GRÁFICO V vs I

0,5; 2,181; 4,36

2; 8,72

4; 17,44

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5

I

V

V(V)

PROCEDIMIENTO

TABLA 1

i(A) V(V)

0,5 2,18

1 4,36

2 8,72

4 17,44

Podemos ver que se forma una recta para lo cual aplicaremos las siguientes formulas:

Ajuste lineal en una recta:

m=P∑ x i . yi−∑ x i .∑ y iP∑ xi

2−∑ (x i )2

b= ∑ x i

2∑ y i−∑ x i .∑ xi y iP∑ xi

2−∑ (x i )2

Y = m x + b

Resolveremos las operaciones:

x_i y_i xi. Yi (xi)^2

0,5 2,18 1,09 0,251 4,36 4,36 12 8,72 17,44 4

4 17,44 69,76 16∑ 7,5 32,7 92,65 21,25

m=4 ( 92.65 )−(7.5)(32.7)

4 (21.25 )−(7.52) = 4.36

b= (21.25 ) (32.7 )−(7.5)(92.65)

4 (21.25 )−(7.52) = 0

y = 4.36x + 0

V = 4.36 I

TABLA 2

EMPEZAMOS A UTIOLIZAR T vs D.

GRÁFICO T vs D

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8

D

T

Serie1

Serie2

Serie3

Serie4

Serie5

Para que sea una recta lo pasaremos a una hoja semi logaritmica con un ajuste potencial.

Aun no es recta por ello debemos pasar a una hoja logaritmica y realizar un ajuste exponencial.

D(cm) TIEMPO VACIO T(s)

1,5 73 59,9 43 26,7 13,5

2 41,2 33,7 23,7 15 7,8

3 18,4 14,9 10,5 6,8 3,7

5 6,8 5,3 3,9 2,6 1,5

7 3,2 2,7 2 1,3 0,8

-20

0

20

40

60

80

0 2 4 6 8

Serie1

Serie2

Serie3

Serie4

Serie5

Exponencial(Serie5)

Exponencial(Serie4)

Ahora si podemos aplicar las formulas pero ahora todo en base a logaritmos:

m=P∑ x i . yi−∑ x i .∑ y iP∑ xi

2−∑ (x i )2

b= ∑ x i

2∑ y i−∑ x i .∑ xi y iP∑ xi

2−∑ (x i )2

En la primera recta:

  log xi log yi logxi.logyi log xi^2  0,18 1,86 0,33 0,03

  0,3 1,61 0,48 0,09  0,48 1,26 0,6 0,23  0,7 0,83 0,58 0,49  0,85 0,51 0,43 0,72

∑ 2,51 6,07 2,42 1,56

m=5 (2.42 )−(2.51)(6.07)

5 (1.56 )−(2.512) = -2.09

b= (1.56 ) (6.07 )− (2.51 )(2.42)

5 (1.56 )−(2.512) = 2.27 hallando el antilogaritmo

T=186.2(D−2.09)

EN LA RECTA 2:

  log xi log yi logxi.logyi log xi^2  0,18 1,77 0,31 0,03  0,3 1,53 0,46 0,09  0,48 1,17 0,56 0,23  0,7 0,72 0,5 0,49  0,85 0,43 0,37 0,72

∑ 2,51 5,62 2,2 1,56

m=5 (2.2 )−(2.51)(5.62)

5 (1.56 )−(2.512) = -2.07

b= (1.56 ) (5.62 )−(2.51 )(2.2)

5 (1.56 )−(2.512) = 2.17 hallando el antilogaritmo

T= 147.91(D−2.07)

EN LA RECTA 3

  log xi log yi logxi.logyi log xi^2  0,18 1,63 0,29 0,03  0,3 1,37 0,41 0,09

  0,48 1,02 0,49 0,23  0,7 0,59 0,41 0,49  0,85 0,3 0,26 0,72

∑ 2,51 4,91 1,86 1,56

m=5 (1.86 )−(2.51 )(4.91)

5 (1.56 )−(2.512) = -2.01

b= (1.56 ) (4.91 )−(2.51)(1.86)

5 (1.56 )−(2.512) = 1.99 hallando el antilogaritmo

T= 97.72(D−2.01 ¿

EN LA RECTA 4

  log xi log yi logxi.logyi log xi^2  0,18 1,42 0,26 0,03  0,3 1,18 0,35 0,09  0,48 0,83 0,4 0,23  0,7 0,41 0,29 0,49  0,85 0,11 0,09 0,72

∑ 2,51 3,95 1,39 1,56

m=5 (1.39 )−(2.51)(3.95)

5 (1.56 )−(2.512) = -1.98

b= (1.56 ) (3.95 )−(2.51)(1.39)

5 (1.56 )−(2.512) = 1.78 hallando el antilogaritmo

T = 60.26 (D−1.98)

EN LA RECTA 5

  log xi log yi logxi.logyi log xi^2  0,18 1,13 0,2 0,03  0,3 0,89 0,27 0,09

GRÁFICO T vs H

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40

  0,48 0,57 0,27 0,23  0,7 0,18 0,13 0,49  0,85 -0,1 -0,09 0,72

∑ 2,51 2,67 0,78 1,56

m=5 (0.78 )−(2.51)(2.67)

5 (1.56 )−(2.512) = -1.86

b= (1.56 ) (2.67 )−(2.51)(0.78)

5 (1.56 )−(2.512) = 1.47 hallando el antilogaritmo

T= 29.51(D−1.86)

AHORA HALLAREMOS

h (cm) TIEMPO VACIO T(s)30 73 59,9 43 26,7 13,520 41,2 33,7 23,7 15 7,810 18,4 14,9 10,5 6,8 3,74 6,8 5,3 3,9 2,6 1,51 3,2 2,7 2 1,3 0,8

GRÁFICO T vs H

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40

GRÁFICO T vs H

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40

Serie1

Serie2

Serie3

Serie4

Serie5

Lineal (Serie1)

Lineal (Serie2)

Lineal (Serie2)

Lineal (Serie3)

Lineal (Serie4)

Lineal (Serie5)

Ahora lo pasaremos a una recta:

GRÁFICO T vs H

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40

Serie1

Serie2

Serie3

Serie4

Serie5

Lineal (Serie1)

Lineal (Serie2)

Lineal (Serie2)

Lineal (Serie3)

Lineal (Serie4)

Lineal (Serie5)

Podemos ya aplicar:

m=P∑ x i . yi−∑ x i .∑ y iP∑ xi

2−∑ (x i )2

b= ∑ x i

2∑ y i−∑ x i .∑ xi y iP∑ xi

2−∑ (x i )2

  log xi log yi logxi.logyi log xi^2  1,48 1,77 2,61 2,19  1,23 1,53 1,88 1,51  1 1,17 1,17 1  0,6 0,72 0,43 0,36  0 0,43 0 0

∑ 4,31 5,62 6,09 5,06

En la recta 1

m=5 (6.09 )−(4.31 )(5.62)

5 (5.06 )−(4.312)= 0.17

b= (5.06 ) (5.62 )−(4.31 )(6.09)

5 (5.06 )−(4.312)=0.33 hallando el antilogaritmo

t= (2.13)D0.17

EN LA RECTA 2

  log xi log yi logxi.logyi log xi^2  1,48 1,77 2,62 2,19  1,23 1,53 1,88 1,51  1 1,17 1,17 1  0,6 0,72 0,43 0,36  0 0,43 0 0

∑ 4,31 5,62 6,1 5,06

m=5 (6.1 )−(4.31 )(5.62)

5 (5.06 )−(4.312)= 0.95

b= (5.06 ) (5.62 )−(4.31 )(6.1)

5 (5.06 )−(4.312)=0.32 hallando el antilogaritmo

t= (2.08)D0.95

EN LA RECTA 3

  log xi log yi logxi.logyi log xi^2  1,48 1,63 2,41 2,19  1,23 1,37 1,69 1,51  1 1,02 1,02 1  0,6 0,59 0,35 0,36  0 0,3 0 0

∑ 4,31 4,91 5,47 5,06

m=5 (5.47 )−( 4.31 )(4.91)

5 (5.06 )−(4.312)= 0.90

b= (5.06 ) (4.91 )− (4.31 )(5.47)

5 (5.06 )−(4.312)=0.14 hallando el antilogaritmo

t= (1.38)D0.90

EN LA RECTA 4

  log xi log yi logxi.logyi log xi^2  1,48 1,43 2,12 2,19  1,23 1,18 1,45 1,51  1 0,83 0,83 1  0,6 0,41 0,25 0,36  0 0,11 0 0

∑ 4,31 3,96 4,65 5,06

m=5 (4.65 )− (4.31 )(3.96)

5 (5.06 )−(4.312)= 0.94

b= (5.06 ) (3.96 )−( 4.31 )(4.65)

5 (5.06 )−(4.312)=0.015 hallando el antilogaritmo

t= (1.03)D0.94

EN LA RECTA 5

  log xi log yi logxi.logyi log xi^2  1,48 1,13 1,67 2,19  1,23 0,89 1,09 1,51  1 0,57 0,57 1  0,6 0,18 0,11 0,36  0 -0,01 0 0

∑ 4,31 2,76 3,44 5,06

m=5 (3.44 )−( 4.31 )(2.76)

5 (5.06 )−(4.312)= 0.80

b= (5.06 ) (2.76 )−( 4.31 )(3.44)

5 (5.06 )−(4.312)=-0.13 hallando el antilogaritmo

t= (0.74)D0.80

TABLA 3

T(DIAS) A(%)0 1001 842 703 594 495 41

A(%)

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15

A(%)

6 347 278 249 20

10 17

Título del gráfico

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15

A(%)

Exponencial(A(%))

Lineal (A(%))

  XI YI XI.YI XI^2  0 100 0 0  1 84 84 1  2 70 140 4  3 59 177 9  4 49 196 16  5 41 205 25  6 34 204 36  7 27 189 49  8 24 192 64  9 20 180 81  10 17 170 100∑ 55 525 1737 385

m=10 (1737 )−(55 )(525)

10 (385 )−(552)= -13.95

b= (385 ) (525 )−(55 )(1737)

10 (385 )−(552)=124.67

A= -13.95T+124.67

VOCABULARIO

Regresión no lineal: potencial y exponencial. Consideramos en este apartado el ajuste a funciones no lineales. Concretamente vamos

a considerar, en primer lugar, una función potencial para relacionar las variables X e Y

y, en segundo lugar, una función potencial. En ambos casos se realizará una

transformación matemática para aplicar sobre el resultado obtenido un ajuste lineal.

 AJUSTE POR UNA FUNCIÓN POTENCIAL.Disponemos de datos de una variable estadística bimensional (X,Y). Al representar el diagrama de dispersión observamos que la nube de puntos (ver figura), en lugar de indicarnos la existencia de una relación lineal entre las variables, muestra una relación de tipo potencial.

Relación potencial:

bxay

donde a y b son parámetros desconocidos.

 Para linealizar la función potencial tomamos logaritmos. Se obtiene así el llamado modelo log-lineal. 

*log y = log a + b log x A diferencia de lo que sucedía con el modelo de regresión lineal, ahora el coeficiente de regresión b indica lo siguiente:  b es el incremento porcentual esperado de la variable dependiente (Y) al incrementar en un 1% la variable independiente (X). Es decir, b expresa la elasticidad de la variable dependiente respecto a la independiente. ¿Cómo aplicamos ahora el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios?

 Hacemos los siguientes cambios:

* *log y =v

log a = c

b = d

log x = u

de forma que obtenemos el modelo lineal de v/u:  *v c du

 Aplicando MCO se tiene:

UV2U

Sd =

S    y    c = v - d u

 Ahora sólo resta deshacer los cambios para obtener los valores (estimados) de los parámetros a y b. 

a = antilog c  ,  d = b

BIBLIOGRAFIA

WWW.PROFESORENLINEA.CL/FISICA

APUNTES EDUCACION MEDIA EDICION 11 Y 12

COLECCION PRACTICA DEL ESTUDIANTE TOMO 5

ENCICLOPEDIA ENCARTA 2000

En el universo, el total de energía (cinética + potencial + térmica + etc.) permanece constante.

La energía se transforma, es decir, se transfiere de una forma a otra, pero el total permanece invariable.