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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON
FACULTAD DE CIENCIAS VETERINARIAS CARRERA DE MEDICINA
VETERINARIA Y ZOOTECNIA “Dr. Mario Torrico Morales”
Texto de
Matemáticas
Elaborado por:
MVZ. Luis Fernando Garcia Jimenez
ING. Jaime Ustaris Rodriguez
Cochabamba, agosto de 2020
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Texto Matemáticas
1
NUMEROS ENTEROS
Ejercicios para completar:
1. En la línea punteada, coloca el nombre de la propiedad que se
aplica en cada igualdad.
a) 12 + (−3) = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
b) (−10) + 10 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
c) 15 + 0 = 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) (9) + (−10) = (−10) + 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
e) (−6) + 4 + (−8) = (−6) + [4 + (−8)] . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
f ) 6 · 1 = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
g) 3(2 + 4 − 8) = 3(2) + 3(4) + 3(−8) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
h) (−54)(4) = (4)(−54) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
i) (−2)(−3)(5) = (−2)[(−3)(5)] . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2. Completa con el número entero que falta:
a) . . . . . . −(+7) = −12
b) . . . . . . +(−15) = +17
c) . . . . . . −(−3) = −6
d) . . . . . . +(+16) = +18
e) . . . . . . −(+5) = +8
f ) . . . . . . +(−5) = +7
g) . . . . . . −(−3) = −9
h) . . . . . . +(+1) = +3
3. Determina cuántos años vivieron los siguientes
personajes.
a) Platón (filósofo griego) nacido en 428 a. C. y fallecido en
348 a. C.:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Titolibio (historiador romano) nacido en 59 a. C. y fallecido
en 17 d. C.: . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Arquímedes (sabio griego) nacido en −287 a. C. y fallecido en
−212 a. C.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Confucio (sabio chino) vivió del 551 al 479 a. C.: . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Texto Matemáticas
2
4. Efectúa los siguientes productos.
a) (−15 + 4 − 10)(9 − 4 + 12) = . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
b) (16 + 9 − 7) [2(4 + 7 − 3) − 5] = . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c) [15 − 3(10 − 6 + 3)] (5 − 3 + 4) = . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
d) 4 [−5(5 − 6 − 10) − 3(−1 +2 − 6)] =. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
e) 8(−10) + 4(−7)(−1) + 4(−5) =. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
5. En cada uno de los siguientes casos, tacha el enunciado que
no es posible:
a) Escribir 18 como el producto de dos números negativos;
b) Escribir 12 como el producto de dos números de signos
opuestos;
c) Escribir −24 como el producto de dos números negativos;
d) Escribir −15 bajo la forma de un producto de dos números de
signos opuestos.
Ejercicios de selección múltiple
Marca con un círculo o con un resaltador la respuesta
correcta.
1. ¿Cuál es el número que sumado con −18 da 5?
a) −23; b) −13; c) 13; d) 23.
2. En una calculadora se tecleó 67 × 500, pero se cometió un
error ya que se quería multiplicar por
125. ¿Cómo se corrige sin borrar lo que ya está?
a) se multiplica por 4; b) se divide para ¼ ; c) se multiplica
por 2; d) se divide para 4.
3. Las gradas que permiten el acceso a un edificio constan de 14
peldaños y una altura total de 252
cm. ¿Cuál es altura de cada uno de los 14 peldaños?
a) 18 cm; b) 16 cm; c) 22 cm; d) 14 cm.
4. Para construir una estantería un carpintero necesita lo
siguiente: 4 tablas largas de madera, 6 tablas
cortas de madera, 12 ganchos pequeños, 2 ganchos grandes, 14
tornillos. El carpintero tiene en el
almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera,
200 ganchos pequeños, 20 ganchos
grandes y 510 tornillos. ¿Cuántas estanterías completas puede
construir este carpintero?
a) 6; b) 10; c) 16; d) 5.
5. Con el heno que tengo puedo alimentar 15 vacas durante 6
días. ¿Cuántas vacas podré alimentar
con la misma cantidad de heno durante 9 días?
a) 12; b) 30; c) 8; d) 10.
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Texto Matemáticas
3
Problemas de planteo
1. Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175
gramos. ¿Cuántas botellas
semejantes serán necesarias para vaciar en ellas el contenido de
un barril de 225 litros? (1l de agua
pesa 1 kg)
2. Se pagó una deuda de 2650 dólares, con billetes de 50 y de 20
dólares. El número de billetes de 20
dólares es mayor que el de 50 dólares en 17 billetes. ¿Con
cuántos billetes se pagó la deuda?
3. Un cazador dispara tres veces para matar un venado y dos
veces para matar un conejo. Si hoy hizo
60 disparos, llegando a matar 26 animales, hallar la diferencia
entre el número de conejos y de
venados.
4. Un librero adquirió 78 libros a $40 cada uno, habiéndosele
regalado uno por cada docena que
compró. ¿A cómo debe vender cada ejemplar para ganar $1208, si
él a su vez ha regalado 5 libros?
5. Ocho personas realizan un viaje, cuyos gastos convienen en
pagar por partes iguales. Al término
del mismo, tres de ellos no pudieron pagar el costo del viaje,
por lo que cada uno de los restantes
tuvo que pagar $180 más. ¿Cuánto costó el viaje?
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Texto Matemáticas
4
FRACCIONES Y DECIMALES
Introducción
A lo largo de vuestra formación académica os habéis encontrado
ante diferentes conjuntos
numéricos:
ℕ (conjunto de números naturales): 0, 1, 2, 3, 4,… ℤ (conjunto
de los números enteros): …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … ℚ
(conjunto de los números racionales): todos los que se pueden
expresar de la forma
𝑎 𝑏 con 𝑎 y 𝑏 números enteros y 𝑏 ≠ 0.
ℚ contiene a ℕ y ℤ: 3
3 = -4 =
Históricamente, respondiendo a necesidades en los problemas
tanto de medida como de reparto, el
paso corresponde de ℕ a ℚ +.
Las fracciones 1 / 2, 2 / 4, 3 / 6, -4/-8,… representan al mismo
número racional. Hay infinitas
fracciones equivalentes representando al mismo número racional,
la única fracción que verifica que
numerador y denominador son números primos entre si y
denominador positivo se llama fracción
irreducible.
Sobre estos aspectos volveremos más adelante.
Fracciones
La representación más común que hacemos de una fracción es a/b,
con b diferente de 0. Pero el uso
que se hace de esta relación es muy variado. Observa las
siguientes situaciones:
- Me he comido la cuarta parte de la tarta
- En esta clase hay la quinta parte de niños que de niñas
- Repartieron tres tabletas de chocolate entre cinco niños
- Este plano está a escala 1:100.000
- Si 15 caramelos valen 2 Bs. ¿cuánto valen tres caramelos?
- Si un litro de leche cuesta 0.70 Bs, ¿cuánto valen 3/5 de
litro de leche?
- Hay que pagar el 16% de IVA…
- …
3
1
-4
1
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5
En todas ellas aparece la idea de fracción pero con distintos
significados. Vemos que en ocasiones se
utiliza la fracción para indicar la relación entre una parte y
el todo (la cuarta parte de), o como una
división indicada (reparto 3 entre 5) o como una relación entre
cantidades (escala 1:100000; si 15 es
a 2, 3 es a …) o como un operador (3/5 de 0.70) o expresando un
porcentaje (16%), etc.
Todos estos significados han de introducirse en distintas
situaciones de enseñanza, ya que no se
puede esperar que el conocimiento de las fracciones en uno de
sus usos se transfiera a otros usos.
En la etapa Primaria se trabajan fundamentalmente dos contextos
de uso de las fracciones que
engloban a los significados anteriores:
- La fracción como parte-todo
- La fracción como razón (o proporción)
La fracción como parte-todo
Un “todo” se divide en partes iguales entre sí (igual longitud,
igual superficie, igual número de
objetos…).
La fracción indica la relación que existe entre un número de
partes y el número total de partes.
El todo recibe el nombre de unidad. Se suele desarrollar en
contextos discretos y continuos. Estos
últimos suelen ser diagramas circulares, rectangulares.. (para
lo cual es necesario la idea de
superficie y de igualdad de superficies independientemente de
las formas de las figuras) o la recta
numérica.
La importancia de la unidad:
1.1. En los ejemplos siguientes te damos distintas unidades.
Indica en cada caso qué fracción
representa la parte sombreada.
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1.2. Sombrea 2/5 de „3 tabletas de chocolate‟.
1.3. Explica una estrategia para repartir 5 tartas entre 7
personas.
1.4. Observa las Figuras 1 y 2 siguientes. Rellena las seis
casillas de la tabla indicando, mediante
una fracción, la cantidad sombreada en cada caso. Ten en cuenta
las unidades de medida dadas en la
columna izquierda.
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Partiendo una unidad en trozos iguales.
2.1. Responde y justifica tu respuesta: En cada uno de los dos
ejemplos (a) y (b) siguientes, ¿es 3/5 la
parte sombreada?
2.2. Sombrea las 3/5 partes de cada una de las figuras
siguientes y explica la estrategia que sigues en
cada caso.
Problemas de fracciones en contexto parte-todo
1.-En una fiesta familiar los niños han comido cinco cuartos de
tarta, los padres un medio y los
demás familiares cinco sextos. ¿Cuántas tartas se han
necesitado?
2.-Queremos embotellar cinco octavos de la cerveza de un barril,
que tiene 100 l. de capacidad, en
botellas de un cuarto de litro. ¿Qué fracción de barril llevará
cada botella? ¿Cuántas botellas
llenaremos?
3.-Pablo ha repartido todos sus cromos repetidos entre sus
primos pequeños. A Hugo le ha dado la
tercera parte de los que tenía, a Luz le ha dado tres cuartas
partes de los que le quedaban y a César
los 9 últimos. ¿Cuántos cromos repetidos tenía?
4.-Santiago es capaz de comerse una tarta en 6 minutos. Carmelo
es capaz de hacerlo en 9 minutos y
Evaristo en 15 minutos. ¿Cuánto crees que tardarán en comer una
tarta los tres juntos?
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La fracción como razón
Se da este contexto cuando la fracción simboliza una relación
entre dos cantidades. Por ejemplo:
La relación entre el número de puntos de A y el número de puntos
de B es de 4/7. Solemos decir:
cuatro a siete.
(2) La escala del plano es de 1:500.
(3) Los porcentajes son un caso particular de razón, donde la
relación se establece siempre con el
100:
26 es el 40% de 65 significa que
26 es a 65 como 40 es a 100, es decir,
26/65 = 40/100
Problemas de fracciones en contexto de razón
1.- Dos ganaderos alquilan un terreno para pasto de sus dos
manadas por 2100 bolivianos. La
manada del primero la componen 40 vacas y la del segundo 300
ovejas. ¿Cuánto ha de pagar cada
uno si una vaca come como 10 ovejas?
2.- En una tienda nos hacen siempre el 10% de descuento porque
el dueño es amigo nuestro. Hoy,
además, es el quinto aniversario de la inauguración, y hacen, a
todos los clientes, el 5% de descuento.
¿Qué nos conviene más: que nos hagan primero el 10% de descuento
y después el 5%, o al revés?
3.- En cierta ciudad, la mitad de la población está entre los 20
y los 50 años, y por cada tres
habitantes mayores de 50 años hay cinco menores de 20. ¿Cuál es
el porcentaje de personas de cada
grupo?
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Números decimales y expresiones decimales
Un número decimal es un número escrito en un sistema de base 10
en que cada dígito, según su
posición, señala la cantidad de unidades, decenas, miles,
décimas, centésimas, milésimas, etc., que
contiene. Con una coma se separa la parte entera de la parte no
entera del número. Por ejemplo:
45,831 = 4 decenas + 5 unidades + 8 décimas + 3 centésimas + una
milésima
Un número decimal se puede escribir en la forma:
donde a y k son números enteros.
Hablamos de expresión decimal de un número cualquiera para
referirnos a una forma de escribirlo
con una coma. Son expresiones decimales:
0,33333333333…
4,56777777777…
0,12121212121…
0,110100100010000…
3,14159…
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10
Escribe en forma decimal:
- 4567 milésimas
- 462 centésimas
- 6 décimas
- 1300 centésimas
- 100 décimas
Los números racionales tienen expresiones decimales que se
obtienen al dividir el numerador entre el
denominador:
Si dividimos 𝑎 entre 𝑏 pueden aparecer como restos 0, 1,… , 𝑏 −
1. Si una vez realizada la división entera no obtenemos resto cero,
continuamos dividiendo décimas, centésimas, milésimas…
con el objetivo de obtener una expresión decimal. Podemos
asegurar que siempre habrá un resto que
se repita por 1ª vez y a partir de éste se repetirán los
siguientes restos y por tanto las cifras decimales
del cociente.
Si aparece un resto cero, obtenemos una expresión decimal
finita. En caso contrario
obtenemos una expresión decimal infinita:
- Expresión decimal finita: tienen un número finito de cifras.
Los números decimales tienen este
tipo de expresión.
5,3
- Expresión decimal periódica pura: la parte decimal, llamada
periodo, se repite infinitas veces.
5,2323232323…
- Expresión decimal periódica mixta: su parte decimal se compone
de una parte no periódica y otra
parte periódica. En este caso las cifras decimales que no se
repiten se llama anteperiodo.
5,4162323232323…
Hay expresiones decimales infinitas no periódicas, dichas
expresiones no corresponden a los
números racionales. El conjunto de expresiones decimales no
periódicas constituyen el conjunto de
los números irracionales:
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𝐼: π, √2, √5, 1 + √2,……..
Los números reales ℝ están constituidos por los números
racionales y por los números irracionales: ℝ = ℚ ∪ 𝐼 . Este
conjunto resuelve el problema de la medida.
p = 3,14159…
√2 = 1,414213562…
0,110100100010000…
Fracciones generatrices de expresiones decimales finitas o
periódicas
- Expresión decimal finita: escribimos el número sin la coma en
el numerador, y en el denominador
la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el
número.
0,054 = 54/1000
- Expresión decimal periódica pura:
1. multiplicamos el número por la unidad seguida de tantos ceros
como cifras tenga el periodo.
2. a este número le restamos el número decimal original.
3. la fracción que represente el número tendrá como numerador el
número obtenido en el paso 2, y
por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras
tenga el periodo menos 1.
𝒏 = 𝟓, 𝟏𝟕𝟏𝟕𝟏𝟕𝟏𝟕𝟏𝟕𝟏𝟕… 100𝑛 = 517,17171717…
100𝑛 – 𝑛 = 512 𝒏 = 𝟓𝟏𝟐/𝟗𝟗
- Expresión decimal periódica mixta:
1. multiplicamos el número por la unidad seguida de tantos ceros
como cifras decimales no
periódicas tenga el número (así tendremos un número decimal
periódico puro).
2. escribimos en forma de fracción el decimal periódico puro
obtenido en el paso 1.
3. la fracción que representa al número decimal original será la
fracción obtenida en el paso 2,
dividida por la unidad seguida de tantos ceros como cifras no
periódicas tenga el número decimal.
𝒏 = 𝟓, 𝟒𝟏𝟕𝟏𝟕𝟏𝟕𝟏𝟕𝟏𝟕𝟏𝟕…
10𝑛 = 54,1717171717… 1000𝑛 = 5417,17171717…
1000𝑛 – 10𝑛 = 5 417 – 54 = 5363 𝒏 = 𝟓𝟑𝟔𝟑/𝟗𝟗𝟎
La fracción así obtenida se llama fracción generatriz.
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Halla la fracción generatriz de las siguientes expresiones:
0,222222222…
1,318318318…
0,123333333…
2,114848484…
0,999999999…
Haz las operaciones siguientes:
2,037 + 35,24 =
25,205 – 15,15 =
23,5 – 28,77 =
23,5 x 28,77 =
28,77 : 23,5 =
78 : 0,02 =
Identificación del tipo de expresión decimal correspondiente a
cada fracción irreducible
mediante la descomposición del denominador en factores
primos
Sea a / b una fracción irreducible tal que su expresión decimal
es periódica pura con un periodo de
longitud k. Probar que b divide a 10ᵏ – 1.
Si a / b = n, a1a2…ak a1a2…ak……. , evidentemente 10ᵏ (a / b ) y
a / b tienen la misma parte decimal.
Por tanto su diferencia es un número entero
10ᵏ (a / b ) - a / b = nº entero
(10ᵏ – 1) a / b es un número entero luego podemos deducir que b
divide a (10ᵏ – 1) a.
Como b es primo con a entonces b divide a 10ᵏk – 1.
Deducimos que b no puede tener como factores ni al 2 ni al 5,
pues en caso contrario dividiría a 1.
Si al descomponer en factores primos el denominador de la
fracción irreducible, los únicos factores
primos que obtenemos son 2 y/o 5, podemos obtener una fracción
decimal que sea equivalente a la
anterior y por tanto estamos ante un número decimal (expresión
decimal finita). Por ejemplo;
Recíprocamente, si consideramos la fracción irreducible de un
número decimal y descomponemos el
denominador en factores primos, los únicos factores primos que
obtenemos son 2 y/o 5.
Veamos dos ejemplos más:
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Texto Matemáticas
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Si al descomponer en factores primos el denominador de la
fracción irreducible:
• los únicos factores primos son 2 y/o 5. Se trata de un número
decimal.
• aparecen el 2 y/o 5 como factores y algún otro factor primo.
Se trata de una expresión decimal
periódica mixta.
• el 2 y el 5 no son factores primos. Se trata de una expresión
decimal periódica pura.
Resolución de algunos problemas tipo
A. En una romería se celebra una comida multitudinaria donde se
reparte una enorme paella. La
tercera parte de la misma es consumida por la peña Los
Trogloditas, la peña Los Tragones consumen
los 2/5 del resto y los tres kilos de paella restantes se los
come la peña Los Zampones.
1) ¿Cuántos kilos pesaba la paella? Resuélvelo, apoyándote en un
gráfico, para los alumnos del
tercer ciclo de Primaria.
2) ¿Qué porcentaje de la paella ha comido la peña Los
Tragones?
3) ¿Cuál es la razón entre los kilos de paella que han comido
las peñas Los Trogloditas y Los
Zampones.
Solución
La información dada en el enunciado se puede representar de la
siguiente forma:
a) En la representación anterior basamos la respuesta de este
primer apartado.
La zona sombreada, que consta de 6 porciones, equivale a 3 Kg de
paella, por tanto, cada porción
equivale a . Kg. Como la paella inicial constaba de 15 de esos
trozos, el peso total de la misma es:
b) Los Tragones consumen 4 de 15 partes, por tanto el valor 𝑥 a
determinar es tal que:
La respuesta a este apartado es 26,67 %
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Texto Matemáticas
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c) La razón entre lo comido por las peñas Los Trogloditas y Los
Zampones es 5/6 pues de las 15
partes en que se ha dividido la paella los primeros tomaron 5 y
los segundos 6.
B. María se dedica a confeccionar cortinas y le han realizado un
encargo de una cortina de 24 metros.
Ella compra la tela a 20 € el metro y posteriormente recarga al
cliente el 10% sobre el precio de
compra. Antes de confeccionar las cortinas, tiene por costumbre
meter la tela a remojo y ésta encoge
de largo el 4%. Sabiendo que ella cobra por realizar las
cortinas a 12€ el metro ¿ cuánto tiene que
cobrar por las cortinas encargadas?
Solución
La primera cuestión a tener en cuenta es la cantidad de tela que
Marta ha de adquirir para que
después de que la haya lavado queden 24 m. de largo.
Si 𝑀 representa la cantidad de metros que ha de comprar, el 96%𝑀
= 24, es decir
Por las cortinas encargadas deberá cobrar la suma de las
siguientes cantidades:
- Coste total de la tela: 25 × 20 = 500 €
- Un recargo del 10% de la cantidad anterior supone: 50 €
- Coste de la confección: 24 × 12 = 288 €
Observar que el resultado global de los dos primeros cálculos
hubiera podido obtenerse en un solo
paso: 25 × 110%20 = 550
Total: 838 €
C. Un hombre ha segado 5/8 de un terreno y su hijo 1/3 de ese
terreno. El hombre necesita 2 horas y
24 minutos para segar lo que falta. ¿En qué tiempo hubiera
segado él solo todo el terreno?
Solución
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Las figuras anteriores muestran parte de la información dada en
el enunciado, de donde podemos
deducir que en segar 1/24 del terreno el padre emplea 2 horas y
24 minutos
De ahí que la respuesta a la pregunta sea
(2×24 )ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑚á𝑠 (24×24) 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Si de la expresión anterior transformamos (24×24) 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 en
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, obtenemos un total de 9 horas y 36 min.
El tiempo pedido es por tanto 57 horas y 36 minutos.
D. Santiago es capaz de comerse una tarta en 6 minutos. Carmelo
es capaz de hacerlo en 9 minutos y
Evaristo en 15 minutos. ¿Cuánto crees que tardarán en comer una
tarta los tres juntos?
Solución
Este ejercicio se podría abordar gráficamente, de manera similar
a algunos de los anteriores. Sin
embargo el hecho de que intervengan tres fracciones y de
necesitar dividir la región que representa la
tarta en un número grande de trozos dificulta la presentación de
esa manera. Así, en las aulas de
Primaria, la resolución de problemas de manera gráfica, como en
caso de 8.1. y de 8.3., permiten
comprender y dar cuerpo a las reglas que rigen las operaciones
con fracciones. Una vez
automatizadas esas reglas, serán usadas en contextos más
generales sin ayuda del soporte gráfico,
como pudiera ser en este caso.
Al interpretar la información dada en el enunciado, se puede
decir que Santiago come 1/6 de tarta en
un minuto, Carmelo en ese tiempo se toma 1/9 de tarta y Evaristo
1/15 de ella.
Por tanto, si los tres la toman simultáneamente y representamos
por 𝑇 la tarta:
Al ver el resultado anterior podría decirse que el tiempo para
terminar la tarta entre los tres
comensales ronda los 3 minutos, pero no llega a ellos. Pero
precisando, el tiempo que se tarda es
El tiempo empleado es por tanto 2 minutos y 54 segundos.
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Texto Matemáticas
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FACTORES DE CONVERSION Introducción
Un factor de conversión es una operación matemática, para hacer
cambios de unidades de la misma
magnitud, o para calcular la equivalencia entre los múltiplos y
submúltiplos de una determinada
unidad de medida.
Dicho con palabras más sencillas, un factor de conversión es
"una cuenta" que permite expresar una
medida de diferentes formas. Ejemplos frecuentes de utilización
de los factores de conversión son:
Cambios monetarios: euros, dólares, pesetas, libras, pesos,
escudos...
Medidas de distancias: kilómetros, metros, millas, leguas,
yardas...
Medidas de tiempo: horas, minutos, segundos, siglos, años,
días...
Cambios en velocidades: kilómetro/hora, nudos, años-luz,
metros/segundo
Múltiplos
Múltiplos son aquellos prefijos que se colocan delante de la
unidad y la multiplican por la
unidad seguida de ceros. Los más empleados son:
Submúltiplos
Submúltiplos son aquellos prefijos que se colocan delante de la
unidad y la dividen por la
unidad seguida de ceros. Los más empleados son:
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Texto Matemáticas
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Procedimiento
Los pasos que debemos seguir para realizar un cambio de unidades
utilizando los factores de
conversión son los siguientes:
1º Vemos las unidades que tenemos y a cuales queremos
llegar.
2º Se crean factores de valor unidad, es decir, que el valor del
numerador y del denominador sea
igual. Para ello debemos colocar en el numerador y en el
denominador las unidades de forma que se
anulen las unidades antiguas y se queden las nuevas.
3º Se eliminan las unidades iguales que aparecen en el numerador
y en el denominador.
4º Se hacen las operaciones matemáticas para simplificar, hasta
encontrar el resultado.
Ejercicios:
1.- ¿Cuál de las siguientes medidas es la mayor de todas?
? 10 m/s
? 75 cm/min
? 20 km/h
? 3 da/s
2.- ¿Cuál es el valor aproximado en euros de 2000
Bolivianos?.
? 200 euros
? 260 euros
? 160 euros
? 280 euros
3.- ¿Cuántos segundos tiene un día?
? 86400 s
? 43200 s
? 129600 s
? 24000 s
4.- ¿Cuantos centímetros cúbicos hay en 1 litro?
? 10
? 100
? 1000
? 10000
-
Texto Matemáticas
18
5.- ¿Cuál de los siguientes múltiplos tiene mayor valor cuando
antecede a la unidad?
? G
? T
? M
? k
6.- ¿Cuál de los siguientes submúltiplos tiene menor valor
cuando antecede a la unidad?
? n
? d
? c
? p
7.- Un cuerpo recorre 4 m en 4 s, ¿cuál es su velocidad?
? 0,4 m/s
? 40 m/min
? 360 da/h
? 3,6 km/h
8.- Se sabe que el Estado Vaticano tiene aproximadamente una
superficie de 1,5 kilómetros
cuadrados. ¿Cuál es el área en metros cuadrados?.
? 1,5 x E09
? 1,5 x E06
? 1,5 x E12
? 1,5 x E03
9.- ¿Cuántos microsegundos hay en tres segundos?
? 3000
? 30000
? 3000000
? 3000000000
10.- Una persona que recorre 2 metros en un segundo, ¿cuántos
kilómetros recorrerá en una hora?
? 6.6
? 8.4
? 5.4
? 7.2
-
Texto Matemáticas
19
11.- ¿Qué cantidad se obtiene al realizar el siguiente cambio de
unidades: 25 g m/s² a kg km/h²?
? 484
? 324
? 232
? 526
12.- ¿Qué cantidad se obtiene al realizar el siguiente cambio de
unidades: 13 kg km/h a g m/s?
? 4333.3
? 3425,1
? 4725.3
? 3611.1
13.- ¿Cuál es la aceleración en unidades del sistema
internacional, de un móvil que tiene una
aceleración de 3 kilómetros/horas al cuadrado?.
? 0.00067
? 0.00041
? 0.00052
? 0.00023
14.- ¿Cuántos cg hay en 70 hg?
? 70000
? 700
? 700000
? 7000
15.- Un piso de 80 metros cuadrados, ¿cuántos dm cuadraros
tiene?
? 800
? 8000
? 80000
? 8000000
-
Texto Matemáticas
20
Longitud
cm metro km in ft mi
1 centímetro 1 10-2 10-5 0.3937 3.281x10-2 6.214x10-6
1 metro 100 1 10-3 39.37 3.281 6.214x10-4
1 kilómetro 105 1000 1 3.937x104 3281 0.6214
1 pulgada 2.540 2.540x10-2 2.540x10-5 1 8.333x10-2
1.578x10-5
1 pie 30.48 0.3048 3.048x10-4 12 1 1.894x10-4
1 milla 1.609x105 1609 1.609 6.336x104 5280 1
Área
metro2 cm2 ft2 in2
1 metro cuadrado 1 104 10.76 1550
1 centímetro cuadrado 10-4 1 1.076x10-3 0.1550
1 pie cuadrado 9.290x10-2 929.0 1 144
1 pulgada cuadrada 6.452x10-4 6.452 6.994x10-3 1
Volumen
m3 cm3 L ft3 in3
1 metro cúbico 1 106 1000 35.31 6.102x104
1 cetímetro cúbico 10-6 1 1.000x10-3 3.351x10-5 6.102x10-2
1 litro 1.000x10-3 1000 1 3.351x10-2 61.02
1 pie cúbico 2.832x10-2 2.832x10-4 28.32 1 1728
1 pulgada cúbica 1.639x10-5 16.39 1.639x10-2 5.787x10-4 1
Masa
g kilogramo slug u oz lb ton
1 gramo 1 0.001 6.852x10-5 6.022x1023 3.527x10-2 2.205x10-3
1.102x10-6
1 kilogramo 1000 1 6.852x10-2 6.022x1026 35.27 2.205
1.1022x10-3
1 slug 1.459x104 14.59 1 8.786x1027 514.8 32.07 1.609x10-2
1 u 1.661x10-24 1.661x10-27 1.138x10-28 1 5.857x10-26
3.662x10-27 1.830x10-30
1 onza 28.35 2.835x10-2 1.943x10-3 1.718x1025 1 6.250x10-2
3.125x10-5
1 libra 453.6 0.4536 3.108x10-2 2.732x1026 16 1 0.0005
1 ton 9.072x105 907.2 62.16 5.463x1029 3.2x104 2000 1
-
Texto Matemáticas
21
Las cantidades sombreadas no son unidades de masa pero a menudo
se usan como tales. Por ejemplo,
cuando escribimos 1kg=2.205lb significa que un kilogramo es una
masa que pesa 2.205 libras en
condiciones de gravedad estándar (g=9.80665m/s2).
Densidad
slug/ft3 kilogramo/metro3 g/cm3 lb/ft3 lb/in3
1slug por pie cúbico 1 515.4 0.5154 32.17 1.862x10-2
1 kilogramo por métro cúbico 1.940x10-3 1 0.001 6.243x10-2
3.613x10-5
1 gramo por centímetro cúbico 1.940 1000 1 62.43 3.613x10-2
1 libra por pie cúbico 3.108x10-2 16.02 1.602x10-2 1
5.787x10-4
1 libra por pulgada cúbica 53.71 2.768x104 27.68 1728 1
Las unidades de densidad que contienen unidades de peso son
dimensionalmente diferentes a las de
masa. Véase la nota de tablas de masa.
Tiempo
Año Día horas min segundo
1 año 1 365.25 8.766x103 5.259x105 3.156x107
1 día 2.738x10-3 1 24 1440 8.640x104
1 hora 1.141x10-4 4.167x10-2 1 60 3600
1 minuto 1.901x10-6 6.944x10-4 1.667x10-2 1 60
1 segundo 3.169x10-8 1.157x10-5 2.778x10-4 1.667x10-2 1
Velocidad
ft/s km/s m/s mi/h cm/s
1 pie por segundo 1 1.097 0.3048 0.6818 30.48
1 kilómetro por hora 0.9113 1 0.2778 0.6214 27.78
1 metro por segundo 3.821 3.6 1 2.237 100
1 milla por hora 1.467 1.609 0.447 1 44.70
1 centímetro por segundo 3.281x10-2 3.6x10-2 0.01 2.237x10-2
1
1 nudo =1milla náutica por hora=1.668ft/s 14mi/min=60mi/h
Fuerza
dina newton lb pdl gf kgf
1 dina 1 10-5 2.248x10-6 7.233x10-5 1.020x10-3 1.020x10-6
1 newton 105 1 0.2248 7.233 102.0 0.1020
1 libra 4.448x105 4.448 1 32.17 453.6 0.4536
1 poundal 1.383x104 0.1383 3.108x10-2 1 14.10 1.410x10-2
1 gramo fuerza 980.7 9.807x10-3 2.205x10-3 7.093x10-2 1
1 kilogramo fuerza 9.807x105 9.807 2.205 70.93 1000 0.001
-
Texto Matemáticas
22
Las cantidades sombreadas no son unidades de fuerza pero a
menudo se utilizan como tales. Por
ejemplo, si escribimos 1 gramo fuerza, queremos decir que un
gramo masa experimenta una fuerza
de 980.7 dinas en condiciones de gravedad estándar.
Campo Magnético
gauss tesla milligauss
1 gauss 1 10-4 1000
1 tesla 104 1 107
1 milligauss 0.001 10-7 1
Ángulo Plano
Grado º Minuto ' Segundos " radián rev
1 grado 1 60 3600 1.745x10-2 2.778x10-3
1 minuto 1.667x10-2 1 60 2.909x10-4 4.630x10-5
1 segundo 2.778x10-4 1.667x10-2 1 4.848x10-6 7.716x10-7
1 radián 57.3 3438 2.063x105 1 0.1592
1 revolución 360 2.16x104 1.296x106 6.283 1
-
Texto Matemáticas
23
REGLA DE TRES
Introducción.-
La regla de tres simple es una herramienta muy útil y a la vez
muy fácil de usar. La utilizamos
diariamente, por ejemplo, cuando deseamos saber cuánto costarán
3 kg de naranjas, si el cartel del
mercado indica solamente cuánto cuesta 1 kg. También utilizamos
regla de tres simple para calcular
cuánto costarán 10 lápices si la caja de 5 lápices cuesta
$3.
Por otro lado, la regla de tres nos permite trabajar con
distintas categorías o elementos, tales como
kilómetros, kilos, número de trabajadores, horas, velocidad,
etc.
Entonces la regla de tres simple se utiliza para calcular
magnitudes o cantidades proporcionales.
Cuando estas cantidades son directamente proporcionales, la
regla de tres simple es directa. Si por
el contrario las cantidades son inversamente proporcionales,
entonces, la regla de tres simple es
indirecta.
Las operaciones que se utilizan para resolver la regla de tres
son muy sencillas, simplemente se
plantea una multiplicación y una división. Lo realmente
importante es saber plantear la regla de tres.
A continuación veremos cómo se resuelve la regla de tres simple
directa e inversa.
Regla de tres simple directa:
Vamos a ver un ejemplo para explicar cómo se plantea este
caso.
Supongamos que nos dirigimos a la verdulería a comprar 3 kg de
manzanas rojas, pero el cartel
indica solamente cuánto cuesta 1 kg.
Lo primero que debemos identificar es la clase de
proporcionalidad que representa el problema. En
este caso, se trata de dos magnitudes directamente
proporcionales porque a medida que compramos
más manzanas, el costo será mayor. Por el contrario, si
compramos menos manzanas, el costo será
menor. De esta manera si compramos 2 kg (el doble) de manzanas,
el costo será el doble también.
MANZANAS ROJAS ……………. $ 3 el Kg
MANZANAS VERDES …………. $ 2,75 el Kg
NARANJAS ………………………$ 2 el Kg
Nosotros deseamos comprar 3 Kg pero el cartel sólo nos indica
cuánto cuesta 1 Kg, entonces,
debemos plantear lo siguiente:
1 Kg de manzanas rojas ____________ $ 3
3 Kg de manzanas rojas ____________ X
-
Texto Matemáticas
24
A continuación resolvemos la regla de tres:
1 Kg de Manzanas rojas ____________ $ 3
3 Kg de Manzanas rojas ____________ X = (3 Kg de manzanas rojas)
x ($ 3)
(1 Kg de manzanas rojas)
En la primera línea utilizamos los datos que nos proporciona el
problema. Un kilo de manzanas rojas
cuesta $3. En la segunda línea escribimos el planteo de lo que
deseamos saber ¿cuánto cuestan 3 Kg
de manzanas rojas? Y ésta incógnita la indicamos con la letra
X.
Al escribir de esta manera la proporción directa resulta muy
sencillo despejar el cuarto valor o
incógnita (X). Multiplicamos los 3 Kg de manzanas rojas por $3
(que corresponde al costo de 1 Kg
de manzanas) y luego al resultado final lo dividimos por 1 Kg de
manzanas.
Los kilogramos de manzanas rojas se encuentran tanto en el
numerador como en el denominador de
la expresión, por lo tanto podemos simplificarlos, quedándonos
como resultado final un valor en
pesos.
1 Kg de manzanas rojas ___________ $ 3
3 Kg de manzanas rojas ___________ X = 3 x $3
1
X = $9
Por último podemos decir que 3 Kg de manzanas rojas costarán
$9.
¡Atención! Siempre que planteemos la regla de tres simple
directa de esta manera debemos
resolverla, primero, multiplicando cruzado y luego dividiendo de
la manera que lo indican las flechas
verdes que se colocaron en la resolución de este ejercicio.
Otra forma de plantear la regla de tres simple.
Utilizaremos otro ejemplo para mostrar el método. Supongamos que
en este caso vamos a la librería
y deseamos comprar 10 lapiceras azules pero en el exhibidor nos
encontramos que sólo hay cajas de
5 lapiceras y cada caja cuesta $2,25.
La pregunta es entonces: ¿Cuánto gastaremos si compramos 10
lapiceras?
Antes que nada, debemos tener en claro si estamos trabajando con
magnitudes directamente
proporcionales o no. En este caso sí lo son, porque si aumenta
la cantidad de lapiceras que
compramos entonces también aumentará el costo.
Se ve claramente que a medida que compramos más lapiceras, más
gastaremos. Pero si compramos
menos lapiceras entonces, el gasto será menor. Teniendo esto
último en cuenta, continuamos con el
planteo de la regla de tres simple. En este caso vamos a ubicar
en una tabla los datos del problema y
también a nuestra incógnita (X) o cuarto valor, que en este caso
corresponde al costo de 10 lapiceras.
-
Texto Matemáticas
25
Cantidad de lapiceras Costo en pesos ($)
5 2,25
10 X En la tabla se puede observar, en la primera columna, la
cantidad de lapiceras y a
su derecha (segunda columna) el costo para esa cantidad de
lapiceras.
El paso siguiente consiste en plantear la proporción directa a
partir de esta tabla.
Tomamos los valores de la primera columna (Cantidad de
lapiceras) y planteamos un cociente o
división entre ellos y al mismo tiempo igualamos esta relación
con la división de los valores de la
segunda columna (Costo en pesos).
5 = 2,25 .
10 X
De esta expresión podemos despejar el valor de X.
Despejar la X quiere decir que vamos a buscar el valor de la
incógnita y para lograrlo, en estos casos,
debemos hacer lo siguiente:
Los números que se encuentran dividiendo en ambos lados del
signo igual, van a pasar al lado
opuesto multiplicando.
X x 5 = 2,25 x 10
Luego tomamos el número 5 que se encuentra multiplicando a la
incógnita (X) en el lado izquierdo
del signo igual y lo pasamos al lado opuesto dividiendo, de esta
forma nos queda la incógnita sola a
la izquierda del signo igual y una multiplicación y una división
a la derecha ( (2,25 x 10):5 ).
X = (2,25 x 10) : 5
X = 4,5
Respuesta: Si compramos 10 lapiceras gastaremos $ 4,5.
Ahora vamos a ver otra forma de plantear la misma regla de tres
simple.
Como en el desarrollo anterior, también vamos a ubicar los datos
en una tabla pero esta vez los
ubicaremos en filas en vez de colocarlos en columnas.
Cantidad de lapiceras 5 10
Costo en pesos ($) 2,25 X
A partir de esta tabla vamos a plantear la regla de tres simple
realizando una división entre los
valores de la primera columna, es decir, vamos a dividir la
cantidad de lapiceras por su costo (5 :
2,25) y luego haremos lo mismo con la segunda columna (10 : X).
Por último igualamos estas
divisiones
5 = 10 .
2,25 X
-
Texto Matemáticas
26
La expresión que vemos arriba, resultó ser diferente a la que
planteamos en el primer desarrollo. Sin
embargo, no tenemos que olvidar que estamos trabajando con
proporciones y en este caso la relación
que existe entre la cantidad de lapiceras y su costo sigue
siendo la misma, a pesar de habernos
quedado una expresión distinta a la que obtuvimos en el primer
planteo. A continuación veremos que
al despejar la X llegaremos al mismo resultado que en el primer
desarrollo.
X x 5 = 10 x 2,25
X = (10 x 2,25) : 5
X = 4,5
Respuesta: Si compramos 10 lapiceras gastaremos $ 4,5.
Regla de tres simple inversa:
Como mencionamos al comienzo, la regla de tres simple se llama
inversa cuando la utilizamos para
calcular algún valor de dos magnitudes o cantidades inversamente
proporcionales. Para ver como se
plantea la regla de tres simple inversa utilizaremos un
ejemplo.
Se sabe que para pintar una pared 2 pintores tardan 60 minutos
¿Cuánto tardarán en pintar la misma
pared si se agrega un pintor más?
Como ya sabemos, lo primero que debemos hacer es asegurarnos de
que estamos trabajando con
cantidades inversamente proporcionales. En este caso, es fácil
darse cuenta que a medida que
aumenta la cantidad de pintores, el tiempo que se tardará en
pintar la pared disminuye. Por otro lado,
si la cantidad de pintores disminuye el tiempo que se tardará en
pintar la pared aumenta.
El planteo que haremos será similar al que utilizamos en la
regla de tres simple directa.
2 pintores __________ 60 minutos
3 pintores __________ X
La regla de tres simple inversa se resuelve de manera similar a
la directa, sólo que a diferencia de
esta última las flechas de color verde indican que primero se
debe realizar una multiplicación
(siguiendo el sentido de las flechas) entre los valores de la
primera línea y luego a este resultado se lo
debe dividir por el número que se encuentra en la segunda línea.
A continuación vemos la
resolución:
2 pintores __________ 60 minutos
3 pintores __________ X = 2 pintores x 60 minutos .
3 pintores
X = 120 minutos .
3
X = 40 minutos
Respuesta: Si trabajan 3 pintores, sólo se tardarán 40 minutos
en pintar la pared.
-
Texto Matemáticas
27
Como podemos ver, si seguimos estos pasos, lograremos resolver
cualquier regla de tres simple
inversa. Evidentemente las operaciones que hay que aplicar son
sencillas y claras. Al mismo tiempo,
la regla de tres inversa también se puede resolver colocando los
datos en una tabla, como lo hicimos
con la regla de tres directa. A continuación vemos la tabla:
Cantidad de pintores Tiempo que se demora en pintar medido en
minutos.
2 60
3 X
2 x 60 = 3 x X
X = (2 x 60) : 3
X = 40 minutos
Como podemos ver llegamos al mismo planteo al cual llegamos con
la primera tabla. A partir de este
punto, el cálculo de X lo resolvemos de la misma manera.
Conclusión: Hasta el momento hemos visto distintas formas de
plantear la regla de tres simple
directa e inversa. Resolverla resulta sencillo, pero debemos
tener precaución y asegurarnos antes que
nada, de estar trabajando con cantidades o magnitudes
proporcionales, de lo contrario la regla de tres
no se podría aplicar.
Regla de Tres - Problemas
1) Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto
tardarán dos obreros?
2) Trescientos gramos de queso cuestan 6€ ¿Cuánto podré comprar
con 4,50€?
3) Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto
recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a 120
km/h?
4) Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 60 € ¿Cuánto
cobrará por 8 horas?
5) Por 5 días de trabajo he ganado 390 euros. ¿Cuánto ganaré por
18 días?
6) Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos.
¿Cuántas botellas llenará en hora y
media?
7) Un coche que va a 100 km/h necesita 20 minutos en recorrer la
distancia entre dos pueblos. ¿Qué
velocidad ha de llevar para hacer el recorrido en 16
minutos?
8) Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros
minutos de su recorrido. Si
mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km
del recorrido?
9) Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para
transportar cierta cantidad de arena.
¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma arena
un camión que carga 5 toneladas?
10) Un ganadero tiene 20 vacas y pienso para alimentarlas
durante 30 días. ¿Cuánto tiempo le durará
el pienso si se mueren 5 vacas?
-
Texto Matemáticas
28
11) En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días.
¿Para cuántos días habrá comida si
se incorporan 5 niños a la acampada?
12) Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede
servir un pedido en 6 días. ¿Cuántas
horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 3
días?
RAZONES Y PROPORCIONES
Razones.-
La razón es el número que resulta de comparar por cociente dos
magnitudes de la misma especie,
diferentes de cero (Velázquez, Scherzer & Albe, 2010).
Una razón se puede expresar de dos formas:
Como una división entre dos magnitudes (a , b ):
𝑎 𝑏
Como la correspondencia entre dos números:
𝑎: 𝑏
Lo cual se lee de la siguiente forma:
𝒂 es a 𝒃,
Significa que a un número a le corresponde un número b.
Por ejemplo: Dada la razón, encuentra lo que se te pide.
1. En un aula por cada 4 alumnos hay 7 alumnas. Si el número de
alumnos es 16, entonces ¿cuántas
alumnas hay el aula?
Primero tenemos que plantear la razón, recordando que una razón
se expresa como:
𝑎 𝑏
Por lo que podemos escribir la razón de este problema de la
siguiente forma:
4 alumnos
7 alumnas
Y se lee cuatro es a siete, por lo que si ahora el número de
alumnos se cuadruplica y es de 16,
entonces:
4 = (4) (4) = 16
7 (7) (4) 28
Podemos concluir que el número de alumnas ahora es de 28.
-
Texto Matemáticas
29
2. Si en un laboratorio te indican que para hacer un jabón
tienes que mezclar 2 litros de la sustancia
A por cada 5 litros de la sustancia B, entonces si tenemos 20
litros de la sustancia A, ¿cuántos litros
de la sustancia B necesitamos?
Podemos expresar la razón de este problema de la siguiente
forma:
2 litros A
5 litros B
Y se lee dos es a cinco, por lo que si tenemos 20 litros de A,
entonces
2 = (10) (2) = 20
5 (10) (5) 50
Podemos concluir que si tenemos 20 litros de A, necesitamos 50
litros de B.
Proporciones.-
La proporción es la igualdad de dos razones geométricas, y se
expresa de la siguiente forma
(Baldwin, 2010):
Se lee “a es a b como c es a d” (Baldwin, 2010,)
Como menciona Rees (1980) “una proporción es en realidad una
ecuación fraccionaria o una
ecuación que incluye fracciones”
Por ejemplo:
La proporción se lee cinco es a nueve como 40 es a 72.
Si no nos dan un valor de la proporción, por ejemplo:
Podemos encontrar el valor faltante haciendo un despeje:
Por lo que el valor de X es:
-
Texto Matemáticas
30
Cantidades proporcionales
Directamente proporcionales, “si a un aumento de una corresponde
un aumento de la otra o a una
disminución de una corresponde una disminución de la otra”
(Velázquez, Scherzer & Albe)
Dos cantidades que dependen entre sí se dice que son:
Las horas de trabajo y los productos elaborados por un
trabajador son cantidades directamente
proporcionales.
Tabla y gráfica de las horas trabajadas y los productos
elaborados por un trabajador
Inversamente proporcionales: Dadas dos cantidades puede ocurrir,
que, a todo aumento de una,
corresponda una disminución para la otra, o que a toda
disminución de una, corresponda un aumento
para la otra. Entonces se dice que las dos cantidades son
inversamente proporcionales.
Por ejemplo:
El número de trabajadores que construyen una casa y los días que
tardan:
Número de trabajadores 1 2 3 4
Días que tardan 12 6 4 3
-
Texto Matemáticas
31
Ejercicios
1) Si x es a 10 como 12 es a 15, entonces x = ?
2) Determine x en cada proporción:
3) Una cinta de 84cm se divide en tres partes, en la razón 3 : 5
: 6. ¿Cuánto mide cada parte?
4) Proporcionalidad directa
a) 35 lápices valen 4200 pesos. ¿Cuánto valen 4 lápices?
b) En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos
litros de agua de mar contendrán
5.200 gramos de sal?
c) Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 80 km. Si en el
depósito hay 22 litros, ¿cuántos
kilómetros podrá recorrer el automóvil?
d) Un automovilista condujo 600 km con 40 litros de bencina.
¿Cuántos litros necesitaría para
recorrer 1500 km?
e) Para comprar un libro que cuesta $ 4000, dos hermanos
decidieron aportar una cantidad
directamente proporcional a sus ahorros. Si Paula tiene $ 6.000
y Danilo tiene $ 10.000 ¿Cuánto
debe aportar cada uno?
f) Una llave arroja 2,5 litros de agua por minuto. ¿Cuánto
demorará esta llave en llenar de agua un
estanque de 1,2 m3?
5) Proporcionalidad inversa
a) Seis trabajadores cavan una zanja de 80 metros de longitud en
un día. ¿Cuántos metros cavarán en
un día 42 trabajadores, laborando en las mismas condiciones?
-
Texto Matemáticas
32
b) Una moto que va a una velocidad de 100 km/h demora 20 minutos
en recorrer la distancia entre
dos pueblos. ¿Qué velocidad debería llevar para hacer el
recorrido en 16 minutos?.
c) Un edificio se construye por una cuadrilla de 15 albañiles en
200 días. ¿Cuántos albañiles se debe
añadir a la cuadrilla para terminar el trabajo en 150 días?.
6) Ejercicios varios
a) Un corredor da 5 vueltas a una pista deportiva en 15 minutos.
Si sigue al mismo ritmo, ¿cuánto
tardará en dar 25 vueltas?.
b) Por tres horas de trabajo, Mario ha cobrado 6000 pesos.
¿Cuánto cobrará por 8 horas?
c) Para recorrer los 360 km que hay entre A y B un auto tardó 3
horas a una velocidad de 120 km/h.
Si disminuye la velocidad a 100 km/h, ¿cuánto tardará?
d) En un taller de modas, si se trabajan 8 horas diarias tardan
6 días en servir un pedido. ¿Cuánto
tardarán en servir el pedido si se trabajan 12 horas
diarias?
e) Si 400 gramos de salmón ahumado cuestan 1200 pesos, ¿cuánto
debería pagar por 1,5 kg?
f) Un auto recorre 309 km en 3 horas ¿cuántos kilómetros recorre
en 7 horas?, ¿y en una hora?
g) Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto
tardarán con la ayuda de dos obreros
más?
h) Tres kilogramos de carne cuestan 6000 pesos. ¿Cuánto podré
comprar con 4500 pesos?
i) Una receta de tarta de manzana especifica los siguientes
ingredientes para 6 personas: • 365 g. de
harina, • 4 huevos, • 300 g. de mantequilla, • 250 g. de azúcar,
• 6 manzanas. Calcule los ingredientes
necesarios de una tarta de manzana para 15 personas.
j) Una moto va a 50 km/h y tarda 40 minutos en cubrir cierto
recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a
120 Km/h?
k) Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos.
¿Cuántas botellas llenará en hora y
media?
l) Un padre paga la mesada a sus tres hijas de forma que a cada
una le corresponde una cantidad
proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da
5000 pesos. ¿Cuánto dará a las otras dos
hijas de 15 y 8 años de edad?
m) Un agricultor labra una determinada superficie en 12 horas
utilizando dos tractores. ¿Cuánto
tardará en labrarla si utiliza tres tractores?
n) Con 15 máquinas de escribir durante 6 horas, se escriben 220
documentos. ¿Cuántos documentos
se escribirán con 45 máquinas durante 6 horas?.
