UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO

PROGRAMA DE MAESTRA Y

DOCTORADO EN INGENIERA

CONTROL PREDICTIVO GENERALIZADO

DE UNA CALDERA DE TUBOS DE FUEGO

T E S I S

PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN INGENIERA

INGENIERA ELCTRICA - CONTROL

P R E S E N T A:

LUIS OSWALDO VERDEZOTO CHERRES

TUTOR:

DR. LUIS AGUSTN LVAREZ-ICAZA LONGORIA

MXICO, D.F. 2011

JURADO ASIGNADO:

Presidente: Dr. Tang Xu Yu

Secretario: Dra. Verde Rodarte Mara Cristina

Vocal: Dr. Alvarez-Icaza Longora Luis Agustn

1er. Suplente: Dr. Solorio Ordaz Francisco Javier

2o. Suplente: Dr. Benitez Perez Hector

La Tesis se realiz en:

Instituto de Ingeniera-UNAM

DIRECTOR DE TESIS:

Dr. Luis Agustn lvarez-Icaza Longoria

Resumen

Debido a la evidente necesidad de utilizar de forma inteligente y racional los combustibles

fsiles, sobre todos en aquellos equipos que son considerados como consumidores de alto

nivel, y a la actual problemtica ambiental que vivimos, esta tesis se encuentra dirigida al

desarrollo de un controlador predictivo generalizado para una caldera de tubos de fuego

que posibilite elevar la efectividad y fiabilidad en su funcionamiento, as como disminuir su

actual consumo de combustible y emisin de gases contaminantes al medio ambiente.

Teniendo en cuenta que la variacin de la presin del vapor es el proceso que pre-

senta un mayor significado en el funcionamiento de las calderas pirotubulares, ya que el

control de la combustin se realiza mediante el control de la presin del vapor, esta tesis

presenta el siguiente objetivo:

Desarrollar un sistema de control predictivo generalizado para una caldera pirotubular que

disminuya el consumo de combustible y los gases contaminantes emitidos hacia el medio

ambiente, y que garantice al menos el control de la presin de vapor en el cuerpo de agua.

Para cumplir con este objetivo es necesario desarrollar las siguientes tareas:

Seleccionar un modelo matemtico (orientado al control) que describa con un ade-

cuado nivel de exactitud el comportamiento dinmico de la caldera.

Disear un sistema de control predictivo generalizado del proceso bajo estudio.

En el primer captulo se presentan los antecedentes del problema y el anlisis del

estado del arte del control de calderas. Se definen los objetivos del trabajo de investigacin

y se establecen los alcances del mismo.

En el segundo captulo se describe el modelado matemtico de la caldera con nfasis

en el proceso de variacin de la presin de vapor en el cuerpo de una caldera pirotubular, con-

siderando los conocimientos fsicos previos. Se realiza un anlisis de dos modelos matemticos

propuestos en la literatura analizando las ventajas y desventajas de los mismos.

3En el tercer captulo se realiza la descripcin de los mtodos de control en la actua-

lidad y su tendencia, adems se presentan las estrategias de los controladores y sus elementos

principales. El captulo introduce el control predictivo y una tcnica para el diseo de con-

troladores PID multivariables.

En el cuarto captulo se utiliza el Control Predictivo Generalizado (GPC) para el

control de la variacin de la presin de vapor en el cuerpo de una caldera pirotubular. Se

disea un sistema de control del modelo matemtico elegido con base en el GPC donde

se consigue controlar todas las salidas. Se discute la necesidad de reajustar el controlador

cuando se tiene que regular el proceso en un punto de operacin inestable y se acude a las

estrategias de control PID descritas en el captulo anterior, para despus hacer un rediseo

del controlador por GPC. Se presentan adems las simulaciones que se llevaron a cabo para

mostrar la efectividad de la ley de control propuesta.

iEl presente estudio y en general toda mi maestra lo dedico a la SANTISIMA

VIRGEN DE GUADALUPE, a mi DIVINO NIO JESUS, y a mi PAPITO DIOS

por los dones que me han otorgado, por el amor, luz, ayuda y todas las bendiciones

que da a da me conceden. Porque sin ellos no soy nada y sin ellos este sueo no

hubiese sido posible realizar.

A mis papis bellos Luis y Blanca va dedicado tambin el presente estudio, por todo el

esfuerzo que ellos han hecho por m.

Papi y mami los amo y por ustedes soy lo que soy.

ii

ndice general

ndice de figuras iv

1. Introduccin 11.1. Antecedentes del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Estado del Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Organizacin de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Modelado matemtico 92.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Anlisis de las calderas pirotubulares como objetos de control automtico . . 9

2.2.1. Conceptos bsicos de calderas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2. La caldera bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3. Calderas pirotubulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Principio de funcionamiento de las calderas pirotubulares . . . . . . . . . . . . 162.3.1. Capacidad y eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2. Relacin entrada - salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.3. Mtodos para el clculo de la eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.4. Control de Calderas en la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Modelos matemticos de una caldera pirotubular . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Descripcin de los mtodos de control 233.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Control Predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1. El control de procesos en la actualidad y su tendencia . . . . . . . . . 243.2.2. Control predictivo: Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3. Estrategia de los controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.4. Controladores predictivos: Elementos bsicos . . . . . . . . . . . . . . 273.2.5. Principales algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Control PID basado en LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.1. Consideraciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2. Condicin de estabilidad asinttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iii

4. Control Predictivo Generalizado de la presin en una caldera pirotubular 424.1. Linealizacin del modelo matemtico de una caldera . . . . . . . . . . . . . . 424.2. Modelo lineal extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3. Ley de control PID multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4. Resultados de simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5. Conclusiones 53

A. Ley de Control 57

iv

ndice de figuras

2.1. Caldera Bsica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Caldera - precalentador de aire de combustin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Caldera marino "Scotch". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Caldera tubular de retorno horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5. Variante tipo "wetback". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6. Variante tipo "dry back". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7. Caldera de pasos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8. Caldera Pirotubular Vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.9. Diagrama de bloques para un sistema de control para calderas. . . . . . . . . 18

3.1. Estrategia de control predictivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Estructura bsica del MPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1. Respuesta del sistema con alpha=0.001 y lamda=10. . . . . . . . . . . . . . . 484.2. Respuesta del sistema con alpha=0.001 y lamda=10. . . . . . . . . . . . . . . 494.3. Ley de Control con alpha=0.001 y lamda=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4. Ley de Control con alpha=0.001 y lamda=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5. Respuesta del sistema con alfa=0.01 y lamda=1000. . . . . . . . . . . . . . . 504.6. Ley de Control con alfa=0.01 y lamda=1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.7. Respuesta del sistema con alfa=0.0001 y lamda=1000. . . . . . . . . . . . . . 514.8. Ley de Control con alfa=0.0001 y lamda=1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

vAgradecimientos

Agradezco a la SANTISIMA TRINIDAD y, a la Santsima Virgen de Guadalupe

que con su luz, ayuda y bendiciones me han dado fortaleza

e inteligencia, as como constancia en mi diario vivir y

en mi formacin profesional, para el cumplimiento

de mis sueos.

De manera muy especial a mis padres por su apoyo y fuerza que a la distancia

siempre me dieron alentndome para seguir cada da con la misma

ilusin con que me vieron partir, as como tambin

por la comprensin y amor incondicional

a lo largo de mi vida y formacin.

A la Universidad Nacional Autnoma de Mxico, de manera muy especial

al personal docente del Posgrado en Ingeniera.

El ms profundo agradecimiento a mi Sinodal el Dr. Luis Agustn

Alvarez-Icaza Longoria quien con su conocimiento,

dedicacin, apoyo y confianza me ayud

y gui, con el fin de culminar la

presente investigacin.

1Captulo 1

Introduccin

1.1. Antecedentes del Problema

El uso eficiente y racional de los combustibles fsiles es muy importante paraenfrentar la declinacin y para contrarrestar sus efectos perniciosos en el calen-tamiento global.

Las calderas se encuentran entre los grandes consumidores de combustibles fsilesy son consideradas dispositivos de gran uso en la industria a escala mundial.

Las calderas se clasifican en dos grandes grupos con base en el contenido de sustubos:

De tubos de agua o acuotubulares y

De tubos de fuego o pirotubulares.

La caracterizacin de las primeras est dada por la circulacin del agua por elinterior de los tubos y la aplicacin de fuego en la superficie exterior de los mis-mos. Estas calderas tienen un gran espectro de produccin de vapor, que varadesde una pequea produccin, en calderas compactas, hasta altos niveles deproduccin de vapor en ndices de 1 000 th y presiones hasta 150

kgcm2

, como esel caso de las calderas de centrales termoelctricas. La operacin de las mismases difcil, ya que son ms complejas y requieren de un mayor nivel de seguridadque las calderas pirotubulares.

Las calderas pirotubulares se caracterizan por la circulacin de los gases de lacombustin por el interior de los tubos, mientras que el agua a evaporar rodeala superficie exterior de dichos tubos. La presin de trabajo normalmente no ex-cede los 20 kg

cm2y la produccin de vapor mxima es de aproximadamente 25 th .

Estas presentan mayor aplicacin en todo el sector industrial ya que se utilizan

2en industrias que no necesitan elevadas cantidades de vapor. Las calderas msutilizadas son las pirotubulares con capacidades de 25 MW, vapor a 25 Bar.

Bsicamente, el objetivo de las calderas consiste en quemar combustibles fsilespara transformar su energa qumica en energa trmica y suministrarla al aguapara generar vapor, el cual posteriormente es utilizado como fuente de energa endiversos procesos. En el proceso de transformacin de energa se realizan variasoperaciones que son interdependientes, por lo tanto, el buen funcionamiento deuna etapa est vinculado al funcionamiento de todas las etapas antecesoras.

La eficiencia de una caldera representa la diferencia entre la energa suministraday la energa despachada. Para alcanzar un nivel ptimo de eficiencia los fabri-cantes recomiendan operarlas aproximadamente al 80% de carga nominal.

Para asegurar una mxima eficiencia en la operacin de las calderas pirotubu-lares, son esenciales dos requisitos:

Garantizar la combustin completa, es decir, mantener una correcta pro-porcin aire-combustible.Independientemente de las variaciones de carga para mantener la presindel vapor de salida dentro de los lmites necesarios, se debe, garantizar quela cantidad de combustible que se quema sea la necesaria para lograr quela presin sea constante.

Para mantener una elevada eficiencia en el funcionamiento de las calderas senecesita disponer de sistemas efectivos de control automtico.

El proceso de modernizacin de una caldera con sistemas efectivos de controlautomtico elimina las deficiencias y desbalances que pueden alterar las opera-ciones de la planta, es decir, se puede mejorar la confiabilidad y evitar que seproduzcan daos en el equipo del proceso de combustin debido a explosiones uotros eventos indeseables, adems de reducir de manera significativa los costosde operacin y mantenimiento.

Actualmente los sistemas de control en la industria de procesos estn obligadosa satisfacer criterios econmicos, de seguridad, medioambientales, y de calidaden la produccin, la cual depende de una demanda que en el mbito industrialnormalmente es variable.

Ahora bien, un sistema de control en el proceso de combustin de la caldera paracontrolar la proporcin aire-combustible mejora la transferencia de energa calri-ca puesto que la caldera absorbe mayor cantidad de calor en el proceso. Adems,permite la deteccin de ciertos problemas potenciales a travs del anlisis de los

3gases de la combustin y por ende reduce de manera significativa el consumode los combustibles. Cabe destacar que la instalacin de un sistema efectivo decontrol permite conseguir un manejo preciso del aire en exceso a travs de unareferencia de oxgeno, y gracias a ello se puede lograr mantener esta referencia apesar de la presencia de perturbaciones.

De lo anterior se puede ver que mantener una correcta proporcin aire-combustiblees uno de los principales objetivos de un sistema de control de calderas, para locual uno de los objetivos primordiales que se requiere alcanzar es la minimizacindel aire en exceso, pues esto permite la operacin eficiente de cualquier equipode combustin. As la eficiencia del quemador est dada por la cantidad decombustible que no reacciona y el aire en exceso en los gases producto de lacombustin.

En condiciones de operacin reales, el monitoreo del contenido de oxgeno en losgases de la combustin indicar cunto de aire en exceso est disponible despusde producirse la combustin. Incorporando un lazo de control de relacin aire-combustible en los controles de la caldera se pueden corregir los altos niveles deoxgeno en los gases de la combustin.

Existen algunas plantas que a su vez cuentan con un sistema de seguridad en laentrada del combustible, mismo que presenta grandes ventajas como minimizarel riesgo de una proporcin aire-combustible peligrosa. Este se implementa au-mentando siempre el flujo de aire antes de aumentar el flujo de combustible, odisminuyendo el flujo de combustible antes de disminuir el flujo de aire. Estesistema de control es muy efectivo y provee:

1. Menor consumo de combustible.

2. Condiciones de operacin ms seguras.

3. Mejor visibilidad.

Sin embargo, el proceso ms significativo e importante en el funcionamiento delas calderas pirotubulares es la variacin de la presin del vapor en su cuerpo,la misma que es un parmetro indicador para la variacin en la cantidad decombustible de alimentacin al quemador de la caldera. La llama dentro de lacmara se controla por medio de la alimentacin de combustible, lo que se tra-duce en generacin de vapor y por ende, en la variacin de la presin dentro delos conductos que transportan el vapor.

Uno de los objetivos principales durante la operacin de las calderas es asegurarque la presin del vapor de trabajo sea sostenible para cualquier demanda quela planta requiera. Esto se puede conseguir asegurando que las calderas quemenslo el combustible necesario, lo que da como resultado un costo de operacin

4mucho menor.

Debido a que las calderas se caracterizan por ser sistemas dinmicos de mltiplesentradas y salidas de comportamiento no lineal, variantes en el tiempo, cuyosestados generalmente cambian con el punto de operacin, presentan un compor-tamiento difcil o complicado como objeto de control automtico.

Antiguamente, la presin del vapor en las calderas se controlaba mediante el usode sistemas de control de dos estados. Esto se consegua mediante el uso de unpresostato y de un sistema de conexin/desconexin del quemador, dicho sistemade control fue probado y considerado ineficiente puesto que se desperdiciaba grancantidad de combustible durante el encendido y apagado del quemador. Tiempodespus, se utilizaron controladores de 3 estados, los mismos que utilizaban unapotencia base del quemador para evitar su conexin y desconexin constantes.Finalmente ambos fueron desechados por no ofrecer un suministro constante devapor.

Generalmente las calderas que se fabrican disponen de 3 controles de presin:

Un primer sistema de control es el denominado control de la presin delvapor en operacin, que est dirigido a mantener las condiciones nominales.

Un segundo sistema de control de la presin del vapor es el de modulacin,que se ocupa de los cambios en la demanda base.

Un tercer sistema de control que se utiliza con fines de seguridad y donde seutiliza un presostato configurado 10% por encima de la mxima presin deoperacin (presin de corte) para que en caso que el presstato de operacinfalle, ste corte inmediatamente todo el sistema y no arranque hasta que sesolucione el problema del primer presostato.

Actualmente, en la industria muchas calderas pirotubulares en el proceso devariacin de la presin del vapor en su cuerpo son controladas mediante con-troladores PID como en la mayora de los procesos industriales. El desempeode dichos controladores es limitado, ya que no consideran las variaciones que seoriginan en los parmetros dinmicos del proceso, lo que se ve reflejado en unmayor consumo de combustible y una mayor emisin a la atmosfera de los gasesproducidos por la combustin (Feliu y Rivas 2005).

Para el diseo de controladores PID se parte de un modelo lineal del procesocon parmetros fijos, el mismo que se obtiene linealizando el sistema alrededorde un punto de operacin. sto es una aproximacin debido a que la respuestadel proceso es no lineal, as como los parmetros del sistema de potencia sonfuncin del punto de operacin. Por lo tanto, mientras cambian las condicionesde operacin, no ser bueno el desempeo del sistema con esta estrategia de

5control. Mediante el uso de tcnicas adaptables, se puede cambiar el punto deoperacin del sistema, y los parmetros del sistema de control pueden ser actu-alizados cuando sea necesario. Por ende la seal de control puede ser calculadade mejor manera, utilizando los parmetros actualizados del modelo del proceso.

Ante la problemtica del control efectivo de la presin del vapor, los contro-ladores predictivos se muestran como una opcin importante de solucin. El con-trol predictivo generalizado (GPC) constituye una estrategia de control comn,que puede ser mejorada al aadirle un observador recursivo. Al realizar dichocambio se utiliza un predictor multipaso que permite conseguir mejores predic-ciones, y que adems permite trabajar con un modelo de las perturbaciones, locual conduce a obtener predicciones ms precisas. Cabe destacar que este tipode controladores permiten trabajar con procesos inestables o de fase no mnimae incorporan el concepto de horizonte de control. No obstante, su aplicacin re-quiere de modelos matemticos descriptivos de los procesos a controlar.

1.2. Estado del Arte

Desde hace varios aos se han publicado trabajos para analizar o estudiar laautomatizacin de calderas utilizando sistemas de control GPC. La mayor partede estos trabajos centran su atencin en la automatizacin de calderas de tu-bos de agua ya que son las ms utilizadas en grandes sistemas de produccinde energa elctrica. Por ejemplo, (Hogg y El-Rabaie 1990) estudia el ControlPredictivo Generalizado multivariable de una caldera de tubos de agua. Sus re-sultados muestran que se pueden obtener grandes mejoras en la eficiencia deesta clase de calderas al usar el GPC con respecto al desempeo que se obtienecon un controlador PI convencional. Se logra observar que en dichos resultadoslas variaciones de la presin y de la temperatura se reducen grandemente y conun menor esfuerzo del controlador. Sin embargo, en este estudio se requiere unmodelo matemtico del proceso que no considera perturbaciones.

Un enfoque similar se presenta en (Fujiwara y Miyakawa 1990), en donde de-muestra que la inclusin de un sistema adaptable estable contribuye en granmedida a mejorar el desempeo del controlador GPC. No se requieren datos deun proceso real.

Existen otras estrategias de control tambin han sido utilizadas en la automati-zacin de calderas. Entre ellas se encuentran:

Las tcnicas de control de orden fraccional aplicadas en el control de lapresin del vapor en el cuerpo de una caldera pirotubular (Feliu y Rivas2005).

6Los controladores PID con auto-ajuste utilizados en el control del nivel delagua en una caldera pirotubular (Gyun, 2001)

El control robusto multivariable basado en tcnicas de control H (Wen2002).

Gyun (2001) tambin ha investigado la aplicacin de sistemas de control adap-tables para mejorar el desempeo de los sistemas de control de generadores devapor de tubos de agua.

En la recopilacin de los estudios de Qin y Badgwell, previo a 1993 se recogenvarias aplicaciones y se describe el uso actual de controladores del tipo GPC enla industria, especialmente en el sector petroqumico. La mayora de las aplica-ciones estn relacionadas con procesos multivariables, dndose casos como uncontrolador con 40 entradas y 80 salidas.

En la actualidad el xito del GPC en la industria se debe a:

1. La incorporacin de un modelo del proceso en los clculos permite al con-trolador tratar con todas las caractersticas importantes de la dinmica delproceso.

2. Se considera el comportamiento del proceso a lo largo de un horizonte fu-turo, lo que permite tener en cuenta el efecto de las perturbaciones en larealimentacin y pre-alimentacin y permite al controlador conducir la sa-lida del proceso a la trayectoria de referencia deseada.

3. La consideracin de restricciones en la fase del diseo del controlador, queevita en lo posible su violacin y resulta en un control ms preciso en tornoal punto ptimo de operacin. La inclusin de restricciones es quizs lacaracterstica que ms distingue al GPC respecto a otras metodologas.

Pese a la importancia y utilidad que las calderas pirotubulares, el tema de la au-tomatizacin efectiva de las mismas no ha sido suficientemente investigado. Enparticular el problema de la obtencin de modelos matemticos que describande forma adecuada el proceso de variacin de la presin de vapor en el cuerpode una caldera pirotubular se ha tratado poco. Ello se debe a que para podermodelar matemticamente este sistema complejo a partir de principios fsicosfundamentales, sera necesario evaluar la dinmica del actuador, la cantidad deenerga qumica que posee el combustible, y las relaciones termodinmicas y fisi-coqumicas que se producen en el interior de la caldera hasta obtener un modeloaceptable que relacione la entrada (combustible) con la salida de inters (presinde vapor).

71.3. Objetivo

Desarrollar un sistema de control predictivo generalizado para una caldera piro-tubular que disminuya el consumo de combustible y los gases contaminantes emi-tidos hacia el medio ambiente, y que garantice al menos el control de la presinde vapor en el cuerpo de agua.

1.4. Alcance

1. Evaluar los modelos matemticos que describen la presin de vapor en unacaldera pirotubular, para realizar la mejor eleccin del modelo que describala dinmica necesaria para el proceso bajo estudio.

2. Analizar los distintos algoritmos de prediccin y obtencin de la ley de con-trol ptima verificando sus caractersticas, bondades y carencias con res-pecto al proceso dinmico a estudiar, teniendo en cuenta que en el sistemano se consideraran fenmenos como las perturbaciones ajenas al sistema.

3. Disear un sistema de control predictivo generalizado del proceso bajo es-tudio y demostrar las ventajas que ste presenta.

1.5. Organizacin de la tesis

En el primer captulo se presentan los antecedentes del problema y el anlisisdel estado del arte del control de calderas. Se definen los objetivos del trabajode investigacin y se establecen los alcances del mismo.

En el segundo captulo se describe el modelado matemtico de la caldera connfasis en el proceso de variacin de la presin de vapor en el cuerpo de unacaldera pirotubular, considerando los conocimientos fsicos previos. Se realiza unanlisis de dos modelos matemticos propuestos en la literatura analizando lasventajas y desventajas de los mismos.

En el tercer captulo se realiza la descripcin de los mtodos de control en la ac-tualidad y su tendencia, adems se presentan las estrategias de los controladoresy sus elementos principales. El captulo introduce el control predictivo y unatcnica para el diseo de controladores PID multivariables.

En el cuarto captulo se utiliza el Control Predictivo Generalizado (GPC) parael control de la variacin de la presin de vapor en el cuerpo de una caldera piro-tubular. Se disea un sistema de control del modelo matemtico elegido con baseen el GPC donde se consigue controlar todas las salidas. Se discute la necesidad

8de reajustar el controlador cuando se tiene que regular el proceso en un puntode operacin inestable y se acude a las estrategias de control PID descritas enel captulo anterior, para despus hacer un rediseo del controlador por GPC.Se presentan adems las simulaciones que se llevaron a cabo para mostrar laefectividad de la ley de control propuesta.

Finalmente, en el quinto captulo se presentan las conclusiones del trabajo y ladiscusin del trabajo futuro.

9Captulo 2

Modelado matemtico

2.1. Introduccin

El control de la presin del vapor dentro de la caldera es de vital importanciadebido a que es una variable que junto con la temperatura indica la cantidad deenerga que transporta el vapor (Rivas, Aref, Peran, y Sanchez 2000). Mediantela modificacin del flujo de alimentacin de combustible se lleva al cabo el controlde esta variable, lo que se traduce en una mayor o menor generacin de vaporen la caldera, es decir, aumenta o disminuye la presin de vapor.

Existen dos mtodos fundamentales para la modelacin matemtica de los pro-cesos que se originan en el interior de las calderas. El primer mtodo se basaen el modelado a partir de las ecuaciones de balance de masa y energa. Estemtodo es difcil por el gran nmero de variables y ecuaciones involucradas enel funcionamiento de las calderas (Rivas, Herranz, Llanes, y Cartaya 1994). Elsegundo mtodo consiste en la aplicacin de tcnicas de identificacin de sis-temas dinmicos y utiliza los datos obtenidos de entrada y salida del sistemapara aproximar un modelo matemtico lineal.

2.2. Anlisis de las calderas pirotubulares como obje-tos de control automtico

2.2.1. Conceptos bsicos de calderas

Existen dos tipos generales de calderas: las pirotubulares (tubos de fuego) ylas acuotubulares (tubos de agua). Adicionalmente, las calderas se clasifican co-mo calderas de alta y baja presin, calderas de vapor y calderas de agua caliente.

10

Las calderas de alta presin, por definicin, son calderas de vapor que operan apresiones mayores que 15 psig. La temperatura de saturacin del agua en estascalderas se incrementa cuando la presin aumenta. El vapor a alta presin tieneun atributo particular que es contener una cantidad mayor de energa disponible,que es aquella que puede ser convertida en trabajo.

Una caldera de baja presin es aquella que opera a presiones por debajo delos 15 psig. Casi todas las calderas de baja presin son utilizadas para acondi-cionamiento de espacios.

Las relaciones entre la temperatura de saturacin y la presin de vapor sonpropiedades termodinmicas fijas de vapor de agua (Lindsley 1991). A la tem-peratura del punto de ebullicin se le conoce como la temperatura de saturacinde vapor. Se denomina calor latente de vaporizacin al calor que se aade du-rante la conversin a temperatura constante. El vapor que se obtiene de estaforma y que no ha sido calentado a una temperatura superior a la temperaturade ebullicin, se denomina vapor saturado. Mientras el vapor contenga partcu-las de agua lquida, se le denomina vapor "hmedo". El porcentaje en peso delas gotas de agua en el vapor hmedo se denomina "porcentaje de humedad".El porcentaje de calidad de vapor hmedo se obtiene restando el porcentaje dehumedad de 100%. El calor suministrado una vez que la calidad del vapor llegaal 100% se denomina calor sensible y al vapor se le denomina vapor saturado.

Cabe destacar que la presin de vapor saturado posee una relacin directamenteproporcional con la cantidad de calor sensible necesario y una relacin inversa-mente proporcional con la cantidad de calor latente, es decir, cuando la presinde vapor saturado aumenta, entonces la proporcin de calor sensible aumenta,mientras que la proporcin de calor latente decrece.

2.2.2. La caldera bsica

En la Fig. 2.1, se muestra un diagrama bsico de una caldera, la misma que estconformada por dos sistemas separados.

1. Sistema agua-vapor, el cual es tambin llamado la zona de agua de lacaldera. En este sistema el agua se introduce y es calentada, por el cambiode temperatura, que es transferido a travs de una barrera metlica, y queayuda a convertirla en vapor, para finalmente salir del sistema.

2. Sistema de calentamiento de la caldera, es el de combustible-aire-gases decombustin. Este sistema provee el calor que es transferido al agua. Lasentradas a este sistema son el combustible y el aire requerido para quemarel combustible (Dukelow 1991).

11

Figura 2.1: Caldera Bsica.

El combustible y el aire son mezclados y quemados en un horno en este sis-tema. El resultado de la combustin es la conversin de la energa qumicadel combustible en energa trmica o calorfica. La superficie de transfe-rencia de calor en la forma de tubos por donde circulan est alineada conel horno. Estos tubos reciben el calor radiante de la llama y lo transfierenal lado de agua del sistema. Mediante la transferencia del calor a travs dela superficie de transferencia de calor radiante, los gases resultantes de lacombustin son enfriados. Los gases salen del horno y pasan a travs de unasuperficie de calentamiento adicional formada por tubos por donde circulauna mezcla de agua-vapor. En dicha rea, las superficies no son afectadasdirectamente por la llama, y el calor se transfiere por conveccin. Tambinen esta rea cantidades adicionales de calor son transferidas hacia el ladode agua de la caldera. Esta transferencia de calor enfra ms an los gasesde combustin, los cuales salen de la caldera.

Los gases de combustin de esta caldera bsica slo pueden enfriarse hastauna temperatura que se encuentra en algn nivel por encima de la tem-peratura del sistema vapor-agua. La prdida de calor en los gases de com-bustin de la caldera queda determinada por la temperatura de saturacindel sistema vapor-agua.

El proceso de adicin de calor para convertir agua a vapor tiene una cons-tante de tiempo que depende de las caractersticas especficas de la ins-talacin. Los factores que afectan esta constante de tiempo incluyen la acu-mulacin de calor del sistema, los coeficientes de transferencia de calor enlas diferentes partes del sistema, las masas del metal y de refractario y suconfiguracin, adems de otros factores adicionales. Generalmente para los

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propsitos de control, es suficiente entender que la constante de tiempodominante se encuentra en el orden de los minutos.

Si se requiere reducir las prdidas de calor de los gases de combustin sedeben aadir intercambiadores de calor separados de la caldera para recu-perar el calor y enfriar los gases de combustin (Basu 1999). Una formade estos intercambiadores de calor adicionales es el precalentador de airede combustin. La aplicacin de un precalentador de aire se muestra en laFig. 2.2. Aproximadamente se ahorra el 1% de combustible por cada 6.67centigrados de incremento en la temperatura del aire de combustin usandoel precalentador de aire.

El uso de un economizador es otra forma de recuperar el calor de los gasesde combustin.

Figura 2.2: Caldera - precalentador de aire de combustin.

El incremento de calor en el agua de alimentacin reduce los requerimientosde combustible de la caldera en aproximadamente 1% de la entrada decombustible, logrando as reducir el consumo del mismo.

2.2.3. Calderas pirotubulares

Las calderas pirotubulares constituyen la mayor parte de calderas industrialesde pequeo o mediano tamao. En estas, los gases de combustin fluyen porlas paredes de los tubos y por conveccin hacia el agua que los circunda. Latransferencia de calor a travs de las paredes de los tubos hacia el agua generael vapor. Los gases de combustin son enfriados mientras fluyen a travs de lostubos, transfiriendo su calor al agua; por lo tanto, a mayor enfriamiento de losgases de combustin, mayor ser la cantidad de calor transferido. El enfriamiento

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de estos gases est en funcin de algunos parmetros como:

La conductividad calorfica de los tubos y la emisividad de sus superficies.

La diferencia de temperatura entre los gases de combustin y el agua de lacaldera

El rea de transferencia de calor.

El tiempo de contacto entre los gases de combustin.

La superficie de los tubos de la caldera, etc.

Hoy en da las calderas pirotubulares ms usadas son producto de la evolucinde los primeros diseos de un recipiente de presin cilndrica o esfrico montadosobre el fuego con la llama y los gases calientes alrededor de la carcasa de lacaldera. Este diseo ha sido mejorado mediante la instalacin de tubos longitu-dinales en el recipiente de presin y haciendo pasar los gases de combustin atravs de los tubos.

A travs de la pared de metal la energa calrica de la combustin es transferidadirectamente al agua. La caldera marina Scotch, como se muestra en la Fig.2.3, con el horno como un tubo largo de metal, combina esta caracterstica dela caldera English Cornisa de los 1800s y los tubos horizontales pequeos de lacaldera HRT que se muestra en la Fig. 2.4.

Figura 2.3: Caldera marino "Scotch".

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Figura 2.4: Caldera tubular de retorno horizontal.

Un diseo modificado de la caldera Scotch es el que se utiliza en la calderapirotubular estndar, que es el ms comn y utilizado hoy en da. Existen dosvariaciones del diseo Scotch, denominadas wetback y dryback, mostradas en lasFig. 2.5 y Fig. 2.6.

Figura 2.5: Variante tipo "wetback".

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Figura 2.6: Variante tipo "dry back".

El nmero de pasos en una caldera pirotubular es un parmetro que se refiere alnmero de corridas horizontales que los gases realizan entre el horno y la salidade los mismos (Gilman 2005). La cmara de combustin o el horno se considerancomo el primer paso, cada conjunto separado de tubos de fuego provee pasosadicionales como se muestra en Fig. 2.7.

Figura 2.7: Caldera de pasos.

En algunos casos el incremento en la velocidad de los gases puede mejorar latransferencia de calor incrementando la turbulencia de los gases mientras viajana travs de los tubos. Sin embargo, el incremento en el nmero de pasos y lavelocidad resultante de los gases incrementa la resistencia al flujo y fuerza alventilador de aire a consumir ms energa.

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Una caldera pirotubular usada cuando el espacio es limitado y los requerimien-tos de vapor son pequeos, es la caldera pirotubular mostrada en la Fig. 2.8,(Dukelow 1991). Esta es una variacin de la caldera de caja de fuego con elhorno rodeado por agua y tubos verticales. Esta configuracin es similar a untpico calentador de agua caliente domstico.

Figura 2.8: Caldera Pirotubular Vertical.

2.3. Principio de funcionamiento de las calderas piro-tubulares

2.3.1. Capacidad y eficiencia

Las calderas pirotubulares generalmente se describen en trminos de BoHP (ca-ballos de fuerza de caldera. 1 BoHP = 34 475 Btu). La capacidad en BoHP deuna caldera pirotubular moderna es aproximadamente un quinto del rea totalde transferencia de calor (Basu 1999).

La eficiencia de la caldera se presenta como un porcentaje entre del calor sumi-nistrado a la caldera y el calor absorbido por el agua de la caldera.

2.3.2. Relacin entrada - salida

Normalmente, la energa que entra en una caldera es asumida como el contenidode calor del combustible utilizado. El flujo de este combustible medido duranteun intervalo de tiempo multiplicado por el contenido de energa calrica del mis-mo da como resultado la entrada de energa total durante dicho intervalo de

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tiempo. Mientras que para medir la salida de energa de una caldera se debemedir el flujo de vapor en un intervalo de tiempo y posteriormente multiplicarlopor el contenido calrico de una libra de vapor para obtener la energa a la salidade igual manera durante dicho intervalo de tiempo.

Para seguir la eficiencia relativa pueden usarse de forma efectiva relaciones co-munes entre la entrada y la salida tales como las libras de vapor/galn de com-bustible, pero cabe destacar que no son tan precisas.

Bsicamente, las prdidas energticas de los diferentes tipos de calderas se debena la masa de los gases de combustin y a su temperatura cuando salen de lacaldera (Dukelow 1991). Se debe considerar la temperatura del aire de entradaal quemador y del combustible para obtener la prdida neta de energa de losgases de combustin.

Por otro lado, el calor del agua entrante debe sustraerse del calor transportadoa la salida de la caldera, para de esta manera determinar la contribucin de lacaldera.

Finalmente, la energa entra y sale de la caldera en una gran variedad de formas.La energa en el vapor es la nica salida energtica considerada til. La energadel combustible es la mayor fuente de energa y, a menos que se requieran valoresprecisos de eficiencia, es la nica entrada energtica considerada.

2.3.3. Mtodos para el clculo de la eficiencia

Existen dos mtodos fundamentales conocidos para el clculo de la eficiencia.Estos son:

El mtodo de entrada/salida o mtodo directo (Dukelow 1991).- Estemtodo depende de las mediciones del contenido energtico del combustible,de vapor y del flujo de agua de alimentacin:

Eficiencia =calor aadido al agua entrante

calor del combustible + calor del aire de combustin

El mtodo de prdida de cabeza o mtodo indirecto (Dukelow1991).- Este mtodo devuelve un nmero decimal, que se expresa luego co-mo un porcentaje de eficiencia. No es muy utilizado ya que requiere muchasmediciones.

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2.3.4. Control de Calderas en la industria

Las principales entradas de masa y energa de la caldera deben ser re-guladascon el fin de alcanzar las condiciones de salida deseadas. Por lo tanto, el sistemade control de una caldera puede ser considerado como el vehculo a travs delcual se manejan los balances de masa y de energa de la misma.

Un esquema general del proceso de control de una caldera se muestra en la Fig.2.9, cuyo objetivo es mostrar la existencia de tres sistemas de control indepen-dientes, normalmente implementados en la industria.

Figura 2.9: Diagrama de bloques para un sistema de control para calderas.

Las mediciones de las variables de proceso a la salida proveen la informacin ala unidad del sistema de control (Lindsley 2000).

Para el requerimiento de energa a la entrada se debe desarrollar una seal develocidad de combustin. Esta seal crea una demanda de combustible y de airepor separado. La masa de agua en el interior de la caldera tambin debe ser reg-ulada, y el control de agua de alimentacin regula la masa de agua en la caldera.

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La condicin de temperatura final del vapor tambin debe ser regulada (paracalderas que generan vapor sobrecalentado y tengan esta capacidad de control),y esto se logra a travs del sistema de control de temperatura. Los efectos de lasacciones de control de entrada interactan, ya que la velocidad de combustinafecta la temperatura del vapor y la alimentacin de agua afecta la presin delvapor, el cual es el parmetro que fija la demanda de velocidad de combustin.El sistema total debe por lo tanto ser aplicado y coordinado de tal forma que seminimicen los efectos de estas interacciones.

Sistemas como el de la combustin, control de alimentacin de agua, y control depresin de vapor son quienes se encargan de determinar como la caldera operaen realidad y si logra su eficiencia potencial. El diseo de los controles debe serenfocado para la regulacin del combustible, del aire y del agua de la caldera ypara mantener una presin de vapor deseada mientras se optimiza la eficienciade la cadera simultneamente.

Mejorar un sistema de control usualmente es una manera econmicamente efec-tiva de mejorar la eficiencia operativa de cualquier caldera (Lindsley 1991).

2.4. Modelos matemticos de una caldera pirotubular

El comportamiento dinmico de la presin de vapor en las calderas pirotubularesser el aspecto a estudiar y analizar. Esta variable se considera la ms impor-tante en una caldera ya que se encuentra relacionada con el control del procesode combustin y determina la eficiencia de dicho equipo.

Para poder modelar matemticamente este sistema complejo a partir de prin-cipios fsicos fundamentales, sera necesario evaluar la dinmica del actuador,la cantidad de energa qumica que posee el combustible, y las relaciones ter-modinmicas y fisicoqumicas que se producen en el interior de la caldera hastaobtener un modelo aceptable que relacione la entrada (combustible) con la salidade inters (presin de vapor).

Este procedimiento puede incluir muchas ecuaciones diferenciales altamente aco-pladas. Uno de los principales problemas es el gran nmero de parmetros exper-imentales que se deben hallar para cada proceso particular, muchos de los cualesexigen mediciones muy precisas e incluso inaccesibles (Rivas, Herranz, Llanes, yCartaya 1994).

Ante esta problemtica y a las luces del objetivo principal, que es controlar la

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presin del vapor de la caldera, se analizaron dos modelos matemticos simplifi-cados:

1. K. J. strm, (1998)(Astrom y Bell 2000)

e11 Vwt + e12p = qf qse21 Vwt + e22p = Q+ qfhf qshse32p+ e33r = Q rhcqdce42p+ e43r + e44 Vsd =

sTd

( Vsd Vsd) + hfhwhc qf

donde:p; Vsd; Vwt; r: variables de estado:

p: presin.Vwt: volumen total de agua.Vsd: volumen total de vapor en la caldera.r: calidad de vapor a la salida.

Q; qf ; qs: entradas:

Q: calor suministrado.qf : alimentacin de agua.qs: vapor saturado en el tambor.

hs;hw;hf : salidas:

hs: entalpa del vapor.hw: entalpa del agua.hf : entalpa de la alimentacin de agua.

e11; e12; e21; e22; e32; e33; e42; e43: coeficientes (su clculo puede ser analizadoen (Astrom y Bell 2000))Td: tiempo de permanencia de vapor en el tambor

Ventajas:Analiza la caldera subdividindola en procesos, para al final vincularlosen uno solo

Desventajas:

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Es un modelo muy complejo que posee muchas ecuaciones diferencialesaltamente acopladas.No analiza la repercusin de las perturbaciones en el sistema.

2. R.D. Bell, K.J. Astrom, (1987) (Tan, Marquez, Chen, y Liu 2005)

x1 = a1u2xb1 + a2u1 a3u3

x2 = (a4u2 a5)xb1 a6x2x3 =

a7u3(a8u2a9)x1g

y1 = x1

y2 = x2

y3 = a10(a11x3 + a12acs +qea13 a14)

donde:x1;x2;x3: variables de estado:

x1: presin interna ( kgcm2 )x2: potencia elctrica (MW)x3: densidad de flujo ( kgm2 )

u1;u2;u3: entradas:

u1: posicin de vlvula de combustible.u2: posicin de vlvula de control de vapor.u3: posicin de vlvula de alimentacin de agua.

y1; y2; y3: salidas:

y3: nivel de agua en la caldera alrededor de una referencia fija (m).

acs: calidad de vapor:

acs =(a15a16x3)(a17x1a18)

x3(a19a20x1)

qe: tasa de evaporacin:

qe = (a21u2 a22)x1 + a23u1 a24u3 a25

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a1 a25; b; g: constantes.

Ventajas:

Analiza y condiciona la calidad del vapor, puesto que lo involucra conel uso de las variables de estado.Ayuda a determinar la tasa de evaporacin del proceso

Desventajas:

No involucra en el sistema las perturbaciones.

Al evaluar los aspectos positivos y negativos de estos modelos matemticos,sumados a las experiencias y estudios en los que ya han sido utilizados, se uti-lizar el segundo modelo.

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Captulo 3

Descripcin de los mtodos de control

3.1. Introduccin

En la industria de procesos los sistemas de control deben satisfacer criterios aso-ciados directamente con el mantenimiento de las variables de proceso, las cualesa su vez deben satisfacer ciertas especificaciones sujetas a una demanda variable.(Feliu y Rivas 2005). La representacin matemtica de gran parte de estos crite-rios se lleva a cabo en forma de funciones objetivo dinmicas y de restricciones,mientras que el proceso se representa como un modelo dinmico. Las tcnicas deControl Predictivo Basado en Modelo (Model Based Predictive Control, MPC)constituyen poderosas herramientas para afrontar estos retos (Clarke 1994).

El Control Predictivo fue desarrollado con base en dos lneas. Por un lado, afinales de los aos setentas surgieron algunos algoritmos que usaban un mode-lo dinmico del proceso para predecir en la salida el efecto de las acciones decontrol futuras, las cuales eran determinadas minimizando el error de prediccinsujeto a restricciones de operacin. El MPC adquiri una enorme aceptacin enlas industrias de procesos qumicos debido a la simplicidad del algoritmo y al usodel modelo de respuesta (impulso o en escaln). La mayora de estas aplicacionesfueron llevadas a cabo sobre sistemas multivariables. Los algoritmos utilizadosfueron principalmente el IDCOM (Identification-Command) y el DMC (Controlcon Matrix Dinmica, (Dynamic Matriz Control)).

Por otro lado, fue apareciendo otra lnea de trabajo, desarrollando estrategiasespecficamente para procesos monovariables formuladas con modelos entrada-salida. En este contexto se desarrollaron las ideas del Controlador de MnimaVarianza y el Control Predictivo Generalizado (Generalized Predictive ControlGPC) (Camacho y Bordons 2004).

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3.2. Control Predictivo

3.2.1. El control de procesos en la actualidad y su tendencia

Actualmente la industria se enfrenta a un mercado variante y difcil de predecir,lo que obliga a que la operacin de los procesos de produccin se lleve a cabo enconcordancia con la evolucin del mercado para de esta manera poder mantenerla competitividad y la rentabilidad.

La competencia en el sector industrial as como los problemas del medio ambienterelacionados con los procesos de produccin son factores que han provocado lanecesidad de disponer de tcnicas fiables que permitan la operacin del procesocon gran eficiencia y flexibilidad.

Se puede considerar que en la actualidad el objetivo de los sistema de control con-siste en determinar las variables controladas de tal forma que satisfagan mltiplesy cambiantes criterios de funcionamiento (econmicos, de seguridad, ambientaleso de calidad) ante cambios en las caractersticas del proceso.

Existe una amplia gama de metodologas para el control de procesos. La dife-rencia entre stas, radica en la formulacin matemtica de los criterios de fun-cionamiento y en la eleccin de la manera de representar el proceso.

La representacin matemtica de muchos de los criterios se lleva a cabo en for-ma de funciones objetivo dinmicas y de restricciones mientras que el proceso serepresenta como un modelo dinmico con incertidumbres asociadas.

El Control Predictivo Basado en Modelo (MPC), en su forma general, acepta di-versos tipos de modelos, funciones objetivo o restricciones, siendo una metodologaque en la actualidad puede reflejar de forma directa los mltiples criterios de fun-cionamiento vitales en la industria de procesos.

El xito actual del MPC en la industria se debe a tres razones principales:

La incorporacin de un modelo explcito del proceso en los clculos per-mite al controlador tratar con todas las caractersticas importantes de ladinmica del proceso.

La consideracin del comportamiento del proceso a lo largo de un hori-zonte futuro permitiendo al controlador conducir la salida del proceso a latrayectoria de referencia deseada.

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La consideracin de restricciones en la fase del diseo del controlador evitaen lo posible su violacin, resultando un control preciso en torno al puntoptimo de operacin.

3.2.2. Control predictivo: Conceptos bsicos

El Control Predictivo Basado en Modelo (Model Based Predictive Control (MBPC MPC)) no es una estrategia de control especfica sino, que ms bien constituyeun amplio campo de mtodos de control desarrollados en torno a ideas comunes eintegra disciplinas como control ptimo, control estocstico, control de procesoscon tiempos muertos, control multivariable o control con restricciones (Camachoy Bordons 2004).

Bsicamente, las ideas que aparecen en mayor o menor medida en toda la familiade controladores predictivos son:

Uso explcito de un modelo para predecir la salida del proceso en futurosinstantes de tiempo (horizonte de prediccin).

Clculo de las seales de control minimizando una cierta funcin objetivo.

Estrategia deslizante, de forma que en cada instante el horizonte se va des-plazando hacia el futuro, lo que implica aplicar la primera seal de controlen cada instante y desechar el resto, repitiendo el clculo en cada instantede muestreo.

Los distintos algoritmos de MPC difieren entre si en dos aspectos esenciales comoson:

El modelo usado para representar el proceso y los ruidos.

La funcin de costo a minimizar.

Aunque las diferencias puedan parecer pequeas a priori, pueden provocar dis-tintos comportamientos en lazo cerrado.

Tanto en aplicaciones industriales como en el mundo acadmico el Control Pre-dictivo ha tenido gran aceptacin por ser un control de naturaleza abierta dentrodel cual se han desarrollado muchas experiencias y realizaciones.

Hay que destacar que el MPC presenta una serie de ventajas sobre otros mto-dos, entre las que destacan:

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Resulta atractivo para los operadores puesto que los conceptos resultan muyintuitivos, a la vez que la sintonizacin es relativamente fcil.

Puede ser utilizado para controlar una gran variedad de procesos, incluyen-do sistemas con grandes retardos, de fase no mnima o inestables.

En el caso de procesos multivariables, permite tratarlos con facilidad.

Posee intrnsecamente compensacin del retardo.

Resulta conceptualmente simple la extensin al tratamiento de restricciones.

Es muy til cuando se conocen las futuras referencias (robtica o procesosbatch).

Es una metodologa completamente abierta fundamentada en algunos prin-cipios bsicos que permite futuras extensiones.

Pero adems de todas estas bondades, tambin presenta inconvenientes. Uno deellos es la carga de clculo necesaria para la resolucin de algunos algoritmos.El mayor inconveniente es la necesidad de disponer de un modelo apropiado delproceso, que permita una operacin eficiente del controlador.

3.2.3. Estrategia de los controladores

La metodologa de los controladores pertenecientes a la familia del MPC se ca-racteriza por la siguiente estrategia, representada en la Fig. 3.1:

Figura 3.1: Estrategia de control predictivo.

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En cada instante t y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las futurassalidas para un determinado horizonte N , denominado horizonte de prediccin.Estas salidas predichas y(t+k|t) para k = 1. . . .N dependen de los valores cono-cidos de las entradas y salidas pasadas hasta el instante t, as como de las sealesde control futuras u(t + k|t), k = 0......N 1 que se tiene que enviar al sistemay que son las que se necesitan calcular.

El conjunto de seales de control futuras se puede calcular optimizando un crite-rio en el que se pretende mantener el proceso lo ms prximo posible a la trayec-toria de referencia w(t + k). Este criterio suele tomar la forma de una funcincuadrtica de los errores entre la salida predicha y la trayectoria de referenciatambin predicha. Si el criterio es cuadrtico, el modelo lineal y no existen res-tricciones se puede obtener una solucin explcita, en otro caso se debe usar unmtodo iterativo de optimizacin (Camacho y Bordons 2004). Adicionalmentese puede hacer alguna suposicin sobre la estructura de la ley de control futura,como por ejemplo que es constante despus de cierto instante de tiempo.

La seal de control u(t|t) es enviada al proceso mientras que las siguientes sealesde control calculadas son desechadas, puesto que en el siguiente instante demuestreo ya se conoce y(t + 1). Entonces se repite el proceso con este nuevovalor y todas las secuencias son actualizadas. Se calcula por tanto u(t+ 1|t+ 1)(que en principio ser diferente al u(t + 1|t) al disponer de nueva informacin),haciendo uso del concepto de horizonte deslizante.

Para implantar esta estrategia se utiliza una estructura como la representada enla Fig. 3.2, en donde se hace uso de un modelo para predecir las salidas futuras delproceso, basndose en las futuras seales de control propuestas. Dichas sealesson calculadas por el optimizador teniendo en cuenta la funcin de costo (dondeaparece el error de seguimiento futuro) as como las restricciones. Por ende, elmodelo juega un papel decisivo en el controlador. El modelo elegido debe ser ca-paz de capturar la dinmica del proceso para poder predecir las salidas futuras,al mismo tiempo que debe ser sencillo de usar y de comprender.

El optimizador es parte fundamental en la estrategia ya que proporciona las ac-ciones de control. Si la funcin de costo es cuadrtica, el mnimo se puede obtenercomo una funcin explcita de las entradas y salidas pasadas y de la trayectoriade referencia.

3.2.4. Controladores predictivos: Elementos bsicos

Todos los controladores predictivos poseen elementos comunes y para cada unode estos elementos se pueden elegir diversas opciones, dando lugar a distintos

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Figura 3.2: Estructura bsica del MPC.

algoritmos. Estos elementos son:

Modelo de prediccin

Funcin objetivo

Obtencin de la ley de control

3.2.5. Principales algoritmos

En esta seccin se presenta detalladamente el algoritmo de Control PredictivoGeneralizado y se describe la obtencin de la ley de control ptima.

3.2.5.1. CONTROL PREDICTIVO GENERALIZADO (GENERALI-ZED PREDICTIVE CONTROL - GPC)

Puede resolver muchos problemas de control diferentes para un amplio campode procesos con un nmero razonable de variables de diseo, que son especifi-cadas por el operador dependiendo del conocimiento previo del proceso y de losobjetivos de control.

La idea bsica del GPC es calcular una secuencia de futuras acciones de controlde tal forma que minimice una funcin de costo multipaso. El ndice a mini-mizar es una funcin cuadrtica que mide por un lado la distancia entre la salida

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predicha del sistema y una cierta trayectoria de referencia hasta el horizonte deprediccin, y por otro el esfuerzo de control necesario para obtener dicha salida.

Es capaz de proporcionar una solucin, puede trabajar con procesos inestableso de fase no mnima e incorpora el concepto de horizonte de control, as comola consideracin en la funcin de costo de ponderacin de los incrementos en lasacciones de control.

Formulacin del control predictivo generalizado. La mayora de los pro-cesos de una n-entradas y m-salidas, al ser considerados en torno a un determi-nado punto de trabajo y tras ser linealizados, pueden ser descritos de la siguienteforma:

A(q1)y(t) = B(q1)u(t 1) + C(q1)e(t) (3.1)

donde:

u(t) y y(t): vector de entrada (mx1) y vector de salida del proceso (nx1).e(t): vector ruido en el tiempo de medida nula (nx1).B(q1): matriz polinomial (nxm)A(q1) y C(q1) : son nxm matrices polinomiales mnicos en el operador decorrimiento hacia atrs q1 que define el comportamiento dinmico del proceso.Estos polinomios se definen as:

A(q1) = Inxn +A1q1 +A2q2 + ....+Anaqna (3.2)

B(q1) = B0 +B1q1 +B2q2 + ....+Bnbqnb (3.3)

C(q1) = Inxn + C1q1 + C2q2 + ....+ Cncqnc (3.4)

Este modelo es conocido como Autorregresivo de Media Mvil Controlado (Con-trolled Auto-Regressive Moving-Average CARMA), tambin denominado Au-torregresivo de Media Mvil con Entrada Externa (ARMAX). En muchas apli-caciones industriales en las que las perturbaciones son no-estacionarias resultaconveniente el uso de un modelo ARMAX integrado, dando lugar al ARIMAX,que viene descrito por:

A(q1)y(t) = B(q1)u(t 1) + C(q1)e(t)

(3.5)

donde: = 1 q1 (3.6)

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Por simplicidad, la matriz polinomial C(q1) se va a tomar igual a Inxn. Nteseque en el caso de que C(q1) pueda ser truncado se puede absorber en A(q1) yB(q1).

El algoritmo del Control Predictivo Generalizado consiste en aplicar una secuen-cia de seales de control que minimice una funcin de costo de la forma:

J(N1, N2, Nu) = E

N2j=N1

(j)[y(t+ j|t) w(t+ j)]2 +Nuj=1

(j)[u(t+ j 1)]2

(3.7)

donde:

J(N1, N2, Nu): funcin de costos a minimizar.y(t + j|t): prediccin ptima de la salida del proceso j pasos hacia delante condatos conocidos hasta t.N1 y N2: horizonte min y max de prediccin.Nu: horizonte de control.(j) y (j): secuencias que ponderan el comportamiento futuro.w(t+ j): trayectoria de referencia futura en el tiempo t+ j.n: nmero de valores que posee la trayectoria de referencia.E: la esperanza matemtica.

El objetivo consiste en calcular la futura secuencia de control u(t), u(t+ 1), ......,de tal manera que la salida futura del proceso y(t + j) permanezca prxima aw(t+ j). Esto se logra minimizando J(N1, N2, Nu).

Prediccin ptima. Con la intencin de minimizar la funcin de costo, seobtendr previamente la prediccin ptima de y(t + j) para j N1 y j N2.Considrese la siguiente ecuacin diofantina:

Inxn = Ej(q1)A(q1) + qjFj(q1) (3.8)

Inxn = Ej(q1)A(q1) + qjFj(q1) (3.9)

donde:

Ej(q1) y Fj(q1): son matrices polinomiales nicas a encontrar.

A(q1) = A(q1) = (1 q1)A(q1) (3.10)

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Los matrices polinomiales nicas Ej(q1) y Fj(q1) tienen grados definidos porj 1 y na respectivamente

Si se multiplica la ecuacin (3.5) por Ej(q1)qj se obtiene:

A(q1)Ej(q1)y(t+ j) = Ej(q1)B(q1)u(t+ j 1) +Ej(q1)e(t+ j) (3.11)

Reemplazando la ecuacin (3.9), la ecuacin (3.11) queda:

(1q1Fj(q1))y(t+j) = Ej(q1)B(q1)u(t+j1)+Ej(q1)e(t+j) (3.12)

Que se puede reescribir como:

y(t+ j) = Fj(q1)y(t) +Ej(q1)B(q1)u(t+ j 1) +Ej(q1)e(t+ j) (3.13)

Al ser el grado del polinomio Ej(q1) igual a j 1, los trminos del ruido en laecuacin (3.13) estn todos expresados en trminos de valores en el futuro. Lamejor prediccin de y(t+ j) ser por consiguiente:

y(t+ j|t) = Gj(q1)u(t+ j 1) + Fj(q1)y(t) (3.14)

donde:Gj(q

1) = Ej(q1)B(q1) (3.15)

Resulta simple demostrar que los polinomios Ej(q1) y Fj(q1) se pueden obte-ner recursivamente, de forma que los nuevos valores de los coeficientes de ambospolinomios en el paso j + 1 (Ej+1(q1) y Fj+1(q1)) sean funcin de los valoresen el paso j.

Recursin de la ecuacin diofantina.Vamos a considerar que una solucin (Ej(q1), Fj(q1)) para la ecuacin dio-fantina puede ser obtenida de la siguiente manera:

(3.16)

32

con:

A(q1) = A(q1) = Inxn + A1q1 + A2q2 + . . . + Anaqna + Ana+1q

(na+1)

(3.17)

Que se puede reescribir como:

A(q1) = Inxn+(A1Inxn)q1+(A2A1)q2+. . .+(AnaAna1)qnaAnaq(na+1)(3.18)

y:Ej(q

1) = Ej,0 + Ej,1q1 + Ej,2q2 + ...+ Ej,j1qj1 (3.19)

Fj(q1) = Fj,0 + Ej,1q1 + Fj,2q2 + ...+ Fj,naq

na (3.20)

Consideremos ahora la ecuacin diofantina correspondiente a la prediccin dey(t+ j + 1|t):

Inxn = Ej+1(q1)A(q1) + qj+1Fj+1(q1) (3.21)

Sustrayendo (3.16) de (3.21):

0nxn = (Ej+1(q1) Ej(q1))A(q1) + q1(q1Fj+1(q1) Fj(q1)) (3.22)

La matriz (Ej+1(q1) Ej(q1)) es de grado j. Hagamos:

(Ej+1(q1) Ej(q1)) = R(q1) +Rj(q1) (3.23)

donde R(q1) es una matriz polinomial de nxn de grado menor o igual a j 1y Rj es una matriz real nxn. Ahora sustituyendo en la ecuacion (3.22):

0nxn = R(q1)A(q1) + q1(RjA(q1) + q1Fj+1(q1) Fj(q1)) (3.24)

Como A(q1) es mnico, es facil de observar que R(q1) = 0nxn. Entonces lamatriz Ej+1(q1) puede ser calculado recursivamente por:

Ej+1(q1) = Ej(q1) +Rjz1 (3.25)

33

La siguiente expresin puede ser facilmente obtenida desde (3.24):

Rj = Fj,0 (3.26)

Fj+1,i = Fj,i+1 RjAi+1 i = 0...(Fj+1) (3.27)

Se puede ver facilmente que la condicin inicial para la ecuacin recursiva estdada por:

E1 = I (3.28)

F1 = z(I) A (3.29)

Al hacer la matriz polinimial Ej(q1)B(q1) = Gj(q1) + q1Gjp(q1), con(Gj(q

1)) < j, la ecuacin de prediccin puede ser escrita como:

y(t+ j|t) = Gj(q1)u(t+ j 1) +Gjp(q1)u(t 1) + Fj(q1)y(t) (3.30)

Notese que los dos ultimos trminos de la derecha dependen de los valores pasa-dos de la salida y entrada del proceso, adems corresponden a la respuesta libredel proceso considerado si las seales de control se mantienen constantes, mien-tras que el primer trmino depende solo de los valores futuros de la seal decontrol y puede ser interpretado como la respuesta forzada. Esta respuesta esobtenida cuando las condiciones iniciales son cero y(t j) = 0,u(t j) = 0para j = 0, 1, .... La ecuacin puede ser reescrita como:

y(t+ j|t) = Gj(q1)u(t+ j 1) + fj (3.31)

con fj = Gjp(q1)u(t 1) + Fj(q1)y(t). Vamos ahora el conjunto de las Njpredicciones ptimas, se expresa como:

y(t+ 1|t) = G1(q1)u(t) + F1 (3.32)

y(t+ 2|t) = G2(q1)u(t+ 1) + F2 (3.33)y(t+N |t) = GN (q1)u(t+N 1) + FN (3.34)

El cual puede ser escrito de forma matricial como:

y(tyf |t) = G(q1)u(tuf ) + F (3.35)

34

donde:

y(tyf |t) =

y(t+ 1|t)y(t+ 2|t)

...y(t+ j|t)

...y(t+N |t)

(3.36)

tyf = (t+ 1), (t+ 2), ..., (t+N) (3.37)

u(tuf ) =

u(t)u(t+ 1)

...u(t+ j 1)

...u(t+N 1)

(3.38)

tuf = t, t+ 1, ..., t+N 1 (3.39)

G(q1) =

g0 0 . . . 0 . . . 0g1 g0 . . . 0 . . . 0...

.... . .

...... 0

gj1 gj2 . . . g0... 0

...... ... . . . 0

gN1 gN2 . . . . . . . . . g0

(3.40)

F =

F1F2...Fj...FN

(3.41)

Prediccin ptima cuando C 6= I. El modelo ARMAX a considerar es elque se present en las ecuaciones (3.1). En este caso, la primera solucin de laecuacin diofantina viene dada por:

C(q1) = Ej(q1)A(q1) + qjFj(q1) (3.42)

35

donde:

Ej(q1): matriz polinomial nica de grado j 1.

Fj (q1): matriz polinomial nica de grado na.

Ntese que la ecuacin diofantina (3.42) puede ser solucionada de forma recur-siva. Consideremos la ecuacin diofantina para j y j + 1.

C(q1) = Ej(q1)A(q1) + qjFj(q1) (3.43)

C(q1) = Ej+1(q1)A(q1) + q(j+1)Fj+1(q1) (3.44)

Al diferenciarlos, nosotros tenemos la ecuacin (3.22), por lo tanto Ej+1(q1) yFj+1(q

1) pueden ser calculadas de forma recursiva usando expresiones similaresa las obtenidas en el caso de C(q1) = I con condiciones iniciales: E1(q1) = Iy F1(q1) = q(C(q1) A(q1)).

Definir las matrices polinomiales Ej(q1) y Cj(q1) de tal manera que

Ej(q1)C(q1) = Cj(q1)Ej(q1) (3.45)

con E0 = I y det(Cj(q1)) = det(Cj(q1)). Ntese que

Ej(q1)1Cj(q1) = C(q1)Ej(q1)1 (3.46)

Definir

Fj(q1) = qj(Cj(q1) Ej(q1)A(q1)) (3.47)

Premultiplicando la ecuacin (3.5) por Ej(q1)

Ej(q1)A(q1)y(t+ j) = Ej(q1)B(q1)u(t+ j 1) + Ej(q1)e(t+ j) (3.48)

Usando la ecuacin (3.45) y (3.47) tenemos:

36

Cj(q1)(y(t+ j) Ej(q1)e(t+ j)) = Ej(q1)B(q1)u(t+ j1) + Fj(q1)y(t)

(3.49)

AL tomar el valor esperado E[Cj(q1)(y(t+ j) Ej(q1)e(t+ j))] = y(t+ j | t).La prediccin ptima y(t+ j | t) puede ser generada por la ecuacin:

Cj(q1)y(t+ j | t) = Ej(q1)B(q1)u(t+ j 1) + Fj(q1)y(t) (3.50)

Ahora resolviendo la ecuacin diofantina:

I = Jj(q1)Cj(q1) + q1Kj(q1) (3.51)

con (J(q1)) < j. Multiplicando por Jj(q1)1 y usando la ecuacin (3.50)

y(t+j | t) = Jj(q1)Ej(q1)B(q1)u(t+j1)+(Kj(q1)+Jj(q1)Fj(q1))y(t)(3.52)

Si Jj(q1)Ej(q1)B(q1) = Gj(q1) + qjGpj (q1), con (Gj(q1)) < j, los jpasos de la prediccin ptima pueden ser expresados como:

y(t+ j | t) = Gj(q1)u(t+ j 1) +Gpj (q1)u(t 1) + (Kj(q1)++Jj(q

1)Fj(q1))y(t)(3.53)

El primer trmino de la prediccin corresponde a la respuesta forzada debido alos incrementos futuros de control, mientras que los dos ultimos trminos corres-ponden a la respuesta libre y son generados por los incrementos de las entradaspasadas y salidas pasadas.

Obtencin de la ley de control. Para facilitar la notacin en la siguienteseccin se prescindir de los argumentos de las matrices polinomiales.La ecuacin (3.7) puede escribirse en la forma:

J = (Gu+ f w)T R(Gu+ f w) + QuTu (3.54)

donde: w: seales de referencia.

w =[w(t+ 1) w(t+ 2) ... w(t+N)

]T

37

R = diag(R, ..., R)

Q = diag(Q, ..., Q)

La ecuacin (3.54) se puede representar como:

J =1

2uTHu+ bu+ f0 (3.55)

donde:H = 2(GT RG+Q) (3.56)

b = 2(w f)T RG (3.57)

f0 = (w f)T (w f) (3.58)

El mnimo de J , siempre que no existan restricciones en la seal de control, puedeser calculado igualando a cero el gradiente de J (Camacho y Bordons 2004), locual conduce a:

u = H1bT = 2H1GT R(w f) (3.59)

Debido al uso de la estrategia de retroceso, slo se nececsita u(t) en el instantet. As solo las primeras m filas de H1GT R, denotadas como K, tienen que sercalculadas. Esto se puede hacer de antemano para el caso no adaptable. La leyde control puede entonces ser expresada como:

u(t) = K(w f) (3.60)

sta es una matriz de ganancia lineal, que multiplica los errores predichos entrelas referencias y la prediccin de la respuesta libre de la planta.

Finalmente, el valor de la entrada al proceso en el tiempo t, se calcula segn:

u(t) = u(t 1) + u(t) (3.61)

38

La solucin propuesta involucra la inversin de una matriz de dimensin NxN ,lo cual conlleva una gran carga de clculo. El concepto de horizonte de controlse emplea con la finalidad de reducir la cantidad de clculo, asumiendo quelas seales de control permanecern en un valor constante a partir del intervaloNu < N . Por tanto la dimensin de la matriz que hay que invertir queda reducidaa NuxNu, quedando la carga de clculo reducida (en el caso lmite de Nu = 1,se reduce al caso escalar) aunque restringiendo la optimalidad. El concepto dehorizonte de control aplicado en el clculo de u(t) puede expresarse como:

u(t) = 2 [ 1 01x(Nu1) ]H1GT (w f) (3.62)

3.3. Control PID basado en LMI

Un PID (Proporcional Integral Derivativo) es un mecanismo de control por reali-mentacin que calcula la desviacin o error entre un valor medido y el valor quese quiere obtener, para aplicar una accin correctora que ajuste el proceso. Elalgoritmo de clculo del control PID est compuesto por tres parmetros distin-tos (Perez, Colmenares, y Granado 2004):

1. El valor Proporcional determina la reaccin del error actual.2. El Integral genera una correccin proporcional a la integral del error, esto

nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error deseguimiento se reduce a cero.

3. El Derivativo determina la reaccin del tiempo en el que el error se produce.La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso va unelemento de control como la posicin de una vlvula de control o la energasuministrada al calentador.

Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controladorpuede proveer un control diseado para lo que requiera el proceso a realizar. Larespuesta del controlador puede ser descrita en trminos de respuesta del controlante un error, el grado el cual el controlador llega al "set point", y el grado deoscilacin del sistema. Ntese que el uso del PID para control no garantiza con-trol ptimo del sistema o la estabilidad del mismo. Algunas aplicaciones puedensolo requerir de uno o dos modos de los que provee este sistema de control. Uncontrolador PID puede ser llamado tambin PI, PD, P o I en la ausencia de las ac-ciones de control respectivas. Los controladores PI son particularmente comunes,

39

ya que la accin derivativa es muy sensible al ruido, y la ausencia del procesointegral puede evitar que se alcance al valor deseado debido a la accin de control.

La estructura de un controlador PID es simple, aunque su simpleza es tambin sudebilidad, dado que limita el rango de plantas donde pueden controlar en formasatisfactoria (existe un grupo de plantas inestables que no pueden estabilizadascon ningn miembro de la familia PID).

3.3.1. Consideraciones iniciales

El controlador del tipo Proporcional-Integral-Derivativo PID, es ampliamenteutilizado en el mundo de los sistemas de control. Existen mltiples tcnicas pararealizar su sincronizacin y en general los sistemas controlados con los PID fun-cionan adecuadamente.

Dentro de las posibilidades de sintonizacin de controladores PID, se han desa-rrollado condiciones basadas en desigualdades lineales matriciales LMI, que handemostrado ser poderosas a la hora de imponer criterios de desempeo sobre elsistema a controlarse. Adems, por la naturaleza del problema planeado con lasLMI, es posible imponer condiciones mltiples (problemas multiobjetivo) sobrelas respuestas del sistema en lazo cerrado (estabilidad, ubicacin de polos, re-chazo de perturbaciones) e igualmente incorporar incertidumbres de forma quese pueda obtener resultados robustos.

A continuacin se presentan las condiciones para obtener la sintonizacin de uncontrolador PID basado en la estabilidad del sistema lineal en lazo cerrado.

3.3.2. Condicin de estabilidad asinttica

Dado un sistema lineal:

x = Ax+Buy = Cx

(3.63)

en el que x (en

40

Es posible construir un nuevo sistema aumentado equivalente a (3.63), que in-corpora al controlador PID, de la forma (3.67) (Perez, Colmenares, y Granado2004):

z = Az + Buy = Czu = F y

(3.65)

donde:

A =

[A 0C 0

]

B =

[B0

]

C =

[C 00 I

]

z =

[x t

0 ydt

]

F =[F1 F2 F3

]

F1 = (I F3CB)1F1F2 = (I F3CB)1F2F3 = (I F3CB)1F3

(3.66)

Hay que destacar que el sistema (3.65) incorpora la integral de la salida a losestados del sistema y que en el sistema aumentado se busca un controlador PIDestabilizante, que utilice la realimentacin esttica de la salida. El sistema enlazo cerrado (sistema con controlador PID) queda dado por la siguiente ecuacindinmica (YY, J., y YX 1998):

z = (A+ BF C)z (3.67)

El sistema (3.66) ser estable si y solo si, existe una matriz P positiva definiday una realimentacin esttica de la salida F , tal que:

41

(A+ BF C)TP + P (A+ BF C) < 0P > 0

(3.68)

Para poder determinar los valores ptimos de las matrices F1, F2, F3 en (3.66)fue de vital importancia utilizar otra estrategia de control con el cual se cambieel polo ubicado en el origen (control por asignacin de polos).

42

Captulo 4

Control Predictivo Generalizado de la

presin en una caldera pirotubular

4.1. Linealizacin del modelo matemtico de una caldera

Para poder llevar a cabo la simulacin y obtencin de resultados del control deuna caldera pirotubular utilizando el Control Predictivo Generalizado se partide la seleccin de un sistema no lineal que representara de forma clara y concisalos procesos y variables que existen en una caldera pirotubular, y la seleccin fueel sistema propuesto por R.D. Bell, K.J. Astrom (Tan, Marquez, Chen, y Liu2005), descrito en el captulo 2:

x1 = a1u2xb1 + a2u1 a3u3

x2 = (a4u2 a5)xb1 a6x2x3 =

a7u3(a8u2a9)x1g

y1 = x1

y2 = x2

y3 = a10(a11x3 + a12acs +qea13 a14)

El mismo que a continuacin se representa de forma lineal en el punto de ope-racin que fue tomado de (Tan, Marquez, Chen, y Liu 2005):

x01 = 108;x02 = 66,7;x

03 = 428;u

01 = 0,34;u

02 = 0,69;u

03 = 0,43; y

03 = 0

43

El modelo linealizado es:

x = Ax+Bu

y = Cx+Du

con:

A =

0,0025 0 00,0694 0,1 00,0067 0 0

B =

0,9 0,349 0,150 14,15 00 1,398 1,659

C =

1 0 00 1 00,0063 0 0,0047

D =

0 0 00 0 00,253 0,512 0,014

As:

x =

0,0025 0 00,0694 0,1 00,0067 0 0

x1x2x3

+ 0,9 0,349 0,150 14,15 0

0 1,398 1,659

u1u2u3

y =

1 0 00 1 00,0063 0 0,0047

x1x2x3

+ 0 0 00 0 0

0,253 0,512 0,014

u1u2u3

(A) = 0,1,0,0025

44

Del anlisis de los autovalores de la matriz A hay que destacar que la plantaposee un polo ubicado en el origen.

4.2. Modelo lineal extendido

Se hicieron pruebas de funcionamiento del sistema lineal anteriormente indicadobajo el algoritmo GPC. Los resultados indicaron que no es posible regular todoslos estados en el punto de operacin deseado. Por ello, se opt por incluir inte-gradores en las tres salidas y aadir un lazo interno de controladores PID paraestabilizar el sistema en el punto de equilibrio deseado. Mediante esta estrate-gia de control se lleg a establecer un nuevo sistema lineal aumentado de la forma:

z = Az + Buy = Czu = F y

donde:

A =

[A 0C 0

]=

0,0025 0 0 0 0 00,0694 0,1 0 0 0 00,0067 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0

0,0063 0 0,0047 0 0 0

B =

[B0

]=

0,9 0,3490 0,150 14,15 00 1,398 1,6590 0 00 0 00 0 0

C =

[C 00 I

]=

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0

0,0063 0 0,0047 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

45

D =

[D0

]=

0 0 00 0 0

0,253 0,512 0,0140 0 00 0 00 0 0

z =

[x t

0 ydt

]Donde F se definir ms adelante.

4.3. Ley de control PID multivariable

Para el diseo del control PID se adopt la estrategia multivariable introducidaen (Perez, Colmenares, y Granado 2004). La ley de control PID multivariable esde la forma:

u = F1y + F2

t0ydt+ F3

dy

dt

Las matrices son:

F =[F1 F2 F3

]con:

F1 = (I F3CB)1F1F2 = (I F3CB)1F2

a(a a) + b(b b J2n,n+1a2F3 = (I F3CB)1F3

F = 8,888 0,126 0,503 16,657 0,055 0,014 8,888 0,126 0,5030,005 0,24 5,8x1013 4,7x1013 0,106 0,012 0,005 0,24 5,8x10130,0001 0,202 3,021 0,05 0,089 0,001 0,0001 0,202 3,021

46

El sistema de lazo cerrado resultante de aplicar el PID es:

APID =

7,9 1,8x105 2,1x107 14,9 7,9x105 1,7x1022,3x101 3,1 3,9x1014 6,759x1010 1,5 1,7x1013,1x102 1,6x105 2,3x102 8,3x102 3,9x105 2x102

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0

6,3x103 0 4,7x103 0 0 0

BPID =

0 0 00 0 00 0 01 0 00 1 00 0 1

CPID =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

DPID =

0 0 00 0 0

0,2530 0,5120 0,01400 0 00 0 00 0 0

4.4. Resultados de simulacin

Para aplicar el GPC, este sistema se discretiz utilizando el mtodo Tustin conun paso de integracin de 0.007 segundos, que se seleccion para cubrir ade-cuadamente la dinmica del sistema extendido. Para el desarrollo del algoritmoGPC se utilizaron horizontes de prediccin y de control iguales a 25 y 7 respec-tivamente, estos valores se obtuvieron empricamente despus de realizar varias

47

simulaciones.

Mediante el desarrollo del algoritmo de GCP en la herramienta matemticaMATLAB se obtuvo la solucin a la ecuacin diofantina encontrando as lasmatrices polinomiales nicas Ej(q1) y Fj(q1), as como tambien se obtuvieronlas matrices K(q1) y G(q1) necesarias para el clculo de la ley de control.

Para cada salida del sistema se obtuvo una ley de control de la forma:

u(t) = u(t 1) + u(t)

donde:

u(t) = 2 [ 1 01X(Nu1) ]H1GT (w f)

Las leyes de control correspondientes se presentan en el ANEXO I.

El resultado de aplicar el algoritmo GPC al modelo lineal extendido fue una leyde control lineal que se prob por simulacin utilizando el modelo no lineal.

A continuacin se presentan resultados de simulacin que muestran el efecto dela ley de control GPC.

Para observar el efecto de los parmetros y en el algoritmo de control no seconsideran incertidumbres paramtricas ni perturbaciones. El rango de variacinpara ser de valores muy cercanos a cero, mientras que para el rango devariacin ser hasta 1000.

Se realizaron varias pruebas tomando en cuenta diferentes valores para los parme-tros mencionados dentro de los rangos marcados. Se tomaron las cuatro msrepresentativas y a continuacin se presentan los resultados:

1. = 0.001 y = 10: El comportamiento de las salidas se ve reflejadopor el comportamiento de la ley de control, con la diferencia que en estecaso las salidas no alcanzan los valores de referencia y estabilidad, mientrasque las seales de ley de control correspondientes presentan inestabilidad y

48

cambios o comportamiento brusco. (Fig. 4.1 y Fig. 4.2).

2. = 0.001 y = 100: El comportamiento de las salidas alcanzan los valo-res de referencia y estabilidad, mientras que las seales de ley de controlcorrespondientes son suaves. (Fig. 4.3 y Fig. 4.4).

3. = 0.01 y = 1000: El comportamiento de las salidas se ve reflejado porel comportamiento suave de la ley de control, con la diferencia que en estecaso dos de las tres salidas alcanzan los valores de referencia y estabilidad,mientras que la restante no logra estabilizarse, mientras que las seales deley de control correspondientes presentan estabilidad y ningn cambio ocomportamiento brusco. (Fig. 4.5 y Fig. 4.6).

4. = 0.0001 y = 1000: El comportamiento de las salidas alcanzan losvalores de referencia y estabilidad, mientras que las seales de ley de controlcorrespondientes son suaves. (Fig. 4.7 y Fig. 4.8).

Figura 4.1: Respuesta del sistema con alpha=0.001 y lamda=10.

49

Figura 4.2: Respuesta del sistema con alpha=0.001 y lamda=10.

Figura 4.3: Ley de Control con alpha=0.001 y lamda=100.

50

Figura 4.4: Ley de Control con alpha=0.001 y lamda=100.

Figura 4.5: Respuesta del sistema con alfa=0.01 y lamda=1000.

51

Figura 4.6: Ley de Control con alfa=0.01 y lamda=1000.

Figura 4.7: Respuesta del sistema con alfa=0.0001 y lamda=1000.

52

Figura 4.8: Ley de Control con alfa=0.0001 y lamda=1000.

53

Captulo 5

Conclusiones

Se realiz un estudio sobre los principios de funcionamiento de las calderas piro-tubulares como objeto de control automtico. Adems, se mostr que esta clasede calderas presentan un comportamiento dinmico difcil, con mltiples entradasy salidas, as como mltiples interrelaciones entre variables. Se concluy que lapresin del vapor en el cuerpo de la caldera constituye una de las variables msimportantes de esta clase de equipos, debido a que el control de la combustinse realiza mediante el control de la presin de vapor.

Se llev a cabo el anlisis y estudio de dos representaciones matemticas parala caldera pirotubular y se seleccion el modelo matemtico de R.D. Bell, K.J.Astrom, (1987) que describe de forma clara y concisa el comportamiento dinmi-co de las variables de proceso y los procesos que se presentan en la estructurafuncional de la caldera pirotubular, pero sobre todo el proceso de la presin devapor en el cuerpo de una caldera pirotubular.

Se presentaron los conceptos bsicos de control predictivo, as como los algorit-mos de control predictivo ms utilizados en la prctica industrial. Se fundamentla eleccin del algoritmo de control predictivo generalizado (GPC) como la es-trategia a utilizar en el control de la presin de vapor en el cuerpo de una calderapirotubular.

Se dise una ley de control GPC para la caldera pirotubular. Para hacerlo separti del modelo linealizado en un punto de operacin, que fue posteriormenteextendido mediante la adecuacin de integradores a la salida. Se recurri a unaestrategia de control multivariable PID disponible en la literatura cuyo objetivofue conseguir que el punto de operacin fuese un equilibrio estable. A partir deeste modelo extendido se dise la ley de control GPC para las salidas y entradasdel modelo original.

54

Se exploraron diversos factores de ponderacin en el criterio de optimizacin delalgoritmo GPC y se encontr una combinacin que funcionaba apropiadamente.El desempeo obtenido en las simulaciones de esta ley de control GPC fue muybueno, pues consigui regular apropiadamente todas las salidas a sus valores de-seados.

Se resolvi un problema ms ambicioso que el planteado originalmente, pues seregul adems de la presin de vapor en la caldera, la potencia elctrica y elnivel de agua en la caldera mediante tcnicas de control multivariable. Tambinse encontraron limitaciones de la tcnica GPC para tratar con plantas inestables,que se resolvieron en este caso con un lazo interno de control.

Como trabajo por continuar, queda pendiente la implantacin prctica de estecontrolador.

55

Referencias

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Prentice Hall, Third Edition. Astrom, K. y R. Bell (2000). Drum-boiler dynamics. Automatica 36, 363378. Basu, P. (1999). Boilers and burners: Design and theory. Springer - Verlag Inc. Camacho, E. F. (1995). Model predictive control in the process industry. Springer - Verlag. Camacho, E. F. y C. Bordons (1995). Model predictive control in the process industry. Springer

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57

Apndice A

Ley de Control

Control de la presin de vapor en la caldera.

u1(t) =

0,000000000017873w1(t+ 1) + 0,000000000000013w2(t+ 1)+0,000000025300088w3(t+ 1) 0,000000000000003w1(t+ 2)0,000000000009050w2(t+ 2) + 0,000000051199993w3(t+ 2)0,000000000226474w1(t+ 3) + 0,000000000000353w2(t+ 3)+0,000000025301336w3(t+ 3) 0,000000000000005w1(t+ 4)0,000000000044686w2(t+ 4) + 0,000000051199999w3(t+ 4)0,000000000690519w1(t+ 5) + 0,000000000001771w2(t+ 5)+0,000000025304361w3(t+ 5) 0,000000000000005w1(t+ 6)0,000000000107525w2(t+ 6) + 0,000000051200002w3(t+ 6)0,000000001381713w1(t+ 7) + 0,000000000004999w2(t+ 7)

+0,000000025309261w3(t+ 7) 0,000000000000000w1(t+ 8)0,000000000196368w2(t+ 8) + 0,000000051200025w3(t+ 8)0,000000002274116w1(t+ 9) + 0,000000000010649w2(t+ 9)+0,000000025316142w3(t+ 9) + 0,000000000000006w1(t+ 10)

0,000000000310070w2(t+ 10) + 0,000000051200057w3(t+ 10)0,000000003343977w1(t+ 11) + 0,000000000019223w2(t+ 11)+0,000000025325045w3(t+ 11) + 0,000000000000013w1(t+ 12)

0,000000000447520w2(t+ 12) + 0,000000051200086w3(t+ 12)0,000000004569557w1(t+ 13) + 0,000000000031130w2(t+ 13)+0,000000025336026w3(t+ 13) + 0,000000000000020w1(t+ 14)

58

0,000000000607653w2(t+ 14) + 0,000000051200110w3(t+ 14)0,000000005930986w1(t+ 15) + 0,000000000046691w2(t+ 15)+0,000000025349128w3(t+ 15) + 0,000000000000029w1(t+ 16)

0,000000000789441w2(t+ 16) + 0,000000051200131w3(t+ 16)0,000000007410114w1(t+ 17) + 0,000000000066152w2(t+ 17)+0,000000025364384w3(t+ 17) + 0,000000000000038w1(t+ 18)

0,000000000991895w2(t+ 18) + 0,000000051200150w3(t+ 18)0,000000008990385w1(t+ 19) + 0,000000000089691w2(t+ 19)+0,000000025381816w3(t+ 19) + 0,000000000000048w1(t+ 20)

0,000000001214062w2(t+ 20) + 0,000000051200165w3(t+ 20)0,000000010656709w1(t+ 21) + 0,000000000117426w2(t+ 21)+0,000000025401441w3(t+ 21) + 0,000000000000059w1(t+ 22)

0,000000001455027w2(t+ 22) + 0,000000051200179w3(t+ 22)0,000000012395356w1(t+ 23) + 0,000000000149423w2(t+ 23)+0,000000025423265w3(t+ 23) + 0,000000000000070w1(t+ 24)

0,000000001713905w2(t+ 24) + 0,000000051200190w3(t+ 24)0,000000014193843w1(t+ 25) + 0,000000000185700w2(t+ 25)+0,000000025447288w3(t+ 25) 0,000000356256613u1(t 1)+0,000001106168829u1(t 2) + 0,000003127257753u1(t 3)+0,000003631154994u1(t 4) + 0,000003383189899u1(t 5)+0,000003132257478u1(t 6) + 0,000002903897445u1(t 7)+0,000002697439527u1(t 8) + 0,000002511964929u1(t 9)+0,000002346898771u1(t 10) + 0,000002201304759u1(t 11)+0,000002074318032u1(t 12) + 0,000001964883771u1(t 13)0,023249695328200u2(t 1) + 0,099182982831684u2(t 2)0,1714385631