Topologia Sin Dolor - Sydney Morris

TOPOLOGA SIN DOLOR

1

SIDNEY A. MORRIS

Versin del August 19, 2010

2

Traducciones de partes del libro (versin de octubre de 2007) al

rabe (por la Sra. Alia Mari Al Nuaimat)

Chino (por el Dr. Fusheng Bai)

Persa (por el Dr. Asef Nazari Ganjehlou)

Ruso (por el Dr. Eldar Hajilarov)

Espaol (por el Dr. Guillermo Pineda-Villavicencio)

estn ahora disponibles.

1

cDerechos reservados 1985-2010. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida por proceso alguno, enninguna forma o por ningn medio, sin permiso previo por escrito del autor.

Si desea un versin imprimible de este libro, por favor envie un email a [email protected] con

su nombre su direccin postal (no su email), y su compromiso de respetar los derechos del autor, no brindando la clave, ni copia impresa o digital a nadiems. (Profesores pueden utilizar este material en sus clases y comentarle a sus estudiantes sobre el libro,

pero no pueden proveer a los mismos con una copia del libro o con la contrasea. Los estudiantes deben

contactarme directamente.)

2

Este libro est siendo actualizado y expandido continuamente; se anticipa que existirn alrededor de quince

captulos en total. Si usted descubriera algn error o deseara sugerir mejoras, por favor enve un email a

[email protected].

Contents

Comentarios del Traductor 1

0 Introduccin 2

0.1 Reconocimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.2 Lectores: Ubicaciones y Profesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.3 Cumplidos de los Lectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.4 El Autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Espacios Topolgicos 12

1.1 Topologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Conjuntos Abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Topologa Conita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 Postdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 La Topologa Euclidiana 34

2.1 Topologa Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Base de una Topologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Base de una Topologa Dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Postdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Puntos Lmites 56

3.1 Puntos Lmites y Clausura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Postdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Homeomorsmos 71

4.1 Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 Homeomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Espacios No Homeomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4 Postdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2

CONTENTS 3

5 Funciones Continuas 90

5.1 Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2 Teorema del Valor Intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3 Postdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6 Espacios Mtricos 105

6.1 Espacios mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2 Convergencia de secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.3 Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.4 Contracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.5 Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.6 Postdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Bibilografa 150

ndice 165

Comentarios del Traductor

sta es una traduccin al espaol del libro Topology without tears del profesor Sidney Morris,

versin de octubre de 2007.

El profesor Sidney Morris sin duda ha escrito un excelente texto sobre topologa general,

y de esta forma nos ha entregado una invaluable obra pedaggica, colmada de una exposicin

cautivante, ejemplos esclarecedores y ejercicios interesantes.

Cuando existieron varias posibles traducciones para un trmino determinado, el traductor

agreg una nota de pie en la forma de Nota del traductor para aclarar esta ambivalencia. Las

notas del traductor tambin introdujeron observaciones relevantes.

Si descubriera algn error en la versin en espaol de este libro, por favor enve un email a

[email protected]

Guillermo Pineda-Villavicencio

Ballarat, August 19, 2010

1

Chapter 0

Introduccin

La topologa es una importante e interesante rama de las matemticas, cuyo estudio no slo

introduce nuevos conceptos y teoremas sino que pone en contexto viejas nociones como la de

funcin continua. Sin embargo, slo decir esto no le dara la verdadera signicacin a la topologa.

La topologa es tan importante que su inuencia se evidencia en casi todas las otras ramas

de la matemticas. Por lo que su estudio es relevante para todos aquellos que aspiren a ser

matemticos, independientemente de que su especializacin sea (actualmente o en el futuro)

lgebra, anlisis, teora de categoras, teora del caos, mecnica continua, dinmica, geometra,

matemtica industrial, biologa matemtica, economa matemtica, matemtica nanciera, modelacin

matemtica, fsica matemtica, matemtica de las comunicaciones, teora de nmeros, matemtica

numrica, investigacin de operaciones o estadsticas. (La bibliografa sustancial al nal de este

libro basta para indicar que la topologa ciertamente tiene relevancia en todas estas reas, y en

muchas ms.) Nociones topolgicas como compacidad, conexidad y densidad son tan bsicas para

los matemticos de hoy como las nociones de conjunto y funcin lo eran para los matemticos de

la pasada centuria.

La topologa tiene diferentes ramastopologa general (tambin conocida como topologa

conjuntista), topologa algebraica, topologa diferencial y lgebra topolgicasiendo la primera,

topologa general, la puerta para el estudio de las otras. En este libro yo pretendo brindar una

base slida en topologa general. Cualquiera que concienzudamente se estudie los primeros diez

captulos y resuelva al menos la mitad de los ejercicios tendr ciertamente esa base.

Para el lector que no haya previamente estudiado una rea axiomtica de las matemticas

como lgebra abstracta, aprender a escribir demostraciones ser difcil. Para asistirlo en ese

empeo, frecuentemente en los captulos iniciales, incluyo un comentario que no forma parte de

la demostracin, pero esboza el proceso de razonamiento que llev a la misma.

Los comentarios son indicados de la manera siguiente:

2

3Para arribar a la demostracin, utilic cierto proceso de razonamiento, el cual pudiera

ser llamado fase de descubrimiento o fase experimental.

Sin embargo, el lector aprender que aunque la experimentacin es muchas veces

esencial, nada puede substituir una demostracin formal.

El libro contiene muchos ejercicios. Solamente trabajando en un buen nmero de ejercicios,

usted ser capaz de dominar el curso. Yo no he proporcionado respuestas a los ejercicios, y no

tengo intencin de hacerlo. En mi opinin, hay sucientes ejemplos y demostraciones en el texto,

lo que hace innecesario brindar soluciones a los ejerciciosde hecho es probablemente no deseable

hacerlo. Muy frecuentemente incluyo conceptos nuevos en los ejercicios, pero los conceptos que

considero fundamentales, en la mayora de los casos, son introducidos nuevamente en el texto.

Los ejercicios de mayor dicultad son indicados con un *.

Los lectores de este libro pudieran desear comunicarse entre ellos para debatir dicultades,

soluciones a ejercicios, comentarios sobre el libro y lecturas adicionales. Para hacer esto ms

fcil, he creado un grupo en Facebook llamado Topology Without Tears readers. Todos ustedes

son bienvenidos para unirse al grupo, slo deben enviarme un email a ([email protected])

pidindolo.

Finalmente, debo mencionar que los avances matemticos son entendidos mejor cuando se

consideran en su contexto histrico. En su forma actual, este libro no aborda sucientemente el

contexto histrico. Por el momento me tengo que conformar con notas sobre personalidades de

la topologa en el Apndice 2siendo estas notas extradas en gran medida de The MacTutor

History of Mathematics Archive [207]. Se anima al lector a visitar el sitio The MacTutor History

of Mathematics Archive [207], y leer los artculos completos, as como tambin leer artculos sobre

otras personalidades. Pero una buena comprensin de la historia raramente se obtiene leyendo de

una sla fuente.

Considerando el contexto histrico, todo lo que dir es que la mayora de la topologa descrita

en este libro fue descubierta en la primera mitad del siglo veinte. Y se pudiera decir que el

centro de gravedad en este perodo de descubrimiento fue Polonia. (Las fronteras se han movido

considerablemente.) Sera justo decir que la Segunda Guerra Mundial cambi el centro de gravedad

permanentemente. El lector debe consultar el Apndice 2 para entender este crptico comentario.

4 CHAPTER 0. INTRODUCCIN

0.1 Reconocimientos

Partes de versiones anteriores de este libro fueron usadas en la Universidad La Trobe, la Universidad

de New England, la Universidad de Wollongong, la Universidad de Queensland, la Universidad

de South Australia, el Colegio Urbano de New York, y la Universidad de Ballarat durante los

ltimos 30 aos. Deseo agradecer a aquellos estudiantes que criticaron las versiones anteriores

e identicaron errores. Agradecimientos especiales van a Deborah King y a Allison Plant por

sealar numerosos errores y aquezas en la presentacin. Gracias tambin a otros colegas, como

Carolyn McPhail, Ralph Kopperman, Karl Heinrich Hofmann, Rodney Nillsen, Peter Pleasants,

Georey Prince, Bevan Thompson y Ewan Barker, quines leyeron varias versiones y ofrecieron

sugerencias para mejorar el texto. Gracias tambin a Jack Gray, cuyas excelentes notas de clases

Teora de Conjuntos y Aritmtica Transnita

1

en la Universidad de New South Wales, escritas

en los aos 70, inuenciaron nuestro Apndice sobre la Teora de Conjuntos Innitos.

En varias partes de este libro, especialmente en el Apndice 2, existen notas histricas.

Aqu aprovecho para reconocer dos fuentes maravillosas Bourbaki [30] y The MacTutor History of

Mathematics Archive [207].

0.2 Lectores: Ubicaciones y Profesiones

Este libro ha sido usado por actuarios de seguros; qumicos; cibernticos; economtristas; economistas;

ingenieros aeronuticos, mecnicos, elctricos, informticos, espaciales y de telecomunicaciones;

estudiantes de nanzas; matemticos puros y aplicados; comerciantes; lsofos; fsicos; psiclogos;

desarrolladores de software; y estadsticos en Alemania, Argelia, Argentina, Australia, Austria,

Bangladesh, Belars, Blgica, Belice, Bolivia, Brasil, Bulgaria, Cambodia, Camern, Canad,

Chile, China, Colombia, Corea del Norte, Costa Rica, Croacia, Cuba, Dinamarca, Egipto, los

Emiratos rabes Unidos, Eslovenia, Espaa, los Estados Unidos de Amrica (EUA), Estonia,

Etiopa, Fiji, Las Filipinas, Finlandia, Francia, Gana, Gaza, Grecia, Holanda, Hungra, India,

Indonesia, Irn, Iraq, Islandia, Islas Mauricio, Israel, Italia, Jamaica, Japn, Kenia, Kuwait,

Lituania, Luxemburgo, Malasia, Malta, Mxico, Nicaragua, Nigeria, Noruega, Pakistn, Paraguay,

Per, Polonia, Portugal, Qatar, el Reino Unido, la Repblica Checa, Rumania, Rusia, Serbia y

Montenegro, Sierra Leona, Singapur, Sudfrica, Sudn, Suecia, Suiza, Tailandia, Taiwn, Trinidad

y Tobago, Tnez, Turqua, Uruguay, Ucrania, Uzbekistn, Venezuela y Vietnam.

El libro es referenciado en http://www.econphd.net/notes.htm, un sitio diseando para

1

Nota del traductor: Traduccin de Set Theory and Transnite Arithmetic.

0.3. CUMPLIDOS DE LOS LECTORES 5

divulgar referencias tiles para cursos de las disciplinas fundamentales que enfrentan los graduados

de Economa, y en el Atlas de Topologa, un recurso en Topologa http://at.yorku.ca/topologa/educ.htm.

0.3 Cumplidos de los Lectores

T. Lessley, EUA: Encantador trabajo, bellamente escrito.

E. Ferrer, Australia: Sus notas son fantsticas.

E. Yuan, Germany: Realmente es un libro fantstico para principiantes en topologa.

S. Kumar, India: Muy impresionado con el sencillo tratamiento del tema, el cual puede serseguido fcilmente por no especialistas en matemticas.

Pawin Siriprapanukul, Tailandia: Me estoy preparando para emprender estudios doctoralesen Economa y encuentro su libro realmente til para entender el complejo tema de topologa.

Hannes Reijner, Suecia: Pienso que es excelente.

G. Gray, EUA: Maravilloso texto.

Dipak Banik, India: Bella nota.

B. Prago Jr, EUA: Explica la topologa a un estudiante universitario muy bien.

Tapas Kumar Bose, India: Una coleccin excelente de informacin.

Eszter Csernai, Hungra: Soy un estudiante universitario de economa matemtica. . . Estoyseguro que lo que le voy a decir lo ha escuchado varias veces, pero lo repetir de todas

maneras: el libro es absolutamente brillante!.

Christopher Roe, Australia: Permtame primero agradecerle por escribir su libro TopologaSin Dolor

2

? Aunque es probablemente bastante bsico para usted, leerlo me ha resultado

una experiencia maravillosa.

Jeanine Dorminey, EUA: Actualmente estoy tomando un curso de topologa, y estoy teniendouna inusual dicultad con la clase. Yo he estado leyendo la versin digital de su libro en

lnea y me ha ayudado mucho.

2

Nota del traductor: Traduccin de Topology Without Tears.


Tarek Fouda, EUA: Yo estudio un curso avanzado de anlisis matemtico en el Instituto deTecnologa Stevens para obtener un ttulo de Master en Ingeniera Financiera. Es la primera

vez que me expongo a la asignatura de topologa. Yo compr algunos libros, pero encuentro

que su libro es el nico que explica la materia de una manera tan interesante que yo deseara

tenerlo conmigo todo el tiempo, para leerlo en el tren o en la escuela.

Ahmad Al-Omari, Malasia: Yo soy un estudiante de doctorado en UKM. Mi rea deinvestigacin es topologa general, y he encontrado su libro muy interesante.

Jose Vieitez, Uruguay: En este semestre yo estoy enseando topologa en la Facultad deCiencias de Universidad de la Repblica. Me gustara tener una versin imprimible de su

(muy buen) libro.

Muhammad Y. Bello, Profesor de Matemticas, Universidad Bayero, Nigeria: Su librodigital `Topologa Sin Dolor' es un excelente recurso para cualquiera que est aprendiendo

topologa. Yo enseo algunos cursos de anlisis que asumen conocimientos bsicos de

topologa. Desafortunadamente, algunos de mis estudiantes o no tienen tales conocimientos

o los han olvidado. Despus de leer su libro, observo que su libro sera una buena fuente

para refrescar y/o proveer estos conocimientos a los estudiantes.

Prof. Dr. Ljubomir R. Savic, Instituto de Mecnica y Teora de las Estructuras, Universidadde Belgrado, Serbia: Yo estoy aprendiendo topologa y he encontrado su libro maravilloso.

Mi especialidad es Mecnica Continua y Anlisis Estructural.

Pascal Lehmann, Alemania: Tengo que imprimir su fantstico libro para escribir notas enel margen de las hojas.

Profesor Luis J. Alias, Departamento de Matemtica de la Universidad de Murcia, Espaa:Acabo de descubrir su excelente libro 'Topologa Sin Dolor'. Durante este curso, yo ensear

un curso de topologa general (en realidad, comenzar mi curso maana por la maana).

Yo comenc a ensear este curso el ao pasado, y esencialmente me gui por el libro de

Munkres 'Topologa' (segunda edicin), del cual cubr los captulos 2, 3, parte del 4, el 5, y

parte del 9. He estado leyendo su libro y realmente lo he disfrutado. Me gusta muchsimo,

especialmente la forma en la que usted introduce conceptos nuevos, y adems los consejos y

observaciones claves que da a los estudiantes.

Daniel Nkemzi, Profesor, Departamento de Fsica, Universidad de Buea, Camern: Despusde muchos aos de dicultades para comprender las nociones bsicas de topologa, sin xito


alguno, me di por vencido! Entonces, recientemente encontr por casualidad su libro, un

regalo de Dios, mientras navegaba por la Internet. Hojeando las pginas del libro me convenc

que si no entiendo la asignatura usando este texto, ningn otro libro me podr ayudar.

Gabriele. E.M. Biella, MD PhD, Jefe de Investigaciones, Instituto de Bioimagen Moleculary Fisiologa, Consejo Nacional de Investigacin, Italia: Soy una neurosiloga y estoy

tratando de obtener nuevas descripciones neurodinmicas de procesos sensoriales a travs de

un enfoque topolgico. Estoy leyendo su maravilloso libro.

Gabriele Luculli, Italia: Soy slo una estudiante joven, pero encuentro muy interesantela forma en que propone la asignatura de topologa, especialmente la presencia de tantos

ejercicios.

K. Orr, USA: Un libro excelente.

Profesor Ahmed Ould, Colombia: Permtame felicitarlo por la presentacin, simplicidad yclaridad del material.

Paul Unstead, EUA: Me gustan sus notas pues brindan muchos ejercicios concretos, y noasumen que el lector es un especialista en matemticas.

Alberto Garca Raboso, Espaa: Me gusta muchsimo.

Guiseppe Curci, Director de Investigaciones en Fsica Terica, Instituto Nacional de FsicaTerica, Pisa: Un agradable y esclarecedor libro sobre topologa.

M. Rinaldi, EUA: sta es, por mucho, la ms clara y mejor introduccin a la topologaque he visto. . . Cuando estudiaba sus notas los conceptos se me pegaban rpidamente, y sus

ejemplos son fantsticos.

Joaquin Poblete, Profesor de Economa, Universidad Catlica de Chile: He terminado deleer su libro, y realmente me gusta. Es muy claro y los ejemplos que brinda son muy

reveladores.

Alexander Liden, Suecia: He estado disfrutando la lectura, a travs de la computadora, desu libro pero me gustara tener una copia imprimible.

Francois Neville, EUA: Soy un estudiante de un curso de ingeniera espacial en la Universidadde Maine, y nuestro profesor ha recomendado su libro para la asignatura de Topologa con

mucho entusiasmo.


Hsin-Han Shen, EUA: Estoy haciendo un doctorado en nanzas en la Universidad Estatalde Nueva York en Bfalo. Su libro de topologa es muy detallado y ameno, lo cual es ideal

para un primer curso de topologa para un estudiante de doctorado cuya especialidad no es

matemtica, como es mi caso.

Degin Cai, EUA: Su libro es maravilloso.

Eric Yuan, Darmstadt, Alemania: Soy un estudiante de matemticas en la UniversidadTecnolgica de Darmstadt, y actualmente estoy estudiando topologa, y nuestro profesor

K.H. Homann recomend su libro `Topologa Sin Dolor' con mucho entusiasmo.

Martin Vu, Universidad de Oxford: Estoy haciendo una maestra en matemticas aplicadasaqu en Oxford. Ahora me estoy acostumbrando a los conceptos abstractos en matemticas,

el ttulo del libro 'Topologa Sin Dolor' tiene una abstraccin natural.

Ahmet Erdem, Turqua: Me gusta muchsimo.

Wolfgang Moens, Blgica:Soy un estudiante de pre-grado en el Katholieke UniversiteitLeuven. Me le la mayora de la primera parte del libro 'Topologa Sin Dolor' en cuestin de

horas. Antes de continuar, tengo que elogiarlo por la clara escritura y excelente estructura

(las cuales de ninguna manera pasaron desapercibidas!).

Duncan Chen, EUA: Usted debe de recibir correos electrnicos como ste frecuentemente,pero de todas formas me gustara agradecerle por el libro `Topologa Sin Dolor'. Soy un

desarrollador de software y disfruto leer matemticas.

Maghaisvarei Sellakumaran, Singapur: Dentro de poco me voy a los EUA para hacer undoctorado en economa. Encuentro su libro sobre topologa extremadamente bueno.

Tom Hunt, EUA: Gracias por poner este magnco texto a disposicin de todos en Internet.

Fausto Saporito, Italia: Estoy leyendo su ameno libro, y es el mejor que he visto sobre estamateria.

Takayuki Osogami, EUA: Comenc a leer su libro 'Topologa Sin Dolor' en lnea, y encuentroque es un material muy agradable para aprender topologa y conceptos matemticos en

general.

Roman Knll, Alemania: Gracias por permitirme leer su maravilloso libro. 'Topologa SinDolor' me ayud mucho, y recuper de alguna manera mi inters en las matemticas, el cual

haba perdido debido a clases no sistemticas y memorizaciones superciales.


Yuval Yatskan, EUA: Le ech un vistazo al libro, y parece ser un trabajo maravilloso.

N.S. Mavrogiannis, Grecia: Es un muy buen trabajo.

Semih Tumen, Turqua: S que los doctorados en economa demandan el aprendizaje debastante matemticas, por lo que mientras revisaba los tpicos necesarios, encontr su libro

extremadamente til.

Pyung Ho Kim, EUA: Actualmente soy un estudiante de doctorado. . . Estoy aprendiendogeografa econmica, y encuentro que su libro es excelente para aprender los conceptos

bsicos de topologa.

Javier Hernndez, Turqua: Estoy realmente agradecido a todos aquellos, que al igual queusted, dedican esfuerzos a compartir sus conocimientos con otros, sin pensar solamente en

los benecios que podran tener al ocultar el candil debajo de la mesa y obtener dinero para

que podamos detectar la luz.

J. Chand, Australia: Muchas gracias por producir 'Topologa Sin Dolor'. Su libro esfantstico.

Richard VandeVelde, EUA: Dos aos atrs lo contact para obtener una copia imprimiblede 'Topologa Sin Dolor' para mi uso personal. En ese momento estuve enseando un curso

combinado de pre-grado y post-grado en topologa. Le di a los estudiantes la direccin para

acceder en lnea al texto. Incluso cuando no segu los temas en exactamente el mismo orden

que usted presenta, uno de los mejores estudiantes de la clase indic que yo deba presentar

el libro como el nico texto requerido para la clase. Pienso que es una recomendacin muy

agradable. Bueno, la historia se repite, y dos aos ms tarde estoy enseando nuevamente

el mismo curso a una audiencia similar. Por lo que me gustara ser capaz de descargar una

versin completa del texto.

Profesor Sha Xin Wei, Facultad de Bellas Artes y Ciencia de la Computacin, Universidadde Concordia, Canad: Cumplidos a su texto sobre topologa!, el cual ha sido escrito de una

manera muy cuidadosa y humana. Me gustara adoptarlo para un curso que introduzca la

belleza en matemticas a ambiciosos intelectuales y artistas. Es siempre un placer encontrar

trabajos como el suyo que trasmiten ideas sin compromiso alguno.

Profesor Auxiliar Rehana Bari, Bangladesh: Estoy enseando topologa en una maestra enel Departamento de Matemticas de la Universidad de Dhaka, Bangladesh. Pudiera tener

una copia de su maravilloso libro 'Topologa Sin Dolor' para mi uso personal?


Long Nguyen, USA Nunca haba visto un libro tan claro que tratase un tema tan difcil.

Renato Orellana, Chile, Felicitaciones por su maravilloso libro. Le los primeros captulosy los disfrut muchsimo. Pens que la topologa no estaba a mi alcance, pero ahora me

declaro optimista.

M.A.R. Khan, Karachi, Pakistn: Gracias por acordarse del estudiante del Tercer Mundo.

0.4 El Autor

El autor es Sidney (Shmuel) Allen Morris, Jefe Acadmico de la Escuela Australiana de Tecnologa

y Administracin (siglas en ingls ATMC, Australian Technical and Management College) y

Profesor Emrito de la Universidad de Ballarat, Australia. Hasta abril del 2010. l fue Profesor

de informtica y Decano de la Facultad de Postgrado de Tecnologa de la Informacin y Ciencias

Matemticas de la Universidad de Ballarat. l ha sido Profesor de matemticas en la Universidad

de Australia del Sur, la Universidad de Wollongong y la Universidad de Nueva Inglaterra. El

profesor Morris tambin ha trabajado en la Universidad de Nueva Gales del Sur, la Universidad

La Trobe, la Universidad de Adelaida, la Universidad de Tel Aviv, la Universidad de Tulane, y en

el Colegio Universitario de Gales del Norte en Bangor.

El Profesor Morris gan el premio Lester R. Ford de la Asociacin Matemtica de Amrica

y un premio por servicio distinguido de la Sociedad Australiana de Computacin. l ha servido

como Editor en Jefe de la revista Prctica e Investigacin en Tecnologa de la Informacin, Editor

del Boletn de la Sociedad Australiana de Matemticas, Editor de la revista de Teora de Grupos, y

como Editor en Jefe de la Coleccin de Disertaciones Australianas de Matemticas, una coleccin

de libros publicados por la editorial de la Universidad de Cambridge.

El Profesor Morris ha publicado alrededor de 140 artculos de investigacin en revistas

internacionales, y cuatro libros

1. con Karl Heinrich Hofmann, La Teora Lie de los Grupos Pro-Lie Conexos: Una Teora

Estructural para lgebras Pro-Lie, Grupos Pro-Lie y Grupos Compactos Localmente Conexos,

Casa Editorial de la Sociedad Europea de Matemticas, xv + 678 pgs, ISBN 978-3-03719-

032-6;

2. con Karl Heinrich Hofmann, La Estructura de los Grupos Compactos: Un Libro Elemental

para el Estudiante-Una Gua de Referencias para el Experto, Editorial de Gruyter, Edicin

Revisada y Aumentada, xviii + 858 pgs, ISBN 978-3-11-019006-9 (ISBN10: 3-11-019006-0);

0.4. EL AUTOR 11

3. La Dualidad de Pontryagin y la Estructura de los Grupos Abelianos Localmente Compactos,

Editorial de la Universidad de Cambridge, 1977, 136 pgs. (traducido al ruso y publicado

por la Editorial Mir);

4. con Arthur Jones y Kenneth R. Pearson, lgebra Abstracta e Imposibilidades Famosas,

Editorial Springer-Verlag, 1ra Ed. 1992, ISBN 0-387-97661-2, 2da. impresin corregida

1993, ISBN 3-540-97661-2.

El Profesor Morris es Miembro Honorario Vitalicio de la Sociedad Australiana de Matemticas,

donde sirvi como Vice-Presidente, y miembro de su Concejo por 20 aos.

El Profesor Morris naci en Brisbane en 1947, se gradu de Licenciado en Ciencias (con

honores) en la Universidad de Queensland, y un ao ms tarde, recibi un Doctorado en Filosofa

de la Universidad de Flinders. En su carrera profesional l ha ocupado los siguientes cargos de

direccin: Jefe de Departamento, Decano, Vice-Presidente de la Junta Acadmica, Vice-Presidente

del Senado Acadmico, Vice-Decano, Vice-Rector, Vice-Presidente, y Jefe Acadmico.

cDerechos reservados 1985-2010. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida por procesoalguno, en ninguna forma o por ningn medio, sin permiso previo por escrito del autor.

Chapter 1

Espacios Topolgicos

Introduccin

El tenis, el ftbol, el bisbol y el hockey pudieran ser juegos emocionantes, pero para jugarlos se

tiene primero que aprender (algunas de) las reglas del juego. Las matemticas no son diferentes.

Por lo que comenzamos con las reglas para la topologa.

Este captulo comienza con la denicin de una topologa, y continua mostrando algunos

ejemplos sencillos: espacios topolgicos nitos, espacios discretos, espacios indiscretos

1

y espacios

con la topologa conita

2

.

La topologa, al igual que otras ramas de las matemticas, como la teora de grupos, es una

materia axiomtica. Comenzamos con un conjunto de axiomas y luego usamos estos axiomas para

demostrar proposiciones y teoremas. Es extremadamente importante que el lector desarrolle su

habilidad para escribir demostraciones.

Por qu las demostraciones son importantes? Suponga que nuestra tarea es construir un

edicio. Nosotros comenzaramos con los cimientos. En nuestro caso stos son los axiomas o

denicionestodo lo dems se construye sobre ellos. Cada teorema o proposicin representa un

nuevo nivel de conocimiento y tiene que estar jado rmemente al nivel anterior. El nuevo nivel se

ja al anterior a travs de un demostracin. Por lo que los teoremas y las proposiciones representan

las nuevas alturas del conocimiento adquirido, mientras que las demostraciones son esenciales pues

ellas son el cemento que ja los teoremas y proposiciones al nivel anterior. Sin demostraciones la

estructura colapsara.

1

Nota del traductor: Traduccin de indiscrete spaces.

2

Nota del traductor: Traduccin de conite topology, la cual tambin se conoce como nite-closed topology.

12

1.1. TOPOLOGA 13

Entonces qu es una demostracin matemtica?

Una demostracin es un argumento irrefutable que comienza con la informacin inicial que

ha sido suministrada, avanza a travs de argumentos lgicos (previamente demostrados) y naliza

con lo que fue pedido demostrar.

Usted debe comenzar una demostracin escribiendo toda la informacin que ha sido dada,

y entonces escribir lo que se requiere demostrar. Si la informacin dada o lo que se requiere

demostrar contiene trminos tcnicos, entonces debe escribir las deniciones de esos trminos.

Cada demostracin debe estar compuesta de oraciones completas. Cada una de estas oraciones

debe ser una consecuencia de (i) lo que ha sido expuesto anteriormente o (ii) un teorema, una

proposicin o un lema previamente demostrado.

En este libro ver muchas demostraciones, pero note que las matemticas no son un juego

pasivo. Ellas son un juego participativo. La nica forma de aprender a escribir demostraciones es

tratando de escribirlas por s mismo.

1.1 Topologa

1.1.1 Deniciones. Sea X un conjunto no vaco. Una coleccin de subconjuntos deX se dice que es una topologa sobre X si

(i) X y el conjunto vaco, , pertenecen a ,

(ii) la unin de cualquier nmero (nito o innito) de conjuntos en pertenece a , y

(iii) la interseccin de dos conjuntos cualesquiera de pertenece a .

El par (X; ) se llama espacio topolgico.

1.1.2 Ejemplo. Sean X = fa; b; c; d; e; fg y

1 = fX;; fag; fc; dg; fa; c; dg; fb; c; d; e; fgg:

Entonces 1 es una topologa sobre X, pues satisface las condiciones (i), (ii) y (iii) de lasDeniciones 1.1.1.

14 CHAPTER 1. ESPACIOS TOPOLGICOS

1.1.3 Ejemplo. Sean X = fa; b; c; d; eg y

2 = fX;; fag; fc; dg; fa; c; eg; fb; c; dgg:

Entonces 2 no es una topologa sobre X, porque la unin

fc; dg [ fa; c; eg = fa; c; d; eg

de dos miembros de 2 no pertenece a 2 ; es decir, 2 no satisface la condicin (ii) de lasDeniciones 1.1.1.


3 = fX;; fag; ffg; fa; fg; fa; c; fg; fb; c; d; e; fgg :

Entonces 3 no es una topologa sobre X, pues la interseccin

fa; c; fg \ fb; c; d; e; fg = fc; fg

de dos conjuntos en 3 no pertenece a 3 ; es decir, 3 no satisface la condicin (iii) de lasDeniciones 1.1.1.

1.1.5 Ejemplo. Sea N el conjunto de todos los nmeros naturales (es decir, el conjuntode todos los enteros positivos), y denote por 4 la coleccin formada por N, , y todos lossubconjuntos nitos de N. Entonces 4 no es una topologa sobre N, pues la unin innita

f2g [ f3g [ [ fng [ = f2; 3; : : : ; n; : : : g

de elementos de 4 no pertenece a 4 ; es decir, 4 no cumple la propiedad (ii) de las Deniciones1.1.1.

1.1.6 Deniciones. Sean X cualquier conjunto no vaco, y la coleccin de todos lossubconjuntos de X. Entonces es llamada la topologa discreta sobre el conjunto X. Elespacio topolgico (X; ) se llama espacio discreto.

Notemos que en las Deniciones 1.1.6 satisface las condiciones de las Deniciones 1.1.1, ypor lo tanto es ciertamente una topologa.

Observe que el conjunto X en las Deniciones 1.1.6 puede ser cualquier conjunto no vaco.

Por lo que existe un nmero innito de espacios discretosuno por cada conjunto X.

1.1. TOPOLOGA 15

1.1.7 Deniciones. Sean X un conjunto no vaco cualquiera y = fX;g. Entonces es llamada la topologa indiscreta y (X; ) se dice que es un espacio indiscreto.

Una vez ms tenemos que chequear que satisface las condiciones de las Deniciones 1.1.1,y comprobar que es ciertamente una topologa

3

.

Observemos nuevamente que el conjunto X en las Deniciones 1.1.7 puede ser cualquier

conjunto no vaco. Por lo que existe un nmero innito de espacios indiscretosuno por cada

conjunto X.

En la introduccin de este captulo discutimos la importancia

de las demostraciones, y lo que involucra escribirlas. Nuestro

primer contacto con una demostracin es en el Ejemplo 1.1.8 y la

Proposicin 1.1.9. El estudiante debe estudiar estas demostraciones

cuidadosamente.

3

Nota del traductor: la topologa indiscreta tambin se conoce como topologa trivial o grosera.


1.1.8 Ejemplo. Si X = fa; b; cg y es una topologa sobre X con fag 2 , fbg 2 yfcg 2 , demuestre que es la topologa discreta.

Demostracin.

Dado que es una topologa y que fag 2 , fbg 2 y fcg 2 , se nos pidedemostrar que es la topologa discreta; es decir, tenemos que demostrar que (segnlas Deniciones 1.1.6) contiene todos los subconjuntos de X. Recuerde que esuna topologa, y por lo tanto satisface las condiciones (i), (ii) y (iii) de las Deniciones

1.1.1.

Por lo que comenzaremos nuestra demostracin anotando todos los subconjuntos de

X.

El conjunto X tiene 3 elementos, lo que implica que X tiene 23 subconjuntos distintos.

Ellos son: S1 = , S2 = fag, S3 = fbg, S4 = fcg, S5 = fa; bg, S6 = fa; cg, S7 = fb; cg yS8 = fa; b; cg = X.Se requiere demostrar que cada uno de estos conjuntos est en . Como es una topologa,las Deniciones 1.1.1 (i) implican que X y estn en ; es decir, S1 2 y S8 2 .Es dado que fag 2 , fbg 2 y fcg 2 ; es decir, S2 2 , S3 2 y S4 2 .Para completar la demostracin, necesitamos mostrar que S5 2 , S6 2 y S7 2 . Pero

S5 = fa; bg = fag [ fbg. Como fag y fbg estn en , las Deniciones 1.1.1 (ii) implican que suunin tambin est en ; es decir, S5 = fa; bg 2 .Igualmente, S6 = fa; cg = fag [ fcg 2 y S7 = fb; cg = fbg [ fcg 2 .

En los comentarios introductorios de este captulo observamos que las matemticas no son

un juego pasivo. Usted debe ser un participante activo. Por supuesto que su participacin incluye

la realizacin de algunos de los ejercicios. Pero ms que eso se espera de usted. Usted tiene que

reexionar sobre el material que se le ha presentado.

Una de sus tareas es mirar los resultados que demostramos y hacerse preguntas pertinentes.

Por ejemplo, hemos demostrado que si cada uno de los conjuntos fag; fbg y fcg est en yX = fa; b; cg, entonces es la topologa discreta. Usted debe preguntarse si ste no es ms queun ejemplo de un fenmeno ms general; es decir, si (X; ) es cualquier espacio topolgico tal que

1.1. TOPOLOGA 17

contiene cada conjunto unitario4, es necesariamente la topologa discreta? La respuesta ess, y sto es demostrado en la Proposicin 1.1.9.

1.1.9 Proposicin. Si (X; ) es un espacio topolgico tal que, para cada x 2 X, elconjunto unitario fxg pertenece a , entonces es la topologa discreta.

Demostracin.

Este resultado es una generalizacin del Ejemplo 1.1.8. Consiguientemente, usted

pudiera esperar que la demostracin sea similar. Sin embargo, nosotros no podemos

listar todos los subconjuntos de X como hicimos en el Ejemplo 1.1.8, porque X pudiera

ser un conjunto innito. No obstante, tenemos que demostrar que cada subconjunto

de X est en .

En este momento usted pudiera intentar demostrar el resultado para algunos casos

especiales, por ejemplo pudiera considerar que X est compuesto de 4, 5 o incluso

100 elementos. Pero este enfoque est condenado al fracaso. Recuerde nuestros

comentarios en este captulo donde denimos una demostracin matemtica como un

argumento irrefutable. Nosotros no podemos producir un argumento irrefutable si slo

consideramos unos pocos casos especiales, ni tampoco si consideramos un gran nmero

de casos. El argumento irrefutable tiene que cubrir todos los casos. Por lo que tenemos

que considerar el caso general de un conjunto X arbitrario y no vaco. De alguna forma

tenemos que demostrar que cada subconjunto de X est en .

Mirando nuevamente la demostracin del Ejemplo 1.1.8, vemos que la clave es que

cada subconjunto de X es una unin de conjuntos unitarios de X, y ya sabemos que

todos los conjuntos unitarios estn en . Este hecho tambin es cierto en el caso general.

Comenzamos la demostracin anotando el hecho de que cada conjunto es una unin de sus

subconjuntos unitarios. Sea S cualquier subconjunto de X. Entonces

S =[x2Sfxg:

4

Nota del traductor: Traduccin de singleton set.


Como se conoce que cada fxg est en , las Deniciones 1.1.1 (ii) y la ecuacin anterior implicanque S 2 . Como S es un conjunto arbitrario de X, tenemos que la topologa discreta.El hecho de que todo conjunto S es una unin de sus subconjuntos unitarios es un resultado

que ocasionalmente usaremos en el libro en diferentes contextos. Note que esto se cumple incluso

cuando S = , pues podemos formar lo que se conoce como una unin vaca, y as obtenemos

como resultado.

Ejercicios 1.1

1. Sea X = fa; b; c; d; e; fg. Determine cules de las siguientes colecciones de subconjuntos deX son una topologa sobre X:

(a) 1 = fX; ; fag; fa; fg; fb; fg; fa; b; fgg;(b) 2 = fX; ; fa; b; fg; fa; b; dg; fa; b; d; fgg;(c) 3 = fX; ; ffg; fe; fg; fa; fgg.

2. Sea X = fa; b; c; d; e; fg. Cules de las siguientes colecciones de subconjuntos de X sonuna topologa sobre X? (Justique sus respuestas.)

(a) 1 = fX; ; fcg; fb; d; eg; fb; c; d; eg; fbgg;(b) 2 = fX; ; fag; fb; d; eg; fa; b; dg; fa; b; d; egg;(c) 3 = fX; ; fbg; fa; b; cg; fd; e; fg; fb; d; e; fgg:

3. Si X = fa; b; c; d; e; fg y es la topologa discreta sobre X, cules de las siguientesarmaciones son verdaderas?

(a) X 2 ; (b) fXg 2 ; (c) fg 2 ; (d) 2 ;(e) 2 X; (f) fg 2 X; (g) fag 2 ; (h) a 2 ;(i) X; (j) fag 2 X; (k) fg X; (l) a 2 X;(m) X ; (n) fag ; (o) fXg ; (p) a :[Consejo. Exactamente seis de las anteriores armaciones son verdaderas.]

4. Sea (X; ) un espacio topolgico cualquiera. Verique que la interseccin de cualquiernmero nito de miembros de es un miembro de .

1.1. TOPOLOGA 19

[Consejo. Para demostrar este resultado use induccin matemtica.]

5. Sea R el conjunto de todos los nmeros reales. Demuestre que cada una de las siguientescolecciones of subconjuntos de R es una topologa.

(i) 1 est compuesta de R, , y todo intervalo (n; n), para cualquier entero positivo n;(ii) 2 est compuesta de R, , y todo intervalo [n; n], para cualquier entero positivo n;(iii) 3 est compuesta de R, , y todo intervalo [n;1), para cualquier entero positivo n.

6. Sea N el conjunto de todos los enteros positivos. Demuestre que cada una de los siguientescolecciones de subconjuntos de N es una topologa.

(i) 1 est compuesta de N, , y todo conjunto f1; 2; : : : ; ng, para cualquier entero positivon. (sta es la llamada topologa del segmento inicial5.)

(ii) 2 est compuesta de N, , y todo conjunto fn; n + 1; : : : g, para cualquier enteropositivo n. (sta es la llamada topologa del segmento nal6.)

7. Liste todas las topologas posibles sobre los conjuntos siguientes :

(i) X = fa; bg ;(ii) Y = fa; b; cg.

8. Sea X un conjunto innito y una topologa sobre X. Si cada subconjunto innito de Xest en , demuestre que es la topologa discreta.

9.* Sea R el conjunto de todos los nmeros reales. Exactamente tres de las siguientes diezcolecciones de subconjuntos de R son topologas. Identifquelas y justique su respuesta.

(i) 1 est compuesta de R, , y todo intervalo (a; b), para nmeros reales cualesquiera ay b con a < b ;

(ii) 2 est compuesta de R, , y todo intervalo (r; r), para cualquier nmero real positivor;

(iii) 3 est compuesta de R, , y todo intervalo (r; r), para cualquier nmero racionalpositivo r;

5

Nota del traductor: Traduccin de initial segment topology.

6

Nota del traductor: Traduccin de nal segment topology.


(iv) 4 est compuesta de R, , y todo intervalo [r; r], para cualquier nmero racionalpositivo r;

(v) 5 est compuesta de R, , y todo intervalo (r; r), para cualquier nmero irrationalpositivo r;

(vi) 6 est compuesta de R, , y todo intervalo [r; r], para cualquier nmero irrationalpositivo r;

(vii) 7 est compuesta de R, , y todo intervalo [r; r), para cualquier nmero real positivor;

(viii) 8 est compuesta de R, , y todo intervalo (r; r], para cualquier nmero real positivor;

(ix) 9 est compuesta de R, , todo intervalo [r; r], y todo intervalo (r; r), paracualquier nmero real positivo r;

(x) 10 est compuesta de R, , todo intervalo [n; n], y todo intervalo (r; r), paracualquier nmero entero positivo n y cualquier nmero real positivo r.

1.2 Conjuntos Abiertos, Conjuntos Cerrados, y Conjuntos

Abiertos y Cerrados

En vez de continuamente referirnos a los miembros de , es ms conveniente dar a talesconjuntos un nombre. Los llamaremos conjuntos abiertos. Tambin le daremos un nombre a los

complementos de los conjuntos abiertos. Los llamaremos conjuntos cerrados. Esta terminologa

no es ideal, pero se deriva de los llamados intervalos abiertos e intervalos cerrados de la recta

numrica real. Este tema ser nuevamente abordado en el Captulo 2.

1.2.1 Denicin. Sea (X; ) cualquier espacio topolgico. Entonces los miembros de son llamados conjuntos abiertos.

1.2. CONJUNTOS ABIERTOS 21

1.2.2 Proposicin. Si (X; ) es cualquier espacio topolgico, entonces

(i) X y son conjuntos abiertos,

(ii) la unin de cualquier nmero (nito o innito) de conjuntos abiertos es un conjunto

abierto, y

(iii) la interseccin de cualquier nmero nito de conjunto abiertos es un conjunto abierto.

Demostracin. Claramente (i) y (ii) son consecuencias triviales de la Denicin 1.2.1 y las

Deniciones 1.1.1 (i) y (ii). La condicin (iii) se obtiene de la Denicin 1.2.1 y los Ejercicios 1.1

#4.

Leyendo la Proposicin 1.2.2, una pregunta debi haberles saltado a la mente: la unin

de cualquier nmero nito o innito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, mientras

que decimos que solamente intersecciones nitas de conjuntos abiertos son abiertas. Las

intersecciones innitas de conjuntos abiertos son siempre abiertas? El prximo ejemplo muestra

que la respuesta es no.

1.2.3 Ejemplo. Sean N el conjunto de todos los nmeros enteros positivos y una coleccincompuesta de y cada subconjunto S de N tal que el complemento de S en N, NnS, es un conjuntonito. Es fcil vericar que satisface las Deniciones 1.1.1, y por lo tanto es un topologa sobreN. (En la seccin prxima discutiremos esta topologa ms a fondo, la cual es llamada la topologaconita.) Para cada nmero natural n, dena el conjunto Sn de la siguiente forma:

Sn = f1g [ fn+ 1g [ fn+ 2g [ fn+ 3g [ = f1g [1[

m=n+1

fmg:

Claramente cada Sn es un conjunto abierto en la topologa , pues su complemento es un conjuntonito. Sin embargo,

1\n=1

Sn = f1g: (1)

Como el complemento de f1g no es N ni un conjunto nito, f1g no es un conjunto abierto. Por loque (1) muestra que la interseccin de los conjuntos abiertos Sn no es abierta.

Usted pudiera preguntarse: cmo encontr el ejemplo presentado en el Ejemplo 1.2.3? La

respuesta no es atractiva! Fue usando el mtodo de prueba y error.


Si consideramos, por ejemplo, la topologa discreta, veremos que toda interseccin de

conjuntos abiertos es ciertamente abierta. Lo mismo es cierto para la topologa indiscreta.

Entonces lo que usted necesita hacer son algunas suposiciones educadas.

Recuerde que para demostrar que la interseccin de conjuntos abiertos no es necesariamente

abierta, slo necesita encontrar un contraejemplo!

1.2.4 Denicin. Sea (X; ) un espacio topolgico. Un subconjunto S de X es unconjunto cerrado en (X; ) si su complemento en X, es decir X n S, es abierto en (X; ).

En el Ejemplo 1.1.2, los conjuntos cerrados son

; X; fb; c; d; e; fg; fa; b; e; fg; fb; e; fg y fag:

Si (X; ) es un espacio discreto, entonces es obvio que cada subconjunto de X es un conjuntocerrado. Sin embargo, en un espacio indiscreto, (X; ), los nicos conjuntos cerrados son X y .

1.2.5 Proposicin. Si (X; ) es un espacio topolgico, entonces

(i) y X son conjuntos cerrados,

(ii) la interseccin de cualquier nmero (nito o innito) de conjuntos cerrados es un

conjunto cerrado y

(iii) la unin de cualquier nmero nito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Demostracin. (i) sigue inmediatamente de la Proposicin 1.2.2 (i) y la Denicin 1.2.4,

puesto que el complemento de X es y el complemento de es X.

Sean S1; S2; : : : ; Sn conjuntos cerrados. Para demostrar que (iii) es cierto, necesitamos

demostrar que S1 [ S2 [ [ Sn es un conjunto cerrado. Para ello es suciente mostrar, porla Denicin 1.2.4, que X n (S1 [ S2 [ [ Sn) es un conjunto abierto.Como S1; S2; : : : ; Sn son conjuntos cerrados, sus complementos X n S1; X n S2; : : : ; X n Snson conjuntos abiertos. Pero

X n (S1 [ S2 [ [ Sn) = (X n S1) \ (X n S2) \ \ (X n Sn)7: (1)7

Nota de traductor: Esta identidad es conocida como Ley de De Morgan.

1.2. CONJUNTOS ABIERTOS 23

Como el miembro derecho de (1) es un interseccin nita de conjuntos abiertos, l es un

conjunto abierto. Por lo que el miembro izquierdo de (1) es un conjunto abierto. Por consiguiente,

S1 [ S2 [ [ Sn es un conjunto cerrado, y (iii) es verdadera.La demostracin de (ii) es similar a la de (iii). [Sin embargo, debe leer la advertencia en la

demostracin del Ejemplo 1.3.9.]

Advertencia. Los nombres abierto y cerrado frecuentemente llevan a novicios en el mundo

de la topologa a cometer errores. A pesar de los nombres, algunos conjuntos abiertos son

tambin conjuntos cerrados! Adems, algunos conjuntos no son abiertos ni cerrados! En efecto,

si consideramos el ejemplo Ejemplo 1.1.2, vemos que

(i) el conjunto fag es tanto abierto como cerrado;

(ii) el conjunto fb; cg no es abierto ni cerrado;

(iii) el conjunto fc; dg es abierto pero no cerrado;

(iv) el conjunto fa; b; e; fg es cerrado pero no abierto.

En un espacio discreto, cada conjunto es tanto abierto como cerrado, mientras que en un

espacio indiscreto (X; ), todos los subconjuntos de X, con la excepcin de X y , no son niabiertos ni cerrados.

Para enfatizar el hecho de que un conjunto puede ser tanto abierto como cerrado, introducimos

la denicin siguiente.

1.2.6 Denicin. Un subconjunto S de un espacio topolgico (X; ) es abierto ycerrado si es tanto un conjunto abierto como un conjunto cerrado en (X; ).

En cada espacio topolgico (X; ), tanto X como son conjuntos abiertos y cerrados8.

En un espacio discreto, todos los subconjuntos de X son abiertos y cerrados.

En un espacio indiscreto, los nicos conjuntos abiertos y cerrados son X y .

8

Nota del traductor: Actualmente, como traduccin de conjunto abierto y cerrado al idioma ingls, la frase

clopen set es generalmente aceptada.


Ejercicios 1.2

1. Liste todos los 64 subconjuntos del conjunto X en el Ejemplo 1.1.2. Escriba, al lado de cada

conjunto, si es (i) abierto y cerrado; (ii) ni abierto ni cerrado; (iii) abierto pero no cerrado;

(iv) cerrado pero no abierto.

2. Sea (X; ) un espacio topolgico con la propiedad de que cada subconjunto es cerrado.Demuestre que (X; ) es un espacio discreto.

3. Observe que si (X; ) es un espacio discreto o indiscreto, entonces cada conjunto abierto estambin un conjunto cerrado. Encuentre una topologa sobre el conjunto X = fa; b; c; dgque no sea discreta o indiscreta pero tenga la propiedad de que cada conjunto abierto tambin

sea cerrado.

4. Sea X un conjunto innito. Si es una topologa sobre X tal que cada subconjunto innitode X es cerrado, demuestre que es la topologa discreta.

5. Sea X un conjunto innito y una topologa sobre X con la propiedad de que el nicosubconjunto innito de X que es abierto es el propio X. Es (X; ) necesariamente unespacio indiscreto?

6. (i) Sea una topologa sobre un conjunto X tal que consta precisamente de cuatroconjuntos; es decir, = fX;; A;Bg, donde A and B son conjuntos propios y novacos de X. [A es un subconjunto propio de X si A X y A 6= X, sto se denotapor A X.] Muestre que A y B tienen que satisfacer exactamente una de las siguientescondiciones:

(a) B = X n A; (b) A B; (c) B A:[Consejo. Primeramente muestre que A y B tienen que satisfacer al menos una de las

condiciones y luego que no pueden satisfacer ms de una de ellas.]

(ii) Usando (i) liste todas las topologas sobre X = f1; 2; 3; 4g que constan de exactamentecuatro conjuntos.

1.3. TOPOLOGA COFINITA 25

1.3 La Topologa Conita

Es usual denir una topologa sobre un conjunto especicando cuales conjuntos son abiertos. Sin

embargo, a veces es ms natural describir la topologa especicando cuales conjuntos son cerrados.

La prxima denicin brinda un ejemplo de este tipo.

1.3.1 Denicin. Sea X un conjunto no vaco. Una topologa sobre X es llamadatopologa conita si los conjuntos cerrados de X son X y todos los subconjuntos nitos

de X; es decir, los conjuntos abiertos son y todos los subconjuntos de X que tienen

complemento nito.

Una vez ms es necesario chequear que en la Denicin 1.3.1 es ciertamente una topologa;es decir, que satisface cada una de las condiciones de las Deniciones 1.1.1.

Note que la Denicin 1.3.1 no dice que cada topologa que tenga a X y a los subconjuntos

nitos de X como conjuntos cerrados es la topologa conita. stos tienen que ser los nicos

conjuntos cerrados de la topologa. [Por supuesto, en la topologa discreta sobre cualquier conjunto

X, el conjunto X y todos los subconjuntos nitos de X son ciertamente cerrados, pero tambin

lo son todos los otros subconjuntos de X.]

En la topologa conita todos los conjuntos nitos son cerrados. Sin embargo, el siguiente

ejemplo muestra que los subconjuntos innitos no tienen que ser abiertos.

1.3.2 Ejemplo. Si N es el conjunto de todos los nmeros enteros positivos, entonces conjuntoscomo f1g, f5; 6; 7g, f2; 4; 6; 8g son nitos, y por consiguiente cerrados en la topologa conita.Consecuentemente, sus complementos

f2; 3; 4; 5; : : :g; f1; 2; 3; 4; 8; 9; 10; : : :g; f1; 3; 5; 7; 9; 10; 11; : : :g

son conjuntos abiertos en la topologa conita. Por otro lado, el conjunto de los enteros positivos

pares no es un conjunto cerrado puesto que no es nito, y por consiguiente su complemento, el

conjunto de los enteros positivos impares, no es un conjunto abierto en la topologa conita.

Por lo que, aunque todos los conjuntos nitos son cerrados, no todos los conjuntos innitos

son abiertos.


1.3.3 Ejemplo. Sea la topologa conita sobre un conjunto X. Si X tiene al menos 3subconjuntos distintos que son abiertos y cerrados, demuestre que X es un conjunto nito.

Demostracin.

Sabemos que es la topologa conita, y que existen al menos 3 subconjuntos distintosque son abiertos y cerrados.

Tenemos que demostrar que X es un conjunto nito.

Recuerde que si es la topologa conita, la familia de todos los conjuntos cerradosest formada por X y todos los subconjuntos nitos de X.

Tambin recuerde que en cada espacio topolgico existen al menos dos conjuntos

abiertos y cerrados, X y . (Vea el comentario que inmediatamente sigue la Denicin

1.2.6.) Pero se nos inform que en el espacio (X; ) existen al menos 3 subconjuntosdistintos que son abiertos y cerrados. sto implica que existe un conjunto abierto y

cerrado diferente de y X. Por lo que tendremos que mirar cuidadosamente este otro

conjunto!

Como nuestro espacio (X; ) tiene 3 subconjuntos distintos que son abiertos y cerrados,sabemos que existe un conjunto abierto y cerrado S de X tal que S 6= X y S 6= : Como S esabierto en (X; ), la Denicin 1.2.4 implica que su complemento X n S es un conjunto cerrado.Por lo tanto, S y X n S son cerrados en la topologa conita . Por consiguiente, S y X n Sson ambos nitos, pues los dos son distintos de X. Pero X = S [ (X n S) y por lo tanto X es launin de dos conjuntos nitos. De esta manera, X es un conjunto nito, como se requera.

Ahora conocemos tres topologas distintas que podemos denir sobre cualquier conjunto

innitoy existen muchas ms. Las tres que conocemos son la topologa discreta, la topologa

indiscreta, y la topologa conita. Por lo que tenemos que ser cuidadosos cuando especiquemos

la topologa sobre un conjunto.

Por ejemplo, el conjunto fn : n 10g es abierto en la topologa conita sobre el conjunto delos nmeros naturales, pero no es abierto en la topologa indiscreta. El conjunto de los nmeros

naturales impares es abierto en la topologa discreta sobre el conjunto de los nmeros naturales,

pero no es abierto en la topologa conita.


Ahora damos algunas deniciones que probablemente usted ya conozca.

1.3.4 Deniciones. Sea f una funcin de un conjunto X en un conjunto Y .

(i) La funcin f se llama inyectiva si f(x1) = f(x2) implica x1 = x2, para x1; x2 2 X;(ii) La funcin f se llama sobreyectiva si para cada y 2 Y existe un x 2 X tal que

f(x) = y;

(iii) La funcin f se llama biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva.

1.3.5 Deniciones. Sea f una funcin de un conjunto X en un conjunto Y . La funcin

f tiene una inversa si existe una funcin g de Y en X tal que g(f(x)) = x, para toda

x 2 X y f(g(y)) = y, para toda y 2 Y . La funcin g se llama funcin inversa de f .

La demostracin de la proposicin siguiente es dejada como ejercicio al estudiante.

1.3.6 Proposicin. Sea f una funcin de un conjunto X en un conjunto Y .

(i) La funcin f tiene una inversa si, y slo si, f es biyectiva.

(ii) Sean g1 y g2 funciones de Y en X. Si g1 y g2 son ambas funciones inversas de f , entonces

g1 = g2; es decir, g1(y) = g2(y), para toda y 2 Y .(iii) Sea g una funcin de Y en X. Entonces g es una funcin inversa de f si, y slo si, f es

una funcin inversa de g.

Advertencia. Es un error bastante comn de los estudiantes pensar que una funcin es inyectiva

si transforma un punto en otro punto.

Todas las funciones transforman un punto en otro punto. Ciertamente sto es parte de la

denicin de una funcin.

Una funcin inyectiva es una funcin que transforma puntos diferentes en puntos diferentes.


Ahora tratamos una nocin muy importante que usted pudiera no conocer.

1.3.7 Denicin. Sea f una funcin de un conjunto X en un conjunto Y . Si S es

cualquier subconjunto de Y , entonces el conjunto f1(S) es denido por

f1(S) = fx : x 2 X and f(x) 2 Sg:

El subconjunto f1(S) of X se llama la imagen inversa de S.

Note que una funcin inversa de f : X ! Y existe si, y slo si, f es biyectiva. Pero laimagen inversa de cualquier subconjunto de Y existe incluso si f no es inyectiva ni sobreyectiva.

El prximo ejemplo demuestra sto.

1.3.8 Ejemplo. Sea f una funcin del conjunto de los enteros, Z, en el mismo, dada porf(z) = jzj, para cada z 2 Z.La funcin f no es inyectiva, pues f(1) = f(1).No es tampoco sobreyectiva, pues no existe z 2 Z, tal que f(z) = 1. Por lo que f no esbiyectiva. Por consiguiente, por la Proposicin 1.3.6 (i), f no tiene funcin inversa. Sin embargo

las imgenes inversas ciertamente existen. Por ejemplo,

f1(f1; 2; 3g) = f1;2;3; 1; 2; 3gf1(f5; 3; 5; 7; 9g) = f3;5;7;9; 3; 5; 7; 9g: 2

Concluimos esta seccin con un ejemplo interesante.

1.3.9 Ejemplo. Sea (Y; ) un espacio topolgico y X un conjunto no vaco. Adems, sea funa funcin de X en Y . Ponga 1 = ff1(S) : S 2 g: Demuestre que 1 es una topologa sobreX.

Demostracin.

Nuestra tarea es mostrar que la coleccin de conjuntos, 1, es una topologa sobre X;es decir, tenemos que mostrar que 1 satisface las condiciones (i), (ii) y (iii) de lasDeniciones 1.1.1.


X 2 1 pues X = f1(Y ) y Y 2 : 2 1 pues = f1() y 2 :

Por lo tanto, 1 posee la propiedad (i) de las Deniciones 1.1.1.

Para vericar la condicin (ii) de las Deniciones 1.1.1, dena fAj : j 2 Jg como unacoleccin de miembros de 1 , para algn conjunto J de ndices. Tenemos que demostrar queS

j2J Aj 2 1: Como Aj 2 1, la denicin de 1 implica que Aj = f1(Bj), donde Bj 2 .Adems

Sj2J Aj =

Sj2J f

1(Bj) = f1S

j2J Bj: [Vea los Ejercicios 1.3 # 1.]

Como Bj 2 ; para todo j 2 J , tenemosS

j2J Bj 2 ; pues es una topologa sobre Y .Por lo tanto, por la denicin de 1; f1

Sj2J Bj

2 1; es decir,

Sj2J Aj 2 1.Por consiguiente, 1 posee la propiedad (ii) de las Deniciones 1.1.1.

[Advertencia. Se le recuerda que no todos los conjuntos son numerables. (Vea el Apndice

para comentarios sobre conjuntos numerables.) Por lo que no sera suciente, en el argumento

anterior, asumir que los conjuntos A1; A2: : : : ; An; : : : estn en 1 y mostrar que la uninA1 [ A2 [ : : : [ An [ : : : est en 1. sto demostrara solamente que la unin de un nmeronumerable de conjuntos en 1 est en 1, pero no demostrara que 1 posee la propiedad(ii) de las Deniciones 1.1.1 esta propiedad requiere que todas las uniones, numerables o no

numerables, de conjuntos de 1 estn en 1:]

Finalmente, sean A1 y A2 dos conjuntos en 1: Tenemos que mostrar que A1 \ A2 2 1:Como A1; A2 2 1; A1 = f1(B1) yA2 = f1(B2); donde B1; B2 2 :

A1 \ A2 = f1(B1) \ f1(B2) = f1(B1 \B2): [Vea los Ejercicios 1.3 #1.]

Como B1 \ B2 2 ; tenemos que f1(B1 \ B2) 2 1: Por consiguiente, A1 \ A2 2 1; yhemos demostrado que 1 tambin posee la propiedad (iii) de las Deniciones 1.1.1.

Por lo que 1 es ciertamente una topologa sobre X.


Ejercicios 1.3

1. Sea f una funcin de un conjunto X en un conjunto Y . Entonces en el Ejemplo 1.3.9 usamos

que

f1 [j2J

Bj=[j2J

f1(Bj) (1)

y

f1(B1 \B2) = f1(B1) \ f1(B2) (2)

para cualesquiera subconjuntos Bj de Y , y cualquier conjunto J de ndices.

(a) Demuestre que (1) es verdadero.

[Consejo. Comience la demostracin seleccionando un elemento arbitrario x del

conjunto de la parte izquierda y muestre que x pertenece al conjunto de la parte derecha.

Luego haga lo contrario.]

(b) Demuestre que (2) es verdadero.

(c) Encuentre conjuntos (concretos) A1; A2; X y Y , y una funcin f : X ! Y tal quef(A1 \ A2) 6= f(A1) \ f(A2); donde A1 X y A2 X:

2. Es la topologa descrita en los Ejercicios 1.1 #6 (ii) la topologa conita? (Justique surespuesta.)

3. Un espacio topolgico (X; ) se llama T1-espacio si cada conjunto unitario fxg es cerradoen (X; ): Muestre que exactamente dos de los siguientes nueve espacios topolgicos sonT1-espacios. (Justique su respuesta.)

(i) un espacio discreto;

(ii) un espacio indiscreto con al menos dos elementos;

(iii) un conjunto innito con la topologa conita;

(iv) Ejemplo 1.1.2;

(v) Ejercicios 1.1 #5 (i);

(vi) Ejercicios 1.1 #5 (ii);

(vii) Ejercicios 1.1 #5 (iii);

(viii) Ejercicios 1.1 #6 (i);


(ix) Ejercicios 1.1 #6 (ii).

4. Sea la topologa conita sobre un conjunto X. Si es adems la topologa discreta,demuestre que el conjunto X es nito.

5. Un espacio topolgico (X; ) se llama un T0-espacio si para cada par de elementos distintosa; b en X, o existe un conjunto abierto que contiene a y no b, o existe un conjunto abierto

que contiene b y no a.

(i) Demuestre que todo T1-espacio es un T0-espacio.

(ii) Cules de los incisos (i)(vi) en el Ejercicio 3 anterior son T0-espacios? (Justique su

respuesta.)

(iii) Dena una topologa sobre el conjunto X = f0; 1g tal que (X; ) sea un T0-espacio pero no un T1-espacio. [El espacio topolgico que se obtiene se llama espacio

Sierpinski.]

(iv) Demuestre que cada uno de los espacios topolgicos descritos en los Ejercicios 1.1 #6

es un T0-espacio. (Observe que en el Ejercicio 3 anterior vimos que ninguno es un

T1-espacio.)

6. Sea X un conjunto innito cualquiera. La topologa numerable-cerrada se dene como

la topologa que tiene como sus conjuntos cerrados al conjunto X y a todos los subconjuntos

numerables de X. Demuestre que sta es ciertamente un topologa sobre X.

7. Sean 1 y 2 dos topologas sobre un conjunto X. Demuestre cada una de las siguientesarmaciones.

(i) Si 3 es denida por 3 = 1 [ 2, entonces 3 no es necesariamente una topologasobre X. (Justique su respuesta, encontrando un ejemplo concreto.)

(ii) Si 4 es denida por 4 = 1 \ 2, entonces 4 es una topologa sobre X. (Latopologa 4 se llama interseccin de las topologas 1 and 2.)

(iii) Si (X; 1) y (X; 2) son T1-espacios, entonces (X; 4) es tambin un T1-espacio.

(iv) Si (X; 1) y (X; 2) son T0-espacios, entonces (X; 4) no es necesariamente un T0-espacio. (Justique su respuesta encontrando un ejemplo concreto.)


(v) Si 1; 2; : : : ; n son topologas sobre un conjunto X, entonces =nTi=1

i es untopologa sobre X.

(vi) Si para cada i 2 I, para algn conjunto I de ndices, cada i es una topologa sobre elconjunto X, entonces =

Ti2I i es un topologa sobre X.

1.4 Postdata

En este captulo introducimos la fundamental nocin de espacio topolgico. Como ejemplos,

vimos varios espacios topolgicos nitos

9

, as como tambin espacios discretos, espacios indiscretos

y espacios con la topologa conita. Ninguno de stos constituye un ejemplo particularmente

importante en los que respecta a aplicaciones. Sin embargo, en los Ejercicios 4.3 #8, se hace

notar que todo espacio topolgico innito contiene un espacio topolgico innito con una de las

siguientes cinco topologas: la topologa indiscreta, la topologa discreta, la topologa conita, la

topologa del segmento inicial, o la topologa del segmento nal de los Ejercicios 1.1 #6. En el

prximo captulo describiremos la muy importante topologa euclidiana.

En nuestro caminos nos encontramos con los trminos conjunto abierto y conjunto cerrado,

y fuimos advertidos que estos nombres pueden ser engaosos. Un conjunto puede ser tanto abierto

como cerrado, ni abierto ni cerrado, abierto pero no cerrado, o cerrado pero no abierto. Es

importante recordar que no podemos demostrar que un conjunto es abierto mostrando que no es

cerrado.

Adems de las deniciones de topologa, espacio topolgico, conjunto abierto, y conjunto

cerrado, el tema ms signicativo cubierto fue la escritura de demostraciones.

En los comentarios iniciales de este captulo, sealamos la importancia de aprender a escribir

demostraciones. En el Ejemplo 1.1.8, la Proposicin 1.1.9, y el Ejemplo 1.3.3, hemos visto como

examinar una demostracin. Es esencial que el estudiante desarrolle sus propias habilidades para

escribir demostraciones. Buenos ejercicios para lograr este objetivo incluyen los Ejercicios 1.1 #8,

los Ejercicios 1.2 #2,4, y los Ejercicios 1.3 #1,4.

Algunos estudiantes se confunden por la nocin de topologa, pues involucra conjuntos de

conjuntos. Para chequear su comprensin, haga los Ejercicios 1.1 #3.

9

Para nosotros un espacio topolgico nito es un espacio topolgico (X; ) donde el conjunto X es nito.

1.4. POSTDATA 33

Los ejercicios incluyeron las nociones de T0-espacio y T1-espacio, los cules sern introducidos

formalmente ms adelante. stos son conocidos como propiedades de separacin.

Finalmente enfatizamos la importancia de las imgenes inversas. stas son tratadas en el

Ejemplo 1.3.9 y en los Ejercicios 1.3 #1. Nuestra denicin de funcin continua depender de la

nocin de imagen inversa.

Chapter 2

La Topologa Euclidiana

Introduccin

En una pelcula o una novela usualmente existen varios protagonistas alrededor de los cuales la

trama se desarrolla. En la trama de la topologa, la topologa Euclidiana sobre el conjunto de

los nmeros reales es uno de los protagonistas. Ciertamente, es un ejemplo tan importante que

frecuentemente recurriremos a l para futuros anlisis e inspiracin.

Denote por R el conjunto de todos los nmeros reales. En el Captulo 1 vimos tres topologasque pueden ser denidas sobre cualquier conjunto: la topologa discreta, la topologa indiscreta

y la topologa conita. Por lo que ya conocemos tres topologas que podemos denir sobre el

conjunto R. Otras seis topologas sobre R fueron denidas en los Ejercicios 1.1 #5 y #9. Eneste captulo describiremos una topologa sobre R que es mucho ms importante e interesante, latopologa Euclidiana.

El anlisis de la topologa Euclidiana nos guiar a la nocin de base de una topologa. En

el estudio de lgebra lineal aprendimos que cada espacio vectorial tiene una base, y que cada

vector es una combinacin lineal de los miembros de la base. Igualmente, en un espacio topolgico

cada conjunto abierto puede ser expresado como una unin de miembros de una base del espacio.

Ciertamente, un conjunto es abierto si, y slo si, es una unin de miembros de la base.

34

2.1. TOPOLOGA EUCLIDIANA 35

2.1 La Topologa Euclidiana sobre RRR

2.1.1 Denicin. Un subconjunto S de R se llama abierto en la topologa Euclidianasobre R si tiene la propiedad siguiente:

() Por cada x 2 S; existen a; b en R, con a < b, tal que x 2 (a; b) S:

Notacin. Siempre que nos reramos al espacio topolgico R sin especicar la topologa,asumiremos R con la topologa Euclidiana.

2.1.2 Observaciones. (i) La topologa Euclidiana es una topologa.

Demostracin.

Tenemos que demostrar que satisface las condiciones (i), (ii), y (iii) de las Deniciones1.1.1.

Conocemos que un conjunto est en si, y slo si, tiene la propiedad ().

Primeramente, mostramos que R 2 . Sea x 2 R. Si ponemos a = x 1 y b = x + 1,entonces x 2 (a; b) R; es decir, R tiene la propiedad () y por lo tanto, R 2 . En segundolugar, 2 pues tiene la propiedad () por defecto.Sea fAj : j 2 Jg una familia de miembros de , para algn conjunto J de ndices. Entoncestenemos que mostrar que

Sj2J Aj 2 ; es decir, tenemos que mostrar que

Sj2J Aj tiene la

propiedad . Sea x 2 Sj2J Aj: Entonces x 2 Ak, para algn k 2 J . Como Ak 2 , existena y b en R con a < b tal que x 2 (a; b) Ak. Como k 2 J , Ak

Sj2J Aj y por lo tanto

x 2 (a; b) Sj2J Aj: Por consiguiente, Sj2J Aj tiene la propiedad (), y de esta forma est en ,como era requerido.

Finalmente, tome A1 y A2 en . Tenemos que mostrar que A1 \ A2 2 . Sea y 2 A1 \ A2,entonces y 2 A1: Como A1 2 ; existen a y b en R con a < b tal que y 2 (a; b) A1: Ademsy 2 A2 2 : Por lo que existen c y d en R con c < d tal que y 2 (c; d) A2: Sea e el mayor de ay c, y f el menor de b y d. Se puede chequear fcilmente que e < y < f; y por lo tanto y 2 (e; f):Como (e; f) (a; b) A1 and (e; f) (c; d) A2; deducimos que y 2 (e; f) A1 \ A2: Porconsiguiente, A1 \ A2 tiene la propiedad (), implicando que est en :Consecuentemente, es ciertamente una topologa sobre R. 2

36 CHAPTER 2. LA TOPOLOGA EUCLIDIANA

Ahora procedemos a describir los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados en la topologa

Euclidiana sobre R. En particular, veremos que todos los intervalos abiertos son en efecto conjuntosabiertos en esta topologa y que todos los intervalos cerrados son conjuntos cerrados.

(ii) Sean r; s 2 R con r < s. En la topologa Euclidiana sobre R, el intervalo abierto(r; s) ciertamente pertenece a , siendo por lo tanto un conjunto abierto.

Demostracin.

Sabemos que (r; s) es un intervalo abierto, y tenemos que mostrar que (r; s) es abierto

en la topologa Euclidiana; es decir, tenemos que mostrar que (r; s) tiene la propiedad

() de la la Denicin 2.1.1.Por lo que comenzaremos tomando x 2 (r; s), y queremos encontrar a y b en R con

a < b tal que x 2 (a; b) (r; s):

Sea x 2 (r; s): Escoja a = r y b = s. Entonces claramente

x 2 (a; b) (r; s):

Por lo que, (r; s) es un conjunto abierto en la topologa Euclidiana. 2

(iii) Los intervalos abiertos (r;1) and (1; r) son conjuntos abiertos en R, para cadanmero real r.

Demostracin.

Primeramente, mostraremos que (r;1) es un conjunto abierto; es decir, que tiene lapropiedad ().Para mostrar esto, tomamos x 2 (r;1) y buscamos a; b 2 R tal que

x 2 (a; b) (r;1):

Sea x 2 (r;1). Ponga a = r y b = x + 1. Entonces x 2 (a; b) (r;1) y por lo tanto(r;1) 2 :Un argumento similar muestra que (1; r) es un conjunto abierto en R. 2


(iv) Es importante notar que mientras cada intervalo abierto es un conjunto abierto en R,lo contrario es falso. No todos los conjuntos abiertos en R son intervalos. Por ejemplo, el conjunto(1; 3) [ (5; 6) es un conjunto abierto en R, pero no es un intervalo abierto. Incluso el conjuntoS1

n=1(2n; 2n+ 1) es un conjunto abierto en R. 2

(v) Para cada c y d en R con c < d, el intervalo cerrado [c; d] no es un conjunto abierto enR.

Demostracin.

Tenemos que mostrar que [c; d] no posee la propiedad ().Para hacer esto, es suciente encontrar un x para el cual no existan a; b que tengan

la propiedad ().Claramente, c y d son puntos especiales en el intervalo [c; d]. Por lo que escogeremos

x = c y mostraremos que no existen a; b con la propiedad requerida.

Aqu usamos el mtodo de demostracin llamado demostracin por contradiccin.

Suponemos que existen a y b con la propiedad requerida y mostramos que esto lleva a

una contradiccin, es decir, algo que es falso. Consecuentemente, la suposicin es falsa!

Por lo que, no existen tales a y b, y obtenemos que [c; d] no posee la propiedad (), ycomo consecuencia, no es conjunto abierto.

Observe que c 2 [c; d]: Suponga que existen a y b en R con a < b tal que c 2 (a; b) [c; d]:Entonces, c 2 (a; b) implica que a < c < b, y por lo tanto, a < c+a

2< c < b: Como consecuencia,

c+a22 (a; b) y c+a

2=2 [c; d]: Por consiguiente, (a; b) 6 [c; d]; lo cual es una contradiccin. Por lo queno existen a y b tal que c 2 (a; b) [c; d]: De este modo, [c; d] no posse la propiedad (), y por lotanto [c; d] =2 : 2

(vi) Por cada a y b en R con a < b, el intervalo cerrado [a; b] es un conjunto cerrado en latopologa Euclidiana sobre R.

Demostracin. Para ver que [a; b] es cerrado, solamente tenemos que observar que, como

su complemento (1; a) [ (b;1) es la unin de dos conjuntos abiertos, (1; a) [ (b;1) es unconjunto abierto. 2


(vii) Cada conjunto unitario fag es cerrado en R.

Demostracin. El complemento de fag es la unin de los dos conjuntos abiertos (1; a) and(a;1), por lo que es un conjunto abierto. Como resultado, fag es cerrado en R, como se requera.[En la terminologa de los Ejercicios 1.3 #3, esto nos dice que R es un T1-espacio.] 2

(viii) Note que podamos haber incluido (vii) en (vi) simplemente reemplazando a < b por

a b. El conjunto unitario fag no es ms que el caso degenerado del intervalo cerrado [a; b]. 2

(ix) El conjunto Z de todos los enteros es un subconjunto cerrado de R.

Demostracin. El complemento de Z es la uninS1

n=1(n; n + 1) de subconjuntos abiertos

(n; n+ 1) de R, por lo que es abierto en R. Por consiguiente, Z es cerrado en R. 2

(x) El conjunto Q de todos los nmeros racionales no es un subconjunto cerrado de R nies un subconjunto abierto de R.

Demostracin.

Mostraremos que Q no es un conjunto abierto demostrando que ste no posee lapropiedad ().Para hacer esto, basta con mostrar que Q no contiene ningn intervalo (a; b) con

a < b.

Suponga que (a; b) Q; donde a y b estn en R con a < b. Entre cualesquiera dos nmerosreales distintos existe un nmero irracional. (Puede probarlo?) Por consiguiente, existe c 2 (a; b)tal que c =2 Q. Esto contradice el hecho de que (a; b) Q. Como resultado, Q no contiene ningnintervalo (a; b), por lo que no es un conjunto abierto.

Para probar que Q no es un conjunto cerrado basta con demostrar que RnQ no es un conjuntoabierto. Usando el hecho de que entre cualesquiera dos nmeros reales distintos existe un nmero

racional, vemos que R n Q no contiene ningn intervalo (a; b) con a < b. Por lo que R n Q no esabierto en R, y por consecuencia Q no es cerrado en R. 2


(xi) En el Captulo 3 demostraremos que los nicos subconjuntos abiertos y cerrados de Rson los triviales, es decir, R y . 2

Ejercicios 2.1

1. Demuestre que si a; b 2 R con a < b entonces ni [a; b) ni (a; b] es un subconjunto abierto deR. Tambin muestre que ninguno de los dos es un subconjunto cerrado de R.

2. Demuestre que los conjuntos [a;1) y (1; a] son subconjuntos cerrados de R.

3. Muestre, a travs de un ejemplo, que la unin de un nmero innito de subconjuntos cerrados

de R no es necesariamente un subconjunto cerrado de R.

4. Demuestre cada una de las armaciones siguientes.

(i) El conjunto Z de todos los enteros no es un subconjunto abierto de R.

(ii) El conjunto S de todos los nmeros primos es un subconjunto cerrado de R, pero no essubconjunto abierto de R.

(iii) El conjunto P de todos los nmeros irracionales no es subconjunto cerrado ni es unsubconjunto abierto de R.

5. Si F es un subconjunto nito y no vaco de R, muestre que F es cerrado en R, pero no esabierto en R.

6. Si F es un subconjunto numerable y no vaco de R, demuestre que F no es un conjuntoabierto.

7. (i) Sea S = f0; 1; 1=2; 1=3; 1=4; 1=5; : : : ; 1=n; : : :g. Demuestre que el conjunto S es cerradoen la topologa Euclidiana sobre R.(ii) Es el conjunto T = f1; 1=2; 1=3; 1=4; 1=5; : : : ; 1=n; : : :g cerrado en R?(iii) Es el conjunto fp2; 2p2; 3p2; : : : ; np2; : : : g cerrado en R?


8. (i) Sea (X; ) un espacio topolgico. Un subconjunto S de X se llama F-conjunto sies la unin de un nmero numerable de conjuntos cerrados. Demuestre que todos los

intervalos abiertos (a; b) y todos los intervalos cerrados [a; b] son F-conjuntos en R.

(ii) Sea (X; ) un espacio topolgico. Un subconjunto T de X se llama G-conjunto si esla interseccin de un nmero numerable de conjuntos abiertos. Demuestre que todos

los intervalos abiertos (a; b) y todos los intervalos cerrados [a; b] son G-conjuntos en R.

(iii) Demuestre que el conjunto Q de los racionales es un un F-conjunto en R. (En losEjercicios 6.5#3 demostraremos que Q no es un G-conjunto en R.)

(iv) Verique que el complemento de un F-conjunto es unG-conjunto y que el complemento

de un G-conjunto es un F-conjunto.

2.2 Base de una Topologa

Las Observaciones 2.1.2 nos permiten describir la topologa Euclidiana sobre R de una manerams conveniente. Para hacerlo, debemos introducir la nocin de base de una topologa.

2.2.1 Proposicin. Un subconjunto S de R es abierto si, y slo si, es la unin deintervalos abiertos.

Demostracin.

Tenemos que demostrar que S es abierto si, y slo si, es la unin de intervalos abiertos;

es decir, tenemos que mostrar que

(i) si S es una unin de intervalos abiertos, entonces S es un conjunto abierto, y

(ii) si S es un conjunto abierto, entonces S es la unin de intervalos abiertos.

Asuma que S es una unin de intervalos abiertos; es decir, existen intervalos abiertos (aj; bj),

donde j pertenece a algn conjunto J de ndices, tal que S =S

j2J(aj; bj). Por las Observaciones

2.1.2 (ii), cada intervalo abierto (aj; bj) es un conjunto abierto. Por lo que S es una unin de

conjuntos abiertos, y por consecuencia S es un conjunto abierto.

Por otro lado, asuma que S es abierto en R. Entonces para cada x 2 S, existe un intervaloIx = (a; b) con a < b tal que x 2 Ix S: Ahora demostremos que S =

Sx2S Ix:

2.2. BASE DE UNA TOPOLOGA 41

Tenemos que demostrar que los dos conjuntos S yS

x2S Ix son iguales.

Mostremos que estos conjuntos son iguales demostrando que

(i) si y 2 S, entonces y 2 Sx2S Ix, y(ii) si z 2 Sx2S Ix, entonces z 2 S.[Note que (i) es equivalente a la expresin S Sx2S Ix, mientras que (ii) es equivalentea

Sx2S Ix S.]

Primeramente tome y 2 S: Entonces y 2 Iy: Por lo que y 2S

x2S Ix, como se requera. En

segundo lugar, tome z 2 Sx2S Ix: Entonces z 2 It; para algn t 2 S: Como cada Ix S, vemosque It S, y por lo tanto z 2 S: Consecuentemente, S =

Sx2S Ix; y tenemos que S es una unin

de intervalos abiertos, como se requera.

La proposicin anterior nos dice que para describir la topologa de R basta decir que todoslos intervalos (a; b) son conjuntos abiertos, y que todos los otros conjuntos abiertos son una unin

de estos conjuntos abiertos. sto nos lleva a la denicin siguiente.

2.2.2 Denicin. Sea (X; ) un espacio topolgico. Un coleccin B de subconjuntosabiertos de X se llama base de una topologa si cada conjunto abierto es una unin demiembros de B:

Si B es una base de una topologa sobre un conjunto X entonces un subconjunto U de Xest en si, y slo si, es una unin de miembros de B. Por lo que B genera la topologa en el sentido siguiente: si se nos informa cules conjuntos son miembros de B entonces podemosdeterminar los miembros de ellos son todos los conjuntos que son uniones de miembros de B.

2.2.3 Ejemplo. Sea B = f(a; b) : a; b 2 R; a < bg: Entonces B es una base de la topologaEuclidiana sobre R, por la Proposicin 2.2.1. 2

2.2.4 Ejemplo. Sea (X; ) un espacio discreto y B la familia de todos los subconjuntosunitarios de X; es decir, B = ffxg : x 2 Xg. Entonces, por la Proposicin 1.1.9, B es una basede . 2



1 = fX;; fag; fc; dg; fa; c; dg; fb; c; d; e; fgg:

Entonces B = ffag; fc; dg; fb; c; d; e; fgg es una base de 1, pues B 1 y cada miembro de 1puede ser expresado como una unin de miembros de B. (Observe que es una unin vaca demiembros de B.)Note que 1 es una base de s misma. 2

2.2.6 Observacin. Observe que si (X; ) es un espacio topolgico entonces B = es unabase de la topologa . Por lo que, por ejemplo, el conjunto de todos los subconjuntos de X esuna base de la topologa discreta sobre X.

Vemos, por consiguiente, que pueden existir muchas bases diferentes para la misma topologa.

En efecto, si B es una base de una topologa sobre un conjunto X y B1 es una coleccin desubconjuntos de X tal que B B1 , entonces B1 es tambin una base de . [Verique esto.]2

Como indicamos anteriormente, la nocin de base de una topologa nos permite denir

topologas. Sin embargo, el ejemplo siguiente muestra que tenemos que ser cuidadosos.

2.2.7 Ejemplo. Sean X = fa; b; cg y B = ffag; fcg; fa; bg; fb; cgg: Entonces B no es una basede ninguna topologa sobre X. Para ver esto, suponga que B es una base de una topologa .Entonces est formada por todas las uniones de conjuntos en B; es decir,

= fX;; fag; fcg; fa; cg; fa; bg; fb; cgg:

(Una vez ms usamos el hecho de que es una unin vaca de miembros de B, y por lo tanto 2 .)Sin embargo, no es una topologa, pues el conjunto fbg = fa; bg \ fb; cg no est en , ypor lo tanto no posee la propiedad (iii) de las Deniciones 1.1.1. Esto es una contradiccin,implicando que nuestra suposicin es falsa. De este modo, B no es una base de ninguna topologasobre X. 2

Consecuentemente, el ejemplo anterior nos lleva a preguntar: si B es una coleccin desubconjuntos de X, bajo qu condiciones B es una base de una topologa? Esta pregunta esrespondida por la Proposicin 2.2.8.

2.2. BASE DE UNA TOPOLOGA 43

2.2.8 Proposicin. Sea X un conjunto no vaco y sea B una coleccin de subconjuntosde X. Entonces B es una base de una topologa sobre X si, y slo si, B tiene las propiedadessiguientes:

(a) X =SB2B

B, y

(b) para cualesquiera B1; B2 2 B, el conjunto B1 \B2 es una unin de miembros de B:

Demostracin. Si B es una base de una topologa entonces tiene que tener las propiedades(i), (ii), y (iii) de las Deniciones 1.1.1. En particular, X tiene que ser conjunto abierto, y la

interseccin de cualesquiera dos conjuntos abiertos tiene que ser un conjunto abierto. Como los

conjuntos abiertos son justamente las uniones de miembros de B, esto implica que (a) y (b) sonverdaderos.

Por otro lado, asuma que B tiene las propiedades (a) y (b), y sea la coleccin de todoslos subconjuntos de X que son uniones de miembros de B. Mostraremos que es una topologasobre X. (Si es as, entonces B es evidentemente una base de esta topologa y la proposicin esverdadera.)

Por (a), X =S

B2B B y as X 2 : Note que es una unin vaca de miembros de B, y porlo tanto 2 . Por lo que vemos que posee la propiedad (i) de las Deniciones 1.1.1.Ahora sea fTjg una familia de miembros de . Entonces cada Tj es una unin de miembrosde B. Consiguientemente, la unin de todos los Tj es tambin una unin de miembros de B, ypor lo tanto est en . Por consecuencia, tambin satisface la condicin (ii) de las Deniciones1.1.1.

Finalmente, tome C y D en . Necesitamos vericar que C \D 2 . Pero C = Sk2K Bk,para algn conjunto K de ndices y algunos conjuntos Bk 2 B: Adems, D =

Sj2J Bj; para algn

conjunto J de ndices y algunos Bj 2 B: Por lo tanto,

C \D = [

k2KBk

! \ [j2J

Bj

!=

[k2K; j2J

(Bk \Bj):


Debe vericar que las dos expresiones de C \D son ciertamente iguales!En el caso nito sto involucra expresiones como

(B1 [B2) \ (B3 [B4) = (B1 \B3) [ (B1 \B4) [ (B2 \B3) [ (B2 \B4):

Debido a nuestra suposicin (b), cada Bk\Bj es una unin de miembros de B, y por lo tantoC \ D es una unin de miembros de B. Consiguientemente C \ D 2 : Como consecuencia, tiene la propiedad (iii) de la Denicin 1.1.1. De este modo, es ciertamente una topologa, y Bes una base de esta topologa, como se requera. 2

La Proposicin 2.2.8 es un resultado bastante til. sta nos permite denir topologas

escribiendo simplemente una base, lo cual frecuentemente es ms fcil que tratar de describir

todos los conjuntos abiertos.

Ahora usaremos esta proposicin para denir una topologa sobre el plano. Esta topologa

se conoce como la topologa Euclidiana.

2.2.9 Ejemplo. Sea B la coleccin de todos rectngulos abiertosfhx; yi : hx; yi 2 R2; a < x < b; c < y < dg en el plano que tienen cada lado paralelo al eje X oal eje Y .

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Topologia Sin Dolor - Sydney Morris