7Transformando la circunferencia en una recta y su

relación con el número pi

Isaac Asimov mientras redactaba el ensayo “Tose Crazy Ideas”,escribió casualmente una nota al pie de la página con respecto al hechode que eπii=-1 .He aquí que la mayor parte de los comentarios querecibió después no tenían que ver con el ensayo mismo, sino con dichanota.

Así llegó a la conclusión de que algunos lectores tienen interés enestos símbolos extraños. Como él también lo tenía, siendo un impulsoirresistible de tomar a uno de ellos, el . Por lo que para satisfacer su interés le pidió a Sergéi Sóbolev, suamigo, que le ayudara con esta intriga que le impedía continuar con lapublicación del ensayo que estaba escribiendo.— En primer lugar, dijo Sergéi ¿qué es ?. Pues bien, es la letra griegapi, que representa el cociente entre el perímetro de una circunferencia yla longitud de su diámetro. Perímetro proviene del griego perimetron ,

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que quiere decir "la medida alrededor", y diámetro viene delgriego diametron , que significa "la medida a través”.

—Pero ¿cuánto vale en cifras el cociente entre la circunferencia y sudiámetro?, preguntó Isaac.—Parece ser que esta pregunta preocupó siempre a los antiguos,incluso mucho antes que se hubiera inventado la matemática pura,contestó Sergéi. Uno de los métodos para obtener un valor aproximado de escomparar las longitudes del diámetro y del perímetro del circulo y

obtener la relación. . perimetro(circulo)longitud(diametro)

Es de suponer que los primeros calculistas empíricos que observaronque el cociente es importante, deben de haber determinado ese cocientedibujando una circunferencia y dividiendo directamente las longitudesdel diámetro y de la circunferencia. Por supuesto que medir la longitudde la circunferencia es un problema difícil que no se puede resolverempleando la regla común de madera pues ésta resulta demasiadorígida para la medición, y en este caso utilizaremos el método creadoen 1685 por Adam Cochansky, con trazos geométricos utilizando reglay compás.—Y,¿qué tan exacto es este método? preguntó nuevamente Isaac.—El error resultante es considerablemente pequeño, ¡enseguida localculamos!.

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Como te decía el método de Adam Cochansky es sencillo, consiste entransformar en una recta la circunferencia de centro en O y radio r.—¿Es el único método con regla y compás?—No, pero considero que el más sencillo y fácil de comprender. Primeramente trazamos el diámetro AB, y en el punto B , una líneaCD, perpendicular a AB. Desde el centro O, trazamos la recta OC,formando un ángulo de 30º con AB. Este ángulo se lo obtiene al trazarun arco con centro en P y con una medida igual al radio de lacircunferencia. Luego, en la recta CD, se mide desde el punto C hastaD, una distancia equivalente a tres radios de esta circunferencia, que seunen mediante una línea recta. El segmento AD es equivalente alongitud de la semicircunferencia. Si prolongamos el segmento AD aldoble de su longitud, tendremos la circunferencia O transformada enuna recta.

¿Estás de acuerdo con el trazo obtenido?.—Ahora para probar que el segmento AD es aproximadamente igual ala longitud de la semicircunferencia se debe construir una demostracióncomo la siguiente, ¡ayudanos con ella por favor!.

En el triángulo CBO, por el teorema de Pitágoras se tiene que CB2 +0B2 =0C2,pero como OB es el radio de la circunferencia, entoncesCB2 +r2 =0C2,que la llamaremos la ecuación (1).

Ahora, en el mismo triángulo CBO.

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Si te fijas hay un ángulo de 30º, lo que hace que se tenga como medidadel ángulo OCB; 60º, es decir tenemos un triángulo rectángulo notable,para el que se cumple que la hipotenusa CO es el doble del cateto menorCB, y por el teorema de Pitágoras el segundo cateto BO es ¿estás de3acuerdo?.¡Anota tu respuesta!.De lo anterior entonces podemos escribir la siguiente relación OC=2CB,que la llamaremos ecuación (2).

Sustituyendo la ecuación (2) en (1) obtenemos la siguiente igualdadCB2 +r2 =(2CB)2 que es equivalente a CB2 +r2 =4CB2. Luego al despejarr2 se tiene: r2 =4CB2-CB, de donde operando terminos semejantes sedetermina que r2 =3CB2.

Ahora, el siguiente paso es despejar el término CB .Ayúdale porfavor y anota tu respuesta.

A partir de la última ecuación se determina que CB , o sea r2

3 CB , a la que la llamamos ecuación (3).r

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Consideramos el segmento CD, puedes ver que es la suma de lossegmentos CB y BD, es decir CD=CB+BD.

De donde al despejar BD se tiene que BD=CD-CB, a la quellamaremos ecuación (4), pero el segmento CD es equivalente a 3 vecesla longitud de r, y ademas sustituyendo (3) en (4) se obtiene que

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BD=3r- ,de donde al racionalizar el denominados se determinar3

que BD=3r- ,que es la ecuación (5). r 3

3—¡No veo todavía la relación que existe entre el número y el

cociente perímetro-diámetro!, dijo Isaac.—¡Es que todavía no hemos terminado la demostración!, respondió

Sergéi. Ahora consideremos el trángulo ABD.

Del cual por el teorema de Pitágoras podemos escribir la ecuaciónAD2=AB2+BD2, ¿estás de acuerdo? ,pues la llamaremos ecuación (6).

Como el segmento AB es el diámetro de la circunferencia yconsiderando la sustitución de la ecuaciones (5) en (6) se tiene

. De la cual ,que esAD2 2r2 3r r 33 2 AD 4r2 3r r 3

3 2

equivalente a ,es decir, utilizando factorAD 4r2 9r2 2r2 3 r2

3

común .AD (492 3 13 )r2

Resolviendo numéricamente la igualdad anterior, con la ayuda deuna calculadora se tiene que . Y cuandoAD 9.8692317182r2

extraemos la raiz cuadrada se determina que r . AD 3.1415333387Lo que nos lleva concluir que el segmento AD es veces la longitud

que tenga el radio de la circinferencia. Pero como consideramos a r launidad. Entonces tenemos una aproximación del número .

¿Recuerdas el error de aproximación que Sergéi mencionóanteriormente?. Ayudanos a determinarlo y anota tu respuesta.

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La diferncia entre la aproximación del valor de y el verdaderovalor de es 3.1415926536 - 3.1415333387 , que da 0.000059314,es decir un error de menos del 1%.—¡Lo vez!, dijo Sergéi, el método de Adam Cochansky es fácil deentender y genera una aproximación bastante buenta al valor real de . —¡Lo tengo ahora si bastante claro!, replicó Isaac, y es gracias a ti quepodré publicar mi ensayo con todas las explicaciones necesarias y sindejar partes que no tienen explicación.

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