1.TRIÁNGULO.- Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.

A B

C ELEMENTOS:

VERTICE: A ; B ; C

LADOS: AB BC AC

NOTACIÓN:

TRIÁNGULO: ABC: ABCV

ÁNGULOS: ; ;A B C

2. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:

1.Según sus lados:

a. Triangulo escaleno.- Es aquel triángulo en el cual sus lados tienen diferente longitud.

A

B

C°

°

°

Si: "a", "b" y "c" son diferentes entre si

ABC: escaleno

a

b

c

°, °, ° son diferentes entre si

A

B

C

a

BASE

a

b .triángulo isósceles.- Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud.

c.Triángulo equilátero.- Es aquel triángulo cuyos lados son de igual longitud.

A

B

C60°

L

60°

60°

L

L

2.Según la medida de sus ángulos:

a. Triángulo oblicuángulo.- Es aquel que no tiene ángulo recto y puede ser:

-Triángulo acutángulo.- Es aquel triángulo que tiene sus ángulos internos agudos.

A

B

C°

°

°

0° < , , < 90° ° ° °

ABC: Acutángulo

Triángulo obtusángulo.- Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso.

A

B

C°

90° < < 180°°

ABC: obtusángulo, obtuso en "A"

b.Triángulo rectángulo.- Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto.

A

B

C

c a

b

° °

m ABC 90

Catetos : AB y BC

Hipotenusa : AC

90

3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO.

1.En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 180°

A

B

C°

°

°

° + ° + ° = 180°

En el triángulo ABC se cumple:

A

B

C

x°

°

°

x° = ° + °

En el triángulo ABC se cumple:

2.En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.

3.En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°

A

B

C

z°

y°

x°

x° + y° + z° = 360°

En el triángulo ABC se cumple:

4.En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa.

A

B

C

a

c

Si: > > a > b > c

b

5.En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de los mismos.

A

B

C

ac

b

Sea: a > b > c a - c < b < a + c

OTRAS PROPIEDADES:

x x y x y

Ejercicios desarrollados:

1.En un triángulo ABC: 15m A m B 30m B m C y

¿ cuánto mide el ángulo B?

Desarrollo:

15

30

Por dato se tiene:

180

Sabemos:

15

30

Reemplazando y en :

180

15 30 180

Resolviendo :

65m B

2.Hallar el calor de x en el gráfico.

Desarrollo:

Por propiedad se tiene:

2x 90° = 7x

X = 18°

3. Si + + = 130° , hallar «x»

Desarrollo:

2x

Por ángulo exterior:

3x = +

Además:

= 90° - x

Sabemos:

+ + = 130°

3x + 90° - x = 130°

2x = 40°

X = 20°

4. En la figura: AE = AD; DC = CF. Hallar «x»

Desarrollo:

Por propiedad se tiene que:

X + 90° = + ...

Además:

X + + = 180°

Despejando:

+ = 180° - x

Reemplazando en la primera ecuación:

I

X + 90° = 180° - x

X = 45°

5. Encuentra el valor de «x», si AB = BD

54m CBD

Desarrollo:

54°

x

54° + 54°

54m BDA Por ángulo exterior

El triángulo ABD , Isósceles .

2 ( 54° + ) + = 180°

= 24°

X = 54°+

X = 54° + 24°

X = 78°

1.CEVIANA.Es aquella recta que parte de un vértice y cae en cualquier punto del lado opuesto o de su prolongación.

BP BQy

Son cevianas delTriángulo ABC

2.MEDIANA.Es la recta que parte de un vértice y cae en el punto medio del

lado opuesto.

es mediana relativo al lado BM AC

AM = MC

3. ALTURA.Es la recta que parte de un vértice y cae perpendicularmente en el lado opuesto o en su prolongación.

BH Es la altura de los triángulos ABC

4.MEDIATRIZEs la recta que pasa por el punto medio de un segmento, formando 90°

Es mediatriz del lado 1Lsur

BC

BM = MC

5.BISECTRIZEs la recta que divide a la medida del ángulo de un triángulo.

Bisectriz interior Bisectriz exterior.

ÁNGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR

902

Bx

90

2

Bx

2

Bx

Incentro excentro excentro

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1. Dos ángulos externos de un triángulo miden 7 a y 9 a , el ángulo internono adyacente a los anteriores miden 4 a. Halle la medida del mayor ángulointerno.

9a

7a

4a

Desarrollo:

Por suma de los ángulos exteriores se tiene:

7 a + 9 a + 180° - 4 a = 360°

12 a = 180°

a = 15°

los ángulos exteriores son:

135° y 105°

Los ángulos interiores serán:

60°; 45° y 75°

Respuesta: 75°

2.En el interior de un triángulo ABC, se ubica el punto «p» tal que

20 , 40 , 2m PAB m PCB m B a y 7m APC a

Halla el valor de «a»

desarrollo:

A

B

C

P

20° 40°

2a

7a

7 a = 20° + 40° + 2 a

a = 12°

3.Uno de los ángulos internos de un triángulo mide 4x y los dos ángulos externoscorrespondientes a los otros dos ángulos miden: 3x + 40° y 5x + 20°.Halla lamedida del menor ángulo interior.

Desarrollo:

4x

3x + 40°

5x + 20°

3x 40° + 5x + 20° + 180° - 4x = 360°

4x = 120°

X = 30°

El menor ángulo interno es 10°

4.En la prolongación del lado AC de un triángulo ABC, se toma toma el punto Py sobre AB se toma el punto E tal que PE interseca a BC en N. Hallasi y

m NCP64 , 69m B m BEN 2m A m mP

Desarrollo:

A

B

C P

E

N

x

64°

69°

2x

133°

2x + x + 64° = 133°

3x = 69°

X = 23°

5.Sobre el lado de un triángulo ABC se toma el punto N, tal que

Y Halla la medida del ángulo exterior de C .

AC

2 , 70m NBC m ABN m A 80BNC

Desarrollo:

A

B

CN

2xx

70° 80°

Por ángulo exterior del triángulo ABN:

X = 10°

El ángulo exterior de C es : 100°

6.Si a + b = 100°, AB = BC , DE = EF. Halla el valor de «x»

Desarrollo:

En el triángulo ABC: 2 180a

En el triángulo DEF: 2 180b

Sumando las dos ecuaciones se tiene:

2 2 360a b

100 2 2 360

130

En el triángulo CDG:

180x

X = 50°