Tesis_WI.pdf

UNIVERSIDAD DE OVIEDO

Programa de doctorado: MINERA, OBRA CIVIL Y MEDIO

AMBIENTE

METODOLOGA PARA LA DETERMINACIN INDIRECTA DEL

NDICE DE BOND EN TAMAOS DE PARTCULA ULTRAFINOS

Autor: D. Miguel Onofre Fernndez Prez

Director: Dr. Juan Mara Menndez Aguado

Codirector: Dr. Manuel Mara Mahamud Lpez

JULIO 2012

ndice

Departamento de Explotacin y Prospeccin de Minas Universidad de Oviedo

i

Captulo Pgina

Captulo 1: Introduccin y objetivos 1 1.1.- INTRODUCCIN 3 1.2.- OBJETIVOS 4 Captulo 2: Determinacin experimental 5 2.1.- DETERMINACIN EXPERIMENTAL DEL NDICE DE BOND 7 2.2.- NDICE DE TRABAJO 7 2.3.- ENSAYOS PARA LA DETERMINACIN DEL NDICE DE TRABAJO 9 2.4.- LEYES ENERGTICAS DE LA FRAGMENTACIN

23

2.4.1.- Ley de Rittinger 26 2.4.2.- Ley de Kick 26 2.4.3.- Ley de Bond 2.4.4.- Ley de Charles-Holmes

27 28

2.5.- ANALIZADOR DE PARTCULAS LS 13 320 BECKMAN COULTER

29

Captulo 3: Modelos de fragmentacin 34 3.1.- MODELOS DE FRAGMENTACIN

36

3.1.1.- Modelos matemticos de simulacin 36 3.1.2.- Modelo cintico acumulativo 48

3.2.- MODELOS DE DISTRIBUCIN

53

3.2.1.- Representacin logartmico-cartesiana 53 3.2.2.- Representacin cartesiana-cartesiana 54

Captulo 4: Ensayos de caracterizacin

56

4.1.- INTRODUCCIN 58 4.2.- MATERIALES UTILIZADOS

58

4.2.1.- Caliza 58 4.2.2.- Carbn 63 4.2.3.- Magnetita 67 4.2.4.- Scheelita 71 4.2.5.- Slice 75 4.2.6.- Zeolita 79

4.3.- ENSAYOS DE LABORATORIO 83

4.4.- APLICACIN DE LOS MODELOS DE REPRESENTACIN PARA LA OBTENCIN DE F80 Y P80

84

ndice


ii

4.5.- NDICES DE BOND OBTENIDOS 84 4.6.- RESUMEN DE LOS RESULTADOS 88 Captulo 5: Verificacin de resultados 89 5.1.- VERIFICACIN DE RESULTADOS PARA TAMAOS ULTRAFINOS 91 5.2.- CONSIDERACIONES 93 5.3.- VALORACIN DE RESULTADOS 94

5.3.1.- Caliza 94 5.3.2.- Carbn 98 5.3.3.- Magnetita 102 5.3.4.- Scheelita 106 5.3.5.- Slice 110 5.3.6.- Zeolita 114

Captulo 6: Conclusiones 118 Captulo 7: Lneas de investigacin futuras 121

Captulo 8: Bibliografa 124

Anexo I: Ensayos de Bond realizados 129 1.1.- Ensayo n1 1.2.- Ensayo n2

131 133

1.3.- Ensayo n3 134 1.4.- Ensayo n4 135 1.5.- Ensayo n5 137 1.6.- Ensayo n6 138 1.7.- Ensayo n7 139 1.8.- Ensayo n8 141 1.9.- Ensayo n9 142 1.10.- Ensayo n10 143 1.11.- Ensayo n11 145 1.12.- Ensayo n12 146

Anexo II: Equipos Utilizados 148 1.- INTRODUCCIN 150 2.- PROBETA 150 3.- MOLINO DE BOLAS 151 4.- TAMIZADORA Y TAMICES 152 5.- BALANZA 154 6.- DESMUESTREADOR 7.- ANALIZADOR DE TAMAO DE PARTCULAS

155 156

ndice


iii

Anexo III: Grficos y clculos 159 1.- Grficos (ALM) 161 2.- Grficos (DPS) 166 3.- Datos (ALM) 170 4.- Datos (DPS) 172 5.- Esquema de algoritmo predictivo 6.- Estimacin del ndice de Bond de una planta industrial

174 175

7.- Clculos de ajustes de grficos 177 8.- Programas utilizados 181

Captulo 1: Introduccin y Objetivos.


1

Captulo 1

Introduccin y Objetivos



2



3

1.1.- INTRODUCCIN.

Las operaciones de fragmentacin son una de las fases ms importantes y que mayor consumo energtico generan dentro de cualquier proceso industrial. Para aumentar y mejorar la eficiencia de dichas operaciones hemos de analizar y estimar el consumo energtico que se produce en sus diferentes etapas. El consumo energtico de las operaciones de trituracin usa desde mediados del siglo XX la metodologa propuesta por Fred Bond en el ao 1952 (utilizando en laboratorio un molino de bolas estndar), donde se relacionan los datos empricos de la energa consumida por tonelada de material, para reducirlo de tamao. (Work Index). El mtodo de Bond para calcular el ndice de trabajo (Wi) no siempre es til, especialmente en la prediccin de la energa utilizada en operaciones de remolienda o en establecer claras relaciones en partculas de tamaos inferiores a veinte micrones (ultrafinos).



4

1.2.- OBJETIVOS.

El principal objetivo de la presente tesis es proponer algoritmos que sirvan para determinar de una manera indirecta el ndice de Bond para tamaos de partculas ultrafinos (

Captulo 2: Determinacin experimental del ndice de Bond.


5

Captulo 2

Determinacin experimental del ndice de Bond



6



7

2.1.- DETERMINACIN EXPERIMENTAL DEL NDICE DE BOND.

En este captulo realizaremos una descripcin de la determinacin experimental del ndice de Bond. En nuestro caso, hemos realizado ensayos con muestras de caliza, carbn, magnetita, scheelita, slice y zeolita utilizando, en los ensayos de laboratorio, tamaos de tamices hasta de 32 micrmetros para comprobar el tipo de convergencia que obtendramos de sus curvas granulomtricas y finalmente extrapolar esos datos con tamaos de muestra ultrafinos. Expondremos finalmente las caractersticas del analizador de tamao de partculas LS 13 320 Beckman-Coulter.

2.2.- NDICE DE TRABAJO.

El ingeniero jefe del Departamento de Maquinaria de Procesamiento de la empresa norteamericana Allis-Chalmers Fred Bond defini los ensayos experimentales que llevan a la determinacin de este parmetro, tanto en el caso de la trituracin, como en los casos correspondientes a molienda en molinos de barras o molinos de bolas, ensayos que siguieron siendo objeto de publicacin aos despus (Deister, 1987).

El ndice de trabajo se estudia de un modo tcnico y terico. Desde el punto de vista tcnico, constituye el mtodo clsico ms fiable de caracterizacin de un mineral con vistas al diseo de los molinos de tipo cilndrico en los que se va a procesar. Desde el punto de vista terico, es sin duda una ingeniosa aproximacin a la prctica, ya que los clsicos ensayos de caracterizacin de materiales se revelaban insuficientes a la hora de predecir el comportamiento de un material ante la molienda. En todo caso existen estudios en los que se ve la dificultad de tal pretensin (Bearman et al., 1997).

No cabe duda que la lgica podra intentar buscar alguna relacin entre parmetros como la dureza o la resistencia a traccin, con el comportamiento que un determinado material tiene ante la molienda en molino de bolas, por ejemplo. Podra incluso suponerse que cuanto ms duro y/o resistente a traccin fuese un material, ms difcil sera su molienda, o incluso extender tal suposicin a la implicacin en sentido contrario, convirtiendo tal condicin en necesaria y suficiente. Pero la prctica nos da contraejemplos para cada una de las dos implicaciones. Tal es el caso del diamante o algunos tipos de vidrio, materiales duros, pero frgiles que llevaran a valores bajos del ndice de trabajo; o los casos de mica o grafito, materiales blandos y plsticos, pero que debido a sus peculiaridades geomtricas nos ofrecen valores de ndices de Bond altos, hasta el punto de que el mayor valor referenciado en la bibliografa consultada por el autor de este trabajo, corresponde a ensayos realizados con mica. Cualquier estudio general en el que se intentase llevar a cabo una correlacin de datos de ese tipo sera infructuoso, porque no hay que olvidar que lo que se est tratando de estudiar es el comportamiento ante la molienda en circuito cerrado de un determinado material. Por tanto, eso engloba sin duda el comportamiento mecnico del material ante los esfuerzos a los que se le somete dentro del molino (sea cual sea el tipo del molino y sus caractersticas de accin), pero tambin la etapa de cribado o clasificacin que supone el cierre del circuito, en la que es sabido que la geometra del producto tendr una influencia enorme.



8

Analicemos brevemente uno de los ejemplos citados, como es el caso de la mica. Si hablamos por ejemplo de una molienda en molinos de bolas, en primer lugar hay que decir que conocida la accin molturante de este tipo de mquinas, el comportamiento plstico de esta sustancia har que se invierta una gran cantidad de energa en deformaciones de las partculas que no finalizarn en rotura, y por ello el consumo energtico especfico en esa operacin ser necesariamente alto. Pero a ello hay que aadir la tendencia de la mica a la exfoliacin en lminas, lo cual dificultar su etapa posterior de cribado o clasificacin. Se concluye, a la vista de lo comentado, que el comportamiento de la mica en circuito cerrado en un molino de bolas, se resumira en una gran dificultad de reduccin de tamao, similar o incluso superior a la que presentaran otros materiales ms duros y tenaces. Hay que decir, en todo caso, que lgicamente la Tcnica evoluciona para adaptarse a las peculiaridades de cada material, y que por supuesto existen diseos alternativos de mquinas y procesos ms eficaces para la preparacin de estos materiales. Adems de la falta de facilidad de previsin de este parmetro, que obliga necesariamente a la disposicin del dato experimental, el ndice de Bond es tambin objeto de rechazo entre diversos autores por la necesidad prctica de disponer de un molino de dimensiones estndar, con escasa disponibilidad en el mercado (lo cual eleva su precio bastante y hace que no todos los laboratorios puedan permitirse el disponer del mismo). Es por esto por lo que se han tratado de definir alternativas de clculo, ya sea mediante:

1. La media indirecta de este parmetro (Berry y Bruce, 1966; puede encontrarse una buena recopilacin de mtodos de determinacin indirecta en el libro de Gutirrez y Seplveda, 1986).

2. El establecimiento de correlaciones con datos de ensayos realizados en molinos de laboratorio comunes (Yap et al, 1982; Bonoli and Ciancabilla, 1992; Chakrabarti, 2000), o a partir de ensayos realizados en otros equipos (Napier-Munn et al, 1996).

3. La aplicacin de la simulacin matemtica (Lewis et al, 1990; Aksani y Snmez, 2000).

En todo caso, y a pesar de la controversia sobre este parmetro, es indudable la amplia aceptacin en la industria, incluso hasta el punto de ser el mtodo recomendado para el clculo de la potencia del motor de accionamiento en los molinos cilndricos, que son, con mucho, los de mayor volumen de trabajo en el procesamiento de minerales. Como ya se ha dicho, el principal objetivo de este trabajo es la obtencin de una metodologa para la obtencin del ndice de trabajo que se base en la caracterizacin del material a tratar mediante la realizacin de ensayos de laboratorio ms sencillos en cuanto a las operaciones y clculos a realizar, que precisen de personal no tan especializado y que supongan un ahorro de tiempo de laboratorio evidente; y una vez caracterizado el material, llevar a cabo la simulacin matemtica de lo que seran los pasos a seguir en el ensayo de Bond, para as obtener un ndice que veremos en qu medida es comparable al obtenido mediante el ensayo real. Se subrayar en este trabajo la importancia del algoritmo de clculo utilizado, proponindose uno que se mostrar ventajoso sobre el utilizado en los pocos trabajos publicados al respecto. Como paso previo a todo ello, es preciso realizar una descripcin del mtodo de ensayo propuesto por Bond.



9

2.3.- ENSAYOS PARA LA DETERMINACIN DEL NDICE DE TRABAJO.

La Tercera Ley de la Fragmentacin, propone la siguiente ecuacin

D

1

d

1w10W i

en la que W es el consumo energtico especfico, en kWh/t, d y D son los tamaos que

dan un pasante del 80% en producto y alimentacin respectivamente, expresados en

micras.

De la frmula se puede deducir una definicin, de valor ms terico que prctico, del

ndice de Bond, que sera el consumo energtico especfico en kWh/t necesario para

reducir el material desde un tamao suficientemente grande (tericamente infinito) hasta

un tamao de 100 micras, y segn el propio Bond sera un parmetro de conminucin

que expresa la resistencia del material ante las operaciones de trituracin y molienda.

Segn Bond, si el material se comportase de manera homognea ante la reduccin de

tamao (caso muy poco habitual, por otra parte), el valor de su ndice de trabajo se

mantendr constante en las sucesivas etapas de conminucin.

Pero la realidad es que los materiales frecuentemente son heterogneos en su estructura,

pudiendo hablarse normalmente de un tamao de grano natural, de forma que el

comportamiento de ese material a tamaos de molienda superiores a dicho tamao nos

dara valores del ndice de trabajo inferiores que en el caso de realizar la molienda a un

tamao inferior a dicho tamao de grano natural; esto se explica de una forma sencilla,

ya que en el primer caso, los esfuerzos sobre las partculas generados por la accin de la

molienda se dirigir en principio preferentemente hacia las superficies intergranulares,

que normalmente presentarn una resistencia inferior a la presentada por la red del

grano monocristalino, y por tanto el consumo energtico de la operacin ser menor.

No cabe duda que la eficacia de la operacin estar influenciada enormemente por las

caractersticas de la mquina, y es por ello que Bond defini con bastante precisin las

condiciones en las que se debera realizar el ensayo, como veremos posteriormente. Por

tanto, las determinaciones del ndice de Bond mediante ensayos de laboratorio muestran

el comportamiento del material en un rango estrecho de tamaos, y cualquier desviacin

puede acusar la influencia de esa heterogeneidad, y por tanto traducirse en variaciones

que pueden ser importantes del ndice de trabajo. Por esto es muy recomendable que la

determinacin del ndice de trabajo se realice lo ms cerca posible del tamao requerido

en la molienda industrial.



10

Puede hablarse de un ndice de trabajo operacional (Rowland, 1976; Rowland, 1998),

que sera resultado de la medicin en la planta real de los consumos energticos en los

que se ha incurrido al procesar una cantidad de material determinada; ese sera el valor

idneo para el diseo del circuito, pero el inconveniente est en que normalmente este

valor no es conocido sino a posteriori, y podra considerarse como una medida de

eficacia de operacin la comparacin entre el ndice de trabajo obtenido en el

laboratorio y el calculado en la planta.

En la tabla aparecen los valores publicados por Bond para un gran nmero de

materiales, tanto en el caso de molinos de barras como molinos de bolas.

El mtodo de Bond proporciona una primera estimacin del consumo real de energa

necesario para triturar o moler un material en un determinado equipo a escala industrial

(error promedio 20%). Sin embargo, debido a su simplicidad, este procedimiento se utiliza con asiduidad para el dimensionado de trituradoras, molinos de barras y bolas,

tanto a escala piloto como industrial. Veremos a continuacin una breve descripcin de

los ensayos propuestos por Bond para cada uno de los casos, tratando con una mayor

profundidad el caso del ensayo de Bond para molinos de bolas, por ser el directamente

relacionado con el presente trabajo.



11

Tabla 2.1. Valores del ndice de trabajo segn Bond.



12

El procedimiento experimental estndar de laboratorio, para determinar el ndice de trabajo en la etapa de trituracin, bsicamente consiste en lo siguiente: Preparacin del material a un tamao comprendido entre 2 y 3 pulgadas. Se coloca parte

de dicho material entre 2 pndulos opuestos e iguales (30 lbs de peso cada uno), que pueden levantarse controladamente a distintas alturas de cada.

Efectuar un ensayo de impacto sobre el material, colocando la dimensin menor de la roca en la direccin del impacto a producir por ambos pndulos, los cuales se levantarn progresivamente, hasta producir la fractura requerida del material.

El ndice de trabajo (Wi; kwh/ton. corta) se calcular a partir de un promedio de 10 ensayos vlidos, mediante la frmula:

CWs

i

59,2

Donde: Wi= ndice de trabajo del material, aplicable a trituracin (kwh/ton corta)

s = peso especfico del slido C = esfuerzo del impacto aplicado, necesario para fracturar el material (lb-pie/pulg de espesor de la roca). Para el caso de los molinos de barras, la alimentacin se prepara en trituracin a tamao inferior a pulgada (< 1, 27 mm), midindose un volumen de 1250 cm

3 en un cilindro

graduado, que es pesado y analizado granulomtricamente. Se procede con ello a realizar una molienda en seco en un molino de barras de laboratorio de 12 de dimetro y 24 de largo con revestimiento interno ondulado, que gira a 46 rpm, y en unas condiciones de 100% de carga circulante. La carga molturante consiste en seis barras de 1.25 de dimetro y 21 de largo, y dos de 1.75 de dimetro y tambin 21 de largo, con un peso total de 33.380 kg. Con el fin de contrarrestar la segregacin que se puede producir en los bordes del molino, la forma de llevar a cabo la molienda es como se recoge a continuacin. La molienda se lleva a cabo con el molino horizontal durante 8 vueltas, tras las cuales el eje del molino se inclina 5 en un sentido, para dar una vuelta, y se vuelve a inclinar 5 en el otro sentido, para volver a la horizontalidad durante las siguientes ocho vueltas, repitindose en lo sucesivo el modo operatorio. Los tamaos de cierre del circuito llegan hasta las 200 micras. Al final de cada perodo de molienda, la descarga del molino se produce inclinando el molino 45 durante 30 revoluciones. El producto es tamizado al tamao de cierre del circuito correspondiente, el pasante se pesa y se adiciona al rechazo una cantidad de alimentacin representativa igual al peso del pasante, para recomponer el peso inicial de los 1250 cm

3.



13

Este material es introducido al molino, molindose durante un nmero de revoluciones calculado para dar una carga de recirculacin igual al peso de la alimentacin fresca aadida (100% de carga circulante). Se contina con los ciclos de molienda hasta que los gramos de pasante producidos por revolucin alcanzan el equilibrio o modifican su tendencia de crecimiento o decrecimiento. El pasante del ltimo ciclo se analiza granulomtricamente, y el valor medio de gramos producidos por revolucin de los tres ltimos ciclos es el ndice de molturabilidad en molinos de barras. El clculo final del ndice de Bond, para el caso de molinos de barras, se realiza mediante la aplicacin de la frmula siguiente:

8080

625.023.0

100

1010

62

FPGbpP

Wi

en la que: Wi es el ndice de trabajo del material, en kWh/ton corta. P100 es la abertura en micras de la malla de corte utilizada para cerrar el circuito. Gbp es el ndice de molturabilidad del material en molinos de bolas, en g/rev. F80 es el tamao correspondiente al 80% de pasante de la alimentacin fresca, en micras. P80 es el tamao correspondiente al 80% de pasante del producto final, en micras. Este valor de ndice de trabajo sera vlido para el clculo de la potencia de salida del motor de accionamiento de un molino de 8 ft de dimetro interno, trabajando en va hmeda y en circuito abierto, en funcin del caudal msico (t/h) de alimentacin. Bond propuso factores correctores al valor obtenido mediante la metodologa anterior, de forma que si el molino tiene un valor del dimetro diferente, el ndice de trabajo obtenido debera ser

corregido multiplicndolo por

20.0

D

8

, siendo D el dimetro del molino expresado en ft. Bond propuso adems un factor de correccin para el caso de la molienda en va seca, de forma que en esas condiciones de operacin el valor del ndice de trabajo debera ser incrementado multiplicndolo por 1.30. En todo caso, en el apartado siguiente se realiza un anlisis y exposicin conjunta de los factores de correccin aplicables tanto en el caso de molinos de barras como de bolas (Rowland, 1998).

El ndice de trabajo de un material, aplicable a la molienda fina en molinos de bolas, se determina en un molino de laboratorio de dimensiones estndar, de 12 pulgadas de dimetro y 12 pulgadas de largo, que gira a 70 rpm, posee esquinas redondeadas y revestimiento liso, con una carga de bolas de acero determinada. En lo que se refiere a la carga molturante, debemos detenernos para realizar la aclaracin que se realiza seguidamente. En su publicacin ms conocida (Bond, 1961), Bond defini carga de bolas mostrada en la tabla:

rea Peso

pulgadas cm N bolas cm2

(g)

1,45 3,683 43 1832,4 8803

1,17 2,972 67 1858,9 7206

1,00 2,540 10 202,7 672

0,75 1,905 71 809,5 2011

0,61 1,549 94 708,9 1433

285 5412,4 20125Total:

Tamao bolas

Carga recomendada por Bond en 1961

Tabla 2.2. Distribucin recomendada por Bond inicialmente.



14

Sin embargo, segn BICO (1999), empresa fabricante del molino utilizado para la realizacin

de los ensayos recogidos en el presente trabajo, mediante correspondencia particular Bond admiti la dificultad de especificar un nmero de bolas de cada peso para dar el rea superficial y el peso total especificados, realizando una correccin que segn la mencionada referencia debera ser la siguiente:

rea Peso


(g)

1,500 3,810 25 1140,1 5690

1,250 3,175 39 1235,1 5137

1,000 2,540 60 1216,1 4046

0,875 2,223 68 1055,2 3072

0,750 1,905 93 1060,3 2646

285 5706,8 20592Total:

Carga recomendada por Bond finalmente

Tamao bolas

Tabla 2.3. Distribucin recomendada por Bond finalmente.

En donde los valores de rea y peso han sido calculados considerando bolas perfectamente esfricas y con la misma densidad que las propuestas inicialmente, ya que Bond en este caso simplemente corrigi el nmero de bolas. Hay que decir que las bolas recibidas junto con el equipo correspondan en nmero con esta nueva distribucin, para a la hora de realizar las comprobaciones necesarias, se encontr que los valores de peso, obtenidos mediante pesada real de las bolas, son los recogidos en la tabla siguiente:

rea Peso


(g)

1,500 3,810 25 1140,1 6763

1,250 3,175 39 1235,1 5468

1,000 2,540 60 1216,1 4500

0,875 2,223 68 1055,2 3787

0,750 1,905 93 1060,3 3720

285 5706,8 24238Total:

Valores medidos en laboratorio

Tamao bolas

Tabla 2.4. Distribucin de bolas medida.



15

En la tabla anterior, los valores de rea superficial se han obtenido de nuevo por clculo, pero los pesos han sido medidos en el laboratorio. Se debe resaltar, porque es la causa de la decisin que llev a la definicin de la distribucin final de bolas que sera utilizada, que el peso total medido de bolas es muy superior a las 44,5 libras que Bond aconsej siempre en todo

caso (20.125 kg). Debido a esto, se tom la decisin de reajustar la carga de bolas suministrada con el molino, manteniendo la distribucin de tamaos propuesta finalmente por Bond, pero de manera que el peso final de bolas sea ms cercano a los 20.125 kg. La distribucin final utilizada, por tanto, es la que se muestra a continuacin:

rea Peso


(g)

1,500 3,810 22 1003,3 5951

1,250 3,175 34 1076,8 4767

1,000 2,540 50 1013,4 3750

0,875 2,223 54 838,0 3007

0,750 1,905 73 832,3 2920

233 4763,7 20396

Valores medidos en laboratorio

Tamao bolas

Total:

Tabla 2.5. Distribucin de bolas utilizada en los ensayos.

En la que el peso de bolas se ha ajustado mejor. El valor calculado del rea superficial ha quedado disminuido en este caso, pero hay que decir que el valor real, de haberse podido medir, sera bastante superior al calculado, al presentar la mayora de las bolas imperfecciones geomtricas no despreciables. La figura siguiente expresa y resume la presente discusin de manera grfica.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Tamao (mm)

Pe

so (

g)

Dist. Final Bond

Dist. utilizada

Dist. Inicial Bond

Fig. 2.6. Comparacin entre las distintas distribuciones analizadas.

Una vez realizado este pequeo anlisis acerca de la distribucin de la carga molturante, continuemos con la definicin de las condiciones de ensayo. La alimentacin al molino corresponde a material triturado controladamente al 100% menor de 6 mallas Tyler (



16

El ensayo consiste en la realizacin de una molienda en seco en el molino de bolas, simulando una operacin en circuito cerrado con 250% de carga circulante, y utilizando la malla de corte requerida, de acuerdo con el circuito industrial, de forma que los tamaos de cierre del circuito se encuentren siempre en el rango comprendido entre 28 y 325 mallas Tyler (entre 600 y 40 micras, aprox.). El circuito sera este:.

Fig. 2.7. Esquema del circuito cerrado utilizado en el ensayo de Bond.

El ensayo de Bond se inicia moliendo el material durante un nmero arbitrario de revoluciones, normalmente 100 aunque puede ser 50 en el caso de materiales blandos; se vaca el molino con la carga de bolas, y se tamizan el material sobre el tamiz correspondiente a la malla de corte del circuito. A continuacin, se pesa el pasante, dejndolo a parte, y se agrega carga fresca al rechazo para reconstruir la carga inicial de slidos alimentada al molino en cada ciclo, completando el peso de los 700 cm

3 iniciales. Este material se retorna al molino, junto con la carga de bolas,

siendo dicho material molido durante el nmero de revoluciones calculado para producir un 250% de carga circulante, repitiendo dicho procedimiento hasta alcanzar las condiciones requeridas de equilibrio. El nmero de revoluciones requeridas se calcular en base a los resultados del ciclo precedente (segn el valor de los gramos de finos producidos por cada revolucin del molino). Se contina con los ciclos de molienda hasta que el nmero de gramos netos de pasante producidos por revolucin alcance el equilibrio (que debera ser cuando el pasante total de finos sea 1/3.5 veces el peso total al molino). En ese momento, se realizar un anlisis granulomtrico del pasante en el tamizado (correspondiente al producto final del circuito de molienda), con el objeto de determinar el valor P80. El ndice de molturabilidad del molino de bolas (gramos por revolucin) se obtendr promediando los valores correspondientes a los tres ltimos ciclos. El ndice de trabajo del material, vlido para molienda en molinos de bolas, se calcular segn la siguiente expresin emprica propuesta por Bond:

W

P GbpP F

i

44 5

10 10100

0 23 0 82

80 80

.

. .



17

en la que: Wi es el ndice de trabajo del material, en kWh/ton corta. P100 es la abertura en micras de la malla de corte utilizada para cerrar el circuito. Gbp es el ndice de molturabilidad del material en molinos de bolas, en g/rev. F80 es el tamao correspondiente al 80% de pasante de la alimentacin fresca, en micras. P80 es el tamao correspondiente al 80% de pasante del producto final, en micras. El valor del ndice de trabajo calculado segn la expresin anterior, es consistente con la potencia mecnica de salida de un motor capaz de accionar un molino de bolas del tipo descarga por rebose, de 8 pies de dimetro interno, trabajando en va hmeda en hmedo y en circuito cerrado con un clasificador. En principio, Bond propuso slo dos factores de correccin, los mismos que en el caso de los molinos de barras y con los mismos valores. En trabajos posteriores (Rowland, C.A., 1988) se analizaron y actualizaron diversos factores de correccin, y aqu recogeremos los publicados ms recientemente por Rowland en la referencia antes citada. Como el propio Rowland menciona en dicho trabajo, los tamaos tpicos de molinos, tanto de bolas como de barras, crecieron bastante desde los aos 60 en los que Bond hizo fundamentalmente su investigacin; as, si en 1960 el mayor molino de barras tena un dimetro de 3.20 a 3.51 metros (10.5 a 11.5 ft) y a finales de dicha dcada ya haba molinos de barras de 5.03 m (16.5 ft), y de forma idntica con los molinos de bolas que en esa poca llegaron a los 5.5m de dimetro (18 ft), poca que coincidi con la aparicin de los grandes molinos de molienda autgena y semiautgena, de hasta 10.4 m de dimetro (34 ft). Factores de correccin al ndice de Bond:

Correccin de unidades de masa: la primera de las correcciones que se pueden hacer el ndice de Bond es una mera cuestin de unidades, ya que los valores obtenidos por aplicacin directa de la frmula se obtienen en kWh/sht, es decir, por tonelada corta, de forma que para obtener el consumo energtico especfico referido a unidades mtricas, es preciso multiplicar el valor en kwh/sht por 1.102

Correccin a molienda en va seca: en este caso, el parmetro continu siendo el

propuesto por Bond originalmente, es decir, se aplica un coeficiente multiplicador K1 =1.3 para el caso de la molienda en va seca.

Correccin a circuito abierto: el valor del multiplicador K2 aplicable en el caso de que

la operacin se realice en circuito abierto, se recoge en la tabla siguiente, en funcin del porcentaje de pasante deseado por el tamao utilizado como P100 en el ensayo de Bond.

Pasante especificado (%) K2

50 60 70 80 90 92 95 98

1.035 1.05 1.10 1.20 1.40 1.46 1.57 1.70

Tabla 2.8. Valores del multiplicador K2.



18

Los valores intermedios se obtendrn por interpolacin.

Correccin del dimetro del molino: para determinar el multiplicador K3

correspondiente al escalamiento de tamao del molino, ste se puede calcular de la siguiente forma:

m96.3Dpara

m96.3Dpara

914.0

D

44.2

K

2.0

3

siendo D el dimetro interno del molino (sin incluir el revestimiento) donde se ve que se toma como base el molino de 8.5 ft de dimetro, y que el multiplicador es constante para dimetros internos superiores a los 13 ft (3.96 m). En la siguiente tabla se recogen los valores correspondientes a los dimetros ms frecuentes, pudiendo verse la evolucin del multiplicador con el dimetro del molino.

Dimetro interno, sin revestimiento ft m

Dimetro interno, con revestimiento ft m

Multiplicador K3

3.0 3.281 4.0 5.0 6.0 6.562 7.0 8.0 8.5 9.0 9.5 9.843 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.124

0.914 1.0 1.22 1.52 1.83 2.0 2.13 2.44 2.59 2.74 2.90 3.0 3.05 3.2 3.35 3.51 3.66 3.81 3.96 4.0

2.6 2.88 3.6 4.6 5.6 5.96 6.5 7.5 8.0 8.5 9.0 9.34 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 12.62

0.79 0.88 1.10 1.40 1.71 1.82 1.98 2.29 2.44 2.59 2.74 2.85 2.9 3.05 3.20 3.35 3.51 3.66 3.81 3.85

1.25 1.23 1.17 1.12 1.075 1.06 1.042 1.014 1.00 0.992 0.977 0.97 0.966 0.956 0.948 0.939 0.931 0.923 0.914 0.914

Tabla 2.9. Valores del multiplicador K3.



19

Correccin al tamao de la alimentacin: hay unos lmites superiores ptimos de

tamao para la alimentacin, tanto en molinos de bolas como de barras, que pueden ser calculados segn las expresiones siguientes:

5.0

i

optw

1316000F

, para molinos de barras 5.0

i

optw

134000F

, para molinos de bolas Para tamaos de alimentacin F80 superiores a Fopt, se aplica un multiplicador K4 dado por:

R

F

FF7w

1Kopt

opt80

i

4

siendo R la relacin de reduccin :

80

80

P

FR

Correccin por finura en molinos de bolas: cuando se lleva a cabo la molienda a

tamaos de P80 inferiores a 74 micras (200 mallas), la prdida de eficacia aumenta mucho al disminuir el tamao. Se define as un nuevo multiplicador K5 de la forma siguiente:

80

805

P145.1

3.10PK

Correccin por relacin de reduccin anmala en molinos de barras: esta es

aplicable slo en el caso de molinos de barras. Se define la relacin de reduccin

normal en un molino de barras como D

L58R0

, siendo L la longitud de las barras y D el dimetro interno considerando el revestimiento. Cuando la diferencia en valor

absoluto entre R y R0 es mayor que 2, 2RR 0 , entonces se aplica un nuevo

multiplicador K6, obtenido como sigue:

150

RR1K

2

06

En el caso de relaciones de reduccin muy grandes, este multiplicador slo se aplica si Wi > 8.

Correccin por relacin de reduccin pequea en molinos de bolas: cuando la

relacin de reduccin en el caso de los molinos de bolas es pequea, R < 6, se aplica un nuevo multiplicador K7 definido de la forma siguiente:

35.1R

13.01K7



20

Correccin por el modo de operacin en molinos de barras: la operacin de un

molino de barras est muy afectada por cmo se prepara la alimentacin, as por el desgaste en la carga molturante y revestimiento, al afectar a la accin de las barras en el molino.

As, en el caso de un circuito con slo molinos de barras, entonces se recomiendan los siguiente valores del multiplicador K8: K8 = 1.4, si la alimentacin se prepara con trituracin en circuito abierto, K8 = 1.2, si la alimentacin se prepara con trituracin en circuito cerrado. En este caso se recomienda adems la aplicacin de los multiplicadores K3, K4 y K6. Sin embargo, en el caso de que sea un circuito molino de barras molino de bolas, los valores del multiplicador en cuestin sern los siguientes: K8 = 1.2, si la alimentacin al molino de barras se prepara con trituracin en circuito abierto, K8 = 1, si la alimentacin al molino de barras se prepara con trituracin en circuito cerrado, es decir, no es necesaria ninguna correccin en este caso. Tambin en este caso se recomienda adems la aplicacin de los multiplicadores K3, K4 y K6. Multiplicador de correccin total En cada caso particular, al valor obtenido a partir del ensayo de laboratorio antes descrito, ya sea en el caso de molinos de barras o de bolas, ser corregido por un factor de correccin

total,

i

iKK

, siendo los valores de i, entre 1 y 8, los aplicables a cada caso particular, adems del factor de conversin previo ya comentado para el paso de tonelada corta a tonelada mtrica. Descripcin paso a paso del ensayo de Bond para molinos de bolas Se pretende a continuacin ofrecer una descripcin paso a paso de las operaciones a realizar en el desarrollo del ensayo de Bond para molinos de bolas. El objetivo no es slo favorecer el aprendizaje del mtodo en s, sino ms an, analizar todas las operaciones unitarias necesarias y a realizar en el mismo, con vistas a su simulacin matemtica, tal como se llevar a cabo en captulos posteriores. Los pasos a seguir para la ejecucin del ensayo son:

1) Preparacin de la alimentacin: El material debe ser triturado a un tamao inferior a 3360 micras, seco, homogeneizado y a ser posible desmuestrado en bolsas de 1-3 kg, para su facilidad de manejo en las sucesivas operaciones de aporte de material fresco que se han de realizar en todos los ciclos.

2) Determinacin de la densidad aparente de la alimentacin, por ejemplo mediante la medicin en un cilindro graduado. Debe tenerse especial cuidado en que el material logre el mximo empaquetamiento posible en dicho cilindro, pudiendo recurrirse a vibrado del mismo.



21

3) Clculo del peso de 700 cm3 de alimentacin mediante el valor de la densidad

aparente, o directamente por pesada de dicho volumen. Ese ser el peso de alimentacin en el primer ciclo, y en todo caso, el peso total al molino alimentado en cada ciclo.

4) Clculo del peso de producto ideal o peso ideal de finos, suponiendo una carga circulante de 250%. Este valor ser:

5,3

entacinlimadecm700depesoPidealPeso

3

i

5) Caracterizacin granulomtrica de la alimentacin, con especial cuidado en la

obtencin del valor del tamao caracterstico F80, y el porcentaje de material en la alimentacin inferior al tamao de corte.

6) En el caso de que en el anlisis granulomtrico realizado a la alimentacin, se obtenga un porcentaje pasante por el tamao de corte superior al 28%, se realizar un ciclo en vaco, es decir, se asignar cero al nmero de revoluciones y al nmero de gramos neto por revolucin en el primer periodo, se llevar a cabo el tamizado del total de la carga al tamao de corte, separndose el cernido y completando el rechazo con alimentacin fresca representativa hasta completar el peso inicial.

7) Introduccin de la carga de alimentacin en el molino, teniendo especial cuidado en el cierre del mismo. A este respecto, hay que decir que es conveniente comprobar regularmente el estado de las juntas de cierre, para garantizar que no se produzcan acumulaciones de material no triturado en los espacios que puedan quedar, o incluso prdidas de material en el giro del molino.

8) Se hace girar el molino un nmero arbitrario de revoluciones, que suele ser 100, pudiendo iniciarse en 50 para tamaos gruesos o materiales blandos, con el fin de reducir en ese caso las necesidades de material, ya que en muchos casos la disponibilidad de muestra es un parmetro limitante.

9) Se descarga el molino sobre una superficie tipo chapa perforada, para facilitar la separacin de las bolas del material; se limpia el interior del molino y las bolas para recuperar en lo posible la totalidad de la masa introducida, y se cargan de nuevo las bolas limpias.

10) Se tamiza cuidadosamente la descarga del molino con el tamiz de corte seleccionado; se puede agilizar esta operacin disponiendo una serie de tamices sobre el tamao de corte.

11) Se procede al pesado del total de rechazo tamizado, con precisin al menos de dcimas de gramo.

12) Se calcula el peso del pasante por diferencia entre el peso total de producto y el peso de rechazo, aunque si es posible, se recomienda realizar la pesada directa como comprobacin, o incluso podra realizarse directamente la pesada del material pasante.

13) Se calcula la cantidad de material de tamao menor que el del tamiz de corte en la alimentacin, segn el anlisis realizado en el paso 5, para conocer as el peso adicionado de finos en la carga de alimentacin al actual periodo.



22

14) Se calcula el valor de los gramos de finos netos producidos, que corresponde al peso de pasante producido (calculado en el paso 12), menos el peso de finos introducidos con la alimentacin (calculado en el paso 13).

15) Se calcula el valor de los gramos netos producidos por revolucin, dividiendo el nmero de gramos netos (obtenidos en el paso 14), entre el nmero de revoluciones del periodo.

16) Se aade una cantidad de muestra representativa de alimentacin fresca al rechazo

obtenido, para constituir de nuevo el peso definido en el paso 3.

17) Se calcula la cantidad aproximada de finos ya presentes en la cantidad aadida en el

paso 16, basndose en el anlisis granulomtrico del paso 5. Este valor debe ser anotado para usarlo en el clculo de los finos netos producidos en el siguiente perodo, como se describi en el paso 12.

18) Se calcula el peso que deber ser molido en el prximo perodo para obtener la carga circulante deseada; se obtiene restando al peso ideal de finos, segn el paso 4, la cantidad de finos presentes en la alimentacin al molino.

19) Se calcula el nmero de revoluciones correspondientes al siguiente perodo. Se obtiene dividiendo la cantidad de material que debe ser molido (calculada en el paso 18), entre el nmero de gramos netos por revolucin del perodo anterior (calculado en el paso 15).

20) Se aade nueva alimentacin al rechazo del ensayo (como en el paso 16) y se repiten los pasos del 7 al 20. Deben realizarse, como mnimo, 5 periodos de molienda.

21) Segn Bond, es de esperar una convergencia del sistema donde el nmero de gramos netos por revolucin frente al nmero de periodos muestre una tendencia creciente o decreciente, de forma que en un determinado ciclo se produzca una inversin de tal tendencia, y segn Bond, una vez producido dicho cambio de tendencia, y pasados al menos cinco ciclos, puede darse por terminado el ensayo. En todo caso, este tipo de convergencia no es general, y de no presentarse tal inversin de tendencia, se debera continuar el ensayo hasta que no se haya visto una variacin significativa en el nmero de gramos netos por revolucin.

22) Promediando los valores de gramos netos por revolucin obtenidos en los tres ltimos

perodos (si hubo la inversin de tendencia comentada en el paso 21), o de los dos ltimos (si no la hubo), se calcula obtiene el ndice de molturabilidad en molinos de

bolas, Gbp.

23) Mediante anlisis por tamizado, se determina la distribucin granulomtrica del pasante del tamiz de corte en el ltimo ensayo realizado, con el fin de determinar el valor P80.

24) Se calcula el ndice de trabajo Wi, en molino de bolas, mediante la ecuacin propuesta por Bond, ya comentada anteriormente:

W

P GbpP F

i

44 5

10 10100

0 23 0 82

80 80

.

. .



23

siendo: P100 es la abertura del tamiz de corte, en micras. Gbp es el ndice de molturabilidad o capacidad de molienda, en g/rev. F80 es el tamao correspondiente al 80% de pasante de la alimentacin fresca, en micras. P80 es el tamao correspondiente al 80% de pasante de los finos del ltimo periodo de molienda, en micras. Una vez realizado el ensayo de Bond para molinos de bolas, ya es posible definir el algoritmo de clculo necesario para llevar a cabo la simulacin matemtica (en nuestro caso el material ser slice), una vez sean especificados los modelos matemticos de fragmentacin, lo que trataremos en el captulo tercero.

2.4.- LEYES ENERGTICAS DE LA FRAGMENTACIN.

Las ecuaciones bsicas que rigen el fenmeno de la reduccin de tamao no estn perfectamente definidas, siendo quizs el motivo principal el hecho de que la conminucin trate con slidos en los que existe un complejo equilibrio entre enlaces cohesivos y acciones repulsivas a nivel atmico y molecular.

La rotura es claramente producida por esfuerzos de traccin. En el caso de los esfuerzos de compresin, aunque tienden a acercar ms los ncleos, la rotura se produce porque generan esfuerzos de traccin en la partcula. Cuando la compresin va acompaada de esfuerzo cortante, hay una tendencia al deslizamiento de unas capas de tomos sobre otras, y si el esfuerzo cortante es suficiente, se produce la rotura de la partcula.

Como es bien sabido, la rotura puede ser producida por mtodos trmicos solamente, ya que el aumento de temperatura implica un aumento de la distancia atmica media, a la vez que un aumento en la amplitud de la vibracin atmica. Esto se manifiesta en una expansin trmica, y la expansin trmica diferencial de las diferentes especies lleva a la rotura. De forma similar se puede favorecer la rotura por medios qumicos, debido a la diferente susceptibilidad al ataque qumico que presentan los enlaces tensionados entre tomos y molculas y los enlaces no tensionados.

Durante aos, los investigadores han intentado determinar la energa requerida para la rotura de las rocas. Desde el punto de vista de la metalurgia, este inters radica en la necesidad de liberal el mineral encajado en la roca. Ha sido observado que en el proceso de reduccin de tamao, al disminuir el tamao de partculas el rea superficial de las partculas aumenta. Por ello, una medida del tamao o del rea superficial de partculas antes y despus del proceso de reduccin debera indicar la energa requerida en el proceso de conminucin. De ah que si E es la energa usada para la reduccin de tamao deseada, el cual produjo un cambio en el rea superficial S, se ha llegado a la expresin genrica desarrollada por Hukki a partir de las leyes de Charles y Holmes:

dSSkdE n

Donde k es una constante que depende de la resistencia a compresin de la roca. El valor de n ha sido determinado por diferentes trabajos como:

n= -2 (para la Ley deRittinger)

n= -1 (para la Ley Kick)

n= -1,5 (para la Ley Bond)



24

Se ha observado que la expresin de Rittinger, n= -2, es mas aplicable a tamaos de molienda gruesa mientras que la de Kick, n= -1, es mas apropiado a tamaos de molienda mas fina. El valor intermedio de Bond, n= -1,5, cubre casi toda la gama de partculas.

Sustituyendo n= -1,5 en la ecuacin anterior y a continuacin integrando entre el tamao de

partculas de la alimentacin, F , y el tamao de partculas producidas, P , se obtiene la ecuacin general de Bond de la energa requerida en la reduccin de tamao:

FPKE

112

Donde ""K es una constante que depende de las caractersticas del mineral. Para tamaos de reduccin del mineral en un proceso de reduccin en circuito cerrado, Bond deriv la energa especfica para molienda como:

FPwE iG

1110 (kWh/t)

La ecuacin anterior es el resultado fundamental del trabajo de Bond y ha sido aceptada universalmente. La frmula de Bond tiene las dimensiones en toneladas cortas (sht), por lo que al resultado hay que aplicarle un factor de conversin (1,112) para obtener el resultado en toneladas (t). En la prctica en vez de un tamao especifico de alimentacin, se generan gran variedad de tamaos de partculas como resultado de voladuras, los cuales se sometern al proceso de reduccin. Como resultado de la trituracin se obtiene un producto de tamaos ms pequeos los cuales se introducirn en el siguiente proceso de reduccin, la molienda.

Por lo tanto, en la ecuacin anterior Bond considera el trabajo como la energa requerida para la reduccin de las partculas de alimentacin con un determinado F80 a un tamao de partcula en el producto con un determinado P80.

La forma final de la ecuacin de Bond para la reduccin de tamao de una masa ( )FM de

alimentacin en circuito cerrado de molienda tiene la siguiente forma:

FiG MFP

wE

1110 (kWh)

Donde:

F: tamao de partcula correspondiente a un 80% de pasante en la alimentacin

expresado en micras (F80)

P: tamao de partcula correspondiente a un 80% de pasante en el producto expresado

en micras (P80)

iw : es una constante que depende del mineral. Es conocido como ndice de Trabajo o

ndice de Bond (representa el trabajo requerido para reducir el mineral de un

tamao infinito a 100 m).

FM : masa, en toneladas.



25

El valor de iw puede considerarse independiente de cualquier clasificador presente en el

circuito. Los trminos F y P se suelen expresar como F80 y P80, donde los subndices indican el porcentaje de pasante considerado para definir los tamaos de alimentacin y

producto respectivamente. Los trminos F

10 y

P

10 son adimensionales por que el 10 tiene

unidades.

Por definicin, la energa especfica de molienda es la energa requerida por unidad de masa de roca en el proceso de reduccin. La energa de molienda especfica para una partcula de mineral se expresa como:

8080

1110

FPwE iG (kWh/t)

La energa de molienda especfica en la ecuacin de Bond:

FPwE iG

1110

La energa de molienda, GE , requerida para la reduccin de tamao de las rocas en molinos

industriales se basa en la energa del eje del molino, MP , y en su capacidad de molienda, Q.

La relacin entre ambos parmetros es la siguiente:

Q

P

moliendadecapacidad

molinodelenergaE

MG

Por lo tanto, para cualquier roca puede determinarse la energa requerida para la conminucin

conociendo su ndice de Trabajo ( iw ).

A continuacin se expone cronolgicamente una revisin de las leyes clsicas que relacionan la energa de rotura con parmetros simples.



26

2.4.1.- Ley de Rittinger.

Rittinger postul en 1867, que el rea de nueva superficie producida es proporcional a la

energa consumida en la reduccin de tamao. Como el rea de la superficie de una tonelada de partculas de dimetro uniforme d es proporcional a 1/d, la ley de Rittinger se expresar

como sigue:

8080

11

DdKW R [Ec. 2.7]

Siendo d80 y D80 tamaos caractersticos de producto y alimentacin, respectivamente.

Expresado en trminos de utilizacin energtica:

sKDd

Eee

1

11 [Ec. 2.8]

.1 cteKE

ss

ee

[Ec. 2.9]

2.4.2.- Ley de Kick.

En 1885 Kick afirm que para cualquier unidad de masa de material, la energa necesaria para

producir una relacin de reduccin dada es constante, sin importar l tamao que pudiera tener originalmente la partcula.

Sea K2 la energa especfica aplicada para una reduccin de tamao desde D hasta d=D/2, esto representa un paso de reduccin. Si r pasos son precisos para una reduccin de tamao de D/n, entonces n=2

r o bien r = Log n / Log 2. Por tanto la energa necesaria es K2 (Log n /

Log 2) = K3Log n, o de forma ms general para una relacin de reduccin n = D/d:

DDKd

DKW KK logloglog

En trminos de utilizacin energtica:

DDKd

DKEee logloglog 33

La ley quedara as:



27

3

expK

E

d

D ee

Como:

1

d

D

D

K

D

1

d

1Ks 44

Entonces:

1)K/Eexp(DE

K

E

s3ee

ee

4

ee

2.4.3.- Ley de Bond.

Bond concluy en 1952, que el trabajo necesario para romper un cubo de lado d es proporcional al volumen d

3 de dicho cubo; pero al formarse la primera grieta, la energa fluye a

las nuevas superficies resultantes, que sern proporcionales a d2. Cuando se produce la rotura

de una partcula de forma irregular, la energa de deformacin se distribuye irregularmente segn dicho autor, y por tanto la energa requerida para la rotura est entre d

3 y d

2, siendo la

media geomtrica d2.5

, un compromiso entre Kick y Rittinger. Como el nmero de partculas con, supuestamente, la misma forma, es proporcional a 1/d

3, el trabajo necesario para romper

la unidad de volumen ser d2.5

/d3 = d1 . As, en este caso se puede escribir:

DdKEee

115

Bond defini el ndice de Trabajo o ndice de Bond como:

100

15 Kwi

Que ser la energa total requerida para reducir el tamao de un mineral desde un tamao tericamente infinito hasta un producto con un 80% inferior a 100 micras. Sustituyendo, se obtiene la conocida frmula de Bond:

DdwWE iee

1110

En la que d y D son expresados en micras y corresponden al tamao por el que pasa el 80% de producto y alimentacin respectivamente. Tambin en este caso se puede expresar la ley de Bond en trminos de utilizacin energtica (Rose, 1972):

D

1

K

1E

K

1

E

s

7

ee

6ee



28

2.4.4.- Ley de Charles-Holmes.

En 1957, de manera independiente, el americano Charles y el britnico Holmes propusieron una generalizacin de las leyes anteriores, resumindolas en una sola, que segn Hukki (1975) podra expresarse as:

nx

dxCdW

En la que C es una constante, y n toma los valores de 1 para la Ley de Kick, 2 para la ley de Rittinger y 1.5 para la Ley de Bond. Segn el propio Hukki, la Ley de Kick resultara adecuada para partculas de tamao superiores a 1 cm, lo que corresponde con el mbito de la trituracin. La Ley de Bond sera aplicable con mayor precisin en el rango correspondiente a la molienda convencional en molinos de barras y de bolas; finalmente, la Ley de Rittinger se aplicara en el rango de la molienda fina. Lgicamente, hay un solapamiento de rangos entre cada dos leyes, de forma que a determinados tamaos, en teora, podra aplicarse cualquiera de ambas con igual validez. En la siguiente figura se realiza una representacin comparativa de la ley diferencial general y las tres leyes clsicas.

Fig. 2.10.- Comparacin grfica de las leyes de la fragmentacin



29

2.5.- ANALIZADOR DE TAMAO DE PARTCULAS LS 13 320 BECKMAN COULTER

A continuacin expondremos brevemente las sucesivas opciones de configuracin que se presentan para la utilizacin del equipo de anlisis de tamao de partcula: Existen cuatro mdulos para el anlisis de partculas:

ALM: mdulo lquido acuoso (mide desde 0,04 m hasta 2000m)

ULM: mdulo lquido universal (mide desde 0,04 m hasta 2000m)

DPS: Sistema tornado para polvo seco (mide desde 0,4 m hasta 2000m)

MLM: mdulo micro lquido (mide desde 0,4 m hasta 2000m)

En los ensayos realizados se han utilizado los mdulos: lquido acuoso (ALM) y el universal (ULM), para comprobar las distribuciones de las curvas granulomtricas tambin se utiliz el sistema de tornado (DPS). Una gua rpida para empezar a realizar ensayos con el analizador de partculas consistira en

los siguientes puntos:

1. Seleccionamos en PREFERENCES el modelo ptico que vamos a utilizar (dependiendo del tamao de partcula que queramos medir utilizaremos el de Mie o el de Fraunhofer).

2. Cargamos las caractersticas de un procedimiento operativo estndar mediante la opcin LOAD SOP.

3. Introducimos las caractersticas de la muestra a medir (en nuestro caso la densidad del

material) mediante SAMPLE INFO.

4. Seleccionamos la tecla START SOP.

5. Esperamos a que la mquina mida y realice las comprobaciones de: OFFSETS, ALIGNING y BACKGROUND.

6. En el momento que aparezca el mensaje de MEASURE LOADING se echan en el mdulo pequeas cantidades del material a medir hasta que el parmetro OBSCURATION pone OK.

7. Despus de unos segundos (o minutos) dependiendo de los parmetros seleccionados se obtienen los resultados en la forma previamente seleccionada.



30

Fig. 2.11.- Pantalla inicial del ALM

Fig. 2.12.- Pantalla de carga de los procedimientos de operacin estndar (SOP)



31

Fig. 2.13.- Pantalla de carga de los procedimientos de operacin estndar (SOP)

Fig. 2.14.- Men de preferencias



32

Fig. 2.15.- Pantalla de carga de los mtodos de operacin estndar (SOM)

Fig. 2.16.- Seleccin de fluido utilizado y su ndice de refraccin



33

Fig. 2.17.- Representacin de un informe del analizador

Captulo 3: Modelos de fragmentacin.


34

Captulo 3:

Modelos de fragmentacin



35



36

3.1.- MODELOS DE FRAGMENTACIN.

En este captulo, se explicarn los diferentes modelos de fragmentacin utilizados, y se analizar con ms detalle el modelo cintico acumulativo.

3.1.1.- Modelos matemticos de simulacin.

Cuando se pretende llevar a cabo el diseo o la optimizacin de una planta de tratamiento de minerales, el objetivo fijado consiste en averiguar la combinacin ms idnea entre las variables que entran en juego, para conseguir una ptima economa global del circuito. En la obtencin de dicha combinacin ptima de variables, uno de los puntos crticos se encuentra en la fase de conminucin, por dos motivos fundamentales:

En primer lugar, por la magnitud del consumo energtico que estas operaciones suponen siempre.

En segundo lugar, porque de su eficacia depende el resultado de las fases posteriores de tratamiento del material.

Como es lgico, una de las formas de estudiar la disposicin ptima del circuito consiste en el estudio experimental del mismo, es decir, mediante ensayos en planta piloto. Hasta hace relativamente poco, esa era la nica va posible, y no siempre satisfactoria, debido al alto coste que lleva aparejado. Una va alternativa a la descrita anteriormente, que se vio muy favorecida por el gran desarrollo de las tecnologas informticas, consiste en la Simulacin de Procesos por Ordenador, basada en el desarrollo de modelos matemticos de diversa naturaleza, capaces de describir las operaciones unitarias llevadas a cabo, que han probado suficientemente su validez en estos ltimos aos. En especial, se presentan como de gran eficacia los modelos desarrollados para los procesos de conminucin. La simulacin por ordenador de los procesos de conminucin puede proporcionar mucha mayor rapidez y ahorro en costes, e incluso mayor precisin, siempre que se utilicen modelos adecuados. En todo caso, quizs la mejor ptica se obtenga cuando se considere la simulacin por ordenador como una tcnica complementaria, es decir, como una tcnica til para la evaluacin rpida de diferentes posibilidades, cuyos resultados en casos de mayor compromiso puedan ser refinados en ensayos en planta piloto. Un modelo matemtico de conminucin o de una mquina de clasificacin consiste en una serie de ecuaciones que pueden ser usadas para calcular las caractersticas del producto o productos de una mquina cuando se producen cambios en la alimentacin o en las caractersticas de operacin de la misma. Como la distribucin granulomtrica del producto es uno de los resultados que se esperan de un modelo, se estudia previamente las formas de representacin de dicha distribucin.



37

Representacin de distribuciones granulomtricas

Los mtodos que pueden ser utilizados para caracterizar granulomtricamente un colectivo de partculas, se pueden clasificar en: Mtodos de parmetro nico: Consisten en la caracterizacin del colectivo de partculas por un solo parmetro. Los que se utilizan con ms asiduidad son:

Tamao por el que pasa una determinada fraccin en peso del material.

rea superficial por unidad de masa.

Aunque es el primero de los citados el ms utilizado, en particular el caso en que se utiliza el 80% como fraccin en peso de pasante, representndose dicho tamao caracterstico como D80. El segundo de los parmetros citados se utiliza como medida de la finura de la molienda en algunas industrias, como la del cemento o la de xidos de hierro para peletizacin. En todo caso, es evidente que con un solo parmetro no se describe con suficiente precisin a un colectivo, siendo necesario en muchos casos el disponer de la distribucin granulomtrica por tamaos o una funcin que la represente. Funciones continuas Se han propuesto muchas funciones para definir las distribuciones de tamaos, siendo las ms comunes las siguientes:

Rosin-Rammler: nxbeY 1

Gaudin-Schuhmann:

m

k

xY

Gaudin-Meloy:

r

x

xY

0

11

En los tres casos, Y representa la proporcin de material que pasa por una abertura de tamao x, teniendo cada funcin parmetros propios que pueden proporcionar informacin sobre pendiente y posicin de la curva. El inconveniente que presentan este tipo de funciones es que no son capaces de describir con precisin toda la distribucin, lo que adquiere especial importancia en los circuitos cerrados de molienda, en los que la alimentacin al molino es un producto parcial o totalmente clasificado, no molido. La alternativa a utilizar funciones continuas de dudosa precisin, consiste en el uso de una funcin discontinua que permita la suficiente precisin, y desarrollar modelos que la incorporen.



38

Funciones discontinuas Broadbent y Callcott (1956) definieron la distribucin granulomtrica como una serie de puntos x0, x1, x2,...xn y representaron la diferencia entre puntos consecutivos mediante un vector columna de dimensin n x 1. As, la curva granulomtrica se aproximaba a una lnea quebrada cuyos vrtices eran los puntos considerados. Cuanto mayor fuese el nmero de puntos considerados, mayor sera la aproximacin a la curva original, pero en general se consideraba de suficiente precisin la utilizacin de al menos cuatro intervalos. Las ventajas que presenta este mtodo de representacin son:

Se abarca todo el rango de tamaos con suficiente precisin.

No se realizan aproximaciones que busquen el ajuste a una funcin continua.

Cualquier distribucin puede ser representada de esta forma.

Este tipo de representacin es adecuada para su uso en ordenadores.

Suelen elegirse los puntos de forma que exista una relacin constante entre dos consecutivos, lo que equivale al uso de aberturas de tamices en progresin geomtrica.

Frente a la interpolacin lineal, debe mencionarse la interpolacin mediante trazadores cbicos o splines, que consigue la unin de los puntos mediante una lnea ms suave que la quebrada, obteniendo as una aproximacin mayor sin una excesiva complicacin de los clculos. En todo caso, los errores de tipo numrico asociados al algoritmo pueden llevar a errores. Para explicar los modelos de conminucin hemos de considerar que se han realizado intentos para desarrollar modelos de procesos de reduccin dimensional en base a relaciones entre reduccin de tamao-energa, en base a tcnicas empricas y desde un punto de vista mecanicista. De todos ellos, nicamente la aproximacin mecanicista, basada en el reconocimiento de los sucesos fsicos que tienen lugar en el proceso de reduccin dimensional, ha probado ser satisfactoria para la simulacin. Fue Epstein (1948) el primero en describir un modelo estadstico del proceso de rotura, dependiente de dos funciones bsicas: Pn(y), la probabilidad de rotura de una partcula de tamao y en la etapa n-sima de rotura, y F(x,y), distribucin en peso de partculas de tamao x menor o igual a y provenientes de una fraccin granulomtrica de tamao y. Epstein mostr que la primera de ellas, en un proceso de fragmentacin repetitivo, y tras n etapas de molienda, es asintticamente logartmico-normal, lo que concuerda con la experiencia observada. Esta aproximacin de Epstein subyace en los modelos conocidos como matricial y cintico. Aunque aparece habitualmente en la literatura la distincin entre modelos de conminucin matricial y cintico, conviene antes de nada resaltar que ambos no son sino dos formas diferentes de aproximarse a una misma realidad, aunque vestidas matemticamente de forma ya sea discreta (caso del modelo matricial) o continua (caso del modelo cintico). En el modelo matricial, la reduccin de tamao se considera como una sucesin de etapas de rotura, de forma que la alimentacin a una etapa est constituida por el producto de la etapa anterior. Cuanto mayor sea el tiempo de molienda, mayor ser el nmero de etapas y la reduccin de tamao conseguida. En el modelo cintico, la conminucin se considera como un proceso continuo, de forma que cuanto mayor sea el tiempo de proceso, mayor ser la reduccin de tamao conseguida.



39

Ambos modelos se basan en:

Probabilidad de rotura, caracterizada por las funciones de seleccin y de tasa de rotura.

Distribucin de tamaos tras el proceso de rotura, conocida como distribucin de rotura o funcin de apariencia.

Transferencia de materia dentro o hacia fuera del molino, que suele depender del tamao y se caracteriza por la funcin de clasificacin o de velocidad de descarga, o el coeficiente de difusin en funcin del tamao.

Las bases constitutivas del modelo matricial fueron establecidas por Broadbent y Callcott (1956). Siendo ampliamente analizado en trabajos posteriores (Whiten, 1974; Lynch, 1977; Kelly and Spottiswood, 1990; Mehta et al, 1993). Si se consideran n intervalos granulomtricos, sin incluir el inferior, las distribuciones de la alimentacin y del producto pueden ser escritas vectores n x 1, f y p respectivamente, de forma que estn ambos relacionados mediante la expresin:

p = Xf donde la matriz cuadrada X de rango n estara definida de forma que su primera columna sera la distribucin granulomtrica del producto de rotura del intervalo superior de la alimentacin, y as sucesivamente. Esta definicin implica que la matriz X es adems triangular inferior, con todos los elementos por encima de la diagonal nulos. Se puede llegar a un mayor conocimiento de la matriz X teniendo en cuenta que el producto

estar compuesto por partculas que pasan por el proceso sin romperse y fragmentos de partculas rotas. Si s1 es la proporcin de partculas del intervalo superior que son seleccionadas para la rotura, entonces la masa de partculas rotas en ese intervalo ser s1f1 . De forma similar, la masa de las partculas rotas en el intervalo n-simo se obtendr como snfn . De esta forma, se puede escribir de forma matricial las partculas que son rotas como Sf, siendo S una matriz diagonal de orden n cuyos trminos de la diagonal son las probabilidades de rotura de las partculas pertenecientes a cada intervalo granulomtrico. De esta forma, las partculas que pasarn por el proceso sin fragmentarse estarn representadas por:

(I-S)f Cuando la matriz X se refiere a aquellas partculas de la alimentacin que son realmente fragmentadas, y no al peso total de la alimentacin, se representa por B, de forma que la ecuacin quedar:

p = BSf + (I-S)f = (BS + I S)f Hay dos caractersticas ms de operacin en las mquinas de reduccin dimensional que se deben contemplar en el modelo: En gran multitud de aplicaciones, la molienda se realiza en circuito cerrado, producindose el cierre del circuito mediante un dispositivo clasificador. Pero adems, en algunos tipos de mquinas se produce una clasificacin interna, lo cual produce normalmente en un tipo de rotura altamente preferencial hacia las partculas gruesas, como ocurre tpicamente en la accin de un molino de barras o incluso en cualquier molino con de descarga por parrilla o rejilla.



40

La ecuacin correspondiente para describir este tipo de procesos ser la siguiente:

p = (I-C)q donde C sera una matriz cuadrada de orden n, diagonal, representando cada elemento la probabilidad de esa fraccin de ir a los tamaos gruesos del clasificador.

Esquema general del proceso de fragmentacin. Observando el esquema de la figura, se puede escribir el desarrollo siguiente:

p = (I-C)(BS+I-S)m Como: m = f +Cq

Entonces: m = f +C(BS+I-S)m f = (I-C(BS+I-S))m

m = (I-C(BS+I-S))-1

f p = (I-C)(BS+I-S)(I-C(BS+I-S))-1

f Los sucesos repetitivos ocurren en cierto grado en la mayora de las mquinas de conminucin,

excepto quizs en los molinos de rodillos. Si tienen lugar ciclos repetidos, el proceso puede ser descrito por la ecuacin siguiente:

fXpj

j

j

1

en la que Xj es el proceso en el ciclo j-simo, cumplindose:

Xj = (I-C)(BS+I-S)(I-C(BS+I-S))-1

Un caso particular sera cuando tienen lugar ciclos idnticos de rotura, y la clasificacin interna es insignificante. La ecuacin en ese caso quedara:

p = (BS+I-S)m

El parmetro depende del tiempo de retencin de las partculas en el molino, es decir, es inversamente proporcional al caudal de alimentacin. Los ciclos incompletos pueden ser manejados matemticamente con facilidad.



41

La mayora de las mquinas de fragmentacin operan de forma tal que los fenmenos sucesivos de fracturacin se producen mientras que las partculas estn en la mquina, de forma que si se producen n procesos consecutivos, se podra escribir: p1 = Xf p2 = Xp1 p3 = Xp2 ............. pn = Xpn-1 donde se representa por p el producto y f la alimentacin, simbolizando el subndice la etapa correspondiente. As, si el producto final se denota por p, tras n etapas de molienda se podr escribir:

fXpni

i

i

1

En la expresin anterior Xi representa la matriz de fragmentacin en la etapa i, refirindose en este caso el trmino etapa a un aspecto que se puede elegir de manera arbitraria, como puede ser una vuelta o una unidad de tiempo. En el caso particular de que todas las etapas puedan considerarse equivalentes, como es el caso del molino de bolas, la matriz X sera nica, de forma que la expresin anterior que define el producto tras n etapas de fragmentacin quedara:

fXp n

P ara determinar la matriz de fragmentacin est ampliamente aceptado y contrastado (Gutirrez y Seplveda, 1986; Kelly and Spottiswood, 1990) que la funcin de distribucin de la fragmentacin es independiente del tamao inicial de partcula, pudiendo llevarse a cabo una normalizacin de la misma de la siguiente forma:

j

i

j

ij,i

x

x1

x

xB

con i = 1,...,n; j i

Obsrvese que Bi,j no depende de los tamaos xi o xj separadamente, sino de su cociente. Esto permite que baste evaluar experimentalmente dicha expresin para j = 1, y en base a la expresin anterior, estimar dicho valor para cualquier j >1, utilizando:

1

i

1

i

1,ix

x1

x

xB

con i = 2,...,n

En la que los parmetros pueden ser calculados grficamente mediante la representacin

grfica de los valores experimentales obtenidos para Bi,1 frente al tamao. Se observa que y

se obtienen de la tangente en el tramo inicial de la curva, mientras que se obtiene de la tangente en el tramo final.



42

Fig. 3.1. Determinacin grfica de los parmetros del modelo.

En Gutirrez y Seplveda (1986) puede encontrarse una descripcin muy detallada de los pasos a seguir para la determinacin experimental de esta funcin, incluso con planteamiento de ejemplos sobre casos reales, adems de varias metodologas de determinacin de la funcin de seleccin. Asimismo, en el trabajo de Kelly and Spottiswood, 1990, se realiza un interesante anlisis sobre la significacin real de los parmetros obtenidos, y como se aprecia en la figura anterior, concluyen que se puede considerar dos tipos de rotura diferenciados, segn la velocidad de aplicacin de la energa. As, distinguen la rotura a baja velocidad de aplicacin de la energa (cleavage) de la rotura con alta velocidad de aplicacin de la energa, (shatter), estando ambas en relacin directa con los

parmetros y respectivamente, de forma que la rotura total se entendera como una composicin de ambas tendencias, lo que se vera recogido en la expresin formulada anteriormente. Para realizar el mtodo simplificado de caracterizacin una vez comentada en el apartado anterior la ecuacin matricial bsica que define el modelo matricial de fragmentacin: p = Xf se lleva a cabo la propuesta de J.M. Menndez Aguado (1999), de un mtodo simplificado de caracterizacin, es decir un mtodo de determinacin de la matriz del sistema X sin necesidad de entrar en anlisis, factorizaciones o descomposiciones de la misma.



43

Dado que la forma de expresin matricial de este modelo realiza una analoga con la teora algebraica de las Aplicaciones Lineales, siendo en ese caso X la matriz caracterstica de la

aplicacin, lo que aqu se propone es ir un poco ms all en el aprovechamiento de dicha analoga. Hay que decir que, a pesar de que la representacin vectorial de distribuciones granulomtricas se haya revelado muy til en la prctica, parece infructuoso todo intento de definir con rigor algebraico un sub-espacio vectorial del conjunto de las matrices cuadradas de orden n, sobre el que se pueda proyectar el isomorfismo existente con las Aplicaciones Lineales. Sirva como ejemplo el hecho de que no se podra definir la operacin producto por un escalar. En todo caso, como se ha comentado, la aplicacin prctica de dicha analoga tiene un inters indudable, y es por ello por lo que nuestra proposicin se basa en ella, y por lo que su planteamiento no puede estar justificado, como sin duda nos complacera, con un basamento algebraico indiscutible. Ese paso ms all que se ha mencionado, consiste simplemente en observar uno de los ms importantes teoremas, por no decir el ms importante, de la Teora de Aplicaciones Lineales, conocido como Teorema de Existencia y Unicidad de Aplicaciones Lineales. Dicho teorema es el responsable directo del establecimiento de un isomorfismo entre el espacio vectorial de las aplicaciones lineales y el espacio vectorial de las matrices de cuadradas de orden n. Segn este teorema, es posible caracterizar una aplicacin lineal mediante una matriz, definida dicha matriz, en virtud a dicho teorema, disponiendo por columnas los transformados, segn dicha aplicacin, de los vectores de una base. En este punto es donde procede a realizarse la analoga, ya que no podemos hablar de base de un espacio vectorial sin definir previamente dicho espacio, cosa que como hemos comentado no es posible. En todo caso, la representacin de la base natural de un espacio vectorial, en la que cada vector tiene 0 en todas sus posiciones salvo un 1 en una posicin, diferente a la que ocupa en el resto de vectores de la base, es la que permite continuar con la analoga, ya que una distribucin granulomtrica que estuviese representada por un vector de esas caractersticas sera un mono-tamao, es decir, correspondera a un colectivo granulomtrico en el que todas sus partculas estarn comprendidas entre dos tamaos suficientemente prximos. Tal representacin sera como se muestra en las figuras siguientes:

Intervalo (micras) Peso (%) Tamao Pasante acum. (%)

500/250 0,0% 500 100,0%

250/200 100,0% 250 100,0%

200/160 0,0% 200 0,0%

160/100 0,0% 160 0,0%



44

0%

20%

40%

60%

80%

100%

100 1000Tamao (micras)

Pa

san

te a

cu

mu

lad

o (

%)

Tabla 3.3. Representacin granulomtrica de un mono-tamao.

Definidos los tamices, los intervalos correspondientes nos definen esta pseudo-base en la que toda distribucin granulomtrica podra expresarse. La idea est, por lo tanto, en llevar a cabo la definicin de la matriz X de la aplicacin a partir

de los vectores producto de una serie de mono-tamaos, que quedarn definidos al seleccionar el rango de tamices a utilizar en cada caso. Los vectores producto de cada uno de los pertenecientes a la mencionada pseudo-base, dispuestos ordenadamente en columnas, nos definen la matriz del sistema. A continuacin se muestra un ejemplo prctico de caracterizacin, con un menor nmero de tamices, y no llevado a cabo en un molino estndar de Bond, pero que puede ser til para aclarar ms si cabe lo expuesto anteriormente. En la aplicacin prctica que se llevar a cabo, se define una etapa como un nmero arbitrario de gramos por minuto procesados en el equipo de conminucin, de forma que se establece como base de clculo un valor, al que se referirn todas las determinaciones posteriores. Este valor puede ser fcilmente convertido a gramos por revolucin siempre que se conozca la velocidad de giro del molino (lo cual es, por otro lado, habitual) y siempre que sta se mantenga constante. As, se realizarn fcilmente los clculos para el caso de ensayos con un nmero entero de etapas, mientras que en el caso de un nmero no entero de etapas se llevara a cabo el clculo mediante interpolacin entre las dos etapas completas entre las que se encuentre. Pueden extraerse una serie de anotaciones destacables como resultado de este planteamiento:

Si se definen la etapa unitaria como un nmero determinado de gramos de material procesados durante un tiempo determinado (o durante un nmero de revoluciones dado), se ha de suponer equivalente, por ejemplo, la molienda de 100 g de material durante 1 minuto, a la molienda de 50 g durante minuto, dado que en ambos casos correspondera al mismo nmero de etapas.

Asimismo, se debe considerar equivalente el efecto sobre el producto final de la disminucin a la mitad del tiempo de molienda de una cantidad de material dado, o de la duplicacin de la masa de material procesada durante un tiempo dado.



45

La evaluacin de estos supuestos mediante un anlisis comparativo permitir conocer hasta qu punto se cumple esto una vez establecido el modelo (es decir, una vez definidos los gramos por minuto correspondientes a una etapa y obtenida la matriz para ese nmero de gramos por minuto con cada uno de los mono-tamaos. Obtencin de la matriz La forma de proceder se puede esquematizar de la forma que sigue:

Definicin de los intervalos granulomtricos a considerar.

Preparacin de cantidades determinadas de material perteneciente a cada una de las granulometras consideradas.

Realizacin de los ensayos de molienda sobre cada una de las granulometras. Para que la matriz est bien definida, todas las moliendas deben corresponder al mismo nmero de etapas, es decir, que se debe llevar a cabo una molienda con el mismo nmero de gramos por minuto para cada granulometra.

Caracterizacin granulomtrica del producto de la molienda en cada caso, obtenindose un vector producto por ensayo.

Definicin de la matriz caracterstica mediante la disposicin por columnas, de forma ordenada, de los vectores producto obtenidos.

La matriz as definida, presenta las siguientes propiedades caractersticas:

Debe ser una matriz triangular inferior, es decir, todos los elementos por encima de la diagonal deben ser nulos. Esta propiedad es evidente, ya que el producto de un mono-tamao dado nunca contendr tamaos superiores a tal mono-tamao. Aunque esto pueda parecer obvio, la importancia de este hecho puede ser grande cuando se plantee una excepcin, como por ejemplo en el caso de que la molienda se lleve a cabo con materiales que puedan producir aglomeraciones.

La suma de los elementos de cada columna debe ser la unidad, ya que cada columna est definida como la distribucin granulomtrica del mono-tamao correspondiente.

La ltima columna tendr todos los elementos nulos excepto el de la ltima fila, cuyo valor ser siempre la unidad.

Para realizar la obtencin de la matriz segn como se ha descrito, se realiz inicialmente la eleccin de los intervalos granulomtricos a considerar, que resultaron ser (en micras): 3150/1600 1600/800 800/400 400/200 200/0 Empleando una roca pegmattica, se prepararon unos 400 g de cada una de las fracciones granulomtricas antes citadas, siendo posteriormente fragmentado independientemente y en idnticas condiciones, durante dos minutos, en un molino de bolas. Los resultados de los ensayos se muestran en las tablas:

Tamao Alimentacin Producto (g) Peso (%)

3150/1600 400 263,1 0,661

1600/800 0 73,8 0,185

800/400 0 21,8 0,055

400/200 0 10,4 0,026

200/0 0 29 0,073

Primer monotamao

Tabla 3.4. Resultados obtenidos con la fraccin 3150/1600



46

Tamao Alimentacin Producto Peso (%)

3150/1600 0 0 0,000

1600/800 400 223,8 0,562

800/400 0 94,2 0,237

400/200 0 30,4 0,076

200/0 0 49,5 0,124

Segundo monotamao



3150/1600 0 0 0,000

1600/800 0 0 0,000

800/400 402 228,3 0,569

400/200 0 88,4 0,221

200/0 0 84,2 0,210

Tercer monotamao



3150/1600 0 0 0,000

1600/800 0 0 0,000

800/400 0 0 0,000

400/200 405 243,9 0,606

200/0 0 158,4 0,394

Cuarto monotamao


Es innecesaria la realizacin del ensayo con la fraccin 200/0, ya que necesariamente su producto estar contenido en dicho intervalo. A partir de los resultados expresados en las tablas anteriores, se puede escribir la matriz obtenida como sigue:

X =

0,661 0,000 0,000 0,000 0,000

0,185 0,562 0,000 0,000 0,000

0,055 0,237 0,569 0,000 0,000

0,026 0,076 0,221 0,606 0,000

0,073 0,124 0,210 0,394 1,000 Para validar el modelo usaremos matrices de orden bajo, lo que significa un nmero pequeo de tamices, aumentando as la imprecisin del modelo. Por ello, en la aplicacin prctica de este modelo no se han utilizado menos de diez intervalos. Sin embargo, para realizar la exposicin completa del ejemplo mencionado, mostraremos una comparativa de los valores reales y los valores calculados mediante el uso de dicha matriz.



47

Se llevaron a cabo una serie de ensayos para realizar la comprobacin de la validez del modelo lineal representado por la ecuacin matricial p = Xf, de forma que se podra obtener el producto de la molienda de etapas sucesivas mediante: pn = Xfn = X

nf

Los resultados de los ensayos realizados se expresan grficamente en la siguiente figura, realizndose una representacin comparada entre los valores reales y los valores obtenidos por simulacin.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

100 1000 10000

Tamao (micras)

Pa

sa

nte

(%

en

pe

so

)

Alimentacin

Calculado 1

Real 1

Calculado 2

Real 2

Calculado 3

Real 3

Calculado 4

Real 4

Calculado 5

Real 5

Calculado 1/2

Real 1/2

Fig. 3.8. Pasante (% peso) real y calculado

Como se puede observar en la figura, la aproximacin obtenida es mejor en las tres primeras etapas de conminucin, comenzando a observarse a partir de ese punto mayores desviaciones. La importancia de estos resultados radica en que a la hora de establecer las condiciones de ensayo para la simulacin del ndice de Bond, las etapas de conminucin a simular deberan enmarcarse en esos lmites. Una forma de definir a priori las condiciones ptimas de caracterizacin se basa en la consideracin del primer ciclo de molienda en el ensayo de Bond. Si se considera la velocidad de rotacin del molino y el nmero de revoluciones arbitrario que se vaya a elegir, el cual suele ser 100 revoluciones; y si se tiene en cuenta el peso de la cantidad de material a tratar (unos 700 cm

3, en funcin de la densidad aparente del material a ensayar, pero que suele en general

ser un valor en torno a 1 kg), se podra obtener un valor orientativo de los gramos por minuto. Dicho valor se puede utilizar como referencia a la hora de elegir el caudal correspondiente a una etapa de fragmentacin. En el trabajo de J.M. Menndez Aguado (1999) se analiz la caracterizacin de tipo matricial, segn el Mtodo Simplificado Matricial, de dicho trabajo se puede concluir que existen

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