.

Ejemplo: Hallar la naturaleza de las raíces de


Este problema consiste en determinar el intervalo de acotación de las raíces reales de una

ecuación polinómica, el cual está definido por dos números reales que definen los límites de

dichas raíces en la ecuación. Para esto usamos el teorema de Laguerre el cual estable que:

Límite Superior : es el menor entero positivo que al dividir el polinomio representativo de

TOMAS NAVARRO 47

TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICASla ecuación, hace que todos los coeficientes del cociente y el resto sean no negativos.

Límite Inferior : es el menor entero positivo que hace los coeficientes del cociente y resto

que resulta de dividir la ecuación transformada, cuyas raíces son las opuestas de la original,

sean no negativos.

Ejemplo a desarrollar en clase:

1.- Hallar el intervalo de acotación de:

1. .

2.

3.

4.


Este problema consiste en determinar las raíces racionales de una ecuación, si existen. La

aplicación que se utiliza para la resolución de este problema, se fundamenta en el teorema que

dice:

Si una ecuación posee una raíz racional formada por el cociente entre dos

enteros primos entre sí, entonces el numerador de la raíz es un factor del término

independiente de la ecuación, y el denominador es un factor del coeficiente principal de

la ecuación.

Es decir: sea y donde “p”

y “q” son primos entre sí, entonces “p” es un factor de “a0” y “q” es un factor de “an”.

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por tanto

Para determinar las raíces racionales de una ecuación, se procede de la siguiente manera:

1ro. Se determina la naturaleza de las raíces de la ecuación.

2do. Se determina el intervalo de acotación de las raíces reales de la ecuación.

3ro. Se obtienen los factores del término independiente y el coeficiente principal

.

4to. Se obtienen los cocientes entre los factores de y los factores de .

5to. Se determinan las posibles raíces racionales, que serán los cocientes

anteriores que estén contenidos en el intervalo de acotación.

6to. Se verifica cada una de las posibles raíces mediante el uso de Ruffini para

probar si son raíces o no. Este proceso de verificación se realiza hasta degradar la ecuación a

una de 2do grado o inferior, si es posible.

7mo. Si la ecuación es degradada a una de 2do grado, se resuelve y se obtiene las

raíces restantes.

Ejemplos:

Hallar las raíces racionales de la ecuación y

revuélvala si es posible

.

1ro. Hallamos la naturaleza de las raíces:

TOMAS NAVARRO 49


dos posibles raíces positivas o

ningunas

dos posibles raíces negativas o

ningunas.

2do. Hallamos en intervalo de acotación:

2 1 -20 -13 30 luego el limite superior es igual a 4

4 8 36 64 204

2 9 16 51 234

2 -1 -20 +13 30 luego el limite inferior es igual a -4

4 8 28 32 180

2 7 8 45 210

Por tanto el intervalo de acotación es igual a:

3ro. Hallamos los factores de y los factores de :

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Factores de

Factores de

4to. Hallamos los cocientes entre los factores de :

5to. Hallamos las posibles raíces:

6to. Probaremos las posibles raíces usando a Ruffini:

2 1 -20 -13 30

1 2 3 -17 -30

2 3 -17 -30 0

3 6 27 30

2 9 10 0

-2 -4 -10

2 5 0

-5/2 -5

2 0

Por tanto las raíces de la ecuación son: 1, 3, -2 y -5/2.

Ejercicios para hacer en clase:

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TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS Hallar las raíces racionales de las ecuaciones y resolverla si es posible.

a)

b)

c)

d)


Este problema se fundamenta en la localización de las raíces irracionales de una ecuación

mediante el uso del teorema de Bolzano y la obtención de las raíces con tanto decimales como

sea deseado mediante el método de Ruffini-Horner.

Teorema de Bolzano

Si un polinomio , toma par y

, , valores y de signos opuestos, la ecuación tiene por lo

menos una raíz en el intervalo .

Demostración:

Supongamos que y . Si dividimos en dos partes iguales

y el polinomio se anula en el valor de la división el teorema está probado.

En caso contrario, existe uno y sólo uno de los intervalos parciales, llamémosle

, en el cual cambia de signo; es decir y . A partir de

este intervalo mitad, repetimos el razonamiento y tendremos subintervalos

para los cuales , , , … y

, , , … Si en alguna de las sucesivas

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subdivisiones, se llega a un punto en el que se anula, el teorema queda demostrado.

Este teorema nos permite la separación de las raíces reales de una ecuación algebraica.

Ejemplos:

Separar las raíces reales de las ecuaciones dadas mediante el uso del teorema de Bolzano:

a)

b)

c)

Desarrollo de a): Sea y su transformada cuyas raíces son

las opuestas de las raíces originales la ecuación , los límites

vienen dados por:

2 -9 -2 24 luego el limite superior es igual a 5

5 10 5 15

2 1 3 39

2 9 -2 -24 luego el limite inferior es igual a -2

2 13 44 84

2 22 42 60

Luego el intervalo , es decir para

.

TOMAS NAVARRO 53


Para luego en el intervalo existe por lo menos una raíz.

Si subdividimos el intervalo se tiene que para

luego en el intervalo

tenemos por lo menos otra raíz y en intervalo tenemos la tercera raíz.

Es decir, como la ecuación es de tercer grado, podemos concluir diciendo que las tres raíces se

encuentran dentro de los intervalos siguientes: , , y .

Desarrollo de b): Sea y su transformada cuyas raíces son las

opuestas de las raíces originales la ecuación , los límites

vienen dados por:

8 -4 -18 9 luego el limite superior es igual a 2

2 16 24 12

8 12 6 21

8 4 -18 -9 luego el limite inferior es igual a -2

2 16 40 24

8 20 12 15


.

Para luego en el intervalo existe por lo menos una raíz.

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tenemos por lo menos otra raíz y en intervalo tenemos la tercera raíz.



tenemos por lo menos otra raíz.

Es decir, como la ecuación es de tercer grado, podemos concluir diciendo que las tres raíces se

encuentran dentro de los intervalos siguientes: , , y .

Desarrollo de c): Sea y su transformada cuyas raíces

son las opuestas de las raíces originales la ecuación ,

los límites vienen dados por:

4 -4 -25 1 6 luego el limite superior es igual a 4

4 16 48 92 372

4 12 23 93 378

4 4 -25 -1 6 luego el limite inferior es igual a -3

3 12 48 69 204

4 16 23 68 210


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.

Para luego tenemos los intervalos y :


luego en el intervalo tenemos por

lo menos otra raíz y en intervalo tenemos la segunda raíz.



tenemos la tercera raíz y el intervalo tenemos la cuarta raíz.

Es decir, como la ecuación es de cuarto grado, podemos concluir diciendo que las cuatro raíces

se encuentran dentro de los intervalos siguientes: , , , y .

Ejercicios para desarrollar en clase:

Hacer la separación de las raíces reales en cada ecuación dada, usando el teorema de

Bolzano.

a)

b)

c)

d)

e)

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TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICASCalculo de las raíces irracionales de una ecuación. Método de Ruffini-

Horner

Dada una ecuación polinómica racional entera, lo primero que tenemos que hacer es obtener

las raíces racionales y nulas si existen, y luego cualquier raíz irracional existente en la ecuación

degradada. Si la ecuación degradada es de segundo grado, las raíces se obtienen fácilmente

por medio de la fórmula correspondiente. En el análisis que haremos partiremos del supuesto

de que la ecuación es de tercer grado o mayor. En este caso las raíces irracionales vendrán

dadas en forma decimal, y su grado de precisión, dependerá esencialmente del grado de

aproximación que se desee obtener atendiendo al mayor ahorro posible de operaciones.

METODO DE RUFFINI-HORNER

Este método que sólo es aplicable a ecuaciones algebraicas, permite calcular las raíces

irracionales de una ecuación mediante un procedimiento de cálculo sencillo. La facilidad de

cálculo es debida a que cada cifra de la raíz se determina individualmente.

El razonamiento es el siguiente:

Sea que tiene una raíz real, r, en

el intervalo . Por simplicidad, vamos a suponer que son dos números enteros

sucesivos; así tendremos que la parte entera de r es y podemos escribirla como sigue:

; es decir, donde y es un número comprendido entre

0 y 10.

Si desarrollamos la ecuación , mediante la formula de Taylor según potencia del

binomio , se obtiene:

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TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS, y

sabiendo que , tenemos:

Acotando las raíces en esta ecuación con los valores enteros de y de 0 a 10, habrá dos

sucesivos, digamos que son , para los cuales cambia de signo, y la parte

entera de “y” es . Luego tenemos que:

o también donde z es un número comprendido entre 0 y

10.

Si aplicamos la formula de Taylor de nuevo tenemos que:

Acotando las raíces en esta ecuación con los valores enteros de y de 0 a 10, habrá dos

sucesivos, digamos que son , para los cuales cambia de signo, y la parte

entera de “z” es . Luego tenemos que:

o también donde “u” es un número comprendido entre 0 y

10.

Siguiendo el proceso podemos obtener la parte entera de “u” y así sucesivamente tenemos

que:

Este proceso de repite tanta veces como el número de cifras precisas se desee. Y los

coeficientes se obtienen mediante el uso del esquema de Horner.

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Ejemplo: Dada la ecuación , calcular con seis cifras exactas la raíz

simple que se encuentra en el intervalo .

Verificaremos que se produce un cambio de signo de en .

y

Primer paso: La parte entera de la raíz es , luego:

.

Desarrollaremos la ecuación según potencia de , aplicando el esquema de Horner:

1 0 -5 -1

2 2 4 -2 Resulta así la ecuación transformada

1 2 -1 -3 ,

2 2 8 tomando la relación dada.

1 4 7 por tenemos también que:

2 Esta

2 1 6 ecuación cambia de

signo en el intervalo , es decir:

2 1

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luego la parte entera de “y” es es decir , de donde con

.

Segundo paso: Aplicamos nuevamente el esquema de Horner, para desarrollar según

potencias de :

1 60 700 -3000

3 3 189 2667 Resulta así la ecuación transformada

1 63 889 -333 ,

3 3 198 tomando la

1 66 1087 relación dada por tenemos también que:

3 3 Esta

1 69 ecuación cambia de signo en el intervalo , es

decir:

3 1

luego la parte entera de “z” es es decir , de donde con

.

Tercer paso: Aplicamos nuevamente el esquema de Horner, para desarrollar según potencias

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de :

1 690 108700 -333000

3 3 2079 332337 Resulta así la ecuación transformada

1 693 11 0779 -663

3 2088 ,

3 1 696 1 12867 tomando la ecuación dada por

3

3 1 696 tenemos también que: Esta ecuación cambia

3 1 Esta ecuación cambia de signo en el intervalo , es

decir:

luego la parte entera de

“u” es es decir , de donde con .

Como en este caso la cifra calculada es cero, se agregan nuevamente los ceros a la ecuación y

se procede a hallar siguiente.

Cuarto paso:

luego es decir

Otra vez la cifra calculada es cero, luego:

Quinto paso:

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de donde

y así siguiendo podemos resumir diciendo que:

, , , , de donde

por sustitución tenemos que:

la cual es la raíz buscada, con seis cifras exactas.

El método se utiliza para hallar una raíz irracional positiva. Si se quiere alguna raíz

negativa, basta con buscar la correspondiente raíz positiva de la ecuación transformada

en aquella cuyas raíces son las opuestas de las raíces de la ecuación original y

procedemos de la misma forma.

Ejercicios para hacer en clase:

Hallar con seis decimales la raíz de , comprendida entre 5 y 6

(entre estos límites existe al menos una raíz, ya que )

Ejercicios propuestos:

Para las ecuaciones dadas, calcular con tres cifras decimales la raíz que se encuentra en el

intervalo (1,2).

1.

2.

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3.

4.

5.

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