Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, Octubree 2017tlamati.uagro.mx/t82e/35.pdf · Para lograr nuestro objetivo general se desarrollaron los siguientes diseños: • I

Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, Octubree 2017

4°r. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT Acapulco, Guerrero 4, 5 y 6 de octubre 2017

Memorias

Una experiencia de investigación sobre modelación. Estudio del uso de gráficas

Erixel Jijón Rodríguez (Becario) [email protected]

Unidad Académica Preparatoria No. 15, Universidad Autónoma de Guerrero.

María Esther Magali Méndez Guevara (Asesor) [email protected]

Facultad de Matemáticas – Acapulco Universidad Autónoma de Guerrero.

José Alberto Figueroa Varona (Co-Asesor)

[email protected] Facultad de Matemáticas – Iguala

Universidad Autónoma de Guerrero.

Introducción

Este documento reporta una experiencia en investigación, en tanto se participó en un

proyecto exprofeso para el verano de Investigación Ciencia “Asómate a la Ciencia este Verano”,

el objetivo de este fue desarrollar argumentos Matemáticos a partir de Situaciones de Modelación

y Covariación, y así en el proceso ser partícipes del diseño y análisis de situaciones de

aprendizaje se vivencio una investigación.

El desarrollo de las actividades estuvo coordinado por dos investigadoras de la Facultad

de Matemáticas, la Dra. María Esther Magali Méndez Guevara y la Dra. Marcela Ferrari Escolá.

Además un grupo de estudiantes de la Licenciatura de Matemáticas y uno de Doctorado, cuyo

perfil es de Matemáticos Educativos, quienes estuvieron apoyando en la realización de las

actividades, algunos de ellos tesistas.

Los diseños de aprendizaje que se desarrollaron durante este verano de investigación se

sustentan en la Teoría Socioepistemológica, esta sostiene que las construcciones de

conocimiento, son una producción social que cambia y transforma la naturaleza y la sociedad;

Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, 2017

que los conocimientos tienen un origen y una función social asociada a un conjunto de

prácticas, de modo que existe una relación entre la naturaleza del conocimiento y las actividades

mediante las cuales y en razón de las cuales dichos conocimientos son producidos (Cantoral,

2013).

Desde esta postura teórica, las actividades que se desarrollaron trataron conceptos del

cálculo mediante la modelación y covariación que desarrollan saberes matemáticos, que

adquieren significado, ante la situación de aprendizaje. Los temas tratados fueron: función,

función polinómica, función exponencial, función logarítmica y función Seno, y en los resultados

se dieron evidencia del cómo se construyen argumentos matemáticos por los participantes a pesar

de que no hay un trabajo previo escolar.

Existen diversas acepciones sobre

modelación, y sobre su rol en la enseñanza de las

matemáticas, una visión generalizada es concebirla

como un proceso establecido que conviene enseñar

o implementar, porque ayuda a: aplicar

conocimientos matemáticos (Blum & Borromeo,

2009); o bien es emplea como método para enseñar

matemáticas mediante la resolución de problemas

(Gómez-Chacón & Maestre, 2008). Ante estas

posturas la modelación se muestra ajena de quiénes

la desarrollan, y se olvida que esta, es en sí misma

un proceso de construcción conocimiento matemático (Cordero, 2006), en nuestros trabajos

postulamos que en este proceso existen elementos y prácticas esenciales (Figura 1) y con esto se

formula una categoría para la modelación escolar (Méndez, 2013) que propicia el desarrollo de

redes de usos de conocimiento matemático (Méndez & Cordero, 2014) ante situaciones

específicas (Cen, Zaldívar, Briceño, Méndez, & Cordero, 2014).

Dicha categoría de modelación funciona como el eje argumentativo que favorece la

constitución de conocimientos matemáticos para la matemática escolar donde los partícipes

pueden construir y desarrollar su conocimiento matemático, provocando el desarrollo de redes de

usos de conocimientos matemáticos (drucm), en la caracterización de tipos comportamientos, que

se exhiben en usos de gráficas-tablas-expresiones analíticas como herramientas que permiten

Figura 1. Elementos de la categoría de modelación escolar

Memorias del 4° Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT

Acapulco, Guerrero 4, 5 y 6 de octubre 2017

estudiar y explicar la variación local o global y conjeturar sobre la tendencia o características de

un comportamiento, en este caso, constante, lineal, y cuadrático. Se han elaborado diseños de

aprendizaje usando esta categoría y se han mostrado evidencias de la construcción de

conocimientos por jóvenes de bachillerato (Zúñiga & Méndez, 2013) y de nivel superior (Tocto

& Méndez, 2015) en donde además se reconoce cómo la generación de redes de usos y los

argumentos que emergen están íntimamente relacionados con quienes las construyen, es decir, no

existe modelo independiente a la situación y quien la analiza.

Objetivo y metodología general

El objetivo planteado para este verano fue el desarrollar argumentos matemáticos a partir

de situaciones de covariación y modelación. En dicho proceso los alumnos serían partícipes del

diseño y analizarían las situaciones de aprendizaje mismo que los hizo vivir una experiencia de

investigación.

Se trabajó con 6 estudiantes de nivel medio superior de los cuales 5 provienen de distintas

preparatorias pertenecientes a la UAGro (Región Costa Chica, Costa Grande y Región Montaña)

quienes se inscribieron al Programa Verano de Investigación Científica “Asómate a la Ciencia

este Verano” UAGro. 2017, el sexto participante pertenece al Colegio de Bachilleres Plantel 2 en

Acapulco y estuvo participando de manera voluntaria. Todos finalizaron el cuarto semestre de la

enseñanza media superior.

Para lograr nuestro objetivo general se desarrollaron los siguientes diseños:

• I. Estudio del Movimiento Rectilíneo Uniforme. En este diseño de aprendizaje se trabajó

la modelación del movimiento mediante las gráficas de funciones a trozo, el

comportamiento de las funciones tratadas fueron afines constantes y cuadrática.

• II. Caracterización de Funciones Polinómicas. El objetivo de este diseño de aprendizaje se

trabajó en estudio de las variaciones globales y locales para la caracterización de funciones

polinómicas.

• III. Estudio de la función exponencial. Las actividades de este diseño promovió la

caracterización de la función exponencial mediante la covariación de dos progresiones,

aritmética y geométrica.


• IV. Estudio de la función logarítmica. Las actividades de este diseño promovió la

caracterización de la función logarítmica mediante la covariación de dos progresiones,

geométrica y aritmética.

• V. Estudio de la función Seno. Las actividades de este diseño promovió la caracterización

de la función logarítmica mediante la covariación.

• VI. Análisis de comportamientos numéricos. Esta actividad consistió en plantear a los

jóvenes una serie de tablas numéricas en donde debían identificar los comportamientos

tendenciales y plantear una situación para esos datos. Se esperaba que ahí se reflejará lo

aprendido en las sesiones anteriores.

La organización del trabajo fue la siguiente:

• Se formaron 2 equipos de 3 integrantes que se fueron rotando a consideración del

coordinador de los diseños de aprendizaje.

• Se contó con un equipo de investigación que estuvo formado por estudiantes de la

Licenciatura en Matemáticas y el Doctorado en Matemática Educativa, quienes

desarrollaron actividades de coordinación académica y recolección de datos. En cada sesión

hubo 2 camarógrafos en cargados de grabar a detalle el desarrollo de las actividades y 2

coordinadores encargados del diseño y gestión de la actividad matemática.

• Para la recolección de datos se emplearon dos cámaras móviles y una cámara de video

fija para tener un panorama general, se grabación el audio, grabación de pantalla (en los

casos donde se usó la computadora), se emplearon sensores de movimiento y calculadoras

graficadoras.

• Las sesiones de trabajo diario fueron de aproximadamente 5 hrs. incluyendo un receso

para la comida de 30 o 45 minutos.

Para fines del presente reporte sólo reportaremos lo acontecido durante la actividad referente al

Estudio del Movimiento Rectilíneo Uniforme.

Objetivo y Gestión del Diseño

El objetivo general del diseño fue resignificar el uso de las gráficas, este diseño de

aprendizaje fue trabajado desde la modelación del movimiento mediante las gráficas de funciones

a trozo, el comportamiento de las funciones tratadas fueron afines, constantes y cuadráticas. Cabe



mencionar que este diseño es el producto de una investigación de licenciatura que está a punto de

culminar.

En general se clasifico el desarrollo de usos de conocimiento en los siguientes momentos

(tabla 1), cabe mencionar que estos momentos fueron transversales a las actividades.

El diseño está formado por cuatro actividades, cada actividad tuvo un objetivo particular.

Actividad 1. Nombrada análisis de la situación de modelación del movimiento rectilíneo

uniforme.

Se esperaba que los estudiantes reflexionarán sobre

el espacio de graficación, reconocer los argumentos y uso

de las gráficas, en donde reflejarán la conjugación de

variables en cierta covariación y lo que significa en la

situación estudiada.

DS Estudiando movimiento rectilíneo uniforme

Drucm

Uso

s de

las g

ráfic

as y

las e

xpre

sion

es d

e an

alíti

cas

Mom

ento

1 Consta de la experimentación donde se devela los usos de las gráficas en tanto

se convienen las variables y sus relaciones. Se desarrolla la gráfica para las

variaciones a trozos. Se convienen y analizan las variables a considerar para

comunicar y caracterizar el movimiento.

Mom

ento

2 Consta de la experimentación y desarrollo de la gráfica para las

variaciones a trozos. Se estudia las variaciones del movimiento dadas

diferentes condiciones, para realizar ajustes y las tendencias en las gráficas

que expresan como es el movimiento.

Mom

ento

3

Desde la articulación de la gráfica dadas diferentes condiciones de

experimentación, y cómo esto afectaría a la expresión algebraica. Se analiza la

variación y el comportamiento general de la gráfica para poder proponer

una expresión algebraica que reúne las condiciones del experimento y el de la

acción del movimiento durante cierto tiempo.

Tabla 1. Momentos del desarrollo del uso de la gráfica

Figura 2 . Actividad 1 comunicando el movimiento


Actividad 2. Análisis de las gráficas y reproducción de la situación, esta actividad buscó

reafirmar o concluir que la gráfica posición-tiempo, describe la distancia que tiene un objeto con

respecto a un punto de referencia en el tiempo. Además de promover las habilidades

tecnológicas.

Actividad 3. En donde se analizó gráficas velocidad vs tiempo, el objetivo de esta

actividad 3 es que ellos a partir de la experimentación logren hacer ajustes y también compara sus

graficas ya hechas a partir de las descripciones, pero con el sensor comparar si lo hicieron bien.

Actividad 4. Consistió en articular situaciones cotidianas con gráficas, la intención fue

provocar el desarrollo de los usos de la gráfica, desde una argumentación cotidiana con respecto

al movimiento rectilíneo uniforme, y la descripción de la distancia del objeto con respecto a un

punto de referencia hasta la gráfica cartesiana de funciones a trozos, en las cuáles se articula

nociones del cálculo, para explicar la gráfica velocidad-tiempo.

Resultados

En esta sección mostraremos una serie de episodios que evidencian los momentos de

desarrollo de usos por parte de los partícipes.

Durante la primera sesión, donde se trabajo la actividad 1, se identificaron dos momentos

de desarrollo de las gráficas

Episodio 1 (45:23-49:39). Comprendiendo la situación

Andrea: ¿no podemos hacer de nuevo el dibujo?

Profesor: no ya vieron que no funciono

Erixel: ¿y si lo representamos en un plano cartesiano?

Andrea: ¡podría ser!

Profesor: si, pueden buscar variables.

Andrea: ¿(x) y (y)?

Profesor: pero esa es de forma general, pero en este caso que variables se muestran.

Andrea: ¿igual (x) y (y) no?



Profesor: ¿pero qué variables? ¿Por que (x) y (y) se ponen en el plano cartesiano de forma

general no?

Erixel: si así es

Andrea: pensemos chavos.

Profesor: ¿entonces que variables observan?

Andrea: ¿tiempo vs distancia no?

Profesor: inténtenlo mostrarlo.

Andrea: ¿en una ecuación no?

Profesor: podría ser.

Erixel: ¿empecemos a graficarlo les parece?

Juan Carlo: si está bien

En el episodio 1 se muestra argumentos del momento uno, donde se trató de que analizáramos las

variables y sus posibles relaciones, para poder expresar una gráfica, y ahí expresar las variaciones

a trozos. En la misma actividad 1, surgió el momento dos predicho.

Episodio 2 (1:23-2:39): El punto de origen es el punto de referencia

Erixel: nuestro punto de inicio será el punto de origen del plano cartesiano

Andrea: las variables que tendríamos serian (x) que podría ser la distancia y (y) que podría

ser el tiempo.

Profesor: antes de eso identifiquen cuál es

su variable dependiente y su variable

independiente para que puedan asignar

quien va hacer el tiempo y quien la

distancia.

Erixel: considero que para la distancia sea

(y) y para el tiempo sea (x) ya que el

tiempo no se detiene, pero la distancia si

depende del tiempo.

Figura 3 . Modelo gráfico del movimiento


Figura 4 Instrumentos tecnológicos

Andrea: yo opino lo mismo.

Juan Carlos: yo también.

Erixel: empecemos a representar el movimiento de Guadalupe.

Juan Carlos: si

Andrea: el tiempo que tardo el movimiento fue de 5 segundos en ir y venir

Erixel: marquemos los 5 segundos en el eje de (x)

Juan Carlos: ya tenemos los datos de l tiempo, y la distancia que realizo Guadalupe

empecemos a graficarlo.

Erixel: si, pero debemos tomar en cuenta que el objeto en movimiento se detiene, en dado

caso podríamos decir que la distancia se detiene, pero el tiempo sigue avanzando por ende

lo debemos representar también en la gráfica.

Juan Carlos: si tienes razón.

Este episodio muestra el desarrollo de la gráfica para las variaciones a trozos, tomando

en cuenta el tiempo que tardo del objeto en movimiento en recorrer la distancia por lo cual

realizamos una gráfica de distancia vs tiempo. En la figura

Episodio 3 (45:23-49:39). Modelando el

movimiento

Profesor: con ayuda de la calculadora y el

sensor de movimiento lleven a la practica

el movimiento de Guadalupe.

Andrea: ¿y eso proyectara la gráfica

distancia vs tiempo que realizamos

anteriormente?

Profesor: si así es

Juan Carlos: y cómo funciona el sensor de movimiento



Profesor: funciona como radar en forma cónica hasta seis metros, y esto detecta el primer

objeto, y si se sigue moviendo arrojara una gráfica.

Andrea: ¿tenemos que hacer la gráfica en la calculadora?

Profesor: no ustedes tienen que realizar el movimiento de Guadalupe frente al sensor, que

les proyectamos al inicio de la primera actividad, y la calculadora lo graficará

automáticamente, así observaremos si la gráfica que ustedes realizaron en la hoja blanca va

hacer similar a la que nos arroje la calculadora.

Erixel: está bien entonces empecemos por hacer el movimiento frente al sensor, yo sugiero

que Andrea realice el movimiento.

Juan Carlos: opino lo mismo

Andrea: está bien yo lo realizare.

Erixel: comencemos, primero da cuatro pasos con una velocidad normal, te detienes tres

segundos, das la vuelta y comienzas a caminar das tres pasos aumentando ligeramente la

velocidad.

Juan Carlos: ¿salió, distorsionada

por que?

Profesor: bueno cuando pasa eso

quiere decir que el movimiento

no fue captado correctamente

tienen que ajustarlo mejor.

Erixe: comencemos de nuevo tratando de no mover el censor tal vez sea por eso por lo que

ahí distorsión en la gráfica.

Andrea: pasa lo mismo

Profesor: traten de detectar por que ocurre eso.

Juan Carlos: tal vez sea al momento de dar la vuelta

Figura 5 . Inicio de la modelación, ajuste gráfico


Erixel: si tienes razón porque todo lo hemos hecho de la manera correcta no sale bien tal

vez sea por eso.

Profesor: bueno busquen la manera de ajustar eso.

Juan Carlos: ¿y si no te das la vuelta? ¿Y si

caminas hacia tras?

Erixel: claro tienes razón intentémoslo

Andrea: si hay que hacerlo

Erixel: si efectivamente ese era el problema miren ahora la gráfica si salió bien y coincide

con la que nosotros realizamos.

Juan Carlos: claro si es

Andrea: si

Elegi este episodio porque aquí se logró estudiar y analizar las variaciones de movimiento

dadas diferentes condiciones, ya que al utilizar la calculadora y el sensor se nos presentaron

interferencias por lo que el movimiento realizado no se graficaba de la manera correcta y

recurrimos a realizar ajustes en el movimiento o en el sensor que nos permitiera realizar la gráfica

de la manera correcta, gracias a ello logramos cumplir con nuestro objetivo de manera

significante.

La actividad 2 se realizó en la sesión dos y de esta se tomo el siguiente episodio

Episodio 4 (00:14- 7:40)

Profesor: Para este caso no utilizaran el sensor, solo describirán los movimientos que se

tienen que realizar para que de como resultado su gráfica.

Erixel: En la primer grafica el objeto debe estar a la distancia que se no marca al principio.

Andrea: Si el tiempo que se menciona en la descripción

Juan Carlos: En la segunda gráfica debemos colocarnos a nueve metros.

Figura 6, Gr. Modelo gráfico validado



(00:04:00)

Erixel: Si y detenernos dos segundos y regresarnos metros.

Andrea: Si y volvernos a detener dos segundos y medio y por último avanzar dos metros.

Erixel: En la tercera gráfica debemos subir tres metros del punto de origen y a la misma vez

volver a bajar tres metros sin detenerte.

Juan Carlos: Sí creo que se mantiene tres segundos y al final vuelves a caminar tres metros.

El cuarto episodio muestra la manera en cómo analizamos cada una de las gráficas e

identificamos sus variables y variaciones, gracias a ello pudimos relacionar de manera

significativa los tipos de movimientos que se debián realizar frente al sensor, “movimientos

rectilíneos uniforme y movimiento nulo”.

Las gráficas que describimos fueron las siguientes:

La actividad 3 también se realizó en la sesión dos y de esta se tomo el siguiente episodio

Episodio 5: (29: 00- 38:12)

Profesor: Para esta actividad tendrán que analizar las gráficas y describir los movimientos

que tengan que hacer frente al sensor.

Andrea: Para la primera gráfica debemos partir del punto de origen.

Erixel: Si y avanza un metro en un segundo.

Figura 7, Gr . Análisis de variaciones en las gráficas t-d.


Andrea: Se detiene dos segundos

Erixel: No se detiene dos segundos, según la gráfica muestra que mantiene su velocidad

durante dos segundo porque si se dan cuenta es una gráfica de tiempo vs velocidad.

Juan Carlos: Si así es estoy de acuerdo.

Erixel: Luego vuelve a acelerar dos metros en un segundo.

Andrea: Después se ve que mantiene su velocidad en segundos.

Juan Carlos: si así es.

Juan Carlos: Miren después se puede notar en la gráfica que acelera hasta alcanzar la

velocidad de tres metros en un segundo.

Profesor: No se les olvide identificar qué tipo de grafica son.

Erixel: ¿se refiere si son de distancia vs tiempo o velocidad vs tiempo verdad?

Profsor: Si así es, eso les ayudara a saber que tipo de movimiento es.

Andrea: si

Juan Carlos: En la segunda gráfica comienza en una velocidad de seis metros.

Erixel: Si así es y después disminuye la velocidad hasta llegar a un metro en un lapso de

cinco segundos.

Andrea: Si después se mira en la gráfica que mantiene su velocidad en un metro cinco

segundos, ¿no es así?

Juan Carlos: Si estoy de acuerdo.

Andrea: Si y alcanza la velocidad de seis metros en un tiempo de un segundo.

Erixel: No mira si observamos bien no es un segundo si no dos.

Juan Carlos: Efectivamente así es.

Andrea: Si tienen razón yo me había confundido.



Este episodio lo relaciono con el momento dos del diseño, este provocó que se analizaran

las gráficas para identificar variables, tipos variaciones según las gráficas de velocidad – tiempo o

de distancia – tiempo, y los movimientos que deberíamos realizar frente al sensor, tuvimos que

ajustar ideas en el momento de llevarlo a la práctica frente al sensor según las condiciones del

lugar, ya que había mucha interferencia con otros objetos que impedían a la calculadora graficar

los movimientos que nosotros habíamos pensado, por lo que llegamos a la conclusión que

nuestras descripciones de movimiento estaban correctas pero qué había que tener otras

condiciones de experimentación para obtenerlas.

En nuestro equipo sólo llegamos al momento dos que se propuso en el diseño, incluso en

la actividad cuatro donde se pidio pasar de un problema a una gráfica logramos hacerlo mediante

gráficas de t-v y de t-d, pero no llegamos a expresar formulas algebraicas.

Conclusiones

Durante esta estancia de investigación adquirí conocimientos importantes que me

ayudarán a lo largo de mi vida, según mis expectativas e incluso en el campo laboral que

pretendo desarrollar en un futuro, cabe mencionar que esta experiencia amplio mis punto de vista

respecto a esta ciencia, ya que desconocía la manera en que se trabaja y la visión que se tiene en

la matemática educativa que trabaje a lo largo de este curso, en general trabajamos seis temáticas

la cuales fueron: modelación de movimientos, funciones polinómicas, función exponencial,

funciones logarítmicas, función seno, función coseno. Cabe mencionar que tuvimos dificultades

en el transcurso de las actividades dependiendo de la temática esto se debido a que nosotros no

Figura 8. Gr . Análisis de gráficas t- v.


habíamos trabajado previo estos temas en el aula de clases pues serán temáticas de los proximos

semestres.

En particular las actividades de este verano fueron un verdadero desafío, sin embargo

logre desarrollar en cada temática un saber importante para resolver las actividades, esto con

ayuda de mis compañeros al momento de analizar y compartir ideas, también gracias a los

asesores de cada actividad que nos orientaban para entender y generar resultados a partir de

nuestros conocimientos. Ahora considero que la modelación matemática, la que desarrollan las

investigadoras generan significatos para los conocimientos matemáticos. Las experiencia en este

curso género en mí ganas de seguir adquiriendo más conocimientos respecto a esta ciencia y

seguir esforzandome para estar preparado cuando se me presenten problemáticas de este tipo a lo

largo de mi vida cotidiana en donde mis saberes matemáticos son fundamentales.

Una de las cosas importantes que cabe destacar fue el uso de la tecnología, pues

influyente en las formas de ampliar los conocimientos, por ejemplo en la actividad de

movimiento utilizamos un sensor y una calculadora que nos permitía graficar los movimientos

que realizábamos, en lo particular fue muy interesante trabajar con este tipo de herramientas ya

que mi institución no cuenta con ellas, otro ejemplo donde empleamos el uso de las tecnologías

fue en las funciones polinómicas ya que utilizamos una calculadora que nos permitía graficar y

aalizar determinada variación en la función lo cual permitiò un conocimiento más claro sobre las

variaciones globales.

Otra herramienta importante fue el uso del programa GeoGebra para el análisis de la:

función exponencial, función logarítmica, función seno y función coseno, en las cuales fue

fundamental. Estas dos herramientas eran desconocía en su totalidad y creo que son necesarias en

las matemáticas ya que nos facilita el análisis de determinadas funciones entre muchas cosas más.

En general me atrevo decir que este curso de verano fue bastante importante y a la misma

vez significativo para mí como estudiante, ya que gracias a este ahora poseo conocimientos que

antes desconocía en su totalidad, y me siento capaz de desarrollar estos temas, por lo cual

reconozco el esfuerzo y dedicación del grupo de investigación.

Esta estancia ha sido para mí una experiencia muy positiva que me motivo a seguir

investigando y con ello aprendiendo más de esta ciencia llamada matemáticas que es fundamental

para el desarrollo y subsistencia del ser humano.



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