2.

dydx

= x−e−x

y+ey

Por variables separables.

( y+ey )dy=( x−e−x )dx

Se integra a cada miembro de la ecuación para obtener.

y2

2+e y= x

2

2+e− x+c

Esa es la solución de la ecuación diferencial, nótese que queda expresada de forma implícita.

3.

t∗dydt

+2 y=4 t 2

Es una ecuación diferencial lineal, primero se divide toda la ecuación con el

coeficiente de dydt.

dydt

+ 2 yt

=4 t

El valor de p(t) es 2t.

Por lo tanto el factor integrante es

u ( x )=e∫ p (t )dt

Por lo tanto u ( x )=e ln t2

=t2

Ahora se multiplica el factor integrante por toda la ecuación diferencial.

t2dydt

+2 yt=4 t 3

La ecuación diferencial anterior, también se puede expresar de la siguiente manera.

d ( t2∗ y )dt

=4 t 3

Se integra cada miembro de la ecuación diferencial para obtener

t 2∗y=t 4+c

y=t2+c∗t−2

4.

xdydx

+ y=3 xsin (3x )

Al igual que la anterior, se divide todo por x

dydx

+ yx=3sin (3 x )

Se determina el factor integrante a partir de p(x) = 1/x

u ( x )=e∫ p (t )dt

Por lo tanto u ( x )=e ln x=x

Ahora se multiplica el factor integrante por toda la ecuación diferencial.

xdydx

+ y=3 xsin (3x )

Nótese que quedo igual a la ecuación diferencial original, por lo tanto cuando p(x)= 1/x no es necesario realizar ese paso y se puede saltar inmediatamente al siguiente paso.

d (xy )dx

=3 xsin (3x )

Integramos a cada lado del igual para obtener

xy=∫3 xsin(3 x)dx

Ahora la integral se puede resolver por partes

∫3 xsin(3 x)dxU=3x du=3 ;

dv=sin (3x ) v=−cos (3 x )3

∫3 xsin(3 x)dx=− xcos (3 x )+∫ cos (3 x )

∫3 xsin(3 x)dx=− xcos (3 x )+ sin (3 x )3

+c

xy=∫3 xsin(3 x)dx

xy=−xcos (3 x )+ sin (3 x )3

+c

y=−xcos (3 x )+ sin (3x )

3+c

x

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON.

dTdt

=−k (T−Ta)

Se puede resolver por separación de variables.

dTT−Ta

=−kdt

Se integra a cada lado de la ecuación para obtener.

ln (T−Ta )=−kt+c

Se aplica Euler a cada miembro de la ecuación y se obtiene.

T−Ta=e−kt∗ec

Entonces llamamos a ec una constante C

T=Ta+Ce−kt

Ahora se determina C haciendo t=0, cuando t=0, es decir, en las condiciones iniciales la temperatura es 200°F

200 = 70 + C

C= 130

Ahora la ecuación queda.

T=70+130e−kt

Ahora se aplica la segunda observación cuando en un tiempo de t=1 la temperatura llego a 190°F.

190=70+130e−1k

120130

=e−1k

0.9231=e−1k

Aplicando logaritmo neperiano a lado del igual se obtiene.

ln (0.9231 )=−k

−0.08−1

=k

0.08=k

Ahora re escribiendo la ecuación se tiene.

T=70+130e−0.08 t

Ahora en el ejercicio solicitan el tiempo cuando T=150°F

150=70+130e−0.08 t

150−70130

=e−0.08t

0.6154=e−0.08 t

Aplicando logaritmo natural a cada lado del igual.

−0.4855−0.08

=t

t= 6.068 min

La temperatura de la taza de café llega a 150°F en un tiempo de 6.068 min aproximadamente.