Transferencia simultánea de masa y energía

Equilibrio líquido-vapor de una mezcla ternaria

Etanol (1)-Acetona (2)-Agua (3)

Alan Didier Pérez Ávila, Gloria Lucía Orozco Cardona,

En el anterior trabajo se presentó un estudio de la transferencia de masa para un sistema

ternario teniendo en cuenta las ecuaciones de Maxwell-stefan, sin tener en cuenta un perfil

de temperaturas para ello, sin embargo, pocos problemas prácticos en la ingeniería se dan

isotérmicamente, por lo que ahora se revisará para la misma mezcla la transferencia de

masa y energía en una pequeña película. Para el sistema tenemos, la presión de trabajo, (1

atmósfera), las composiciones y temperaturas tanto en el seno del líquido como del vapor y

las longitudes de la película en el líquido y en el vapor.

Figura 1. Perfil de concentraciones de la transferencia de masa del sistema.

Según la fig. 1 empezamos suponiendo que el flux y el calor van del seno del líquido a la

interfase y de la interfase al seno del vapor, esto, para la nomenclatura de las ecuaciones de

MS y sus fuerzas impulsoras. Así pues, tenemos las siguientes incógnitas y ecuaciones con

las que trabajaremos:

Variables

desconocidas

Ni n

n

n

T 1

3n+1

Tabla 1 No. de variables desconocidas

Ecuaciones

MSL n-1

MSv n-1

∑

1

∑

1

Ec. de equilibrio n

Balance de energía 1

3n+1 Tabla 2 No. de ecuaciones

Descripción de ecuaciones

Ecuación general de Maxwell-Stefan para la fase líquida:

( ) ( ) ( )

( ) [ ][ ]( )

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

∑

(

)

[ ] [ ]

[ ] [ ]

∑

(

)

Ecuación general de Maxwell-Stefan para la fase vapor:

( ) ( ) ( )

( ) [ ]( )

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

Ecuación del ELV:

Ecuación de balance de energía:

∑

( )

( )

∑

( )

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( )

∑

Resultados y análisis

Para la solución del sistema se supuso que el flux iba del líquido al vapor e igualmente la

transferencia de energía. Se resolvió el sistema para diferentes condiciones de presión del

sistema y temperaturas del líquido y del vapor y siempre con una longitud de película del

líquido de 1*10-5

m y una del vapor de 1*10-4

m.

En la tabla 3 se observan los resultados de composiciones en la interface y fluxes obtenidos

con las composiciones del seno del líquido y del vapor expuestas en esta misma tabla y con

una presión del sistema de 1 atmósfera (101.325 kPa), una temperatura del seno del líquido

de 340 K y una temperatura del seno del vapor de 350 K.

Composición del líquido en el seno

Composición del vapor en el seno

Composición del líquido en la

interfase

Composición del vapor en la

interfase Flux

Etanol 0,5 0,1 0,4095 0,0929 -3,5233

Acetona 0,4 0,1 0,2507 0,0929 -3,2990

Agua 0,1 0,8 0,3398 0,8142 5,1387 Tabla 3. Resultado obtenidos pata Tl = 340 K, Tv = 350 K y P = 1 atm.

En la gráfica 1 se observan las concentraciones de los senos de los fluidos y de la interfase,

además de las temperaturas en los mismos puntos.

Figura 2. Concentraciones y temperatura en la interfase obtenidas para las condiciones de P = 1 atm, Tv = 350 K y Tl = 340 K a lo largo de sus respectivas películas.

De la tabla 3 y de la figura 2 se observa que los cambios de concentración del líquido del

seno a la interfase son mayores que en el vapor, notándose entonces que hay una mejor

transferencia de masa del seno del líquido a la interfase, debido a que la película es menor

en el líquido viéndose así favorecido el transporte de masa, y debido a que la película es

más grande en el vapor se da menos transferencia de masa y así se observa un menor

cambio de concentraciones en el vapor de la interfase al seno. Los fluxes del etanol y la

acetona obtenidos fueron negativos y de magnitud muy similar, y el del agua positivo con

magnitud mayor a los dos anteriores, significando esto que el etanol y al acetona se

transportan del vapor al líquido y el agua del líquido al vapor, debido a que como el agua es

la molécula de menor tamaño y peso molecular, entonces pasa más fácilmente a la fase

vapor y el etanol y la acetona pasan del vapor al líquido debido a que son más pesados y

pasan con menor flux debido a que son moléculas más voluminosas comparadas con el

agua y debido a ello tendrán mayor contacto entre ellas y su fricción será mayor teniendo

así una difusividad menor y un menor coeficiente de transferencia de masa. La temperatura

de la interface obtenida fue Ti = 345,3424 K, prácticamente casi coincide con el valor de la

temperatura promedio entre las temperaturas del líquido y del vapor, el cual se tomó como

estimado inicial y este valor obedece al supuesto que se hizo en el sistema de que la energía

se transfería del líquido al vapor. El valor de temperatura en la interfase obtenido fue muy

coherente ya que se esperaba un valor de temperatura que estuviera entre la del líquido y el

vapor, debido a que como la energía se transfiere del líquido al vapor entonces el líquido

-5 0 5 10 15

x 10-5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fra

cció

n m

ola

r

Longitud de las películas [m]

Seno del

líquido

Seno del

vapor

Etanol

Acetona

Agua

Interfase

-5 0 5 10 15

x 10-5

335

340

345

350

355

Tem

pera

tura

[K

]

Longitud de las películas [m]

Interfase

°T del líquido

°T del vapor

estará a una menor temperatura que la interfase y la interfase deberá estar a una temperatura

menor temperatura que la del vapor debido a que se sigue transfiriendo energía de la

interfase al vapor.

Composición del líquido en el seno

Composición del vapor en el seno

Composición del líquido en la

interfase

Composición del vapor en la

interfase Flux

Etanol 0,5 0,1 0,4120 0,0940 -3,2530

Acetona 0,4 0,1 0,2523 0,0939 -3,0492

Agua 0,1 0,8 0,3357 0,8121 4,8071 Tabla 4. Resultados obtenidos para Tv = 360 K, Tl = 330 K y P = 1 atm.

Se analizó una variación en el caso anterior que fue tener una mayor diferencia entre las

temperaturas del líquido y del vapor para observar que ocurre de acuerdo a este cambio.

Gráfica 3. Concentraciones y temperatura en la interfase obtenidas para las condiciones de P = 1 atm, Tv = 360 K y Tl = 330 K a lo largo de sus respectivas películas.

Los cambios observados no fueron muy significativos, casi que se obtuvieron los mismos

resultados que en caso anterior, por lo tanto si la diferencia de temperaturas del vapor y del

líquido es de 30 K el comportamiento del sistema será igual que si al diferencia de

temperaturas es solamente 10 K, deduciéndose entonces, que cambios de este orden de

magnitud en la temperatura no influyen notoriamente en la difusividad y en el flux. La

-5 0 5 10 15

x 10-5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fra

cció

n m

ola

r

Longitud de las películas [m]

Seno del

líquido

Seno del

vapor

Etanol

Acetona

Agua

Interfase

-5 0 5 10 15

x 10-5

325

330

335

340

345

350

355

360

365 T

em

pera

tura

[K

]

Longitud de las películas [m]

Interfase

°T del líquido

°T del vapor

temperatura de al interfase obtenida fue Ti = 345,5909 K, prácticamente la misma que la

obtenida en el caso anterior.

Composición del líquido en el seno

Composición del vapor en el seno

Composición del líquido en la

interfase

Composición del vapor en la

interfase Flux

Etanol 0,5 0,1 0,4108 0,0955 -1,5164

Acetona 0,4 0,1 0,2524 0,0955 -1,4180

Agua 0,1 0,8 0,3368 0,8090 2,3267 Tabla 5. Resultados obtenidos para Tv = 333 K, Tl = 323 K y P = 0.5 atm.

Se realizó otra experimentación, la cual consistió en disminuir la presión del sistema a

media atmósfera y por ello se debió disminuir las temperaturas del seno del vapor y del

líquido.

Gráfica 4. Concentraciones y temperatura en la interfase obtenidas para las condiciones de P = 0,5 atm, Tv = 333 K y Tl = 323 K a lo largo de sus respectivas películas.

De nuevo las variaciones en las composiciones obtenidas en la interfase son muy poco

significativas pero hay un cambio notorio en los valores de los fluxes. Se obtuvieron

valores negativos y de magnitud similar para la acetona y el metanol por lo que s explico en

el primer caso y el flux positivo y de mayor magnitud para el agua por lo dicho

anteriormente (en el primer caso). Los valores de los fluxes disminuyen muy seguramente

porque J depende de la concentración total y esta depende directamente de la presión, es

-5 0 5 10 15

x 10-5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fra

cció

n m

ola

r

Longitud de las películas [m]

Seno del

líquido

Seno del

vapor

Etanol

Acetona

Agua

Interfase

-5 0 5 10 15

x 10-5

318

320

322

324

326

328

330

332

334

336

338 T

em

pera

tura

[K

]

Longitud de las películas [m]

Interfase

°T del líquido

°T del vapor

decir si la presión disminuye el valor de la concentración total también, y si el valor de J

disminuye los valores de los fluxes N también lo harán ya que dependen directamente de J.

El valor de la temperatura de la interface obtenida fue Ti = 328,5641 K, que sigue siendo

prácticamente la temperatura promedio entre las temperaturas del seno del líquido y del

vapor, y este valor confirma la dirección del transporte de energía, siendo la temperatura

del líquido menor a la de la interfase, y a su vez la de la interfase menor a la del vapor,

transferencia de energía del líquido al vapor.

Composición del líquido en el seno

Composición del vapor en el seno

Composición del líquido en la

interfase

Composición del vapor en la

interfase Flux

Etanol 0,5 0,1 0,4033 0,0883 -8,6317

Acetona 0,4 0,1 0,2448 0,0882 -8,0891

Agua 0,1 0,8 0,3519 0,8235 11,7768 Tabla 6. Resultados obtenidos para Tv = 368 K, Tl = 358 K y P = 2 atm.

La última variante fue probar el sistema a una presión más alta, una presión de dos

atmósferas. Y se observó un comportamiento similar a los casos estudiados anteriormente.

Gráfica 5. Concentraciones y temperatura en la interfase obtenidas para las condiciones de P = 2 atm, Tv = 368 K y Tl = 358 K a lo largo de sus respectivas películas.

-5 0 5 10 15

x 10-5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fra

cció

n m

ola

r

Longitud de las películas [m]

Seno del

líquido

Seno del

vapor

Etanol

Acetona

Agua

Interfase

-5 0 5 10 15

x 10-5

355

360

365

370

Tem

pera

tura

[K

]

Longitud de las películas [m]

Interfase

°T del líquido

°T del vapor

El fenómeno ocurre de manera similar en este caso, las concentraciones del vapor no varían

mucho, pero si varían más que en los casos anteriores, y en el líquido siguen variando más

que en el vapor. Los fluxes del etanol y acetona siguen siendo de signo negativo (van del

vapor al líquido) y de magnitud similares debido a que son más pesadas y voluminosas que

el agua y así presentan mayor friccione entre ellas lo cual hace que su difusividad sea baja

al igual que el coeficiente de transferencia de masa. Comparando con los casos anteriores

las composiciones en el vapor desde al interfase al seno del vapor varían más en este caso,

entonces vemos que el aumento de la presión aumenta también esta diferencia de

concentraciones en el vapor, y esto se deba tal vez, a que para trabajar a esta presión se

tiene temperaturas mayores lo que hace que se evapore mayor cantidad de las sustancias

implicadas. Un cambio que si fue muy notorio en este caso fue el gran aumento de la

magnitud de los fluxes trabajándose ya a dos atmósferas de presión. El aumento de la

magnitud en los fluxes se debe a que el flux J es directamente proporcional a la

concentración total y esta a su vez es directamente proporcional a la presión, entonces si

aumentamos la presión el valor de J aumentará y como N depende directamente de J

entonces también aumentara el flux N. Entonces si se quiere mejorar los fluxes se debe

trabajar a presiones medias para que el costo no sea muy alto y en su defecto si se aplica

estos conceptos ene l diseño de un equipo se deberá evaluar el costo del aumento de la

presión con el aumento del flux y encontrar un punto óptimo de trabajo.

El valor de la temperatura en la interface para este caso fue de Ti = 363,9747, y

corresponde a un valor, que como se repitió par a los casos anteriores, a un valor medio de

temperatura media entre las temperaturas de los senos del fluido y esto debido a lo que se

explicó anteriormente (en los casos anteriores), transferencia de energía del líquido al

vapor.

ANEXOS

Para las siguientes propiedades termodinámicas, se emplearon correlaciones extraídas de la

base de datos de Yaws, mostrando su ecuación general y sus coeficientes para cada especie.

p = A+B*T+C*T2

Sustancia A B C

Conductividad

térmica (líquida)

[W/(m K)]

Etanol

Acetona

Agua

0.2246

0.2189

-0.2758

-5.633e-5

-5.3067e-5

4.612e-3

-4.2178e-7

-4.566e-7

-5.539e-6

Conductividad

térmica (gas)

[W/(m K)]

Etanol

Acetona

Agua

-6.6745e-3

-8.4e-4

-8.58e-3

6.1669e-5

8.7475e-6

8.6933e-5

5.0866e-8

1.0678e-7

-6.297e-9

Viscosidad (gas)

[P]

Etanol

Acetona

Agua

1.4991

-4.0554

-36.826

0.3074

0.2666

0.429

-4.4779e-5

-5.6936e-6

-1.2e-5

Conductividad térmica para una mezcla líquida

Li propuso la siguiente ecuación para determinar la conductividad térmica en sistemas

multicomponentes:

∑∑

Con

(

)

∑

Xi es la fracción molar del componente i, ϕi es la fracción de volumen superficial de i y Vi

es el volumen molar del componente i puro.

Conductividad térmica para una mezcla gaseosa

Se empleó la ecuación de Wassiljewa para una mezcla gaseosa a bajas presiones:

∑

∑

yi y yj son las fracciones molares de i y j, la conductividad térmica de i y Aij se

determina así:

[ ( )

( )

]

[ ( )]

Antoine

Para determinar tanto la presión de saturación

(

)

Sustancia A B C

Etanol

Acetona

Agua

16.1952

14.7171

16.5362

3423.53

2975.95

3985.44

55.7152

-34.5228

-38.9974

Difusividades de MS para gases

A partir de la correlación de Fuller:

√

(√ √

)

Con T en (K), P en (Pa), M1 y M2, los cuales son los pesos moleculares de cada especie en

(g/mol), C=1.013e-2 estará en m2/s y, finalmente los términos V1 y V2 son los volúmenes

de difusión moleculares los cuales se calculan sumando las contribuciones atómicas de la

tabla 4.1 de [1].

Difusividades de MS para líquidos[1].

Primero se calculó la difusividad de MS a dilución infinita con Wilke & Chang donde

luego se procedió con Vignes para determinar la difusividad de MS.

( )

Donde D°ij es el coeficiente de difución de MS donde i está infinitamente diluído en j, Mj

es la masa molar del solvente (g/mol), T está en K y j es la viscosidad del solvente en cP.

Luego Vignes propuso la siguiente relación:

( ) ( )

Viscosidad para líquidos

Yaws propuso la siguiente correlación

Donde está en cP, T en K y A, B, C y D se muestran a continuación para cada

componente:

A B C D

Etanol

Acetona

Agua

-7.2126

-6.4406

-10.2158

9.0305e2

1.1176e3

1792.5

0.0184

0.0137

0.01773

-2.0353e-5

-1.5465e-5

-0.000012631

Capacidades caloríficas para gases

Yaws tiene la siguiente correlación:

Donde Cp está en J/(mol K) y T en K, los coeficientes A, B, C, D y E son para cada

componente:

A B C D E

Etanol

Acetona

Agua

27,091

35,918

33,933

0,11055

0,093896

-0,0084186

0,00010957

0,0001873

2,9906E-05

-1,505E-07

-2,164E-07

-1,7825E-08

4,6601E-11

6,3174E-11

3,6934E-12

Capacidades caloríficas para líquidos

Yaws tiene la siguiente correlación:

Donde Cp está en J/(mol K) y T en K, los coeficientes A, B, C y D son para cada

componente:

A B C D

Etanol

Acetona

Agua

59,342 46,878 92,053

0,36358 0,62652

-0,039953

-0,0012164 -0,0020761 0,00021103

1,803E-06 2,9583E-06 5,3469E-07

EOS Peng- Robinson[4]

Varias ecuaciones de estado pueden ser escritas de la siguiente manera:

Donde los parámetros α, β y γ para Peng-Robinson son

A y B son

( )

a y b para los componentes puros están determinados de acuerdo a los propiedades críticas

así:

( )

( )

√ ( √

)

Regla de mezclado[4]

Para la EOS es necesario emplear una regla de mezclado, en este caso se empleó la regla de

mezclado generalizada:

∑∑

∑

√ ( )

Donde los parámetros de interacción binaria kij si no están disponibles, para mezclas

similares se puede asumir un valor o simplemente cero [4]

Coeficientes de fugacidad[4]

Ya con la EOS y la regla de mezclado se obtienen los coeficientes de fugacidad así:

( )

( )

( )

√ [ ∑

] [ ( √ )

( √ )

]

Coeficientes de actividad [3]

Se empleó el método de UNIFAC-Dortmund, el cual, aunque no se describirá, sí se

mostrarán las matrices empleadas para su cálculo.

Grupo

principal Subgrupo Nº Rk Qk Vk(1) Vk

(2) Vk(3)

1. CH2 CH3 1 0,6325 1,0608 1 1 0

CH2 2 0,6325 0,7081 1 0 0

5. OH OH (p) 14 1,2302 0,8927 1 0 0

7. H2O H2O 16 1.7334 2.4561 0 0 1

9. CH2CO CH3CO 18 1.7048 1.6700 0 1 0

m 1 1 5 7 9

n anm CH3 CH2 OH (p) H2O CH3CO

1 CH3 0 0 2777.0 1391.3 433.60

1 CH2 0 0 2777.0 1391.3 433.60

5 OH(p) 1606.0 1606.0 0 -801.90 -250.00

7 H2O -17.253 -17.253 1460.0 0 190.50

9 C3H6O 199.00 199.00 653.3 770.60 0

m 1 1 5 7 9

n bnm CH3 CH2 OH (p) H2O CH3CO

1 CH3 0 0 -4.6740 -3.6156 0.1473

1 CH2 0 0 -4.6740 -3.6156 0.1473

5 OH(p) -4.7460 -4.7460 0 3.8240 2.8570

7 H2O 0.8389 0.8389 -8.6730 0 -3.6690

9 C3H6O -0.8709 -0.8709 -1.4120 -0.5873 0

m 1 1 5 7 9

n cnm CH3 CH2 OH (p) H2O CH3CO

1 CH3 0 0 0.1551e-2 0.1144e-2 0

1 CH2 0 0 0.1551e-2 0.1144e-2 0

5 OH(p) 0.9181e-3 0.9181e-3 0 3.8240 2.8570

7 H2O 0.9021e-e 0.9021e-e -8.6730 0 -

3.6690

9 C3H6O 0 0 -1.4120 -0.5873 0

[1] Taylor, R. & R. Krishna

[2] Robert C. Reid. / Propiedades de los gases y líquidos / 1 Ed. en español.

[3] Jürgen Gmehling, Jiding Li, and Martin Shiller. / A Modified UNIFAC Model. 2. Present

parameter Matrix and Results for different Thermodynamic Propierties. / 1993, 32, 178-193

[4] Chemical, Biochemical, and Engineering Thermodinamics. / Stanley I. Sandler /4 Ed

[5] Frank M. White / Mecánica de fluidos / 5° Ed.

[6] G.V. Reklaitis. / Balances de materia y energía.

[7] Yaws/Thermophysical Properties Of Chemicals And Hydrocarbons