Instituto Nacional de Bellas Artes

Centro de Educación Artística

“David Alfaro Siqueiros”

Trabajo Final de

ÁlgebraNombre del Alumno: Ana Gabriela Flores Delgado.Fecha de entrega: 15 de

diciembre del 2010.Examen Semestral.

Grupo: 1.

Índice:

Objetivo General………………………………..3

Trabajo de Primer Parcial……………………….4Introducción…………………………………...4Suma………………………………………….5Resta……………………………………….....6

Trabajo de Segundo Parcial……………………..8Multiplicación………………………………....8División………………………………………11

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Productos notables…………………………….13

Trabajo de Tercer Parcial…………………….....15Factorización…………………………………15Fracciones Algebraicas……………………..…..18Ecuaciones Lineales…………………………...20

Ecuaciones Cuadráticas………………………..28

Conclusiones finales…………………………...32

Objetivo General:

El objetivo que persigue la realización de éste trabajo que representará nuestra

calificación semestral, es el de, de alguna

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manera, practicar los ejercicios ya vistos en clase, de forma que nos demos cuenta si en realidad aprendimos acerca de cada

uno de los temas.

De ésta forma, al seguir realizando actividades será más difícil olvidar los

procedimientos.

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Trabajo de Primer Parcial

Introducción.A) Definir los siguientes conceptos:

*Álgebra: Generalización de la aritmética que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades con que queda provisto un conjunto al definir en ellos ciertas leyes de composición (operaciones). La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.

*Aplicaciones:- Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales. - Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. - Permite la formulación de relaciones funcionales.- Por ejemplo, es muy usada para la resolución de problemas relacionados con la geometría.

*Términos Algebraicos: es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico.Un término algebraico consta de las siguientes partes:- Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores.- Variable (o parte literal). Cantidad generalizada. - Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma.

*Exponentes: Número utilizado para indicar el número de veces que se utiliza un término como factor para multiplicarse por sí mismo.

*Grado: El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que posee el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x2 + x + 7, el término de mayor grado es 2x3; este término tiene

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una potencia tres en la variable x, y por lo tanto se define como grado 3 o de tercer grado

SumaA) Resolver: a) Polinomio Cúbico

b) Trinomio Cuadrático

c) Trinomio Lineal

d) Trinomio Cuadrático

e)Tri

nomio cúbico

B) Ejemplo de suma algebraica (perímetro)

Necesito saber cuál es el perímetro de una recámara irregular, pero no tengo una regla, sé que mide 40 cuadros de cerámica y 5 centímetros de un lado, 55 cuadros de cerámica y 7 centímetros de otro, 20 pasos míos de otro lado, y 24 pasos míos menos 8 centímetros del otro, sé que cada cuadro de cerámica mide 36 centímetros, y que cada uno de mis pasos mide 55 centímetros ¿Cuál es el perímetro de la recámara?

(40x + 5) + (55 x + 7) + (20y) + (24y - 8)95x + 44y +4 = trinomio linealX= 36Y= 55

Perímetro de la recámara: 8, 276, 404 cm. = 82, 764.04 m.

Resta

A) Ejemplifica una aplicación de la resta algebraica (Describe el problema agrega imagen o esquema y resuelve).

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Necesito saber cuál es la medida del perímetro de una recámara, pero restándole la medida de una parte que mide 10 cuadros de cerámica de largo más 10 centímetros, y 8 cuadros de ancho… la recámara en general mide 47 cuadros de cerámica de largo y 32 de ancho menos 2 centímetros, ¿cuál es la medida?Cada cuadro de cerámica mide 44 centímetros.(47x) + (47x) – (10x+10) + (32x-2) + (32x-2) – (8x)=140x+6= 6166 cm= 61.66 metros.

B) Resuelve las siguientes operaciones:

a) Trinomio lineal.b) Polinomio de cuarto grado.c) Polinomio de quinto grado.d) Polinomio de quinto grado.

e)

Trinomio linealC) Diseñar otra resta con fracciones (mínimo trinomio)

Polinomio cúbico

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Trabajo de Segundo Parcial

Multiplicación

A) Indica la Ley de los signos en la multiplicación.

La multiplicación de  expresiones con signos iguales dan como resultado un valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como resultado un valor negativo.

(+) por (+) da (+)(+) por (-) da (-)

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(-) por (+) da (-)(-) por (-) da (+) 

B) Explica la propiedad distributiva de la multiplicación (Utiliza un ejemplo).

La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número.Por ejemplo: x (x + 3) = (x) (x) + (x) (3)

C) Indica la Ley de los exponentes, en la multiplicación, división, radical y potencia.

De la Ley de los Exponentes de la multiplicación deducimos que para multiplicar dos o más potencias de la misma base, sumamos sus

exponentes. Por ejemplo: La Ley de los Exponentes para la división establece que para potencias de la misma base el exponente del denominador se resta al del

numerador. Por ejemplo. La Ley de las potencias indica que cuando tenemos un término elevado a más de una potencia, las potencias se multiplican. Ejemplo: Y la Ley de los Radicales, habla de que toda expresión radical, se puede expresar como un Exponente Fraccionario. Por ejemplo:

D) Explica gráficamente los pasos de la multiplicación algebraica (Usa un ejemplo)

Polinomio Cúbico.

1. Los coeficientes se multiplican, aplicando la ley de los signos, como en el ejemplo, en el cual, el primer término es 5x, y se multiplica, uno por uno, por los términos del segundo paréntesis, al igual que con el segundo término que en este caso es 2y.

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2. Como en este caso no es necesario simplificar, sólo ordenamos los términos de acuerdo a su exponente, y finalmente nombramos el término del resultado.

E) Resuelve las siguientes multiplicaciones: 1. Polinomio de 4to. grado.2. Polinomio cúbico.

3. Polinomio de 4to. grado.

4. Trinomio de 7mo. grado.5.

6. Polinomio de 4to. grado.

7. Trinomio Cuadrático.8. Polinomio cúbico.9. Polinomio de 5to. grado.

F) Un terreno rectangular mide 2x-4 metros de largo y 5x+3 metros de ancho. ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área? (agrega una figura)

G) En una tienda se compran tres diferentes artículos; A, B y C. A cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades. B cuesta 4x+2 por unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta 3/4x por unidad y se compraron 7 unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la compra?

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División

A) Definir la división algebraica.División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividiendo y divisor.

B) Propiedades de la división.q° = D° - d°En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. D° ≥ d°En toda división, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor : d° > r°En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto. r maximo = d° - 1En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos 1En el caso de polinomios homogéneos el grado del resto es mayor que el grado del divisor : r° > d°En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4

C) Elementos (partes) de la división.Dividendo es el número que se va a dividir.Divisor es el número que divide. Cociente es el resultado de la división.Resto es lo que ha quedado del dividendo, que no se ha podido dividir porque es más pequeño que el divisor.

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Sus términos cumplen esta relación:Dividendo = divisor · cociente + resto

D) Resolver:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

E) Si un espacio rectangular tiene un área de y la anchura es3x-5. ¿Cuánto mide la base?

F) Expresar conclusiones personales acerca de la primera unidad “Operaciones Algebraicas”

Dentro de este tema nos dimos cuenta de la importancia que tiene cada una de las operaciones algebraicas, y que es

necesario saber realizar los procedimientos de cada una de ellas, debido a la dependencia que llevan unas de otras.Vemos que es importante saber hacer cada una de las

operaciones básicas que se nos fueron enseñando a lo largo de nuestra educación para poder resolver estos problemas, y

los usos que les podemos dar para la resolución de problemas.

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Productos Notables

A) Definir qué son los productos notables.Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

B) Indicar las reglas para la resolución de cada uno de los productos notables vistos en clase (5 tipos)

1. Binomio al cuadrado.- Cuadrado del primero- Doble producto del primero por el segundo.- Cuadrado del segundo.

2. Binomio cúbico.- Cubo del primer término.- Triple producto del cuadrado del primero por el segundo.- Triple producto del cuadrado del segundo por el primero.- Cubo del segundo término.

3. Binomio a una potencia superior.- Se usa el triángulo de pascal y dependiendo de la potencia que se requiera, se verifican ahí los números por los que se multiplicará el binomio.- Siempre el primer término del binomio va a iniciar con la potencia que se indique, y va a terminar con la potencia 0.- El segundo término es lo contrario, empieza desde la potencia 0 y termina con la potencia que se indique.

4. Binomios con término común.- Cuadrado del común.- Suma o resta de los no comunes por el común.- Producto de los no comunes.

5. Binomios conjugados.- Cuadrado del primero.- (-) menos cuadrado del segundo.C) Resolver:

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D) Investigar la aplicación de los binomios conjugados en otras áreas.

Los binomios conjugados son de utilidad para la obtención de áreas, en este caso, de rectángulos principalmente.Su aplicación simplifica el hecho de realizar la multiplicación paso por paso.

E) Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad “Productos Notables”

A lo largo de este segundo tema, observamos la relación que hay entre cada tema que hemos visto.

Los productos notables hacen más simple una multiplicación, ya que el procedimiento es mucho más corto, pero aún así, se

utiliza cada una de las operaciones del primer tema.

Trabajo de Tercer Parcial

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FactorizaciónA) Defina qué es factorización.La factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores).

B) Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos de factorización.

C) Factoriza las siguientes expresiones.

Diferencia de Cubos:

No es muy usado. Sólo se utiliza con binomios, en los

que ambos términos tienen raíz cúbica.

Diferencia de Cuadrados:

Binomio con raíz cuadrada exacta;

ambos términos se restan, y se factoriza a binomios conjugados.

ax2 + bx + c:No es TCP, ni factor común. Se factoriza como agrupación.

x2 + bx + c:No es factor común,

no es TCP. Se factoriza a dos binomios con

término común.

Factor común:Se usa cuando todos los términos tienen

una variable común o un coeficiente

múltiplo de un mismo número.

Trinomio cuadrado perfecto:

Los extremos tienen raíz cuadrada exacta y se comprueba el doble producto.

Agrupación:No existe factor

común. Se separa en parejas comunes; tienen que ser al

menos de 4 términos.

MétodosDe

Factorización

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D) Aplicación de la factorización en la solución de ecuaciones cuadráticas.

En la resolución de ecuaciones cuadráticas, existe el método de la factorización.Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero.  Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores.  Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

E) Conclusiones personales sobre la unidad de factorización.

Dentro de esta unidad pusimos en práctica nuestras habilidades para diferenciar un método de factorización, de los otros; lo cual nos ha apoyado en cada uno de los temas que hemos visto posteriormente, por ejemplo, en fracciones

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algebraicas seguimos viendo varios métodos de factorización, al igual que lo haremos en el tema de ecuaciones cuadráticas.

Este tema ya en secundaria lo habíamos visto, pero sólo algunos de los métodos, es por eso que al menos en lo

personal, me pareció interesante el hecho de aprenderlos y además, me sirvió de práctica.

Fracciones Algebraicas.

A) Realiza las operaciones con fracciones algebraicas.

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B) Define qué es una fracción compleja y da un ejemplo.Una fracción compleja es una fracción en la que al menos uno de los términos de uno o ambos miembros es una fracción. Las expresiones racionales siguientes son fracciones complejas:

Ejemplo:

C) Conclusiones personales sobre la unidad de Fracciones Algebraicas.

A lo largo de este parcial, nos hemos dado cuenta de la importancia, y de la dependencia de cada tema con los otros,

ya que, por ejemplo, en fracciones algebraicas seguimos utilizando diversos métodos de factorización, que

afortunadamente, son rápidos, ya que la mayoría de las expresiones en los ejercicios usan métodos de factorización sencillos, además de las operaciones algebraicas, que fue el

primer tema que vimos.

Ecuaciones Lineales.

A) Definir qué es una ecuación lineal, los tipos que existen y cuáles son los principales métodos de resolución.

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Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Ecuación general

A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.

Ecuación segmentaria o simétrica

E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.

Forma paramétrica

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.

Casos especiales:

Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X

Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos.

Métodos:- Suma-Resta. *Elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el signo a uno de ellos.*Multiplicar, sumar y restar.*Obtener el valor.*Despejar la otra variable y sustituir el valor.

-Igualación:*Despejar la misma variable de ambas ecuaciones.*Igualar los despejes.*Hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal.

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*Sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor.

- Determinantes:La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

Lo representamos en forma de matrices:

Entonces, los términos pueden ser encontrados con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

y

B) Resolver las siguientes ecuaciones.

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C) Graficar:

y=5x-1Solución: (0.2, 0)Pendiente: 5

y=2x+3Solución: (-1.5, 0)Pendiente: 2

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y= -1/2x+2Solución: (4, 0)Pendiente: -.5

D) Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si vende un anillo de diamantes en $1500, ¿Qué precio pagó al proveedor?

$1000

E) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)

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b)

c)

d)

e)

f)

g)

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F) Grafica los incisos a, c, e y g de los sistemas anteriores.

a)2x-3y=4x-4y=7Solución: (-1, -2)

c)m-n=33m+4n=9Solución: (3,0)

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e)x+2y=83x+5y=12Solución: (-16,12)

g)2h-i = -53h-4i = -2Solución: (-3.6, -2.2)

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G) Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4.00 para adultos y $1.50 para niños. Si se vendieron 1000 boletos recaudando $3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

Adultos: 800 boletos.Niños: 200 boletos.

H) Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55 % del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al 40%. ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse?x+y= 800.3x+.55y= 800(.4)= 320

480 kg de Ag al 30%320 kg de Ag al 55%

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Ecuaciones Cuadráticas.

A) Definir qué es una ecuación cuadrática.

Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

B) Definir qué es un número real y qué es un número imaginario.

Números Reales: Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Números imaginarios: (I) Son aquellas cantidades que resultan cuando

se asocia la cantidad , ya que no es posible hallar una solución a está raíz en los reales. Se asocia entonces una cantidad imaginaria a la raíz de menos uno llamada i.

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario).

C) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.

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29

D) Graficar las siguientes funciones cuadráticas:

1)

2)

30

3)

Conclusiones Finales:

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Al finalizar éste semestre, tenemos como conclusión que el hecho de haber realizado

tal trabajo, al menos en lo personal, me sirvió mucho para practicar, y reforzar los

conocimientos que había obtenido a lo largo del periodo de clases.

Además, aprendí un poco más acerca de la forma de utilizar éste tipo de programas y

espacios en Internet, porque en secundaria, jamás utilizamos éste medio

para subir nuestros trabajos.

Debemos tener en cuenta la importancia de los temas que vimos para los semestres siguientes, y seguirlos practicando, de ésta

forma nos será más fácil aprender los temas nuevos.

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