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1CLCULO DE FLECHAS POR EL MTODO DE BRANSON

EXPRESIONES GENERALES Y EJEMPLOS

JF Bissio

1) GENERALIDADES

El clculo de flechas en elementos de Hormign Armado no es una tarea sencilla debido alas leyes constitutivas y el comportamiento reolgico del material. La fisuracin inevitablebajo cargas de servicio conduce a una no-linealidad acusada entre acciones y flechas(adicionales a las propias del hormign). En lo que hace a las deformaciones diferidas en eltiempo (a carga constante), el hormign posee un comportamiento reolgico con unsignificativo incremento de las deformaciones en los primeros meses de vida del material.

El control de las deformaciones de una estructura de HA puede ser necesario por motivosvarios, en funcin del tipo y finalidad de la estructura, pero en las de edificios comunes losms significativos son:

Evitar la fisuracin de elementos de mampostera, cuya ductilidad es muy limitada. Si laestructura es demasiado flexible, sus deformaciones no pueden ser acompaadas por lamampostera sino a travs de una fisuracin de la misma. Al no poseer armadura (latabiquera), sus fisuras son pocas y relevantes, lo cual provoca en general la alarma delos usuarios., que asocian la fisuracin a una deficiente seguridad a rotura. Sin embargo,en la mayora de los casos esta condicin de fisuracin excesiva no va acompaada deuna falta de seguridad. As como sucede con la mampostera, tambin los cielorrasosaplicados en las caras inferiores pueden verse afectados por las deformaciones de laestructura.

Evitar efectos dinmicos indeseables vinculados con una excesiva flexibilidad. El controlde las flechas funciona como una manera indirecta de limitar el rango de perdos propiosde la estructura, haciendo que en general- los mismos se alejen de la zona de peligrode resonancia, para acciones tales como la marcha o ejercitacin de personas. Esto nosignifica que limitando las flechas se prevengan absolutamente todas las posibilidades enese sentido.

Prevenir el aspecto alarmante que presenta una estructura con flechas apreciables asimple vista. Como es bien conocido, no hay una correlacin entre grandes flechas y unestado de rotura inminente, pero una vez ms hay que evitar la alarma innecesaria de losusuarios. Por otra parte, en una estructura cuyas deformaciones han sido limitadas en laetapa de proyecto, la existencia de grandes flechas S podra ser un indicativo deproblemas en las condiciones de seguridad.

2) El Mtodo de BRANSON

Este mtodo simplificado fu desarrollado por D.E Branson, y, adoptado por el ACI desde1971, sigue vigente hasta la fecha, por lo que naturalmente es el mtodo propuesto por elPRAEH 201. El ACI 318 recoge una variante sumamente simplificada del mtodo (y por lo

2tanto lo mismo ocurre en el PRAEH 201). Sin embargo, el ACI tiene un Comit especficodedicado al tema (Comit 435, Deflection of RC Flexural Members), en cuyos reportes sepresentan procedimientos ms afinados. En esta publicacin se expondrn algunos de losmismos, ya que su implementacin no presenta ninguna dificultad. Es interesante destacarque la Normativa Espaola a adoptado completamente este mtodo, presentando en sustextos no solamente las metodologas expuestas en el ACI 318, sino tambin muchos de losprocedimientos afinados indicados por el Comit 435.

El mtodo, aplicable a elementos flexados, se basa en los siguientes principios bsicos parael clculo de flechas instantneas y diferidas:

2.1) Flechas Instantneas

Se calculan con un mtodo desacoplado, consistente en determinar las solicitaciones y lasflechas mediante un anlisis elstico de la estructura, pero considerando un Momento deInercia Equivalente Ie menor al de la seccin bruta, cuando las solicitaciones provocan lafisuracin de la pieza. Como las flechas se calculan mediante un anlisis elstico, este valorsera una inercia secante en un diagrama [M 1/r]. En el punto 3) se ver en detalle elprocedimiento, para tramos de vigas continuas sometidos a cargas uniformementedistribuidas.

2.2) Flechas diferidas

Las deformaciones diferidas en el tiempo, debidas a fluencia lenta del hormign (creep) yretraccin (solamente estos dos efectos), son evaluadas por simple amplificacin de lasflechas instantneas utilizando un coeficiente que es funcin del tiempo y las condiciones dehumedad y exposicin a la atmsfera de la pieza. Este anlisis simplificado obvia el hechode que la profundidad del eje neutro no se mantiene constante, pero s permite tener encuenta la presencia de armadura de compresin cuya influencia es significativa.

2.3) Aproximacin de los resultados

El mtodo tiene un fuerte apoyo experimental, pero con una dispersin relativamente baja.De acuerdo con los Reportes del Comit 435 del ACI, las flechas reales utilizadas en lascomparaciones se encontraron dentro de 20% respecto a las calculadas por el mtodo. Esimportante destacar que las comparaciones se realizaron sobre vigas de seccin rectangularo T, y simplemente apoyadas o continuas de dos tramos.

3) Determinacin de la Inercia Equivalente Ie

3.1) Inercia Equivalente de una seccin.

La Ie de una seccin de calcula de acuerdo con la expresin (llamada Frmula de Branson)

) I ( IMM

1IMM

I gcr

3

a

crg

3

a

cre

-+

=

3Donde:

- Mcr es el momento de fisuracin de la seccin, evaluado como:

Mcr = fr x Wt con:

fr = 0.7 [ fc ] es la resistencia a traccin por flexin (en MPa)

Wt es el mdulo resistente de la seccin bruta de hormign, correspondiente a la fibrams traccionada. Se puede considerar la seccin homogeneizada no fisurada.

- Ig Es el Momento de Inercia de la seccin bruta de hormign (tambin se puedeconsiderar la seccin homogeneizada no fisurada).

- Ma es el mximo momento solicitante que ha experimentado la seccin en su historia.Esto significa que Ma puede NO coincidir con el momento flector en la seccin, para elestado de cargas bajo el cual se calcula la flecha. Si anteriormente ha experimentado unmomento mayor, corresponde tomar ste valor, ya que la mayor fisuracin alcanzada conanterioridad condiciona el comportamiento posterior de la seccin.

- Icr Es el Momento de Inercia de la seccin fisurada, homogeneizada al hormign. comoes bien sabido, para la fase fisurada pero asumiendo comportamiento lineal de losmateriales (aunque no de la seccin, obviamente), la profundidad x (c para el CIRSOC201-2002 y para el ACI 318-2002) del eje neutro se mantiene constante, y coincide con laposicin del centro de gravedad de la seccin homogeneizada. Para seccionesrectangulares de ancho bw, altura til d y recubrimiento de As igual a d, x es la razmayor de:

[bw / 2n] x2 + [As + A's] x - [As d + A's d'] = 0 con n = Es / Ec

Y luego Icr es el momento de Inercia de la seccin, considerando que el hormign dellado traccionado del eje neutro no existe.

Icr = n As [d - x]2 + n A's [x - d']2 + 1/3 bw x3

La expresin determina una leyde transicin entre la inerciabruta y la fisurada, en funcin dela solicitacin de la seccin,como se muestra en la figura:

Para valores de Momentosmenores al de fisuracin([Mcr/Ma] >1), obviamente hayque apartarse de la expresin ytomar Ie = Ig.

0.000.501.001.502.002.50

Mcr / Ma

Ie

Ig

Icr

43.2) Inercia Equivalente de una pieza

La Inercia Equivalente, calculada de acuerdo con el punto anterior, puede ser determinadaen cualquier seccin de una pieza. Sin embargo, para calcular la flecha de un tramocompleto se utiliza un promedio pesado entre las inercias equivalentes de las seccionescrticas de la pieza, en funcin de sus condiciones de continuidad.

Existen dos criterios al respecto, uno simplificado que es el especificado en ACI-318 (yPRAEH 201), y otro un poco ms refinado que es el indicado por el Comit 435.

Criterio del ACI 318 y el PRAEH 201:

La inercia equivalente de tramo en vigas continuas se obtiene como el promedio simple delas Ie de las secciones crticas, es decir, seccin de momento mximo en el tramo, ysecciones de apoyos cuando en los mismos hay momentos negativos. Los apoyos en lo queno haya momento no se consideran para el promedio.

La inercia equivalente para voladizos es igual a la Ie de su seccin crtica, es decir, laseccin de empotramiento.

Criterio del Comit 435 del ACI:

Utiliza promedios pesados, considerando que en elementos continuos la influencia del tramoes mayor que la de los apoyos. De esa manera, se tiene:

- Piezas simplemente apoyadas:

[ Ie ]Pieza = [ Ie ]Tramo

- Piezas con continuidad en un apoyo:

[ Ie ]Pieza = 0.85 [ Ie ]Tramo + 0.15 [ Ie ]Apoyo continuo

- Piezas con continuidad en ambos apoyos:

[ Ie ]Pieza = 0.70 [ Ie ]Tramo + 0.15 { [ Ie ]Apoyo Izquierdo + [ Ie ]Apoyo Derecho }

- Voladizos:

El mismo criterio seguido por ACI 318 y PRAEH 201

54) Determinacin de la Flecha Instantnea

Una vez determinado el Ie de la pieza, las flechas se calculan elsticamente, para cadaescaln de carga, y con la inercia equivalente correspondiente.

Para tramos de vigas continuas, con momentos de apoyos MI y MD , la flecha instantneavale:

( ) MM483

- ,t384

5IE

1 f i,Di,I

24i

i,eqci,inst

-

= ll

Donde:

- MI y MD son los momentos de apoyo, que van con valores positivos si traccionan la fibrasuperior.

- Ec = 4700 [f'c]1/2 (MPa) es el mdulo de deformaciones instantneas del hormign.

- El subndice i denota el escaln de carga correspondiente. Una vez ms se recuerda quela Inercia equivalente Ieq,i es la menor histrica, ya que anteriormente la seccin puedehaber experimentado una fisuracin de mayor entidad.

5) Determinacin de la Flechas Diferidas

Como ya se mencion anteriormente, los efectos de la retraccin y la fluencia lenta delhormign son tenidos en cuenta a travs de un coeficiente l que amplifica los valores deflechas instantneas para obtener la flecha diferida. El coeficiente l vale:

dwbs'A

' con '501

=rr+

x=l

El factor z depende nicamente deltiempo y su variacin es como semuestra en la figura, y en los valorestabulados:

t(meses)

x

1 0.703 1.006 1.20

12 1.4060 (o ms) 2.00

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0 20 40 60 80 100Tiempo (meses)

x

6Tambin se puede utilizar la siguiente aproximacin polinmica que ajusta adecuadamente alos valores especificados en el PRAEH 201:

0.705ln(t)0.24[ln(t)]0.0194 2 ++=x Vlido para 0< t 60

Para la aplicacin del coeficiente z, es necesario tener en cuenta que t = 0 coincide con elinicio de la vida de la pieza, no con el momento de aplicacin de cada carga. Esto significaque si en un tiempo t1 se tiene una flecha instantnea f1 que permanece constante (el valorinstantneo, por supuesto) hasta t2, el incremento de la flecha diferida entre t1 y t2 vale:

[ ]'501)1t( )2t(

1fdiferidaf r+x-x

=D

De manera tal que, considerando que la flecha instantnea vara a lo largo de la vida de laestructura, la flecha diferida se calcula como suma de incrementos entre variaciones de laflecha instantnea. De lo anterior se deduce que, debido a la simplificacin de suponer quez=2=cte a partir de los 5 aos de vida de la pieza, para edades mayores ya no se producenincrementos significativos de la flechas diferidas. En realidad se produce un incremente,aunque de pequea entidad.

La armadura de compresin juega un papel importante en la reduccin de las flechasdiferidas, a travs del divisor [ 1 + 50 r] en la expresin de l. Como en cada seccin crticase tendr una armadura de compresin diferente, para calcular el r a aplicar a la piezacompleta se pueden seguir dos criterios:

El del ACI-318 y PRAEH 201, ms simplificado, que especifica la utilizacin del valorr correspondiente al centro del tramo.

Uno un poco ms refinado, que implica calcular un r eq mediante un promedio pesadocon los mismos coeficientes utilizados para determinar el Ieq.

El factor z vara en realidad en funcin de la humedad relativa y espesor medio de laestructura. Los valores indicados ms arriba en el grfico, la tabla y la expresin mostrada,corresponden en realidad a una Humedad Relativa HR = 40%, y un espesor medio de 10cm.

Para corregir z en funcin de estos parmetros se multiplica al valor bsico por loscoeficientes kh y kt (dados tambin por Branson), cuyos valores se muestran en las tablassubsiguientes:

HR = 40% 50% 60% 70% 80%kh = 1.00 0.94 0.87 0.80 0.73

Esp. medio =2 Ag / U 5cm 7.5cm 10cm 15cm 20cm 25cm 30cm

kt = 1.30 1.17 1.11 1.00 0.96 0.91 0.86

7Donde para calcular el espesor medio Ag es la seccin de hormign, y U el permetro de laseccin transversal expuesto al medio ambiente.

Finalmente, la consideracin afinada de la relacin flecha-tiempo para un elemento, deberatener en cuenta la evolucin de las propiedades del hormign en el tiempo.

6) Flecha Activa

La flecha activa se define con relacin a un elemento no estructural apoyado sobre la piezaflexada, y es el mximo incremento de flecha total que sufre la viga despus de colocado elelemento no estructural.

El ejemplo tpico como ya se mencion en el punto 1)- lo constituyen los cerramientos otabiques de mampostera, que pueden sufrir una fisuracin alarmante (aunque nonecesariamente peligrosa en trminos de seguridad a rotura,al menos en el corto plazo) si elelemento flexado sobre el que apoyan experimenta una flecha determinada.

Pero obviamente no interesa la mxima flecha de la viga, ya que la producida antes de lacolocacin del tabique no tiene influencia alguna, sino el incremento sufrido luego defabricado este ltimo.

El orden en que se aplican las cargas sobre un elemento (considerando el caso de PesoPropio + Sobrecarga) podra ser como se describe a continuacin:

0.5 mes: Aplicacin del peso propio de la estructura de hormign exclusivamente. Esnecesario considerar que, en caso de edificios en altura, la carga real en el momento deldesencofrado puede alcanzar aproximadamente el doble del valor de su peso, ya quedebe soportar la carga transmitida por el entrepiso superior, construdo posteriormente.

1 mes: Quita del peso propio de la planta superior, al desencofrarse la misma. Comoresultado neto del proceso conjunto de este punto y el anterior, la pieza experimenta unacada en su inercia efectiva mayor a la que corresponde exclusivamente a su pesopropio.

1.5 mes: Construccin de los cerramientos, en ocasiones sin los revoques.

2-3 meses: Ejecucin de los contrapisos

6-8 meses: Aplicacin de revoques (si no fueron ejecutados junto con la mampostera) ysolados.

8-12 meses: Aplicacin de la fraccin cuasipermanente de la sobrecarga, que entrminos medios puede ser entre 15% - 20% del valor nominal de la sobrecarga. Estacarga se puede considerar como permanente a los efectos del clculo de flechasdiferidas.

Ocurrencia del valor nominal de la carga variable. La diferencia entre el valor nominalde la sobrecarga y el valor cuasipermanente descripto en el punto anterior no provocaflechas diferidas en el tiempo, bsicamente debido a que su duracin es muy corta, y

8tambin debido a que, como el valor nominal ocurre en promedio una vez durante la vidatil de la estructura (50 aos), resulta poco probable que suceda en la edades tempranasen que los efectos de fluencia y retraccin son significativos.

Sobre la base de los anterior, la flecha activa de los cerramientos puede calcularse como lasuma de los siguientes valores:

Flecha instantnea de:

- Peso propio de cerramientos (eventualmente sin revoques). La inclusin de estevalor debe ser evaluado en funcin del proceso constructivo. CALAVERA seala que elpeso propio de los cerramientos involucra el aporte de otros tabiques adems del queapoya sobre la viga que se evala, y es posible que cuando ste sea construido ya actesobre las losas el peso propio de otros.

- Peso propio de revoques, contrapisos, solados y dems.

- Sobrecarga de uso (total)

A riesgo de ser repetitivos, vale decir que las flechas instantneas de cada elementoNO SE CALCULAN UNA SOLA VEZ, sino que en cada momento en que se agrega unacarga es necesario evaluar la flecha para el total, debido a la no linealidad delfenmeno.

Flecha diferida de:

- Peso propio de la estructura, calculada entre tiempo infinito (5 aos a los efectosprcticos) y la fecha de ejecucin de la tabiquera cuya flecha activa se quieredeterminar.

- Peso propio de cerramientos (eventualmente sin revoques), calculada desde elmomento de construccin de la tabiquera hasta 5 aos. En este caso no hay duda deque la flecha diferida debida al peso propio de la tabiquera es parte de la flecha activa dela misma.

- El resto de los pesos propios, calculada entre el momento de ejecucin de cada unode ellos y 5 aos.

9Ejemplo: Supngase que sobre un tramo de viga continua perteneciente a una estructura deun edificio en altura actan las cargas que se indican.

La luz del tramo es de 5m. La seccin tiene bw=0.12m; h=0.40m, rec 0.02m d=0.38m

Los materiales: fc = 25 MPa; fy = 420 MPa

Las armaduras en las tres secciones crticas (Apoyo izquierdo AI, Tramo T y Apoyo derechoAD), determinadas por el ELU de rotura y por el armado final, valen:

SeccinCrtica

Ap. Izq.AI

TramoT

Ap. der.AD

M (kNm) = -50 40 -45As (cm2) = 6.28 5.65 6.03As (cm2) = 0 1.57 0

Donde los M indicados son los Momentos flectores (de servicio) para el total de la acrgauniformemente repartida t = tD + tL.

Las acciones son:tD = 20 kN/m; tL = 8 kN/m con la siguiente composicin y edades de aplicacin:

a) Peso propio:

a.1) Estructura Propiamente dicha: 10 kN/m (t = 0.3 mes)a.2) Contrapisos: 5 kN/m (t = 3.0 meses)a.3) Solados: 1 kN/m (t = 8.0 meses)a.4) Tabiquera: 4 kN/m (t = 2.0 meses)

b) Sobrecarga:

b.1) Fraccin cuasipermanente: 1.5 kN/m (t = 10 meses)b.2) Fraccin de corta duracin: 6.5 kN/m

En el momento del desencofrado (0.3 meses) se aplica tambin el peso propio de la plantasuperior, el cual se quita a la edad de 0.6 meses, cuando se desencofra esta ltima planta.

Algunos parmetros bsicos son:Ig = 12 * 403 / 12 = 64000 cm4 Wg = 12 * 402 / 6 = 3200 cm3

Propiedades del hormign:Resistencia a rotura por flexin fr=0.7 (fc)1/2 = 3.5 MPa Mcr = fr * Wg = 11.2 kNmMdulo de Deformacin instantneo Ec = 4700 (fc)1/2 = 23500 MPa n=Es/Ec = 8.5

Para determinar las flechas instantneas conviene calcular la cantidad:

f * Ie = [ 5/384 * t * L4 - 3/48 * L2 * (MI + MD)] / Ec = 338 m.cm4

Donde t, MI y MD corresponden al total de la carga de servicio. Para cualquier escaln decarga, la flecha instantnea se obtiene simplemente dividiendo esta constante por la inerciaequivalente correspondiente, y multiplicndola por el % de carga aplicada respecto a la total.

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De manera tal que la secuencia de aplicacin de cargas se puede resumir de la siguientemanera:

Escalnde carga

Edad(meses)

Carga Dt(kN/m)

t acumul.(kN/m)

% de tTotal

0 0 0 0 0 0%1 0.3 2 x PP estructura 20 20 71%2 0.6 - 1 PP estructura -10 10 36%3 2 Tabiquera 4 14 50%4 3 Contrapisos 5 19 68%5 8 Solados 1 20 71%6 10 L cuasipermanente 1.5 21.5 77%7 L restante 6.5 28 100%

Clculo de la Inercia Fisurada:

AI: 0.71 x2 + 6.28 x 238.6 = 0 x = 14.5cm \Icr = 29698 cm4

T: 0.71 x2 + 7.22 x 217.8 = 0 x = 13.2cm \Icr = 31367 cm4

AD: 0.71 x2 + 6.03 x 229.1 = 0 x = 14.3cm \Icr = 29058 cm4

Clculo de la Inercias equivalentes:De inmediato se deduce que para los escalones de carga 1 a 5 la Ie ser la misma, ycorrespondiente al 71% de la carga total. Esto es debido a que en el desencofrado la piezaresiste 2 veces el peso propio de los elementos estructurales, dado que sostiene elencofrado de la planta superior. Luego:

Escalones 1 a 5 (tmx = 0.71 t):

AI: Ma=0.71*50=35.7kNm, Mcr/Ma = 0.31 Ie=0.313 * 64000+(1-0.313) * 29698=30756cm4

T: Ma=0.71*40=28.6kNm, Mcr/Ma = 0.39 Ie=0.393 * 64000+(1-0.393) * 31367=33330cm4

AD: Ma=0.71*45=32.1kNm, Mcr/Ma = 0.35 Ie=0.353 * 64000+(1-0.353) * 29058=30536cm4

Y para el tramo: Ieq = 0.70 * 33330 + 0.15 * (30756 + 30536) = 32525 cm4

Escaln 6 (tmx = 0.77 t):

AI: Ma=0.77*50=38.4kNm, Mcr/Ma = 0.29 Ie=0.293 * 64000+(1-0.293) * 29698=30547cm4

T: Ma=0.77*40=30.8kNm, Mcr/Ma = 0.36 Ie=0.363 * 64000+(1-0.363) * 31367=32942cm4

AD: Ma=0.77*45=34.6kNm, Mcr/Ma = 0.32 Ie=0.323 * 64000+(1-0.323) * 29058=30245cm4


11

Escaln 7 (tmx = 1.00 t):

AI: Ma=50 kNm, Mcr/Ma = 0.22 Ie=0.223 * 64000+(1-0.223) * 29698=30084cm4

T: Ma=40 kNm, Mcr/Ma = 0.28 Ie=0.283 * 64000+(1-0.283) * 31367=32082cm4

AD: Ma=45 kNm, Mcr/Ma = 0.25 Ie=0.253 * 64000+(1-0.253) * 29058=29587cm4


Clculo de las flechas instantneas:

Usando la cantidad auxiliar calculada ms arriba, las flechas se obtienen rpidamente:

Escaln 1: finst = 71% * 338 m.cm4 * 32525 cm4 = 0.74cm


Escaln 3 finst = 50% * 338 m.cm4 * 32525 cm4 = 0.52cm





Clculo de las flechas diferidas:

En primer lugar se calculan los incrementos de la flecha diferida durante los lapsos conflecha instantnea constante.

El escaln de carga 7 corresponde a una carga de corta duracin, y se supone que acta auna edad mayor que 60 meses, por lo tanto no provoca flecha diferida. El ltimo incrementode flecha diferida se calcular, entonces, entre el momento de aplicacin del escaln 6 ytiempo "infinito".

La colaboracin de la armadura de compresin se considera a travs del coeficiente:

1 / (1 + 50r') = 1 / [1 + 50*(1.57/12/38) ] = 1.17

Flecha diferida entre t=0.3 y t=0.6:

z(0.6) - z(0.3) = 0.59 - 0.44 = 0.15 Df diferida = 0.15 * 0.74cm / 1.17 = 0.09cm

12

Flecha diferida entre t=0.6 y t=2:

z(2) - z(0.6) = 0.88 - 0.59 = 0.29 Df diferida = 0.29 * 0.37cm / 1.17 = 0.09cm

Flecha diferida entre t=3 y t=2:

z(3) - z(2) = 0.99 - 0.88 = 0.11 Df diferida = 0.11 * 0.52cm / 1.17 = 0.05cm





Flecha diferida entre t=10 y t=60 ("infinito"):


Clculo de las flechas totales:

Escalnde carga

Edad(meses)

f inst(cm)

f diferida(cm)

flechaTotal

0 0 0 01 0.3 0.74 0 0.742 0.6 0.37 0.09 0.463 2 0.52 0.18 0.704 3 0.71 0.23 0.945 8 0.74 0.41 1.156 10 0.81 0.46 1.537 1.08 0.90 1.98

Clculo de la flecha activa para los cerramientos:

La mampostera se coloca en el escaln de carga de carga 3 (t = 2 meses). Se considerarque su flecha instantnea NO participa de la flecha activa, ya que todos los tabiques seejecutan simultneamente. Por lo tanto:

Flecha Activa = 1.98cm - 0.70cm = 1.3cm = L / 384.

Que no cumple la restriccin impuesta por el PRAEH 201 (L/480).

Por otra parte, es necesario considerar que ACI-435 limita la flecha activa aL/600 o 7.5mm,valores considerados razonables por Jos CALAVERA. Existe evidencia de campo acercade que, independientemente de la luz del elemento, flechas activas de ms de 10mm llevana una fisuracin de la mampostera.

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