Tercera finitos

8/14/2019 Tercera finitos

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Alumno:Bustamante Gonzalez, Luis FernandoCdigo:

20102554J

2013-II

ARMADURAS PLANASTercera prctica calificada

Calculo por elementos finitos (MC-516D)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA MECANICA


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ARMADURAS PLANAS UNI-FIM

CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS Pgina 1

Tabla de contenido

1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA: ................................................................................... 2

2. MODELADO DEL CUERPO REAL .................................................................................. 2

1. GRADOS DE LIBERTAD NODALES ........................................ ...................................... 3

2. VECTOR CARGA ......................................................................................................... 4

3. MATRIZ DE RIGIDEZ ................................................................................................... 5

4. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO ....................................... 7

5. ESFUERZOS ................................................................................................................ 9

6. DIAGRAMA DE FLUJO ............................................................................................... 10

7. PROGRAMACIN EN MATLAB ................................................................................. 11

8. CONCLUSIONES ........................................................................................................ 13


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1.ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Determinar los desplazamientos de los nodos y la distribucin de esfuerzos de laarmadura plana, la cual es puesta a las cargas mostradas en la figura. El modulo de

elasticidad del material es , el dimetro de la seccin de cada viga es50mm. No tomar en cuenta el peso de las vigas.

1500

45

45

45PA=5000N

PB=4000N

PE=2000N

2.MODELADO DEL CUERPO REAL

53 56


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Se tienen 6 elementos con 5 nodos y 10 grados de libertad. Las coordenadas para losnodos son:

Nodo X(mm) Y(mm)1 0 02 1500 03 1500 15004 0 15005 -1500 1500

Luego se obtiene el Cuadro de conectividad:

Elemento Nodos

(1) (2)

GDL

1 2 3 4

Le (mm) Ae (

) Ee (N/

)

1 1 2 5 6 1 2 1500.00 1963.5 2 1 3 5 6 3 4 2121.321 1963.5 3 1 4 5 6 7 8 1500.00 1963.5 4 1 5 5 6 9 10 2121.321 1963.5 5 3 4 7 8 3 4 1500.00 1963.5 6 4 5 7 8 9 10 1500.00 1963.5

3.GRADOS DE LIBERTAD NODALES

1500

45

45

45

Q8

Q1

Q10

Q9

Q6

Q3

Q4

Q5

Q2

Q7

Q6

Q5

Q1

Q10

Q9

Q4

Q3

Q2


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Luego el vector de desplazamiento ser:

[

]

Donde

, pues la viga esta empotrada en los nodos 2 y 3, los

dems desplazamientos son incgnitas que tendremos que calcular.

4.VECTOR CARGA

1500

45

45

45

F8=-2000

F1=R1

F10=-4000

F9=-5000

F6

F3=R3

F4=R4

F5

F2=R2

Q7

Como no consideramos el peso de las barras y no presenta variacin de temperatura,entonces el vector de cargas est dada por las por cargas puntuales y las fuerzas dereaccin:

(5) (4)(3)

(2)(1)

F9=R3

F1

F2

F4=R2

F3=R1

F5= - 5000

F6= - 4000

(5)(3)

F10=R4

F7


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[

]

[

]

5.MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que est determinada porla siguiente ecuacin:

Respecto a ( ) * + (traccin simple)Respecto a (X, Y): donde

Resulta:

(

)

Elemento 1

Q2Q6

1

Q1Q5

(1) (2)

Q1

Q4

Q3

Q2


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Elemento 2

2

Q5(1)

(3)

Q4

Q3

Q6

Elemento 3

Q5(1)

(4)

Q8

Q7

Q6

3

Elemento 4

Q5

(1)

(5)

Q10

Q9

Q6

4

66

66

Q1

(5)

Q10

Q9

Q2

Q1

Q2

Q1

Q2

(4)

Q5

Q6

(3)


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Elemento 5

Q4Q8

5

Q3Q7

(4) (3)

Elemento 6

Q8Q10

6

Q7Q9

(5) (4)

Q7

Q8

Q5

Q6

(4)(3)

Q7

Q8

(5)(4)

Q9

Q10


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La matriz de rigidez total de la armadura es:

[

6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 ]

6.ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICION DE CONTORNO

La ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:

[

]

6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6

El sistema se puede reescribir asi:

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos los desplazamientos:


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Y las reacciones: 7.ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:

Y obtenemos lo siguiente:

6

666

6666

6666

66666

6


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8.DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

Leer datos de entrada:E,Area, PA, PB, PC, (x,y)de los nodos

Calcula lee, l y m decada elemento

Calculo de la matriz de Rigidez encada elemento finito:

K(i)=E(i)*A(i)/le(i)*[l m 0

0;0 0 l m]*[1 -1;-1 1]

Parai=1:n

Matriz de rigidez global:K=k1+k2+k3+k4+k5+k6

Calculo de las reacciones

Ri=ki1*Q

Calculo de los desplazamientos:Q(3:8)=inv(K38)*F(3:8)

Parai=1:n

Calculo de esfuerzos:s(1)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i)

m(i)]*Q(1:4)

ImprimeReacciones,desplazamientos y

FIN


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9.FUNCION EN MATLAB

clear allclcfprintf('\nPROGRAMA QUE PERMITE CALCULAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ Y\n')fprintf('LOS DESPLAZAMIENTOS DE UNA ARMADURA SIMPLE\n\n')

%Ingreso de Datos:E=input('Ingrese el modulo de Elasticidad (N/mm^2,MPa): ');d=input('Ingrese diametro de la seccion de cada elemento (mm): ');PA=input('Ingrese magnitud de fuerza PA (N): ' );PB=input('Ingrese magnitud de fuerza PB (N): ' );PC=input('Ingrese magnitud de fuerza PC (N): ' );A=(pi*d^2)/4;

%Ingreso de Coordenadas: (referencia nodo 1)fprintf('\nIngreso de Coordenadas de los Nodos:\n')fori=1:5

fprintf('\nCoordenada nodo %d\n',i)x(i)=input('x: ');

y(i)=input('y: ');end

%Calculo de las dimensiones de los elementos:%Calculo de las Longitudes:

le(1)=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2);%Elemento 1le(2)=sqrt((x(2)-x(3))^2+(y(2)-y(3))^2);%Elemento 2le(3)=sqrt((x(4)-x(3))^2+(y(4)-y(3))^2);%Elemento 3le(4)=sqrt((x(4)-x(2))^2+(y(4)-y(2))^2);%Elemento 4le(5)=sqrt((x(4)-x(1))^2+(y(4)-y(1))^2);%Elemento 5le(6)=sqrt((x(5)-x(4))^2+(y(5)-y(4))^2);%Elemento 6%Calculo de Cosenos directores:l(1)=(x(2)-x(1))/le(1);m(1)=(y(2)-y(1))/le(1);%Elemento 1l(2)=(x(3)-x(2))/le(2);m(2)=(y(3)-y(2))/le(2);%Elemento 2l(3)=(x(4)-x(3))/le(3);m(3)=(y(4)-y(3))/le(3);%Elemento 3l(4)=(x(4)-x(2))/le(4);m(4)=(y(4)-y(2))/le(4);%Elemento 4l(5)=(x(4)-x(1))/le(5);m(5)=(y(4)-y(1))/le(5);%Elemento 5

l(6)=(x(4)-x(5))/le(6);m(6)=(y(4)-y(5))/le(6);%Elemento 6fprintf('\nTabla de Datos: \n')fprintf('\nElemento Long. Elemento l m \n')fori=1:6

fprintf('%4d %18.4f %16.4f %16.4f\n',i,le(i),l(i),m(i))end

%Calculo de las matrices de rigidez de cada elemento:acu=[];fori=1:6

H(i)=(E*A)/le(i);Pi=H(i)*[l(i) m(i) 0 0; 0 0 l(i) m(i)]'*[1 -1; -1 1]*[l(i) m(i) 0 0; 0 0 l(i) m(i)];

acu=[acu Pi];


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endk=acu;k1=k(1:4,1:4);k2=k(1:4,5:8);k3=k(1:4,9:12); k4=k(1:4,13:16);k5=k(1:4,17:20);k6=k(1:4,21:24); fprintf('\nMatrices de Rigidez de cada elemento (N/mm):\n')fori=1:6

fprintf('Elemento %d:\n',i)disp(k(1:4,4*i-3:4*i))end%Conectividad de la Matriz de Rigidez EstructuralK1=[k(1:2,1:2)+k(1:2,17:18);k(1:2,3:4);zeros(2);k(1:2,19:20);zeros(2)]; K2=[zeros(2);k(3:4,3:4)+k(1:2,5:6)+k(1:2,13:14);k(1:2,7:8);k(1:2,15:16);zeros(2)]; K3=[zeros(4,2);k(3:4,7:8)+k(1:2,9:10);k(1:2,11:12);zeros(2)]; K4=[zeros(6,2);k(3:4,11:12)+k(3:4,15:16)+k(3:4,19:20)+k(3:4,23:24);k(3:4,21:22)]; K5=[zeros(8,2);k(1:2,21:22)];Kf=[K1 K2 K3 K4 K5];K=tril(Kf,1)+tril(Kf,-2)';fprintf('\nMatriz de Rigidez de la Estructura [K] (N/mm): \n')disp(K)%Vector Columnas de Fuerzas en la estructura:f=[0 0 0 PC PA PB 0 0 0 0];%Calculo de deformaciones [Q]: (condicion Q1=Q2=Q9=Q10=0)q=inv(K(3:8,3:8))*f(3:8)';Q=[zeros(2,1); q; zeros(2,1)];

%Calculo de las Reacciones:R1=K(1,1:10)*Q;R2=K(2,1:10)*Q;R9=K(9,1:10)*Q;R10=K(10,1:10)*Q;fprintf('\n Vector Columna Fuerza [F](N): \n')fprintf('\n R1\n')fprintf(' R2\n')fprintf('\n %d',f(3:8)')fprintf('\n R9\n')fprintf(' R10\n')fprintf('\nResolucion del Sistema de la Estructura [F]=[K][Q]: \n')

fprintf('\nVector Desplazamiento [Q] (mm):\n')fprintf('\n %d',Q)fprintf('\n\nReacciones en los Apoyos (N): \n')fprintf('\n R1: %d\n',R1)fprintf(' R2: %d\n',R2)fprintf(' R9: %d\n',R9)fprintf(' R10: %d\n',R10)%Distribucion de Esfuerzos:Js=[];fori=1:6J=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)];

Js=[Js;J];end


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s(1)=Js(1,:)*Q(1:4);s(2)=Js(2,:)*Q(3:6);s(3)=Js(3,:)*Q(5:8);s(4)=Js(4,:)*[Q(3:4);Q(7:8)];s(5)=Js(5,:)*[Q(1:2);Q(7:8)];s(6)=Js(6,:)*[Q(9:10);Q(7:8)];fprintf('\nTabla de Esfuerzos: \n')fprintf('\nElemento Esfuerzo (N/mm^2,MPa)\n')fori=1:6

fprintf('%4d %18.4f \n',i,s(i))

10. CONCLUSIONES

El programa elaborado solamente sirve para ejecutar la solucin de este

problema, porque fue diseado segn las caractersticas del mismo, como es el

nmero de elementos finitos a utilizar (vigas de seccin constante). Sin embargo

se pueden variar los valores del modulo de elasticidad , area de la seccion de las

vigas y cargas en los nodos (1), (3) y (4).

Para la solucin de los problemas, el sistema de referencia no es nico, es decir, se

puede escoger cualquier sistema, como el que se uso en este caso, teniendo

cuidado a la hora de interpretar los resultados al sistema real.

Para la elaboracin de la matriz de rigidez global, es importante los grados de

libertad de los nodos en cada elemento, pues algn error en el momento de

hallarlos, generara una matriz de rigidez que no corresponde a la armadura.

Las reacciones halladas con el metodo de elementos finitos concuerdan con las

encontradas usando la estatica.

Se encuentra que la reaccion es igual a cero, lo que confirma que la viga 1 soloejerce fuerza normal en la pared.

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