TOPOLOGIA GENERAL (primera parte)Curso 2008-2009Marta Macho StadlerDepartamento de Matem aticasFacultad de Ciencia y TecnologaUniversidad del Pas VascoEuskal Herriko UnibertsitateaBarrio Sarriena s/n, 48940 Leioae-mail: marta.macho@ehu.eshttp://www.ehu.es/mtwmastmTlf: 946015352 Fax: 9460125162Indice generalIntroducci on 50.1. Qu e es la topologa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3. Organizaci on de este documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Repaso de algunas nociones b asicas 11.1. Nociones de L ogica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Smbolos y conectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Los objetos del razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Condiciones necesarias y sucientes. . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4. Los m etodos de demostraci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Funciones y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Propiedades de los n umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Cardinalidad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162. Espacios topol ogicos 232.1. Denici on de topologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Base y subbase de una topologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Espacios de Fr echet y de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. Entornos 353.1. Entornos y sistemas de entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Bases de entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3. Topologas y sistemas de entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3834Indice general4. Conjuntos en espacios topol ogicos 414.1. Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Clausura de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3. Puntos de acumulaci on y puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4. Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475. Numerabilidad 535.1. Espacios primero y segundo numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2. Espacios de Lindel of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3. Espacios separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586. Continuidad 616.1. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2. Algunas propiedades de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.1. Continuidad y espacios Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.2. Continuidad secuencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.3. Continuidad y numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.4. Criterio de Hausdorff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637. Homeomorsmos 677.1. Aplicaciones abiertas y cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.2. Homeomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3. Propiedades topol ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Bibliograa 74Introducci on0.1. Qu e es la topologa?... Adem as de aquella parte de la geometra que trata sobre cantidades y que se ha es-tudiado en todo tiempo con gran dedicaci on, el primero que mencion o la otra parte, hastaentonces desconocida, fue G. Leibniz, el cual la llam o geometra de la posici on. Leibnizdetermin o que esta parte se tena que ocupar de la sola posici on y de las propiedadesprovenientes de la posici on en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades,ni su c alculo... Por ello, cuando recientemente se mencion o cierto problema que parecarealmente pertenecer a la geometra, pero estaba dispuesto de tal manera que ni preci-saba la determinaci on de cantidades ni admita soluci on mediante el c alculo de ellas, nodud e en referirlo a la geometra de la posici on... L. EulerLa topologa es probablemente la m as joven de las ramas cl asicas de las matem aticas.En contraste con el algebra, la geometra y la teora de los n umeros, cuyas genealogasdatan de tiempos antiguos, la topologa aparece en el siglo XVII, con el nombre de ana-lysis situs, es decir, an alisis de la posici on.De manera informal, la topologa se ocupa de aquellas propiedades de las guras quepermanencen invariantes, cuando son plegadas, dilatadas, contraidas o deformadas, demodo que no aparezcan nuevos puntos, o se hagan coincidir puntos diferentes. La trans-formaci on permitida presupone, en otras palabras, que hay una correspondencia biunvocaentre los puntos de la gura original y los de la transformada, y que la deformaci on hacecorresponder puntos pr oximos a puntos pr oximos. Esta ultima propiedad se llama con-tinuidad, y lo que se requiere es que la transformaci on y su inversa sean ambas continuas:trabajamos con homeomorsmos.Un top ologo trabaja con los mismos objetos que un ge ometra, pero de modo distinto:no se ja en las distancias o los angulos, ni siquiera de la alineaci on de los puntos. Paraun top ologo un crculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo:se dice que la bola y el cubo son objetos topol ogicamente equivalentes, porque se pasa deuna al otro mediante una transformaci on continua y reversible.56 Introducci on0.2. Un poco de historiaEn 1679, G. Leibniz (1646-1716) publica su famoso libro Characteristica Geometri-ca, en el que (en t erminos modernos) intenta estudiar m as las propiedades topol ogicas quelas puramente m etricas de las guras. Insiste en que, aparte de la representaci on coorde-nada de guras, se necesita de otro an alisis, puramente geom etrico o lineal, que tambi endena la posici on (situs), como el algebra dene la magnitud.Los matem aticos en el siglo XVIII muestran poco inter es en la topologa, con la ex-cepci on de L. Euler (1707-1783) cuyo genio comprende todas las matem aticas. En 1736,Euler publica un artculo con la soluci on al famoso Problema de los puentes de K onigs-berg, titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. El ttulo ya indicaque Euler es consciente de que est a trabajando con una clase diferente de matem atica, enla que la geometra ya no es importante.El siguiente paso en esta liberaci on de la matem atica tambi en se debe a Euler. En1750 escribe una carta a C. Goldbach (1690-1764) en la que da la famosa f ormula deEuler para un poliedro: v l + c=2, donde v es en n umero de v ertices del poliedro, les el n umero de lados y c el n umero de caras. Esta f ormula, de asombrosa simplicidad,parece que fue olvidada por Arqumedes (287 AC-212 AC) y R. Descartes (1596-1650),aunque los dos escribieron extensamente sobre poliedros. La raz on debe ser que, paratodo el mundo antes de Euler, pareca imposible pensar en propiedades geom etricas sinque la medida estuviera involucrada. Euler publica los detalles de esta f ormula en 1752en dos artculos, donde da una demostraci on basada en la disecci on de s olidos en rodajastetra edricas. Euler pasa por alto algunos problemas en su prueba; por ejemplo, suponeque los s olidos son convexos.A.J. Lhuilier (1750-1840) contin ua el camino iniciado por Euler con su f ormula po-li edrica. En 1813, publica un importante trabajo, donde indica que la f ormula de Euleres falsa para s olidos con asas sobre ellos: si un s olido tienegasas (un asa es un toroadjuntado al espacio), Lhuilier prueba que la f ormula se escribe v l +c = 2 2g.Estees el primer resultado conocido sobre invariantes topol ogicos.A.F. M obius (1790-1868) publica una descripci on de la banda que lleva su nombre en1865. Intenta escribir la propiedad de unicidad de cara de la banda, en t erminos de faltade orientabilidad.J.B. Listing (1802-1882) es el primero en usar la palabra topologa. Sus ideas topol ogi-cassedebenprincipalmenteasumaestroC.F.Gauss(1777-1855).Listingescribeunartculo en 1847 llamado Vorstudien zur Topologie y en 1861, publica otro artculo, enel que describe la banda de M obius (cuatro a nos antes que M obius) y estudia la noci ondeconexi on de las supercies. Listing no es el primero en examinar las componentesconexas de las supercies; B. Riemann (1822-1866) estudia este concepto en 1851 y denuevo en 1857 cuando introduce las supercies de Riemann.C. Jordan (1838-1922) publica en 1882 su Cours dAnalyse, que contiene prue-0.2. Un poco de historia 7bas rigurosas de resultados topol ogicos intuitivamente obvios sobre curvas en el plano,introduciendo adem as otro m etodo para estudiar la conexi on de las supercies.Listing examina la conexi on en el espacio eucldeo de dimensi on tres, pero E. Betti(1823-1892) extiende estas ideas a dimensiones arbitarias.La idea de conexi on es descrita con rigor por H. Poincar e (1854-1925) en una seriede artculos bajo el ttulo de Analysis situs en 1895. Poincar e introduce el concepto dehomologa y da una denici on precisa de los n umeros de Betti asociados a un espacio.E. de Jonqui` eres (1820-1901) generaliza en 1890 la f ormula para poliedros convexos deEuler a poliedros no necesariamente convexos. Asmismo, en relaci on con la conexi on,Poincar eintroduceelconceptodegrupofundamentaldeunavariedadylanoci ondehomotopa.Unsegundocaminoenel cual sedesarrollalatopologaesatrav esdelagene-ralizaci ondeideasdeconvergencia.Esteprocesoseiniciaenrealidaden1817cuan-do B. Bolzano (1781-1848) asocia la convergencia con un subconjunto acotado innitode n umeros reales, en vez de pensar exclusivamente en convergencia de sucesiones den umeros.G. Cantor (1845-1918) introduce en 1872 el concepto de conjunto derivado (o familiade puntos lmite) de un conjunto. Dene los subconjuntos cerrados de la recta real comoaquellos conteniendo a su conjunto derivado e introduce la idea de conjunto abierto, unconcepto clave en la topologa de conjuntos. Y se dene el concepto de entorno de unpunto.En 1906, M. Fr echet (1878-1973) llama a un espacio compacto si cada subconjuntoinnito acotado contiene un punto de acumulaci on. Fr echet es capaz de extender la noci onde convergencia de un espacio eucldeo, deniendo los espacios m etricos. Prueba que losconceptos de abierto y cerrado de Cantor se extienden naturalmente a espacios m etricos.En el Congreso Internacional de Matem aticos de Roma de 1909, F. Riesz (1880-1956)propone un nuevo acercamiento axiom atico a la topologa, basado en una denici on con-juntista de puntos lmite, sin un concepto de distancia subyacente. Unos cuantos a nos m astarde, en 1914, F. Hausdorff (1868-1942) dene los entornos a trav es de cuatro axiomas,de nuevo sin consideraciones m etricas. Este trabajo de Riesz y Hausdorff realmente dalugar a la denici on de espacio topol ogico abstracto.Hay una tercera va en la que los conceptos topol ogicos entran en las matem aticas, asaber, a trav es del an alisis funcional. Esta es un area que surge de la fsica matem atica yla astronoma, debido a que los m etodos del an alisis cl asico eran inadecuados al abordaralgunos tipos de problemas.J. Hadamard (1865-1963) introduce la palabra funcional en 1903 cuando estudia losfuncionales linealesFde la formaF(f) = lmn_baf(x)gn(x)dx. Fr echet contin ua eldesarrollo de esta teora, deniendo la derivada de un funcional en 1904.8 Introducci onE. Schmidt (1876-1959) examina en 1907 la noci on de convergencia en espacios defunciones;ladistanciasedeneatrav esunproductointerior.S.Banach(1892-1945)realizaunpasoposteriorenlaabstracci onen1932, cuandopasadelosespaciosconproducto interior a los espacios normados.Poincar e desarrolla muchos de sus m etodos topol ogicos cuando estudia ecuacionesdiferencialesordinariasqueprovienendelestudiodeciertosproblemasastron omicos.Esta colecci on de m etodos se transforma en una completa teora topol ogica en 1912, conlos estudios de L.E.J. Brouwer (1881-1966).0.3. Organizaci on de este documentoEste documento est a organizado en 7 captulos, el primero de repaso de nociones sobreteora de conjuntos y los otros corresponden a los 6 primeros temas del programa de laasignatura Topologa General del curso 2008/2009.Cada uno de los temas consta de deniciones, propiedades con algunas de las de-mostracionesm ascomplicadasyunaextensacolecci ondeejemplos.Alnaldecadacaptulo aparece una relaci on de problemas, algunos de ellos elementales, otros ya m aselaborados, otros son una mera excusa para introducir alg un ejemplo de espacio impor-tante,... en donde se deben aplicar las propiedades estudiadas en la parte te orica. Est anmarcados con aquellos que deben hacerse y entregarse como parte del trabajo del curso.Leioa, septiembre 2008Captulo 1Repaso de algunas nociones b asicas1.1. Nociones de L ogicaLa L ogica es una herramienta b asica en Matem aticas; damos aqu un breve repaso dealgunos conceptos fundamentales.1.1.1. Smbolos y conectoresEn Matem aticas, es fundamental la utilizaci on de smbolos y conectores que sirvenpara modicar o combinar sentencias.Denici on 1.1. Los siguientes smbolos se llaman cuanticadores:1) el cuanticador universal: (para todo);2) el cuanticador existencial: (existe).Denici on 1.2. Tambi en es esencial el uso de los llamados conectores:1) la negaci on: no;2) la conjunci on: (y);3) la disyunci on: (o);4) la implicaci on: =(si , entonces);5) la doble implicaci on: (si y s olo si, es equivalente a).El manejo es sencillo, pero es preciso tener cuidado al utilizarlos. Por ejemplo, si Py Q son propiedades relativas a los elementos de un conjunto X(denici on 1.11), paraexpresar que x cumple P, se escribir a P(x). Y entonces:12 Captulo 1. Repaso de algunas nociones b asicasProposici on 1.1. El enunciado P(x) Q(x), signica una de las tres posibilidades (mu-tuamente excluyentes) siguientes:(i) P(x) y Q(x);(ii) P(x) y no-Q(x);(iii) no-P(x) y Q(x).Proposici on 1.2. Un enunciado se niega de la siguiente manera:1) no-(x X, P(x)) es lo mismo que decir que (x X: no-P(x));2) no-(x X: P(x)) equivale a (x X, no-P(x));3) no(x X, P(x) Q(x)) es lo mismo que (x X: no-P(x) ono-Q(x));4) no-(x X: P(x) =Q(x)) es equivalente a (x X, P(x) ,=Q(x)).Proposici on 1.3. Cuando aparecen varios cuanticadores en un enunciado, es indiferenteelordenenelqueseescriben,siemprequeloscuanticadoresinvolucradosseandelmismo tipo. Si P(x, y) es una propiedad relativa a los elementos x e y, entonces:1) (x, y, P(x, y)) es lo mismo que decir que (y, x, P(x, y));2) (x, y: P(x, y)) es equivalente a (yy: P(x, y)) .Contraejemplo 1.1. Hay que tener cuidado cuando se ven involucrados cuanticadoresde distinto tipo. Por ejemplo, el enunciado (x, y: P(x, y)) no equivale a la expresi on(y: x, P(x, y)). En efecto, si X= N y P(x, y) es la propiedad x y, la primeraexpresi on se lee como que todo n umero natural posee otro mayor (que es cierta) y lasegunda signica que existe un n umero natural mayor que todos los dem as (que es falsa).Proposici on 1.4. El cuanticador existencial y el conector disyunci on se pueden inter-cambiar en la escritura de un enunciado, as como el cuanticador universal y el conectorconjunci on:1) (x, P(x)) y (y, Q(y)) es lo mismo que (x, y, P(x) Q(y));2) (x : P(x)) o (y: Q(y)) es equivalente a (x, y: P(x) Q(y)).Contraejemplo 1.2. En general, no se pueden intercambiar cuanticadores y conectoresen la escritura de un enunciado:1.1. Nociones de L ogica 31) la expresi on (x, P(x) Q(x)) no equivale a (x, P(x)) (x : Q(x)). En efecto,si X= N, P y Q son las propiedades de ser par y ser impar respectivamente,entonces la primera expresi on se lee como que un n umero natural es par o impar(que es verdadera) y la segunda dice que todo n umero natural es par o todo n umeronatural es impar (que es falsa);2) la expresi on (x : P(x)) (x : Q(x)) no equivale a (x : P(x) Q(x)). En efecto,tomando de nuevo el ejemplo de 1), la primera expresi on se lee como que existe unn umero natural par y existe un n umero natural impar (que es cierta), y la segundasignica que existe un n umero natural a la vez par e impar (que es falsa).1.1.2. Los objetos del razonamientoDenir una teora matem atica es establecer las reglas del juego sobre los objetos ma-nipulados, los denominados axiomas.Denici on 1.3. Un axioma es todo enunciado que:1) sirve de fundamento para la construcci on de una teora;2) se admite como cierto y no es por lo tanto objeto de discusi on.Cuando un unico axioma no basta para denir una teora, se pide adem as:3) que los diferentes axiomas usados no se contradigan y sean independientes los unosde los otros.Ejemplos 1.1. Algunos ejemplos de axiomas son los siguientes:1) axioma de Euclides, que es la base de la Geometra Eucldea: dos rectas paralelas delplano eucldeo no se cortan;2)axiomadeelecci on:dadounconjuntoX, existeunafunci on(denici on1.18)deelecci on, f : T(X) X (denici on 1.14), que asigna a todo conjunto A novaco, un punto distinguido f(A) = a A;3) lema de Zorn: sea un conjunto parcialmente ordenado (X, ) (denici on 1.31), tal quetodo conjunto bien ordenado (denici on 1.33) admite una cota superior (denici on1.34); entonces (X, ) posee un elemento maximal (denici on 1.32);4) axioma de Zermelo: todo conjunto puede ser bien ordenado.Observaci on 1.1. 2), 3) y 4) son formulaciones equivalentes del mismo axioma.Denici on 1.4. Una denici on es un enunciado que sirve para explicar o introducir unanueva noci on.4 Captulo 1. Repaso de algunas nociones b asicasUnavezconocidoslosaxiomasyalgunasdeniciones, el juegopuedecomenzar,puesto que las reglas ya se conocen.Denici on 1.5. Un teorema es un enunciado que se deduce:1) directamente de los axiomas o2) de los axiomas y los teoremas precedentes, ycon las reglas de deducci on que se llaman demostraciones, que aseguran su validez.Denici on 1.6. A veces, se da unicamente el nombre de teorema a los verdaderamenteimportantes, a los que han pasado a la historia con un nombre, o a los que precisan unademostraci on muy larga, dejando el nombre de proposici on al resto.Denici on 1.7. Un lema es una proposici on preliminar a la demostraci on de un teorema.Denici on 1.8. Un corolario es una proposici on que se deduce inmediatamente de unteorema, por una demostraci on si no inmediata, cuando menos corta y f acil.1.1.3. Condiciones necesarias y sucientesDenici on 1.9. (La implicaci on) SeanXun conjunto yP yQ dos propiedades ma-tem aticas deniendo los conjuntosA= x X: P(x) yB= x X: Q(x)respectivamente. Si A B (denici on 1.12), todo elemento vericando P, cumple tam-bi en Q. En este caso, se dice que P implica Q, y se escribe P=Q. Se dice tambi enque Pes una condici on suciente de Q(para obtener Qbasta con conocer P) o que Qesuna condici on necesaria de P.Denici on 1.10. (La equivalencia) En las condiciones de la denici on 1.9, siA=B(denici on 1.12), todo elemento vericandoP cumple tambi enQ y viceversa. En estecaso, se dice que P es equivalente a Q, y se escribe P Q. Como A = B es id enticoa A B y B A, la equivalencia P Q signica las dos implicaciones P=QyQ=P. Es decir, las dos propiedades equivalentesP yQ caracterizan el mismoconjunto. Observar que en tal caso P es una condici on necesaria y suciente de Q.1.1.4. Los m etodos de demostraci onHay muchos m etodos de demostraci on, de los cuales citamos los m as importantes acontinuaci on, usando la notaci on de la denici on 1.9:(i) M etodo de la hip otesis auxiliar: para probar que P =Q, se supone P cierta.Esta forma de razonamiento, la m as directa, es tambi en la m as conocida. De manerapr acticaconsisteendemostrarelteoremaP=Q,dondePeslahip otesisyQla1.1. Nociones de L ogica 5conclusi on o tesis, suponiendo que se verica P (la hip otesis es cierta) y ayud andose delos axiomas y de los otros teoremas de la teora demostrados anteriormente.(ii) Disjunci on de los casos: para probar queP=Q, se descomponeP en laforma P1 Pn, y se prueba que para cada i 1, . . . , n, es Pi=Q.Es decir, se descompone el conjunto A de los elementos que cumplen Pen una uni ondisjunta (denici on 1.13) de subconjuntos A1, , An. Entonces, se prueba que para cada1 i n es Ai B; y como A = A1 An, se tendr a A B.Ejemplo 1.1. Probar que si n N, entonces n(n + 1) es par.Demostraci on: Distinguimos dos posibilidades: si n es par, existe k N, tal que n = 2k,y entonces n(n + 1)=2k(2k + 1). Si n es impar, existe k N, tal que n=2k + 1, yentonces n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2(2k + 1)(k + 1), que es claramente par.(iii) M etodo de contraposici on: para probar queP=Q, se demuestra el con-trarecproco no-Q =no-P.Es un primer m etodo de prueba indirecta. Descansa sobre el hecho de que la inclusi onA B es equivalente a decir que los conjuntos complementarios (denici on 1.13) veri-can la inclusi on Bc Ac.Ejemplo 1.2. Probar que si n N es tal que n2es par, entonces n es par.Demostraci on: Si n N es impar, entonces n2es impar.(iv)Demostraci onporreducci onal absurdo: paraprobarunenunciadoP, sesupone su negaci on no-P, y se busca una contradicci on en la teora en la que se tra-baja.Como evidentemente se admite que esta teora no admite contradicciones, la suposi-ci on no-P ser a falsa, lo cual es equivalente a decir que P es cierta. A qu e contradicci onse debe llegar? A contradecir un axioma, un teorema anteriormente probado o la propiasuposici on no-P.De modo similar, para probar que P=Q razonando por reducci on al absurdo, seadmite lo contrario, es decir, que no-(P =Q), o lo que es equivalente, Py no-Q. Y sebusca entonces encontrar una contradicci on.(v) El contraejemplo: para probar que un propiedad matem atica P es cierta para unconjunto X, hay que probar que todos los elementos de X la verican. Pero, se sabe quela negaci on de (x X, P(x)) es (x X, no-P(x)). As, para probar que esta f ormulaes falsa, basta con encontrar un elemento de X que no verique P: esto es lo que se llamadar un contraejemplo.6 Captulo 1. Repaso de algunas nociones b asicasEjemplo 1.3. Si x R, es cierto que si x x2, entonces es x 1?Demostraci on: La respuesta es falsa, tomando x = 2.(vi) La demostraci on por recurrencia: este tipo de demostraci on est a ligada a ladenici on del conjunto de los enteros naturales. Es una t ecnica util para probar que unapropiedad P(n) es cierta para todos los enteros naturalesn, o para los que son igualeso superiores a un cierto n0. Sean n0 un entero natural y P(n) una propiedad matem aticaque depende de un enteron. Para probar que P(n) se verica para cadan n0, bastacon probar que:1) P(n0) es cierta,2) demostrar, bajo la hip otesis de que P(n) se verica para n n0, n0 + 1, . . . k, queP(k + 1) es cierta.La etapa 1) es una simple vericaci on y la 2) es, de hecho, el objeto de una demostraci on.Ejemplo 1.4. Probar que para cada n N, 1 + +n =n(n+1)2.Demostraci on: Paran=1, es cierto que1=1(1+1)2. Si la propiedad se verica paran 1, . . . , k, entonces: 1+2++k+(k+1)=(1+2++k)+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)=(k+2)(k+1)2.Observaci on 1.2. Hay una forma d ebil de la demostraci on por recurrencia: para probarque P(n) se verica para cada n n0, basta con probar que:1) P(n0) es cierta,2) demostrar, bajo la hip otesis de que P(k) se verica parak>n0, que P(k + 1) escierta.En este caso, para probar que P(k + 1) se verica, nos apoyamos s olo sobre la hip otesisde que P(k) es cierta.1.2. Teora de conjuntosDenici on 1.11. Un conjunto es una colecci on de objetos, llamados elementos o puntos.Six es un elemento deX, se denota porx X. An alogamente,x/ Xdenota la nopertenencia de x a X. El conjunto vaco es el conjunto sin elementos.Son conjuntos importantes en Matem aticas N, Z, Q, R,.Se puede denir un conjunto:1) por extensi on, nombrando todos sus elementos: por ejemplo, el conjunto de los n umerosnaturales pares es 2, 4, 6, 8,;1.2. Teora de conjuntos 72) a trav es de una propiedad P v alida en un universo U, que servir a para caracterizarlox U : P(x). Por ejemplo, el conjunto de los n umeros naturales pares se puedeexpresar por x N : x es m ultiplo de 2.Denici on 1.12. Dados A, B X, se dice que A est a contenido en B, A B, si paracada x A, es x B. Y A es igual a B, A = B, si A B y B A.Denici on 1.13. Si A, B X, se denen:1) la intersecci on deA yB, porA B= x X: x A x B. Claramente,A B A, B. A y B se dicen disjuntos si A B= ;2) la uni on de A y B, por A B= x X: x A x B. Es decir x A B, sise verica una (y s olo una) de las condiciones siguientes:(i) x A y x B,(ii) x A y x , B,(iii) x , A y x B.Claramente, A, B A B;3) el complementario deA enX, porX A= x X: x ,A. Si no hay dudade respecto a que conjunto se est a tomando el complementario, se suele denotar porAc;4) la diferencia de A y B, por A B= A Bc= x X: x A x , B.Proposici on 1.5. Las anteriores operaciones verican las siguientes propiedades:1) leyes idempotentes: A A = A = A A;2) leyes asociativas: (A B) C= A (B C) y (A B) C= A (B C);3) leyes conmutativas: A B= B A y A B= B A;4) leyes distributivas: A(BC) = (AB)(AC) y A(BC) = (AB)(AC);5) identidades: A X= A = A , A X= X y A = ;6) propiedades del complementario: A Ac= X, A Ac= , (Ac)c= A y Xc= ;7) leyes de De Morgan: (A B)c= Ac Bcy (A B)c= Ac Bc.Denici on 1.14. Se llama partes de X o conjunto potencia de X al conjunto de todos lossubconjuntos de X, y se denota por T(X) o 2X. Es decir, A X si y s olo si A T(X).Denici on 1.15. AB= (a, b) : a A b B es el producto cartesiano de A porB. Sus elementos son pares ordenados.8 Captulo 1. Repaso de algunas nociones b asicasClaramente,AB ,=BA. YAB= , si y s olo siA= oB= . Dos paresordenados (a1, b1), (a2, b2) AB, son iguales (a1, b1) = (a2, b2) si y s olo si a1= a2 yb1= b2. Luego, (a1, b1) ,= (a2, b2) si y s olo si a1 ,= a2 o b1 ,= b2.En general, dada una familia nita de conjuntos A1, , An, se dene su productocartesiano porn

i=1Ai=A1An= (a1, , an): ai Ai, i 1, , n. SiAi= A para cada i 1, , n, el producto cartesiano se denota por An.Proposici on 1.6. El producto cartesiano verica las siguientes propiedades:1) A (B C) = (A B) (A C);2) A (B C) = (A B) (A C);3) si C ,= y A C= B C, entonces A = B;4) A (B C) = (A B) (A C);5) (A B) (C D) = (A C) (B D);6) (A B)c= (AcBc) (AcB) (A Bc);7) si B C, entonces A B A C;8) (A B) (C D) = (A D) (C B);9) si A, B, C y D son conjuntos no vacos, entonces AB C D si y s olo si A Cy B D.Denici on 1.16. Sea I ,= un conjunto de ndices. Se considera una familia de conjuntosAi:i I, y se dice que esta familia est a indicada por I. Los conjuntos Ai no tienenporque ser diferentes.Denici on 1.17. Dada una familia indicada Ai: i I, con Ai X, se dene:1) la intersecci on generalizada

iIAi= x X: i I, x Ai, y2) la uni on generalizada_iIAi= x X: i I tal que x Ai.Si el conjunto de ndices I es nito, estas deniciones coinciden con las dadas en ladenici on 1.13. Se cumplen tambi en en este caso las propiedades distributivas, las leyesde De Morgan_

iIAi_c=_iIAci y__iIAi_c=

iIAci, etc.1.3. Funciones y sus propiedades 91.3. Funciones y sus propiedadesDenici on 1.18. Dados dos conjuntos X e Y , una aplicaci on o funci on f :XY , esuna correspondencia que asocia a cadax X, un elemento y s olo uno deY , que sedenota por f(x).Ejemplos 1.2. Algunos ejemplos de aplicaciones son:1) la aplicaci on identidad, 1X :XX, denida por 1X(x) = x;2) la aplicaci on inclusi on: si A X, iA:AX, se dene por iA(x) = x;3) la aplicaci on constante, cy0:XY , denida por cy0(x) = y0, donde y0 es un puntojo de Y ;4) la i- esima proyecci on coordenada, pi:A1 AnAi, denida por la igualdadpi((a1, , an)) = ai;5) la inyecci on diagonal, d:XXn, denida por d(x) = (x, , x);6) la funci on caracterstica de un conjunto: si A X, A:X0, 1, denida porA(x) =_0 si x , A1 si x A7) dada f :XYy A X, la restricci on de fa A, f[A:AY , est a denida porf[A(a) = f(a);8) si g :AYy A X, entonces f :XYes una extensi on de g a X, si f[A= g;una aplicaci on puede tener varias extensiones;9) si f :AYy g :BYson dos aplicaciones, donde A B= X y f(x) = g(x),para cada x A B, se puede denir la combinada de fy g, como la aplicaci onh:XYdenida porh(x) =_f(x) si x Ag(x) si x BDenici on 1.19. Dada una aplicaci on f :XY , X se llama el dominio de f e Yes sucodominio. El grafo de fes el conjunto Gf= (x, f(x)): x X XY , que enmuchas ocasiones se identica con f.Denici on 1.20. Dos aplicaciones f :XYy g :ZWson iguales, cuando coin-ciden sus dominios (X= Z), sus codominios (Y= W) y f(x) = g(x), para cada x X.Por ejemplo, si f :XYes una aplicaci on y A X, f y f[A no son iguales.Denici on 1.21. Dada f :XY , f(A)= y Y : a A tal que f(a)=y es laimagen directa de A. f(X) se llama rango de la aplicaci on.10 Captulo 1. Repaso de algunas nociones b asicasDenici on 1.22. Si B Y , f1(B) = x X: f(x) B es su imagen recproca.Proposici on 1.7. Dada f :XY , se verica:1) f() = , f(X) Yy si A ,= , entonces f(A) ,= ;2) si A1, A2 X, y A1 A2, entonces f(A1) f(A2);3) Si Ai X para i I, f__iIAi_=_iIf(Ai) y f_

iIAi_

iIf(Ai);4) siA1, A2 X,f(A1) f(A2) f(A1 A2) y en particularf(X) f(A2) f(X A2). Entre Y f(A2) y f(X A2) no hay en general ninguna relaci on;5) f1() = , y puede existir , = B Y , tal que f1(B) = ;6) f1(Y ) = X;7) si B1, B2 Yy B1 B2, entonces f1(B1) f1(B2);8) si Bi Ypara i I, f1_

iIBi_=

iIf1(Bi) y f1__iIBi_=_iIf1(Bi);9) Si B1, B2 Y , f1(B1B2) = f1(B1)f1(B2), y en particular, f1(Y B2) =X f1(B2);10) si A X, A f1(f(A));11) si B Y , f(f1(B)) = f(X) B B;12) si A X y B Y , f(A f1(B)) = f(A) B.Denici on 1.23. Dadas f :XYy g :Y Z, se dene la composici on de g y f, porg f :XZ, donde (g f)(x) = g(f(x)), para cada x X.Proposici on 1.8. Sean f :XY , g :Y Z y h:ZWaplicaciones, entonces:1) la composici on de funciones es asociativa: h (g f) = (h g) f;2) f 1X= f y 1Y g= g;3) si C Z, es (g f)1(C) = f1(g1(C));4) si f :XYy g :Y X, en general, f g ,= g f.Denici on 1.24. Se dice quef :XYes sobreyectiva, sif(X)=Y , es decir, paracada y Y , existe x X, tal que f(x)=y. Y es inyectiva, si dados x1 ,=x2 en X, esf(x1) ,= f(x2) (o equivalentemente, si f(x1) = f(x2), entonces x1= x2).Proposici on 1.9. Sea f :XY , entonces:1) B= f(f1(B)) para cada B Y , si y s olo si f es sobreyectiva;1.4. Relaciones binarias 112) Y f(A) f(X A) para cada A X si y s olo si f es sobreyectiva;3) si g, h:Y Z y f es sobreyectiva, entonces g f= h f implica que h = g;4) si g :Y X y f g= 1Y, entonces f es sobreyectiva;5) A = f1(f(A)) para cada A X, si y s olo si f es inyectiva;6) f_

iIAi_=

iIf(Ai) para cada familia indicada de conjuntos Ai XiIsi ys olo si f es inyectiva;7) si f es sobreyectiva, entonces para cada A X es Y f(A) = f(X A) si y s olosi f es inyectiva;8) si g, h:ZX y f es inyectiva, entonces f g= f h implica que h = g;9) si g :Y X y g f= 1X, entonces f es inyectiva.Denici on 1.25. f :XYes biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. En talcaso, lacorrespondenciadenidapor f1:Y X, dondef1(y) =xsi ys olosif(x) = y, es una funci on.Proposici on 1.10. Sea f :XY , entonces:1) si f es biyectiva, entonces f1tambi en lo es;2) si f es biyectiva, entonces f1 f= 1X, f f1= 1Yy (f1)1= f;3) si g :Y X y g f= 1X y f g= 1Y, entonces f es biyectiva y g= f1;4) si f :XYy g :Y Z son biyectivas, entonces g f lo es y adem as (g f)1=f1 g1.1.4. Relaciones binariasDenici on 1.26. Dado un conjunto X, una relaci on binaria es R X X. Rse llama:1) reexiva, si para cada x X, es (x, x) R;2) sim etrica, si dado (x, y) R, entonces (y, x) R;3) antisim etrica, si (x, y) R e (y, x) R implica que x = y;4) transitiva, si dados (x, y), (y, z) R, entonces (x, z) R.Denici on 1.27. Una relaci on de equivalencia es una relaci on binaria reexiva, sim etricay transitiva. Se suele denotar por xRy en vez de (x, y) R.Denici on 1.28. Dada R una relaci on de equivalencia, se llama clase dex al conjunto[x]= y X:xRy. El conjunto cociente X/R, es el conjunto de todas las clases deequivalencia.12 Captulo 1. Repaso de algunas nociones b asicasProposici on 1.11. Algunas propiedades son:1) x [x] (x se llama representante de su clase), luego [x] ,= ;2) xRy si y s olo si [x] = [y];3) [x] ,= [y] si y s olo si [x] [y] = .Denici on 1.29. Una partici on de X es una familia T= Pi:i I de subconjuntosno vacos de X, tales que:(i) X=_iIPi, y(ii) si Pi ,= Pj, entonces Pi Pj= .Lema 1.12. Es equivalente dar una partici on deXque una relaci on de equivalenciasobre el.Denici on 1.30. Existe una aplicaci on can onica, p:XX/R, que asigna a cada ele-mento x su clase de equivalencia p(x) = [x]. Se llama aplicaci on cociente y es sobreyecti-va. Una vez dada la aplicaci on cociente, cada clase de equivalencia en X es precisamentep1(p(x)).Denici on 1.31. Una relaci on sobre X es un orden parcial si es una relaci on reexiva,antisim etrica y transitiva. Se dice tambi en que Xest a parcialmente ordenado. El ordense llama total, si dos elementos cualesquiera de X son comparables por esta relaci on.Denici on 1.32. Si X est a parcialmente ordenado por , entonces:(i) a X se llama elemento m aximo de X, si para cada x X, es x a;(ii) a X es un elemento maximal de X, si a , x para cada x ,= a;(iii) a X se llama elemento mnimo de X, si para cada x X, es x a,(iv) a X es un elemento minimal de X, si x , a para cada x ,= a.Ejemplo 1.5. SiX= a, b, c con el orden parciala b ya c, entoncesb es unelemento maximal de X, pero no un m aximo.Denici on 1.33. Un conjunto parcialmente ordenado en el cual todoA Xno vacoposee un elemento mnimo, se llama conjunto bien ordenado. Por ejemplo, (Z, ) noest a bien ordenado.1.5. Propiedades de los n umeros reales 131.5. Propiedades de los n umeros reales(R, ) es un conjunto totalmente ordenado, donde denota el orden usual en R.Denici on 1.34. Si A R, se tiene:1) si u R es tal que a u para cada a A, se dice que u es una cota superior de A;2) la menor de las cotas superiores de A (es decir, u es cota superior de A y para cada zcota superior de A es z u) es el supremo de A, y se denota sup(A);3) si l R es tal que a l para cada a A, se dice que l es una cota inferior de A;4) la mayor de las cotas inferiores de A (es decir, l es cota inferior de A y para cada zcota inferior de A es z l) es el nmo de A, y se denota nf(A).Teorema 1.13. (Axioma de la cota superior) Si A R est a acotado superiormente (esdecir, existe M R, tal que M a, para cada a A), existe el supremo de A. Y en talcaso, s = sup(A) si y s olo si:(i) para cada a A, es a s, y(ii) para todo > 0, existe a A tal que a> s .Del axioma anterior, se deduce que:Corolario 1.14. SiA R est a acotado inferiormente (es decir, existem R, tal quem a, para cada a A), existe el nmo de A. Y entonces, i =nf(A) si y s olo si:(i) para cada a A, es a i, y(ii) para todo > 0, existe a A tal que a< i + .Teorema 1.15. Res arquimediano, es decir, el conjunto Nno est a acotado superiormente.Demostraci on: Si lo estuviera, existirar0 R, tal quen r0 para cadan N. Peron0= [r0] + 1 N, y n0 , r0.Del teorema 1.15 se deducen inmediatamente:Corolario 1.16. (Propiedad arquimediana) Para todox>0, existen N, tal que0 0 e y> 0, existe n N, tal que nx > y;b) si x > 0, existe n N, tal que 0 0, existe n N, tal que n 1 x < n.Captulo 2Espacios topol ogicosA lo largo de casi toda la historia de las matem aticas, han ido apareciendo estructurasy especialidades motivadas por la necesidad de resolver problemas cuantitativos. Por ello,dichas estructuras u objetos matem aticos tenan cierta rigidez, forzados por el problema dela medida que intentaban resolver. Hasta hace unos doscientos a nos, ning un matem aticose interesaba por las propiedades cualitativas de los objetos a los que dedicaba su atenci on.Estas propiedades fueron apareciendo, por un lado, como simples observaciones a la exis-tencia de cualidades que no dependan de las magnitudes y que permitan distinguir diver-sos objetos entre s. Por otra parte, se hicieron necesarios al surgir el c alculo innitesimalcomo t ecnica que obligaba a considerar correctamente y formalizar las nociones vagas deproximidad y continuidad. Estos dos caminos, unas veces independiente y otras conjunta-mente, desembocaron a principios del siglo XX en la denici on correcta de proximidad,continuidad y propiedad cualitativa, es decir, se encontr o un objeto matem atico, un espa-cio topol ogico, en el que los anteriores conceptos tenan su verdadero signicado y dondetodas las intuiciones de las que se haba partido encontraban un tratamiento riguroso.En este curso se trata de exponer alguna de esas propiedades cualitativas que, haciendoabstracci on de toda medida y magnitud, son el fundamento de la topologa.2.1. Denici on de topologaLanoci ondetopologaesunageneralizaci ondealgunasdelaspropiedadesqueposeen los intervalos abiertos en la recta real, propiedades independientes de otras pre-sentes en R como la suma, el orden o la distancia.Denici on 2.1. Una topologa sobre un conjunto X es una familia T(X) vericando:(i) , X ,(ii) si A, B , entonces A B ,2324 Captulo 2. Espacios topol ogicos(iii) si AiiI , entonces_iIAi .Los elementos de se llaman abiertos y el par (X, ) es un espacio topol ogico.Ejemplos 2.1. Se introducen algunos ejemplos fundamentales:1) sobre X, ind= , X es la topologa indiscreta;2) sobre X, dis= T(X) es la topologa discreta;3) si X es innito, cof= A X: X A es nito es la topologa conita;4) si Xes innito no contable, coc= A X: X A es contable es latopologa cocontable;5) si X= a, b, sier= , X, a es la topologa de Sierpinski;6) si X y A X, A= B X: A B es la topologa A-inclusi on (observarque = dis y X= ind);7) si Xy A X, A= X B X: A B= es la topologa A-exclusi on(observar que = dis y X= ind);8) kol= , R (a, ): a R es la topologa de Kolmogorov sobre R, y el par(R, kol) es la recta de Kolmogorov;9) sca= U R : U= AB: A u, B I es la topologa scattered(esparcida)sobre R, y el par (R, sca) es la recta scattered;10) los espacios m etricos son espacios topol ogicos (ver 2.5, problema 6), por ejemplo larecta real (R, u).Observaci on 2.1. Sobre un mismo conjunto se pueden denir distintas topologas, comose ha visto en los ejemplos 2.1.Denici on 2.2. Dadas 1 y 2 dos topologas sobre X, se dice que 1 es menos na que 2(o que 2 es m as na que 1), si 1 2. Si 1 2 o 2 1, se dice que las topologasson comparables.Ejemplos 2.2. Algunos ejemplos de topologas comparables son:1) para cada X y toda topologa sobre el, es ind dis;2) sobre R, es cof u y cof coc; pero coc y u no son comparables;3) sobre R, kol u sca.2.2. Conjuntos abiertos y cerrados 252.2. Conjuntos abiertos y cerradosDenici on 2.3. En(X, ), un conjuntoA Xse dice cerrado, si su complementarioX A . Denotamos por ( a la familia de cerrados en (X, ).El concepto de conjunto cerrado es as dual de la noci on de conjunto abierto, y unatopologa puede especicarse a trav es de la familia de sus conjuntos cerrados (, tomandocomplementarios.Lema 2.1. En (X, ), la familia de cerrados ( verica:(i) , X (,(ii) si F, G (, entonces F G (,(iii) si FiiI (, entonces

iIFi (.Ejemplos 2.3. En los ejemplos anteriores de topologas, tenemos1) en (X, ind), es (ind= , X;2) en (X, dis), es (dis= T(X);3) si X es innito, (cof= A X: A es nito;4) si X es innito no contable, (coc= A X: A es contable;5) si X= a, b, (sier= , X, b;6) si X y A X, (A= A;7) si X y A X, (A= A;8) (kol= , R (, a] : a R;9) (sca= U R : B= F H: F (us, Q H.Observaci on 2.2. La propiedad de ser abierto o cerrado es independiente la una de la otra.Un conjunto puede ser simult aneamente abierto y cerrado, abierto y no cerrado, cerradoy no abierto o ninguna de las dos propiedades.26 Captulo 2. Espacios topol ogicos2.3. Base y subbase de una topologaHaytopologasqueposeendemasiadosabiertosyavecesesdifcilespecicarlostodos. Por ello, se introduce el siguiente concepto:Denici on 2.4. En (X, ), una familia es una base de , si para todo U y paracada x U, existe B , tal que x B U. Los elementos de se llaman abiertosb asicos.Lema 2.2. Si esbasede, todoabiertopuedeescribirsecomouni ondeabiertosb asicos.Teorema 2.3. Si T(X), es base de alguna topologa sobre X, si y s olo si:(i) X=_BB, y(ii) para cada B1, B2 y cada x B1B2, existe B3 tal que x B3 B1B2.Y, en tal caso, = U X: existe BiiI : U=_iIBi.Ejemplos 2.4. Algunos ejemplos de bases de topologa son:1) una topologa es obviamente base de s misma;2) sobre X, ind= X es base de la topologa indiscreta;3) sobreX, dis= x: x X es base de la topologa discreta. Adem as, =[a, b] : a, b R es base de la topologa discreta sobre R;4) si A X, A= A x : x X es base de la topologa A-inclusi on A;5) si A X, A= x : x X A X es base de la topologa A-exclusi on A;6) 1= (a, b) : a, b R, 2= (a, b) : a, b Q y 3= (a, b) : a, b I son basesde la topologa usual sobre R;7)sor= [a, b) : a 0, se denelabolaabiertadecentroxyradioporB(x, ) = yX: d(x, y) 0 tal queB(x, ) A.Probar que la familia de los conjuntos abiertos,d, es una topologa sobreX(es decir,la familia= B(x, ) : x X, >0 es base parad), llamada topologa m etrica(respectivamente, topologa pseudom etrica).Se dice que un espacio topol ogico(X, ) es metrizable (respectivamente, pseudometri-zable),siexisteunam etrica(respectivamente,unapseudom etrica)dsobreX,talque= d. Se pide:(i) pueden distintas m etricas enXgenerar la misma topologa? En este caso, se diceque las m etricas son topol ogicamente equivalentes;(ii) probar que (X, ind) no es metrizable, pero si pseudometrizable;(iii) probar que todo espacio metrizable es T1 y T2 es cierta esta propiedad para espaciospseudometrizables?(iv) si (X, |.|) es un espacio vectorial normado, queda denida una m etrica d. sobreX por dados x, y X, d.(x, y) = |x y|.7.- Probar que una partici on T de X es base de alguna topologa sobre X e identicarla.8.- Sea X un conjunto innito y = U X: X U es innito X. Es unatopologa sobre X?2.5. Problemas 319.- Probar que en (X, ) son equivalentes las siguientes condiciones:(i) (X, ) es T1; (ii) para cada x X, x =

C cerrado : x C;(iii) para cada x X, x (; (iv) para cada A X, A =

U : A U.10.- Sea X un conjunto nito. Si (X, ) es T1, probar que = dis.11.- Sea(X, ) un espacio topol ogicoT2yuna subbase de. Six ,=y, se puedeasegurar que existen U, V tales que x U, y Vy U V= ?12.- Sea X un conjunto innito y i: i I la familia de todas las topologas T2 sobreX. Probar que cof=nfiIi.13.-Sea(X, )unconjuntototalmenteordenado. Para, X, seconsideranlosconjuntos siguientes: V= x X: x < , B= x X: x > y M,= BV.Se pide:(i) probar que la familia = V, B, M,: , X es una base para una topologaord en X, llamada topologa del orden. Es (X, ord) T1? Y T2?;(ii) probar que el conjunto x X: x es cerrado, para cada , X;(iii) si se toma R (respectivamente, N) con el orden usual, cu al es la topologa del ordenasociada sobre R (respectivamente, N)?(iv) en [0, 1][0, 1] se considera el orden lexicogr aco: (a1, a2) 0;9) en (R, sca), se toma Bscax= Bux si x Q y Bscax= x si x I;10) ^x es una base local en x en (X, );11) cof y coc no tienen bases de entornos destacadas.Teorema 3.2. Sea (X, ) y BxxX un sistema fundamental de entornos. Se verica:(B1) para cada B Bx, es x B;(B2) si B1, B2 Bx, existe B3 Bx tal que B3 B1 B2;(B3) para cada B Bx, existe B0 Bx, tal que para cada y B0, existe By By talque By B; y adem as(B4) U si y s olo si para cada x U, existe B Bx, tal que B U.Y recprocamente, si a cada x X se le asigna una familia no vaca Tx de subconjuntosde X, vericando (B1) a (B3), y se usa (B4) para denir el concepto de conjunto abier-to, se obtiene una topologa sobre X, para la que TxxX es un sistema fundamentalde entornos en x.Una forma natural de construir bases locales es la siguiente:Lema 3.3. En (X, ), Bx= ^x es una base local en x.38 Captulo 3. Entornos3.3. Topologas y sistemas de entornosIntuitivamente, cuanto menores sean los entornos b asicos, m as nas ser an las topologasasociadas:Teorema3.4. (CriteriodeHausdorff)Sean1y2topologassobreXy B1xxX,B2xxXsistemasfundamentalesdeentornosasociados. Entonces, 12siys olosi para cada x X y cada B1 B1x, existe B2 B2x tal que B2 B1.Proposici on 3.5. En las mismas condiciones del teorema 3.4, 1 2 si y s olo si paracada x X, es ^1x ^2x.La unica diferencia entre las nociones de base local y base de topologa es que lasbases de entornos no constan necesariamente de conjuntos abiertos:Teorema 3.6. Sea (X, ) y . Entonces, es base de si y s olo si, para cada x X,la familia Bx= B : x B es una base local en x.Observaci on 3.1. En las deniciones de T1 y T2, se pueden reemplazar los abiertos porentornos o entornos b asicos.3.4. Problemas1.- En(X, ), se dice queN Xes un entorno deA N, si existeU , tal queA U N. Probar que N es un entorno de A si y s olo si para cada x A, es N ^x.2.- Probar que (X, ) es T1 si y s olo si para cada x X, x =

NNxN.3.- Describir los sistemas de entornos de cada punto en los espacios topol ogicos:(i) X= a, b, d, c y = X, , b, a, b, b, c, d;(ii) X= a, b, d, c, e y = X, , a, a, b, a, c, d, a, b, c, d, a, b, e.4.- Sea (X, d) un espacio m etrico. Probar que Bx= B(x,1n): n N es una base deentornos en x para la topologa inducida por la m etrica.5.- Sobre R, se considera:(1) si x ,= 0, Bx= (x , x +) : > 0,(2) B0= B,n: > 0, n N, donde B,n= (, n) (, ) (n, ).3.4. Problemas 39Probar que BxxR es un sistema fundamental de entornos, que dene una topologa lacsobre R. El par (R, lac) se llama recta enlazada. Comparar lac con la topologa usual deR y estudiar los axiomas de separaci on.6.- Sobre R se considera:1) si x ,= 0, Bx= (x , x +) : > 0, 2) B0= (, ) 1n: n N : > 0.Comprobar que BxxR es un sistema fundamental de entornos, comparar la topologagenerada con u y estudiar los axiomas de separaci on.7.- Determinar si en (R, u) los siguientes intervalos son entornos de 0: (12,12], (1, 0],[0,12) y (0, 1]. Probar que los conjuntos Q y I no pueden ser entornos de ning un punto.8.- Para R2, el semiplano superior cerrado, se considera:(1) B(x,y)=Bus((x, y), ) : >0 peque nopara que Bus((x, y), ) , para(x, y) , y ,= 0,(2) B(x,0)= (x, 0) Bus((x, ), ) : > 0.Probar que B(x,y)(x,y) es un sistema fundamental de entornos, que dene una topologamoo sobre . El par (, moo) se llama plano de Moore. Comparar moo con la topologaeucldea sobre y estudiar los axiomas de separaci on.9.- Se considera R[0,1]= f :[0, 1] R, y:(i) se dene U(f, F, )= g R[0,1]: x F, [f(x) g(x)[ 0. Probar que U(f, F, ):F [0, 1] nito, >0 formauna base de entornos enfpara una topologa,tyc, sobre R[0,1], que se denominatopologa de Tychonof ;(ii) para f R[0,1]y > 0, sea V (f, ) = g R[0,1]: x [0, 1], [g(x) f(x)[ < .Vericar que V (f, ) : > 0 forma una base de entornos en f para una topologa,ca sobre R[0,1], llamada topologa caja;(iii) comparar tyc y ca y estudiar los axiomas de separaci on para ambas topologas. 10.- Sean Ln= (x,1n) : x [0, 1) si n > 0, L0= (x, 0) : x (0, 1) y X=_n=0Ln.Se considera:(1) si n N y x ,= 0, B(x,1n)= (x,1n),(2) B(0,1n)= U Ln: (0,1n) U, LnU es nito,40 Captulo 3. Entornos(3) B(x,0)= (x, 0) (x,1n) : n > 0.Comprobar que B(x,y)(x,y)X es un sistema fundamental de entornos sobre X y estudiarlos axiomas de separaci on.11.- Sea([0, 1][0, 1], ord), donde la topologa del orden est a generada por el ordenlexicogr aco sobre [0, 1] [0, 1]. Describir los entornos de los puntos:(i)(x, 0) (con especial atenci on al(0, 0)) y(x, 1) (con especial atenci on al(1, 1)), six [0, 1],(ii) (x, y), para x, y (0, 1).12.- Para cada x R2, sea la familia:Bx= xD : D es disco centrado en x, al que le faltan un n umero nito de di ametros.Se pide:(i) comprobar que Bx es una base de entornos en x para una topologa, slo, en el plano.El par (R2, slo) se llama plano Slotted;(ii) comparar slo con la topologa usual; (iii) Es slo T2?(iv) se puede reemplazar, en la denici on, nito por numerable?13.- Sea Mn(R) el conjunto de las matrices n por n de n umeros reales. Dada una matrizA = (aij)i,j=1,...,n Mn(R) y r > 0, se dene:Ur(A) = (bij)i,j=1,...,n: [aij bij[ < r, i, j= 1, . . . , n.Probar que la familia BA= Ur(A):r>0 es una base de entornos en A, que generauna topologa en Mn(R). Estudiar los axiomas de separaci on.14.- SeaX=(R2 (0, 0)) 0+, 0, donde0+y0son dos puntos a nadidos aR2(0, 0). Para los puntos de R2(0, 0) se considera la familia de bolas usuales ypara los otros dos puntos se consideran las familiasB0+= B+ 0+ : > 0, B0= B 0 : > 0,dondeB+= (x, y): x2+ y20,B= (x, y): x2+ y2 0, existe V ^x tal que para cada y Ves f(y) > f(x) (respectiva-mente, f(y) < f(x) + ). Probar:(i) toda aplicaci on continuaf :(X, )(R, u) es semicontinua inferior y superior-mente. Recprocamente, toda aplicaci on semicontinua inferior y superiormente escontinua;(ii) sean las topologas sobre R, kol y scs= , R (, a): a R. Entonces,f :(X, )(R, u) es semicontinua inferiormente (respectivamente, semiconti-nua superiormente) si y s olo si la aplicaci onf :(X, )(R, Kol) (respectiva-mente, f :(X, )(R, scs)) es continua;(iii) sea fi:(X, )(R, u)iIuna familia de aplicaciones semicontinuas inferior-mente (respectivamente, semicontinuas superiormente). Se supone que I ,= y quepara cada x X el conjunto fi(x) : i I est a acotado superiormente (respecti-vamente, acotado inferiormente) en R. Entonces, la aplicaci on f :(X, )(R, u)66 Captulo 6. Continuidaddenida por f(x)=supiIfi(x) (respectivamente, f(x)= nfiIfi(x)) es semicontinuainferiormente (respectivamente, semicontinua superiormente);(iv) si A X, A es semicontinua inferiormente (respectivamente, semicontinua supe-riormente) si y s olo si A (respectivamente, A ().Captulo 7HomeomorsmosSe introduce aqu el concepto de igualdad topol ogica: cuando se dene una estructuramatem atica sobre ciertos conjuntos, la igualdad de esta estructura debe obligar a que losconjuntos subyacentes sean equivalentes. As, la igualdad entre las estructuras dadas deberealizarse a trav es de una funci on biyectiva. Adem as de esta condici on, se debe imponerque esta funci on y su inversa conserven la estructura. As, la igualdad topol ogica ven-dr a dada por lo que se llamar a un homeomorsmo. En algunas estructuras matem aticas(como los espacios vectoriales), si una funci on biyectivafconserva la estructura, au-tom aticamente se deduce que su inversa f1tambi en lo hace. Sin embargo, esto no ocurrecon los espacios topol ogicos.7.1. Aplicaciones abiertas y cerradasDenici on 7.1. Una funci on f :(X, X)(Y, Y ) se dice abierta si para cada U X,es f(U) Y. Y se dice cerrada, si para cada F (X, es f(F) (Y.Ejemplos 7.1. No hay ninguna relaci on entre las nociones de funci on continua, abierta ycerrada:1) la funci on id enticamente nula f :(R, u)(R, u) es continua, no abierta y cerrada;2) la funci on f :(R, u)(R, u) dada por f(x) = sin(x) si x 0 y f(x) = arctan(x)si x 0, es continua, no abierta y no cerrada;3) la primera proyecci on coordenada f :(R2, u)(R, u) dada por f(x1, x2) = x1 escontinua, abierta y no cerrada;4) la funci on f :(R, ind)(R, dis) dada por f(x) = 1 si x < 0, f(x) = 0 si x = 0y f(x) = 1 si x > 0 es no continua, abierta y cerrada;6768 Captulo 7. Homeomorsmos5) la funci on 1R:(R, dis)(R, dis) es continua, abierta y cerrada;6) la aplicaci onf :(R, u)([0, 1], u) dada porf(x) =0 six 0, f(x) =x si0 x 1 y f(x) = 1 si x 1 es continua, no abierta y cerrada;7) la primera proyecci on coordenada f :(, moo)([0, 1], u) es continua, abierta yno cerrada.A pesar de esto, las aplicaciones cerradas est an muy pr oximas a las aplicaciones abier-tas, ya que poseen la siguiente propiedad respecto a los abiertos saturadosLema 7.1. Si f :(X, X)(Y, Y ) es una aplicaci on cerrada, dado B Yy U Xtal que f1(B) U, existe V Y, tal que B Vy f1(V ) U.Y an alogamente, dualizando:Lema 7.2. Si f :(X, X)(Y, Y ) es una aplicaci on abierta, dado B Yy F (Xtal que f1(B) F, existe G (Y, tal que B G y f1(G) F.7.2. HomeomorsmosDenici on7.2. Unaaplicaci onf :(X, X)(Y, Y )esunhomeomorsmo, si fesbiyectiva, continua y de inversaf1continua. Se dice tambi en que(X, X) es homeo-morfo a (Y, Y ).Lema 7.3. Sif :(X, X)(Y, Y ) yg :(Y, Y )(Z, Z) son homeomorsmos, en-tonces:(i) f1:(Y, Y )(X, X) es un homeomorsmo;(ii) g f :(X, X)(Z, Z) es un homeomorsmo.Corolario 7.4. La relaci on ser homeomorfos es una relaci on de equivalencia sobre lafamilia de los espacios topol ogicos.Proposici on 7.5. Si f :(X, X)(Y, Y ) es una funci on biyectiva, son equivalentes:(i) f es un homemorsmo;(ii) f es continua y abierta;(iii) f es continua y cerrada;(iv) U X si y s olo si f(U) Y;7.3. Propiedades topol ogicas 69(v) F (X si y s olo si f(F) (Y;(vi) para cada A X, es f(A) = f(A);(vii) para cada A X, es f(A) = .. f(A);(viii) V Ysi y s olo si f1(V ) X;(ix) G (Ysi y s olo si f1(G) (X;(x) para cada B Y , es f1(B) = f1(B);(xi) para cada B Y , es f1(B) = .. f1(B).7.3. Propiedades topol ogicasDenici on 7.3. Una propiedad relativa a espacios topol ogicos se llama topol ogica, si seconserva bajo homeomorsmos.Proposici on 7.6. Son topol ogicas las propiedadesT1,T2,CI,CII, la separabilidad, lapropiedad de Lindel of y la metrizabilidad.Contraejemplo 7.1. Por ejemplo, la acotaci on (cuando tenga sentido hablar de este con-cepto) es un ejemplo de propiedad no topol ogica.Observaci on 7.1. Desde el punto de vista de la topologa, dos espacios homeomorfossonindistinguibles.Laimportanciadeestapropiedadradicaenque,cuandosetraba-jecon propiedadestopol ogicas,esposible reemplazarespacioscomplicadosporotroshomeomorfos a ellos, pero m as sencillos de manejar.7.4. Problemas 1.- Para los espacios y las aplicaciones f :(X, X)(Y, Y ) y g :(Y, Y )(Z, Z),probar:(i) si fy g son abiertas (respectivamente, cerradas), entonces g fes abierta (respecti-vamente, cerrada);(ii) si g f es abierta (respectivamente, cerrada) y f es continua y sobreyectiva, entoncesg es abierta (respectivamente, cerrada);70 Captulo 7. Homeomorsmos(iii) Si g fes abierta (respectivamente, cerrada) y g es continua e inyectiva, entoncesf es abierta (respectivamente, cerrada).2.- Sea f :(X, X)(Y, Y ) continua y abierta. Se pide probar:(i) si Bx una base local en el punto x, f(Bx) es base local en f(x);(ii) si adem as f es sobreyectiva y es base de X, entonces f() es base de Y.3.- Probar quef :(X, X)(Y, Y ) es abierta (respectivamente, cerrada), si y s olo sipara cada A X, es f(A) .. f(A) (respectivamente, f(A) f(A)).4.-Seaf :(X, X)(Y, Y )unaaplicaci onsobreyectivaycerrada.Probarqueparacada U X, se verica que fr(f(U)) f(U) f(X U).5.- Sea f :(X, X)(Y, Y ) una aplicaci on. Probar que son equivalentes:(i) f es cerrada; (ii) si U X, entonces y Y: f1(y) U Y;(iii) si F (X, entonces y Y: f1(y) F ,= (Y.6.- Dado un espacio topol ogico(X, ), se consideran las algebrasC(X) yC(X) in-troducidas en el problema 1 del apartado 6.3. Si (X, X) e(Y, Y ) son homeomorfos,qu e relaci on existe entre C(X) y C(Y )? Y entre C(X) y C(Y )?7.- Dos espacios discretos son homeomorfos si y s olo si poseen el mismo cardinal.8.- Dar un ejemplo de dos espacios topol ogicos (X, X) e (Y, Y ) no homeomorfos, perotales que exista una aplicaci on entre ellos, continua y biyectiva. 9.- Si n Z, se dene sobre R la topologa n, dada por la base n= u n. Probarque 1 ,= 2, pero que (R, 1) y (R, 2) son espacios homeomorfos.10.- Probar los siguientes enunciados:(i) toda aplicaci on f :(R, cof)(R, u) es cerrada;(ii) (R, u) y (R, cof) no son homeomorfos;(iii) toda aplicaci on f :(R, u)(R, u) biyectiva y continua, es abierta;(iv) toda aplicaci on sobreyectiva f :(X, cof)(Y, cof) es abierta y cerrada.7.4. Problemas 7111.- Sea [0,12]:([0, 1], u)(0, 1, dis). Probar que es sobreyectiva, abierta y cerrada,pero no continua.12.-SeaX,= yp, qX.SeaA= pyAlatopologaA-exclusi on.Estudiarla continuidad de la funci onf :([0, 1], u)(X, A) dada porf(x) =p six=0 yf(x) = q si x ,= 0.13.- Probar que son homeomorfos la bola cerrada ((x, y) R2:x2+ y2 1, u) y elcuadrado ((x, y) R2: [x[ 1, [y[ 1, u).14.- En este ejercicio se trata de denir la proyecci on estereogr aca:(i) la circunferencia unidad en el plano eucldeo es S1= (x1, x2) R2: x21 +x22= 1.Dado (a1, a2) S1 (0, 1), se considera la recta que pasa por (a1, a2) y (0, 1).Esta recta corta al eje de abscisas en el punto_a11a2, 0_. Se dene la aplicaci onh:(S1(0, 1), du)(R, du)porh(a1, a2) =a11a2. Probar queh es un ho-meomorsmo: es la proyecci on estereogr aca;(ii) An alogamente, para n 1, la esfera unidad en el espacio eucldeo de dimensi on n+1se dene por Sn= (x1, . . . , xn+1) Rn+1: x21 + . . . + x2n+1= 1. Probar que laaplicaci onh:(Sn(0, . . . , 0, 1), du)(Rn, du), dada porh(a1, . . . , an+1)=_a11an+1, . . . ,an1an+1_, es un homeomorsmo: es la proyecci on estereogr aca.15.- Probar que el espacio eucldeo (Rn, u) es homeomorfo al subespacio (En, u), dondeEn= (x1, , xn) Rn: x21 + + x2n< 1.16.- Probar que el n-smplice unidad (n, u), donde:n= (x1, , xn+1) Rn+1: xi 0, i 1, , n + 1,x1 + +xn+1= 1,es homeomorfo al cubo n-dimensional ([0, 1]n, u).17.- Probar los siguientes enunciados:(i) en (R, u), son homeomorfos todos los intervalos abiertos;(ii) no son homeomorfos ((0, 1), u) y ([0, 1], u);(iii) ((0, 1), dis) y ([0, 1], dis) son homeomorfos;(iv) (N, u) y (Q, u) no son homeomorfos;(v) (S1, u) no es homeomorfa a ((0, 1), u).72 Captulo 7. Homeomorsmos18.- Probar que los espacios eucldeos siguientes son dos a dos homeomorfos:(i) el cilindro vertical X= (x, y, z) R3: x2+y2= 1,(ii) el plano privado del origen Z= R2(0, 0),(iii) la corona circular W= (x, y) R2: 1 < x2+ y2< 4,(iv) la esfera privada de los polos norte y sur, U= S2 N, S, donde N= (0, 0, 1) yS= (0, 0, 1),(v) el cono privado de su v ertice V= (x, y, z) R3: x2+ y2= z2, z> 0.19.- Probar que el primer cuadrante del plano((x, y) R2: x 0, y 0, u) y elsemiplano ((x, y) R2: y 0, u) son homeomorfos.20.- Probar que las siguientes son propiedades topol ogicas:(i) X es equipotente a N;(ii) la topologa sobre X tiene el cardinal de N;(iii) existe A X, equipotente a N y denso;(iv) X es metrizable;pero, no son propiedades topol ogicas:(i) la topologa sobre X est a generada por la m etrica d;(ii) X es un subconjunto de R.21.-Seandosaplicacionesf :(X, X)(Y, Y )yg :(Y, Y )(X, X)continuas,tales que f g= 1Yy g f= 1X. Probar que f y g son homeomorsmos.22.- Sean f :(X, X)(Y, Y ) un homeomorsmo y g :(Y, Y )(Z, Z). Probar queg es continua si y s olo si g f lo es.23.- Sean f :(X, X)(Y, Y ) una aplicaci on abierta y cerrada, una aplicaci on continua:(X, X)([0, 1], u) y para cada y Y , (y) = sup(x) : f(x) = y. Probar que es continua.24.- Sean (X, ) y H(X,)= h:(X, )(X, ) : h homeomorsmo. Se pide probar:(i) con la composici on de funciones como operaci on, H(X,) es un grupo;(ii) si X= [0, 1] y A = (0, 1) X, sea : H(X,)H(A,A) denida por (h) = h[A.Entonces, es un isomorsmo de grupos, aunque los espacios involucrados (X, )y (A, A) no son homeomorfos.Bibliografa[AF] C. Adams and R. Franzosa; Introduction to Topology Pure and Applied, Pren-tice Hall, 2008.[Ad] I. Adamson; A General Topology Workbook, Birkh auser, 1995.[AP] A.V. Arkhangelskii and V. I. Ponomarev; Fundamentals of General Topolo-gy: Problems and Exercises, Reidel, 1983.[Ar] M.A. Armstrong; Topologa B asica, Revert e, 1987.[ADQ] R. Ayala, E. 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