Transformaciones de Funciones Complejas

7/23/2019 Transformaciones de Funciones Complejas

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Transformaciones de Funciones complejas.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Mediante las funciones de Euler y siendo real entonces:

ei

=cos+isen ei

=cosisen

Se tiene entonces:

cos=1

2(e i+ei ) sen= 1

2i(ei+ei)

Definicin:para todo numero complejo perteneciente al cuerpo complejo.

Para todo zC se define:

cosz=12 (eiz+eiz) sinz= 12i(e

izeiz )

Si z es real cosz y sinz se reduce a las correspondientes funciones reales.

Propiedades: Para todo z ,wC se tiene:

1. cos (z )=cos (z ) sin (z )=sin (z )

2. cos (z+w )=cosz coswsinz sinw

sin (z+w )=sinz cosw+cosz sinw

3. cosz=sin ( 2z )=sin(2 +z)

4. cos2z+sin2z=1

. cosz=cos z sinz=sinz

!. sinz=0

z=k(k

Z)

El resto de las funciones tri"onom#tricas se define a tra$#s de relaciones entre estas dos funciones:

tanz=sinz

cosz


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Ejempo: Transformar la si"uiente e%presi&n a la forma x+yi

cos ( 4+3 i )

Para resol$er el ejercicio de'emos aplicar la propiedad.

cos (z+w )=cosz coswsinzsinw

(uedando de la si"uiente manera:

cos ( 4+3 i )=cos 4 cos3 isin 4 sin 3 i

)*ora tenemos +ue aplicar nue$amente las transformadas para el coseno y seno del n,mero

ima"inario.

cosz=1

2(eiz+eiz) sen= 1

2i(ei+ei)

-eemplazando

cos3 i=1

2(e (3 i )i+ei (3 i) ) sen3 i= 1

2 i(e i( 3 i)+ei (3i ) )

cos ( 4+3 i )=cos4 1

2( e(3 i) i+ei (3 i ) )sin 4 1

2i(ei (3i )+ei (3 i ) )

cos ( 4+3 i )=cos4 1

2( e3+e3 )sin4 1

2 i(e3+e3 )

cos ( 4+3 i )=cos 4 [ 12 (1+e6

e3 )]sin4 [ 12i (1e

6

e3 )]

cos ( 4+3 i )=6.581+7.582i


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Fi!"ra #$ Reso"cin en Ma%a& de Ejercicio #$

FUNCIONES 'IPER()*ICAS

as funciones /iper'&licas se definen de forma similar a las funciones tri"onom#tricas de una

$aria'le real.

Definicin:las funciones seno y coseno *iper'&licos se definen para cada zC como:

coshz=1

2(ez+ez ) sinz=1

2(ezez )

0e la propia definici&n se deduce de manera inmediata la relaci&n entre el seno y coseno

*iper'&licos con el seno y coseno. Se tiene:

sinhz=isen (iz ) coshz=cos ( iz )

sinz=isenh (iz ) cosz=cosh ( iz )

Propiedades:as funciones *iper'&licas se comportan tam'i#n de forma anlo"a a las

correspondientes reales. Se tienen para todo zC las si"uientes propiedades.

1. cosh (z )=cos h (z ) sinh (z )=sinh (z )

2. cosh2z+sinh2z=1

3. cosh (z+w )=coshz coshw+sinhz sinhw

sinh (z+w )=sinhz cosh w+coshz sinhw

4. senh z=sinhx cosy+icosh x+siny


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. coshz=coshx cosy+isenhx+siny

!. sinz=sin (x+ iy )=sinx cos ( iy )+cosx sin ( iy )

sinz=sinxcoshy+icosx sinhy

. tanhz=sinhz

coshz=i tan (iz )

Ejempo:Transformar la si"uiente e%presi&n a la forma x+yi

cosh2 i

)plicamos la e+ui$alencia para poder resol$er.

coshz=1

2 (ez+e

z

)

-eemplazando tenemos:

cosh (2 i )=1

2(e2 i+e2 i )

cosh (2 i )=12 (e2 i+ 1e2i )

cosh (2 i )=12 (e

4 i

+1e2 i )

)plicamos las transformaciones para los respecti$os e%ponenciales.

cosh (2 i )=1

2 ( e0 (cos4+isin 4 )+1

e0 (cos2+i sin2 ))

cosh (2 i )=1

2 (cos (4 )+1+i sin4

cos2+isin2 ))plicamos la conju"ada para resol$er la di$isi&n.


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cosh (2 i )=1

2 (cos (4 )+1+i sin4

cos2+isin2

cos2isin2cos2isin2 )

cosh (2 i )=1

2

(

cos (4 )cos2+cos2i (cos 4 sin2+sin2 )

(cos2 )2(sin2 )2 +

sin 4 sin2+(sin 4 cos 2 ) icos2i sin2

)cosh (2 i )=

1

2(0.221+0.482 i1.0530.482 i )

cosh (2 i )=1

2

(0.832 )

cosh (2 i )=0.416+0 i

Fi!"ra #$ Reso"cin en Ma%a& de Ejercicio +$

FUNCIONES *OGARITMICAS

Sea z un n,mero complejo no nulo. Se dice +ue un n,mero complejo es un lo"aritmo de z y se

escri'e w=log(z) cuando ew=z .

Definicin:0ado z=x+iyC , z 0 se define.

logz= ln|z|+ i (Argz+2k) ,cuandokz


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Por ejemplo

a5 log i=ln|i|+i( 2 +2k)=i(2 +2 k) , kz

'5 log1=i ( +2k) , k

z

c5 log (1+ i )=ln2+ i(4 +2k) , kz

El lo"aritmo asocia entonces a cada n,mero complejo infinitos $alores complejos +ue tienen la

misma parte real pero su parte ima"inaria difiere entre ellos en un m,ltiplo de entero de 2 .

Si se restrin"en los $alores del ar"umento de z a un determinado inter$alo de amplitud 2

como puede ser el inter$alo [ , )

el lo"aritmo complejo se con$ierte en una funci&n uni$oca

+ue se denomina lo"aritmo principal o determinaci&n principal del lo"aritmo y se denota con

may,scula.

log (z )=ln|z|+iArg (z ) , Arg (z ) [ , )

Propiedades:as propiedades de las funciones lo"ar6tmicas son:

1. log (z w )=logz+ log w

2. log

(z

w)=logzlogw

3. lnz=( 1z )

4. eln (z)=z

Ejempo: Transformar la si"uiente e%presi&n a la forma x+yi

log (22 i )

)plicando la transformaci&n tenemos:

logz=ln|z|+ i (Argz )

-eemplazando


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log (22 i )=ln|22+22|+i(atan (22))log (22 i )=ln|8|+ i (atan (1 ))

log (22 i )=ln|(8 )1

2|+i(4)

log (22 i )=1

2ln|8|

4i

log (22 i )=1.040.785 i

Fi!"ra ,$ Reso"cin en Ma%a& de Ejercicio ,$

FUNCIONES POTENCIA

a funci&n potencia se define como:

zw=ew lnz

0ado los n,meros complejos c y d con c0 se define:

cd=e (d log c )

a e%presi&n anterior representa a infinitos n,meros complejos adems se pueden definir

funciones complejas como:

f(z )=e (c logz) , z 0


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Propiedades:as propiedades de las funciones lo"ar6tmicas son:

#$ d (zw )

dz =w zw1

Ejempo:Transformar la si"uiente e%presi&n a la forma x+yi

(1+i )1i

Transformando tenemos:

zw=ew lnz

-eemplazando:

(1+i )1i=e( 1i ) ln (1+ i)

7omo primer paso resol$emos el ln (1+i ) :

ln (1+i )=ln|z|+iarg (z )

ln (1+i )=ln|12+12|+iatan (1 )

ln (1+i )=ln|(2 )1

2|+i4

ln (1+i )=12ln|2|+i

4

-eemplazando en nuestra primera e%presi&n:

(1+i )1i=e(1i ) (12 ln|2|+i

4)

(1+i )1i=e1

2 ln|2|+i

4

1

2ln|2|i+

4

(1+i )1i=e1

2 ln|2|+

4 e

(1

2 ln|2|

4)i

-esol$emos la funci&n e%ponencial con n,mero complejo


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e(12 ln|2|

4)i=e0(cos(412 ln|2|)+ isin(412 ln|2|))

e(12 ln|2|

4)i=1 (0.905+0.425i )

e(12 ln|2|

4)i=0.905+0.425 i

-eemplazamos en la e%presi&n anterior:

(1+i )1i=e1

2 ln|2|+

4 (0.905+0.425 i)

(1+i )1i=3.102 (0.905+0.425 i )

(1+i )1

i=2.807+1.318 i

Fi!"ra -$ Reso"cin en Ma%a& de Ejercicio -$

CONC*USIONES

a transformaci&n de las funciones tri"onom#tricas *iper'&licas lo"ar6tmicas y e%ponenciales se

resuel$en por decir de una manera automatizada. Para lo cual es necesario aprenderse las f&rmulas

de transformaci&n y sus diferentes propiedades.


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7uando se resuel$en las funciones se pudo notar +ue no solamente se aplican las f&rmulas de

transformaciones sino +ue es necesario tam'i#n en al"unos ejercicios aplicar la conju"ada y

operaciones con n,meros complejos como multiplicaci&n suma y resta.

)l momento de desarrollar el softare en Matla' no fue tan complicado utilizamos la $ersatilidad

del pro"rama y su potencia al resol$er pro'lemas matemticos. 8sicamente decimos +ue pararealizar el pro"rama solo pro"ramamos el entorno "rfico y la "rfica del punto resultante.

8i'lio"raf6a

)'ia 9. ). 1 de ;ctu're de 2


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