Temtica: introduccin a las ecuaciones diferencialesEstablezca si la ecuacin diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuacin:

A.

Es una ecuacin No - lineal porque no hay una funcin de x que multiplique a una de y o sencillamente porque la funcin Cos no depende solo de x sino tambin de y

Ecuacin de primer orden porque aparece la primera derivada como orden mximo de derivacin

B.

Es una ecuacin lineal con respecto a y porque la funcin ni sus derivadas estn elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero y en el coeficiente que lo multiplica solo interviene la variable independiente

Ecuacin de segundo orden ya que tiene una segunda derivada

C.

Es ecuacin lineal por que la funcin ni sus derivadas estn elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero y porque en el coeficiente que lo multiplica solo interviene la variable independiente

Ecuacin de segundo orden ya que tiene una segunda derivada

D.

Es ecuacin lineal por que la funcin ni sus derivadas estn elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero y porque en el coeficiente que lo multiplica solo interviene la variable independiente

Ecuacin de primer orden porque aparece la primera derivada como orden mximo de derivacin

E. Demuestre que y=1/x es solucin de la siguiente ecuacin diferencial

Se realiza la derivada de y=1/x

Se reemplaza la derivada en la ecuacin diferencial, entones:

Se suman trminos semejantes

Como la igualdad se cumple, entonces se concluye que es solucin.

Temtica: ecuaciones diferenciales de primer ordenA. Resuelva la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variables separables

Calculamos la integral en ambos lados de la ecuacin.

B. Determine si la ecuacin dada es exacta. Si lo es, resulvala.

Como

C. Resolver la siguiente ecuacin diferencial hallando el factor integrante

Es la forma:

Donde p(x) = 2x & q(x) = xDe modo que integramos

Ahora le multiplicamos en ambos lados la ecuacin (1)

El lado izquierdo de la ecuacin anterior es la derivada de Integramos a ambos lados (2)Ahora integramos: sea:

Sustituimos u por y la ecuacin 2 se convierte:

Ahora dividimos a ambos lados por

D. Resolver la siguiente ecuacin diferencial

A primera vista se observa que no es posible resolverla por separacin de variable.Lo primero que se debe hacer es que todos los trminos de la ecuacin queden en funcin de .

Ahora nos qued una ecuacin diferencial homognea; haciendo uso del cambio de variable reemplazamos:

Despejamos

Derivamos a ambos miembros de la ecuacin:

Ya podemos reemplazar los valores originales de la ecuacin por los que hemos obtenido:

Como ya se logr la separacin de variables, teniendo cada una su diferencial procedemos a integrar.

Finalmente tenemos la solucin general de la ecuacin diferencial.

E. Resuelva la ecuacin diferencial

Segunda actividad:

Una fbrica est situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/s que vierte sus aguas por la nica entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fbrica empez a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por da, de 4 a 6 de la maana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al ro a razn de 1 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la grfica de la solucin y determine la concentracin de contaminantes en el lago despus de un da, un mes (30 das), un ao (365 das).

Los datos que podemos extraer del enunciado son los siguientes:

Volumen del lago 1000 millones de Caudal entrante al lago 1000 Caudal saliente del lago 1000Sustancia contaminante 1

Se procede a hallar una ecuacin diferencial para calcular la concentracin de contaminantes en el transcurso del tiempo entonces esta estar en funcin del (t)

Taza de entrada al lago A Taza de salida del lago B Concentracin entrada Concentracin saliente depende del tiempo ???

V(t) volumen en el tanque en cualquier instante de tiempo Q(t) cantidad de contaminante en cualquier instante C(t) concentracin que hay en cualquier tiempo

Se analizan cada una de las variables anteriormente mencionadas

Variacin del volumen depende del tiempo

La variacin del volumen es lo que entra menos lo que sale

Integrando ambos lados de la ecuacin

Solucionando las integrales

Para hallar C partimos de una condicin inicial del volumen en t=0

Como A y B son iguales el volumen en todo tiempo es el mismo

V(t)=1000 millones de metros cbicos

Ahora para Q

R1=razn de entrada=A*C1R2=razn de salida=B*C(t)=B*Q(t)/V(t) Entonces