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Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles
“ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLADORES SÍSMICOS MEDIANTE PROCEDIMIENTOS
SIMPLIFICADOS.”
Tesis para optar al Título de
Ingeniero Civil en Obras Civiles.
Profesor Patrocinante:
Sr. José Soto Miranda.
Ingeniero Civil.
M. Sc. Eng. Civil.
Profesor Informante:
Sr. Hernán Arnés Valencia
Ingeniero Civil
Profesor Informante:
Sr. Pablo Oyarzún Higuera.
Ingeniero Civil.
MARCELO ANDRÉS SAAVEDRA QUEZADA. VALDIVIA - CHILE
2005
AGRADECIMIENTOS En primer lugar quisiera agradecer a Dios, quien siempre ha estado conmigo en
las diversas dificultades que se me presentaron durante el camino de mi formación
profesional.
Agradecerle a mi familia quien me ha acompañado en todo momento, parte de
este esfuerzo se lo debo a ellos. A mi padre Fernando por transmitirme su experiencia,
a mi madre Eufemia por el amor y comprensión que me ha entregado y ha mis
hermanos Héctor y Cecilia por todo el apoyo y ayuda que me brindaron.
Como olvidarme de mis amigos que siempre me apoyaron y acompañaron.
También ha ellos le debo parte de este logro, en especial a Yerty.
INDICE Capítulo Página Simbología
Resumen
1. Introducción.
2. Análisis de Edificios con Aisladores Sísmicos.
2.1. Antecedentes Generales.
2.2. Principios de Aislación Sísmica.
2.3. Teoría de Aislación Sísmica.
2.3.1 Teoría Lineal.
2.4. Modelos que Representan el Comportamiento Dinámico de la
Aislación Sísmica.
2.4.1 Modelo Lineal.
2.4.2 Modelo No Lineal.
2.4.2.1 Modelo Bilineal.
2.4.2.2 Modelo Histerético de Wen.
3. Modelo Dinámico para Edificios con Aisladores Sísmico.
3.1. Generalidades.
3.2. Ecuaciones de Movimientos para Definir el Comportamiento
del Sistema.
3.3. Ecuación de Movimiento del Aislador como Sistema Lineal.
3.4. Ecuación de Movimiento del Aislador como Sistema No
Lineal.
4. Métodos Aproximados para el Cálculo de Frecuencias y Modos de
Vibrar.
4.1. Introducción.
4.2. Métodos Aproximados.
4.2.1. Método Aproximado de Rayleigh-Ritz.
4.2.1.1 Método de Aproximación de Vectores Ritz
Dependiente de Cargas Externas.
4.2.2. Método Aproximado de Polinomios Ortogonales basado en
el método de Cruz y Chopra.
4.2.3. Estimación de la Matriz de Rigidez de Edificios con Muros de
Corte.
4.3. Estimador del Error.
1
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3
3
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5. Resolución del Sistema de Ecuaciones Diferenciales asociado al Modelo
Dinámico.
5.1. Generalidades.
5.2. Respuesta de Modelos Dinámicos mediante el uso de Ecuación de
Estado.
5.2.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales.
5.2.2 Conceptos de Ecuación Estado de un Sistema Dinámico.
5.2.3 Métodos Numéricos.
5.2.3.1 Método de Runge – Kutta de cuarto orden.
5.3. Solución del modelo Dinámico considerando el Aislador de
Comportamiento Lineal.
5.3.1 Obtención de la Ecuación de Estado para el Modelo
Matemático Edificio más Aislador.
5.4. Solución del Modelo Dinámico considerando el Aislador de
Comportamiento No Lineal.
5.4.1 Obtención de la Ecuación de Estado para el Modelo
Matemático Edificio más Aislador.
6. Presentación y Metodología de Análisis de los Modelos Estructurales.
6.1. Características:
6.1.1 Estructuración.
6.1.2 Propiedades Mecánicas H.A.
6.1.3 Masa Sísmica.
6.1.4 Modelación y Análisis.
6.2. Modelos Estructurales:
6.2.1 Edificio Nº1.
6.2.1.1 Parámetros del Edificio.
6.2.1.2 Parámetros de los Aisladores Sísmicos.
6.2.2 Edificio Nº 2.
6.2.2.1 Parámetros del Edificio.
6.2.2.2 Parámetros de los Aisladores Sísmicos.
6.3. Metodología de Análisis.
6.3.1 Análisis de Modelos Estructurales con base Fija.
6.3.2 Análisis de modelos Estructurales con Aislación Basal.
6.3.2.1 Solicitaciones Sísmicas.
6.3.2.2 Tipo de Análisis.
7. Presentación y Comparación de los Resultados.
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7.1. Resultados Análisis Dinámico Edificio con Base Fija.
7.1.1 Modo Fundamental y Frecuencia Fundamental Edificio Nº1.
7.1.2 Modo Fundamental y Frecuencia Fundamental Edificio Nº2.
7.2. Resultados Análisis de Respuesta en el Tiempo Edificios con Base
Aislada.
7.2.1 Edificio Nº1.
7.2.2 Edificio Nº2.
7.3. Resultados Análisis de Respuesta en el Tiempo Edificios con Base
Aislada con Parámetros Dinámicos Aproximados.
8. Comentarios y Conclusiones Finales del Estudio.
Bibliografía.
Anexos
Anexo A Análisis Modelo dinámico de edificio de dos grados de libertad
con Aislación basal.
Anexo B Programas en lenguaje Matlab de Análisis de Modelo Dinámico
de Edificios con Base Fija mediante Métodos Aproximados.
Anexo C Programa en lenguaje Matlab de Método Simplificado de Análisis
de Edificios con Aisladores Sísmicos.
Anexo D Resultados análisis de respuesta en el tiempo Edificios con Base
Aislada considerando Parámetros Dinámicos Aproximados.
Anexo E Resultados Tabulados de Análisis de Respuesta en el Tiempo
Edificios con base aislada.
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SIMBOLOGÍA
bc : Amortiguamiento equivalente de la base aislada
sc : Amortiguamiento del sistema
bm : Masa de la base del edificio
sm : Masa de sistema
bu : Desplazamiento absoluto de la base aislada
su : Desplazamiento absoluto del sistema
bv : Desplazamiento relativo de la base aislada
sv : Desplazamiento relativo del sistema
bk : Rigidez de la base aislada
sk : Rigidez del sistema
χ : Cuociente de masa total
bω : Frecuencia de la base del edificio
sω : Frecuencia del sistema
bq : Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio
q : Vector de desplazamiento de piso relativo a la base del edificio
bm : Masa de la base del edificio
m : Masa total del edificio
M : Matriz de masa del edificio C : Matriz de amortiguamiento
K : Matriz de rigidez del edificio
r : Vector que acopla cada grado de libertad al movimiento del suelo
iφ : Modo de vibración
iy : Amplitud modal
iβ : Factor de amortiguamiento del edificio
bβ : Factor de amortiguamiento de la base aislada
iL : Factor de participación modal
iM : Masa modal efectiva
ik : Rigidez Inicial asociada a la reacción del aislador frente a cargas de baja
magnitud
fk : Rigidez post-fluencia asociada a la reacción del aislador frente a las
cargas más altas del ciclo.
Qd : Fuerza correspondiente a deformación nula.
yf : Carga de fluencia
yδ : Desplazamiento de fluencia
Z : Variable histerética A : Factor de escala general. α : Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal. β : Determinan la forma de la curva. γ : Determinan la forma de la curva. n : Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y la no lineal.
{ }ψ : Vectores Ritz
s : Vector de carga externa
jh : Altura del piso j sobre la base
H : Altura total del edificio ρ : Razón de rigidez de la estructura δ : Parámetro que se ha correlacionado con el tipo de estructura y
relacionado con la razón de rigidez de la estructura
2H : Parámetro que se obtiene producto de aplicar la propiedad de
ortogonalidad de los modos de vibrar.
ijα : Relación de flexibilidad donde se obtiene cada término de la matriz de
flexibilidad
F : Matriz de flexibilidad x : Variable dependiente t : Variable independiente a : Extremo inicial del intervalo b : Extremo final del intervalo
h t= ∆ : Tamaño de paso N : Numero de intervalos o de pasos
nαα ,....,1 : Condiciones iniciales
jw : Aproximaciones a jx
RESUMEN
Se presenta un estudio donde se valida un procedimiento simplificado para el
análisis de edificios con aisladores sísmicos, en el cual se considera la respuesta
sísmica de edificios de varios pisos con aisladores sísmicos, con un grado de libertad
por planta. Se analiza la respuesta del sistema asumiendo que el edificio tiene un
comportamiento elástico lineal y que el aislador puede ser simulado por un modelo
lineal y no lineal.
En este procedimiento de análisis simplificado se debe estimar el modo
fundamental de vibración y la frecuencia natural del edificio con base fija. Para efectos
de validez del método simplificado se calculan estos parámetros dinámicos en forma
exacta, pero además se estudia la influencia de ellos en el modelo con aislamiento
basal considerando su cálculo mediante métodos aproximados.
Una vez establecidas las ecuaciones de equilibrio dinámico al modelo estructural
(Edificio + Aislador), donde se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales
acopladas, el cual representa el comportamiento dinámico del modelo en estudio. Se
procede a solucionar este sistema, por lo cual, se utiliza los conceptos de ecuación de
estado y la aplicación de métodos de aproximación numérica mediante un algoritmo
computacional que se desarrolla en la herramienta de cálculo MATLAB, así en
definitiva, se obtiene la respuesta de la estructura en el tiempo para un registro sísmico
de aceleración.
El análisis sísmico se realiza sobre 2 tipologías de edificios estructuradas en
base a muros de corte de 4 y 10 pisos de altura. Se obtienen las respuestas dinámicas
(amplitudes modales, desplazamiento de la base y de todos los niveles) de las
estructuras planteadas para 5 registros sísmicos. Se compara esta respuesta
aproximada con la obtenida por el programa ETABS Nonlinear.
El modelo se validó, debido a que las diferencias de los resultados entre ambos
programas no son significativas, esto es porque no se pierde el orden de magnitud en
relación a los resultados exactos. Por lo tanto, es factible usar este procedimiento
simplificado de análisis de edificios con aisladores sísmicos para etapas de prediseño
donde se controlan y verifican los resultados exactos.
SUMMARY
A study is presented where a simplified procedure is proved for the analysis of
seismic isolator building, where the seismic response of building is considered which
contains a large amount of stories with bases seismic isolators, with a grade of freedom
in each floor plant. It’s analyzed the response of the system assuming that the building
has a lineal elastic behaviour and that the isolator can be simulated through a lineal and
nonlinear method.
In this procedure of simplified analysis the fundamental mode of vibration must be
estimated and the natural frequency of the permanent base building, to the effects of the
simplified method’s validity, are calculated these dynamic parameters in a precise way,
besides is studied the influence of them in the model with basal isolation considering its
calculus through approximate methods.
Established once the dynamic balance equations to the structural model
(building+isolator), where a system of differential couples equations are obtained, which
represents the dynamic behaviour of the model in this study. It is conducted to solute
this system, using the concepts of state equation and the application of approximation
methods, through a computational algorithm that is developed in the calculus tools
MATLAB, that way, the response of the time structure is obtained for a seismic registry
of acceleration.
The seismic analysis it is made based on 2 typologies of de building structures on
a base on 4 and 10 stories high. It’s obtained the dynamic responses (nodular
amplitudes, movement on the base and all levels) of the planed structures for 5 seismic
registries. It’s compared this approximate response with the exact one obtained by the
program ETABS Nonlinear.
The model is proved, produced to that, of the results the difference between both
program are not meaningful, these is because the magnitude order is not disturbed in
relation with the exact results. Thereby, it is feasible to use these simplified procedure of
analysis of seismic isolator building for the stages of pre design where is controlled and
verified the precise results.
1
CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN 1.1 PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
La complejidad de los problemas a los que se enfrenta un ingeniero en relación a
infraestructura civil y sobre todo a la consideración de acciones provenientes de
desastres naturales como los sismos, hace que muchas veces la única vía de estudio
sea la simulación computacional. Existe en la actualidad un gran número de programas
computacionales que ayudan a realizar esas simulaciones; sin embargo, se trata
principalmente de programas de producción que implican un manejo exhaustivo y a
veces dificultoso del proceso de modelación y análisis, especialmente para el
profesional que no cuenta con mucha experiencia, por lo cual existe incertidumbre al
momento de analizar la gran cantidad de información que entregan. Esto nos lleva a
pensar que existe la posibilidad de solucionar esta problemática mediante un modelo
teórico confiable, que debe estar apoyado fuertemente por los conceptos físicos del
problema y que además sea simple en su ejecución. Es decir, que a través del
ingreso de pocos datos, pero muy seleccionados, resultantes de la obligación de
simplificar y "conceptualizar" el análisis del edificio, se resuelva en forma rápida y
aproximada la problemática sísmica.
Por lo anterior, el análisis simplificado es de fundamental importancia en etapas
preliminares del diseño, como punto de partida del análisis detallado y como referencia
para la interpretación global de dicho análisis. Una gran discordancia entre resultados
del calculo aproximado y del “exacto” que no pueda justificarse, suele ser el síntoma
que permite detectar errores, por lo mismo, es importante contar con métodos simples
y eficientes que permitan conocer en forma fácil la respuesta que tendrá un edificio
frente a solicitaciones sísmicas.
Entonces ante la necesidad de contar con herramientas asequibles a los
ingenieros, se plantea y desarrolla un procedimiento simplificado de análisis de
edificios con aisladores sísmicos. El procedimiento simplificado, considera que el
edificio de cortante de varios pisos aislado en la base, con un grado de libertad por
planta y que se encuentra solicitado por una aceleración basal, responde como una
estructura prácticamente rígida, registrándose los máximos desplazamientos en la
base del edificio. Por lo tanto, como una aproximación adecuada y asumiendo que el
edificio tiene un comportamiento elástico lineal, el edificio vibra en el primer modo (i=1)
y el aislador puede ser simulado por un modelo lineal (NAEIM y KELLY, 1999) y no
lineal (WEN, 1976).
2
En el procedimiento de análisis simplificado se debe estimar el modo
fundamental de vibración y la frecuencia natural del edificio con base fija. Para efectos
de validar nuestro método simplificado se calcularán estos parámetros dinámicos en
forma exacta, pero además se estudia la influencia de ellos en el modelo con aislación
basal considerando su cálculo mediante métodos aproximados. Como los que se
proponen en los trabajos realizados por E. Cruz y A. Chopra (CRUZ y CHOPRA,1985).
los cuales plantean aproximaciones polinómicas de los modos de vibrar de edificios de
base fija y el método de Rayleigh-Ritz (CHOPRA, A. 2001) que permite encontrar
algunos modos de vibrar de edificios de un gran numero de grados de libertad,
realizando una reducción de estos grados, para luego resolver el problema de valores
característicos ya conocido, pero de un orden muy inferior.
Posteriormente se establecen las ecuaciones de equilibrio dinámico al modelo
estructural (Edificio + Aislador), donde se obtendrá un sistema de ecuaciones
diferenciales acopladas para los dos casos de comportamiento del aislador (lineal y no
lineal) las cuales representarán el comportamiento dinámico del sistema en estudio.
Para solucionar este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se utilizarán los
conceptos de ecuación de estado y la aplicación de métodos de aproximación numérica
mediante un algoritmo computacional que se desarrollará en la herramienta de cálculo
MATLAB, así, en definitiva, se obtendrá la respuesta aproximada de la estructura en el
tiempo para un registro sísmico de aceleración.
1.2 OBJETIVO
Por lo anterior, el objetivo principal de esta memoria de titulo es validar un
procedimiento simplificado de análisis sísmico de estructuras con aislación sísmica
basal de comportamiento lineal y no lineal. Los buenos resultados que se obtengan
permitirán realizar un buen prediseño y verificar el comportamiento de este tipo de
estructuras, con el fin obtener diseños más eficientes y seguros.
1.3 METODOLOGÍA
Se realizará un análisis sísmico plano sobre 2 tipologías de edificios
estructuradas en base a muros de corte de 4 y 10 pisos de altura. Se obtendrán las
respuestas dinámicas (amplitudes modales, desplazamiento de la base y de todo los
niveles) de las estructuras planteadas para 5 registros sísmicos.
Luego de obtenida la respuesta sísmica correspondiente, se procederá a validar
este procedimiento realizando una comparación de los resultados obtenidos con los
resultados proporcionados por el programa ETABS Nonlinear.
3
CAPÍTULO II: ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLADORES SÍSMICOS. 2.1 ANTECEDENTES GENERALES
El aislamiento sísmico es una técnica de diseño sismorresistente que consiste
en introducir un elemento de apoyo de alta flexibilidad o baja resistencia que
independiza a la estructura del movimiento que se propaga por el suelo donde ésta se
funda. Los aisladores reducen notablemente la rigidez del sistema estructural, haciendo
que el periodo fundamental de la estructura aislada sea mucho mayor que el de la
misma estructura con base fija.
Numerosos estudios teóricos, análisis numéricos y ensayos de laboratorio
demuestran el excelente comportamiento que puede lograr este sistema de la
protección de estructuras sometidas a eventos sísmicos moderados y severos.
Entonces, es Importante destacar que el análisis dinámico de estos sistemas juega un
rol fundamental en la evolución del desempeño deseado por el diseñador.
En este capitulo se presentan las bases fundamentales para el estudio del
comportamiento sísmico de estructuras con aislación basal de comportamiento lineal y
no lineal.
2.2 PRINCIPIOS DE LA AISLACIÓN SÍSMICA
Los principios en los cuales se basa el funcionamiento de la aislación sísmica
son dos: En primer lugar, la flexibilización del sistema estructural o alargamiento del
período, y en segundo lugar, el aumento del amortiguamiento.
La flexibilización o alargamiento del período fundamental de la estructura se logra
a través de la introducción de un piso blando entre el suelo de fundación y la
superestructura. Intuitivamente se reconoce que la rigidez lateral de este piso blando es
mucho menor que la rigidez lateral de la superestructura, el sistema tenderá a
deformarse sólo en la interfase de aislación, trasmitiendo bajos esfuerzos cortantes a la
superestructura la que sufre un movimiento de bloque rígido, por ende sin deformación
ni daño durante la respuesta sísmica. Por este motivo, el aislamiento de base es más
recomendable en estructuras rígidas sobre terrenos firmes.
El aumento del amortiguamiento viene dado principalmente por el sistema de
aislación utilizado. Este aumento de amortiguamiento busca reducir la demanda de
deformaciones sobre el sistema de aislación y la superestructura sin producir un
aumento sobre las aceleraciones de esta última (DE LA LLERA, 1998).
Como se muestra en la figura 2.2-1, el hecho de implementar aisladores
sísmicos en la base hace ventajoso el comportamiento de la estructura debido a que
evita los efectos más dañinos que se pueden producir en la estructura a causa de los
esfuerzos resultantes de los desplazamientos relativos entre pisos.
Figura 2.2-1 Comportamiento de una estructura de base fija y otra con base aislada.
2.3 TEORÍA DE LA AISLACIÓN SÍSMICA
4
Según los estudios realizados por Molinares y Barbad (BOZZO, 1996), la teoría
lineal de aislación basal (NAEIM y KELLY, 1999) se puede utilizar como una
herramienta efectiva al momento de analizar edificios con aisladores sísmicos, sobre
todo en etapas de prediseño, debido a los supuestos que considera y que simplifican el
problema. Entonces, para efectos de validar esta teoría lineal mediante el uso de un
procedimiento simplificado, se considera el estudio de un modelo de un edificio de un
piso con aisladores sísmicos de comportamiento lineal y no lineal. La idea es obtener
la respuesta del sistema en tiempo discreto ante una solicitación sísmica. Por lo
anterior, en esta sección se presentan las ecuaciones a solucionar que representan a
la teoría lineal de aislación basal.
2.3.1 Teoría Lineal
La teoría lineal se representa mediante un modelo estructural de dos grados de
libertad tal como se muestra en la figura 2.3.1-1. Donde representa a la masa de
superestructura del edificio y a la masa de la base del edificio. La rigidez y el
amortiguamiento de la estructura están representadas por , y la rigidez y el
amortiguamiento del aislador por , (NAEIM y KELLY, 1999).
sm
bm
sk sc
bk bc
Figura 2.3.1-1 Esquema de un sistema con aislación basal de dos grados de libertad
Los desplazamientos absolutos de las dos masas son y , pero es
conveniente usar desplazamientos relativos, los cuales quedan definidos por:
su bu
gbb uuv −= bss uuv −=
donde es el movimiento del suelo. Luego en términos de estos desplazamientos las
ecuaciones de equilibrio dinámico del modelo de dos grados de libertad son:
gu
• Para la masa “ ”: sm
0)(....
=−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ bssbssss uukuucum
.. .. . ..
s b ss s s s s sm v m v c v k v m u+ + + = − g
g
(2. 3. 1-1)
• Para la masa “ ”: bm
.. .. .
s b bs b b b bm u m u c v k v+ + + = 0
(2. 3. 1-2) ( ).. .. . ..
( )b s bs b s b b b s bm m v m v c v k v m m u+ + + + = − +
5
Las ecuaciones de equilibrio dinámico en forma matricial:
(2. 3. 1-3) gss
s
s
b
s
b
s
b
s
b
s
b
ss
s ummmM
vv
kk
vv
cc
vv
mmmM ..
.
.
..
..
01
00
00
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Donde:
b sM m m= +
Se asume los siguientes órdenes de magnitud de los parámetros estructurales:
1) < , pero del mismo orden de magnitud bm sm
2) s
ss m
k=ω >>
Mkb
b =ω
3) Se define s
b
ωω
ε = y se asume que es del orden de magnitud de 10-2
4) b
bb M
cω
β2
= y sS
s
cm
βω
=2
son del mismo orden de magnitud de ε
Donde:
s s
s b
m mm m M
χ = =+
Cuociente de masa total (2. 3. 1-4)
Mkb
b =ω s
ss m
k=ω Frecuencias nominales (2. 3. 1-5)
b
bb M
cω
β2
= sS
s
cm
βω
=2
Factores de amortiguamiento (2. 3. 1-6)
En términos de estas expresiones, en definitiva las ecuaciones de movimiento son:
.. .. . ..
22b bb b b bsv v v v uχ ω β ω g+ + + = − (2. 3.1-7a)
gsssssbs uvvvv..
2.....
2 −=+++ ωβω (2. 3.1-7b)
La solución de este sistema de ecuaciones se obtiene realizando un análisis
modal suponiendo un problema de vibraciones libres sin amortiguamiento.
La ecuación característica para la frecuencia es:
4 2 2 2 2 2(1 ) ( ) 0s b b sχ ω ω ω ω ω ω− − + + = (2. 3.1-8)
6
Cuya solución es:
( ) ( )1
2 22 2 2 2 2 21
1 42 1 b s b s b sω ω ω ω ω γω ω
χ2⎧ ⎫⎡ ⎤= + − − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦− ⎩ ⎭
( ) ( )
12 22 2 2 2 2 2
21 4
2 1 b s b s b sω ω ω ω ω γω ωχ
2⎧ ⎫⎡ ⎤= + + − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦− ⎩ ⎭ (2. 3.1-9)
El primer orden en ε (aplicando La formula del binomio) se tiene que:
( )2 21 1bω ω χ= − ε (
222 1
1sω )ω χεχ
= +−
(2. 3.1-10)
y sus formas modales respectivas
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=ε
φ11 ( )
2
11 1 1
φχ ε
χ
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬− − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
(2. 3.1-11)
Las expresiones para los desplazamientos originales en coordenadas modales son: 2
21
1 bbb qqv φφ += (2. 3.1-12) 22
11 sss qqv φφ +=
Donde , son los desplazamientos dependientes del tiempo, si la excitación
del movimiento de la base, , es conocida, luego las componentes nodales según
Kelly (NAEIM y KELLY, 1999):
)(1 tq )(2 tq
)(..
tu g
( ) 1 1..
11 0
1
sin( )t
gLq u t e ω β τ
1 dτ ωτ τω
−= −∫ (2. 3. 1-13a)
( ) 2 2..
22 0
2
sin( )t
gLq u t e ω β τ
2 dτ ω τ τω
−= − −∫ (2. 3. 1-13b)
Remplazando las componentes , y los modos de vibrar en (2.3.1-12), se
obtiene la respuesta relativas y del sistema de dos grados de libertad en tiempo
continuo para una excitación .
)(1 tq )(2 tq
bv sv
)(..
tu g
La respuesta aproximada en el tiempo de este modelo dinámico mediante un
procedimiento numérico simplificado se obtiene realizando un análisis en tiempo
discreto aplicando los conceptos de ecuación de estado. Para ejemplificar este tipo de
análisis, en anexo A se presenta la respuesta del modelo de un edificio de un piso con
aisladores sísmicos de comportamiento lineal y no lineal mediante un análisis plano,
frente a una excitación de tipo sinusoidal. )(..
tu g
7
2.4 MODELOS QUE REPRESENTAN EL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE LA AISLACIÓN SÍSMICA Los aisladores sísmicos requieren, en general de dispositivos que limiten los
desplazamientos máximos horizontales dentro de límites aceptables de diseño. Por este
motivo los dispositivos de comportamiento lineal concentran los limites de
deformaciones en que en que incurren mediante el amortiguamiento que proporcionan
y los dispositivos de comportamiento no lineal los controlan mediante las condiciones
de no linealidad, además del alto amortiguamiento que proporcionan. No existe
limiten claramente definidos de estos desplazamientos aunque se consideran
aceptables entre 5-40 cm. para sismos severos y hasta el doble de dichos valores para
sismos extremos.
2.4.1 Modelo Lineal
La fuerza f ejercida por el aislador en la base del edificio, se puede representar
por un amortiguamiento y un coeficiente de rigidez , este sistema lineal
equivalente permite una solución numérica simple del problema, debido a la fácil
modelación matemática del amortiguamiento. (BOZZO, 1996; ORDOÑEZ, 1996; DE LA
LLERA, 1998).
bc bk
bbbb qkqcf +=.
(2.4.1-1)
.
kb
Mb
qb
kb
cb Mb
qb
Figura 2.4.1-1 Modelos dinámicos lineales
Los dispositivos de aislación sísmica que generalmente incursionan en el rango
lineal son los elastómeros de neopreno reforzado de alto y bajo amortiguamiento figura
2.4.1-2.
8
Placas de aceropara conexión
Placas de gomaalternadas conplacas de acero
Placas de aceropara conexión
Placas de goma
alternadas conplacas de acero
con aditivos
Figura 2.4.1-2 Esquema de aisladores elastómericos de bajo y alto amortiguamiento
2.4.2 Modelo No Lineal
El incremento del período fundamental de un edificio lejos del período
predominante de un sismo no garantiza plenamente la protección de la estructura
debido a una posible resonancia con otras frecuencias naturales más altas. Además,
diversos terremotos no muestran un período predominante claramente definido y varios
picos espectrales pueden inducir amplificaciones dinámicas. Por estos motivos se
necesitan elastómeros con alto amortiguamiento los cuales disipen energía (BOZZO,
1996). Un sistema que considerablemente incrementa el amortiguamiento de las
conexiones es el elastómero reforzado con núcleo de plomo Figura 2.4.2-1:
para conexiónPlacas de acero
alternadas conplacas de acero
Placas de goma
Cilindro de plomo Figura 2.4.2-1 Esquema de aislador elastómero reforzado con núcleo de plomo
En lo referente a los modelos dinámicos que representan el comportamiento no
lineal de este dispositivo, existen dos que son utilizados para representar este tipo de
comportamiento Figura 2.4.2-2:
cb
kb
Mb
qb
Figura 2.4.2-2 Modelo dinámico No lineal
2.4.2.1 Modelo Bilineal
El modelo Bilineal que representa el dispositivo de elastómero con núcleo de
plomo, debido a que posee una relación constitutiva fuerza-deformación, producto de
que la goma, que es lineal, trabaja en paralelo con el plomo que tiene un
comportamiento elastoplástico. (DE LA LLERA, 1998).
9
La figura 2.4.2.1-1 muestra una relación constitutiva medida en un aislador con
corazón de plomo en que se observa claramente el comportamiento bilineal. (DE LA
LLERA, 1998). Esta relación Bilineal es tradicionalmente representada por la expresión:
δfd kQF +=
F yQ d
F
δ
K f
K i
Figura 2.4.2.1-1 Grafico F v/s δ modelo bilineal aislador
Donde:
ik = Rigidez Inicial asociada a la reacción del aislador frente a cargas de baja magnitud
fk = Una rigidez post-fluencia asociada a la reacción del aislador frente a las cargas
más altas del ciclo.
Qd = fuerza correspondiente a deformación nula.
yf = Una carga de fluencia, con su correspondiente desplazamiento de fluencia yδ .
La curva de histéresis aproximada de la figura 2.4.2.1-2 representa a un modelo
bilineal.
ki
keff
F
δ
Qd kf
DD
Figura 2.4.2.1-2 Curva de histéresis modelo bilineal
10
2.4.2.2 Modelo Histerético de Wen
El modelo histerético de Wen (BOZZO, 1996; ORDOÑEZ, 1996; WEN,1976) se
utiliza para una representación más precisa de un aislador de comportamiento no
lineal en el cual se descompone la reacción elástoplastica en una componente
directamente proporcional al desplazamiento y otra dependiente de la variable Z ,
donde la fuerza de restauración f :
( )1i b if k q k Zα α= + − (2.4.2.2-1)
donde if kk=α es un parámetro que indica el grado de no linealidad del sistema (por
ejemplo α = 1 representa un sistema lineal) y Z es un parámetro histerético que
satisface a la ecuación diferencial no lineal de primer orden (BOZZO, 1996;
ORDOÑEZ, 1996; WEN,1976):
... . 1n n
b b bz Aq q z q z zβ γ⋅ −
⎛ ⎞⎜= − +⎜⎝ ⎠
⎟⎟ (2.4.2.2-2)
Los parámetros A,α ,β ,γ , n que aparecen en la Ec. 2.4.2.2-2 son números
adimensionales que regulan cada una de las características del comportamiento del
modelo y que en definitiva, representan los diferentes tipos de reacciones no lineales
(BOZZO, 1996; ORDOÑEZ, 1996; PELDOZA, 2002; WEN, 1976):
A : Factor de escala general. α : Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal.
β , γ : Determinan la forma de la curva.
: Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y la no lineal. n
La influencia que tienen los parámetros β , γ en la variable Z se puede
visualizar al trazar la gráfica de dicha variable versus el desplazamiento, con una
solicitación externa de tipo periódica (sinusoidal a través del tiempo) que afecta a un
oscilador de un grado de libertad, en el cual se incluye la fuerza restauradora
representada por el modelo de Wen. (ORDOÑEZ, 1996; PELDOZA, 2002).
11
A modo de ejemplo en la figura 2.4.2.2-1 se puede visualizar el comportamiento
histeretico que representan los parámetros 5.0=β y 5.0=γ .
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-6 -4 -2 0 2 4 6x
z
β=0.5,γ=0.5
Figura 2.4.2.2-1 Curva histerética de Z versus x con 5.0=β y 5.0=γ
Con relación al parámetro n ∈ [ [+∞,1 este controla la suavidad de las curvas
entre la zona inicial y la de influencia, entre más alto sea el valor utilizado, más dura es
la curva de transición y mas cercano a 1 es el valor de Z , como se observa en la
figura 2.4.2.2-2 (ORDÓÑEZ, 1996; WEN, 1976). Dado lo anterior, para eliminar
completamente la porción curva, se entiende que +∞→n y que esto representa al
modelo bilinial, aunque en la práctica se ha observado que solo es suficiente tomar
valores del orden >20 (COMPUTER AND STRUCTURES .CSI, 1997). n
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4 5 6 X
Z
n=1
n=2
n=5
n=50
Figura 2.4.2.2-2 Comportamiento de la variable z con 1=A , 6.0=α , 5.0== γβ , y
distintos valores de . n 12
Con respecto a los valores más comunes de los parámetros utilizados para la
modelación de aisladores. los autores recomiendan 1=A (BOZZO, 1996; CSl, 1997;
ORDÓÑEZ, 1996). En relación a los parámetros β y γ , BOZZO (1996) propone
β = -0.54 y γ = 1.4. Para la mayoría de los autores el valor más representativo para
estimar la curva de transición es n = 1 aunque en los programas SAP2000 Nonlinear y
ETABS Nonlinear se utiliza una variante bidireccional del modelo, la cual fue propuesta
por PARK el I. (1986). y que es equivalente a la fórmula de Wen pero con n = 2 (CSI,
1997; PELDOZA, 2002).
Los Programas SAP2000 Nonlinear y ETABS Nonlinear tienen incorporado el
modelo de Wen como elemento no lineal mediante las siguientes relaciones de
equivalencia:
La relación no lineal fuerza-deformación o fuerza restauradora es:
(1 )i yf rk d r f z= + − (2.4.2.2-3)
donde :
: rigidez Inicial ik
d : deformación
yf : fuerza de fluencia
r : radio de fluencia
z : variable histeretica donde 1 1z− ≤ ≤ ,el valor inicial de z es cero y z se desarrolla
según el siguiente ecuación diferencial:
( )..
.
1 e
i
y
d zkzf
d
⎧ −⎪= ⎨⎪⎩
.
.
0
0
dz
dz
>
< (2.4.2.2-4)
Donde:
: es el parámetro de transición de la fase elástica a la inelástica ( igual a ) e n
La ecuación (2.4.2.2-4) es equivalente al modelo de Wen para , 1=A 5.0=β y
5.0=γ (Figura 2.4.2.2-1). 13
CAPÍTULO III: MODELO DINÁMICO PARA EDIFICIOS CON AISLADORES SÍSMICOS
3.1 GENERALIDADES
El Propósito de esta sección es dar a conocer el modelo matemático que se
utilizará para estudiar el comportamiento dinámico de edificios con aisladores sísmicos,
el cual se basa en la extensión de la teoría lineal para edificios de base aislada. Se
presentarán las ecuaciones dinámicas para los dos modelos que se utilizan en nuestro
estudio; edificio con aisladores de comportamiento lineal y edificio con aisladores de
comportamiento no lineal. Los modelos en estudio consideran un análisis plano del
edificio.
3.2 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA DEFINIR EL COMPORTAMIENTO DEL
SISTEMA. Se considera en esta sección el estudio de la respuesta sísmica de un edificio de
cortante de varios pisos aislado en la base, con un grado de libertad por planta, y que
se encuentra solicitado por un registro de aceleración como se indica en la Fig.3.2-1. Se
analiza la respuesta numérica de un edificio con sistema de aislamiento en su base,
considerando que la estructura tiene un comportamiento elástico lineal y que el aislador
puede ser simulado usando un modelo lineal y uno no lineal (NAEIM y KELLY,1999).
mi
Fundación
Base
Aisladormb
m1ug
qb
mn
qi
üg
Fig.3.2-1 Diagrama edificio aislado en la base y del modelo dinámico de la estructura
14
Para el modelo indicado se tiene:
gu : Excitación ó movimiento de terreno
bq : Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio
q : Vector de desplazamiento de piso relativo a la base del edificio
bm : Masa de la base del edificio
La ecuación de movimiento del edificio con respecto a la base es: .. .
( g bu q⋅⋅ ⋅⋅
= − +Mq+Cq+Kq Mr ) (3.2-1)
en que
: Matriz de masa M
: Matriz de amortiguamiento C
: Matriz de rigidez K
r : Vector que acopla cada grado de libertad al movimiento del suelo. Para
edificios de cortante, { }nx=r
11
Premultiplicando la ecuación (3.2-1) por , se puede encontrar que la
fuerza de disipación y elástica ejercida por el edificio sobre la base es:
( .... )=tr 111 1
. .
( ( )g bu q⋅⋅ ⋅⋅
= − + +t t t tr Cq+r Kq r Mr r Mq.) (3.2-2)
luego la ecuación del movimiento para la base del edificio es:
.. .. .. .. ..
( ) ( )g gb b bm u q u q f+ + + + + =tr M q r r 0 (3.2-3)
en que es la fuerza ejercida por el aislador a la base del edificio de masa (NAEIM
y KELLY, 1999). La expresión que define esta fuerza depende del tipo de aislador
usado, existiendo diferentes sistemas con sus respectivos modelos matemáticos
(sección 2.4).
f bm
Si se supone que la no linealidad se concentra sólo a nivel del aislador, la
solución general de la ecuación (3.2-1) usando superposición modal es: j
i ii
yφ=
=∑q1
(3.2-4)
15
en que
iφ : Modo de vibración
: Amplitud modal iy
j : Número de modos considerados en el análisis
luego la ecuación modal es
(3.2-5) )(2....
2...
bgiiiiiii quLyyy +−=++ ωβω
en que iω : es la frecuencia natural y está dada por:
i i iφω =M 2 φK (3.2-6)
iβ : Coeficiente de amortiguamiento
: Factor de participación modal y está dado por: iL
ti
i ti i
L φφ φ
=MrM
ti iM iφ φ= M (3.2-7)
Donde:
iM : Masa Modal efectiva:
Finalmente la ecuación del movimiento para la base del edificio se obtiene al
reemplazar (3.2-4) en (3.2-3), esto es:
.. .. .. .. ..
( ) ( )g gb ib i bm u q y u q fφ+ + + + +∑tr M r r 0= (3.2-8)
3.3 ECUACION DE MOVIMIENTO DEL AISLADOR COMO SISTEMA LINEAL En la sección 2.4.1 se mencionan las cualidades del modelo y una de las más
importantes es que este sistema permite obtener una solución numérica aproximada y
simple para los aisladores que se utilicen en la base del edificio.
cb qb
kb
Fig. 3.3-1 Modelo dinámico lineal de los aisladores de la base del edificio
16
En este modelo la expresión de la fuerza debido al amortiguamiento y rigidez del de la
base aislada es:
(3.3-1) bbbb qkqcf +=.
en que
: Amortiguamiento equivalente de la base aislada bc
: Rigidez equivalente de la base aislada bk
: Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio bq
Luego la ecuación del movimiento para la base del edificio debido a una aceleración
horizontal es:
17
b b
.. .. .. .. .. .( ) ( )g gb i bb i b bm u q y u q c q k qφ+ + + + + + =∑tr M r r 0 (3.3-2)
Desarrollando las ecuaciones (3.2-5) y (3.3-2) se llega al siguiente sistema de
ecuaciones.
(3.3-3) giiiiiiibi uLyyyqL..
2.....
2 −=+++ ωβω
gbbbbbbib
ii uqqqymm
ML ..2
.....2 −=+++
+∑ ωωβ (3.3-4)
en que
b
bb mm
k+
=ω b
bbb mm
c+
=ωβ2 .... nm m m m= = + + +tr Mr 1 2 (3.3-5)
donde:
bω : Frecuencia fundamental de la base aislada
bβ : Factor de amortiguamiento de la base aislada
: Masa total del edificio m
Según la teoría lineal de aislamiento de base, se concluye en general que el edificio
responde como una estructura prácticamente rígida, registrándose los máximos
desplazamientos en la base del edificio. Por lo tanto, como una aproximación
adecuada se puede asumir que el edificio vibra en el primer modo, obteniéndose las
siguientes expresiones (para el modo i=1)(NAEIM y KELLY,1999):
(3.3-6) gb uLyyyqL..
11211
.
111
....
1 2 −=+++ ωβω
gbbbbbbb
uqqqymm
ML ..2
...
1
..11 2 −=+++
+ωωβ (3.3-7)
Luego al resolver las ecuaciones acopladas (3.3-6) y (3.3-7), se obtienen las amplitudes
modales y el desplazamiento de la base (NAEIM y KELLY,1999). )(1 ty bq
3.4 ECUACION DE MOVIMIENTO DEL AISLADOR COMO SISTEMA NO LINEAL
Dentro de los modelos no lineales presentados en la sección 2.4.1 para
considerar fuerzas restitutivas no lineales que se presentan en el sistema, se ha elegido
incluir el modelo histerético de Wen. Dicha elección se debe a que con esta ecuación
es posible simular variadas respuestas elastoplásticas como así también bilineales o
lineales (BOZZO, 1996; ORDÓÑEZ, 1996; WEN, 1976; PELDOZA, 2002).
18
El modelo dinámico con sus componentes se indica en la figura 3.4-1
Z
kb
cb
qb
Figura 3.4.1 Modelo dinámico no lineal para los aisladores de la base del edificio
En este modelo dinámico no lineal la relación que representa al sistema está
dada por la expresión:
( ) )(1 tZkqkf bbb αα −+= (3.4-1)
en que es la componente histerética dada por la ecuación no lineal de primer
orden.
)(tZ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−= −⋅
.
1...
ZZqZqqAZ nb
nbb γβ (3.4-2)
en que
: Rigidez equivalente de la base aislada bk
: Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio bq
bc : Amortiguamiento equivalente de la base aislada
nA ,,,, γβα son parámetros adimensionales de la ecuación de Wen:
: Factor de escala general A
α : Razón de proporción entre la fuerza lineal y la no lineal, factor de
endurecimiento
γβ , : Determinan la forma de la curva.
n : Número entero que controla la suavidad de la transición de la fase lineal a la
fase inelástica
Luego la ecuación del movimiento para la base del edificio debido a una aceleración
horizontal es:
( ).. .. .. .. .. .
( ) ( ) ( )g gb i b b bb i b bm u q y u q c q k q k Z tφ α α+ + + + + + + − =∑tr M r r 1 b 0 (3.4-3)
Asumiendo que la estructura vibra en el primer modo, se obtienen finalmente las
siguientes expresiones para el sistema dinámico:
gb uLyyyqL..
11211
.
111
....
1 2 −=+++ ωβω (3.4-4)
( )....
11122
...12 g
bbbbbbbb uy
mmML
Zqqq −=+
+−+++ ωααωωβ (3.4-5)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−= −⋅
.
1...
ZZqZqqAZ nb
nbb γβ (3.4-6)
Para α = 1 tenemos el modelo lineal planteado con anterioridad
19
CAPÍTULO IV: MÉTODOS APROXIMADOS PARA EL CÁLCULO DE FRECUENCIA Y MODO DE VIBRAR FUNDAMENTAL 4.1 INTRODUCCIÓN
En el modelo de análisis dinámico de edificios con aisladores sísmicos se
plantea, en definitiva, un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas que se debe
solucionar, el cual considera la frecuencia y modo fundamental de vibrar del modelo con
base fija. Debido a la necesidad de contar con estos parámetros dinámicos y de
estudiar la influencia de éstos en las ecuaciones del modelo, se utilizan métodos
aproximados. Aunque la validez del modelo se obtiene con los parámetros dinámicos
exactos.
4.2 MÉTODOS APROXIMADOS
El análisis sísmico de edificios mediante el método de superposición modal
requiere la obtención de los modos normales de vibrar a partir del problema de valores
propios
φ ω=K M2 φ (4.2-1)
La dificultad que se presenta al resolver esta ecuación para sistemas
estructurales de gran envergadura es la cantidad de operaciones numéricas
involucradas, lo que hace computacionalmente costoso determinar los valores y
vectores propios.
Los métodos aproximados son particularmente útiles para un modelo
determinado de estructuras que presentan ciertas características propias. De acuerdo a
estas características que simplifican el trabajo, se pueden obtener resultados más
eficientes y no tan engorrosos al momento de interpretar el comportamiento dinámico
de la estructura.
El edificio debe cumplir con las siguientes características:
• que toda la masa de la estructura esté concentrada al nivel de los pisos.
• que la deformación de la estructura sea independiente de las fuerzas axiales
presentes en las columnas.
20
La primera condición transforma el problema de un sistema con un número
infinito de grados de libertad (debido a la masa uniformemente distribuida), a un
sistema que tiene solamente tantos grados de libertad como números de masa
concentradas a nivel de los pisos. La segunda condición establece que las vigas en los
pisos permanezcan horizontales durante el movimiento de la estructura.
4.2.1 Método Aproximado de Rayleigh-Ritz El método de Rayleigh-Ritz es un método aproximado para obtener frecuencias
modales y algunas formas modales de estructuras, el cual es aplicable a sistemas de
un gran número de grados de libertad. Esta es una extensión del método Rayleigh
sugerido por W. Ritz en 1909. Originalmente desarrollado para sistemas elásticos con
masa distribuida (CHOPRA, 2001). Este método consiste en reducir artificialmente el
número de grados de libertad. Se pueden elegir unas pocas configuraciones
deformadas o vectores Ritz, { }ψ , de la estructura que representen las posibilidades más
significativas de deformarse del sistema. Para que el método sea ventajoso deben
satisfacer las condiciones de apoyo. Formando una matriz con estas formas como
columnas, [ ]ψ , análogamente a la matriz modal, se puede efectuar la transformación.
{ } [ ]{ }u ψ= B (4.2.1-1)
y calcular los valores máximos de las energías potenciales y cinemática durante la
vibración libre, similarmente a los métodos para sistemas de un grado de libertad :
{ } [ ] [ ][ ]{ } { } { }^
max1 1. .2 2
TT TE P B K B B K Bψ ψ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦
{ } [ ] [ ][ ]{ } { } { }^
2 2max
1 1. .2 2
TTE C w Z M B B M Bψ ψ ω ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦T
=
(4.2.1 -2)
Igualando estas cantidades y aplicando el principio de Rayleigh que establece que el
valor de la frecuencia es estacionario para pequeñas variaciones de las coordenadas
modales, , entorno a los valores normales, resulta un problema de valores
característicos similar a (4.2.-1) pero de un orden inferior:
{ }Z
{ } { }^ ^K M Bω⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
2 0 (4.2.1-3)
21
Resolviendo este problema se obtienen los valores de las coordenadas modales
{ }nB asociadas a los modos normales correspondientes a cada frecuencia, nω .
{ } [ ]{ }n nBφ ψ= (4.2.1-4)
De esta manera, se obtiene una estimación aproximada de un número reducido
de formas modales, pero resolviendo un problema de valores característicos mucho
menor. Vale la pena notar que si la matriz de masa original era diagonal, esta propiedad
no se conserva en la reducción de tamaño del problema (RUIZ, 1974).
El suceso del método de Rayleigh-Ritz depende de cómo una buena
combinación lineal de los vectores, puede aproximar los modos naturales de vibración.
Así es importante que los vectores Ritz sean seleccionados juiciosamente (CHOPRA,
2001). Para estructuras que son complejas existe una vía para la selección de
vectores Ritz el cual se basa en un procedimiento iterativo que presentamos a
continuación:
4.2.1.1 Método de aproximación de Vectores Ritz dependiente de cargas externas
Se desea determinar los vectores Ritz apropiados para el análisis de una
estructura sujeta a fuerzas dinámicas externas:
( )p t=p(t) s (4.2.1.1-1)
La distribución espacial de las fuerzas definidas por el vector no varia con el
tiempo, y la dependencia del tiempo de todas las fuerzas es dada por la misma función
escalar . Usando el vector s , se presenta un procedimiento para generar una
secuencia de los vectores ortonormales de Ritz.
s
)(tp
El primer vector de Ritz 1ψ se define como los desplazamientos estáticos debido a las
fuerzas aplicadas . Se determina solucionando: s
=1ky s (4.2.1.1-2)
El vector 1y es normalizado con respecto a la masa total; como:
( )1 1 2ψ = 1
T1 1
y
y My (4.2.1.1-3)
22
El segundo vector de Ritz 2ψ se determina de los desplazamientos estáticos debido
a las fuerzas aplicadas dadas por la distribución de la fuerza de inercia asociada al
primer vector de Ritz
2y
1ψ . El vector 2y se obtiene de:
1ψ2κy = M (4.2.1.1-4)
El vector 2y en general contiene un componente del vector anterior, 1ψ . Puede por lo
tanto ser expresada como:
^
2 12 1aψ ψ= +2y (4.2.1.1-5)
Donde 2
^ψ es un vector que no contiene el vector anterior y 112ψa es el componente
del vector anterior presente en 2y . El vector 2
^ψ es ortogonal y por lo tanto linealmente
independiente de, 1ψ . El coeficiente es determinado premultiplicando ambos lados
la Eq.(4.2.1.1-5) Por para obtener:
12a
1Tψ M
( )^
1 2 1 12 1 12T T Ty aψ ψ ψ ψ ψ= +M M M
Observe que por definición de ^
1 2 0Tψ ψ =M 2
^ψ , y 1 1 1Tψ ψ =M de Eq. (4.2.1.1-3)
Así:
(4.2.1.1-6) 12 1T
na ψ= My
El vector 2
^ψ es determinado por:
^
2 12 1aψ ψ= −2y (4.2.1.1-7)
Donde se obtiene de Eq. (4.2.1.1-6). Finalmente, se normaliza el vector 12a 2
^ψ de
modo que sea ortonormal con respecto a la masa, obtenemos el segundo vector Ritz: ^
22 1 2
^ ^
22
T
ψψ
ψ ψ
=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
M
(4.2.1.1-8)
Generalizando este procedimiento a la obtención de n vectores de Ritz, la
secuencia de vectores jψψψ ,,........., 21 es mutuamente ortonormal con respecto a la
masa y por lo tanto satisface el requisito independencia lineal del método de Rayleigh -
Ritz.
23
El procedimiento de ortogonalización de las Eqs. (4.2.1.1-6) y (4.2.1.1-7) debe
formarse teóricamente con la ortogonalización con respecto a la masa del nuevo vector
con respecto a todos los vectores anteriores, la puesta en práctica real en la
computadora de este método puede ser dificultada por los problemas de la perdida de
ortogonalización debido a los errores numéricos de redondeo.
Para superar estas dificultades, el procedimiento se modifica de la siguiente
manera:
Después del calcular de Ec. (4.2.1.1-6), un vector mejoradoina n
^ψ se calcula de
Ec. (4.2.1.1-7), que es usado en vez de ny en Ec. (4.2.1.1-6) para calcular el siguiente
. Incluyendo esta modificación, el procedimiento para generar vectores Ritz
dependientes de cargas se resume en la tabla (4.2.1.1-1) (CHOPRA, A. 2001).
ina
TABLA 4.2.1.1-1 Generación vectores Ritz dependientes de cargas externas
________________________________________________________________
1.-Determinación del primer vector, 1ψ
a) Se obtiene resolviendo 1y =1ky s .
b) Normalizando 1y : ( )
11 1 2
1 1T
y
y yψ =
M
2.-Determinación de los vectores adicionales, nψ , .,......,3,2 jn =
a) Se obtiene resolviendo: ny 1nψ −=nky M
b) Ortogonalizando ny con respecto a los vectores 121 ,,........., −nψψψ anteriores,
repitiendo los pasos siguientes para .1,......,2,1 −= ni :
• Tin ia ψ= nMy
• ^
n in iaψ ψ= −ny
• ^
nψ=ny
c) Normalizando n
^ψ :
^
1 2^ ^
nn T
nn
ψψ
ψ ψ
=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
M
________________________________________________________________
24
4.2.2 Método Aproximado de Polinomios Ortogonales Basado en el Método de Cruz y Chopra.
E. Cruz y A. Chopra proponen un método para aproximar los modos
fundamentales de vibrar de estructuras mediante un análisis plano del edificio (CRUZ y
CHOPRA,1985). Éste se basa en los parámetros globales de la estructura y consiste en
obtener los modos mediante polinomios de aproximación, los cuales presentan el
problema de que no son ortogonales con respecto a la matriz de masa y de rigidez.
Esta falencia del método planteado por Cruz y Chopra se soluciona en estudios
posteriores obteniendo como resultado expresiones que tienen esta característica
propia de los vectores que forman la matriz de modos de vibrar en la solución de un
problema dinámico (GUTIÉRREZ, 1998).
Se considera un primer modo aproximado como:
δ
φ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Hhj
j1 j = 1, 2, 3,……n (4.2.2-1)
Donde:
: es la altura del piso j sobre la base jh
H : es la altura total del edificio.
δ es un parámetro que se ha correlacionado con el tipo de estructura y
relacionado con la razón de rigidez de la estructura ρ que es un parámetro global
definido por Newmark y que esta dado por:
∑∑
=
columnascc
vigasbb
LEI
LEI
/
/ρ (4.2.2-2)
y que representa una razón de rigideces viga-columna. Newmark, y también Cruz y
Chopra definen este parámetro en la mitad de la altura del edificio, pero también se
puede extender a todo el edificio. En el método de Cruz y Chopra, se calcula este
parámetro a través de regresiones con el modo exacto de 5 casos de edificios
modelados como marcos planos con diferentes razones de rigidez y distintas alturas
(CRUZ y CHOPRA,1985; GUTIÉRREZ, 1998). (figura 4.2.2-1).
25
Caso 1
1
2
3
5
4
Caso 2
Ic=I
mj=mEstructuras Uniformes
1
2
20
19
18
Ib=4 Iρ
Caso3 Caso 4 Caso 5
Nivel jm bI cI jm bI cI jm bI cI
5
4 3
2
1
m
m
m
m
m
Iρ2
Iρ3
Iρ4
Iρ5
Iρ6
I5.0
I75.0
I I25.1
I5.1
m5.0
m75.0
m
m25.1
m5.1
Iρ2
Iρ3
Iρ4
Iρ5
Iρ6
I5.0
I75.0
I I25.1
I5.1
m3.0
m3.0
m3.0
m
m
Iρ2.1
Iρ2.1
Iρ2.1
Iρ4
Iρ4
I3.0
I3.0
I3.0
I
I
Figura 4.2.2-1 Definición de los casos según Cruz y Chopra
De este modo es posible determinar el parámetro δ mediante la siguiente tabla:
Tabla N° 1: Valor de δ según tipo de estructura y ρ según Cruz y Chopra
Caso 0=ρ 05.0=ρ 125.0=ρ 5.0=ρ 2=ρ ∞=ρ
1
2
3
4
5
1.745
1.814
1.848
1.815
1.950
1.379
1.188
1.585
1.507
1.699
1.232
1.092
1.455
1.360
1.590
1.034
0.982
1.277
1.162
1.425
0.892
0.911
1.155
1.028
1.299
0.798
0.864
1.078
0.942
1.215
Se considera un segundo modo de vibrar de la forma:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
22 1
Hh
Hh jj
jφ (4.2.2-3)
que depende del parámetro . Como se espera que sea un modo de vibrar debe
cumplir:
2H
1 2 0tφ φ =M (4.2.2-4)
26
Dado que el modelo utilizado para el edificio es de masas concentradas en los
pisos, la matriz de masas es una matriz diagonal que tiene la masa concentrada del
piso en cada elemento de la diagonal, por lo que es una matriz fácil de calcular. es
la masa concentrada del piso
M
jm
j . De este modo la matriz M queda definida por:
M = (4.2.2-5)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
j
m
m
m
000
0001
K
O
M
MO
K
Remplazando en la ecuación (4.2.2-4) las ecuaciones (4.2.2-1) y (4.2.2-3) se
obtiene:
012
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑ Hh
Hh
Hh
m jjj
jj
δ
(4.2.2-6)
De esta ecuación se despeja el parámetro : 2H
∑
∑
=
+
+
== n
jjj
j
n
jj
hm
hmH
1
1
2
12
δ
δ
(4.2.2-7)
Este parámetro sólo depende de δ y no de H que es la altura del edificio.
Esta misma formulación se utiliza para encontrar los modos superiores, agregándose
parámetros según el modo que se trate.
Luego de obtener los modos se deben calcular las frecuencias y los periodos de
vibrar, en este caso se puede utilizar el cuociente de Rayleigh:
2 1 11
1 1
t
t
φ φωφ φ
=KM
(4.2.2-8)
4.2.3 Estimación de la Matriz de Rigidez de Edificios con Muros de Corte Para resolver el problema dinámico de edificios mediante métodos aproximados
como es el caso de los métodos de vectores Ritz (Ec. 4.2.1-3) y de Cruz y
Chopra (Ec. 4.2.2-8) planteados en la sección 4.2.1 y 4.2.2, se necesita la matriz de
rigidez lateral del edificio. Para estructuras compuestas por muros existen relaciones
de flexibilidad producto de análisis estáticos, las cuales se representan mediante la
matriz donde La matriz de rigidez se obtiene de . F K -1K = F
27
Para la figura 4.2.3-1 se obtiene cada término ijα de la matriz mediante la
siguiente relación de flexibilidad:
F
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
jii
jijij hh
Lh
hEIhh
231
2
22
α con ij hh ≤ (4.2.3-1)
L
hi
hj
Figura 4.2.3-1 Muro de n grados de Libertad 4.3 ESTIMADOR DEL ERROR
El error que utilizaremos para comparar los modos aproximados planteados en
la sección 4.2 con el modo exacto será:
( )
1́2
2
11
22
1
n
ik iki
kn
iki
xE
φ
φ
=
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
∑1,2,3k = (4.3-1)
Está expresión corresponde al cuociente de la norma euclediana del vector
error y el modo fundamental exacto . Pero, como se han normalizado todos lo modos
la norma euclediana del modo fundamental exacto será siempre igual a la unidad. De
este modo el error queda definido por:
( )1
22
1
n
k ik iki
E xφ=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 1,2,3k = (4.3-2)
28
CAPÍTULO V: RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ASOCIADO AL MODELO DINÁMICO
5.1 GENERALIDADES
En este capítulo se presentan los principales conceptos que aparecen en el
análisis dinámico, utilizando la representación del modelo mediante una ecuación
estado.
Luego de plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que representa este
modelo dinámico a ecuación de estado, el problema radica en la solución de esta
ecuación estado que en definitiva es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer
orden, para lo cual existen métodos analíticos, pero muchas veces resulta ineludible
recurrir a métodos numéricos, debido a la complejidad de alcanzar una solución exacta
y a la idea de plantear una solución simple del problema.
5.2 RESPUESTA DE MODELOS DINÁMICOS MEDIANTE EL USO DE ECUACIÓN ESTADO
5.2.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
En primer lugar, se debe transformar el sistema de ecuaciones diferenciales de
orden superior a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden para aplicar el
concepto de ecuación de estado, es decir:
Considérese una ecuación diferencial de un sistema de ecuaciones diferenciales
de orden superior:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
−
1
1
2
2
,......,,,, n
n
n
n
dxxd
dxxd
dtdxxtf
dxxd
para x ∈ [ (5.1.2-1) ]ba,
Esta ecuación diferencial ordinaria involucra a la función x y a las n primeras derivadas, puesto que la derivada n-ésima depende, según una función conocida x y las n – 1 primeras derivadas.
Para que la ecuación anterior tenga una solución única son necesarias n
condiciones adicionales sobre la función incógnita. Como sabemos, estas condiciones
adicionales se llaman condiciones iniciales si están dadas en un mismo punto del
intervalo [ ]. ba,
29
Un caso habitual de condiciones iniciales es aquel en que la función x y las n - 1 primeras derivadas tengan valores prescritos conocidos α0, α1, α2,.........,αn-1 en el extremo a del intervalo:
n
n
dtxd
dtaxd
dtadxax αααα ====
−1
3
2
21 ..;;.........)(;)(;)( (5.1.2-2)
Entonces, si se complementa la ecuación diferencial ordinaria con las
condiciones iniciales anteriores, se obtiene un problema de valor inicial. Partiendo de la
información que se tiene de la función x en el punto at = debemos integrar la
ecuación diferencial ordinaria para hallar la evolución de la función y en todo el
intervalo [ ]. ba,
Por otro lado, sabemos que una ecuación diferencial ordinaria de orden n puede
ser transformada en un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden con n funciones incógnitas. Es decir, que podemos reducir el orden de las
derivadas a costa de aumentar el número de incógnitas.
En nuestro caso, esta transformación es necesaria puesto que las técnicas
numéricas que aplicaremos están diseñadas para resolver problemas de primer orden.
La idea básica de la transformación es tratar explícitamente como funciones
incógnita a las n – 1 primeras derivadas de la función x (CHAPRA y CANALE,1988).
Esto puede expresarse como:
1
12
22
3 2
1
.n
nn n
x xdxdxx
dt dtdxd xx
dt dt
dxd xxdt dt
−
≡
≡ =
≡ =
≡ =
(5.1.2-3)
Con la ayuda de las ecuaciones anteriores la ecuación diferencial ordinaria
original puede escribirse como:
( )1 2 3d , , , ,......,d
nn
x f t x x x xt= para x ∈ [ ]ba, (5.1.2-4)
30
Queda claro que, en definitiva, solo hemos hecho un cambio de notación. Si tomamos esta última ecuación y la combinamos con las (5.2.1-3) se obtiene:
( )
12
22
3 2
1
1 2 3
:
, , , ,......,
nn
n n
nn
dx dxxdt dtdx d xxdt dt
dx d xxdt dt
dx f t x x x xdt
−
⎤= ≡ ⎥⎥⎥= ≡ ⎥⎥⎥⎥⎥= ≡⎥⎥
= ⎥⎦
con
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 0
2 1
21
3 22
-1
1-1
:
n
n nn
x a x adxx a adtd xx a adt
d xx a adt
α
α
α
α −
= = ⎤⎥⎥= =⎥⎥⎥= =⎥⎥⎥⎥
= = ⎥⎦
(5.1.2-5)
Luego de realizada la transformación en todas las ecuaciones del sistema de
EDO de orden superior, en definitiva, se obtiene un sistema EDO de primer orden y que
representa el problema de valor inicial siguiente:
),....,,,(
.
.
),...,,,(
),...,,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
xxxtfdt
dx
xxxtfdt
dx
xxxtfdtdx
=
=
=
con
non
o
o
tx
txtx
α
αα
=
==
)(...
)()(
22
11
(5.1.2-6)
La solución del sistema (5.1.2-6) son funciones derivables , , …,
tales que cuando , , ,…, se sustituyen en ,
y el resultado es igual a la derivada , ,…., ,
respectivamente (MATHEWS y KURTIS, 1999), es decir :
)(1 tx )(2 tx )(txn
t )(1 tx )(2 tx )(txn ),...,,,( 211 nxxxtf
),....,,,( 212 nxxxtf ),....,,,( 21 nn xxxtf.
1x.
2x.
nx
con
),....,,,(
.
.),...,,,(
),...,,,(
21
.
212
.
2
211
.
1
nnn
n
n
xxxtfx
xxxtfx
xxxtfx
=
=
=
non
o
o
tx
txtx
α
αα
=
==
)(...
)()(
22
11
(5.1.2-7)
31
5.2.2 Conceptos de Ecuación Estado de un Sistema Dinámico
Definiciones:
a) Variables de estado: es el conjunto de variables que determinan el estado de un
sistema . ( )nxxx ,......,, 21
b) Vector de estado: vector de “n” componentes son las variables de estado
c) Espacio de Estado: espacio n dimensional cuyos ejes coordenados representan los
valores numéricos de las variables de estado . nxxx ,....,, 21
Los modelos en espacio (figura 5.2.2-1) de estado describen el comportamiento
del sistema para cualquier conocidos el vector de estado ( condiciones
iniciales) en el instante inicial (
ott ≥ n
ott = ) y la entrada (solicitación sísmica) al sistema para
. La salida se representa por las variables de estado. ott ≥
Figura 5.2.2-1
El comportamiento ó estado se describe por un conjunto de ecuaciones
diferenciales de primer orden como lo expresa la ecuación (5.1.2-7), escritas en función
de variables de estado.
n
.
( ) ( ( ),........., ( ); ( ); )i i nx t f x t x t u t t= 1 (5.2.2-1) ni ....1=
Estas ecuaciones diferenciales se pueden representar en notación compacta
dando la siguiente ecuación diferencial vectorial del sistema.
.
( ) ( ( ), ( ), )X t f X t u t t= (5.2.2-2)
.( ) ( ) ( )X t FX t Gu t= + (5.2.2-3)
32
Donde:
33
)( 1 2 ....=tnX x x x = vector de estado del sistema ó variables de estado (nx1)
F = matriz cuadrada del sistema de orden (nxn)
G = matriz de influencia del input de orden (nx1)
( )u t = función escalar en el tiempo que representa la señal de entrada
t = variable independiente (tiempo)
El problema (5.2.2-2), en el cual se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales
y se conoce el valor inicial de la solución, se denomina "problema de Cauchy" o
"problema del valor inicial". Lo que se busca, entonces, es una solución ( )=w w t que
satisfaga la condición inicial ( ) α=o ow t .
En los problemas lineales y estacionarios siempre es posible encontrar una
expresión analítica para la solución de (5.2.2-2). Desafortunadamente no ocurre lo
mismo en el caso no-lineal, donde la mayor parte de las veces es imposible hallar la
solución de (5.2.2-2) por métodos analíticos y debe recurrirse a métodos numéricos.
Sin embargo, aún en el caso lineal, es de interés disponer de métodos que permitan
computar de manera rápida y eficiente la solución de (5.2.2-2), principalmente en
problemas de gran magnitud.
5.2.3 Métodos Numéricos
Los métodos numéricos para el estudio del comportamiento de sistemas
dinámicos han cobrado fuerza en los últimos años por varias razones. Probablemente la
más importante, es que puede accederse a computadoras altamente eficientes a un
costo cada vez más bajo, lo que permite su uso para la resolución de problemas
altamente complejos.
Una segunda razón, es que los métodos numéricos son en muchos casos la
única alternativa posible para la resolución de los frecuentes problemas no lineales
muchas veces intratables analíticamente debido a la gran complejidad que presentan.
Por otra parte, los problemas lineales continúan creciendo en magnitud, requiriendo un
mayor esfuerzo para su solución. Discutiremos aquí la solución de los sistemas de
ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO's) o ecuaciones de estado (EE) a través de la
aplicación de métodos numéricos.
Podemos encontrar una solución numérica del sistema EDO o EE (5.2.2-2) para
un sistema 2x2 en un intervalo dado ≤ ≤a t b considerando los diferenciales:
1 1 2( ( ), ( ), )=dx f x t x t t dt y 2 1 2( ( ), ( ), )=dx f x t x t t dt (5.2.3-1)
El método de Euler para resolver este problema es fácil de formular:
Sustituyendo en (5.2.3-1) los diferenciales por incrementos ( )1 11 1,+ += − = −k k kdt t t dx x x k y
obtenemos: ( ) 22 1+= − kkdx x x
( ) ( )1 1 1 2 11 1 ( , , ) ++ − ≈k k k k kk − kx x f x x t t t (5.2.3-2)
( ) ( )2 2 1 2 12 1 ( , , ) ++ − ≈ −k k k k kk kx x f x x t t t
representando la variable continua de tiempo a través de una secuencia de
puntos discretos . Estos puntos se encuentran usualmente espaciados a
intervalos iguales .
t
, 1, 2,.......,=kt k n
h
Dividiendo el intervalo en N subintervalos de anchura ( )h b a N= − y usando en
(5.2.3-2) los puntos como nodos, obtenemos las fórmulas recursivas del
método de Euler
1+ = +k kt t h
h
)k
1+ = +k kt t
( ) (1 1 21 1 , ,+ = +k k kkx x hf t x x (5.2.3-3)
( ) ( )2 1 22 1 , ,+ = +k k kk kx x hf t x x para 0,1,....... 1k N= −
Para conseguir un grado de precisión razonable para sistemas de ecuaciones
lineales y no lineales y de mayor dimensión, es necesario utilizar métodos orden mayor
como los de Runge-Kutta (MATHEWS y KURTIS, 1999).
5.2.3.1 Método de Runge – Kutta de Cuarto Orden
De las infinitas versiones de los métodos de Runge – Kutta el de cuarto orden es
el más utilizado. Partiendo de la ecuación general y haciendo n = 4 tenemos:
( ) hkakakakaxx 44332211i1i ⋅⋅+⋅+⋅+⋅+=+ (5.2.3.1-1)
34
Como resultado de un desarrollo algebraico usando la serie de Taylor se llega a
un número de ecuaciones inferior a la cantidad de incógnitas por lo que deben
especificarse con antelación los valores de algunas de ellas con el fin de establecer
todos los parámetros restantes.
La forma de uso más común, de todas las infinitas posibilidades, es la que se
denomina método de Runge – Kutta clásico de cuarto orden (CHAPRA y CANALE,
1988). La expresión resultante es:
( hkkkkxx 22 61 4321i1i ⋅+⋅+⋅+⋅+=+ ) (5.2.3.1-2)
Donde: ( )
( )hkxhtfk
hkxhtfk
hkxhtfk
xtfk
⋅++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅+=
=
3ii4
2ii3
1ii2
ii1
,21,
21
21,
21
,
(5.2.3.1-3 a-d)
Observe que el método RK de cuarto orden se puede aplicar a sistemas de ecuaciones
diferenciales de tal manera que (BURDEN R.; J. D. FAIRES. 1998):
( ) 22 6
4,,3,2,11 jjjjjj kkkkhxx +⋅+⋅+⋅+=+ con nj ,....,2,1=
( )
( )nnjj
nnjj
nnjj
njj
kxkxkxhtfk
kx
kxkxhtfk
kx
kx
kxhtfk
xxxtfk
,32,3213,1,4
,22,221,21,3
,12,12
1,11,2
21,1
,....,,,2
,....,2
,21,
2
2,....,
2,
2,
2
,....,,,
++++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=
=
35
y cuyo algoritmo es:
Para aproximar la solución del sistema de n-ésimo orden de los problemas de valor
inicial de primer orden (BURDEN R.; J. D. FAIRES. 1998):
con ( ) ,,,...,,, 21
.btaxxxtfx njj ≤≤= jj ax α=)(
para en números uniformemente espaciados en el intervalo nj ,.....,2,1= ( 1N + ) [ ]ba, :
ENTRADA extremos ; número de ecuaciones n; entero ; condiciones iniciales ba, N
nαα ,....,1 .
SALIDA aproximaciones a en los jw )(tx j ( 1N )+ valores de . t
Paso 1 Tome ; ( ) /h b a N= − at =
Paso 2 tome nj ,.....,2,1=
Paso 3 SALIDA ).,....,,,( 21 nwwwt
Paso 4 Para haga pasos 5-11. 1,2,.....,i = N
Paso 5 Para tome nj ,....,2,1=
( )njj wwwthfk ,....,,, 21,1 =
Paso 6 Para tome nj ,....,2,1=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=
2,....,
2,
2,
2,12,1
21,1
1,2n
njj
kw
kw
kwhthfk
Paso 7 Para tome nj ,....,2,1=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=
2,....,
2,
2,
2,22,2
21,2
1,3n
njj
kw
kw
kwhthfk
Paso 8 Para tome nj ,....,2,1=
( )nnjj kwkwkwhthfk ,32,321,31,4 ,....,,, ++++=
Paso 9 Para tome nj ,....,2,1=
( )jjjjjj kkkkww ,4,3,2,11 2261
++++=+
Paso 10 Tome ihat +=
Paso 11 SALIDA ).,....,,,( 21 nwwwt
Paso 12 PARE.
36
5.3 SOLUCIÓN DEL MODELO DINÁMICO CONSIDERANDO EL AISLADOR DE COMPORTAMIENTO LINEAL 5.3.1 Obtención de la ecuación de estado para el modelo matemático edificio más aislador. De las ecuaciones (3.3-6) y (3.3-7) se obtienen las ecuaciones de equilibrio dinámico
del modelo en el rango lineal:
gb uLyyyqL..
11211
.
111
....
1 2 −=+++ ωβω (5.3.1 -1)
gbbbbbbb
uqqqymm
ML ..2
...
1
..11 2 −=+++
+ωωβ (5.3.1 -2)
Considerando el siguiente cambio de variables:
⇒ , bqx =1
.
1
.
bqx =.
1
.
2 bqxx == ⇒..
2
.
bqx =
⇒ , 13 yx =.
13
.yx =
.
13
.
4 yxx == ⇒..
14
.yx =
Realizamos la reducción a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden de
4 ecuaciones y 4 incógnitas.
21
.xx = (5.3.1 -3)
2 21 1 1 11 2 1 3 1 1 4. ..
2 21 1
2 2
1
b b bb b
g
b
L M L Mx x x xm m m mx u
L Mm m
ω ω β ω ω β− − + ++ +
= −−
+
(5.3.1-4)
43
.xx = (5.3.1-5)
b
bbb
mmML
xxxLxLx
+−
−−+=
121
4113212111
2
4
.
1
22 βωωβωω (5.3.1-6)
Cuyas condiciones Iniciales:
ob aqax α== )()(1 con t 1
.
2 )()( α== aqax b [ ]ba,∈ (5.3.1-7)
213 )()( α== ayax 3
.
14 )()( α== ayax
37
Por lo tanto la ecuación de estado en forma matricial:
21 1
.
11. 2 21 1 1 1 ..1 1 12 2
2.31 1 2
3 1 1. 4
42
1 1 1 1 1
0 1 0 00
2 2 1101
0 0 0 1 0
2 2
b
b b bb b g
bb
b b b
L Mm mx x
L M L Mx x
m m m m uxL Mx L Mm m x
m mxL L
ω ω β ω ω β
ω ω β ω ω β
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎧ ⎫ +⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ += −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ −⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭+⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
(5.3.1-8)
En definitiva, La ecuación (5.3.1-8) es la ecuación de estado del modelo dinámico
que representa el comportamiento de un edificio con aisladores sísmicos lineales. La
solución o respuesta del sistema en el tiempo una entrada a definir, se obtiene
mediante un algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo MATLAB en donde se
aplica el método numérico de Runge-Kutta de cuarto orden.
5.4 SOLUCIÓN DEL MODELO DINÁMICO CONSIDERANDO EL AISLADOR DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL 5.4.1 Obtención de la ecuación de estado para el modelo matemático edificio más aislador.
Las ecuaciones de equilibrio dinámico del sistema obtenidas de (3.4-4), (3.4-5),
(3.4-6) son:
.. .. . ..
21 1 1 1 11 12 1 gbL q y y y L uω β ω+ + + = − (5.4.1-1)
( ).. . .. ..
2 2 1 112 1b b b b b b b
b
L Mq q q Z ym m
β ω αω α ω+ + + − + =+ gu− (5.4.1-2)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−= −⋅
.
1...
ZZqZqqAZ nb
nbb γβ (5.4.1-3)
Considerando el siguiente cambio de variables:
bqx =1 ⇒ , ⇒ .
1
.
bqx =.
1
.
2 bqux ==..
2
.
bqx =
13 yx = ⇒ , ⇒ .
13
.yx =
.
13
.
4 yxx ==..
14
.yx =
Zx =5 ⇒ .
5
.Zx =
38
Realizamos la reducción a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden de
4 ecuaciones y 4 incógnitas.
21
.xx = (5.4.1-4)
2 21 1 1 11 2 1 3 1 1 4 5. ..
2 21 1
2 2 (1
1
b b b bb b
2)
g
b
L M L Mx x x x xm m m mx u
L Mm m
αω ω β ω ω β α ω− − + + − −+ +
= −−
+
(5.4.1-5)
43
.xx = (5.4.1-6)
2 2.1 1 1 2 1 3 1 1 4 1 5
4 21 1
2 2 (1
1
b b b b
b
L x L x x x L xxL M
m m
αω ω β ω ω β α ω+ − − + −=
−+
2) (5.4.1-7)
( 51
525225
.xxxxxAxx nn −+−= γβ ) (5.4.1-8)
Cuyas condiciones Iniciales:
ob aqax α== )()(1 con 1
.
2 )()( α== aqax b t [ ]ba,∈ (5.4.1-9)
213 )()( α== ayax 3
.
14 )()( α== ayax 45 )()( α== aZax
Por lo tanto la ecuación de estado del sistema queda de la siguiente forma:
( )
( )
21 1
2
.2 2 21 1 1 11 1 2 1 3 1 1 4 5
.
2.
223 1 11 1 4.
4.
2 2 251 1 1 2 1 3 1 1 4 1 5
2 2 5 2
1
2 2 1
1
11
2 2 1
b
b b b bb b
bb
b b b b
n
L M xm m
L M L Mx x x x x xm m m m
x
x L ML M xm mm mx
xL x L x x x L x
Ax x x x x
αω ω β ω ω β α ω
αω ω β ω ω β α ω
β γ
⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎧ ⎫− − + + − −⎪ ⎪
+ +⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎛ ⎞
−⎪ ⎪ ⎜ ⎟− +⎪ ⎪ + ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ + − − + −
− +( )
..
15 5
01000
g
n
u
x−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(5.4.1-10)
En definitiva, La ecuación (5.4.1-10) es la ecuación de estado del modelo
dinámico que representa el comportamiento de un edificio con aisladores sísmicos no
lineales. La solución o respuesta del sistema en el tiempo una entrada a definir, se
obtiene mediante un algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo MATLAB en
donde se aplica el método numérico de Runge-Kutta de cuarto orden.
39
CAPÍTULO VI: PRESENTACIÓN Y METODOLOGIA DE ANÁLISIS DE LOS MODELOS ESTRUCTURALES En este capítulo se presentan los modelos estructurales que se utilizaron en
nuestro estudio para la validación del procedimiento numérico simplificado planteado
en los capitulo anteriores, cuyo algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo
MATLAB se presentan en anexo C, además se muestra la metodología de análisis
utilizada en nuestro estudio.
6.1 CARACTERÍSTICAS:
6.1.1 Estructuración
Los modelos que hemos considerado para nuestro estudio se han estructurado
de acuerdo a las siguientes características:
- Simetría simple y doble en planta.
- Continuidad en los elementos estructurales verticales.
- Sin cambios de rigidez con la altura.
- Ejes de Vigas Coincidentes con ejes de Pilares.
6.1.2 Propiedades Mecánicas H.A.:
- La Resistencia a la compresión del concreto de fc’=250 kg/cm² (H-30)
- Módulo de elasticidad del concreto es 238752 Kg/cm².
- Módulo de Corte 99480 Kg/cm².
- Peso Específico del concreto 2500 kg/m³.
6.1.3 Masa Sísmica: Para el cálculo de masas sísmicas se tiene:
Sobrecarga: = 0.8 T/m² pisoq
= 0.4 T/m² techoq
Donde: SCMppMs %50+=
6.1.4 Modelación y Análisis
40
El modelo dinámico que utilizamos tiene validez en modelos con masas
concentradas y en movimientos unidireccionales planos, por lo tanto, no representa el
comportamiento tridimensional del edificio.
6.2 MODELOS ESTRUCTURALES 6.2.1 EDIFICIO Nº1 6.2.1.1 Parámetros del Edificio
Se cálculo el comportamiento de un edificio de 4 pisos y otro de 10 pisos de
Hormigón Armado estructurado en base a muros de 20 cm. de espesor, vigas de 20/60
cm, losas de 15 cm de espesor y pilares 30cmx30cm, con una altura de piso de 2.5 m
cuya distribución en planta se muestra en la Figura 6.2.1.1 -1
Figura 6.2.1.1-1 Planta Estructural Edificio Nº1
6.2.1.2 Parámetros de los Aisladores Sísmicos
Para el análisis sísmico se consideró 2 diferentes dispositivos de aislación
sísmica, cuyas propiedades son las siguientes:
Caso Nº1: Aisladores de comportamiento Lineal
1.- Rigidez equivalente de la base Aislada = 34 bk cmTon
2.- Masa de la base aislada = 0.36 bm cmsegTon 2⋅
41
3.- Amortiguación equivalente viscoelástica:
a) = 1.5 bc cmsegTon ⋅ edificio de 4 pisos
b) = 2.2 bc cmsegTon ⋅ edificio de 10 pisos
con un factor de amortiguamiento bβ =10% (usado normalmente para análisis y
diseño).
Además, para ver la influencia del amortiguamiento en la respuesta, se analizó
para un factor de bβ = 5%, debido a que es un valor habitual para aisladores de
comportamiento lineal de bajo amortiguamiento.
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal.
1.- Rigidez equivalente de la base aislada (Inicial) = 34 bk cmTon
2.- Masa del aislador =0.36 bm cmsegTon ⋅
3.- Amortiguación equivalente viscoelástica
a) = 1.5 bc cmsegTon ⋅ edificio de 4 pisos
b) = 2.2 bc cmsegTon ⋅ edificio de 10 pisos
con un factor de amortiguamiento bβ =10% (usado normalmente para análisis y
diseño).
Además, para ver la influencia del amortiguamiento en la respuesta, se analizó
para un factor de bβ = 15%, debido a que es un valor habitual para aisladores de
comportamiento No lineal de alto amortiguamiento.
4.- Razón de rigidez de post- fluencia α = 0.6
5.- Factor de escala A =1
6.- Parámetro de forma β =0.5
7.- Parámetro de forma γ =0.5
8.- Parámetro de transición n = 2
6.2.2 EDIFICIO Nº 2 6.2.2.1 Parámetros del Edificio
Se cálculo el comportamiento de un edificio de 4 pisos y otro de 10 pisos de
Hormigón Armado estructurado en base a muros de 20 cm. de espesor, vigas de 20/60
cm y losas de 15 cm, con una altura de piso de 2.5 m cuya distribución en planta se
muestra en la Figura 6.2.2.1-1
42
Figura 6.2.2.1-1 Planta Estructural Edificio Nº2
6.2.2.2 Parámetros de los Aisladores Sísmicos
Para análisis sísmico se consideraron 2 dispositivos de aislación sísmica
diferentes, cuyas propiedades son las siguientes:
Caso Nº1: Aisladores de comportamiento Lineal
1.- Rigidez equivalente de la base aislada = 48 bk cmTon
2.- Masa de la base aislada = 0.35 bm cmsegTon ⋅
3.- Amortiguación equivalente viscoelástica
a) = 1.8 bc cmsegTon ⋅ edificio de 4 pisos
b) = 2.7bc cmsegTon ⋅ edificio de 10 pisos
con un factor de amortiguamiento bβ =10% (usado normalmente para análisis y
diseño).
Además, para ver la influencia del amortiguamiento en la respuesta, se analizó
para un factor de bβ = 5%, debido a que es un valor habitual para aisladores de
comportamiento lineal de bajo amortiguamiento.
43
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal, modelo de Wen
1.- Rigidez equivalente de la base aislada (Inicial) = 48 bk cmTon
2.- Masa de la base aislada = 0.35 bm cmsegTon ⋅
3.- Amortiguación equivalente viscoelástica
a) = 1.8 bc cmsegTon ⋅ edificio de 4 pisos
b) = 2.7bc cmsegTon ⋅ edificio de 10 pisos
con factor de amortiguamiento bβ =10% (usado normalmente para análisis y
diseño). Además, para ver la influencia del amortiguamiento en la respuesta, se
analizó para un factor de bβ = 15%, debido a que es un valor habitual para
aisladores de comportamiento No lineal de alto amortiguamiento.
4.- Razón de rigidez de post- fluencia α = 0.5
5.- Factor de escala A =1
6.- Parámetro de forma β =0.5
7.- Parámetro de forma γ =0.5
8.- Parámetro de transición n = 2
9.- Numero de aisladores = 24
6.3 METODOLOGIA DE ANÁLISIS 6.3.1 Análisis de Modelos Estructurales con base Fija Debido a la Necesidad de obtener los parámetros dinámicos de los modelos pero
con base fija, se valida el uso de métodos aproximados, por lo tanto, se realiza análisis
dinámicos para los Edificios Nº1 y Nº2 de 4 y 10 pisos con base fija para obtener la
frecuencia fundamental y modo fundamental de vibrar mediante los métodos planteados
en el capitulo IV:
1.- Análisis plano en dirección X y en dirección Y con el método aproximado de
Rayleigh Ritz.
2.- Análisis plano en dirección X y en dirección Y con método aproximado de E. Cruz
y A. Chopra. 6.3.2 Análisis de los modelos Estructurales con Aislación Basal Se consideran las solicitaciones sísmicas para el estudio, de una serie de
terremotos, de acuerdo, a los distintos tamaños de paso de los registros de aceleración,
todo esto ,con el fin, de ver la influencia en la respuesta de los modelos estructurales
con aislación basal planteados, de tal manera de validar el procedimiento simplificado.
44
6.3.2.1 Solicitaciones Sísmicas
En este estudio se emplean registros obtenidos de cinco terremotos ocurridos en
distintas partes del mundo. Estos terremotos son:
• Terremoto de Chile del 3 marzo de 1985 (magnitud 7.8). Se empleó el registro
de LLolleo, componente N10E, con aceleración máxima igual a 657.27 2scm .
Figura 6.3.2.2 Registro de LLolleo expresado 2scm .
• Terremoto de Northridge del 17 enero de 1994 (magnitud 6.7) Se empleó el
registro de Santa Mónica, componente 90º, con aceleración máxima igual a 865.965 2scm .
Northridge
-1000
-750
-500
-250
0
250
500
750
1000
0 10 20 30 40 50 6
Tiempo (seg)
a(cm
/seg
2 )
0
Figura 6.3.2.3 Registro de Estación Santa Mónica expresado en 2scm .
45
• Terremoto de Loma Prieta de 17 de octubre de 1989 (magnitud 7.1) se empleó
el registro de de Corralitos Eureka Canyon, componente 90º, con aceleración máxima
igual a 469.384 2scm .
Loma Prieta
-400
-200
0
200
400
600
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo (seg)
a (c
m/s
eg2 )
Figura 6.3.2.4 Registro de Corralitos Eureka Canyon expresado en 2scm .
• Terremoto de Hyogo-Ken-Nambu (Kobe) del 17 de enero de 1995 (magnitud 7.2)
se empleó el registro obtenido en la ciudad de Kobe, en el Observatorio JMA,
componente Norte Sur, con una aceleración máxima de 817.86 2scm .
Kobe
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Tiempo (seg)
a (c
m/s
eg2 )
Figura 6.3.2.5 Registro de JMA Kobe expresado en 2scm .
46
• Terremoto de Takochi-oki (Hachinohe) del 16 de mayo de 1968 (magnitud 7.9)
se empleo el registro obtenido en la ciudad de Hachinohe, en el Observatorio JMA,
componente Norte Sur, con una aceleración máxima de 225 2scm .
Hachinohe
-200
-100
0
100
200
300
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo (seg)
a (c
m/s
eg2 )
Figura 6.3.2-6 Registro de Hachinohe expresado en 2scm .
6.3.2.2 Tipo de Análisis
Se analizaron los modelos estructurales con base aislada mediante el
procedimiento simplificado con las propiedades dinámicas con base fija (frecuencia y
modo fundamental) obtenidas en forma exacta del programa ETABS Nonlinear. Esto
es con motivo de validar la exactitud real del método numérico simplificado utilizado en
nuestro estudio.
• Edificio Nº1 de 4 y 10 Pisos
1.- Análisis plano en dirección X para el registro de Llolleo. con un paso de tiempo
0.005 y 116.43 seg. de duración (23286 pasos). t∆ =
2- Análisis plano en dirección X para el registro de Northridge (Santa Mónica City Hall)
con un paso de tiempo 0.02 seg. y 59.98 seg. de duración (3000 pasos). t∆ =
3- Análisis plano en dirección X para el registro de Loma Prieta (Corralitos Eureka
Canyon) con un paso de tiempo t∆ = 0.02 y 39.98 seg. de duración (2000 pasos).
4.- Análisis plano en dirección X para el registro de Hyogo-Ken-Nambu (Kobe) con un
paso de tiempo 0.02 y 49.98 seg. de duración (2500 pasos). t∆ =
47
5.- Análisis plano en dirección X Para el Registro Takochi-oki (Hachinohe) con un paso
de tiempo 0.01 y 35.99 seg. de duración (3600 pasos). t∆ =
• Edificio Nº2 de 4 y 10 Pisos
1.- Análisis plano en dirección Y para el registro de Llolleo con un paso de tiempo
0.005 y 116.43 seg. de duración (23286 pasos). t∆ =
2- Análisis plano en dirección Y para el registro de Northridge (Santa Mónica City Hall)
con un paso de tiempo 0.02 seg. y 59.98 seg. de duración (3000 pasos). t∆ =
3- Análisis plano en dirección Y para el registro de Loma Prieta (Corralitos Eureka
Canyon) con un paso de tiempo t∆ = 0.02 y 39.98 seg. de duración (2000 pasos).
4.- Análisis plano en dirección Y para el registro de Hyogo-Ken-Nambu (Kobe) con un
paso de tiempo 0.02 y 49.98 seg. de duración (2500 pasos). t∆ =
5.- Análisis plano en dirección Y para el registro Takochi-oki (Hachinohe) con un paso
de tiempo 0.01 y 35.99 seg. de duración (3600 pasos). t∆ =
Además, para ver la influencia de los parámetros dinámicos aproximados (modo
fundamental y frecuencia fundamental) de los modelos con base fija, calculados
anteriormente, en el comportamiento dinámico de los edificios con aisladores sísmicos,
se realizó el siguiente análisis:
• Edificio Nº1 de 4 y 10 Pisos
1.- Análisis plano en dirección X para el registro de Llolleo con un paso de tiempo
t∆ = 0.005 y 116.43 seg. de duración (23286 pasos).
2- Análisis plano en dirección X para el registro de Northridge (Santa Mónica City Hall)
con un paso de tiempo 0.02 seg. y 59.98 seg. de duración (3000 pasos). t∆ =
• Edificio Nº2 de 4 y 10 Pisos
1.- Análisis plano en dirección Y para el registro de Llolleo con un paso de tiempo
t∆ = 0.005 y 116.43 seg. de duración (23286 pasos).
2- Análisis plano en dirección Y para el registro de Northridge (Santa Mónica City Hall)
con un paso de tiempo t∆ = 0.02 seg. y 59.98 seg. de duración (3000 pasos). 48
49
CAPÍTULO VII: PRESENTACIÓN Y COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS
Una vez implementados los algoritmos que definen los procedimientos
simplificados de análisis de edificios con base aislada en la herramienta de cálculo
MATLAB, éstos se aplican en los modelos estructurales escogidos, sometidos a las
solicitaciones sísmicas correspondientes. Paralelamente, las mismas estructuras fueron
analizadas mediante el programa de análisis ETABS Nonlinear versión 8.2.7; los
resultados obtenidos mediante ambos programas se presentan gráficamente para su
comparación.
7.1 RESULTADOS ANÁLISIS DINÁMICO EDIFICIO CON BASE FIJA Se presentan los resultados de los parámetros dinámicos (modo fundamental y
frecuencia fundamental) de los modelos con base fija analizados en forma plana e
independiente en las direcciones X e Y, obtenidos mediante los métodos aproximados,
estos se comparan con los resultados obtenidos por ETABS Nonlinear.
7.1.1 Modo Fundamental y Frecuencia Fundamental Edificio Nº1 EDIFICIO METODO DE R. RITZ METODO DE CRUZ Y CHOPRA ETABS
Nº 1 ω (r/s) Τ (s) Modo 1º ω (r/s) Τ (s) Modo 1º ω (r/s) Τ (s) Modo 1º4 pisos 50.87 0.12 0.215 55.61 0.11 0.138 74.25 0.08 0.260
Dirección X 0.579 0.464 0.635 1.006 0.941 1.022 1.426 1.554 1.362
4 pisos 33.91 0.18 0.194 36.59 0.17 0.138 57.29 0.11 0.254 Dirección Y 0.560 0.464 0.631
1.001 0.941 1.023 1.446 1.554 1.365
10pisos 9.97 0.63 0.022 10.71 0.59 0.019 17.99 0.35 0.032 Dirección X 0.074 0.065 0.092
0.149 0.131 0.173 0.244 0.217 0.271 0.355 0.320 0.381 0.476 0.439 0.498 0.605 0.575 0.618 0.738 0.726 0.738 0.873 0.891 0.856 1.007 1.071 0.970
10 pisos 6.47 0.97 0.021 6.96 0.90 0.019 14.31 0.44 0.032 Dirección Y 0.071 0.065 0.094
0.146 0.131 0.178 0.242 0.217 0.277 0.352 0.320 0.387 0.475 0.439 0.502 0.604 0.575 0.620 0.738 0.726 0.738 0.874 0.891 0.852 1.009 1.071 0.961
50
51
7.1.2 Modo Fundamental y Frecuencia Fundamental Edificio Nº2 EDIFICIO METODO DE R. RITZ METODO DE CRUZ Y CHOPRA ETABS
Nº 2 ω (r/s) Τ(s) Modo 1 ω (r/s) Τ(s) Modo 1 ω (r/s) Τ(s) Modo 14 pisos 34.7 0.18 0.204 37.6 0.17 0.140 54.32 0.12 0.266
Dirección X 0.574 0.470 0.655 1.016 0.953 1.044 1.458 1.574 1.363
4 pisos 45.45 0.13 0.205 49.29 0.13 0.140 58.33 0.11 0.222 Dirección Y 0.575 0.470 0.603
1.016 0.953 1.027 1.457 1.574 1.424
10 pisos 6.67 0.94 0.022 7.17 0.88 0.020 16.05 0.39 0.043 Dirección X 0.073 0.065 0.119
0.149 0.133 0.214 0.246 0.219 0.321 0.358 0.324 0.432 0.481 0.445 0.542 0.613 0.583 0.647 0.748 0.736 0.745 0.885 0.904 0.834 1.022 1.086 0.914
10 pisos 8.78 0.71 0.022 9.43 0.67 0.020 14.21 0.44 0.029 Dirección Y 0.073 0.065 0.090
0.150 0.133 0.175 0.246 0.219 0.276 0.358 0.324 0.389 0.482 0.445 0.508 0.613 0.583 0.629 0.748 0.736 0.749 0.885 0.904 0.865 1.022 1.086 0.978
Nº de EDIFICIO Nº 2 Pisos Modo 1 Dirección X Modo 1 Dirección Y
4 Pisos
Error M. Ritz 0.0469 0.0469 Error C y Ch 0.3209 0.2289
10 Pisos
Error M. Ritz 0.1926 0.0644 Error C y Ch 0.2823 0.1322
52
53
7.2 RESULTADOS ANALISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO EDIFICIOS CON BASE AISLADA
Ante la necesidad de comparar los resultados del procedimiento simplificado con
los resultados obtenidos por el programa de análisis ETABS Nonlinear para validar el
método, en definitiva, se presentan los desplazamientos de la base y de todos los
niveles relativos a la fundación, tal como se muestra en la Figura 7.2-1.
Fig.7.2-1 Edificio aislado en la base con los desplazamientos c/r a eje de fundación
bq : Desplazamiento de la base relativo a la fundación del edificio
)(1 ty : Amplitudes nodales
( )an bq y t qφ= +1 1 : Desplazamientos de piso relativos a la fundación del edificio
( ), , ,.....,tt b a a anq q q q=q 1 2 : Vector de estado que representa la respuesta del edificio
Los resultados se presentan gráficamente para su comparación, considerando,
solo los pisos más representativos de los modelos analizados. Además, en anexo E se
presentan algunos resultados tabulados. En Tabla 7.2-1 se presenta un resumen de los
desplazamientos máximos y errores absolutos máximos (valor Etabs-valor aproximado)
obtenidos de todos los registros analizados para un factor de amortiguamiento de la
base aislada de bβ =10%. Además en Tabla 7.2-2 se presenta el resumen de resultados
obtenidos para análisis de modelos con aisladores sísmicos con factores de
amortiguamiento de la base aislada de bβ =5% para caso lineal y bβ =15% para caso
no lineal.
54
7.2.1 Edificio Nº1 Registro de LLolleo: Edificio de 4 Pisos :
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
55
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
56
Edificio de 10 Pisos :
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
57
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
58
Registro de Northridge: Edificio de 4 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
59
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
60
Edificio de 10 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
61
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
62
Registro de Loma Prieta: Edificio de 4 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
63
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
64
Edificio de 10 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
65
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
66
Registro de Kobe: Edificio de 4 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
67
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
68
Edificio de 10 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
69
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
70
Registro de Hachinohe: Edificio de 4 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
71
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
72
Edificio de 10 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
73
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
74
7.2.2 Edificio Nº2 Registro de LLolleo: Edificio de 4 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
75
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
76
Edificio de 10 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
77
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
78
Registro de Northridge: Edificio de 4 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal:
79
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
80
Edificio de 10 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
81
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
82
Registro de Loma Prieta: Edificio de 4 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
83
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
84
Edificio de 10 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
85
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
86
Registro de Kobe: Edificio de 4 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal:
87
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal:
88
Edificio de 10 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
89
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
90
Registro de Hachinohe: Edificio de 4 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
91
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
92
Edificio de 10 Pisos:
Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
93
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
94
95
7.3 RESULTADOS ANALISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO EDIFICIOS CON BASE AISLADA CON PARAMETROS DINAMICOS APROXIMADOS
Para ver la influencia de los parámetros dinámicos de los modelos estructurales
con base fija calculados con métodos aproximados en los modelos con base aislada, se
realizó el análisis para los registros sísmicos de Llolleo y Northridge.
Los principales resultados se resumen en la tabla 7.3-1 y en anexo D se
presentan gráficamente.
96
97
CAPÍTULO VIII: COMENTARIOS Y CONCLUSIONES FINALES
En general, analizando los principales resultados del problema con respecto a los
desplazamientos calculados para los distintos modelos utilizados, se puede apreciar
que las aproximaciones obtenidas mediante el procedimiento simplificado no
presentaron diferencias muy significativas en relación a los resultados obtenidos con
ETABS Nonlinear, es decir, la magnitud del error es de un orden razonable para una
etapa de prediseño. Los mayores errores de aproximación se obtuvieron en el análisis
del edificio Nº1 de 4 y 10 pisos con base aislada para los registros sísmicos de Kobe,
Northridge y Loma Prieta (tamaño de paso 0.02 seg.). El método de Runge Kutta de 4º
orden disminuye su precisión para tamaño de pasos mayores debido a que aumenta el
error de truncamiento del paso y más aun si resuelve sistemas donde existen
ecuaciones que son no lineales. Con relación al sismo de Llolleo de tamaño de paso
menor (0.005 seg.), existieron algunos errores de aproximación debido a que al utilizar
un tamaño de paso muy pequeño (lo que sabemos, mejora la precisión del algoritmo),
aumenta el error de redondeo del método numérico, por este motivo se alcanzó una
solución optima del paso de integración que minimiza los efectos combinados de
ambos errores con el sismo de hachinoe de tamaño de paso 0.01 seg.
Por lo dicho anteriormente y en referencia a la exactitud de los modelos
utilizados en los aisladores sísmicos, se puede decir que debido a la solución numérica
simple del modelo lineal, en los pasos de tiempo definidos, se obtuvieron resultados de
mejor calidad con este modelo, pero esto no resta importancia a la buena calidad de
las aproximaciones que se obtuvieron con el modelo no lineal de Wen. Además, al
comparar las respuestas de los aisladores sísmicos de comportamiento lineal y no
lineal en el tiempo (para un factor de amortiguamiento 10%) son considerablemente
distintas aunque con algunos registros sísmicos los valores máximos son muy
cercanos, esto concuerda con lo planteado por Molinares y Barbat (BOZZO, 1996).
En relación a las aproximaciones de los parámetros dinámicos (modo y
frecuencia fundamental) de los modelos con base fija mediante métodos aproximados,
son de buena calidad solo en el modo fundamental, alcanzando una mayor exactitud
con el método de Rayleigh Ritz, con respecto al periodo y frecuencia fundamental se
presentó una magnitud de error mayor, esto es debido a que la estimación, mediante
relaciones de flexibilidad, de la rigidez de los edificios que se utilizó no es muy precisa
para los modelos tridimensionales analizados, esto se puede observar al comparar los
resultados de los dos edificios analizados, alcanzando una mayor precisión en las
aproximaciones para el edificio Nº2 con un análisis en la dirección Y, debido a que
los muros están mayormente orientados en esta dirección .
Por lo anterior, las aproximaciones del método obtenidas utilizando los
parámetros dinámicos (modo y frecuencia fundamental) de los modelos con base fija
mediante métodos aproximados presentaron un aumento en la magnitud del error en la
respuesta de los edificios con base aislada, esto es debido a que la influencia del
periodo y frecuencia fundamental es importante, pero no así el modo o la forma
fundamental, incluso, si se considera el primer modo de forma lineal, las
aproximaciones del procedimiento numérico simplificado no se alteran demasiado . Por
lo mismo, se obtuvieron resultados con menos errores con el método de Cruz y Chopra
debido a que el periodo y frecuencia fundamental obtenida con este método fue más
cercano al exacto. Por lo tanto, los parámetros dinámicos no inciden en el modelo de tal
forma de perder el orden de magnitud con relación a los resultados exactos, si no que
solamente hacen perder precisión al modelo al momento de utilizar métodos
aproximados.
Entonces, el procedimiento simplificado es valido para los distintos
comportamientos no lineales que a través del tiempo representan los aisladores
sísmicos mediante el uso de la ecuación de Wen y para el modelo lineal que además
representa la ecuación de wen (α = 1) , esto es por la buena calidad de las
aproximaciones que se obtuvieron, incluso utilizando métodos aproximados para la
obtención de parámetros dinámicos (modo y frecuencia fundamental) necesarios para
la aplicación del modelo.
En definitiva, la validación del método simplificado planteada en nuestro estudio
para un movimiento plano de edificios de varios pisos es prueba suficiente para
analizar y resolver estructuras con aisladores sísmicos. El modelo es eficiente debido
a que no requiere de una gran cantidad de datos de entrada, esto tiene efectos
positivos en el sentido que la posibilidad de cometer errores en el proceso de ingreso de
datos disminuye, así como se permite, en poco tiempo, probar diferentes soluciones de
estructuración del edificio y ver cuales serán las propiedades mecánicas mas efectivas
para el dispositivo de aislación sísmica a utilizar, todo esto con el fin de determinar la
solución mas óptima desde el punto de vista del comportamiento sismorresistente de
edificios aislados. Por lo dicho anteriormente, el procedimiento de
predimensionamiento pasa a ser entonces un proceso bastante simple y muy
importante, especialmente para el profesional que no cuenta con mucha experiencia.
Por lo tanto, los resultados de este procedimiento simplificado deben ser usados solo
para controlar y verificar los resultados de los "análisis exactos", pues solamente son
indicadores del orden de magnitud de los resultados exactos.
98
99
BIBLIOGRAFÍA
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101
ANEXOS
Como fuente adicional se presentan algunos resultados tabulados y gráficos de
nuestro estudio, además de los programas desarrollados en el lenguaje de la
herramienta de calculo MATLAB.
ANEXO A: Análisis modelo dinámico de edificio de dos grados de libertad con aislación
basal.
Se presenta procedimiento numérico simplificado para el análisis dinámico de
edificios con 2 grados de libertad. Primero se obtienen las ecuaciones de estado,
provenientes de la teoría lineal, para los dos casos de comportamiento de la base
aislada, las cuales se resuelven aplicando método numérico de Runge Kutta de cuarto
orden mediante algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo MATLAB. Se
muestran lo resultados gráficamente y tabulados para su comparación con los
resultados obtenidos del programa ETABS nonlinear.
ANEXO B: Programas en lenguaje Matlab de análisis de modelo dinámico de
edificios con base fija mediante métodos aproximados.
Se presentan los algoritmos desarrollados en la herramienta de cálculo MATLAB.
Para los dos métodos aproximados utilizados. Método de Cruz y Chopra y método de
Ritz
ANEXO C: Programa en lenguaje Matlab de método simplificado de análisis de
edificios con aisladores sísmicos.
Se presenta algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo MATLAB para
el análisis de edificios con aisladores sísmicos. ANEXO D: Resultados Análisis de respuesta en el tiempo edificios con base aislada
considerando parámetros dinámicos aproximados
Se presentan resultados gráficos obtenidos de los registros de Llolleo y
Northridge de los análisis de edificios con aisladores sísmicos donde se considera el
uso de los parámetros dinámicos mediante métodos aproximados.
ANEXO E: Resultados tabulados de análisis de respuesta en el tiempo edificios con
base aislada.
Se presentan los resultados tabulados obtenidos de los registros de Llolleo,
Northridge y Kobe para la los 2 modelos estructurales con base aislada.
ANEXO A: ANÁLISIS MODELO DINÁMICO DE EDIFICIO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD CON AISLACION BASAL. A.1.- MODELO DINÁMICO DE EDIFICIO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD CON AISLACION BASAL.
Considerando el eje de fundación como nuestro punto de referencia es decir =0 gu
Se tiene las expresiones en coordenadas relativas:
bb uv = bss uuv −=
Entonces, las ecuaciones que representan el modelo dinámico del edificio con
aisladores sísmicos de comportamiento lineal son:
gsssssbsss umvkvcvmvm.......
−=+++
( ) gbsbbbbssbbs ummvkvcvmvmm.......
)( +−=++++
Y las ecuaciones que representan el modelo dinámico del edificio con aisladores
sísmicos de comportamiento no lineal son:
gsssbs umvkvcvmvm.......
−=+++
( ) gbbbbbbsbb ummZkvkvcvmvmm.......
)()1( +−=−+++++ α
Aplicando el procedimiento planteado en capitulo V para la resolución de los sistemas
de los modelos planteados se tiene:
A.1.1.- Ecuación de Estado de modelo dinámico de edificio de un piso con aislación basal de comportamiento Lineal.
..
4
3
2
1
.
4
.
3
.
2
.
1
0010
1000
0010
g
sssss
b
s
b
ss
s
s
b
s
b
u
xxxx
mc
Mmc
mk
Mmk
Mmc
Mmk
Mmc
Mmk
Mmc
Mmk
x
x
x
x
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−
−
−−
−−
−−=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
102
donde , , , bvx =1
.
2 bvx = svx =3
.
4 svx =
A.1.2.- Ecuación de Estado de modelo dinámico de edificio de un piso con aislacion basal de comportamiento No Lineal.
( )
( )
( )
..
51
52522
54321
4
54321
2
.
5
.
4
.
3
.
2
.
1
00010
1
1
g
nn
s
b
ssss
b
s
b
s
b
sss
b
s
b
u
xxxxxAx
xMmk
xmc
Mmcx
mk
Mmkx
Mmc
xMm
k
x
xMmk
xMm
cxMm
kxMm
cx
Mmk
x
x
x
x
x
x
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+
−−
−
−−
+−
−−
−−
+−
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−γβ
αα
αα
donde , , , bvx =1
.
2 bvx = svx =3
.
4 svx =
Para obtener la solución de la ecuaciones de estado planteadas o respuesta en
tiempo discreto se aplico método numérico de Runge Kutta de 4º orden mediante un
programa desarrollado en la herramienta de calculo MATLAB.
A.2 EJEMPLO DESARROLLADO
A.2.1.- Parámetros de Edificio de un piso
Se calculó el comportamiento de un edificio de un piso de hormigón armado
estructurado en base a pilares de 30x30 cm. de espesor, vigas de 20/80 cm, losas de
15 cm de espesor (Figura A.2.1-1).
103
Figura A.2.1-1 Edificio un Piso
A.2.2 Parámetros Aisladores Sísmicos Para el análisis sísmico se consideró dos diferentes dispositivos de aislación
sísmica, cuyas propiedades son las siguientes:
A.2.2.1 Caso Nº1: Aislador de comportamiento Lineal
1.- Rigidez Equivalente de la Base Aislada = 7.6bk cmTon
2.- Rigidez del Edificio sk = 47.54 cmTon
3.- Masa de la base Aislada = 0.4 bm cmsegTon 2⋅
4.- Masa del Edificio = sm = 0.4 cmsegTon 2⋅
5.- Amortiguación Equivalente viscoelástica =0.493 bc cmsegTon ⋅
con un factor de amortiguamiento bβ =10%
6.- Amortiguación Equivalente viscoelástica edificio =0 c cmsegTon ⋅
7.- Numero de Aisladores = 4
A.2.2.2 Caso Nº2: Aislador de Comportamiento No Lineal aplicando modelo de Wen.
1.- Rigidez Equivalente de la Base Aislada (Inicial) = 7.6 bk cmTon
2.- Rigidez del Edificio sk = 47.54 cmTon
3.- Masa de la base aislada = 0.4 bm cmsegTon 2⋅
4.- Masa del Edificio = sm = 0.4 cmsegTon 2⋅
5.- Amortiguación equivalente viscoelástica = 0.493 bc cmsegTon ⋅
con un factor de amortiguamiento bβ =10%
6.- Amortiguación Equivalente viscoelástica edificio =0 c cmsegTon ⋅
7.- Razón de Rigidez de post- fluencia α = 0.6
8.- Factor de Escala A =1
9.- Parámetro de Forma β =0.5
10.- Parámetro de Forma γ =0.5
11.- Parámetro de transición n = 2
12.- Numero de Aisladores = 4
A.2.3 Solicitación Sísmica El análisis dinámico se realizó con la siguiente solicitación sísmica:
- Aceleración basal en ( )tsenug π3200..= 2scm , con un paso de tiempo 0.01 seg. La
duración de la solicitación es de 20 segundos (2000 pasos) en dirección X.
t∆ =
104
A.2.4 Resultados Obtenidos: Los resultados se presentan en coordenadas absolutas para poder compáralos con los obtenidos por los programa ETABS nonlinear
105
Desplazamiento de la base: b bu v=Desplazamiento del Piso: s b su v v= +
Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal ERROR T M.SIMPLIFICADO ETABS ABSOLUTO
(seg.) D. Base D. Piso D. Base D. Piso Base Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.01 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 0.0000 0.0000 0.02 -0.0025 -0.0025 -0.0025 -0.0025 0.0000 0.0000 0.03 -0.0084 -0.0084 -0.0084 -0.0084 0.0000 0.0000 0.04 -0.0197 -0.0200 -0.0198 -0.0198 -0.0001 0.0001 0.05 -0.0382 -0.0388 -0.0384 -0.0385 -0.0003 0.0003 0.06 -0.0654 -0.0668 -0.0659 -0.0662 -0.0006 0.0006 0.07 -0.1028 -0.1054 -0.1038 -0.1043 -0.0011 0.0011 0.08 -0.1517 -0.1562 -0.1535 -0.1544 -0.0018 0.0018 0.09 -0.2134 -0.2207 -0.2163 -0.2179 -0.0028 0.0028 0.10 -0.2890 -0.3001 -0.2932 -0.2960 -0.0042 0.0041 0.11 -0.3792 -0.3955 -0.3853 -0.3896 -0.0061 0.0058 0.12 -0.4850 -0.5079 -0.4933 -0.4999 -0.0083 0.0080 0.13 -0.6067 -0.6381 -0.6179 -0.6274 -0.0112 0.0107
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 10.50 -2.4233 -2.7324 -2.4067 -2.7131 0.0166 0.0193 10.51 -2.4180 -2.7082 -2.3921 -2.6972 0.0259 0.0110 10.52 -2.3918 -2.6606 -2.3568 -2.6579 0.0350 0.0027 10.53 -2.3450 -2.5902 -2.3013 -2.5957 0.0437 -0.0055 10.54 -2.2783 -2.4978 -2.2262 -2.5112 0.0522 -0.0134 10.55 -2.1921 -2.3841 -2.1320 -2.4053 0.0601 -0.0212 10.56 -2.0875 -2.2503 -2.0199 -2.2791 0.0676 -0.0288 10.57 -1.9654 -2.0978 -1.8908 -2.1337 0.0746 -0.0359 10.58 -1.8269 -1.9278 -1.7461 -1.9705 0.0808 -0.0427 10.59 -1.6734 -1.7421 -1.5869 -1.7910 0.0865 -0.0489 10.60 -1.5062 -1.5424 -1.4150 -1.5970 0.0913 -0.0546 10.61 -1.3271 -1.3305 -1.2317 -1.3903 0.0954 -0.0598 10.62 -1.1375 -1.1084 -1.0389 -1.1726 0.0986 -0.0642 10.63 -0.9394 -0.8781 -0.8383 -0.9462 0.1011 -0.0681
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 19.88 -2.0962 -2.2806 -2.0459 -2.3122 0.0503 -0.0316 19.89 -1.9863 -2.1418 -1.9284 -2.1807 0.0579 -0.0389 19.90 -1.8588 -1.9839 -1.7937 -2.0297 0.0651 -0.0458 19.91 -1.7148 -1.8083 -1.6431 -1.8608 0.0717 -0.0525 19.92 -1.5555 -1.6166 -1.4779 -1.6752 0.0776 -0.0586 19.93 -1.3823 -1.4106 -1.2995 -1.4748 0.0828 -0.0642 19.94 -1.1968 -1.1919 -1.1095 -1.2612 0.0873 -0.0693 19.95 -1.0007 -0.9626 -0.9097 -1.0364 0.0910 -0.0738 19.96 -0.7956 -0.7247 -0.7017 -0.8023 0.0939 -0.0776 19.97 -0.5833 -0.4802 -0.4874 -0.5610 0.0960 -0.0807 19.98 -0.3658 -0.2314 -0.2687 -0.3146 0.0971 -0.0832 19.99 -0.1450 0.0195 -0.0475 -0.0654 0.0975 -0.0849 20.00 0.0773 0.2704 0.1742 0.1845 0.0969 -0.0859
106
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal ERROR T M.SIMPLIFICADO ETABS ABSOLUTO
(seg.) D. Base D. Piso D. Base D. Piso Base Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.01 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 0.0000 0.0000 0.02 -0.0025 -0.0025 -0.0025 -0.0025 0.0000 0.0000 0.03 -0.0084 -0.0084 -0.0084 -0.0084 -0.0001 0.0000 0.04 -0.0197 -0.0200 -0.0199 -0.0200 -0.0002 0.0000 0.05 -0.0382 -0.0388 -0.0386 -0.0388 -0.0005 0.0000 0.06 -0.0654 -0.0668 -0.0663 -0.0667 -0.0010 0.0000 0.07 -0.1028 -0.1054 -0.1045 -0.1053 -0.0017 0.0000 0.08 -0.1517 -0.1562 -0.1545 -0.1562 -0.0028 0.0000 0.09 -0.2134 -0.2207 -0.2177 -0.2207 -0.0043 0.0000 0.10 -0.2890 -0.3001 -0.2952 -0.3001 -0.0063 -0.0001 0.11 -0.3792 -0.3955 -0.3880 -0.3957 -0.0088 -0.0002 0.12 -0.4850 -0.5079 -0.4969 -0.5083 -0.0119 -0.0004 0.13 -0.6068 -0.6381 -0.6224 -0.6389 -0.0155 -0.0008
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 10.50 -2.2333 -2.4478 -2.3506 -2.6563 -0.1173 -0.2085 10.51 -2.2213 -2.4127 -2.3385 -2.6278 -0.1172 -0.2151 10.52 -2.1886 -2.3553 -2.3056 -2.5760 -0.1170 -0.2207 10.53 -2.1356 -2.2763 -2.2521 -2.5014 -0.1165 -0.2251 10.54 -2.0628 -2.1765 -2.1785 -2.4047 -0.1157 -0.2282 10.55 -1.9707 -2.0567 -2.0855 -2.2867 -0.1148 -0.2300 10.56 -1.8603 -1.9181 -1.9740 -2.1485 -0.1137 -0.2304 10.57 -1.7326 -1.7620 -1.8451 -1.9913 -0.1125 -0.2293 10.58 -1.5888 -1.5897 -1.6999 -1.8167 -0.1111 -0.2270 10.59 -1.4302 -1.4028 -1.5398 -1.6261 -0.1096 -0.2233 10.60 -1.2583 -1.2031 -1.3664 -1.4213 -0.1081 -0.2182 10.61 -1.0748 -0.9922 -1.1812 -1.2041 -0.1064 -0.2119 10.62 -0.8813 -0.7722 -0.9860 -0.9764 -0.1047 -0.2043 10.63 -0.6797 -0.5449 -0.7826 -0.7404 -0.1029 -0.1955
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 19.88 -2.0777 -1.9344 -2.1051 -2.3034 -0.0274 -0.3690 19.89 -1.9685 -1.7965 -1.9963 -2.1663 -0.0278 -0.3698 19.90 -1.8418 -1.6406 -1.8696 -2.0099 -0.0278 -0.3693 19.91 -1.6985 -1.4682 -1.7261 -1.8358 -0.0276 -0.3676 19.92 -1.5401 -1.2806 -1.5671 -1.6453 -0.0270 -0.3647 19.93 -1.3680 -1.0797 -1.3942 -1.4403 -0.0261 -0.3606 19.94 -1.1838 -0.8671 -1.2088 -1.2224 -0.0250 -0.3553 19.95 -0.9892 -0.6447 -1.0126 -0.9937 -0.0235 -0.3490 19.96 -0.7859 -0.4145 -0.8076 -0.7562 -0.0217 -0.3417 19.97 -0.5758 -0.1785 -0.5955 -0.5119 -0.0197 -0.3335 19.98 -0.3608 0.0613 -0.3782 -0.2631 -0.0175 -0.3244 19.99 -0.1428 0.3026 -0.1578 -0.0118 -0.0150 -0.3144 20.00 0.0763 0.5434 0.0639 0.2396 -0.0124 -0.3038
CASO Nº1: EDIFICIO DE 2GL CON AISLADORES DE COMPORTAMIENTO LINEAL
107
CASO Nº2: EDIFICIO DE 2GL CON AISLADORES DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL
108
109
A.3 PROGRAMA EN LENGUAJE MATLAB
A.3.1.- Programa Principal:
% Programa:"piso1k4wenA.m"
% : Método Simplificado para análisis Dinámico de un Edificio de 2 gdl
% con aisladores sísmicos de comportamiento Lineal y No Lineal.
%: Aplicación de Ecuación de estado y Método numérico de Runge Kutta de 4º Orden
% Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas y que representan el modelo dinámico.
% se incorpora Ecuación de Wen que representa la no linealidad del modelo.
clear
global mb ms kb k cb c a alfa beta gama n
%Datos de Entrada:
%Parámetros Edificio de un piso:
E=238.752; % Modulo de Elasticidad T/cm^2
G=5*E/12; % Modulo de Corte T/cm^2
hp=250; % Altura del Piso cm
a=30; % Dimensión Pilar cm
b=30; % Dimensión Pilar cm
Ap=5*a*b/6; % Área Pilar cm^2
Ip=a*b^3/12; % Inercia Pilar cm^4
kp=(12*E*Ip*G*Ap)/(hp*(hp^2*G*Ap+12*E*Ip)); % Rigidez Pilar T/cm
ms=0.4; % Masa de edificio 1 piso T*s^2/cm
k=4*kp; % Rigidez de edificio 1 Piso T/cm
factor =0; % factor de amortiguamiento Edificio
c=0; % Amortiguamiento Edificio 1 piso T*s/cm
%Parámetros Base Aislada:
mb =0.4; % Masa de la base aislada T*s^2/cm
kb =7.6; % Rigidez Equivalente de la Base Aislada T/cm
factorb =0.1; % Factor de amortiguamiento Base Aislada
cb= factorb*kb*(mb+ms)); % Amortiguamiento Equivalente Base Aislada T*s/cm
%Parámetros de wen:
a=1; % Factor de escala general.
alfa =0.6; % Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal. (Caso Lineal alfa=1)
beta =0.5; % Determina la forma de la curva.
gama =0.5; % Determina la forma de la curva.
n=2; % Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y la no lineal.
yo=[0 0 0 0 0]; % condiciones iniciales
to=0; % tiempo inicial
tf=20; % tiempo Final
110
%Solución de la Ecuación de Estado "piso1k4wenB.m" mediante Runge Kutta de 4º Orden "rks4.m"
[t,y]=rks4('piso1k4wenB',to,tf,yo,500);
%Resultados:
%Desplazamientos
vb =y(:,1); % desplazamiento de la base del edificio relativo a la fundación
vs =y(:,3); % desplazamiento del piso del edificio relativo a la base
ub = vb; % desplazamiento absoluto de la base del edificio
us = vb+vs; % desplazamiento absoluto del piso del edificio
u = [ub us]; % desplazamientos absolutos del edificio
%gráficamente
figure(1)
%Desplazamiento de la Base aislada del edificio con respecto a la fundación.
Plot (t,ub),grid,xlabel('Tiempo t'),ylabel('ub')
title('Desplazamiento de la Base del Edificio de un piso con A. Basal de Comportamiento No Lineal');
figure(2)
%Desplazamiento del piso del edificio con respecto a la fundación.
plot(t,us),grid,xlabel('Tiempo t'),ylabel('us')
title('Desplazamiento del 1º Nivel del Edificio de un piso con A. Basal de Comportamiento No Lineal');
figure(3)
plot(t,u),grid,xlabel('Tiempo t'),ylabel('u con respecto a la fundación')
title('Respuesta en el Tiempo de Edificio de 1 piso con A. Basal de Comportamiento No Lineal');
A.3.2.- Function A: Ecuación de Estado a Solucionar.
%Programa "piso1k4wenB.m"
% Sistema de Ecuación diferencial de primer orden o Ecuación de
% Estado que representa el comportamiento dinámico del edificio de 2 gdl
% con aisladores sísmicos en su base de comportamiento no lineal frente a una Solicitación Sismica.
function A=piso1k4wenB(t,y)
global mb ms kb k cb c a alfa beta gama n
A=[y(2),...
(alfa*kb*y(1)+cb*y(2)-k*y(3)-c*y(4)+(1-alfa)*kb*y(5))/(-mb)-200*sin(3*pi*t),...
y(4),...
-(k*y(3)+c*y(4))/ms-(alfa*kb*y(1)-k*y(3)+cb*y(2)-c*y(4)+(1-alfa)*kb*y(5))/(-mb),...
a*y(2)-beta*y(2)*(abs(y(5)))^n-gama*abs(y(2))*(abs(y(5)))^(n-1)*y(5)];
111
ANEXO B: PROGRAMAS EN LENGUAJE MATLAB DE ANÁLISIS DEL MODELO DINÁMICO DE EDIFICIOS CON BASE FIJA MEDIANTE METODOS APROXIMADOS
B.1 PROGRAMA EN LENGUAJE MATLAB MÉTODO APROXIMADO DE RAYLEIGH RITZ. % Programa: "MRitz"
% Método Aproximado de Rayleigh Ritz, usando los Vectores de Ritz dependientes de cargas externas,
% para el Calculo de Modo y Frecuencia Fundamental de vibrar de edificios de n grados de Libertad.
%Calculo frecuencia de vibrar y 1ºmodo de vibrar de edificio con base fija
clear all
global mb m Kb wb w1 M1 L1 cb c1
%1.- Calculo de la Matriz de Rigidez del Edificio
E=238.752; % Modulo de Elasticidad T/cm^2
G=5*E/12; % Modulo de Corte T/cm^2
n=4; % Numero de Pisos del Edificio
hm=250; % Altura del Piso cm
% Muro 1
L1=600; % Largo muro 1 cm
e1=20; % Espesor del muro cm
I1=e1*L1^3/12; % Inercia muro 1 cm^4
for i=1:n
for j=1:i
hi=i*hm;
hj=j*hm;
F1(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I1))*(1-hj/(3*hi)+L1^2/(2*hi*hj));
F1(j,i)=F1(i,j);
end
end
F1; % F1 = Matriz de Flexibilidad de un muro 1 cm/T
Km1=inv(F1); % Km1 = Matriz de Rigidez del muro 1 T/cm
% Muro 2
L2=20; % Largo muro 2 cm
e2=560; % Espesor del muro cm
I2=e2*L2^3/12; % Inercia muro 2 cm^4
112
for i=1:n
for j=1:i
hi=i*hm;
hj=j*hm;
F2(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I2))*(1-hj/(3*hi)+L2^2/(2*hi*hj));
F2(j,i)=F2(i,j);
end
end
F2; % F2 = Matriz de Flexibilidad de un muro 2 cm/T
Km2=inv(F2); % Km2 = Matriz de Rigidez del muro 2 T/cm
% Muro 3
L3=20; % Largo muro 3 cm
e3=280; % espesor del muro cm
I3=e3*L3^3/12; % Inercia muro 3 cm^4
for i=1:n
for j=1:i
hi=i*hm;
hj=j*hm;
F3(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I3))*(1-hj/(3*hi)+L3^2/(2*hi*hj));
F3(j,i)=F3(i,j);
end
end
F3; % F3 = Matriz de Flexibilidad de un muro 3 cm/T
Km3=inv(F3); % Km3 = Matriz de Rigidez del muro 3 Edificio T/cm
% Pilar
hp=250; % Altura del Piso cm
a=30; % Dimension Pilar cm
b=30; % Dimensión Pilar cm
Ap=5*a*b/6; % Area Pilar cm^2
Ip=a*b^3/12; % Inercia Pilar cm^4
kp=(12*E*Ip*G*Ap)/(hp*(hp^2*G*Ap+12*E*Ip)); %Rigidez Pilar T/cm
Kpilar=kp*[2 -1 0 0;
-1 2 -1 0;
0 1 2 -1;
0 0 -1 1];
N1=6; % N1= Numero de Muros 1 del Edificio en la dirección correspondiente
N2=2; % N2= Numero de Muros 2 del Edificio en la dirección correspondiente
N3=4; % N3= Numero de Muros 3 del Edificio en la dirección correspondiente
Np=0; % Np= Numero de Pilares del Edificio en la dirección correspondiente
113
K=N1*Km1+N2*Km2+N3*Km3+Np*Kpilar; % K = Matriz de Rigidez del Edificio T/cm
M=[0.3536 0.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 0.3536 0.0000 0.0000; % M = Matriz de Masa del edificio T*s^2/cm
0.0000 0.0000 0.3536 0.0000;
0.0000 0.0000 0.0000 0.2501];
%2.-Generación de Vectores Ritz dependientes de cargas externas
[m,n]=size(M);
S=M*ones(n,1); % S = Vector de Carga Externa
y1=inv(K)*S;
v1=y1/(y1'*M*y1)^0.5; % v= Vectores de Ritz 1
y2=inv(K)*M*v1;
a12=v1'*M*y2;
f2=y2-a12*v1;
v2=f2/(f2'*M*f2)^0.5; % v= Vectores de Ritz 2
v=[v1 v2]; % v= Vectores de Ritz
%3.-solucion del problema de valores propios de orden menor
r1=v'*K*v;
r2=v'*M*v;
[Z1,Z2]=eig(r1,r2);
w1=sqrt(Z2(1,1)); % Frecuencia Fundamental de Vibrar de Edificio con base fija
T=2*pi/w1; % Periodo Fundamental de Vibrar de Edificio con base fija
ZZ=1*v*Z1;
modo1=ZZ(:,1); % 1ºModo de Vibrar de Edificio con base fija
Ymodo=[0;250;500;750;1000];
Xmodo=[0;ZZ(1,1);ZZ(2,1);ZZ(3,1);ZZ(4,1)];
plot(abs(Xmodo),Ymodo);grid,xlabel('Xmodo'),ylabel('Y modo')
114
B.2 PROGRAMA EN LENGUAJE MATLAB MÉTODO DE E. CRUZ Y A. CHOPRA
%Programa:"MCruzyChopra.m"
% : Método Aproximado de E.Cruz Y A. Chopra para el Cálculo de Modo y Frecuencia Fundamental
% de Vibrar de Edificios de n Grados de Libertad.
%Calculo frecuencia de vibrar y 1ºmodo de vibrar de edificio con base fija
clear all
global mb m Kb wb w1 M1 L1 cb c1
%Cálculo de la Matriz de Rigidez del Edificio
E=238.752; % Modulo de Elasticidad T/cm^2
G=5*E/12; % Modulo de Corte T/cm^2
n=4; % Numero de Pisos del Edificio
hm=250; % Altura del Piso cm
% Muro 1
L1=600; % Largo muro 1 cm
e1=20; % Espesor del muro cm
I1=e1*L1^3/12; % Inercia muro 1 cm^4
for i=1:n
for j=1:i
hi=i*hm;
hj=j*hm;
F1(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I1))*(1-hj/(3*hi)+L1^2/(2*hi*hj));
F1(j,i)=F1(i,j);
end
end
F1; % F1 = Matriz de Flexibilidad de un muro 1 cm/T
Km1=inv(F1); % Km1 = Matriz de Rigidez del muro 1 T/cm
% Muro 2
L2=20; % Largo muro 2 cm
e2=560; % Espesor del muro cm
I2=e1*L2^3/12; % Inercia muro 2 cm^4
for i=1:n
for j=1:i
hi=i*hm;
hj=j*hm;
F2(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I2))*(1-hj/(3*hi)+L2^2/(2*hi*hj));
F2(j,i)=F2(i,j);
end
end
115
F2; % F2 = Matriz de Flexibilidad de un muro 2 cm/T
Km2=inv(F2); % Km2 = Matriz de Rigidez del muro 2 T/cm
% Muro 3
L3=20; % Largo muro 3 cm
e3=280; % espesor del muro cm
I3=e1*L3^3/12; % Inercia muro 3 cm^4
for i=1:n
for j=1:i
hi=i*hm;
hj=j*hm;
F3(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I3))*(1-hj/(3*hi)+L3^2/(2*hi*hj));
F3(j,i)=F3(i,j);
end
end
F3; % F3 = Matriz de Flexibilidad de un muro 3 cm/T
Km3=inv(F3); % Km3 = Matriz de Rigidez del muro 3 Edificio T/cm
% Pilar
hp=250; % Altura del Piso cm
a=30; % Dimensión Pilar cm
b=30; % Dimensión Pilar cm
Ap=5*a*b/6; % Area Pilar cm^2
Ip=a*b^3/12; % Inercia Pilar cm^4
kp=(12*E*Ip*G*Ap)/(hp*(hp^2*G*Ap+12*E*Ip)); %Rigidez Pilar T/cm
Kpilar = kp*[2 -1 0 0;
-1 2 -1 0;
0 1 2 -1;
0 0 -1 1];
N1=6; % N1= Numero de Muros 1 del Edificio en la dirección correspondiente
N2=2; % N2= Numero de Muros 2 del Edificio en la dirección correspondiente
N3=4; % N3= Numero de Muros 3 del Edificio en la dirección correspondiente
Np=0; % Np= Numero de Pilares del Edificio en la dirección correspondiente
K=N1*Km1+N2*Km2+N3*Km3+Np*Kpilar; % K = Matriz de Rigidez del Edificio T/cm
116
% M = Matriz de Masa del Edificio T*s^2/cm
M=[0.3536 0.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 0.3536 0.0000 0.0000;
0.0000 0.0000 0.3536 0.0000;
0.0000 0.0000 0.0000 0.2501];
[m,n]=size(M);
S=M*ones(n,1); % S = Vector de Masas del Edificio T*s^2/cm
H=[250;500;750;1000]; % H = Vector de Alturas de piso cm
ht=H(4,1); % ht = Altura de Edificio cm
delta=1.745; % parámetro que se ha correlacionado con el tipo de estructura y relacionado
% con la razón de rigidez de la estructura.
Z1=(H/ht).^delta;
r1=Z1'*K*Z1;
r2=Z1'*M*Z1;
MN1=Z1/(r2)^0.5; % 1ºModo de Vibrar de Edificio con base fija
w1=sqrt(r1/r2); % Frecuencia Fundamental de Vibrar de Edificio con base fija rad/seg
T1=2*pi/w1; % Periodo Fundamental de Vibrar
Ymodo=[0;250;500;750;1000];
Xmodo=[0;MN1(1,1);MN1(2,1);MN1(3,1);MN1(4,1)];
plot(abs(Xmodo),Ymodo);grid,xlabel('Xmodo'),ylabel('Y modo')
117
ANEXO C: PROGRAMA EN LENGUAJE MATLAB DE MÉTODO SIMPLIFICADO DE ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLADORES SÍSMICOS
C.1 PROGRAMA EN LENGUAJE MATLAB
C.1.1.- Programa Principal:
%Programa:"MSEASNL.m"
% : Método Simplificado para análisis Dinámico de Edificios
% con aisladores sísmicos de comportamiento No lineal.
% : Aplicación de Ecuación de estado y Método numérico de Runge Kutta de 4º Orden
% Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas y que representan el modelo dinámico.
% se incorpora Ecuación de Wen que representa la no linealidad del modelo.
% * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
% * .. .. . .. *
% * L1*qb+y1+2w1b1*y1+w1^2*y1=- L1*ug *
% * . . .. .. *
% * qb +2Bbwb*qb+alfa*wb^2*qb+(1-alfa)*wb^2*Z+L1M1*y1/(m+mb)=-ug *
% * . . . . *
% * Z =A*qb-(beta*qb^(abs(Z))^2 +gama*(abs (qb))*(abs(Z))^(n-1)*Z *
% * *
% * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
%
clear all
global mb m Kb wb w1 M1 L1 cb c1 alfa beta gama coefa n
%1.-Datos de Entrada:
% Parametros del Edificio:
M=[0.3536 0.0000 0.0000 0.0000; % Matriz de Masa del Edificio T*s^2/cm
0.0000 0.3536 0.0000 0.0000;
0.0000 0.0000 0.3536 0.0000;
0.0000 0.0000 0.0000 0.2501];
[m,n]=size(M);
T1=0.08462; % Periodo Fundamental del edificio con Base Fija seg
w1=2*pi/T1; % Frecuencia Natural de Vibrar de Edificio con base fija rad /seg
ZZ=[0.2626;
0.6345;
1.0220; % 1º Modo de Vibrar de Edificio con base fija
1.3620];
m=1.3108; % Masa Total Edificio T*s^2/cm
face=0; % Factor de amortiguamiento Edificio
c1=2*face*w1*m; % Amortiguamiento Edificio T*s/cm
118
M1=ZZ'*M*ZZ; % Masa Modal efectiva T*s^2/cm
L1=ZZ'*M*ones(n,1)/M1; % Factor de participación modal de Edificio con base fija
%Parámetros Base Aislada:
mb=0.3616; % Masa total de la Base Aislada T*s^2/cm
Kb=1.7*20; % Rigidez Equivalente de la Base Aislada T/cm
wb=sqrt(Kb/(m+mb)); % Frecuencia Natural de la base aislada rad/seg
Tb=2*pi/wb; % Periodo de la base aislada seg
facb=0.1; % Factor de amortiguamiento
cb=2*facb*wb*(m+mb); % Amortiguamiento Equivalente Base Aislada T*s/cm
% Parametros de Forma adimensionales del Modelo de Wen
alfa=0.6; % Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal.
beta=0.5; % Determina la forma de la curva.
gama=0.5; % Determina la forma de la curva.
coefa=1; % Factor de escala general.
n=2; % Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y la no lineal.
%Solucion de la Ecuacion de Estado "EDENL.m" mediante Runge Kutta de 4ºorden "rks4.m"
to=0; % Tiempo Inicial seg
tf=116.43; % Tiempo Final seg
yo=[0 0 0 0 0]; % Vector de Condiciones Iniciales
[t,x]=rks4('EDENL',to,tf,yo,23286);
%2.- Resultados:
%Desplazamiento de la Base aislada del edificio relativo a la fundación .
qb=x(:,1);
%Desplazamientos de cada Nivel del Edificio relativos a la Base
q1=x(:,3)*ZZ(1,1);
q2=x(:,3)*ZZ(2,1);
q3=x(:,3)*ZZ(3,1);
q4=x(:,3)*ZZ(4,1);
%Desplazamientos de cada Nivel del Edificio c/r a la fundación
qa1=x(:,3)*ZZ(1,1)+x(:,1);
qa2=x(:,3)*ZZ(2,1)+x(:,1);
qa3=x(:,3)*ZZ(3,1)+x(:,1);
qa4=x(:,3)*ZZ(4,1)+x(:,1);
% Vector de Estado que Representa la Respuesta Del Edificio
q=[qb qa1 qa2 qa3 qa4];
119
% Gráficamente:
%Desplazamiento de la Base aislada del edificio relativo a la fundación.
figure(1)
plot(t,qb);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('qb(cm)')
title('Desp. de la Base del Edificio con Aisladores Sismicos de Comportamiento No Lineal(MSEASNL)');
figure(2)
%Desplazamientos de cada Nivel del Edificio c/r a la fundación
subplot(4,1,1),plot(t,qa1);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('qa1 (cm)')
title('Desp. de cada Nivel del Edificio con Aisladores Sismicos de Comportamiento NoLineal(MSEASNL)');
subplot(4,1,2),plot(t,qa2);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('qa2 (cm)')
subplot(4,1,3),plot(t,qa3);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('qa3 (cm)')
subplot(4,1,4),plot(t,qa4);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('qa4 (cm)')
figure(3)
% Vector de Estado que Representa la Respuesta Del Edificio
plot(t,q);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('Desplazamiento q (cm)')
title('Respuesta en el Tiempo del Edificio con A. Basal de Comportamiento No Lineal (MSEASNL)');
C.1.2.- Function A: Ecuación de Estado a Solucionar.
%EDENL.m
%Sistema de Ecuación diferencial de primer orden o Ecuación de Estado que representa el
comportamiento
%dinamico del edificio con aisladores sismicos en su base de comportamiento no lineal frente a una
Solicitación Sismica.
function A=EDENL(t,x)
global mb m Kb wb w1 M1 L1 cb c1 alfa beta gama coefa n
A=[x(2),(-alfa*wb^2*x(1)-cb*x(2)/(m+mb)+L1*M1*w1^2*x(3)/(m+mb)+c1*L1*M1*x(4)/(m*(m+mb))-...
(1-alfa)*wb^2*x(5))/(1-L1^2*M1/(m+mb))-fed(t),x(4),(alfa*wb^2*L1*x(1)+cb*L1...
*x(2)/(m+mb)-w1^2*x(3)-c1*x(4)/m+(1-alfa)*wb^2*L1*x(5))/(1-L1^2*M1/(m+mb)),coefa...
*x(2)-beta*x(2)*(abs(x(5)))^2-gama*abs(x(2))*(abs(x(5)))^(n-1)*x(5)];
120
C.1.3.- Function [T,Z]: Método Numérico de Runge Kutta 4º.
%Programa "rks4.m"
%Método de Runge-Kutta de Orden N=4 para Sistemas.
%Construcción de Aproximaciones a la Solución del Sistema de Ecuaciones Diferenciales
% x1(t)=f1(t,x1(t),......,xn(t))
% .
% xn(t)=fn(t,x1(t),......,xn(t))
%con x1(a)= alfa1,......,xn(a)=alfa n en el intervalo [a,b]
function [T,Z]=rks4(F,a,b,Za,M)
%Datos
% - F es la función, almacenada como una
% cadena de caracteres o 'F'
% - a y b son los extremos derecho e izquierdo
% del intervalo
% - Z=[x1(a)...xn(a)] es la condición inicial
% - M es el número de pasos
% Resultado
% - T el vector de los nodos
% - Z = [x1(a)...xn(a)]; donde xk(t) es la aproximación
% a la k-ésima variable dependiente
h=(b-a)/M;
T=zeros(1,M+1);
Z=zeros(M+1,length(Za));
T=a:h:b;
Z(1,:)=Za;
for j=1:M
k1=h*feval(F,T(j),Z(j,:));
k2=h*feval(F,T(j)+h/2,Z(j,:)+k1/2);
k3=h*feval(F,T(j)+h/2,Z(j,:)+k2/2);
k4=h*feval(F,T(j)+h,Z(j,:)+k3);
Z(j+1,:)=Z(j,:)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
end
121
C.1.4.- Function fed (t): Ingreso de Solicitación Sísmica
%SISMO Northridge Componente 90º (Santa Monica) 1994.
function f=fed(t)
F= [ 0.000 2.321
0.020 1.647
0.040 0.854
0.060 -0.188
0.080 -1.492
0.100 -0.155
0.120 1.559
0.140 1.468
0.160 1.468
0.180 0.234
0.200 -1.725
0.220 -0.507
0.240 0.331
0.260 0.014
0.280 1.031
. .
. .
. .
. .
59.800 -1.544
59.820 -1.543
59.840 -1.556
59.860 -1.688
59.880 -1.233
59.900 -1.169
59.920 -0.384
59.940 -0.754
59.960 -0.135
59.980 -0.678];
n=length(F);
if(t>F(n,1))
f=0;
end
for i=1:n-1
if((t>=F(i,1))&(t<=F(i+1,1)))
f=(F(i+1,2)-F(i,2))/(F(i+1,1)-F(i,1))*(t-F(i,1))+F(i,2);
break
end
end
ANEXO D: RESULTADOS ANÁLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO EDIFICIOS CON BASE AISLADA CONSIDERANDO PARÁMETROS DINÁMICOS APROXIMADOS. D.1 Edificio Nº1 Registro de LLolleo: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
122
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
123
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
124
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
125
Registro de Northridge: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
126
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
127
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
128
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
129
D.2 EDIFICIO Nº 2 Registro de LLolleo: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
130
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
131
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
132
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
133
Registro de Northridge: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
134
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
135
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
136
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
137
138
ANEXO E: RESULTADOS TABULADOS DE ANÁLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO EDIFICIOS CON BASE AISLADA. EDIFICIO Nº1 : Registro de Llolleo-Edificio de 4 Pisos:
Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.010 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.015 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.020 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.025 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.030 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.035 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.040 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.045 0.0031 0.0031 0.0032 0.0031 0.0031 0.0031 0.050 0.0047 0.0047 0.0048 0.0047 0.0047 0.0047 0.055 0.0066 0.0066 0.0067 0.0067 0.0067 0.0067 0.060 0.0089 0.0090 0.0091 0.0090 0.0090 0.0090 0.065 0.0116 0.0116 0.0118 0.0117 0.0117 0.0117
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 30.530 14.7830 14.7980 14.8620 14.7837 14.8009 14.8200 30.535 14.8630 14.8780 14.9420 14.8635 14.8808 14.9000 30.540 14.9310 14.9460 15.0100 14.9316 14.9490 14.9680 30.545 14.9880 15.0030 15.0670 14.9881 15.0056 15.0240 30.550 15.0330 15.0480 15.1120 15.0331 15.0507 15.0700 30.555 15.0660 15.0820 15.1450 15.0667 15.0843 15.1030 30.560 15.0890 15.1040 15.1670 15.0887 15.1063 15.1250 30.565 15.0990 15.1140 15.1770 15.0989 15.1165 15.1350 30.570 15.0970 15.1120 15.1750 15.0971 15.1147 15.1330 30.575 15.0830 15.0980 15.1600 15.0828 15.1004 15.1190 30.580 15.0560 15.0710 15.1320 15.0557 15.0732 15.0910 30.585 15.0160 15.0300 15.0900 15.0148 15.0322 15.0500 30.590 14.9600 14.9750 15.0340 14.9594 14.9768 14.9950 30.595 14.8900 14.9040 14.9630 14.8890 14.9064 14.9240
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 116.370 -0.3472 -0.3476 -0.3492 -0.3474 -0.3478 -0.3481 116.375 -0.3524 -0.3528 -0.3544 -0.3526 -0.3530 -0.3534 116.380 -0.3574 -0.3578 -0.3595 -0.3576 -0.3580 -0.3584 116.385 -0.3622 -0.3626 -0.3643 -0.3624 -0.3628 -0.3632 116.390 -0.3668 -0.3672 -0.3689 -0.3670 -0.3674 -0.3677 116.395 -0.3711 -0.3715 -0.3732 -0.3713 -0.3718 -0.3721 116.400 -0.3752 -0.3756 -0.3773 -0.3754 -0.3759 -0.3762 116.405 -0.3791 -0.3795 -0.3812 -0.3793 -0.3797 -0.3800 116.410 -0.3827 -0.3831 -0.3848 -0.3829 -0.3833 -0.3837 116.415 -0.3860 -0.3864 -0.3882 -0.3863 -0.3867 -0.3870 116.420 -0.3891 -0.3896 -0.3913 -0.3894 -0.3898 -0.3901 116.425 -0.3920 -0.3924 -0.3941 -0.3922 -0.3927 -0.3930 116.430 -0.3946 -0.3951 -0.3968 -0.3948 -0.3953 -0.3956
139
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.010 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.015 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.020 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000 -0.0001 -0.0001 0.025 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.030 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.035 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.040 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.045 0.0031 0.0031 0.0032 0.0031 0.0032 0.0032 0.050 0.0047 0.0047 0.0048 0.0047 0.0047 0.0048 0.055 0.0066 0.0066 0.0067 0.0067 0.0067 0.0068 0.060 0.0089 0.0090 0.0091 0.0091 0.0091 0.0091 0.065 0.0116 0.0116 0.0118 0.0118 0.0118 0.0119
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 30.530 10.8940 10.9030 10.9390 11.6128 11.6238 11.6600 30.535 11.0910 11.1000 11.1360 11.8116 11.8227 11.8590 30.540 11.2790 11.2880 11.3240 12.0017 12.0129 12.0494 30.545 11.4600 11.4680 11.5050 12.1833 12.1945 12.2312 30.550 11.6320 11.6410 11.6770 12.3562 12.3675 12.4044 30.555 11.7960 11.8050 11.8420 12.5205 12.5319 12.5691 30.560 11.9510 11.9600 11.9970 12.6760 12.6874 12.7249 30.565 12.0980 12.1070 12.1450 12.8224 12.8339 12.8716 30.570 12.2370 12.2460 12.2830 12.9595 12.9710 13.0089 30.575 12.3660 12.3740 12.4110 13.0867 13.0983 13.1362 30.580 12.4850 12.4930 12.5300 13.2036 13.2152 13.2531 30.585 12.5930 12.6020 12.6380 13.3093 13.3208 13.3586 30.590 12.6890 12.6980 12.7350 13.4029 13.4144 13.4519 30.595 12.7740 12.7830 12.8190 13.4837 13.4952 13.5325
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 116.370 -0.3031 -0.3257 -0.3273 -0.3687 -0.3691 -0.3706 116.375 -0.3089 -0.3309 -0.3325 -0.3730 -0.3734 -0.3748 116.380 -0.3145 -0.3359 -0.3374 -0.3770 -0.3774 -0.3788 116.385 -0.3200 -0.3406 -0.3422 -0.3807 -0.3812 -0.3826 116.390 -0.3254 -0.3452 -0.3468 -0.3842 -0.3847 -0.3863 116.395 -0.3305 -0.3495 -0.3511 -0.3874 -0.3879 -0.3897 116.400 -0.3355 -0.3536 -0.3552 -0.3904 -0.3909 -0.3928 116.405 -0.3402 -0.3574 -0.3591 -0.3932 -0.3937 -0.3957 116.410 -0.3448 -0.3611 -0.3627 -0.3957 -0.3963 -0.3982 116.415 -0.3491 -0.3644 -0.3661 -0.3981 -0.3986 -0.4004 116.420 -0.3532 -0.3676 -0.3692 -0.4002 -0.4007 -0.4023 116.425 -0.3570 -0.3705 -0.3721 -0.4020 -0.4025 -0.4039 116.430 -0.3607 -0.3732 -0.3748 -0.4035 -0.4040 -0.4054
140
Edificio de 10 Pisos : Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.010 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.015 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.020 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.025 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.030 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.035 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.040 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.045 0.0031 0.0031 0.0032 0.0031 0.0031 0.0031 0.050 0.0047 0.0047 0.0048 0.0047 0.0047 0.0047 0.055 0.0066 0.0067 0.0068 0.0067 0.0067 0.0067 0.060 0.0089 0.0090 0.0092 0.0090 0.0091 0.0091 0.065 0.0116 0.0117 0.0120 0.0117 0.0118 0.0118
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 30.530 4.9529 5.0785 5.2726 4.9529 5.0472 5.1810 30.535 5.2538 5.3811 5.5779 5.2496 5.3495 5.4914 30.540 5.5484 5.6779 5.8781 5.5408 5.6460 5.7956 30.545 5.8367 5.9688 6.1731 5.8264 5.9368 6.0935 30.550 6.1185 6.2539 6.4631 6.1066 6.2218 6.3852 30.555 6.3940 6.5330 6.7480 6.3811 6.5010 6.6707 30.560 6.6628 6.8061 7.0276 6.6498 6.7741 6.9496 30.565 6.9247 7.0727 7.3014 6.9125 7.0410 7.2218 30.570 7.1795 7.3326 7.5692 7.1687 7.3011 7.4868 30.575 7.4267 7.5852 7.8304 7.4180 7.5541 7.7444 30.580 7.6658 7.8301 8.0842 7.6598 7.7992 7.9938 30.585 7.8960 8.0663 8.3297 7.8932 8.0358 8.2343 30.590 8.1165 8.2930 8.5659 8.1173 8.2629 8.4650 30.595 8.3269 8.5095 8.7919 8.3314 8.4797 8.6852
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 116.370 -0.0207 -0.0213 -0.0222 -0.0218 -0.0217 -0.0212 116.375 -0.0287 -0.0296 -0.0309 -0.0300 -0.0300 -0.0297 116.380 -0.0367 -0.0379 -0.0396 -0.0382 -0.0383 -0.0382 116.385 -0.0446 -0.0461 -0.0483 -0.0463 -0.0466 -0.0466 116.390 -0.0525 -0.0542 -0.0570 -0.0543 -0.0548 -0.0550 116.395 -0.0602 -0.0624 -0.0656 -0.0623 -0.0629 -0.0634 116.400 -0.0679 -0.0704 -0.0742 -0.0702 -0.0710 -0.0717 116.405 -0.0755 -0.0784 -0.0827 -0.0780 -0.0789 -0.0799 116.410 -0.0831 -0.0862 -0.0912 -0.0858 -0.0869 -0.0881 116.415 -0.0905 -0.0941 -0.0995 -0.0934 -0.0947 -0.0963 116.420 -0.0979 -0.1018 -0.1078 -0.1010 -0.1024 -0.1043 116.425 -0.1052 -0.1095 -0.1160 -0.1084 -0.1101 -0.1123 116.430 -0.1125 -0.1170 -0.1240 -0.1158 -0.1177 -0.1202
141
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 5º Piso D.10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.010 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.015 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.020 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000 -0.0001 -0.0001 0.025 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.030 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.035 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.040 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.0019 0.045 0.0031 0.0031 0.0032 0.0031 0.0032 0.0032 0.050 0.0047 0.0047 0.0048 0.0047 0.0048 0.0048 0.055 0.0066 0.0067 0.0068 0.0067 0.0068 0.0068 0.060 0.0089 0.0090 0.0092 0.0091 0.0091 0.0091 0.065 0.0116 0.0117 0.0120 0.0118 0.0119 0.0119
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 30.530 2.6577 2.7221 2.8217 2.3648 2.4740 2.6437 30.535 2.8528 2.9168 3.0159 2.5653 2.6793 2.8567 30.540 3.0427 3.1067 3.2055 2.7619 2.8800 3.0636 30.545 3.2276 3.2917 3.3909 2.9546 3.0761 3.2642 30.550 3.4075 3.4720 3.5719 3.1435 3.2675 3.4586 30.555 3.5823 3.6476 3.7485 3.3287 3.4542 3.6469 30.560 3.7519 3.8182 3.9207 3.5099 3.6360 3.8288 30.565 3.9160 3.9836 4.0881 3.6868 3.8126 4.0042 30.570 4.0743 4.1435 4.2503 3.8591 3.9836 4.1728 30.575 4.2265 4.2974 4.4070 4.0262 4.1488 4.3340 30.580 4.3720 4.4448 4.5575 4.1875 4.3074 4.4876 30.585 4.5100 4.5849 4.7008 4.3420 4.4587 4.6326 30.590 4.6398 4.7169 4.8361 4.4886 4.6019 4.7683 30.595 4.7606 4.8400 4.9626 4.6267 4.7361 4.8944
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . 116.370 -0.0153 -0.0158 -0.0166 -0.0100 -0.0148 -0.0240 116.375 -0.0235 -0.0242 -0.0254 -0.0184 -0.0236 -0.0321 116.380 -0.0315 -0.0326 -0.0342 -0.0269 -0.0323 -0.0400 116.385 -0.0395 -0.0409 -0.0430 -0.0354 -0.0410 -0.0478 116.390 -0.0475 -0.0492 -0.0518 -0.0441 -0.0495 -0.0557 116.395 -0.0553 -0.0574 -0.0605 -0.0528 -0.0578 -0.0636 116.400 -0.0631 -0.0655 -0.0692 -0.0616 -0.0660 -0.0716 116.405 -0.0708 -0.0735 -0.0778 -0.0704 -0.0740 -0.0795 116.410 -0.0784 -0.0815 -0.0863 -0.0792 -0.0820 -0.0872 116.415 -0.0860 -0.0894 -0.0948 -0.0879 -0.0899 -0.0948 116.420 -0.0934 -0.0973 -0.1032 -0.0963 -0.0979 -0.1021 116.425 -0.1009 -0.1050 -0.1114 -0.1044 -0.1060 -0.1092 116.430 -0.1082 -0.1127 -0.1196 -0.1124 -0.1140 -0.1163
142
Registro Northridge Edicio de 4 pisos: Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.02 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.04 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 0.06 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0028 0.08 -0.0040 -0.0040 -0.0040 -0.0040 -0.0040 -0.0040 0.10 -0.0047 -0.0047 -0.0048 -0.0047 -0.0047 -0.0047 0.12 -0.0054 -0.0054 -0.0054 -0.0054 -0.0054 -0.0054 0.14 -0.0065 -0.0065 -0.0065 -0.0065 -0.0065 -0.0065 0.16 -0.0081 -0.0081 -0.0081 -0.0081 -0.0081 -0.0081 0.18 -0.0101 -0.0101 -0.0101 -0.0101 -0.0101 -0.0101 0.20 -0.0120 -0.0120 -0.0121 -0.0120 -0.0120 -0.0120 0.22 -0.0133 -0.0133 -0.0134 -0.0133 -0.0134 -0.0134 0.24 -0.0143 -0.0143 -0.0144 -0.0143 -0.0143 -0.0143 0.26 -0.0152 -0.0152 -0.0153 -0.0152 -0.0152 -0.0152
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 13.40 -7.9556 -7.9646 -8.0023 -7.9563 -7.9655 -7.9774 13.42 -8.4447 -8.4540 -8.4932 -8.4452 -8.4550 -8.4673 13.44 -8.8759 -8.8855 -8.9259 -8.8763 -8.8866 -8.8992 13.46 -9.2475 -9.2574 -9.2988 -9.2478 -9.2586 -9.2714 13.48 -9.5556 -9.5657 -9.6077 -9.5558 -9.5670 -9.5799 13.50 -9.7953 -9.8054 -9.8478 -9.7953 -9.8068 -9.8197 13.52 -9.9633 -9.9735 -10.0160 -9.9633 -9.9749 -9.9878 13.54 -10.0620 -10.0720 -10.1140 -10.0615 -10.0732 -10.0860 13.56 -10.0940 -10.1040 -10.1460 -10.0941 -10.1059 -10.1180 13.58 -10.0640 -10.0740 -10.1150 -10.0638 -10.0755 -10.0880 13.60 -9.9723 -9.9818 -10.0220 -9.9720 -9.9836 -9.9954 13.62 -9.8251 -9.8344 -9.8735 -9.8249 -9.8363 -9.8476 13.64 -9.6291 -9.6381 -9.6759 -9.6289 -9.6401 -9.6509 13.66 -9.3857 -9.3944 -9.4307 -9.3855 -9.3964 -9.4067
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 59.74 0.0239 0.0239 0.0242 0.0239 0.0239 0.0240 59.76 0.0384 0.0384 0.0387 0.0384 0.0384 0.0385 59.78 0.0523 0.0524 0.0527 0.0523 0.0523 0.0525 59.80 0.0656 0.0657 0.0661 0.0656 0.0657 0.0658 59.82 0.0787 0.0788 0.0792 0.0787 0.0788 0.0789 59.84 0.0915 0.0916 0.0921 0.0915 0.0916 0.0918 59.86 0.1040 0.1041 0.1046 0.1039 0.1041 0.1043 59.88 0.1160 0.1161 0.1167 0.1160 0.1161 0.1163 59.90 0.1274 0.1276 0.1282 0.1274 0.1275 0.1278 59.92 0.1380 0.1382 0.1388 0.1380 0.1382 0.1384 59.94 0.1475 0.1477 0.1484 0.1475 0.1477 0.1479 59.96 0.1559 0.1561 0.1568 0.1559 0.1561 0.1563 59.98 0.1631 0.1632 0.1640 0.1631 0.1632 0.1635
143
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.040 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 0.060 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0029 0.080 -0.0040 -0.0040 -0.0040 -0.0041 -0.0041 -0.0041 0.100 -0.0047 -0.0047 -0.0048 -0.0048 -0.0048 -0.0049 0.120 -0.0054 -0.0054 -0.0054 -0.0055 -0.0055 -0.0055 0.140 -0.0065 -0.0065 -0.0065 -0.0066 -0.0066 -0.0067 0.160 -0.0081 -0.0081 -0.0081 -0.0083 -0.0083 -0.0083 0.180 -0.0101 -0.0101 -0.0101 -0.0103 -0.0103 -0.0104 0.200 -0.0120 -0.0120 -0.0121 -0.0123 -0.0123 -0.0124 0.220 -0.0133 -0.0133 -0.0134 -0.0137 -0.0137 -0.0138 0.240 -0.0143 -0.0143 -0.0144 -0.0147 -0.0147 -0.0148 0.260 -0.0152 -0.0152 -0.0153 -0.0156 -0.0156 -0.0157
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 13.400 -5.1190 -5.1236 -5.1427 -5.3147 -5.3203 -5.3389 13.420 -5.6306 -5.6354 -5.6557 -5.8424 -5.8483 -5.8674 13.440 -6.1215 -6.1266 -6.1478 -6.3470 -6.3533 -6.3740 13.460 -6.5903 -6.5956 -6.6178 -6.8278 -6.8344 -6.8558 13.480 -7.0332 -7.0387 -7.0617 -7.2806 -7.2874 -7.3094 13.500 -7.4448 -7.4504 -7.4742 -7.6994 -7.7065 -7.7299 13.520 -7.8213 -7.8271 -7.8515 -8.0812 -8.0884 -8.1118 13.540 -8.1634 -8.1693 -8.1942 -8.4256 -8.4330 -8.4571 13.560 -8.4739 -8.4799 -8.5053 -8.7358 -8.7434 -8.7681 13.580 -8.7534 -8.7595 -8.7853 -9.0128 -9.0204 -9.0449 13.600 -9.0014 -9.0076 -9.0337 -9.2552 -9.2630 -9.2884 13.620 -9.2214 -9.2277 -9.2541 -9.4676 -9.4754 -9.5008 13.640 -9.4172 -9.4236 -9.4503 -9.6536 -9.6614 -9.6867 13.660 -9.5875 -9.5939 -9.6208 -9.8114 -9.8193 -9.8453
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 59.740 -0.0331 -0.0330 -0.0329 -0.0186 -0.0185 -0.0182 59.760 -0.0202 -0.0201 -0.0199 -0.0041 -0.0040 -0.0038 59.780 -0.0077 -0.0076 -0.0073 0.0096 0.0098 0.0101 59.800 0.0044 0.0045 0.0048 0.0228 0.0229 0.0233 59.820 0.0163 0.0164 0.0168 0.0357 0.0358 0.0361 59.840 0.0282 0.0283 0.0287 0.0481 0.0482 0.0488 59.860 0.0399 0.0400 0.0404 0.0602 0.0604 0.0609 59.880 0.0513 0.0514 0.0519 0.0719 0.0720 0.0725 59.900 0.0623 0.0624 0.0630 0.0827 0.0829 0.0836 59.920 0.0726 0.0728 0.0734 0.0929 0.0931 0.0936 59.940 0.0821 0.0822 0.0828 0.1018 0.1020 0.1027 59.960 0.0906 0.0908 0.0914 0.1096 0.1098 0.1106 59.980 0.0980 0.0982 0.0988 0.1162 0.1164 0.1170
144
Edificio de 10 pisos: Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.040 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 0.060 -0.0028 -0.0028 -0.0029 -0.0028 -0.0028 -0.0029 0.080 -0.0040 -0.0041 -0.0043 -0.0040 -0.0041 -0.0041 0.100 -0.0047 -0.0049 -0.0051 -0.0048 -0.0049 -0.0050 0.120 -0.0054 -0.0056 -0.0059 -0.0055 -0.0056 -0.0058 0.140 -0.0066 -0.0068 -0.0072 -0.0067 -0.0068 -0.0070 0.160 -0.0084 -0.0086 -0.0089 -0.0084 -0.0086 -0.0088 0.180 -0.0106 -0.0108 -0.0111 -0.0106 -0.0108 -0.0110 0.200 -0.0127 -0.0130 -0.0134 -0.0128 -0.0130 -0.0133 0.220 -0.0143 -0.0146 -0.0151 -0.0144 -0.0146 -0.0149 0.240 -0.0156 -0.0160 -0.0165 -0.0157 -0.0160 -0.0163 0.260 -0.0169 -0.0173 -0.0179 -0.0170 -0.0173 -0.0177
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. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 13.400 -7.9282 -8.1099 -8.3908 -7.9632 -8.1018 -8.2926 13.420 -8.7475 -8.9554 -9.2770 -8.8056 -8.9513 -9.1473 13.440 -9.5526 -9.7794 -10.1300 -9.6243 -9.7782 -9.9822 13.460 -10.3440 -10.5800 -10.9450 -10.4152 -10.5803 -10.7984 13.480 -11.1150 -11.3520 -11.7170 -11.1731 -11.3532 -11.5927 13.500 -11.8580 -12.0890 -12.4480 -11.8927 -12.0907 -12.3576 13.520 -12.5600 -12.7870 -13.1380 -12.5716 -12.7885 -13.0855 13.540 -13.2190 -13.4450 -13.7950 -13.2123 -13.4469 -13.7719 13.560 -13.8320 -14.0650 -14.4250 -13.8193 -14.0684 -14.4152 13.580 -14.3990 -14.6460 -15.0290 -14.3938 -14.6527 -15.0130 13.600 -14.9220 -15.1880 -15.6010 -14.9343 -15.1986 -15.5640 13.620 -15.4080 -15.6940 -16.1380 -15.4423 -15.7086 -16.0732 13.640 -15.8650 -16.1670 -16.6360 -15.9182 -16.1855 -16.5475 13.660 -16.2940 -16.6060 -17.0870 -16.3572 -16.6266 -16.9885
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . 59.740 -1.5666 -1.5886 -1.6227 -1.5713 -1.5982 -1.6349 59.760 -1.4938 -1.5143 -1.5460 -1.4983 -1.5240 -1.5591 59.780 -1.4166 -1.4355 -1.4647 -1.4209 -1.4453 -1.4787 59.800 -1.3354 -1.3525 -1.3791 -1.3394 -1.3624 -1.3940 59.820 -1.2499 -1.2653 -1.2891 -1.2536 -1.2752 -1.3048 59.840 -1.1603 -1.1740 -1.1951 -1.1638 -1.1839 -1.2115 59.860 -1.0669 -1.0789 -1.0975 -1.0704 -1.0889 -1.1143 59.880 -0.9702 -0.9806 -0.9967 -0.9737 -0.9905 -1.0136 59.900 -0.8707 -0.8795 -0.8930 -0.8743 -0.8893 -0.9099 59.920 -0.7689 -0.7760 -0.7869 -0.7725 -0.7858 -0.8039 59.940 -0.6654 -0.6707 -0.6790 -0.6689 -0.6804 -0.6960 59.960 -0.5606 -0.5641 -0.5696 -0.5640 -0.5736 -0.5867 59.980 -0.4549 -0.4566 -0.4592 -0.4581 -0.4659 -0.4765
145
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 5º Piso D.10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.040 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 0.060 -0.0028 -0.0028 -0.0029 -0.0028 -0.0029 -0.0029 0.080 -0.0040 -0.0041 -0.0043 -0.0041 -0.0041 -0.0042 0.100 -0.0047 -0.0049 -0.0051 -0.0049 -0.0050 -0.0051 0.120 -0.0054 -0.0056 -0.0059 -0.0056 -0.0057 -0.0060 0.140 -0.0066 -0.0068 -0.0072 -0.0068 -0.0070 -0.0073 0.160 -0.0084 -0.0086 -0.0089 -0.0085 -0.0088 -0.0091 0.180 -0.0106 -0.0108 -0.0111 -0.0108 -0.0110 -0.0114 0.200 -0.0127 -0.0130 -0.0134 -0.0130 -0.0133 -0.0137 0.220 -0.0143 -0.0146 -0.0151 -0.0147 -0.0150 -0.0154 0.240 -0.0156 -0.0160 -0.0165 -0.0160 -0.0164 -0.0168 0.260 -0.0169 -0.0173 -0.0179 -0.0174 -0.0178 -0.0183
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 13.400 5.0898 5.0859 5.0798 4.5451 4.5872 4.6699 13.420 4.2699 4.2386 4.1902 3.6087 3.6735 3.8064 13.440 3.4256 3.3741 3.2943 2.6864 2.7480 2.8816 13.460 2.5548 2.4936 2.3989 1.7823 1.8131 1.8920 13.480 1.6617 1.6013 1.5080 0.8932 0.8713 0.8544 13.500 0.7557 0.7033 0.6223 0.0092 -0.0734 -0.2011 13.520 -0.1526 -0.1957 -0.2622 -0.8841 -1.0186 -1.2416 13.540 -1.0567 -1.0951 -1.1544 -1.8015 -1.9664 -2.2422 13.560 -1.9542 -1.9968 -2.0627 -2.7523 -2.9195 -3.1931 13.580 -2.8431 -2.9004 -2.9889 -3.7330 -3.8767 -4.0991 13.600 -3.7244 -3.8045 -3.9283 -4.7290 -4.8345 -4.9772 13.620 -4.6055 -4.7118 -4.8760 -5.7242 -5.7928 -5.8573 13.640 -5.4950 -5.6250 -5.8261 -6.7040 -6.7512 -6.7694 13.660 -6.3951 -6.5416 -6.7683 -7.6534 -7.7055 -7.7277
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 59.740 -0.5795 -0.5908 -0.6082 -0.7505 -0.7644 -0.7826 59.760 -0.6089 -0.6205 -0.6383 -0.7761 -0.7900 -0.8088 59.780 -0.6361 -0.6477 -0.6657 -0.7982 -0.8127 -0.8320 59.800 -0.6606 -0.6723 -0.6904 -0.8170 -0.8321 -0.8525 59.820 -0.6822 -0.6939 -0.7120 -0.8324 -0.8477 -0.8694 59.840 -0.7005 -0.7122 -0.7304 -0.8439 -0.8598 -0.8818 59.860 -0.7155 -0.7273 -0.7456 -0.8521 -0.8681 -0.8902 59.880 -0.7273 -0.7392 -0.7575 -0.8571 -0.8725 -0.8943 59.900 -0.7360 -0.7479 -0.7663 -0.8585 -0.8736 -0.8941 59.920 -0.7416 -0.7536 -0.7720 -0.8568 -0.8711 -0.8904 59.940 -0.7446 -0.7564 -0.7747 -0.8519 -0.8652 -0.8835 59.960 -0.7448 -0.7565 -0.7746 -0.8433 -0.8564 -0.8735 59.980 -0.7424 -0.7539 -0.7716 -0.8317 -0.8443 -0.8611
146
Registro de Kobe: Edificio de 4 Pisos : Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.02 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.04 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.06 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.08 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.10 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.12 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.14 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.16 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.18 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 0.20 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.22 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 0.24 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 0.26 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 13.40 4.8537 4.8564 4.8678 4.8573 4.8629 4.8602 13.42 3.9437 3.9457 3.9539 3.9484 3.9530 3.9485 13.44 3.0921 3.0933 3.0985 3.0976 3.1012 3.0951 13.46 2.2833 2.2838 2.2860 2.2895 2.2922 2.2845 13.48 1.5043 1.5041 1.5033 1.5111 1.5129 1.5038 13.50 0.7469 0.7460 0.7422 0.7541 0.7550 0.7447 13.52 0.0043 0.0027 -0.0041 0.0117 0.0117 0.0004 13.54 -0.7320 -0.7343 -0.7441 -0.7244 -0.7253 -0.7376 13.56 -1.4713 -1.4744 -1.4873 -1.4638 -1.4655 -1.4788 13.58 -2.2186 -2.2224 -2.2384 -2.2112 -2.2138 -2.2278 13.60 -2.9673 -2.9719 -2.9910 -2.9601 -2.9635 -2.9783 13.62 -3.7043 -3.7096 -3.7316 -3.6973 -3.7016 -3.7170 13.64 -4.4204 -4.4263 -4.4510 -4.4136 -4.4187 -4.4347 13.66 -5.1136 -5.1202 -5.1476 -5.1071 -5.1131 -5.1294
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . 49.74 0.0617 0.0618 0.0622 -8.8758 0.0619 0.0619 49.76 0.0760 0.0761 0.0766 -9.3431 0.0762 0.0763 49.78 0.0905 0.0906 0.0911 -9.6944 0.0907 0.0908 49.80 0.1050 0.1052 0.1057 -9.9058 0.1052 0.1053 49.82 0.1194 0.1196 0.1202 -9.9631 0.1196 0.1198 49.84 0.1332 0.1334 0.1341 -9.8621 0.1335 0.1336 49.86 0.1461 0.1463 0.1470 -9.6115 0.1464 0.1465 49.88 0.1579 0.1580 0.1588 -9.2364 0.1581 0.1583 49.90 0.1685 0.1686 0.1694 -8.7723 0.1687 0.1689 49.92 0.1781 0.1782 0.1791 -8.2517 0.1783 0.1785 49.94 0.1866 0.1868 0.1877 -7.6997 0.1869 0.1871 49.96 0.1940 0.1942 0.1950 -7.1360 0.1942 0.1945 49.98 0.1999 0.2001 0.2010 -6.5759 0.2002 0.2004
147
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.040 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.060 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.080 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.100 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.120 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.140 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.160 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.180 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 0.200 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.220 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 0.240 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 0.260 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0007 -0.0007 -0.0007
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 13.400 -11.8580 -11.8670 -11.9020 -12.1280 -12.1386 -12.1733 13.420 -12.2470 -12.2550 -12.2900 -12.3936 -12.4041 -12.4385 13.440 -12.4920 -12.5000 -12.5340 -12.5124 -12.5226 -12.5553 13.460 -12.6170 -12.6250 -12.6580 -12.5068 -12.5166 -12.5488 13.480 -12.6410 -12.6490 -12.6820 -12.3992 -12.4086 -12.4392 13.500 -12.5820 -12.5890 -12.6210 -12.2068 -12.2155 -12.2440 13.520 -12.4520 -12.4590 -12.4900 -11.9448 -11.9531 -11.9805 13.540 -12.2690 -12.2760 -12.3050 -11.6325 -11.6402 -11.6652 13.560 -12.0500 -12.0560 -12.0850 -11.2884 -11.2955 -11.3187 13.580 -11.8080 -11.8140 -11.8420 -10.9272 -10.9339 -10.9559 13.600 -11.5460 -11.5520 -11.5780 -10.5528 -10.5590 -10.5789 13.620 -11.2580 -11.2640 -11.2890 -10.1602 -10.1660 -10.1850 13.640 -10.9450 -10.9500 -10.9730 -9.7494 -9.7548 -9.7726 13.660 -10.6110 -10.6160 -10.6380 -9.3266 -9.3316 -9.3478
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 13.780 0.0569 0.0570 0.0574 0.0631 0.0632 0.0633 13.800 0.0712 0.0713 0.0718 0.0767 0.0769 0.0773 13.820 0.0857 0.0858 0.0863 0.0906 0.0908 0.0914 13.840 0.1002 0.1003 0.1009 0.1048 0.1049 0.1052 13.860 0.1146 0.1147 0.1153 0.1184 0.1186 0.1193 13.880 0.1284 0.1286 0.1292 0.1317 0.1319 0.1325 13.900 0.1413 0.1415 0.1422 0.1441 0.1443 0.1448 13.920 0.1530 0.1532 0.1540 0.1550 0.1553 0.1562 13.940 0.1636 0.1638 0.1646 0.1652 0.1654 0.1659 13.960 0.1733 0.1735 0.1743 0.1740 0.1742 0.1750 13.980 0.1819 0.1821 0.1829 0.1818 0.1821 0.1830 14.000 0.1892 0.1895 0.1903 0.1886 0.1888 0.1894 14.020 0.1953 0.1955 0.1963 0.1937 0.1940 0.1949
148
Edificio de 10 pisos: Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.040 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.060 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.080 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.100 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.120 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.140 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.160 -0.0002 -0.0002 -0.0003 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.180 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 0.200 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.220 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 0.240 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 0.260 -0.0007 -0.0007 -0.0007 -0.0007 -0.0007 -0.0007
. . . . . .
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. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 13.400 2.9931 2.9700 2.9342 2.9746 3.0281 3.1028 13.420 1.8528 1.8053 1.7320 1.8268 1.8645 1.9196 13.440 0.7872 0.7214 0.6197 0.7620 0.7822 0.8138 13.460 -0.2237 -0.3003 -0.4188 -0.2381 -0.2373 -0.2334 13.480 -1.1947 -1.2757 -1.4009 -1.1903 -1.2100 -1.2365 13.500 -2.1335 -2.2156 -2.3424 -2.1073 -2.1474 -2.2043 13.520 -3.0455 -3.1294 -3.2591 -3.0006 -3.0594 -3.1438 13.540 -3.9376 -4.0281 -4.1679 -3.8826 -3.9575 -4.0644 13.560 -4.8200 -4.9240 -5.0849 -4.7660 -4.8541 -4.9779 13.580 -5.7001 -5.8250 -6.0180 -5.6577 -5.7568 -5.8932 13.600 -6.5771 -6.7277 -6.9605 -6.5528 -6.6619 -6.8091 13.620 -7.4446 -7.6219 -7.8961 -7.4387 -7.5587 -7.7182 13.640 -8.3010 -8.5017 -8.8120 -8.3077 -8.4404 -8.6163 13.660 -9.1503 -9.3676 -9.7036 -9.1595 -9.3076 -9.5050
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 49.740 -0.1859 -0.1874 -0.1897 -0.1860 -0.1892 -0.1936 49.760 -0.1508 -0.1515 -0.1525 -0.1505 -0.1532 -0.1570 49.780 -0.1145 -0.1143 -0.1140 -0.1138 -0.1160 -0.1190 49.800 -0.0772 -0.0761 -0.0745 -0.0762 -0.0778 -0.0800 49.820 -0.0390 -0.0372 -0.0344 -0.0379 -0.0387 -0.0400 49.840 -0.0003 0.0022 0.0060 0.0007 0.0006 0.0004 49.860 0.0384 0.0414 0.0460 0.0392 0.0399 0.0408 49.880 0.0769 0.0803 0.0856 0.0774 0.0788 0.0809 49.900 0.1150 0.1188 0.1247 0.1152 0.1174 0.1204 49.920 0.1528 0.1570 0.1636 0.1529 0.1557 0.1596 49.940 0.1900 0.1948 0.2022 0.1901 0.1935 0.1982 49.960 0.2265 0.2319 0.2402 0.2268 0.2307 0.2361 49.980 0.2620 0.2680 0.2774 0.2625 0.2670 0.2730
149
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 5º Piso D.10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.040 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.060 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.080 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.100 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.120 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.140 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.160 -0.0002 -0.0002 -0.0003 -0.0002 -0.0002 -0.0003 0.180 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 0.200 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.220 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 0.240 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 0.260 -0.0007 -0.0007 -0.0007 -0.0007 -0.0007 -0.0007
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 13.400 0.4562 0.4284 0.3855 1.2725 1.2732 1.2848 13.420 0.2027 0.1756 0.1336 0.9923 1.0014 1.0299 13.440 0.0235 0.0007 -0.0347 0.8017 0.8099 0.8371 13.460 -0.1024 -0.1182 -0.1425 0.6777 0.6774 0.6851 13.480 -0.1922 -0.2000 -0.2121 0.5977 0.5829 0.5622 13.500 -0.2575 -0.2590 -0.2612 0.5407 0.5114 0.4627 13.520 -0.3092 -0.3077 -0.3055 0.4873 0.4497 0.3819 13.540 -0.3602 -0.3604 -0.3608 0.4200 0.3815 0.3127 13.560 -0.4262 -0.4324 -0.4419 0.3225 0.2918 0.2395 13.580 -0.5191 -0.5341 -0.5573 0.1864 0.1707 0.1459 13.600 -0.6404 -0.6650 -0.7030 0.0191 0.0184 0.0249 13.620 -0.7846 -0.8172 -0.8677 -0.1659 -0.1560 -0.1266 13.640 -0.9496 -0.9869 -1.0446 -0.3603 -0.3473 -0.3128 13.660 -1.1390 -1.1770 -1.2357 -0.5641 -0.5594 -0.5380
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 49.740 -0.2048 -0.2066 -3.1419 -0.1470 -2.6145 -2.7186 49.760 -0.1712 -0.1722 -3.5381 -0.1122 -3.0294 -3.1134 49.780 -0.1364 -0.1366 -3.8852 -0.0758 -3.3990 -3.4621 49.800 -0.1005 -0.0998 -4.1545 -0.0389 -3.6990 -3.7470 49.820 -0.0637 -0.0623 -4.3280 -0.0020 -3.9129 -3.9587 49.840 -0.0263 -0.0242 -4.3998 0.0354 -4.0337 -4.0916 49.860 0.0112 0.0138 -4.3793 0.0720 -4.0680 -4.1456 49.880 0.0485 0.0516 -4.2942 0.1078 -4.0374 -4.1361 49.900 0.0856 0.0890 -4.1826 0.1439 -3.9734 -4.0866 49.920 0.1224 0.1263 -4.0783 0.1794 -3.9063 -4.0185 49.940 0.1588 0.1632 -4.0044 0.2147 -3.8561 -3.9525 49.960 0.1946 0.1995 -3.9745 0.2501 -3.8376 -3.9079 49.980 0.2294 0.2350 -3.9945 0.2843 -3.8621 -3.9020
150
EDIFICIO Nº2 Registro de LLolleo: Edificio de 4 pisos: Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.010 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.015 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.020 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.025 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.030 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.035 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.040 0.0019 0.0019 0.0020 0.0019 0.0019 0.0019 0.045 0.0031 0.0031 0.0032 0.0031 0.0031 0.0031 0.050 0.0046 0.0047 0.0048 0.0047 0.0047 0.0047 0.055 0.0066 0.0066 0.0068 0.0066 0.0067 0.0067 0.060 0.0089 0.0089 0.0091 0.0090 0.0090 0.0090 0.065 0.0115 0.0115 0.0119 0.0116 0.0116 0.0116
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 30.530 8.9783 8.9936 9.0766 8.9792 8.9991 9.0199 30.535 8.8469 8.8615 8.9411 8.8467 8.8663 8.8868 30.540 8.7058 8.7199 8.7962 8.7046 8.7240 8.7441 30.545 8.5552 8.5687 8.6423 8.5533 8.5724 8.5920 30.550 8.3952 8.4083 8.4796 8.3930 8.4117 8.4309 30.555 8.2260 8.2388 8.3082 8.2238 8.2422 8.2608 30.560 8.0476 8.0602 8.1281 8.0458 8.0638 8.0817 30.565 7.8602 7.8725 7.9391 7.8589 7.8764 7.8936 30.570 7.6637 7.6757 7.7409 7.6629 7.6799 7.6964 30.575 7.4580 7.4697 7.5331 7.4576 7.4741 7.4898 30.580 7.2429 7.2541 7.3151 7.2425 7.2585 7.2734 30.585 7.0177 7.0284 7.0863 7.0171 7.0326 7.0467 30.590 6.7819 6.7919 6.8460 6.7806 6.7956 6.8090 30.595 6.5350 6.5441 6.5939 6.5327 6.5472 6.5599
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . 116.370 -0.1109 -0.1111 -0.1122 -0.1111 -0.1114 -0.1115 116.375 -0.1100 -0.1102 -0.1113 -0.1102 -0.1105 -0.1106 116.380 -0.1090 -0.1092 -0.1103 -0.1093 -0.1095 -0.1096 116.385 -0.1080 -0.1082 -0.1093 -0.1082 -0.1084 -0.1085 116.390 -0.1068 -0.1070 -0.1081 -0.1070 -0.1073 -0.1074 116.395 -0.1056 -0.1058 -0.1068 -0.1058 -0.1060 -0.1061 116.400 -0.1043 -0.1044 -0.1054 -0.1044 -0.1047 -0.1048 116.405 -0.1028 -0.1030 -0.1039 -0.1030 -0.1032 -0.1033 116.410 -0.1013 -0.1015 -0.1023 -0.1014 -0.1016 -0.1017 116.415 -0.0996 -0.0998 -0.1006 -0.0998 -0.1000 -0.1001 116.420 -0.0979 -0.0980 -0.0989 -0.0980 -0.0982 -0.0983 116.425 -0.0960 -0.0962 -0.0970 -0.0961 -0.0963 -0.0964 116.430 -0.0941 -0.0942 -0.0950 -0.0942 -0.0944 -0.0945
151
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.010 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.015 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.020 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000 0.0000 -0.0001 0.025 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.030 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.035 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.040 0.0019 0.0019 0.0020 0.0019 0.0019 0.0019 0.045 0.0031 0.0031 0.0032 0.0031 0.0031 0.0032 0.050 0.0046 0.0047 0.0048 0.0047 0.0047 0.0048 0.055 0.0066 0.0066 0.0068 0.0067 0.0067 0.0068 0.060 0.0089 0.0089 0.0091 0.0090 0.0091 0.0091 0.065 0.0115 0.0115 0.0119 0.0117 0.0117 0.0119
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 30.530 11.9150 11.9290 12.0060 12.5015 12.5196 12.5968 30.535 12.0460 12.0600 12.1350 12.6261 12.6444 12.7227 30.540 12.1680 12.1810 12.2560 12.7412 12.7596 12.8388 30.545 12.2800 12.2940 12.3670 12.8468 12.8653 12.9449 30.550 12.3830 12.3960 12.4690 12.9431 12.9616 13.0411 30.555 12.4760 12.4900 12.5630 13.0301 13.0485 13.1273 30.560 12.5600 12.5740 12.6480 13.1074 13.1257 13.2035 30.565 12.6340 12.6480 12.7240 13.1749 13.1931 13.2696 30.570 12.6990 12.7130 12.7890 13.2322 13.2502 13.3254 30.575 12.7530 12.7670 12.8440 13.2787 13.2965 13.3706 30.580 12.7970 12.8110 12.8880 13.3139 13.3315 13.4048 30.585 12.8300 12.8440 12.9200 13.3369 13.3544 13.4272 30.590 12.8510 12.8650 12.9400 13.3469 13.3643 13.4370 30.595 12.8590 12.8730 12.9460 13.3434 13.3608 13.4336
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 116.370 -0.1126 -0.1096 -0.1108 -0.0976 -0.0978 -0.0987 116.375 -0.1119 -0.1087 -0.1098 -0.0971 -0.0974 -0.0983 116.380 -0.1111 -0.1077 -0.1088 -0.0966 -0.0968 -0.0978 116.385 -0.1103 -0.1066 -0.1077 -0.0960 -0.0962 -0.0972 116.390 -0.1094 -0.1054 -0.1065 -0.0953 -0.0955 -0.0966 116.395 -0.1085 -0.1041 -0.1052 -0.0945 -0.0947 -0.0958 116.400 -0.1075 -0.1027 -0.1037 -0.0936 -0.0938 -0.0949 116.405 -0.1064 -0.1012 -0.1022 -0.0926 -0.0928 -0.0939 116.410 -0.1052 -0.0996 -0.1005 -0.0915 -0.0917 -0.0927 116.415 -0.1039 -0.0979 -0.0988 -0.0903 -0.0905 -0.0915 116.420 -0.1025 -0.0961 -0.0969 -0.0890 -0.0892 -0.0901 116.425 -0.1010 -0.0941 -0.0950 -0.0876 -0.0878 -0.0886 116.430 -0.0994 -0.0921 -0.0929 -0.0861 -0.0863 -0.0870
152
Edificio de 10 Pisos : Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.010 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.015 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.020 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.025 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.030 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.035 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.040 0.0019 0.0019 0.0020 0.0019 0.0019 0.0019 0.045 0.0031 0.0031 0.0032 0.0031 0.0031 0.0031 0.050 0.0047 0.0047 0.0048 0.0047 0.0047 0.0047 0.055 0.0066 0.0067 0.0068 0.0067 0.0067 0.0067 0.060 0.0089 0.0090 0.0092 0.0090 0.0091 0.0091 0.065 0.0115 0.0117 0.0120 0.0117 0.0118 0.0118
. . . . . . .
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. . . . . . .
. . . . . . . 30.530 11.9060 12.4450 13.2630 11.8956 12.4321 13.1839 30.535 12.1390 12.6750 13.4870 12.1206 12.6623 13.4188 30.540 12.3640 12.8960 13.7030 12.3380 12.8843 13.6440 30.545 12.5790 13.1090 13.9120 12.5477 13.0979 13.8595 30.550 12.7860 13.3130 14.1120 12.7498 13.3031 14.0655 30.555 12.9830 13.5090 14.3050 12.9440 13.4999 14.2620 30.560 13.1710 13.6950 14.4900 13.1302 13.6880 14.4491 30.565 13.3490 13.8730 14.6670 13.3079 13.8671 14.6265 30.570 13.5170 14.0410 14.8360 13.4769 14.0369 14.7942 30.575 13.6750 14.2000 14.9950 13.6365 14.1968 14.9517 30.580 13.8210 14.3480 15.1460 13.7860 14.3464 15.0987 30.585 13.9550 14.4850 15.2870 13.9246 14.4848 15.2343 30.590 14.0770 14.6090 15.4160 14.0512 14.6111 15.3579 30.595 14.1850 14.7210 15.5340 14.1652 14.7247 15.4688
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. . . . . 116.370 -0.1839 -0.1951 -0.2122 -0.1876 -0.1945 -0.2033 116.375 -0.1915 -0.2029 -0.2201 -0.1952 -0.2023 -0.2114 116.380 -0.1991 -0.2105 -0.2279 -0.2026 -0.2100 -0.2194 116.385 -0.2066 -0.2181 -0.2356 -0.2100 -0.2176 -0.2273 116.390 -0.2139 -0.2255 -0.2432 -0.2172 -0.2250 -0.2351 116.395 -0.2211 -0.2329 -0.2506 -0.2242 -0.2324 -0.2428 116.400 -0.2283 -0.2400 -0.2579 -0.2312 -0.2396 -0.2504 116.405 -0.2352 -0.2471 -0.2650 -0.2380 -0.2467 -0.2578 116.410 -0.2421 -0.2540 -0.2721 -0.2446 -0.2536 -0.2652 116.415 -0.2488 -0.2608 -0.2790 -0.2511 -0.2604 -0.2724 116.420 -0.2554 -0.2674 -0.2857 -0.2575 -0.2670 -0.2795 116.425 -0.2618 -0.2739 -0.2923 -0.2636 -0.2736 -0.2865 116.430 -0.2680 -0.2803 -0.2988 -0.2697 -0.2799 -0.2933
153
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 5º Piso D.10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.010 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.015 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.020 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000 -0.0001 -0.0001 0.025 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.030 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.035 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.0011 0.040 0.0019 0.0019 0.0020 0.0019 0.0019 0.0019 0.045 0.0031 0.0031 0.0032 0.0031 0.0032 0.0032 0.050 0.0047 0.0047 0.0048 0.0047 0.0048 0.0048 0.055 0.0066 0.0067 0.0068 0.0067 0.0068 0.0068 0.060 0.0089 0.0090 0.0092 0.0090 0.0091 0.0091 0.065 0.0115 0.0117 0.0120 0.0117 0.0119 0.0119
. . . . . . .
. . . . . . .
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. . . . . . .
. . . . . . . 30.530 3.1657 3.3044 3.5146 3.4628 3.6823 3.9875 30.535 3.3895 3.5248 3.7298 3.7024 3.9175 4.2094 30.540 3.6074 3.7398 3.9404 3.9369 4.1473 4.4258 30.545 3.8195 3.9496 4.1468 4.1663 4.3716 4.6369 30.550 4.0257 4.1542 4.3488 4.3905 4.5902 4.8430 30.555 4.2259 4.3535 4.5467 4.6093 4.8032 5.0442 30.560 4.4200 4.5473 4.7402 4.8224 5.0104 5.2405 30.565 4.6077 4.7355 4.9291 5.0294 5.2116 5.4319 30.570 4.7886 4.9176 5.1132 5.2296 5.4065 5.6179 30.575 4.9623 5.0933 5.2919 5.4224 5.5947 5.7983 30.580 5.1282 5.2620 5.4647 5.6070 5.7757 5.9726 30.585 5.2857 5.4228 5.6306 5.7826 5.9485 6.1399 30.590 5.4339 5.5750 5.7888 5.9482 6.1126 6.2995 30.595 5.5722 5.7178 5.9386 6.1032 6.2670 6.4507
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. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 116.370 -0.1627 -0.1735 -0.1899 -0.1882 -0.1997 -0.2117 116.375 -0.1703 -0.1812 -0.1977 -0.1950 -0.2069 -0.2207 116.380 -0.1778 -0.1888 -0.2055 -0.2017 -0.2141 -0.2296 116.385 -0.1852 -0.1963 -0.2131 -0.2083 -0.2210 -0.2385 116.390 -0.1925 -0.2037 -0.2206 -0.2149 -0.2279 -0.2472 116.395 -0.1997 -0.2109 -0.2280 -0.2212 -0.2347 -0.2558 116.400 -0.2068 -0.2181 -0.2353 -0.2275 -0.2414 -0.2640 116.405 -0.2137 -0.2251 -0.2424 -0.2335 -0.2480 -0.2719 116.410 -0.2205 -0.2320 -0.2494 -0.2393 -0.2547 -0.2795 116.415 -0.2272 -0.2387 -0.2562 -0.2450 -0.2612 -0.2868 116.420 -0.2338 -0.2453 -0.2629 -0.2505 -0.2677 -0.2938 116.425 -0.2401 -0.2518 -0.2695 -0.2559 -0.2741 -0.3005 116.430 -0.2464 -0.2582 -0.2760 -0.2612 -0.2803 -0.3070
154
Registro de Northridge: Edificio de 4 Pisos : Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.02 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.04 -0.0014 -0.0014 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 0.06 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0028 0.08 -0.0039 -0.0039 -0.0040 -0.0039 -0.0040 -0.0040 0.10 -0.0046 -0.0046 -0.0047 -0.0046 -0.0046 -0.0046 0.12 -0.0052 -0.0052 -0.0053 -0.0052 -0.0052 -0.0052 0.14 -0.0062 -0.0062 -0.0063 -0.0062 -0.0062 -0.0062 0.16 -0.0077 -0.0077 -0.0078 -0.0077 -0.0077 -0.0077 0.18 -0.0095 -0.0096 -0.0097 -0.0096 -0.0096 -0.0096 0.20 -0.0113 -0.0113 -0.0115 -0.0113 -0.0114 -0.0114 0.22 -0.0124 -0.0125 -0.0126 -0.0125 -0.0125 -0.0125 0.24 -0.0132 -0.0132 -0.0133 -0.0132 -0.0132 -0.0132 0.26 -0.0138 -0.0138 -0.0140 -0.0138 -0.0138 -0.0139
. . . . . . .
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. . . . . . . 13.40 -6.4946 -6.5062 -6.5694 -6.4969 -6.5113 -6.5263 13.42 -6.2785 -6.2895 -6.3494 -6.2806 -6.2945 -6.3085 13.44 -6.0128 -6.0232 -6.0795 -6.0147 -6.0281 -6.0410 13.46 -5.7024 -5.7121 -5.7644 -5.7042 -5.7168 -5.7286 13.48 -5.3499 -5.3588 -5.4067 -5.3515 -5.3633 -5.3739 13.50 -4.9567 -4.9646 -5.0077 -4.9579 -4.9689 -4.9783 13.52 -4.5257 -4.5327 -4.5707 -4.5267 -4.5367 -4.5447 13.54 -4.0646 -4.0706 -4.1033 -4.0653 -4.0743 -4.0810 13.56 -3.5831 -3.5882 -3.6157 -3.5837 -3.5916 -3.5969 13.58 -3.0890 -3.0931 -3.1153 -3.0893 -3.0962 -3.1001 13.60 -2.5884 -2.5915 -2.6085 -2.5885 -2.5943 -2.5969 13.62 -2.0914 -2.0936 -2.1056 -2.0914 -2.0960 -2.0974 13.64 -1.6080 -1.6093 -1.6168 -1.6079 -1.6115 -1.6117 13.66 -1.1426 -1.1432 -1.1463 -1.1425 -1.1450 -1.1442
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . 59.74 0.0795 0.0797 0.0806 0.0795 0.0797 0.0800 59.76 0.0858 0.0860 0.0869 0.0858 0.0860 0.0863 59.78 0.0909 0.0911 0.0921 0.0909 0.0911 0.0914 59.80 0.0950 0.0952 0.0962 0.0949 0.0952 0.0955 59.82 0.0983 0.0985 0.0996 0.0983 0.0985 0.0989 59.84 0.1011 0.1013 0.1024 0.1011 0.1013 0.1016 59.86 0.1032 0.1034 0.1045 0.1032 0.1034 0.1038 59.88 0.1048 0.1050 0.1061 0.1047 0.1050 0.1053 59.90 0.1056 0.1058 0.1069 0.1055 0.1058 0.1061 59.92 0.1055 0.1057 0.1068 0.1055 0.1058 0.1061 59.94 0.1045 0.1047 0.1058 0.1045 0.1047 0.1051 59.96 0.1025 0.1027 0.1037 0.1025 0.1027 0.1031 59.98 0.0995 0.0997 0.1007 0.0995 0.0997 0.1000
155
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.040 -0.0014 -0.0014 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 0.060 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0028 -0.0029 0.080 -0.0039 -0.0039 -0.0040 -0.0040 -0.0040 -0.0041 0.100 -0.0046 -0.0046 -0.0047 -0.0047 -0.0048 -0.0048 0.120 -0.0052 -0.0052 -0.0053 -0.0053 -0.0054 -0.0054 0.140 -0.0062 -0.0062 -0.0063 -0.0064 -0.0064 -0.0065 0.160 -0.0077 -0.0077 -0.0078 -0.0079 -0.0079 -0.0080 0.180 -0.0095 -0.0096 -0.0097 -0.0098 -0.0098 -0.0099 0.200 -0.0113 -0.0113 -0.0115 -0.0116 -0.0116 -0.0118 0.220 -0.0124 -0.0125 -0.0126 -0.0128 -0.0128 -0.0129 0.240 -0.0132 -0.0132 -0.0133 -0.0135 -0.0136 -0.0137 0.260 -0.0138 -0.0138 -0.0140 -0.0141 -0.0142 -0.0143
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. . . . . . .
. . . . . . . 13.400 -5.6929 -5.7007 -5.7431 -6.0101 -6.0199 -6.0611 13.420 -6.1038 -6.1119 -6.1558 -6.4185 -6.4287 -6.4728 13.440 -6.4834 -6.4918 -6.5370 -6.7934 -6.8039 -6.8490 13.460 -6.8307 -6.8393 -6.8858 -7.1336 -7.1442 -7.1891 13.480 -7.1425 -7.1513 -7.1986 -7.4344 -7.4454 -7.4919 13.500 -7.4142 -7.4230 -7.4709 -7.6921 -7.7033 -7.7513 13.520 -7.6425 -7.6514 -7.6996 -7.9045 -7.9157 -7.9627 13.540 -7.8288 -7.8378 -7.8862 -8.0718 -8.0830 -8.1297 13.560 -7.9770 -7.9859 -8.0344 -8.1975 -8.2088 -8.2567 13.580 -8.0883 -8.0973 -8.1457 -8.2847 -8.2959 -8.3432 13.600 -8.1634 -8.1723 -8.2204 -8.3338 -8.3447 -8.3904 13.620 -8.2067 -8.2155 -8.2632 -8.3483 -8.3592 -8.4050 13.640 -8.2229 -8.2316 -8.2790 -8.3341 -8.3449 -8.3909 13.660 -8.2116 -8.2202 -8.2671 -8.2921 -8.3027 -8.3465
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. . . . .
. . . . .
. . . . . 59.740 0.0511 0.0513 0.0523 0.0523 0.0525 0.0535 59.760 0.0570 0.0572 0.0582 0.0581 0.0583 0.0594 59.780 0.0618 0.0620 0.0630 0.0626 0.0628 0.0639 59.800 0.0655 0.0657 0.0667 0.0659 0.0661 0.0672 59.820 0.0685 0.0687 0.0698 0.0683 0.0686 0.0697 59.840 0.0709 0.0711 0.0722 0.0700 0.0703 0.0714 59.860 0.0727 0.0729 0.0740 0.0711 0.0713 0.0724 59.880 0.0739 0.0741 0.0752 0.0714 0.0716 0.0727 59.900 0.0744 0.0746 0.0756 0.0709 0.0711 0.0722 59.920 0.0740 0.0742 0.0753 0.0695 0.0698 0.0708 59.940 0.0727 0.0729 0.0739 0.0671 0.0674 0.0684 59.960 0.0705 0.0707 0.0717 0.0638 0.0640 0.0650 59.980 0.0673 0.0675 0.0684 0.0594 0.0596 0.0605
156
Edificio de 10 Pisos : Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.040 -0.0014 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 0.060 -0.0027 -0.0028 -0.0029 -0.0028 -0.0028 -0.0029 0.080 -0.0039 -0.0040 -0.0043 -0.0040 -0.0041 -0.0041 0.100 -0.0045 -0.0048 -0.0052 -0.0047 -0.0048 -0.0050 0.120 -0.0052 -0.0055 -0.0061 -0.0054 -0.0055 -0.0058 0.140 -0.0062 -0.0067 -0.0074 -0.0065 -0.0067 -0.0070 0.160 -0.0079 -0.0084 -0.0092 -0.0081 -0.0084 -0.0089 0.180 -0.0100 -0.0105 -0.0114 -0.0102 -0.0106 -0.0111 0.200 -0.0120 -0.0127 -0.0136 -0.0122 -0.0127 -0.0133 0.220 -0.0135 -0.0142 -0.0153 -0.0137 -0.0142 -0.0150 0.240 -0.0147 -0.0154 -0.0166 -0.0148 -0.0154 -0.0163 0.260 -0.0158 -0.0166 -0.0178 -0.0160 -0.0166 -0.0176
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 13.400 -4.5136 -4.7071 -5.0003 -4.5336 -4.7356 -5.0175 13.420 -4.9470 -5.1513 -5.4609 -4.9613 -5.1789 -5.4801 13.440 -5.3614 -5.5823 -5.9170 -5.3811 -5.6100 -5.9232 13.460 -5.7564 -5.9990 -6.3667 -5.7904 -6.0273 -6.3474 13.480 -6.1300 -6.3977 -6.8034 -6.1831 -6.4270 -6.7514 13.500 -6.4798 -6.7732 -7.2177 -6.5520 -6.8033 -7.1328 13.520 -6.8055 -7.1218 -7.6012 -6.8915 -7.1517 -7.4907 13.540 -7.1101 -7.4442 -7.9504 -7.2013 -7.4728 -7.8269 13.560 -7.3983 -7.7431 -8.2655 -7.4835 -7.7693 -8.1440 13.580 -7.6706 -8.0187 -8.5463 -7.7394 -8.0416 -8.4413 13.600 -7.9249 -8.2702 -8.7935 -7.9698 -8.2891 -8.7160 13.620 -8.1621 -8.5005 -9.0134 -8.1799 -8.5153 -8.9687 13.640 -8.3825 -8.7130 -9.2138 -8.3747 -8.7243 -9.1999 13.660 -8.5810 -8.9056 -9.3973 -8.5540 -8.9144 -9.4058
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 59.740 0.2143 0.2277 0.2480 0.2172 0.2263 0.2387 59.760 0.2553 0.2698 0.2916 0.2579 0.2687 0.2834 59.780 0.2946 0.3100 0.3332 0.2970 0.3093 0.3261 59.800 0.3319 0.3481 0.3728 0.3341 0.3479 0.3665 59.820 0.3674 0.3846 0.4106 0.3697 0.3848 0.4051 59.840 0.4010 0.4192 0.4468 0.4036 0.4199 0.4417 59.860 0.4327 0.4519 0.4811 0.4356 0.4531 0.4764 59.880 0.4622 0.4826 0.5136 0.4656 0.4842 0.5089 59.900 0.4893 0.5110 0.5437 0.4934 0.5130 0.5392 59.920 0.5141 0.5368 0.5712 0.5186 0.5393 0.5669 59.940 0.5363 0.5599 0.5957 0.5411 0.5628 0.5918 59.960 0.5558 0.5802 0.6171 0.5607 0.5834 0.6138 59.980 0.5727 0.5974 0.6350 0.5775 0.6010 0.6326
157
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 5º Piso D.10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.040 -0.0014 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 -0.0015 0.060 -0.0027 -0.0028 -0.0029 -0.0028 -0.0029 -0.0029 0.080 -0.0039 -0.0040 -0.0043 -0.0040 -0.0041 -0.0042 0.100 -0.0045 -0.0048 -0.0052 -0.0047 -0.0049 -0.0052 0.120 -0.0052 -0.0055 -0.0061 -0.0054 -0.0057 -0.0060 0.140 -0.0062 -0.0067 -0.0074 -0.0065 -0.0068 -0.0074 0.160 -0.0079 -0.0084 -0.0092 -0.0081 -0.0086 -0.0093 0.180 -0.0100 -0.0105 -0.0114 -0.0102 -0.0108 -0.0116 0.200 -0.0120 -0.0127 -0.0136 -0.0123 -0.0129 -0.0139 0.220 -0.0135 -0.0142 -0.0153 -0.0138 -0.0145 -0.0156 0.240 -0.0147 -0.0154 -0.0166 -0.0150 -0.0158 -0.0169 0.260 -0.0158 -0.0166 -0.0178 -0.0162 -0.0170 -0.0183
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 13.400 0.2473 0.1724 0.0588 -0.2573 -0.4599 -0.7882 13.420 -0.5701 -0.6585 -0.7924 -1.1360 -1.3287 -1.6170 13.440 -1.3847 -1.4922 -1.6550 -2.0305 -2.1999 -2.4276 13.460 -2.1959 -2.3273 -2.5264 -2.9306 -3.0685 -3.2363 13.480 -3.0016 -3.1599 -3.3998 -3.8171 -3.9323 -4.0508 13.500 -3.7989 -3.9845 -4.2657 -4.6737 -4.7855 -4.8774 13.520 -4.5864 -4.7969 -5.1158 -5.4941 -5.6190 -5.7247 13.540 -5.3663 -5.5970 -5.9466 -6.2786 -6.4318 -6.5947 13.560 -6.1421 -6.3871 -6.7584 -7.0295 -7.2304 -7.4781 13.580 -6.9132 -7.1666 -7.5507 -7.7544 -8.0163 -8.3615 13.600 -7.6769 -7.9339 -8.3234 -8.4660 -8.7855 -9.2325 13.620 -8.4333 -8.6913 -9.0822 -9.1774 -9.5418 -10.0779 13.640 -9.1821 -9.4410 -9.8334 -9.8956 -10.2929 -10.8826 13.660 -9.9179 -10.1800 -10.5780 -10.6224 -11.0362 -11.6376
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 59.740 -0.1915 -0.1918 -0.1923 -0.0490 -0.0429 -0.0367 59.760 -0.1404 -0.1390 -0.1369 0.0003 0.0077 0.0189 59.780 -0.0896 -0.0865 -0.0817 0.0486 0.0578 0.0728 59.800 -0.0393 -0.0343 -0.0268 0.0953 0.1077 0.1242 59.820 0.0108 0.0176 0.0280 0.1419 0.1564 0.1746 59.840 0.0604 0.0692 0.0825 0.1885 0.2032 0.2246 59.860 0.1093 0.1201 0.1364 0.2339 0.2494 0.2724 59.880 0.1575 0.1702 0.1895 0.2772 0.2951 0.3176 59.900 0.2045 0.2192 0.2414 0.3194 0.3383 0.3618 59.920 0.2502 0.2666 0.2915 0.3601 0.3788 0.4050 59.940 0.2942 0.3122 0.3394 0.3977 0.4176 0.4451 59.960 0.3363 0.3556 0.3849 0.4320 0.4545 0.4824 59.980 0.3764 0.3968 0.4277 0.4642 0.4878 0.5179
158
Registro de Kobe: Edificio de 4 Pisos : Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.02 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.04 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.06 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.08 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.10 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.12 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.14 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.16 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.18 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 0.20 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.22 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 0.24 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 0.26 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 13.40 -15.0490 -15.0790 -15.2410 -15.0512 -15.0846 -15.1300 13.42 -15.2900 -15.3200 -15.4790 -15.2907 -15.3247 -15.3700 13.44 -15.2750 -15.3040 -15.4580 -15.2747 -15.3086 -15.3530 13.46 -15.0310 -15.0590 -15.2070 -15.0298 -15.0631 -15.1050 13.48 -14.5850 -14.6100 -14.7500 -14.5825 -14.6148 -14.6550 13.50 -13.9590 -13.9830 -14.1130 -13.9561 -13.9870 -14.0240 13.52 -13.1770 -13.1990 -13.3180 -13.1741 -13.2033 -13.2370 13.54 -12.2660 -12.2860 -12.3930 -12.2630 -12.2902 -12.3200 13.56 -11.2540 -11.2710 -11.3670 -11.2513 -11.2762 -11.3020 13.58 -10.1660 -10.1810 -10.2640 -10.1634 -10.1859 -10.2070 13.60 -9.0151 -9.0281 -9.0984 -9.0132 -9.0332 -9.0504 13.62 -7.8100 -7.8205 -7.8775 -7.8084 -7.8257 -7.8386 13.64 -6.5620 -6.5700 -6.6133 -6.5607 -6.5752 -6.5837 13.66 -5.2896 -5.2951 -5.3251 -5.2886 -5.3003 -5.3046
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 49.74 0.0001 0.0002 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 49.76 0.0096 0.0097 0.0100 0.0098 0.0098 0.0098 49.78 0.0198 0.0199 0.0203 0.0200 0.0201 0.0200 49.80 0.0307 0.0308 0.0313 0.0309 0.0309 0.0309 49.82 0.0419 0.0420 0.0426 0.0420 0.0421 0.0422 49.84 0.0530 0.0531 0.0539 0.0531 0.0533 0.0534 49.86 0.0636 0.0638 0.0646 0.0638 0.0639 0.0640 49.88 0.0735 0.0737 0.0747 0.0737 0.0739 0.0740 49.90 0.0827 0.0829 0.0839 0.0829 0.0831 0.0833 49.92 0.0913 0.0915 0.0926 0.0915 0.0917 0.0919 49.94 0.0993 0.0995 0.1006 0.0994 0.0996 0.0998 49.96 0.1063 0.1065 0.1077 0.1064 0.1066 0.1069 49.98 0.1122 0.1125 0.1137 0.1123 0.1125 0.1129
159
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal T M.SIMPLIFICADO ETABS
(seg.) D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso D. Base D. 1º Piso D. 4º Piso (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.)
0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.040 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.060 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.080 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.100 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.120 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.140 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.160 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.180 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 0.200 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.220 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 0.240 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0006 -0.0006 0.260 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006
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. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 13.400 -7.6135 -7.6217 -7.6660 -6.5679 -6.5773 -6.6163 13.420 -7.5470 -7.5546 -7.5958 -6.5002 -6.5093 -6.5481 13.440 -7.3592 -7.3661 -7.4034 -6.3136 -6.3218 -6.3568 13.460 -7.0763 -7.0823 -7.1149 -6.0346 -6.0414 -6.0685 13.480 -6.7219 -6.7270 -6.7547 -5.6845 -5.6902 -5.7132 13.500 -6.3156 -6.3198 -6.3427 -5.2843 -5.2892 -5.3096 13.520 -5.8757 -5.8790 -5.8970 -4.8558 -4.8593 -4.8725 13.540 -5.4208 -5.4235 -5.4379 -4.4159 -4.4183 -4.4260 13.560 -4.9704 -4.9727 -4.9850 -3.9828 -3.9849 -3.9931 13.580 -4.5389 -4.5408 -4.5512 -3.5746 -3.5763 -3.5827 13.600 -4.1285 -4.1300 -4.1385 -3.1942 -3.1951 -3.1965 13.620 -3.7339 -3.7351 -3.7418 -2.8329 -2.8336 -2.8348 13.640 -3.3537 -3.3546 -3.3597 -2.4905 -2.4912 -2.4938 13.660 -2.9933 -2.9940 -2.9975 -2.1752 -2.1752 -2.1742
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . 49.740 0.0172 0.0172 0.0174 0.0001 -1.2181 -1.2195 49.760 0.0268 0.0268 0.0271 0.0105 -1.1656 -1.1646 49.780 0.0371 0.0372 0.0376 0.0214 -1.0809 -1.0780 49.800 0.0480 0.0481 0.0487 0.0334 -0.9399 -0.9391 49.820 0.0593 0.0594 0.0601 0.0462 -0.7313 -0.7289 49.840 0.0705 0.0707 0.0714 0.0587 -0.4508 -0.4426 49.860 0.0813 0.0814 0.0823 0.0707 -0.1035 -0.0939 49.880 0.0913 0.0914 0.0924 0.0824 0.2853 0.2952 49.900 0.1005 0.1007 0.1017 0.0935 0.6800 0.6950 49.920 0.1092 0.1094 0.1105 0.1036 1.0521 1.0705 49.940 0.1171 0.1173 0.1185 0.1132 1.3801 1.3966 49.960 0.1242 0.1244 0.1256 0.1221 1.6451 1.6622 49.980 0.1302 0.1304 0.1317 0.1297 1.8355 1.8558
160
Edificio de 10 Pisos : Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.040 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.060 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.080 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.100 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.120 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.140 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.160 -0.0002 -0.0002 -0.0003 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.180 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 0.200 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.220 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 0.240 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 0.260 -0.0006 -0.0007 -0.0007 -0.0006 -0.0007 -0.0007
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 13.400 -17.9750 -18.8350 -20.1380 -18.0595 -18.8362 -19.9030 13.420 -18.3980 -19.2220 -20.4710 -18.4074 -19.2273 -20.3686 13.440 -18.6660 -19.4350 -20.6020 -18.6018 -19.4460 -20.6291 13.460 -18.7900 -19.4960 -20.5670 -18.6685 -19.5153 -20.7015 13.480 -18.7790 -19.4240 -20.4020 -18.6275 -19.4556 -20.6074 13.500 -18.6390 -19.2350 -20.1390 -18.4907 -19.2825 -20.3693 13.520 -18.3780 -18.9440 -19.8020 -18.2653 -19.0100 -20.0132 13.540 -18.0120 -18.5680 -19.4100 -17.9593 -18.6540 -19.5692 13.560 -17.5620 -18.1250 -18.9780 -17.5822 -18.2312 -19.0687 13.580 -17.0490 -17.6300 -18.5110 -17.1410 -17.7548 -18.5358 13.600 -16.4870 -17.0880 -17.9990 -16.6345 -17.2270 -17.9787 13.620 -15.8820 -16.4950 -17.4240 -16.0589 -16.6437 -17.3933 13.640 -15.2420 -15.8510 -16.7730 -15.4184 -16.0057 -16.7743 13.660 -14.5800 -15.1640 -16.0490 -14.7267 -15.3211 -16.1187
. . . . . . .
. . . . . . .
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. . . . . . .
. . . . . . . 49.740 0.0745 0.0801 0.0886 0.0785 0.0812 0.0844 49.760 0.0928 0.0990 0.1083 0.0962 0.1000 0.1052 49.780 0.1116 0.1181 0.1281 0.1141 0.1192 0.1262 49.800 0.1306 0.1375 0.1480 0.1324 0.1386 0.1472 49.820 0.1496 0.1569 0.1679 0.1510 0.1580 0.1679 49.840 0.1682 0.1759 0.1875 0.1694 0.1771 0.1879 49.860 0.1859 0.1941 0.2066 0.1872 0.1954 0.2068 49.880 0.2024 0.2113 0.2248 0.2043 0.2128 0.2244 49.900 0.2180 0.2276 0.2423 0.2205 0.2293 0.2410 49.920 0.2327 0.2432 0.2591 0.2359 0.2450 0.2568 49.940 0.2466 0.2578 0.2749 0.2504 0.2598 0.2719 49.960 0.2595 0.2715 0.2895 0.2637 0.2735 0.2861 49.980 0.2715 0.2839 0.3027 0.2756 0.2860 0.2994
161
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal
T M.SIMPLIFICADO ETABS (seg.) D. Base D. 5º Piso D.10º Piso D. Base D. 5º Piso D. 10º Piso
(cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) (cm.) 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.040 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.060 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.080 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.100 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.120 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.140 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 -0.0002 0.160 -0.0002 -0.0002 -0.0003 -0.0002 -0.0002 -0.0003 0.180 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 -0.0003 0.200 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 -0.0004 0.220 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.0005 0.240 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 -0.0006 0.260 -0.0006 -0.0007 -0.0007 -0.0007 -0.0007 -0.0007
. . . . . . .
. . . . . . .
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. . . . . . . 13.400 3.0711 2.9782 2.8374 3.6827 3.5334 3.2630 13.420 2.6589 2.6056 2.5247 3.2450 3.0851 2.7989 13.440 2.3125 2.3081 2.3016 2.8498 2.7121 2.4581 13.460 2.0212 2.0650 2.1314 2.4842 2.3900 2.2177 13.480 1.7769 1.8578 1.9805 2.1410 2.1006 2.0431 13.500 1.5735 1.6729 1.8234 1.8157 1.8359 1.8946 13.520 1.4025 1.4976 1.6418 1.5106 1.5853 1.7369 13.540 1.2488 1.3179 1.4227 1.2277 1.3323 1.5427 13.560 1.0920 1.1183 1.1581 0.9592 1.0629 1.2846 13.580 0.9134 0.8880 0.8495 0.6919 0.7709 0.9453 13.600 0.7041 0.6277 0.5120 0.4227 0.4554 0.5341 13.620 0.4627 0.3453 0.1672 0.1527 0.1194 0.0801 13.640 0.1866 0.0447 -0.1702 -0.1288 -0.2332 -0.3935 13.660 -0.1299 -0.2762 -0.4979 -0.4422 -0.6033 -0.8718
. . . . . . .
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. . . . . . .
. . . . . . . 49.740 0.0869 0.0923 0.1006 0.0749 0.0839 0.0988 49.760 0.1056 0.1116 0.1207 0.0917 0.1023 0.1169 49.780 0.1247 0.1312 0.1410 0.1112 0.1203 0.1348 49.800 0.1442 0.1510 0.1613 0.1316 0.1388 0.1517 49.820 0.1637 0.1708 0.1817 0.1516 0.1585 0.1668 49.840 0.1827 0.1903 0.2018 0.1714 0.1777 0.1822 49.860 0.2009 0.2090 0.2214 0.1908 0.1950 0.1991 49.880 0.2179 0.2268 0.2402 0.2079 0.2118 0.2163 49.900 0.2340 0.2436 0.2582 0.2221 0.2283 0.2331 49.920 0.2492 0.2596 0.2755 0.2351 0.2435 0.2512 49.940 0.2636 0.2748 0.2919 0.2475 0.2570 0.2707 49.960 0.2771 0.2890 0.3070 0.2582 0.2701 0.2887 49.980 0.2896 0.3020 0.3207 0.2674 0.2829 0.3040
