Tarea No. 1

FECHA DE REALIZACIÓN: 09/09/15

Torres Sabino Manuel

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y

ELÉCTRICADEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELÉCTRICA

Tipos de Errores

Métodos Numéricos

3EM1

David Aquino Gallegos

Objetivo

A través de la investigación poder determinar los principales tipos de errores que existen en el uso de las técnicas computacionales, poder apreciar cómo se originan, su forma de evitarlos o reducirlos además de conocer un preámbulo acerca de cifras significativas, valores de redondeo y errores verdaderos.

Introducción

A lo largo del tiempo, los métodos numéricos han sido desarrollados con el objeto de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales.Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que será conveniente determinar.

Aunque la perfección es una meta digna de alabarse es difícil si no imposible de alcanzarse.

Las aproximaciones numéricas pueden introducir errores la pregunta es ¿Qué error puede considerarse tolerable?

Aproximaciones y Errores de Redondeo

Cifras Significativas.

El concepto de cifra significativa lo podemos definir como aquella que aporta información de una determinada medida experimental, son cifras significativas las que ocupan una posición igual o superior al orden o posición de error.

Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes:

1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.

2. Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Reglas de operaciones con cifras significativas:

1) Los resultados experimentales se expresan con una sola cifra dudosa, e indicando con + - la incertidumbre en la medida.

2) Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el digito dudoso.

3) Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.

4) Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

Ejemplo:

En la siguiente figura se muestra un velocímetro y un odómetro de un automóvil, con un simple vistazo al velocímetro se observa que el vehículo viaja a una velocidad aproximada de 6 km/h, se tiene la confianza en este resultado, ya que a simple vista puede llegar al resultado, sin

embargo supongamos que se desea obtener una cifra decimal en la estimación de la velocidad. En tal caso alguien podría decir 5.9 y otra persona 6 km/h como la velocidad del automóvil. Por lo tanto, debido a los límites del instrumento únicamente se emplea con confianza el primer digito (números enteros).

Exactitud y Precisión

Los errores en cálculos y medidas se pueden caracterizar con respecto a su exactitud y su precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido

del valor verdadero. La precisión se refiere a que tan cercanos se encuentran unos de otros, diversos valores medidos.

Estos conceptos se ilustran gráficamente utilizando la analogía con una diana en la práctica de tiro. Los agujeros en cada blanco de la figura 3.2 se consideran como las predicciones con una técnica numérica, mientras que el centro del blanco representa la verdad. La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como una desviación sistemática del valor verdadero. Por lo tanto, aunque los disparos en la figura 3.2c están más juntos que los de la figura 3.2a, los dos casos son igualmente inexactos, ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La imprecisión (también llamada incertidumbre), por otro lado, se refiere a la magnitud en la dispersión de los disparos. Por consiguiente, aunque las

figuras 3.2b y 3.2d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto al blanco), la ultima es más precisa, pues los disparos están agrupados en forma más compacta.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería.

Definición De Error

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por:

Valor verdadero = valor aproximado + error

Reordenando la ecuación, se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado esto es:

Ev = valor verdadero – valor aproximado

Donde Ev se usa para redondear el valor exacto del error. Se incluye el subíndice v para dar a entender que se trata del “verdadero” error.

Un defecto es que muchas veces no se toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se están evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en:

Error relativo fraccional = error / valor verdadero

Donde:Error = valor verdadero – valor aproximado.El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como

Ev = (error verdadero/ valor verdadero) 100

Donde Ev denota el error relativo porcentual. El subíndice v significa la normalización del error al valor verdadero.

Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no se conoce la respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una alternativa usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es a la aproximación misma, como:

Ea = (error aproximado/ valor aproximado) 100

Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado.

Errores De Redondeo

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete términos se llamó “truncamiento” en el ambiente de computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de los errores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa.

La mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del por qué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:

1) Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre sí, es decir, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.

2) El efecto de redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

Error por truncamiento:

Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un número infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse.

En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma. Al error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylor. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.

Series de Taylor.

La serie de Taylor, es de gran valor en el estudio de los métodos numéricos. En esencia, la serie de Taylor Proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. En Particular, el teorema establece que cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio.

Una buena manera de comprender la serie de Taylor consiste en construirla término por termino. Por ejemplo, el primer término de la serie es:

f (X i+1)≅ f (X i)

Esta aproximación llamada la aproximación de orden cero, indica que el valor de f en el nuevo punto es el mismo que su valor en el punto anterior. Tal resultado tiene un sentido intuitivo, ya que si X i+1 y X iestán muy próximas entre sí, entonces es muy probable que el valor sea similar al anterior.

Propagación Del Error

Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema son más importantes de lo que aparentemente puede parecer. Desafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al realizar operaciones con dichos datos, hasta el punto de que puede suceder que el resultado carezca de significado. Con el propósito de ilustrar esta situación, seguidamente se calcula la diferencia entre los números:

a = 0.276435 b = 0.2756

Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por aproximación y trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores aproximados a dichos números y el error relativo cometido es:

a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3

b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3

Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre los aproximados se obtiene:

a - b = 0:000835

a'- b'= 0.0

Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del 100%. Este ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el error de redondeo de los datos se ha amplificado al realizar una única operación, hasta generar un resultado carente de significado.

Conclusiones

Pude llegar a la conclusión que en la vida real no existen valores exactos o verdaderos, todo es una muestra de que a lo largo del tiempo se ha podido precisar cada vez más el uso de técnicas e instrumentación que ayuden a disminuir el porcentaje de error.

Cada vez es más importante la precisión de cualquier tipo de medición ya que se involucran en la vida cotidiana y cualquier variación puede resultar catastrófica.El uso exacto y preciso de cualquier instrumento ayudara a una mejor manipulación de los datos y que estos varíen menos. Como perspectiva de la clase de métodos numéricos espero poder desarrollar n tipos de algoritmos con variaciones casi imperceptibles.

Referencias Referencias Bibliográficas:

Métodos numéricos para ingenieros  / Chapra, Steven C.; Canale, Raymond P.. -- 3a.ed -- México: McGraw-Hill, 1999. Pp 53-104

D. Kincaid, W. Cheney: Análisis Numérico, las matemáticas del cálculo científico, Addison Wesley Iberoamericana.

Referencia Electrónica

https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-1/1-2-tipos-de-errores- error-absoluto-error-relativo-error-porcentual-errores-de-redondeo-y-truncamiento.

http://meto2numericos.blogspot.mx/2008/02/tipos-de-errores.html .