REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”SEDE BARCELONA-PUERTO LA CRUZ

INGENIERIA CIVIL

MATEMATICA III

Profesor: Estudiante: Lauro Sol de Villa Ledys Meneses 26033743

Sección CC

Barcelona, Junio 2014

INDICE

Introducción___________________________________________________pag.3

Contenido:

1) Vectores_________________________________________________pag.4

2) Ecuaciones vectoriales y paramétricas_________________________pag.4

3) Diferentes ecuaciones vectoriales y paramétricas:________________pag.7 3.1- Rectas__________________________________________________pag.7 3.2- Cónicas_________________________________________________pag.8 3.3- Hipocloides______________________________________________pag.10 3.4- Epicicloides______________________________________________pag.11 3.5- Astroides________________________________________________pag.12

4) Aplicaciones a los movimientos en el plano:___________________ pag.13 4.1- Vector Posición__________________________________________pag.13 4.2- Vector Velocidad_________________________________________pag.14 4.3- Vector Aceleración_______________________________________ pag.15

5) Cálculo de aéreas _______________________________________pag.16 5.1- Área entre curvas _______________________________________pag.19 5.2- Longitud de una curva____________________________________pag.20

INTRODUCCION

Las nociones de vectores están implícitamente contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y de las velocidades, conocidas hacía el fin del siglo XVII.

Es en relación con la representación geométrica de los números llamados imaginario, como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente realizadas, sin que el concepto de vector este aún claramente definido. Fue mucho más tarde, y gracias al desarrollo de la geometría moderna y de la mecánica, cuando la noción de vector y de operaciones vectoriales se concretó.

El alemán Grassman, en 1844, por métodos geométricos introdujo formalmente las bases del cálculo vectorial ( suma, producto escalar y vectorial.El inglés Hamilton, por cálculos algebraicos, llegó a las mismas conclusiones que Grassman; empleó por primera vez los términos escalar y vectorial.

Hacia el final del siglo XIX, el empleo de los vectores se generalizó a toda la física. Bajo la influencia de los ingleses Hamilton Stokes, Maxwell y Heaviside, y del americano Gibbs (quien utilizó la notación del punto para el producto escalar y del x para el producto vectorial), se amplió el cálculo vectorial, introduciendo nociones más complejas, como los operadores vectoriales: gradiente, divergencia y rotacional.

Consideremos una partícula en movimiento sobre un plano. Su posición en un determinado instante t viene determinada por dos coordenadas x(t) e y(t) que dependen de t.

Si la partícula se mueve en el espacio su posición queda determinada por tres coordenadas x(t) , y(t) y z(t) dependientes de t. En el primer caso la posición de la partícula se describe mediante un vector de dimensión dos cuyas componentes dependen de t y en el segundo caso mediante un vector de tres coordenadas cuyas componentes son función de t. Esto nos lleva a considerar un nuevo tipo de funciones.

.

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Contenido:

1) Vectores:

Es una magnitud definida por un modulo y dirección, es decir, es un segmento de recta orientado que expresa una magnitud y dice su dirección respecto a una coordenada preestablecida

2) Ecuaciones vectoriales y paramétricas:

-Ecuaciones vectoriales:

Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.

La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta.

Dados un punto   de la recta y un vector de dirección   , un punto genérico de la

recta   tendrá como vector de posición  .

Es claro que   , como el vector   y   están en la misma dirección

existe un número   tal que  , por tanto   esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta.

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Ejemplo:

 

Si X(x,y) es un punto cualquiera, para que sea un punto de la recta r deberá

cumplirse que el vector   y el vector   han de tener la misma dirección.

Pero esto significa que ambos vectores han de ser linealmente dependientes, es decir

=l·  siendo l un número real.

Si esta última igualdad la expresamos en términos de coordenadas, nos quedaría

(x–x1,y–y1)=l(v1,v2) Û (x,y)= (x1,y1)+ l(v1,v2) ecuación vectorial .

-Ecuaciones paramétricas :

Una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.

Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro

de tiempo   para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

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Ejemplo

Sea   la ecuación general de una recta, entonces caben la

ecuaciones paramétricas:  ,  .1

Otro ejemplo:

Dada la ecuación , una parametrización tendrá la forma 

Una parametrización posible sería 

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones

posibles. Una en donde x e y equivaliesen a   y   sería igualmente válida. La

diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el

valor del parámetro sería diferente en cada caso.

Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera

parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.

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3) Diferentes ecuaciones vectoriales y paramétricas:

3.1- Rectas:

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada  .

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector    tiene igual

dirección que , luego es igual a   multiplicado por un escalar:

Ejemplo:  

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director   =

(2,5). Escribir su ecuación vectorial.

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3.2- Cónicas:

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.

Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:

La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como    

donde

  Una cónica queda pues definida  por una matriz simétrica 

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Ejemplo:

                                      

 En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son:

Las figuras que representan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes

:

                  

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3.3- Hipocloides:

Es la trayectoria descrita por un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.

La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito).

Ejemplos:

k=3 k=6 k=5.5

 

k=4 k=2.1 k=7.2

 

K=5 k=3.8

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*- Las curvas hipocicloides son una clase especial de hipotrocoides, las cuales a su vez son una clase particular de ruleta.

*- La hipocicloide de tres puntas se denomina curva deltoide.

*- La hipocicloide de cuatro puntas se llama astroide.

3.4- Epicicloide:

Es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ejemplos:

k=1 k=4 k=5,5=11/2

 

k=2 k=2,1=21/10 k=7,2=36/5

 

k=3 k=3,8=19/5

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3.5- Astroides:

Es un tipo particular de hipocicloide, una curva con cuatro vértices. Los astroides son también superelipses: todos los astroides son versiones escaladas

de la curva especificada por la ecuación:  .

Su nombre moderno proviene de "estrella" en griego. La curva tiene varios nombres, incluyendo tetracúspide (todavía usado), cubocicloide, y paraciclo.

Un punto de una circunferencia generatriz de 1/4 que rueda dentro de una circunferencia directriz de radio 1, traza un astroide.

Si un segmento de longitud igual al radio de la circunferencia directriz con centro en (0, 0), se desliza con un extremo en el eje X y otro en el eje Y, resulta ser tangente en cada punto de la curva astroide.

Su ecuación paramétrica, para R = 1, es:

Un astroide creado por una circunferencia generatriz rodando dentro de otra

de radio   contiene un área igual a  .

El astroide es, además, evoluta de la elipse. Esto quiere decir que el lugar geométrico de los centros de curvatura de una elipse siempre tiene forma de astroide.

Por otra parte, si deslizamos un segmento de longitud constante sobre dos ejes perpendiculares, la envolvente que se forma también es una elipse.

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Ejemplo:

4) Aplicaciones a los movimientos en el plano:

4.1- Vector Posición:

 

Como la posición del móvil cambia con el tiempo.

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector

posición es  y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.  Diremos que el móvil se ha desplazado   en el

intervalo de tiempo   Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'. 

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4.2- Vector Velocidad:

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector

desplazamiento Ar entre el tiempo que ha empleado en desplazarse  .

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, es decir, la secante que une los puntos P y P' de la figura.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une

sucesivamente los puntos P, con los puntos  ,  , tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

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En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. 

4.3- Vector Aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. 

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en

dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia  .

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Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de

velocidad y el intervalo de tiempo  , en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

 

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

 

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

5) Calculo de áreas:

El área de una figura geométrica es todo el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura.

Para calcular el área de algunas figuras se utilizan las fórmulas que aparecen dentro del dibujo de abajo.

En cada caso, debe reemplazarse los valores conocidos en los problemas expuestos y calcular los valores pedidos.

 

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Con ayuda del cuadro anterior se puede hacer uso de las fórmulas para resolver problemas.

En el medio circundante hay muchas de estas figuras y es bastante común que se requiera conocer su área, por lo que en la práctica es muy útil saber aplicar estas fórmulas.

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Ejemplo:

1.- Una mesa circular tiene un área de 5.027 cm2 ¿cuánto mide su radio?

La fórmula para calcular el área del círculo es  

Reemplazamos valores y queda  5.027  = 3,1416 •  r2

Resolvemos:

O bien 

       r2     =     1.600     (radio al cuadrado vale 1.600)

         (radio solo, vale la raíz cuadrada de 1.600)

        r = 40 cm

 

2.- Un plato tiene un diámetro de 16 cm ¿cuál es su área?

La fórmula es 

Sabemos que el diámetro (d) de la circunferencia es igual a dos radios (2r), por lo tanto el radio (r) será igual al diámetro (16 cm) dividido por 2, o sea,  r  =  8.

Reemplazamos los valores, y queda:

A  =  3,1416 •  r2

A  =  3,1416  •   82

A  =  3,1416  •   64

A  =  201  cm2

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5.1- Áreas entre curvas:

Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos

funciones   y  , las cuales tiene que ser continuas en los intervalos

[a,b]. Si las graficas están sobre el eje x y la grafica   esta debajo de la

grafica  , se puede interpretar geométricamente el área de la región entre

las graficas, es decir restar el área de la función   al área de la

función  , esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados

intervalos. 

Si   y   son continuas en [a,b] y   ≤   para todo x

en [a,b], entonces el área de la región acotada por las graficas   

y   y las rectas verticales   y   es

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5.2- Longitud de una curva:

Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Formula General 

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor sería el valor obtenido como aproximación de la longitud de C. 

. 0)

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.  

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