1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1

x−4 y−7 z=15 x−7 y−z=5−4 x+ y+6 z=−4

  1   -4   -7   1  5   -7   -1   5  -4   1   6   -4

Validar si hay solución.

Se realiza por medio de realizar la determinación y debe ser diferente a 0.

método de eliminación de Gauss – Jordán

F2 = 5F1 – F2

F3 = 4F1 + F3

(1 −4 −7 10 13 34 00 −15 −22 0)

F2= 1

13 / F2

(1 −4 −7 1

0 13413

0

0 −15 −22 0)

F1 = 4F2 + F1

F3 = 15F2 + F3

(1 04513

1

0 13413

0

0 022413

0)F3=

22413

/ F3

(1 04513

1

0 13413

0

0 0 1 0)

F1= 4513

F3 – F1

F2= 3413

F3 – F2

(1 0 0 10 1 0 00 0 1 0)

¿ {1,0,0 }

1.2

3 x−4 y−7 z=115 x−7 y−z=−18

(3 −4 −7 115 −7 −1 −18)

F1 = 1/3 F1

(1 −43

−73

113

5 −7 −1 −18)F2 = F2 – 5*F1

(1−43

−73

113

0−13

323

−1093

)F2 = -3F2

(1 −43

−73

113

0 1 −32 109)F1 = 4/3 F2 + F1

(1 0 −45 1490 1 −32 109)

X -45z = 149

Y -32z = 109

Z = t

Es decir, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones ya que para cada valor de t habrá un valor para x,y,z.

1.3.

x−4 y−7 z+4w=−115 x−7 y−z−5w=−8−4 x+ y+6 z−w=−76 x− y−z−w=−2

Validar si hay solución.

Se realiza por medio de realizar la determinación y debe ser diferente a 0.

  1   -4   -7   4   -11  5   -7   -1   -5   -8  -4   1   6   -1   -7  6   -1   -1   -1   -2

método de eliminación de Gauss – Jordán

F2 = 5F1 – F2

F3 = 4F1 + F3

F4 = 4F1 +F3

¿

F2= 1

13 / F2

(1 −4 −7 4 −11

0 13413

−2513

4713

0 −15 −22 15 −510 23 41 −25 64

)F1 = 4F2 + F1

F3 = 15F2 + F3

F4= 23F2 – F4

(1 0

4513

−4813

4513

0 13413

−2513

4713

0 022413

−18013

4213

0 0−249

1325013

−24913

)F3=

22413

/ F3

(1 0

4513

−4813

4513

0 13413

−2513

4713

0 0 1−4556

0.1875

0 0−249

1325013

−24913

)

F1 = 4513

F3 – F1

F2 = 3413

F3 – F2

F4 = −249

13 F3 + F4

(1 0 0

−5156

2.8125

0 1 0528

3.125

0 0 1−4556

0.1875

0 0 021556

−15.5625)

F4 = 21556

/F4

(1 0 0

−5156

2.8125

0 1 0528

3.125

0 0 1−4556

0.1875

0 0 0 1−1743

430

)F1 =

−5156

F4 + F1

F2 = 5

28 F4 – F2

F3 = −4556

F4 + F3

(1 0 0 0

−189215

0 1 0 033186

0 0 1 0−132

43

0 0 0 1−1743

430

)¿ {−189

215,33186,−132

43,−1743

430 }

1.4

x−4 y=−35 x−7 y=−2−4 x+16 y=−4

( 1 −4 −35 −7 −2

−4 16 −4)F2 = 5F1 – F2

( 1 −4 −30 −13 −13

−4 16 −4 )F3 = 4F1 + F2

(1 −4 −30 −13 −130 0 −16)

Del tercer reglón se tiene 0x+0y = -16 que da la igualdad 0 = -16, luego el sistema no tiene solución.

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que

prefiera para hallar 1A ).

3 x−4 y−7 z=115 x−7 y−2 z=−9−4 x+ y+6 z=7

( 3 −4 −7 115 −7 −2 9

−4 1 6 7 )Hallar la matriz inversa.

( 3 −4 −7 1 0 05 −7 −2 0 1 0

−4 1 6 0 0 1)F1= 1/3 F1

( 1 −4 /3 −7/3 1 /3 0 05 −7 −2 0 1 0

−4 1 6 0 0 1)

F2= –5F1 + F2

( 1 −4 /3 −7/3 1/3 0 00 −1 /3 2 9/3 −5/3 1 0

−4 1 6 0 0 1)F3=4F1 +F3

(1 −4 /3 −7 /3 1 /3 0 00 −1/3 29 /3 −5 /3 1 00 −13/3 −10/3 4 /3 0 1)

F2 = -1/3 /F2

(1 −4 /3 −7 /3 1/3 0 00 1 −2 9 5 −3 00 −13/3 −10/3 4 /3 0 1)

F1 = 4/3F2 + F2

(1 0 −41 7 −4 00 1 −2 9 5 −3 00 −13/3 −10/3 4 /3 0 1)

F3=13/3F2 +F3

(1 0 −41 7 −4 00 1 −29 5 −3 00 0 −129 23 −13 1)

F3=1/-129 F3

(1 0 −41 7 −4 00 1 −2 9 5 −3 00 0 1 −23 /129 13 /129 −1/129)

F1 = 41F3 + F1

(1 0 0 −40/129 17/129 −41/1290 1 −2 9 5 −3 00 0 1 −23/129 13/129 −1/129 )

F2=29F3 + F2

(1 0 0 −40/129 17/129 −41/1290 1 −2 9 −22/129 −10/129 −29/1290 0 1 −23/129 13/129 −1/129 )

X= (−40129

17129

−41129

−22129

−10129

−29129

−23129

13129

−1129

)∗( 11−97 )=(

−880129

−355129

−377129

)X=

−880129

Y=−355129

Z=−377129

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1 Contiene a los puntos R=(−8,4,1) y Q=(−1,−8−3)

Q−R=(−1−8) i+(−8−4 ) j+(−3−1 )k

=−9i−12 j−4 k

a=−9

b=−12

c=−4

Paramétricas

x=−8−9 t

y=4−12t

z=1−4 t

Simétricas

x+8−9

= y−4−12

= z−1−4

3.2 Contiene a P= (−5,3 ,−7 ) y es paralela a la recta

x−9−6

= y+3−6

= z+42

Coma la recta ya esta expresada en su ecuación simétrica, podemos encontrar el punto P y el vector dirección:

P=(-5,3,-7) y su vector v=(−6 ,−6,2 )

Y como son paralelas, entonces tienen el mismo vector dirección.

P=(-5,3,-7) y su vector v=(−6 ,−6,2 )

Ecuacion paramétrica:

X= -5 -6t

Y = 3 -6t

Z = -7 +2t

Las ecuaciones simétricas:

X+5−6

= Y−3−6

=Z+7

2

4. Encuentre la ecuación general del plano que:

4.1 Contiene a los puntos S=(−8,4,1) , Q=(−1,−8 ,−3 ) y R=(−3 ,−2 ,−1 )

La ecuación del plano es:

ax + by + cz +d=0

Primero se debe encontrar el vector normal vamos a tomar los punto.

A=(-8,4,1) B= (-1,-8,-3) C=(-3,-2,-1)

Se debe encontrar el producto cruz entre A,B y C.

A B=(−9 ,−12 ,−4 ) A C=(5 ,−6 ,−2 )

Calculamos el producto cruz que es i , j , k

( i j k−9 −12 −45 −6 −2)

= i (24−24 )− j(18+20)+ k (54+60 )

El vector normal seria.

=(0,-38,114)

Sustituimos uno de los puntos.

S=(−8,4,1)

0 x+(−38 y )−114 z+d=0

0+(−38 (4 ))−114 (1)+d=0

0−152−114+d=0

−266+d=0

d=266

x−38 y+114 z+266=0

4.2 Contiene al punto P=(−1,−8 ,−3 ) y tiene como vector normal a

n=−3 i+2 j−5 k

El punto P, el vector normal n y la ecuación del plano π, están dados por:

P=( x0 , y0 , z0 )=(−1 ,−8 ,−3)*1

n=ai+bj+ck

=−3i+2 j−5 k

=(a ,b , c )

=(−3,2,−5)*2

a (x−x0 )+b( y− y0 )+c( z−z0 )=0*3 (ecuación general del plano)

Extrayendo la informacion numérica(datos), dados en *1 y 2* y reemplazando en *3, se obtiene:

−3( x−(−1 ))+2( y−(−8 ))+(−5) [ z−(−3 ) ]=0

−3 x−3+2 y−16−5 z−15=0

−3 x+2 y−5 z−34=0

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:π1 :9 x−2 y−8 z=10 y π2 :−5 x−7 y−8 z=2

n1 :9 i−2 j−8 k

n2 :−5 i−7 j−8 k

n1 n2= ( i j k9 −2 −8

−5 −7 −8)i=(16−56 ) j=(−72−40) k=(−63−10)

Por lo tanto no son paralelos, cuando no son paralelos se intersectan y debemos hallar los puntos comunes(de intersección) de los planos, para lograr esto debemos resolver las dos ecuaciones simultáneamente, es decir.

( 9 −2 −8 10−5 −7 −8 2 )

F1=1/9F1

( 1 −2/9 −8/9 10/9−5 −7 −8 2 )

F2 = F2 +5F1

(1 −2/9 −8/9 10 /90 −73 /9 −112 /9 68 /9)

F2 = (-9/73)F2

(1 −2/9 −8 /9 10/90 1 112/73 −68 /73)

F1=F1 + 2/9F2

(1 0 −40 /73 66 /730 1 112 /73 −68 /73)

Las ecuaciones resultantes son:

x−4073z=66

73

=−40 { i+112 { j¿−73 { k ¿≠0 i+0 j+0 k ¿

y+ 11273z=−68

73

Note que z(esta presente en las dos ecuaciones) es la variable libre, por lo tanto despejamos X y Y, tenemos:

Si designamos a z=t nos queda

x=6673

+ 4073z

y=−6 873

−11273z

z=t

Obtegamos(para verificar) un punto a partir de las ecuaciones parametricas y veamos si sastiface las ecuaciones de los dos planos.

Sea t=1, entonces:

x=6673

+ 4073

x=10673

y=−6873

−11273

y=−18 073

z=1

tenemo el punto (10673,−18 0

73,1)

π1 :9 x−2 y−8 z=10

9( 10673

)−2(−18 073 )−8 (1 )=10

95473

+ 36073

−8=10

954+360−873

=10

130673

=10

π2 :−5 x−7 y−8 z=2